Estatística - Aula Probabilidade

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PROBABILIDADE – Aula 07/10 
A probabilidade representa o desafio de prever um resultado futuro em função da multiplicidade dos 
eventos cuja possibilidade de ocorrência é estudada. 
Definições 
 PONTO AMOSTRAL: é qualquer um dos resultados possíveis. 
 ESPAÇO AMOSTRAL: é o conjunto de todos os resultados possíveis. Representaremos o 
espaço amostral por S e o número de elementos do espaço amostral por n(S). 
 EVENTO: é qualquer subconjunto do espaço amostral. Representamos o evento por A e o 
número de elementos do evento por n (A). 
 ∅ : evento impossível, pois nunca ocorre. 
 S : evento certo, pois sempre ocorre. 
Conceito de Probabilidade 
A probabilidade representa a relação entre o número de casos favoráveis ao que se estuda em relação 
ao número possível de casos 
��������	�
�
� 
� �
����� �� ������� 
���� = �º 
� ������� �����á�����º 
� ������� ������� =
�������
���. �������	 =
����
���� 
Exemplo 1) Na experiência de jogar um dado honesto de seis faces, numeradas de 1 a 6, e fazer a 
leitura da face voltada para cima, temos: 
a) O ponto amostral é a face numerada ou apenas o número; 
b) O espaço amostral é o conjunto S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}; 
c) O número de elementos do espaço amostral é n(S) = 6; 
d) O evento número par é o conjunto � = !2, 4, 6& ⊂ �; 
e) O número de elementos do evento número par é n(A1) = 3; 
f) A probabilidade do evento número par é ½, pois 
��� � =
��� �
���� =
3
6 =
1
2 
g) O evento número menor que três é o conjunto �* = !1, 2& ⊂ �; 
h) O número de elementos do evento número menor que três é n(A2) = 2; 
i) A probabilidade do evento número menor que três é 1/3, pois 
���*� =
���*�
���� =
2
6 =
1
3 
Exemplo 2) Na experiência de retirar uma carta de um baralho comum de 52 cartas, temos: 
a) O ponto amostral é a carta; 
b) O espaço amostral é o conjunto S de todas as cartas do baralho e, portanto, n(S) = 52; 
c) O evento “dama” é o conjunto A1 ⊂ S formado pela dama de copas, dama de paus, dama de ouros 
e dama de espadas e, portanto, n(A1) = 4; 
d) A probabilidade do evento “dama” é 1/13, pois 
��� � =
��� �
���� =
4
52 =
1
13 
Propriedades de um espaço amostral finito e não vazio 
a) A probabilidade do evento impossível é zero e do evento certo é 1. 
P(∅) = 0 e P(S) = 1 
b) Se A for um evento qualquer S, então 0 ≤ ���� ≤ 1 
União de Eventos 
Se A e B forem dois eventos de um espaço amostral S, finito e não vazio, então: 
 
��� ∪ /� = ���� + ��/� − ��� ∩ /� ⟺ ��� ∪ /����� =
����
���� +
��/�
���� −
��� ∩ /�
���� 
e portanto: 
��� ∪ /� = ���� + ��/� − ��� ∩ /� 
Eventos mutuamente exclusivos 
 
Se �� ∩ /� = ∅, então A e B serão chamados mutuamente exclusivos. Note que ��� ∩ /� = 0 e 
portanto 
��� ∪ /� = ���� + ��/� 
Eventos exaustivos 
Os eventos A1, A2, A3, ..., An de S, dois a dois, mutuamente exclusivos, são chamados exaustivos se 
A1 ∪ A2 ∪ A3 ∪ ... ∪ An = S. 
 
Neste caso, temos: 
P(A1 ∪ A2 ∪ A3 ∪ ... ∪ An) = P(A1) + P(A2) + P(A3) + ... + P(An) 
P(A1 ∪ A2 ∪ A3 ∪ ... ∪ An) = P(S) = 1 
Assim sendo: P(A1) + P(A2) + P(A3) + ... + P(An) = 1 
Exercícios 
1) Joga-se, ao acaso, um dado “honesto” de seis faces numeradas de 1 a 6 e lê-se o número da face 
voltada para cima. Calcular a probabilidade de obter um número maior do que 4. 
2) Numa urna existem 4 bolas numeradas de 1 a 4 que diferem apenas pela numeração. Retiram-se 
duas bolas ao acaso e simultaneamente. Qual a probabilidade de se obterem bolas com números que têm 
soma par? 
3) Retirando, ao acaso, uma carta de um baralho comum de 52 cartas, qual é a probabilidade de 
obter-se “uma dama ou uma carta de copas”? 
4) Retirando, ao acaso, uma carta de um baralho comum de 52 cartas, qual é a probabilidade de 
obter-se “uma dama ou um rei”? 
Probabilidade Condicionada 
Dados dois eventos A e B de um espaço amostral S, finito e não vazio, chama-se probabilidade de B 
condicionada a A, a probabilidade de ocorrer B sabendo que já ocorreu A. Representa-se por P(B/A). 
Assim: ��//�� = 5�6∩7�5�6� 
Exemplo) Retirado-se uma carta de um baralho comum de 52 cartas, qual a probabilidade de obter-se 
uma dama, sabendo-se que a carta é de copas? 
 Sendo A o evento “carta de copas” e B o evento “dama”, temos n(A) = 13, n(B) = 4 e 
n(A ∩ B) = 1. 
 Assim: � 8769 =
5�6∩7�
5�6� =
 
 : 
Eventos independentes 
Dois eventos A e B de um espaço amostral S, finito e não vazio, são independentes se, e somente se, 
P(A/B) = P(A); P(B/A) = P(B). 
Intersecção de Eventos 
Se A e B forem dois eventos de um espaço amostral S, finito e não vazio, então: 
 
Assim sendo, 
 
Se A e B forem eventos independentes, então P(B/A) = P(B), P(A/B) = P(A) e portanto 
 
Existem duas maneiras de verificar se os eventos A e B são independentes: utilizar a definição ou 
calcular a probabilidade de . Simbolicamente: 
 
Exemplo 1) Na experiência de jogar, aleatoriamente, um dado “honesto” de seis faces numeradas de 
1 a 6, verificar se os eventos “número dois” e “número par” são independentes.