Portas Quânticas de Mais de um Q-Bit

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TÓPICOS ESPECIAIS EM 
ENGENHARIA DA 
COMPUTAÇÃO 
AULA 3 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Prof. Luciano Frontino de Medeiros 
 
 
2 
CONVERSA INICIAL 
Esta aula dá continuidade ao estudo da computação quântica, expandindo 
a compreensão para portas de mais de um q-bit, como a porta SWAP, a porta 
Toffoli e a porta Fredkin. Os circuitos quânticos são apresentados de maneira a 
mostrar como um circuito pode ser composto de várias portas, bem como o 
cálculo da evolução de um estado quântico. O tema da superposição e 
interferência é mostrado também, como preâmbulo para as operações que 
explorarão o paralelismo quântico. Por fim, é feita uma ponte com alguns 
conceitos da álgebra linear, relativos ao produto interno, ortogonalidade, 
ortonormalidade e produto externo, mostrando-se com exemplos uma forma 
mais prática de avaliar a evolução dos circuitos quânticos. 
TEMA 1 – PORTAS DE MAIS DE UM Q-BIT 
Anteriormente foram apresentadas as portas quântica de 1 q-bit e a porta 
CNOT, as quais constituem um conjunto universal para a computação quântica. 
Isso quer dizer que qualquer circuito quântico pode ser construído com base no 
uso dessas portas. Agora serão estudadas outras portas de mais de um q-bit. 
1.1 Porta SWAP 
Outra porta derivada da CNOT é a porta de troca ou circuito de troca 
(SWAP), cuja representação é mostrada no quadro 1. Combinando-se três 
portas CNOT, de acordo com a Figura 1, tem-se a porta de troca (SWAP), que 
faz, portanto, a troca dos estados quânticos entre dois q-bits. 
Quadro 1 – Operador de troca (SWAP) 
Símbolo Representação Operador |=|a|b  |b|a 
SWAP 
 
1 0 0 0
0 0 1 0
0 1 0 0
0 0 0 1
 
 
 
 
 
 
 
|00 |00
|01 |10
|10 |01
|11 |11
  
  
  
  
 
 
A porta de troca é utilizada, por exemplo, nos circuitos para o cálculo da 
transformada quântica de Fourier. 
 
 
3 
Figura 1 – Circuito para a porta de troca 
 
Exemplo 1: aplique a porta de troca sobre o estado quântico de 2 q-bits 
|ψ0⟩ = (e
iπ 4⁄ |01⟩ − |10⟩)/√2. 
A amplitude do primeiro estado |01⟩ contém uma potência complexa. 
Expressando o estado como um vetor coluna: 
|𝜓0⟩ = [
0
𝑒𝑖𝜋 4⁄
−1
0
] 
Será aplicado sobre este estado a porta SWAP, para produzir então um 
novo estado: 
|𝜓1⟩ = 𝑆𝑊𝐴𝑃12|𝜓0⟩ = [
1 0
0 0
0 0
1 0
0 1
0 0
0 0
0 1
] . [
0
𝑒𝑖𝜋 4⁄
−1
0
] = [
0
−1
𝑒𝑖𝜋 4⁄
0
] = −|01⟩ + 𝑒𝑖𝜋 4⁄ |10⟩ 
Note que os coeficientes de cada estado foram trocados entre si. Além 
disso, foram utilizados subíndices para indicar quais q-bits estão sendo trocados. 
Como o circuito continha apenas dois q-bits, poderia ser suprimido. Porém, no 
caso de se utilizar circuitos maiores, é necessário fazer a indicação. 
1.2 Porta Toffoli 
Foi visto anteriormente que a porta CNOT possuía um q-bit de controle e 
um q-bit alvo. Ela pode ser modificada de forma a conter mais de um q-bit de 
controle, com o seu acionamento na dependência de combinações de q-bits. 
Quando ela opera sobre três q-bits, dois q-bits de controle e um q-bit de alvo, é 
denominada de porta Toffoli, levando esse nome devido ao seu criador, 
Tommaso Toffoli. Ela pode, inclusive, ser generalizada para mais q-bits de 
controle (Nielsen; Chuang, 2005). 
A porta Toffoli perfaz a operação de soma de módulo 2 do q-bit alvo com 
o produto dos q-bits de controle: 𝑐 ⊕ 𝑎𝑏. O produto 𝑎𝑏 indica que somente 
quando este resultado é 1, resultado que somente pode ser alcançado quando 
 
 
4 
𝑎 = 𝑏 = 1, o valor de 𝑐 será modificado; caso seja 0, o resultado da operação é 
1; caso seja 1, o resultado será 0. A porta Toffoli pode ser utilizada, por exemplo, 
para reproduzir o comportamento da porta lógica AND e o meio somador lógico 
(half adder). 
Note que a porta Toffoli, manipulando 3 q-bits, é representada por meio 
de uma matriz 8x8, semelhante à matriz identidade, porém modificada nas duas 
últimas colunas e linhas (quadro 2). 
Como a porta Toffoli pode ser utilizada em circuitos com 3 q-bits ou mais, 
convenciona-se representar com subíndices. O primeiro subíndice se refere ao 
q-bit alvo e o segundo e terceiro são os q-bits de controle. 
Quadro 2 – Porta Toffoli 
Símbolo Representação Operador 
|=|a|b|c  
|a|b|cab 
TOFFOLI 
 
1 0 0 0 0 0 0 0
0 1 0 0 0 0 0 0
0 0 1 0 0 0 0 0
0 0 0 1 0 0 0 0
0 0 0 0 1 0 0 0
0 0 0 0 0 1 0 0
0 0 0 0 0 0 0 1
0 0 0 0 0 0 1 0
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
  
 
|000 |000
|001 |001
|010 |010
|011 |011
|100 |100
|101 |101
|110 |111
|111 |110
  
  
  
  
  
  
  
  
 
 Exemplo 2: demonstre a tabela-verdade da porta lógica AND com a porta 
Toffoli. 
Analisando o quadro 2, pode-se notar que na última tabela, quando o q-
bit |𝑐⟩ é |0⟩, o operador 𝑇𝑜𝑓𝑓𝑜𝑙𝑖(1)23 reproduz exatamente o comportamento da 
porta lógica AND. Dessa forma, podemos construir a tabela-verdade: 
|𝑎⟩ |𝑏⟩ |𝑎 ∧ 𝑏⟩ = |0 ⊕ 𝑎𝑏⟩ 
|0⟩ |0⟩ |000⟩ 
|0⟩ |1⟩ |010⟩ 
|1⟩ |0⟩ |100⟩ 
|1⟩ |1⟩ |111⟩ 
 Assim, somente quando os dois q-bits assumirem o estado quântico |1⟩, 
o q-bit |𝑐⟩ será |1⟩. 
 
 
5 
1.3 Porta Fredkin 
Assim como a porta Toffoli, a porta Fredkin pode ser considerada como 
uma generalização da porta SWAP, e leva o nome do seu descobridor, Edward 
Fredkin. Uma porta Fredkin possui quatro q-bits: dois q-bits de controle e dois q-
bits alvo. A condição para acontecer a troca dos estados quânticos nos q-bits 
alvo é a de que os q-bits de controle assumam, simultaneamente, o estado 
quântico |1⟩. O quadro 3 mostra os detalhes da operação Fredkin. 
Quadro 3 – Porta Fredkin 
Símbolo 
Representaç
ão 
Operador 
|=|a|b|c|d  
|a|b|d|c 
FREDKIN 
 
1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
|0000 |0000
|0001 |0001
|0010 |0010
|0011 |0011
|0100 |0100
|0101 |0101
|0110 |0110
|0111 |0111
|1000 |1000
|1001 |1001
|1010 |1010
|1011 |1011
|1100 |1100
| |
| |
|1111
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
1101 1110
1110 1101
|1111  
 
 Como convenção, será assumido que o operador Fredkin contenha 
subíndices. Os dois primeiros entre parênteses são os q-bits alvo, e os 
posteriores serão os q-bits de controle. Por exemplo, 𝐹𝑅𝐸𝐷𝐾𝐼𝑁(12)34 indica que 
os q-bits 1 e 2 são os q-bits alvo, e os q-bits 3 e 4 são os q-bits de controle. Assim 
como as portas CNOT e Toffoli, a porta Fredkin também é reversível. 
 Exemplo 3: aplique a porta Fredkin, num estado quântico com 4 q-bits 
|ψ0⟩ = (|0010⟩ + |0110⟩ + |1010⟩ + |1110⟩) 2⁄ , tendo os q-bits alvo 1 e 2 e q-bits 
de controle 3 e 4. 
 
 
6 
Este estado quântico é uma superposição de quatro estados, normalizado 
com o fator 1 2⁄ . Como são 4 q-bits, teremos 24 = 16 elementos no vetor coluna 
deste vetor: 
|𝜓0⟩ =
1
2
(|0010⟩ + |0110⟩ + |1010⟩ + |𝟏𝟏𝟏𝟎⟩) =
1
2
[
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
0
0
1
0
0
0
1
0
0
0
1
0
0
0
1
0]
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Aplicando a porta Fredkin sobre o estado, tem-se: 
|𝜓1⟩ = 𝐹𝑟𝑒𝑑𝑘𝑖𝑛(12)34|𝜓0⟩ =
[
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1 0
0 1
0 0
0 0
0 0
0 0
1 0
0 1
0 0
0 0
0 0
0 0
0 0
0 0
0 0
0 0
0 0
0 0
0 0
0 0
0 0
0 0
0 0
0 0
1 0
0 1
0 0
0 0
0 0
0 0
1 0
0 1
0 0
0 0
0 0
0 0
0 0
0 0
0 0
0 0
0 0
0 0
0 0
0 0
0 0
0 0
0 0
0 0
0 0
0 0
0 0
0 0
0 0
0 0
0 0
0 0
0 0
0 0
0 0
0 0
0 0
0 0
0 0
0 0
0 0
0 0
0 0
0 0
0 0
0 0
0 0
0 0
00
0 0
0 0
0 0
0 0
0 0
0 0
0 0
0 0
0 0
0 0
0 0
0 0
0 0
0 0
0 0
0 0
0 0
0 0
0 0
0 0
0 0
0 0
0 0
1 0
0 1
0 0
0 0
0 0
0 0
1 0
0 1
0 0
0 0
0 0
0 0
0 0
0 0
0 0
0 0
0 0
0 0
0 0
0 0
0 0
0 0
0 0
0 0
1 0
0 0
0 0
1 0
0 1
0 0
0 0
0 1]
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
.
1
2
[
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
0
0
1
0
0
0
1
0
0
0
1
0
0
0
1
0]
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
=
[
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
0
0
1
0
0
0
1
0
0
0
1
0
0
1
0
0]
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
=
1
2
(|0010⟩ + |0110⟩ + |1010⟩ + |𝟏𝟏𝟎𝟏⟩) 
A aplicação da porta Fredkin sobre o estado quântico superposto 
|𝜓0⟩ alterou apenas o último estado. Deve-se notar que, à medida que são 
utilizados mais q-bits, as matrizes tendem a crescer exponencialmente. Após o 
tema do produto externo, será apresentada a notação de projetor ou de produto 
externo, a qual facilita lidar com circuitos contendo vários q-bits, ao invés da 
representação matricial. 
 
 
7 
TEMA 2 – CIRCUITOS QUÂNTICOS 
Da mesma forma que em um circuito digital clássico, no qual podem ser 
combinadas portas lógicas para produzir determinada configuração de bits de 
saída, na computação quântica são criados os circuitos quânticos, 
combinando-se um conjunto de portas quânticas para a obtenção de um estado 
quântico desejado. A representação mais comum para um circuito quântico 
considera os q-bits como sendo “fios”, representando o estado de uma partícula 
evoluindo no tempo. Na Figura é mostrado um circuito quântico genérico U, 
havendo um estado combinado de entrada |q1,|q2...|qn, o processamento 
mediante um conjunto de portas quânticas, e o estado de saída resultante 
|q’1,|q’2...|q’n. Os estados quânticos são manipulados utilizando-se as portas 
quânticas, de forma que apenas ao final é feita a medida para se saber os 
estados dos q-bits resultantes. O símbolo da medida é colocado ao final de cada 
fio representando o q-bit. 
Figura 2 – Representação genérica de um circuito quântico 
 
 Pode-se representar o circuito quântico U da figura como sendo um 
operador que mapeia o conjunto de q-bits |𝑞1, |𝑞2. . . |𝑞𝑛 para |𝑞’1, |𝑞’2. . . |𝑞’𝑛, 
da seguinte forma: 
 1 2 1 2: | | ... | | ' | ' ... | 'n nU q q q q q q       
Ao contrário dos circuitos lógicos clássicos, um circuito quântico não 
permite realimentação ou feedback. Enquanto um circuito digital pode ter 
diferentes direções e sentidos de propagação de um sinal, o estado dos q-bits 
em um circuito quântico evolui da esquerda para a direita. Uma característica 
 
 
8 
importante dos circuitos quânticos, inexistente nos circuitos clássicos, é a 
reversibilidade. Um estado quântico final pode ter sua ordem de evolução 
invertida no tempo, sendo aplicado à saída das portas quânticas, e o estado 
inicial pode ser, portanto, recuperado. Esse conceito está de acordo com a 
mecânica quântica, por meio da equação de Schröedinger, na qual o 
hamiltoniano, que é a função de evolução unitária no tempo aplicada sobre um 
estado quântico, sempre existe e possui inversa (Aharonov, 1998). 
A ordem de aplicação de várias portas, apesar de o circuito evoluir da 
esquerda para a direita, é representada no sentido contrário. O próximo exemplo 
ilustra esta situação. 
Exemplo 4: faça o diagrama para um circuito quântico de 3 q-bits da 
sequência de operações U = Toffoli123X3X2, com estado inicial |ψ0⟩ = |001⟩, que 
simula a porta lógica OR (com estradas nos q-bits 2 e 3 e saída no q-bit 1). 
O operador U se refere à aplicação, primeiro, de uma porta X no q-bit 2; a 
seguir, a porta X novamente no q-bit 3, e a porta Toffoli tendo como q-bit alvo o 
primeiro q-bit e os q-bits 2 e 3 como os de controle. O circuito quântico 
equivalente com as representações gráficas das portas é: 
 
Note que primeiramente é aplicada a porta 𝑋2, logo após a 𝑋3 e, por fim, 
a porta 𝑇𝑜𝑓𝑓𝑜𝑙𝑖(1)23. 
Exemplo 5: com base no diagrama, referente ao meio somador em 
representação quântica, elabore a sequência de operações respectiva. 
 
Pode-se notar no circuito a presença de uma porta Toffoli e outra porta 
CNOT. Assim, a equação com a sequência das operações é representada como 
𝑈 = 𝐶𝑁𝑂𝑇23𝑇𝑜𝑓𝑓𝑜𝑙𝑖(1)23 
 
 
9 
Note que as operações são colocadas em sentido inverso. O meio 
somador é estruturado de forma que os q-bits 2 e 3 são as entradas. O q-bit 1 
deve inicializar como |0⟩, sendo que, depois das operações aplicadas, o 
resultado da soma é colocado no q-bit 2 e o carry bit estará no q-bit 1. 
Exemplo 6 – combinação de portas: calcule a porta U resultante da 
sequência das duas portas Z e X (nessa ordem). 
Um circuito quântico 𝑈 pode ser representado apenas por uma matriz que 
é o resultado da multiplicação matricial das portas que a compõe: 
 
A sequência será (repare na ordem): 
𝑈 = 𝑋𝑍 = [
1 0
0 −1
] . [
0 1
1 0
] = [
0 1
−1 0
] 
Exemplo 7 – produto tensorial de portas: para o circuito de 2 q-bits 
mostrado a seguir, mostre o operador na forma matricial. 
 
Este é um exemplo típico para demonstrar a necessidade de se fazer o 
produto tensorial na aplicação de uma porta de 1 q-bit para um circuito de 2 q-
bits. Note que a porta 𝑋 está aplicada ao primeiro q-bit. Entretanto, como temos 
dois q-bits, são necessários 22 = 4 elementos para representação do estado 
quântico na forma vetorial. Como não é aplicada nenhuma porta ao q-bit 2, 
simula-se a aplicação da matriz 𝐼 (identidade) ao segundo q-bit. Dessa forma, é 
necessário o produto tensorial 𝐼 ⊗ 𝑋 (nesta ordem) para gerar o operador para 
dois q-bits: 
𝑈 = 𝑋1 = 𝐼 ⊗ 𝑋 = [
1 0
0 1
] ⊗ [
0 1
1 0
] = [
0 1
1 0
0 0
0 0
0 0
0 0
0 1
1 0
] 
Exemplo 8 – produto tensorial de portas: para o circuito de 2 q-bits 
mostrado a seguir, mostre o operador na forma matricial. 
 
 
10 
 
Este exemplo é semelhante ao anterior. No entanto, os operadores estão 
invertidos, e a inversão dos operadores levará a um produto tensorial diferente. 
Agora, a porta quântica 𝑋 está no segundo q-bit. Isto indica que o operador na 
forma 𝑋 ⊗ 𝐼. No primeiro, será considerada a aplicação da porta 𝐼 (identidade). 
𝑈 = 𝑋2 = 𝑋 ⊗ 𝐼 = [
0 1
1 0
] ⊗ [
1 0
0 1
] = [
0 0
0 0
1 0
0 1
1 0
0 1
0 0
0 0
] 
Compare o resultado com o que foi obtido anteriormente. 
Exemplo 9: obtenha em notação matricial o operador para o circuito 
quântico que produz o estado de Bell, contendo uma porta Hadamard e uma 
porta CNot. 
 
Tem-se, portanto, um circuito de 2 q-bits, com a porta Hadamard no 
segundo q-bit. A porta 𝐶𝑁𝑜𝑡 possui o alvo no primeiro q-bit e o controle no 
segundo q-bit. Para indicar estas ligações, utilizar-se-á os índices 𝐶𝑁𝑜𝑡12, em 
que o primeiro índice é o q-bit alvo e o segundo índice o q-bit de controle. Para 
2 q-bits, tem-se um operador 4x4, que será construído a partir das duas portas. 
Em primeiro lugar, a porta Hadamard deve compor um operador 4x4, 
resultante do produto tensorial com a matriz identidade. Dessa forma, tem-se: 
𝐻2 = 𝐻 ⊗ 𝐼 
O índice 2 na porta composta indica que a operação Hadamard é aplicada 
no segundo q-bit. Por isso, note a precedência da porta H sobre a matriz 
identidade. Assim, a porta 𝐻2 será: 
𝐻2 = 𝐻 ⊗ 𝐼 =
1
√2
[
1 1
1 −1
] ⊗ [
1 0
0 1
] =
1
√2
[
1 0
0 1
1 0
0 1
1 0
0 1
−1 0
0 −1
] 
 
 
11 
TEMA 3 – SUPERPOSIÇÃO E INTERFERÊNCIA 
A utilidade da porta Hadamard pode ser visualizada na geração de 
estados superpostos de vários q-bits. Por exemplo, o circuito da Figura gera 
uma superposição de oito estados para três q-bits. 
Figura 3 – Circuito com 3 portas Hadamard para gerar 8 estados superpostos 
 
Exemplo 10 – geração de estados superpostos: faça a representação 
matricial do operador H ⊗ H ⊗ H e aplique sobre o estado |ψ0⟩ = |000⟩. 
Representando o operador resultante com subíndices nos 3 q-bits, o 
operador 𝐻123 é obtido pelo produto tensorial aplicado duas vezes sobre a porta 
𝐻. 
𝐻123 =
1
√2
[
1 1
1 −1
] ⊗
1
√2
[
1 1
1 −1
] ⊗
1
√2
[
1 1
1 −1
] =𝐻123 =
1
2√2
[
1 1
1 −1
1 1
1 −1
1 1
1 −1
−1 −1
−1 1
] ⊗ [
1 1
1 −1
]
=
1
2√2
[
 
 
 
 
 
 
1 1
1 −1
1 1
1 −1
1 1
1 −1
−1 −1
−1 1
1 1
1 −1
1 1
1 −1
1 1
1 −1
−1 −1
−1 1
1 1
1 −1
1 1
1 −1
1 1
1 −1
−1 −1
−1 1
−1 −1
−1 1
−1 −1
−1 1
−1 −1
−1 1
1 1
1 −1 ]
 
 
 
 
 
 
 
Lembrando que o estado |000⟩ também é um produto tensorial: 
|000⟩ = [
1
0
] ⊗ [
1
0
] ⊗ [
1
0
] = [
1
0
0
0
] ⊗ [
1
0
] =
[
 
 
 
 
 
 
 
1
0
0
0
0
0
0
0]
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
12 
A aplicação deste operador sobre o estado quântico inicial irá produzir: 
|𝜓1⟩ = 𝐻123|𝜓0⟩ =
1
2√2
[
 
 
 
 
 
 
1 1
1 −1
1 1
1 −1
1 1
1 −1
−1 −1
−1 1
1 1
1 −1
1 1
1 −1
1 1
1 −1
−1 −1
−1 1
1 1
1 −1
1 1
1 −1
1 1
1 −1
−1 −1
−1 1
−1 −1
−1 1
−1 −1
−1 1
−1 −1
−1 1
1 1
1 −1 ]
 
 
 
 
 
 
.
[
 
 
 
 
 
 
 
1
0
0
0
0
0
0
0]
 
 
 
 
 
 
 
=
1
2√2
[
 
 
 
 
 
 
1
1
1
1
1
1
1
1]
 
 
 
 
 
 
= 
Representando na notação de Dirac: 
|𝜓1⟩ =
1
2√2
(|000⟩ + |001⟩ + |010⟩ + |011⟩ + |100⟩ + |101⟩ + |110⟩ + |111⟩) 
A partir da entrada dos três q-bits |𝜓 = |000, as portas Hadamard 
aplicadas irão gerar o seguinte estado superposto |𝜓’: 
 
1
| ' | 000 | 001 | 010 | 011 |100 |101 |110 |111
2 2
           
Ou ainda, com representação decimal: 
 
1
| ' | 0 |1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7
2 2
           
Ou, como uma série ou somatório, para facilitar a representação: 
7
0
1
| ' |
2 2 i
i

   
A superposição de estados é um dos recursos que torna a computação 
quântica peculiar, sendo a base para muitos algoritmos quânticos. Os estados 
superpostos indicam que o q-bit assume, ao mesmo tempo, todos os estados 
que fazem parte da superposição. Quando tal estado é processado pelas 
próximas portas quânticas do circuito, todos os estados que fazem parte são 
processados simultaneamente, mantendo-se a superposição (Aharonov, 1998). 
O estado superposto cessa somente quando se faz a medida do estado quântico. 
Assim, a porta Hadamard faz com que todos os estados resultantes tenham igual 
probabilidade de obtenção após a medida. Com relação ao exemplo anterior, 
quando se mede o estado |’, apenas um dentre os oito estados será retornado, 
com probabilidade 1/8 = 2|1/ 2 2 | . 
 
 
13 
Portanto, para n q-bits, o resultado da superposição é estendido para: 
1
0
1
| ' |
2
n
n
i
i


   
Pode-se verificar o poder da computação quântica em trabalhar de forma 
exponencial com todos os 2n estados possíveis simultaneamente. O problema 
se coloca, a partir daí, é como extrair tal informação exponencial do sistema 
quântico (Aharonov, 1998). Quando se observa ou se procede a medida do 
sistema, acontece o colapso da função de onda. Esse colapso faz com que 
apenas um dos estados manipulados anteriormente em forma de superposição 
seja recuperável, e o montante de informação exponencial acaba se perdendo. 
Para obter vantagem do paralelismo exponencial, deve-se combiná-lo com outro 
aspecto quântico, a interferência. A Figura 4 ilustra o fenômeno da interferência 
entre ondas. 
Figura 4 – Fenômeno de interferência; em (a), dez ondas de diferentes 
frequências e amplitudes; em (b), o resultado da interferência das ondas 
 
 A interferência permite que muitas computações sejam feitas em paralelo, 
exponencialmente, havendo cancelamento tal como o que acontece devido à 
interferência destrutiva de ondas. A meta, portanto, é combinar o cancelamento 
de forma que apenas aquelas computações que são de interesse permaneçam, 
e todas as restantes sejam descartadas. Isso pode ser visualizado no 
funcionamento do algoritmo quântico de busca de Grover, por exemplo. 
 
 
14 
TEMA 4 – PRODUTO INTERNO E ORTONORMALIDADE 
A notação de Dirac permite também a definição do vetor dual. Assim como 
um estado quântico, pode ser representado na forma de vetor coluna: 









| 
Existe o vetor linha, que na notação de Dirac assume a forma ⟨𝜓| =
 [𝛼∗ 𝛽∗]. O vetor ⟨𝜓|, também denominado de bra, não é somente o vetor coluna 
transposto para linha, mas as amplitudes 𝛼∗ e 𝛽∗ são conjugados complexos. 
4.1 Produto interno 
A noção de vetor dual permite a definição do produto interno entre dois 
vetores ou estados |𝜓⟩ e |𝜙⟩ como sendo ⟨𝜓|𝜙⟩, em que ⟨𝜓| = (|𝜓⟩)†. Por 
exemplo, tendo-se o vetor coluna com os seguintes componentes: 









| 
O produto interno entre os vetores |𝜓⟩ e |𝜙⟩ é dado por: 
* * * *|

       

 
       
 
 
O produto interno tem como resultado um número escalar, com ⟨𝜓│𝜙⟩ ∈
ℂ, de maneira diferente do produto tensorial, cujo resultado é outro vetor de 
dimensões mais altas no espaço de Hilbert. 
4.2 Ortogonalidade 
A definição de ortogonalidade entre vetores pode ser obtida do produto 
interno. Se |𝜓⟩ e |𝜙⟩ são dois vetores distintos no espaço de Hilbert, tais vetores 
são ortogonais se e somente se 
| 0    
Os vetores ortogonais permitem a definição de uma base para a 
representação no espaço de Hilbert. Como visto no início da seção, os estados 
 
 
15 
|0⟩ e |1⟩ constituem uma base para representação vetorial no espaço de Hilbert, 
pois fazendo-se o produto interno entre os dois estados: 
0 |1 1| 0 0      
Porém, a condição de ortogonalidade é necessária, mas não é suficiente 
para a formação de uma base. Os estados precisam ainda ser normalizados. O 
produto interno permite o cálculo da norma de um vetor: 
|| || |     
Um vetor está normalizado se for um vetor unitário, ou seja, se sua norma 
‖𝜓‖ = 1. A normalização de um vetor é feita dividindo-se o vetor por sua norma: 
|
|| ||



 
Pode-se verificar que a base {|0⟩, |1⟩} possui vetores unitários, ou seja: 
0 | 0 1|1 1      
Portanto, a base de estados {|0⟩, |1⟩} que possui as duas condições, a de 
ortogonalidade e normalização, é dita ortonormal. Em mecânica quântica e 
computação quântica, apenas a adoção de uma base ortonormal permite a 
distinguibilidade de estados quânticos em um sistema (Nielsen; Chuang, 2005). 
4.3 Autovalores e autovetores 
Um autovetor de um operador linear 𝐴 é um vetor |𝑣⟩, em um espaço 
vetorial, tal que 𝐴|𝑣⟩ = 𝑣|𝑣⟩, em que o número complexo 𝑣 é chamado de 
autovalor de 𝐴 associado a |𝑣⟩. Para encontrar os autovalores e autovetores de 
uma matriz, é necessário calcular o polinômio característico: 
𝑑𝑒𝑡|𝐴 − 𝜆𝐼| = 0 
As soluções para esse polinômio são os autovalores de 𝐴. 
As matrizes hermitianas, tais como as portas X e Z, possuem 
propriedades peculiares: 
 
 
16 
a) se o operador 𝐴 é igual à sua hermitiana 𝐴∗, então o valor da expressão 
⟨𝜓|𝐴|𝜓⟩ sempre retorna um número real; 
b) os autovalores de uma matriz hermitiana sempre são números reais; 
c) os autovetores associados aos autovalores de uma matriz hermitiana são 
ortogonais. 
Uma matriz unitária 𝑈 é aquela que multiplicada por sua hermitiana 
resulta na matriz identidade, ou seja, 𝑈𝑈∗ = 𝐼. Esta propriedade é importante, 
pois se um operador é unitário, significa que preserva o produto interno. Dessa 
forma, todos os autovalores de um operador unitário sempre terão módulo 1. 
 Exemplo 11: calcule os autovalores e autovetores para a porta X. 
Para se obter os autovalores da porta X, deve-se calcular det(A − λI) =
0, em que det é o determinante da expressão entre parênteses. Assim, para a 
porta X: 
𝑑𝑒𝑡(𝐴 − 𝜆𝐼) = |[
0 1
1 0
] − 𝜆 [
1 0
0 1
]| = |
−𝜆 1
1 −𝜆
| = 𝜆2 − 1 = 0. 
Obtém-se os autovalores 𝜆 = ±1. Para obter os autovetores, faz-se 
primeiro para 𝜆 = 1: 
[
0 1
1 0
] . [
𝑥
𝑦] = 𝜆 [
𝑥
𝑦] = [
𝑥
𝑦] 
Com as equações 0. 𝑥 + 1. 𝑦 = 𝑥 e 1. 𝑥 + 0. 𝑦 = 𝑦. Portanto, um autovetor 
para o autovalor 𝜆 = 1 é 𝑣1 = (1, 1). Para 𝜆 = −1, os autovetores serão: 
[
0 1
1 0
] . [
𝑥
𝑦] = (−1) [
𝑥
𝑦] = [
−𝑥
−𝑦] 
Com as equações 0. 𝑥 + 1. 𝑦 = 𝑦 = −𝑥 e 1. 𝑥 + 0. 𝑦 = 𝑥 = −𝑦. Portanto, 
um autovetor para 𝜆 = −1 será 𝑣2 = (−1,1 ).Exemplo 12: demonstre as propriedades para o operador hermitiano X. A 
primeira propriedade requer que ⟨𝜓│𝐴│𝜓⟩ ∈ ℝ. Essa operação é idêntica ao 
produto do vetor dual ⟨𝜓| pelo produto 𝐴│𝜓⟩. Pode-se representar então o vetor 
|𝜓⟩ contendo as amplitudes 𝛼 e 𝛽 ∈ ℂ, ou seja, números complexos: 
|𝜓⟩ = [
𝛼
𝛽] = [
𝑎 + 𝑏𝑖
𝑐 + 𝑑𝑖
] 
 
 
17 
Portanto, o vetor dual será (lembrando do conjugado complexo): 
⟨𝜓| = [𝛼∗ 𝛽∗] = [𝑎 − 𝑏𝑖 𝑐 − 𝑑𝑖] 
Assim, fazendo a operação 𝑋|𝜓⟩: 
𝑋|𝜓⟩ = [
0 1
1 0
] . [
𝛼
𝛽] = [
𝛽
𝛼
] 
 Fazendo o produto com o vetor dual, tem-se: 
⟨𝜓|𝑋|𝜓⟩ = [𝛼∗ 𝛽∗]. [
𝛽
𝛼
] = 𝛼∗𝛽 + 𝛽∗𝛼 = 
= (𝑎 − 𝑏𝑖)(𝑐 + 𝑑𝑖) + (𝑎 + 𝑏𝑖)(𝑐 − 𝑑𝑖) = 
= 𝑎𝑐 + 𝑎𝑑𝑖 − 𝑏𝑐𝑖 − 𝑏𝑑𝑖2 + 𝑎𝑐 − 𝑎𝑑𝑖 + 𝑏𝑐𝑖 − 𝑏𝑑𝑖2 = 
2𝑎𝑐 + 2𝑏𝑑 ∈ ℝ. 
Portanto, mesmo que o vetor seja um número complexo, o resultado da 
operação ⟨𝜓│𝐴│𝜓⟩ será um número real. 
Para a segunda propriedade, utiliza-se o resultado do exemplo anterior, 
no qual os autovalores obtidos para o operador 𝑋 foram 𝜆 = ±1 ∈ ℝ. 
Para a terceira propriedade, utilizam-se os autovetores obtidos do 
exemplo anterior e calcula-se o produto interno entre eles. Assim: 
⟨𝑣1|𝑣2⟩ = 1.1 + 1. (−1) = 0 
Portanto, os autovetores obtidos são ortogonais. 
 Exemplo 13: uma base alternativa para a representação de q-bits é 
{|+⟩, |−⟩}, em que os vetores são dados por: 
|+⟩ =
1
√2
[
1
1
] e |−⟩ =
1
√2
[
1
−1
] 
Verifique se essa base é ortonormal. 
A base compõe-se dos estados produzidos pela aplicação da porta 
Hadamard na base {|0⟩, |1⟩}. Para verificar a ortogonalidade, o produto interno 
deve ser zero: 
⟨+|−⟩ =
1
√2
.
1
√2
+
1
√2
. (−
1
√2
) = 0 
 
 
18 
Para verificar se a base é ortonormal, deve-se calcular a norma e verificar 
se os vetores são unitários. Assim: 
‖|+⟩‖ = √⟨+|+⟩ = √
1
√2
.
1
√2
+
1
√2
.
1
√2
= √
1
2
+
1
2
= 1 
‖|−⟩‖ = √⟨−|−⟩ = √
1
√2
.
1
√2
+ (−
1
√2
) . (−
1
√2
) = √
1
2
+
1
2
= 1 
Os vetores são unitários. Portanto, a base {|+⟩, |−⟩} é uma base 
ortonormal. Caso a norma fosse diferente de 1, os componentes de cada vetor 
deveriam ser divididos pela norma. 
TEMA 5 – PRODUTO EXTERNO 
Tal como mostrado no produto interno entre dois estados, o qual produz 
um escalar complexo, existe a operação do produto externo, na qual é feita 
uma multiplicação vetorial como o apresentado a seguir (Nielsen; Chuang, 
2005). Seja | e | dois vetores de estados quaisquer, com amplitudes | = [ 
]T e |=[ ] T, representa-se o produto externo na forma ||: 
* *
* *
* *
| | .
  
   
  
  
        
   
 
O produto externo gera um novo operador, com base nos vetores de 
origem. Um operador na forma de produto externo pode ser aplicado a um vetor 
qualquer. Seja |’ um vetor, aplicando o operador produto externo || ao 
vetor: 
(| |) | ' | | '         
Pode ser entendido também como a multiplicação do número complexo 
|’ pelo vetor |. Se |’ = [a b]T, então: 
* * * *
* * * *
(| |) | ' .
a a b
b a b
   
  
   
    
       
    
 
Fazendo a multiplicação de | pelo número complexo |’: 
 
 
19 
* *
* * * *
* *
| | ' . . ( )
a a b
a b
b a b
   
      
   
      
                      
 
Uma aplicação importante da notação de produto externo é permitir a 
representação de qualquer operador linear nesta forma (Nielsen; Chuang, 2005). 
A representação da base de estados ortonormal (|0, |1) pode ter a seguinte 
representação de produto externo: 
 
 
 
 
1 1 0
| 0 0 | 1 0 .
0 0 0
0 0 0
| 0 1| 1 0 .
1 1 0
1 0 1
|1 0 | 0 1 .
0 0 0
0 0 0
|1 1| 0 1 .
1 0 1
   
     
   
   
     
   
   
     
   
   
     
   
 
 Por exemplo, os operadores de Pauli podem ser representados na forma 
de produto externo: 
0 1 0 1 0 0
|1 0 | | 0 1|
1 0 0 0 1 0
1 0 1 0 0 0
| 0 0 | |1 1|
0 1 0 0 0 1
0 0 1 0 0
(| 0 1| |1 0 |)
0 0 0 1 0
X
Z
i
Y i i i
i
     
           
     
     
           
      
      
           
     
 
Por exemplo, a operação quântica dada pela porta X, que inverte um q-bit 
no estado |=|0 + |1, pode ser representada pela multiplicação do produto 
externo pelo estado do q-bit considerado: 
| (|1 0 | | 0 1|) | |1 | | 0 |X            0 1  
Entretanto: 
 
 
0 | 0 | ( | 0 |1 ) 0 | 0 0 |1 1 0 .
1| 1| ( | 0 |1 ) 1| 0 1|1 0 1 .

     


     

 
               
 
 
               
 
 
 
 
20 
A expressão anterior fica com o resultado: 
| |1 | | 0 | | 0 |1X            0 1  
A representação de produto externo também é utilizada para expressar o 
operador de medida. 
Exemplo 14: faça a combinação de portas XZ, utilizando a notação 
matricial e a notação de produto externo. 
O circuito quântico para essa composição é representado a seguir 
(desconsidere o estado inicial do q-bit): 
 
Esta composição irá atuar em estados de 1 q-bit. Primeiro, fazendo pela 
multiplicação matricial: 
𝑋𝑍 = [
0 1
1 0
] . [
1 0
0 −1
] = [
0 −1
1 0
] 
Em notação de produto externo: 
𝑋𝑍 = (|0⟩⟨1| + |1⟩⟨0|). (|0⟩⟨0| − |1⟩⟨1|) = 
= |0⟩⟨𝟏|𝟎⟩⟨0|−|0⟩⟨𝟏|𝟏⟩⟨1| + |1⟩⟨𝟎|𝟎⟩⟨0| − |1⟩⟨𝟎|𝟏⟩⟨1| = 
Como a base {|0⟩, |1⟩} é ortonormal, os produtos internos ⟨𝑖|𝑗⟩ = 1 para 
𝑖 = 𝑗 e ⟨𝑖|𝑗⟩ = 0 para 𝑖 ≠ 𝑗, tem-se: 
= −|0⟩⟨1| + |1⟩⟨0| 
Exemplo 15: faça a combinação de portas ZX, utilizando a notação 
matricial e a notação de produto externo. 
Agora, o circuito quântico é representado por: 
 
O produto de duas matrizes não é uma operação que comuta. Portanto, o 
resultado anterior não pode ser associado à inversão dos operadores. Assim, em 
notação matricial: 
𝑋𝑍 = [
1 0
0 −1
] . [
0 1
1 0
] = [
0 1
−1 0
] 
 
 
21 
Em notação de produto externo: 
𝑋𝑍 = (|0⟩⟨0| − |1⟩⟨1|). (|0⟩⟨1| + |1⟩⟨0|) = 
= |0⟩⟨𝟎|𝟎⟩⟨1| + |0⟩⟨𝟎|𝟏⟩⟨0| − |1⟩⟨𝟏|𝟎⟩⟨1| − |1⟩⟨𝟏|𝟏⟩⟨0| = 
= |0⟩⟨1| − |1⟩⟨0| 
Note a diferença obtida com relação ao exemplo anterior. 
Exemplo 16: descubra o operador representado pelo circuito a seguir: 
 
Utilizando multiplicação matricial, o operador pode ser simbolizado por: 
 𝑋𝑍 = [
0 1
1 0
] . [
0 1
1 0
] = [
1 0
0 1
] = 𝐼 
A porta 𝑋 aplicada duas vezes produz a matriz identidade. Ou seja, 
aplicando-se a um estado qualquer, o q-bit retorna ao estado inicial. 
𝑋𝑋 = (|0⟩⟨1| + |1⟩⟨0|). (|0⟩⟨1| + |1⟩⟨0|) = 
|0⟩⟨0| + |1⟩⟨1| 
Portanto, o operador 𝑋 é unitário. 
Exemplo 17: para o circuito de 2 q-bits mostrado a seguir, mostre o 
operador na forma matricial e na forma de produto externo. 
 
Note que a porta 𝑋 está aplicada ao primeiro q-bit. Entretanto, como temos 
dois q-bits, são necessários 22 = 4 elementos para representação da base. 
Como não é aplicada nenhuma porta ao q-bit 2, simula-se a aplicação da porta 
𝐼 (identidade) ao segundo q-bit. Dessa forma, é necessário o produto tensorial 
𝐼 ⊗ 𝑋 (nesta ordem) para gerar o operador para dois q-bits. 
Portanto, 
 
 
22 
𝐼 ⊗ 𝑋 = [
1 0
0 1
] ⊗ [
0 1
1 0
] = [
0 1
1 0
0 0
0 0
0 0
0 0
0 1
1 0
] 
A operação não é a mesma da multiplicação matricial. O produto tensorial 
de duas matrizes 2x2 gera uma matriz 4x4. 
Em notação de produto externo, tem-se: 
𝐼 ⊗ 𝑋 = (|0⟩⟨0| + |1⟩⟨1|) ⊗ (|0⟩⟨1| + |1⟩⟨0|) = 
O q-bit com a operação identidade tem precedência sobre o q-bit da 
operação X. Cada elemento deve ser multiplicado tensorialmente, gerando uma 
representação de 2 q-bits: 
= |00⟩⟨01| + |01⟩⟨00| + |10⟩⟨11| + |11⟩⟨10| 
Ao invés de números binários, pode-se utilizar números decimais: 
= |0⟩⟨1| + |1⟩⟨0| + |2⟩⟨3| + |3⟩⟨2| 
Note a simplicidade para a resolução pelo produto tensorial. À medida que 
sefaz o produto tensorial de mais q-bits, a notação em produto externo se torna 
mais vantajosa do que a notação matricial. 
Exemplo 18: obtenha o operador para o circuito quântico que produz o 
estado de Bell, contendo uma porta Hadamard e uma porta CNot: 
 
Tem-se, portanto, um circuito de 2 q-bits, com a porta Hadamard no 
segundo q-bit. A porta 𝐶𝑁𝑜𝑡 possui o alvo no primeiro q-bit e o controle no 
segundo q-bit. Para indicar essas ligações, utilizar-se-á os índices 𝐶𝑁𝑜𝑡12, sendo 
o primeiro índice o q-bit alvo e o segundo, o q-bit de controle. Para 2 q-bits, tem-
se um operador 4x4, que será construído a partir das duas portas. 
Em primeiro lugar, a porta Hadamard deve compor um operador 4x4, 
resultante do produto tensorial com a matriz identidade. Dessa forma, tem-se: 
𝐻2 = 𝐻 ⊗ 𝐼 
 
 
23 
O índice 2 na porta composta indica que a operação Hadamard é aplicada 
no segundo q-bit. Por isso, note a precedência da porta H sobre a matriz 
identidade. Assim, a porta 𝐻2será: 
𝐻2 = 𝐻 ⊗ 𝐼 =
1
√2
[
1 1
1 −1
] ⊗ [
1 0
0 1
] =
1
√2
[
1 0
0 1
1 0
0 1
1 0
0 1
−1 0
0 −1
] 
Em notação de produto externo (já colocando a representação em 
decimal): 
𝐻2 = 𝐻 ⊗ 𝐼 =
1
√2
(|0⟩⟨0| + |0⟩⟨1| + |1⟩⟨0| − |1⟩⟨1|) ⊗ (|0⟩⟨0| + |1⟩⟨1|) 
=
1
√2
(|0⟩⟨0| + |0⟩⟨2| + |1⟩⟨1| + |1⟩⟨3| + |2⟩⟨0| − |2⟩⟨2| + |3⟩⟨1| − |3⟩⟨3|) 
O operador 𝐻2 pode agora ser combinado com a porta 𝐶𝑁𝑜𝑡12. A porta 
𝐶𝑁𝑜𝑡 é um operador para 2 q-bits, sendo uma matriz 4x4. Então, basta fazer a 
multiplicação matricial entre os dois operadores (note a precedência: a porta 
𝐶𝑁𝑜𝑡12 é aplicada depois da porta Hadamard): 
𝐶𝑁𝑜𝑡12 𝐻2 =
1
√2
[
1 0
0 1
1 0
0 1
1 0
0 1
−1 0
0 −1
] . [
1 0
0 1
0 0
0 0
0 0
0 0
0 1
1 0
] =
1
√2
[
1 0
0 1
0 1
1 0
1 0
0 1
0 −1
−1 0
] 
Utilizando a notação de produto externo (e economizando o passo do 
produto interno ortonormal): 
𝐶𝑁𝑜𝑡12 𝐻2 =
1
√2
(|0⟩⟨0| + |0⟩⟨2| + |1⟩⟨1| + |1⟩⟨3| + |2⟩⟨0| − |2⟩⟨2| + |3⟩⟨1|
− |3⟩⟨3|) 
(|0⟩⟨0| + |1⟩⟨1| + |2⟩⟨3| + |3⟩⟨2|) = 
𝐶𝑁𝑜𝑡12 𝐻2 =
1
√2
(|0⟩⟨0| + |0⟩⟨3| + |1⟩⟨1| + |1⟩⟨2| + |2⟩⟨0| − |2⟩⟨3| + |3⟩⟨1|
− |3⟩⟨2|) 
A porta 𝐻2 foi colocada antes da porta 𝐶𝑁𝑜𝑡12. Note também a baixa 
complexidade do produto externo em relação à multiplicação matricial. 
 
 
 
24 
Exemplo 19: calcule o operador para o circuito quântico T1 = I ⊗ T. 
Trata-se de uma porta 𝑇 que deve produzir um operador 4x4, resultante 
do produto tensorial com a matriz identidade. Dessa forma, tem-se: 
𝑇1 = 𝐼 ⊗ 𝑇 = [
1 0
0 1
] ⊗ [
1 0
0 𝑒𝑖𝜋 4⁄
] = [
1 0
0 𝑒𝑖𝜋 4⁄
0 0
0 0
0 0
0 0
1 0
0 𝑒𝑖𝜋 4⁄
] 
Em notação de produto externo: 
𝑇1 = 𝐼 ⊗ 𝑇 = (|0⟩⟨0| + |1⟩⟨1|) ⊗ (|0⟩⟨0| + 𝑒
𝑖𝜋 4⁄ |1⟩⟨1|) = 
= |00⟩⟨00| + 𝑒𝑖𝜋 4⁄ |01⟩⟨01|+|10⟩⟨10| + 𝑒𝑖𝜋 4⁄ |11⟩⟨11| 
Utilizando números decimais: 
𝑇1 = 𝐼 ⊗ 𝑇 = |0⟩⟨0| + 𝑒
𝑖𝜋 4⁄ |1⟩⟨1| + |2⟩⟨2| + 𝑒𝑖𝜋 4⁄ |3⟩⟨3| 
Tomando como base os exemplos, pode-se verificar que o uso da notação 
de produto externo tende a ser mais “econômico” em relação à notação em forma 
de matriz. 
FINALIZANDO 
Esta aula buscou expandir o aprendizado sobre computação quântica, 
adicionando as portas de mais de um q-bit (SWAP, Toffoli e Fredkin), além de 
mostrar os circuitos quânticos e a forma como um estado quântico pode evoluir 
por meio da aplicação das portas quânticas. Mostrou-se ainda a forma como 
pode ser gerado um estado em superposição, que será importante no estudo do 
paralelismo quântico. Vimos também conceitos da álgebra linear, como produto 
interno, ortogonalidade, ortonormalidade, autovalores e autovetores, e a 
representação de produto externo, que apresenta vantagens em sua adoção 
sobre a forma matricial, à medida que são adicionados mais q-bits a um circuito. 
 
 
 
25 
REFERÊNCIAS 
AHARONOV, D. Quantum computation. In: Annual Reviews of Computational 
Physics. 5. ed. Dietrich Stauffer World Scientific, 1998. 
NIELSEN, M. A.; CHUANG, I. L. Computação quântica e informação 
quântica. Porto Alegre: Bookman, 2005.