Razão e Proporção - 2 ano pdf

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GOVERNO DO ESTADO DE PERNAMBUCO – GRÉ MATA NORTE 
UNIVERSIDADE DE PERNAMBUCO – CAMPUS MATA NORTE 
ESCOLA DE APLICAÇÃO PROFESSOR CHAVES 
 
Nota de Aula-Matemática II- 2º Ano 
Prof: André Fellipe 
 
 
 
 
RAZÃO E PROPORÇÂO 
 
RAZÃO: Chama-se de razão o quociente entre dois números reais a e b, sendo b diferente de 0 
 
Representa-se por: 
b
a
 ou a: b Lê-se: “a está para b” 
 
PROPORÇÂO: Chama-se de proporção a igualdade entre razões. 
Proporção: 
d
c
b
a
 ou a: b = c: d Lê-se: “a está para b assim como c está para d”. 
Temos que a e d são os extremos enquanto que b e c são os meios. 
 
RELAÇÃO FUNDAMENTAL DAS PROPORÇÕES: “Em toda proporção o produto dos meios é sempre igual 
ao produto dos extremos.” 
Exemplo: 3361212182
18
122
 xxexmeioseeextremos
x
. 
 
RAZÕES ESPECIAIS 
 
1) ESCALA: Quando um engenheiro faz a planta de um prédio, ele não pode fazer no tamanho real, por isso 
ele faz uma redução proporcional das medidas reais para que seja possível representá-las nessa planta. 
Essa redução segue um parâmetro definido pelo engenheiro. Esse parâmetro é chamado escala. 
 
Assim: 
REALOCOMPRIMENT
DESENHONOOCOMPRIMENT
ESCALA  
 
Exemplo. Numa planta de um escritório, medindo-se uma das paredes, obteve-se 1,5 cm. Sabendo que a 
escala do desenho é 1:400, qual a medida real dessa parede? 
 
Solução. 
600x
400
1
x
5,1
400
1
real.comp
desnehono.comp
 . 
Logo, a parede tem 600 cm, ou seja, 6 m. 
 
GRANDEZAS DIRETAMENTE PROPORCIONAIS 
 
Exemplo: Um forno tem sua produção de ferro fundido de acordo com a tabela abaixo: 
Tempo (minutos) Produção (Kg) 
5 100 
10 200 
15 300 
20 400 
Observe que uma grandeza varia de acordo com a outra. Essas grandezas são variáveis dependentes. 
Observe que: 
2 
 
Quando duplicamos o tempo, a produção também duplica. 
 5 min ----> 100 Kg 
10 min ----> 200 Kg 
Quando triplicamos o tempo, a produção também triplica. 
 5 min ----> 100 Kg 
15 min ----> 300 Kg 
Assim: “Duas grandezas variáveis dependentes são diretamente proporcionais quando, aumentando ou 
diminuindo uma das grandezas, a outra aumenta ou diminui na mesma proporção. 
Verifique na tabela que a razão entre dois valores de uma grandeza é igual à razão entre os dois valores 
correspondentes da outra grandeza. 
 
 
 
GRANDEZAS INVERSAMENTE PROPORCIONAIS 
 
Exemplo: Um ciclista faz um treino para a prova de "1000 metros contra o relógio", mantendo em cada volta 
uma velocidade constante e obtendo, assim, um tempo correspondente, conforme a tabela abaixo: 
Velocidade (m/s) Tempo (s) 
5 200 
8 125 
10 100 
16 62,5 
20 50 
Observe que uma grandeza varia de acordo com a outra. Essas grandezas são também, como no exemplo 
anterior, variáveis dependentes. Porém, observe que: 
Quando duplicamos a velocidade, o tempo fica reduzido à metade. 
 5 m/s ----> 200 s 
10 m/s ----> 100 s 
Quando quadriplicamos a velocidade, o tempo fica reduzido à quarta parte. 
 5 m/s ----> 200 s 
20 m/s ----> 50 s 
Assim: “Duas grandezas variáveis dependentes são inversamente proporcionais quando, aumentando ou 
diminuindo uma delas, a outra diminui ou aumenta na mesma proporção. 
Verifique na tabela que a razão entre dois valores de uma grandeza é igual ao inverso da razão entre os dois 
valores correspondentes da outra grandeza. 
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REGRA DE TRÊS: Quando trabalhamos com grandezas proporcionais, em duas situações diferentes, 
podemos achar uma dessas grandezas em função das outras. Esse processo é denominado regra de três. 
Uma regra de três pode ser simples ou composta, conforme relacione duas grandezas (simples) ou mais 
de duas grandezas (composta). A regra de três pode ser também direta, inversa ou direta e inversa. Será 
direta quando relacionar apenas grandezas diretamente proporcionais, inversa quando relacionar apenas 
grandezas inversamente proporcionais e direta e inversa quando relacionar grandezas dos dois tipos. 
 
Exemplo 1. Um professor gasta 40 minutos, dirigindo a 60 km/h, para se deslocar da UESC III para a UE 
Realengo. Em quanto tempo este professor faria este percurso se a velocidade fosse 80 km/h? 
Solução. Lembrar de colocar grandezas de mesma unidade na mesma coluna: 
 
 40 min ____________60 Km/h 
 x ____________ 80Km/h 
 
Como estão envolvidas apenas duas grandezas, trata-se de regra de três simples. Agora, analisar se 
são grandezas direta ou inversamente proporcionais. Como, quando a velocidade aumenta o tempo 
diminui, trata-se de grandezas inversamente proporcionais. Quando formos montar as razões para fazer a 
equação, a razão 
80
60
 deverá ser invertida. 
 Assim: 30240080
60
8040
 xx
x
.Logo, o professor fará o percurso em 30 minutos. 
 
Exemplo 2. 12 tecelões em 90 dias de trabalho com jornada de 8 horas diárias produzem 36 m de carpete. 
Quantos dias levarão 15 tecelões para fazer 12 m de carpete com o dobro da largura, trabalhando 6 horas 
por dia? 
Solução. Vamos colocar grandezas de mesma unidade na mesma coluna. 
 
 Operários Dias Horas/Dia Metros 
 12 90 8 36 
 15 x 6 24 
 
Como se trata de uma regra de três composta, devemos comparar a grandeza onde está a variável 
com cada uma das demais, uma de cada vez, considerando que todas as outras fiquem constantes. 
1º) Operários e nº de dias: Se aumenta o número de operários, diminui o nº de dias. Grandezas 
inversamente proporcionais. 
 
2º) Horas/dia e nº de dias: Se diminui as horas trabalhadas por dia, aumenta o número de dias. Grandezas 
inversamente proporcionais. 
 
3º) Metros e nº de dias: Se diminui o número de metros, diminui o número de dias. Grandezas diretamente 
proporcionais. 
 
Ao montar agora a equação, as grandezas inversamente proporcionais devem vir invertidas. Assim: 
diasxndosimplifica
x
64
24
36
8
6
12
1590
 
 
 
 
 
 
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EXERCÍCIOS 
 
Regra de Três Simples 
 
1) Uma roda dá 80 voltas em 20 minutos. Em 28 minutos, quantas voltas essa roda dará? 
 
2) Com 8 eletricistas podemos fazer a instalação de uma casa em 3 dias. Quantos dias levarão 6 
eletricistas, para fazer o mesmo trabalho? 
 
 3) Com 6 pedreiros podemos construir uma parede em 8 dias. Quantos dias gastarão 3 pedreiros 
para fazer a mesma parede? 
 
4) Uma fábrica engarrafa 3.000 refrigerantes em 6 horas. Quantas horas levará para engarrafar 
4.000 refrigerantes? 
 
5) Quatro marceneiros fazem um armário em 18 dias. Em quantos dias 9 marceneiros fariam o 
mesmo armário? 
 
6) Trinta operários constroem uma casa em 120 dias. Em quantos dias 40 operários construiriam 
essa casa? 7) Uma torneira despeja em um tanque 50 litros de água em 20 minutos. Quantas horas 
levará para despejar 600 litros? 
 
8) Na construção de uma escola foram gastos 15 caminhões de 4 m³ de areia. Quantos caminhões 
de 6 m³ seriam necessários para fazer o mesmo trabalho? 
 
9) Com 14 litros de tinta podemos pintar uma parede de 35 m². Quantos litros são necessários para 
pintar uma parede de 15 m²? 
 
10) Um ônibus, a uma velocidade média de 60 km/h, fez um percurso em 4 horas. Quanto tempo 
levará, aumentando a velocidade média para 80 km/h? 
 
11) Para obter 28 Kg de farinha, são necessários 40 Kg de trigo. Quantos quilogramas do mesmo 
trigo são necessários para obter 7 Kg de farinha? 
 
12) Cinco pedreiros fazem uma casa em 30 dias. Quantos dias levarão 15 pedreiros para fazer a 
mesma casa? 13) Uma máquina produz 100 peças em 25 minutos. Quantas peças produzirá em 1 
hora? 
 
13) Um automóvel faz um percurso de 5 horas à velocidade média de 60 km/h. Se a velocidade 
média fosse de 75 km/h, quantashoras gastaria para fazer o mesmo percurso? 
 
14) Uma máquina fabrica 5.000 alfinetes em 2 horas. Quantos alfinetes ela fabricará em 7 horas? 
 
15) Quatro quilogramas de um produto químico custam R$ 24.000,00. Quanto custarão 7,2Kg 
desse mesmo produto? 
 
16) Oito operários fazem uma casa em 30 dias. Quantos dias gastarão 12 operários para fazer a 
mesma casa? 
 
17) Uma torneira despeja 2.700 litros de água em uma hora e meia. Quantos litros despeja em 14 
minutos? 
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18) Quinze homens fazem um trabalho em 10 dias, desejando-se fazer o mesmo trabalho em 6 
dias, quantos homens serão necessários? 
19) Um ônibus, à velocidade de 90 km/h, fez um percurso em 4 horas. Quanto tempo levaria, se 
aumentasse a velocidade para 120 km/h? 
 
Respostas: 1) 112 voltas 2) 4 dias 3) 16 dias 4) 8 horas 5) 8 dias 6) 90 dias 7) 4 horas 8) 10 
caminhões 9) 6 litros 10) 3 horas 11) 10 Kg 12) 10 dias 13) 240 peças 14) 4 horas 15) 17.500 
alfinetes 16) R$ 43.200,00 17) 20 dias 18) 420 litros 19) 25 homens 20) 3 horas 
 
Exercícios de Regra de Três Composta 
 
1) Uma olaria produz 1.470 tijolos em 7 dias, trabalhando 3 horas por dia. Quantos tijolos 
produzirão em 10 dias, trabalhando 8 horas por dia? 
 
2) Oitenta pedreiros constroem 32 metros de muro em 16 dias. Quantos pedreiros serão 
necessários para construir 16 metros de muro em 64 dias? 
 
 3) Um homem percorre 2.232 km em 6 dias, correndo 12 horas por dia. Quantos quilômetros 
percorrerão em 10 dias, correndo 14 horas por dia? 
 
4) Numa fábrica, 12 operários trabalhando 8 horas por dia conseguem fazer 864 caixas de papelão. 
Quantas caixas serão feitas por 15 operários que trabalhem 10 horas por dia? 
 
5) Vinte máquinas, trabalhando 16 horas por dia, levam 6 dias para fazer um trabalho. Quantas 
máquinas serão necessárias para executar o mesmo serviço, se trabalharem 20 horas por dia, 
durante 12 dias? 
 
6) Numa indústria têxtil, 8 alfaiates fazem 360 camisas em 3 dias, quantos alfaiates são 
necessários para que sejam feitas 1.080 camisas em 12 dias? 
 
7) Um ciclista percorre 150 km em 4 dias, pedalando 3 horas por dia. Em quantos dias faria uma 
viagem de 400 km, pedalando 4 horas por dia? 
 
 8) Uma máquina fabricou 3.200 parafusos, trabalhando 12 horas por dia, durante 8 dias. Quantas 
horas deverá trabalhar por dia, para fabricar 5.000 parafusos em 15 dias? 
 
9) Três torneiras enchem uma piscina em 10 horas. Quantas horas levarão 10 torneiras para 
encher duas piscinas? 
 
10) Uma equipe composta de 15 homens extrai, em 30 dias, 3,6 toneladas de carvão. Se for 
aumentada para 20 homens, em quantos dias conseguirão extrair 5,6 toneladas de carvão? 
 
11) Vinte operários, trabalhando 8 horas por dia, gastam 18 dias para construir um muro de 300 
metros. Quanto tempo levará uma turma de 16 operários, trabalhando 9 horas por dia, para 
construir um muro de 225 metros? 
 
12) Um caminhoneiro entrega uma carga em um mês (30 dias), viajando 8 horas por dia, a uma 
velocidade média de50 km/h. Quantas horas por dia ele deveria viajar para entregar essa carga em 
20 dias, a uma velocidade média de 60 km/h? 
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13) Com certa quantidade de fio, uma fábrica produz 5.400 metros de tecido com 90 centímetros de 
largura em 50 minutos. Quantos metros de tecido, com 1 metro e 20 centímetros de largura, seriam 
produzidos em 25 minutos? 
 
14) Para pintar 20 metros de muro de 80 centímetros de altura, foram gastas 5 latas de tinta. 
Quantas latas de tinta serão gastas para pintar 16 metros de muro de 60 centímetros de altura? 
 
15) Três máquinas imprimem 9.000 cartazes em 12 dias. Em quantos dias 8 máquinas imprimem 
12.000 cartazes, trabalhando o mesmo número de horas por dia? 
 
16) Na fabricação de 20 camisetas, 8 máquinas gastam 4 horas. Para produzir 15 camisetas, 4 
máquinas gastam quantas horas? 
 
17) Nove operários produzem 5 peças em 8 dias. Quantas peças serão produzidas por 12 operários 
em 6 dias? 
 
18) Em 7 dias.40 cachorros consomem 100 Kg de ração. Em quantos dias, 15 cachorros 
consumirão 75 Kg de ração? 
 
Respostas: 1) 5.600 tijolos 2) 10 pedreiros 3) 4.340 quilômetros 4) 1.350 caixas 5) 8 máquinas 6) 6 
alfaiates 7) 8 dias 8) 10 horas 9) 6 horas 10) 35 dias 11) 15 dias 12) 10 horas por dia 13) 2.025 
metros 14) 3 latas 15) 6 dias 16) 6 horas 17) 5 peças 18) 14 dias.