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Nota: 90 Disciplina(s): Tópicos Especiais em Engenharia da Computação Questão 1/10 - Tópicos Especiais em Engenharia da Computação Leia o texto a seguir sobre teleporte quântico e depois faça o que é solicitado para a questão: “O teleporte quântico é uma técnica usada para deslocar estados quânticos de um lugar para outro, mesmo quando não existe um canal de comunicação conectando o transmissor do estado ao seu receptor.” Extraído de: NIELSEN, M. A.; CHUANG, I. L. Computação Quântica e Informação Quântica. Porto Alegre: Bookman, 2005, p.55. Relacione os estados obtidos após o teleporte quântico com as portas ou combinação de portas que precisam ser aplicadas para restaurar o estado original: 1. |ψ⟩=1√ 2 (α|0⟩+β|1⟩)|ψ⟩=12(α|0⟩+β|1⟩) 2. |ψ⟩=1√ 2 (α|1⟩+β|0⟩)|ψ⟩=12(α|1⟩+β|0⟩) 3. |ψ⟩=1√ 2 (α|0⟩−β|1⟩)|ψ⟩=12(α|0⟩−β|1⟩) 4. |ψ⟩=1√ 2 (α|1⟩−β|0⟩)|ψ⟩=12(α|1⟩−β|0⟩) ( ) Porta ZZ ( ) Porta XX e ZZ ( ) Porta XX ( ) Nenhuma porta Nota: 10.0 A 4-3-2-1 B 3-4-2-1 Você acertou! As alternativas são uma superposição dos estados|0⟩|0⟩ e |1⟩|1⟩ com as amplitudes e do estado original. Mas após a medida, Alice envia a Bob o resultado da medida pelo canal de comunicação clássico os seus q-bits: 00, 01, 10 ou 11 Após receber os q-bits de Alice, Bob agora tem as seguintes opções: se a informação recebida de Alice for 00, Bob não deve fazer nada. Se Bob receber 01, então, deverá aplicar a porta XX. Se Bob receber 10, então deverá aplicar a porta ZZ. Finalmente, se Bob receber 11, então deverá aplicar a porta ZZ, seguida da porta XX. C 4-3-1-2 D 3-2-4-1 E 3-1-4-2 Questão 2/10 - Tópicos Especiais em Engenharia da Computação Leia a definição a seguir e depois faça o que é solicitado para a questão: “Uma matriz hermitiana A tem a propriedade: A=A†A=A†. Os autovalores de uma matriz hermitiana são números reais e matrizes hermitianas também são normais (embora nem todas as matrizes normais precisem de autovalores reais)”. Adaptado de: PERRY, R. T. The Temple of Quantum Computing, v1.1 – April, 2006. p.76. Para um operador hermitiano A, o resultado da expressão ⟨ψ|A|ψ⟩⟨ψ|A|ψ⟩ sempre retorna um número real. Dessa forma, assinale qual dos operadores a seguir pode ser considerado como operador hermitiano: Nota: 10.0 A A=[111i]A=[111i] B A=[100i]A=[100i] C A=[1ii1]A=[1ii1] D A=[0−ii0]A=[0−ii0] Você acertou! As matrizes de Pauli são operadores hermitianos. No caso, a alternativa “d” coincide com o operador YY. Basta assumir um vetor qualquer |ψ⟩|ψ⟩ e fazer a operação ⟨ψ|A|ψ⟩⟨ψ|A|ψ⟩ e verificar o resultado; se o resultado for um número complexo, o operador não será hermitiano. E A=[0ii0]A=[0ii0] Questão 3/10 - Tópicos Especiais em Engenharia da Computação Leia o texto abaixo e depois faça o que é solicitado para a questão. “As portas Hadamard (HH), de fase (SS) e π/8π/8 (TT) formam um conjunto discreto universal para computação quântica, no sentido de que, dado um circuito contendo CNOTCNOTs e portas de um q-bit, é possível simular o circuito com boa precisão usando somente este conjunto de portas”. Adaptado de: NIELSEN, M. A.; CHUANG, I. L. Computação Quântica e Informação Quântica. Porto Alegre: Bookman, 2005, p.225. Considere um circuito de um q-bit no estado |1⟩|1⟩; para deslocar o estado em 225 graus, as portas a serem aplicadas são: Nota: 10.0 A STTSTT B SSSSSS C SSTSST Você acertou! A porta S executa uma rotação de fase de 90 graus, enquanto que a porta T executa uma rotação de 45 graus. A única opção que reproduz uma rotação de 225 graus é aquela que utiliza duas portas S e uma porta T, sendo, portanto, SST. D ZTTZTT E ZSTZST Questão 4/10 - Tópicos Especiais em Engenharia da Computação Leia o texto a seguir sobre medição e depois faça o que é solicitado para a questão: “A evolução de um sistema quântico fechado é descrita por uma transformação unitária, ou seja, o estado |ψ⟩|ψ⟩ de um sistema em um tempo t1t1 está relacionado ao estado |ψ‘⟩|ψ‘⟩ do sistema em t2t2 por um operador unitário U que depende somente de t1t1 e t2t2: |ψ‘⟩=U|ψ⟩|ψ‘⟩=U|ψ⟩”. Extraído de: NIELSEN, M. A.; CHUANG, I. L. Computação Quântica e Informação Quântica. Porto Alegre: Bookman, 2005, p.110. De acordo com o texto acima, o operador de medição para o estado |0⟩|0⟩ é representado matricialmente por: Nota: 10.0 A M0=[0100]M0=[0100] B M0=[1000]M0=[1000] Você acertou! A medição em um sistema quântico manifesta um caráter probabilístico, trazendo a imprevisibilidade ao sistema. A Mecânica Quântica apenas traz uma descrição das probabilidades de se obter um ou outro estado quântico, sendo as causas que motivam a escolha de estados, após a medição, desconhecidas. De acordo com o postulado da medição, as medidas quânticas podem ser descritas mediante operadores de medição MmMmMmMm. Tais operadores atuam sobre o espaço de estados de um sistema quântico, com o índice m se referindo aos possíveis resultados da medida. O operador de medida para M0M0M0M0, é, portanto, M0=[1000]M0=[1000]. C M0=[0010]M0=[0010] D M0=[0001]M0=[0001] E M0=[1001]M0=[1001] Questão 5/10 - Tópicos Especiais em Engenharia da Computação Leia o texto a seguir e depois faça o que é solicitado para a questão: “É possível examinar um bit para determinar se ele está no estado 0 ou 1. Por exemplo, os computadores fazem isso toda vez que recuperam o conteúdo em suas memórias. Curiosamente, não se pode examinar um q-bit a fim de determinar seu estado quântico, isto é, os valores de αα e ββ. Ao invés disso, a mecânica quântica nos ensina que só podemos ter acesso a uma informação muito mais restrita sobre o estado quântico”. Extraído de: NIELSEN, M. A.; CHUANG, I. L. Computação Quântica e Informação Quântica. Porto Alegre: Bookman, 2005, p.43. A probabilidade de obtenção da medida do estado quântico em superposição |ψ0⟩=12(|00⟩+|01⟩+|10⟩+|11⟩)|ψ0⟩=12(|00⟩+|01⟩+|10⟩+|11⟩), supondo a obtenção do estado clássico 10, é de: Nota: 10.0 A 1414 Você acertou! A medida do estado em superposição irá resultar em apenas um dos estados especificamente. Cada estado possui amplitude 1212. O cálculo da probabilidade p=∥12∥2=14=0,25p=∥12∥2=14=0,25. B 1212 C 1√ 2 12 D −14−14 E 2424 Questão 6/10 - Tópicos Especiais em Engenharia da Computação Leia o texto a seguir e depois faça o que é solicitado para a questão: “Um produto interno é uma função que toma dois vetores de entrada |v⟩|v⟩ e |w⟩|w⟩ de um espaço vetorial e produz um número complexo como saída. (...) A notação padrão na mecânica quântica para o produto interno (|v⟩,|w⟩)(|v⟩,|w⟩) é ⟨v|w⟩⟨v|w⟩, em que ⟨v|⟨v| é o vetor dual de |v⟩|v⟩.” Extraído de: NIELSEN, M. A.; CHUANG, I. L. Computação Quântica e Informação Quântica. Porto Alegre: Bookman, 2005, p.94. Com base na definição apresentada, o resultado do produto interno do vetor|ψ⟩=[1i]|ψ⟩=[1i] com ele mesmo será: Nota: 10.0 A 11 B 22 Você acertou! Para o cálculo do produto interno, é necessário calcular o vetor dual de |ψ⟩|ψ⟩: ⟨ψ|=[1−i]⟨ψ|=[1−i]. Note o valor negativo, pois o vetor dual “bra” refere-se ao tranposto conjugado do vetor “ket”. A seguir, basta aplicar a definição de produto interno e fazer a multiplicação matricial que resulta em um escalar. C 00 D 1−i1−i E 1+i1+i Questão 7/10 - Tópicos Especiais em Engenharia da Computação Leia o texto a seguir e depois faça o que é solicitado para a questão: “Foi postulado que sistemas quânticos fechados evoluem de acordo com transformações unitárias. Para sistemas que não interagem com outros sistemas, isto está correto, mas deveria existir momentos em que os experimentadores e seus equipamentos – em outras palavras, um sistema físico externo – deverão observar o sistema para verificar o que está acontecendo dentro dele, uma intervenção que acaba com o isolamento do sistema, e que não é necessariamente descrita por uma transformação unitária”.Extraído de: NIELSEN, M. A.; CHUANG, I. L. Computação Quântica e Informação Quântica. Porto Alegre: Bookman, 2005, p.113. Com base no texto anterior, a medição do estado quântico em superposição |ψ0⟩=12(|00⟩+|01⟩+|10⟩+|11⟩)|ψ0⟩=12(|00⟩+|01⟩+|10⟩+|11⟩), supondo a medida apenas no primeiro q-bit e a obtenção do valor clássico “0”, resulta no estado: Nota: 10.0 A |ψ1⟩=1√ 2 (|01⟩+|10⟩)|ψ1⟩=12(|01⟩+|10⟩) B |ψ1⟩=1√ 2 (|01⟩+|11⟩)|ψ1⟩=12(|01⟩+|11⟩) C |ψ1⟩=1√ 2 (|00⟩+|10⟩)|ψ1⟩=12(|00⟩+|10⟩) Você acertou! Tem-se uma medição parcial do primeiro q-bit, de um total de 2 q-bits no circuito. Portanto, n=2n=2 e m=1m=1. A definição do operador de medição, com o segundo q-bit tendo um valor dummy: M0=√ 2 |_0⟩⟨_0|M0=2|_0⟩⟨_0| Aplicando-se o operador, tem-se: |ψ1⟩=M0|ψ0⟩=√ 2 |_0⟩⟨_0|(12(|00⟩+|01⟩+|10⟩+|11⟩)=|ψ1⟩=M0|ψ0⟩=2|_0⟩⟨_0|(12(|00⟩+|01⟩+|1 0⟩+|11⟩)= =√ 2 2(|_0⟩⟨_0|00⟩|_0⟩⟨_0|00⟩+|_0⟩⟨_0|01⟩+|_0⟩⟨_0|10⟩|_0⟩⟨_0|10⟩+|_0⟩⟨_0|11⟩)==22(|_0⟩⟨_0|00 ⟩|_0⟩⟨_0|00⟩+|_0⟩⟨_0|01⟩+|_0⟩⟨_0|10⟩|_0⟩⟨_0|10⟩+|_0⟩⟨_0|11⟩)= Pela ortogonalidade dos estados no primeiro q-bit, apenas os estados contendo “0” no primeiro q-bit serão preservados: =1√ 2 (|00⟩+|10⟩)=12(|00⟩+|10⟩) D |ψ1⟩=1√ 2 (|00⟩+|11⟩)|ψ1⟩=12(|00⟩+|11⟩) E |ψ1⟩=1√ 2 (|00⟩+|01⟩)|ψ1⟩=12(|00⟩+|01⟩) Questão 8/10 - Tópicos Especiais em Engenharia da Computação Leia o texto abaixo e depois faça o que é solicitado para a questão. “O algoritmo de Grover nos fornece uma velocidade quadrática para uma ampla variedade de a lgoritmos de pesquisa clássicos. Os exemplos mais comuns de algoritmos de busca que podem se beneficiar de uma arquitetura quântica são os algoritmos de busca de rotas mais curtas e algoritmos para encontrar elementos específicos em um banco de dados não classificado.” Adaptado de: PERRY, R. T. The Temple of Quantum Computing, v1.1 – April, 2006. p.212. Assinale nos passos do algoritmo de busca de Grover a ordem correta e depois marque a alternativa condizente (considerando somente uma iteração de Grover): ( ) Medida ( ) Deslocamento de fase ( ) Portas Hadamard ( ) Oráculo Nota: 0.0 A 4-3-1-2 A busca mediante o algoritmo de Grover é feita de forma a aumentar a probabilidade de se encontrar o elemento desejado dentro do espaço de q-bits. O algoritmo altera, portanto, as amplitudes de todas as possíveis soluções através da aplicação de operadores específicos. Após a transformação de Haramard, o oráculo marca a solução, aplicando-se um deslocamento de fase para, por último, fazer a medida. B 4-3-2-1 C 4-2-1-3 D 3-4-1-2 E 3-1-2-4 Questão 9/10 - Tópicos Especiais em Engenharia da Computação Leia o texto a seguir e depois faça o que é solicitado para a questão: “Uma maneira prática de representar portas quânticas é com a notação de produto externo. Em vez de fazer toda a matemática, pense dessa maneira: para cada componente da sequência, pegue a parte "bra", ⟨u|⟨u| de |v⟩⟨u||v⟩⟨u|, e o novo coeficiente do qubit será o coeficiente do qubit antigo para a parte "ket" |v⟩|v⟩.” Adaptado de: PERRY, R. T. The Temple of Quantum Computing, v1.1 – April, 2006. p.135. Seja o produto tensorial S1=I⊗S=|00⟩⟨00|+i|01⟩⟨01|+|10⟩⟨10|+i|11⟩⟨11|S1=I⊗S=|00⟩⟨00|+i|01⟩⟨01|+|10⟩⟨10|+i|11⟩⟨11|. A aplicação da porta S1S1 sobre o estado |11⟩|11⟩ resultará em : Nota: 10.0 A |11⟩|11⟩ B i|01⟩i|01⟩ C |01⟩|01⟩ D |10⟩|10⟩ E i|11⟩i|11⟩ Você acertou! A notação de produto externo simplifica bastante a aplicação de um operador sobre um determinado estado quântico. No caso, basta considerar, na multiplicação da expressão de I⊗SI⊗S por |11⟩|11⟩, que apenas o termo que com o produto interno ⟨11|11⟩⟨11|11⟩ será igual a 1, sendo zero para todos os outros. Questão 10/10 - Tópicos Especiais em Engenharia da Computação Leia o texto abaixo e depois faça o que é solicitado para a questão. “Quando observamos tamanhos de entrada grandes o suficiente para tornar relevante apenas a ordem do crescimento do tempo de execução, estamos estudando a eficiência assintótica dos algoritmos. Ou seja, estamos preocupados com a maneira como o tempo de execução de uum algoritmo aumenta com o tamanho da entrada no limite, à medida que o tamanho da entrada aumenta indefinidamente (sem limitação).” Extraído de: CORMEN, T. H. et al. Algoritmos. Rio de Janeiro: Campus, 2002, p.32. De conformidade com a afirmação anterior, relacione as classes de execução de algoritmos abaixo e depois assinale a alternativa com a ordem correta: 1. Classe P 2. Classe NP 3. Classe BPP 4. Classe BQP ( ) A classe de algoritmos quânticos que resolvem os problemas de forma eficiente em um computador quântico, aceitando-se uma margem de erro ( ) A classe dos problemas que podem ser resolvidos de forma rápida em um computador clássico ( ) A classe que contém problemas que podem ser resolvidos utilizando-se algoritmos aleatórios que podem resolver em tempo polinomial, aceitando uma probabilidade de erro limitada ( ) A classe de problemas onde as soluções podem ser verificadas eficientemente em um computador clássico Nota: 10.0 A 3-1-4-2 B 4-2-3-1 C 4-1-3-2 Você acertou! As duas classes de problemas mais importantes são denominadas P e NP. A classe P é considerada a classe dos problemas que podem ser resolvidos de forma rápida em um computador clássico. A classe NP (Non-deterministic Polynomial), por sua vez, se refere à classe de problemas onde as soluções podem ser verificadas eficientemente em um computador clássico. Se um problema está em NP, não é requerido que exista um algoritmo de tempo polinomial que possa resolvê-lo. certos tipos de problemas podem ser resolvidos utilizando-se algoritmos aleatórios que podem resolver em tempo polinomial, aceitando uma probabilidade de erro limitada. Esta classe de problemas é denominada BPP (Bounded Probability Polynomial). Existe a contrapartida da classe BPP na computação quântica, a BQP (Bounded Quantum Polynomial), que é definida como a classe de algoritmos quânticos que resolvem os problemas de forma eficiente em um computador quântico, aceitando-se uma margem de erro. D 3-2-4-1 E 3-4-2-1
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