Análise de flexão de placas por diferentes teorias

Prévia do material em texto

Universidade Estadual do Norte Fluminense Darcy Ribeiro 
Centro de Ciência e Tecnologia – CCT 
Curso: Engenharia Civil 
 
 
 
 
 
 
 
Relatório do período compreendido entre (06/2016) e (04/2017) 
 
 
 
 
 
Bolsista: George Barbosa de Souza 
Matrícula: 115110082 
Orientador (a): Vânia José Karam 
Plano de trabalho: Análise de flexão de placas por diferentes teorias. 
Fonte financiadora da bolsa: CNPQ 
 
 
Campos dos Goytacazes - RJ 
Abril de 2017 
1. INTRODUÇÃO 
As placas são usualmente definidas como elementos estruturais 
limitados por duas superfícies geralmente planas. A superfície neutra é 
equidistante às duas superfícies limites, cuja a distância entre estas 
superfícies, chamada espessura, é pequena se comparada com as outras duas 
dimensões. 
O estudo do comportamento estrutural de placas, sejam estas 
enrijecidas ou não, é de extrema importância devido à sua vasta aplicação em 
muitas estruturas civis e militares, como, por exemplo, em uma laje de ponte ou 
de edifício, na fuselagem de um avião, no casco de um navio, entre outros. 
Nos projetos de estruturas, o dimensionamento dos elementos 
estruturais, tais como as placas, requer, inicialmente, a análise dos esforços 
solicitantes que atuam nas mesmas, sendo também de interesse o cálculo de 
deslocamentos e deformações nesses elementos estruturais. 
A análise de flexão de placas pode ser feita por diferentes teorias e as 
mais usuais são a de Kirchhoff, a de Mindlin e a de Reissner. A teoria de 
Kirchhoff (Timoshenko e Woinowsky-Krieger, 1970; Ugural, 1981; Reddy, 2007; 
Ugural, 2009) admite que as seções normais ao plano da superfície média antes 
da deformação permaneçam retas e, além disso, permaneçam normais à 
superfície média após a deformação. É uma teoria muito utilizada, no entanto, 
torna-se menos precisa à medida que a espessura da placa aumenta. As 
teorias de Mindlin e de Reissner (Mindlin, 1951; Reissner, 1945) não desprezam 
os efeitos das deformações cisalhantes, sendo, portanto, válidas também para 
placas de altura moderada. 
Os métodos analíticos de análise possuem certas limitações em relação 
aos tipos de cargas e geometria. Com o objetivo de minimizar essa situação, 
foram criados métodos numéricos para análise. Os métodos numéricos mais 
conhecidos e utilizados atualmente são o Método das Diferenças Finitas 
(MDF), o Método dos Elementos Finitos (MEF) e o Método dos Elementos de 
Contorno (MEC). O MDF transforma equações diferenciais em equações 
algébricas válidas apenas nos nós dentro do domínio, através de aproximações 
das derivadas por diferenças finitas, enquanto que o MEF (Owen e Hinton, 1980; 
Bathe, 1996; Soriano, 2002) transforma o próprio domínio em uma série de 
subdomínios finitos, chamados elementos finitos, conectados através de seus 
nós, sendo as variáveis sobre cada elemento governadas por funções 
aproximadas contínuas. Já o MEC (Brebbia et al, 1984) caracteriza-se por 
discretização do contorno do problema apenas ou, dependendo do caso, pela 
discretização do contorno e também do domínio ou de parte deste. Este 
método usa a solução fundamental do problema e também usa funções de 
interpolação. 
 
1.1 Objetivos: 
 
Este trabalho tem como objetivo analisar as diferenças entre as teorias 
de Kirchhoff e Mindlin/Reissner para a análise de flexão de placas de diferentes 
formas e carregamentos, por métodos analíticos e numéricos, com a finalidade 
de se verificar os limites de validade da teoria mais aproximada em relação às 
menos aproximadas. Objetiva também analisar o comportamento do MEF com 
o uso destas teorias. 
 
2. METODOLOGIA 
 
2.1 Teoria de Kirchhoff 
 
Utilizando como base as hipóteses da Teoria de Kirchhoff, considera-se 
uma placa de espessura t, com geometria qualquer, isotrópica, homogênea e 
de comportamento linear elástico. O plano xy coincide com o plano médio, 
sendo, assim, a deflexão em z igual a zero, conforme mostra a figura 1. As 
componentes do deslocamento num ponto nas direções x, y e z são u, v e w, 
respectivamente. 
Quando, devido a carregamentos laterais, existe deformação, a 
superfície média num ponto qualquer (xa,ya) tem deflexão w. 
 
 
 
 
Figura 1: Sistema de referência e configuração deformada. 
 
 
O campo de deslocamentos fica expresso por: 
𝑢𝑢 = −𝑧𝑧 
𝜕𝜕𝜕𝜕(𝑥𝑥,𝑦𝑦)
𝜕𝜕𝑥𝑥
 (1) 
v = −𝑧𝑧 
𝜕𝜕𝜕𝜕(𝑥𝑥,𝑦𝑦)
𝜕𝜕𝑦𝑦
 (2) 
𝜕𝜕 = 𝜕𝜕(𝑥𝑥,𝑦𝑦) (3) 
 
2.2 Relação Deformação-Deslocamento 
As relações geométricas entre deformações e deslocamentos podem ser 
escritas como: 
𝜀𝜀𝑥𝑥 = 
𝑑𝑑𝑢𝑢
𝑑𝑑𝑥𝑥
= −𝑧𝑧
𝜕𝜕 𝜕𝜕2
𝜕𝜕𝑥𝑥2
 (4) 
𝜀𝜀𝑦𝑦 = 
𝑑𝑑𝑑𝑑
𝑑𝑑𝑦𝑦
= −𝑧𝑧
𝜕𝜕 𝜕𝜕2
𝜕𝜕𝑦𝑦2
 (5) 
𝜀𝜀𝑧𝑧 = 
𝑑𝑑𝜕𝜕
𝑑𝑑𝑧𝑧
= 0 (6) 
𝛾𝛾𝑥𝑥𝑦𝑦 = 
𝜕𝜕𝑢𝑢
𝜕𝜕𝑦𝑦
+ 
𝜕𝜕𝑑𝑑
𝜕𝜕𝑥𝑥
= −2𝑧𝑧
𝜕𝜕 𝜕𝜕2
𝜕𝜕𝑥𝑥𝜕𝜕𝑦𝑦
 (7) 
 
2.3 Relação Deformação-Curvatura 
A curvatura de uma curva plana é definida como a taxa de variação do 
ângulo do declive da curva em relação à distância ao longo da curva. 
Devido ao pressuposto de que o quadrado de um declive pode ser 
considerado desprezível e as derivadas parciais das equações anteriores 
representam as curvaturas da placa, as curvaturas k na superfície media em 
planos paralelos ao plano xz, yz e xy são, respectivamente: 
 
1
𝑟𝑟𝑥𝑥
= 
𝜕𝜕
𝜕𝜕𝑥𝑥 �
𝜕𝜕𝜕𝜕
𝜕𝜕𝑥𝑥�
= 𝑘𝑘𝑥𝑥 (8) 
1
𝑟𝑟𝑦𝑦
= 
𝜕𝜕
𝜕𝜕𝑦𝑦 �
𝜕𝜕𝜕𝜕
𝜕𝜕𝑦𝑦�
= 𝑘𝑘𝑦𝑦 (9) 
1
𝑟𝑟𝑥𝑥𝑦𝑦
= 
𝜕𝜕
𝜕𝜕𝑥𝑥 �
𝜕𝜕𝜕𝜕
𝜕𝜕𝑦𝑦�
= 𝑘𝑘𝑥𝑥𝑦𝑦 (10) 
sendo 𝑘𝑘𝑥𝑥𝑦𝑦 = 𝑘𝑘𝑦𝑦𝑥𝑥. 
A equação (10) refere-se à torção do plano médio em relação aos eixos 
x e y. 
 
2.4 Relação Tensão-Deformação 
As deformações 𝜀𝜀𝑧𝑧, 𝛾𝛾𝑥𝑥𝑧𝑧 e 𝛾𝛾𝑦𝑦𝑧𝑧 podem ser negligenciadas. As relações 
tensão-deformação podem ser escritas na como: 
𝜎𝜎𝑥𝑥 = − 
𝐸𝐸𝑧𝑧
1 − 𝑑𝑑2
�
𝜕𝜕 𝜕𝜕2
𝜕𝜕𝑥𝑥2
+ 𝑑𝑑
𝜕𝜕 𝜕𝜕2
𝜕𝜕𝑦𝑦2
� (11) 
𝜎𝜎𝑦𝑦 = − 
𝐸𝐸𝑧𝑧
1 − 𝑑𝑑2
�
𝜕𝜕 𝜕𝜕2
𝜕𝜕𝑦𝑦2
+ 𝑑𝑑
𝜕𝜕 𝜕𝜕2
𝜕𝜕𝑥𝑥2
� (12) 
𝜏𝜏𝑥𝑥𝑦𝑦 = − 
𝐸𝐸𝑧𝑧
1 + 𝑑𝑑
�
𝜕𝜕 𝜕𝜕2
𝜕𝜕𝑥𝑥𝜕𝜕𝑦𝑦
� (13) 
com: 
𝐺𝐺 = 
𝐸𝐸
2(1 + 𝑑𝑑)
 (14) 
 
onde E, 𝑑𝑑 e G são, respectivamente, o módulo de elasticidade longitudinal, o 
coeficiente de Poisson e o módulo de elasticidade transversal do material. 
 
2.5 Tensão e Resultante de Tensões 
No caso de um estado de tensão tridimensional, as tensões e 
deformações estão relacionadas pela lei de Hooke generalizada, válida para 
um material isotrópico e homogêneo. 
As tensões distribuídas ao longo da espessura da placa produzem 
momentos fletores, momentos torsores e forças de cisalhamento. 
Estes momentos e forças por unidade de comprimento são conhecidos 
por resultantes de tensões. Os momentos são expressos pelas equações: 
𝑀𝑀𝑥𝑥 = −𝐷𝐷�𝑘𝑘𝑥𝑥 + 𝑑𝑑𝑘𝑘𝑦𝑦� = −𝐷𝐷 �
𝜕𝜕 𝜕𝜕2
𝜕𝜕𝑥𝑥2
+ 𝑑𝑑
𝜕𝜕 𝜕𝜕2
𝜕𝜕𝑦𝑦2
� (15) 
𝑀𝑀𝑦𝑦 = −𝐷𝐷�𝑘𝑘𝑦𝑦 + 𝑑𝑑𝑘𝑘𝑥𝑥� = −𝐷𝐷 �
𝜕𝜕 𝜕𝜕2
𝜕𝜕𝑦𝑦2
+ 𝑑𝑑
𝜕𝜕 𝜕𝜕2
𝜕𝜕𝑥𝑥2
� (16) 
𝑀𝑀𝑥𝑥𝑦𝑦 = −𝐷𝐷(1 − 𝑑𝑑)𝑘𝑘𝑥𝑥𝑦𝑦 = −𝐷𝐷(1 − 𝑑𝑑)
𝜕𝜕 𝜕𝜕2
𝜕𝜕𝑥𝑥𝜕𝜕𝑦𝑦
 (17) 
onde D é a rigidez de flexão dada por: 
𝐷𝐷 =
𝐸𝐸𝑡𝑡3
12(1 − 𝑑𝑑2)
 (18) 
Substituindo as equações dos momentos nas equações das tensões, 
podem-se obter as tensões em função dos momentos, expressas por: 
𝜎𝜎𝑥𝑥 =
12𝑀𝑀𝑥𝑥
𝑡𝑡3
 𝑧𝑧 (19) 
𝜎𝜎𝑦𝑦 =
12𝑀𝑀𝑦𝑦
𝑡𝑡3
 𝑧𝑧 (20) 
𝜏𝜏𝑥𝑥𝑦𝑦 =
12𝑀𝑀𝑥𝑥𝑦𝑦
𝑡𝑡3
 𝑧𝑧 (21) 
A tensão máxima ocorre nas superfícies superior e inferior (em z= 𝑡𝑡/2−+ ) 
da placa. 
2.6 Equação de Equilíbrio 
As resultantes de tensão variam, geralmente, de ponto para ponto numa 
placa carregada. Estas variações são governadaspelas condições de equilíbrio 
da Estática. O cumprimento destas condições estabelece certas relações 
conhecidas por equações de equilíbrio. 
Considera-se um elemento infinitesimal sujeito a um carregamento por 
unidade de área uniformemente distribuído, p, conforme a figura 2. 
 
 
 
Figura 2- Resultantes de tensão e carregamento em um elemento de placa. 
 
Assume-se que a inclusão do peso da placa, sendo um valor pequeno, 
no carregamento p, não afeta a precisão do resultado. 
Uma vez que o elemento de placa é muito pequeno, por simplicidade, 
assume-se que as componentes de força e de momento estão distribuídas 
uniformemente em cada uma das faces da placa. 
Com uma mudança de posição, por exemplo da face esquerda para a 
face direita, a componente do momento Mx que atua na face negativa de x 
varia em valor relativamente à face positiva de x. Esta variação pode ser 
representada por uma série de Taylor truncada: 
 
𝑀𝑀𝑥𝑥 +
𝜕𝜕𝑀𝑀𝑥𝑥
𝜕𝜕𝑥𝑥
𝑑𝑑𝑥𝑥 (22) 
 
Tratando todas as componentes de forma similar, obtém-se o estado das 
resultantes de tensão da figura 2. 
Como o somatório das forças na direção z tem que ser zero e também 
os somatórios de momentos em relação aos eixos x e y têm que ser nulos, 
obtêm-se: 
 
𝜕𝜕𝜕𝜕𝑥𝑥
𝜕𝜕𝑥𝑥
+ 
𝜕𝜕𝜕𝜕𝑦𝑦
𝜕𝜕𝑦𝑦
+ 𝑝𝑝 = 0 (23) 
𝜕𝜕𝑀𝑀𝑥𝑥𝑦𝑦
𝜕𝜕𝑥𝑥
+ 
𝜕𝜕𝑀𝑀𝑦𝑦
𝜕𝜕𝑦𝑦
− 𝜕𝜕𝑦𝑦 = 0 (24) 
𝜕𝜕𝑀𝑀𝑥𝑥
𝜕𝜕𝑥𝑥
+ 
𝜕𝜕𝑀𝑀𝑥𝑥𝑦𝑦
𝜕𝜕𝑦𝑦
− 𝜕𝜕𝑥𝑥 = 0 (25) 
 
Resolvendo as equações de equilíbrio dos momentos em relação às 
forças por unidade de comprimento e substituindo os resultados na equação do 
equilíbrio das forças anterior, resulta na equação: 
 
𝜕𝜕 𝑀𝑀𝑥𝑥2
𝜕𝜕𝑥𝑥2
+ 2
𝜕𝜕 𝑀𝑀𝑥𝑥𝑦𝑦2
𝜕𝜕𝑥𝑥𝜕𝜕𝑦𝑦
+
𝜕𝜕 𝑀𝑀𝑦𝑦2
𝜕𝜕𝑦𝑦2
= −𝑝𝑝 (26) 
 
Esta é a equação diferencial de equilíbrio para flexão de placas esbeltas. 
Escrevendo esta equação em termos de deslocamentos, tem-se: 
 
𝜕𝜕 𝜕𝜕4
𝜕𝜕𝑥𝑥4
+ 2
𝜕𝜕 𝜕𝜕4
𝜕𝜕𝑥𝑥2𝜕𝜕𝑦𝑦2
+
𝜕𝜕 𝜕𝜕4
𝜕𝜕𝑦𝑦4
=
𝑝𝑝
𝐷𝐷
 (27) 
 
Podem-se obter as seguintes expressões para as forças cortantes Qx e 
Qy em função da deflexão w: 
𝜕𝜕𝑥𝑥 = −𝐷𝐷
𝜕𝜕
𝜕𝜕𝑥𝑥
�
𝜕𝜕2𝜕𝜕
𝜕𝜕𝑥𝑥2
+
𝜕𝜕2𝜕𝜕
𝜕𝜕𝑦𝑦2
� (28) 
𝜕𝜕𝑦𝑦 = −𝐷𝐷
𝜕𝜕
𝜕𝜕𝑦𝑦
�
𝜕𝜕2𝜕𝜕
𝜕𝜕𝑥𝑥2
+
𝜕𝜕2𝜕𝜕
𝜕𝜕𝑦𝑦2
� (29) 
 
2.7 Condição de Contorno 
A distribuição de tensão na placa tem que ser satisfeita de modo a 
acomodar as condições de equilíbrio em relação às forças ou deslocamentos 
impostos no contorno. Para cada tipo de bordo, devem ser determinadas as 
condições essenciais a que estão submetidos. Nas figuras 3, 4 e 5, têm-se os 
bordos engastado, simplesmente apoiado e livre, com suas respectivas 
condições de contorno. 
 
 Figura 3- Bordo Engastado 
 
 Figura 4- Bordo Simplesmente Apoiado 
𝜕𝜕 = 0 
𝜕𝜕𝜕𝜕
𝜕𝜕𝑥𝑥
= 0, com isto:𝑀𝑀𝑥𝑥𝑦𝑦 = 0 
𝜕𝜕 = 0 
𝑀𝑀𝑥𝑥 = 0,
𝜕𝜕𝜕𝜕
𝜕𝜕𝑦𝑦
=
𝜕𝜕2𝜕𝜕
𝜕𝜕𝑦𝑦2 = 0,𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎:
∂2𝜕𝜕
∂x2
= 0 
 
 Figura 5- Bordo Livre 
 
2.8 Solução de Navier 
Este método foi introduzido por Navier em 1820. Ele propôs que a 
equação de deslocamentos transversais w(x,y) fosse uma solução expandida 
em série dupla de Fourier em senos. A solução desenvolvida por Navier aplica-
se a placas retangulares simplesmente apoiadas em todos os seus bordos. 
Em geral, a solução do problema de flexão de placas faz uso das séries 
de Fourier para deslocamento transversal e carregamento: 
 
𝜕𝜕(𝑥𝑥,𝑦𝑦) = ∑ ∑ 𝑎𝑎𝑚𝑚𝑚𝑚𝑎𝑎𝑎𝑎𝑠𝑠
𝑚𝑚𝑚𝑚𝑥𝑥
𝑎𝑎
𝑎𝑎𝑎𝑎𝑠𝑠 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑦𝑦
𝑏𝑏
∞
𝑚𝑚=1
∞
𝑚𝑚=1 (30) 
𝑝𝑝(𝑥𝑥, 𝑦𝑦) = ∑ ∑ 𝑝𝑝𝑚𝑚𝑚𝑚𝑎𝑎𝑎𝑎𝑠𝑠
𝑚𝑚𝑚𝑚𝑥𝑥
𝑎𝑎
𝑎𝑎𝑎𝑎𝑠𝑠 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑦𝑦
𝑏𝑏
∞
𝑚𝑚=1
∞
𝑚𝑚=1 (31) 
 
e das condições de contorno seguintes: 
𝜕𝜕 = 0 
𝜕𝜕2𝜕𝜕
𝜕𝜕𝑥𝑥2
= 0 (𝑥𝑥 = 0, 𝑥𝑥 = 𝑎𝑎) 
𝜕𝜕 = 0 
𝜕𝜕2𝜕𝜕
𝜕𝜕𝑦𝑦2
= 0 (𝑦𝑦 = 0,𝑦𝑦 = 𝑏𝑏) 
 
sendo amn e pmn constantes que dependem dos números inteiros m e n, 
correspondentes aos números de meias-ondas de seno consideradas nas 
direções x e y, respectivamente. As dimensões a e b são correspondentes aos 
bordos nas direções x e y, respectivamente, conforme mostra a figura 6. 
𝑉𝑉𝑥𝑥 = 0 
𝑀𝑀𝑥𝑥 = 0 
 
Figura 6-Localização do sistema de coordenadas para o método de Navier. 
 
Os coeficientes amn da série são as coordenadas centrais máximas das 
curvas seno e os m’s e os n’s indicam o número de meias curvas seno nas 
direções x e y, respectivamente. Aumentando o número de termos na série, 
aumenta a precisão do resultado. 
Substituindo as equações (30) e (31) na equação diferencial de equilíbrio 
da placa, e evidenciando amn, tem-se: 
𝑎𝑎𝑚𝑚𝑚𝑚 = 
1
𝜋𝜋4𝐷𝐷
𝑝𝑝𝑚𝑚𝑚𝑚
��𝑚𝑚
𝑎𝑎
�
2
+ �𝑚𝑚
𝑏𝑏
�
2
�
2 
Finalmente, substituindo este resultado na equação de w, obtém-se a 
equação de superfície de deflexão da placa: 
𝜕𝜕(𝑥𝑥,𝑦𝑦) =
1
𝜋𝜋4𝐷𝐷
� � 𝑝𝑝𝑚𝑚𝑚𝑚
��𝑚𝑚𝑎𝑎�
2
+�𝑚𝑚𝑏𝑏�
2
�
2
∞
𝑚𝑚=1
∞
𝑚𝑚=1
𝑎𝑎𝑎𝑎𝑠𝑠
𝑎𝑎𝜋𝜋𝑥𝑥
𝑎𝑎
𝑎𝑎𝑎𝑎𝑠𝑠
𝑠𝑠𝜋𝜋𝑦𝑦
𝑏𝑏
 (32) 
Com isto, basta que o coeficiente qmn seja determinado e substituído na 
equação acima para que os deslocamentos em qualquer ponto da placa sejam 
conhecidos. 
Quando uma placa retangular está sujeita a um carregamento 
uniformemente distribuído p(x,y) = p0, os resultados da seção anterior são um 
pouco simplificados. Tem-se como pmn: 
𝑝𝑝𝑚𝑚𝑚𝑚 =
16𝑝𝑝0
𝜋𝜋2𝑎𝑎𝑠𝑠
(𝑎𝑎,𝑠𝑠 = 1,3, … ) (33) 
e, como pmn = 0 para valores pares de m e n, estes só tomam valores ímpares. 
Substituindo pmn na equação (32), obtém-se: 
𝜕𝜕 =
16𝑝𝑝0
𝜋𝜋6𝐷𝐷
�� 1
𝑚𝑚𝑚𝑚��𝑚𝑚𝑎𝑎�
2
+�𝑚𝑚𝑏𝑏�
2
�
2
∞
𝑚𝑚
∞
𝑚𝑚
𝑎𝑎𝑎𝑎𝑠𝑠
𝑎𝑎𝜋𝜋𝑥𝑥
𝑎𝑎
𝑎𝑎𝑎𝑎𝑠𝑠
𝑠𝑠𝜋𝜋𝑦𝑦
𝑏𝑏
(𝑎𝑎,𝑠𝑠 = 1,3, … ) (34) 
A partir da equação de deslocamentos w(x,y), é possível conhecer o 
comportamento estrutural da placa em qualquer ponto, aplicando as equações 
desenvolvidas na teoria de Kirchhoff. 
 
2.9 Placas Analisadas 
Foram analisadas, com base na Teoria de Kirchhoff, placas com bordos 
simplesmente apoiados submetidas a um carregamento uniformemente 
distribuído em suas superfícies. Foi utilizada a Solução de Navier com o auxílio 
do Excel para a solução analítica e foi utilizado o programa computacional 
ANSYS, utilizando o Método dos Elementos Finitos para efeito de comparação 
com a teoria de Mindlin. Ainda com o auxílio do ANSYS, foram obtidos 
resultados para placas de bordos engastados. 
 
Figura 7- Modelo da placa analisada 
 
Dados: 
q = 10 KN/m2 
E = 200GPa 
v= 0,30 
 
São utilizados como dados as propriedades físicas e geométricas 
apresentadas na figura 7. Na série dupla correspondente à solução de Navier, 
foram considerados 20 termos para cada direção da placa. Foram 
consideradas várias espessuras, entre 0,005 m e 0,3 m. 
 
3. Resultados 
Os resultados serão expressos em gráficos comparativos, mostrando os 
resultados obtidos com as expressões analíticas e também pelo método dos 
elementos finitos, para cada espessura considerada. Foram utilizadas bordas 
simplesmente apoiadas e bordas engastadas. 
Os gráficos das figuras 8 a 31 exibem os resultados, para diferentes 
espessuras, na seguinte sequência: 
• figuras 8 a 13, deslocamento transversal ao longo da direção y, 
para y= 1 m, para placa simplesmente apoiada; 
• figuras 14 a 19, deslocamento transversal ao longo da direção y, 
para y= 1 m, para placa engastada; 
• figuras 20 a 22, rotação y, ao longo da direção x, para y= 1 m, 
para placa simplesmente apoiada; 
• figuras 23 a 25, rotação y, ao longo da direção x, para y= 1 m, 
para placa engastada;• figuras 26 a 28, rotação x, ao longo da direção y, para x= 0,5 m, 
para placa simplesmente apoiada; 
• figuras 29 a 31, rotação x, ao longo da direção y, para x= 0,5 m, 
para placa engastada. 
 
Na figura 32, apresenta-se um gráfico com o erro percentual entre as 
duas teorias, calculado com os resultados do MEF, para os casos 
simplesmente apoiado e engastado, à medida que a espessura da placa 
aumenta. 
 
 
Figura 8 - Deslocamento Transversal no meio da placa, Bordas Simplesmente 
Apoiadas. 
 
Figura 9 - Deslocamento Transversal no meio da placa, Bordas Simplesmente 
Apoiadas. 
-0,05
-0,045
-0,04
-0,035
-0,03
-0,025
-0,02
-0,015
-0,01
-0,005
0
x=0 x=0,1 x=0,2 x=0,3 x=0,4 x=0,5 x=0,6 x=0,7 x=0,8 x=0,9 x=1,0
De
slo
ca
m
en
to
s (
m
)
Distancia em X (m)
Deslocamentos Transversais em y=1 m para t=0,005 m
Kirchhoff
Mindlin
Analítico
-0,007
-0,006
-0,005
-0,004
-0,003
-0,002
-0,001
0
x=0 x=0,1 x=0,2 x=0,3 x=0,4 x=0,5 x=0,6 x=0,7 x=0,8 x=0,9 x=1,0
De
slo
ca
m
en
to
 (m
)
Distância em X (m)
Deslocamentos Transversais em y=1 m para t=0,01 m
Kirchhoff
Mindlin
Analítico
 
Figura 10 - Deslocamento Transversal no meio da placa, Bordas Simplesmente 
Apoiadas. 
 
 
Figura 11 - Deslocamento Transversal no meio da placa, Bordas Simplesmente 
Apoiadas. 
-0,00025
-0,0002
-0,00015
-0,0001
-0,00005
0
x=0 x=0,1 x=0,2 x=0,3 x=0,4 x=0,5 x=0,6 x=0,7 x=0,8 x=0,9 x=1,0
De
slo
ca
m
en
to
s (
m
)
Distância em X (m) 
Deslocamentos Transversais em y=1 m para t=0,03 m
Kirchhoff
Mindlin
Analítico
-0,000007
-0,000006
-0,000005
-0,000004
-0,000003
-0,000002
-0,000001
0
x=0 x=0,1 x=0,2 x=0,3 x=0,4 x=0,5 x=0,6 x=0,7 x=0,8 x=0,9 x=1,0
De
slo
ca
m
en
to
 (m
)
Distância em X (m)
Deslocamentos Transversais em y=1 m para t=0,1 m
Kirchhoff
Mindlin
Analítico
 
Figura 19- Deslocamento Transversal no meio da placa, Bordas Simplesmente 
Apoiadas. 
 
 
Figura 103 - Deslocamento Transversal no meio da placa, Bordas 
Simplesmente Apoiadas. 
 
-9E-07
-8E-07
-7E-07
-6E-07
-5E-07
-4E-07
-3E-07
-2E-07
-1E-07
0
x=0 x=0,1 x=0,2 x=0,3 x=0,4 x=0,5 x=0,6 x=0,7 x=0,8 x=0,9 x=1,0
De
slo
ca
m
en
to
 (m
)
Distância em X (m)
Deslocamentos Transversais em y=1 m para t=0,2 m
Kirchhoff
Mindlin
Analítico
-3E-07
-2,5E-07
-2E-07
-1,5E-07
-1E-07
-5E-08
0
x=0 x=0,1 x=0,2 x=0,3 x=0,4 x=0,5 x=0,6 x=0,7 x=0,8 x=0,9 x=1,0
De
slo
ca
m
en
to
 (m
)
DIstância em X(m)
Deslocamentos Transversais em y=1 m para t=0,3 m
Kirchhoff
Mindlin
Analítico
 
Figura 114 - Deslocamento Transversal no meio da placa, Bordas Engastadas. 
 
 
Figura 15- Deslocamento Transversal no meio da placa, Bordas Engastadas. 
 
-0,012
-0,01
-0,008
-0,006
-0,004
-0,002
0
x=0 x=0,1 x=0,2 x=0,3 x=0,4 x=0,5 x=0,6 x=0,7 x=0,8 x=0,9 x=1,0
De
slo
ca
m
en
to
s (
m
)
Distância em X (m)
Deslocamentos Transversais em y=1 m para t=0,005 m
Kirchhoff
Mindlin
-0,0016
-0,0014
-0,0012
-0,001
-0,0008
-0,0006
-0,0004
-0,0002
0
x=0 x=0,1 x=0,2 x=0,3 x=0,4 x=0,5 x=0,6 x=0,7 x=0,8 x=0,9 x=1,0
De
slo
ca
m
en
to
 (m
)
Distância em X (m)
Deslocamentos Transversais em y=1 m para t=0,01 m
Kirchhoff
Mindlin
 
Figura 126- Deslocamento Transversal no meio da placa, Bordas Engastadas. 
 
 
Figura 17 - Deslocamento Transversal no meio da placa, Bordas Engastadas. 
 
-0,00006
-0,00005
-0,00004
-0,00003
-0,00002
-0,00001
0
x=0 x=0,1 x=0,2 x=0,3 x=0,4 x=0,5 x=0,6 x=0,7 x=0,8 x=0,9 x=1,0
De
slo
ca
m
en
to
s (
m
)
Distância em X (m)
Deslocamentos Transversais em y=1 m para t=0,03 m
Kirchhoff
Mindlin
-1,8E-06
-1,6E-06
-1,4E-06
-1,2E-06
-0,000001
-8E-07
-6E-07
-4E-07
-2E-07
0
x=0 x=0,1 x=0,2 x=0,3 x=0,4 x=0,5 x=0,6 x=0,7 x=0,8 x=0,9 x=1,0
De
slo
ca
m
en
to
 (m
)
Distância em X (m)
Deslocamentos Transversais em y=1 m para t=0,1 m
Kirchhoff
Mindlin
 
Figura 138- Deslocamento Transversal no meio da placa, Bordas Engastadas. 
 
 
Figura 149- Deslocamento Transversal no meio da placa, Bordas Engastadas. 
-3E-07
-2,5E-07
-2E-07
-1,5E-07
-1E-07
-5E-08
0
x=0 x=0,1 x=0,2 x=0,3 x=0,4 x=0,5 x=0,6 x=0,7 x=0,8 x=0,9 x=1,0
De
slo
ca
m
en
to
 (m
)
Distância em X (m)
Deslocamentos Transversais em y=1 m para t=0,2 m
Kirchhoff
Mindlin
-1,4E-07
-1,2E-07
-1E-07
-8E-08
-6E-08
-4E-08
-2E-08
0
x=0 x=0,1 x=0,2 x=0,3 x=0,4 x=0,5 x=0,6 x=0,7 x=0,8 x=0,9 x=1,0
De
slo
ca
m
en
to
s (
m
)
Distância em X (m)
Deslocamentos Transversais em y=1 m para t=0,3 m
Kirchhoff
Mindlin
 
Figura 20- Rotação y no meio da placa, na direção x. Bordas Simplesmente 
Apoiadas. 
 
 
Figura 215- Rotação y no meio da placa, na direção x. Bordas Simplesmente 
Apoiadas. 
-0,2
-0,15
-0,1
-0,05
0
0,05
0,1
0,15
0,2
x=0 x=0,1 x=0,2 x=0,3 x=0,4 x=0,5 x=0,6 x=0,7 x=0,8 x=0,9 x=1,0
Ro
ta
çã
o 
em
 y
 (r
ad
)
Distância em X (m)
Rotação y em y=1 m para t=0,005 m
Kirchhoff
Mindlin
-8,00E-04
-6,00E-04
-4,00E-04
-2,00E-04
0,00E+00
2,00E-04
4,00E-04
6,00E-04
8,00E-04
x=0 x=0,1 x=0,2 x=0,3 x=0,4 x=0,5 x=0,6 x=0,7 x=0,8 x=0,9 x=1,0
Ro
ta
çã
o 
Y(
ra
d)
Distância em X (m)
Rotação y em y=1 m para t=0,03 m
Kirchhoff
Mindlin
 
Figura 22- Rotação y no meio da placa, na direção x. Bordas Simplesmente 
Apoiadas. 
 
 
Figura 163- Rotação y no meio da placa, na direção x. Bordas Engastadas. 
-8,00E-07
-6,00E-07
-4,00E-07
-2,00E-07
0,00E+00
2,00E-07
4,00E-07
6,00E-07
8,00E-07
x=0 x=0,1 x=0,2 x=0,3 x=0,4 x=0,5 x=0,6 x=0,7 x=0,8 x=0,9 x=1,0
Ro
ta
çã
o 
Y(
ra
d)
Distância em X (m)
Rotação (y) em y=1 m para t=0,3 m
Kirchhoff
Mindlin
-0,04
-0,03
-0,02
-0,01
0
0,01
0,02
0,03
0,04
x=0 x=0,1 x=0,2 x=0,3 x=0,4 x=0,5 x=0,6 x=0,7 x=0,8 x=0,9 x=1,0
Ro
ta
çã
o 
Y(
ra
d)
Distância em X (m)
Rotação y em y=1 m para t=0,005 m
Kirchhoff
Mindlin
 
Figura 174- Rotação y no meio da placa, na direção x. Bordas Engastadas. 
 
 
Figura 185- Rotação y no meio da placa, na direção x. Bordas Engastadas. 
-0,0002
-0,00015
-0,0001
-0,00005
0
0,00005
0,0001
0,00015
0,0002
x=0 x=0,1 x=0,2 x=0,3 x=0,4 x=0,5 x=0,6 x=0,7 x=0,8 x=0,9 x=1,0
Ro
ta
çã
o 
Y(
ra
d)
Distância em X (m)
Rotação y em y=1 m para t=0,03 m
Kirchhoff
Mindlin
-2E-07
-1,5E-07
-1E-07
-5E-08
0
5E-08
0,0000001
1,5E-07
0,0000002
x=0 x=0,1 x=0,2 x=0,3 x=0,4 x=0,5 x=0,6 x=0,7 x=0,8 x=0,9 x=1,0
Ro
ta
çã
o 
Y(
ra
d)
Distância em X (m)
Rotação (y) em y=1 m para t=0,3 m
Kirchhoff
Mindlin
 
Figura 196 - Rotação x no meio da placa, na direção y. Bordas Simplesmente 
Apoiadas. 
 
 
Figura 207 - Rotação x no meio da placa, na direção y. Bordas Simplesmente 
Apoiadas. 
-1,00E-01
-8,00E-02
-6,00E-02
-4,00E-02
-2,00E-02
0,00E+00
2,00E-02
4,00E-02
6,00E-02
8,00E-02
1,00E-01
y=0 y=0,2 y=0,4 y=0,6 y=0,8 y=1,0 y=1,2 y=1,4 y=1,6 y=1,8 y=2,0
Ro
ta
çã
o 
X(
ra
d)
Distancia em Y (m)
Rotação x em x=0.5 m para t=0,005 m
Kirchhoff
Mindlin
-5,00E-04
-4,00E-04
-3,00E-04
-2,00E-04
-1,00E-04
0,00E+00
1,00E-04
2,00E-04
3,00E-04
4,00E-04
5,00E-04
y=0 y=0,2 y=0,4 y=0,6 y=0,8 y=1,0 y=1,2 y=1,4 y=1,6 y=1,8 y=2,0
Ro
ta
çã
o 
X(
ra
d)
Distância em Y (m)
Rotação x em x=0.5 m para t=0,03 m
Kirchhoff
Mindlin
 
Figura 218 - Rotação x no meio da placa, na direção y. Bordas Simplesmente 
Apoiadas. 
 
 
Figura 229 - Rotação x no meio da placa, na direção y. Bordas Engastadas. 
-5,00E-07
-4,00E-07
-3,00E-07
-2,00E-07
-1,00E-07
0,00E+00
1,00E-07
2,00E-07
3,00E-07
4,00E-07
5,00E-07
y=0 y=0,2 y=0,4 y=0,6 y=0,8 y=1,0 y=1,2 y=1,4 y=1,6 y=1,8 y=2,0
Ro
ta
çã
o 
X(
ra
d)
Distância em Y (m)
Rotação (x) em x=0,5 m para t=0,3 m
Kirchhoff
Mindlin
-0,025
-0,02
-0,015
-0,01
-0,005
0
0,005
0,01
0,015
0,02
0,025
y=0 y=0,2 y=0,4 y=0,6 y=0,8 y=1,0 y=1,2 y=1,4 y=1,6 y=1,8 y=2,0
Ro
ta
çã
o 
X(
ra
d)
Distância em Y (m)
Rotação x em x=0.5 m para t=0,005 m
Kirchhoff
Mindlin
 
Figura 30 - Rotação x no meio da placa, na direção y. Bordas Engastadas. 
 
 
Figura 31 - Rotação x no meioda placa, na direção y. Bordas Engastadas. 
 
 
-0,00015
-0,0001
-0,00005
0
0,00005
0,0001
0,00015
y=0 y=0,2 y=0,4 y=0,6 y=0,8 y=1,0 y=1,2 y=1,4 y=1,6 y=1,8 y=2,0
Ro
ta
çã
o 
X(
ra
d)
Distância em Y (m)
Rotação x em x=0.5 m para t=0,03 m
Kirchhoff
Mindlin
-1,5E-07
-1E-07
-5E-08
0
5E-08
0,0000001
1,5E-07
y=0 y=0,2 y=0,4 y=0,6 y=0,8 y=1,0 y=1,2 y=1,4 y=1,6 y=1,8 y=2,0
Ro
ta
çã
o 
X(
ra
d)
Distância em Y (m)
Rotação (x) em x=0,5 m para t=0,3 m
Kirchhoff
Mindlin
 
Figura 32- Erro percentual da flecha entre as Teorias de Kirchhoff e Mindlin. 
 
 
4. Análise dos Resultados 
Nos gráficos apresentados, é possível observar as diferenças entre os 
resultados obtidos para a teoria de Kirchhoff analiticamente e pelo MEF e 
também os de Mindlin pelo MEF. 
Observa-se que, pelo MEF, há concordância entre os valores das duas 
teorias para as menores espessuras e que ocorrem diferenças entre as teorias 
à medida que a espessura da placa aumenta. Nota-se, ainda, uma pequena 
diferença entre os resultados analíticos e com o MEF para a teoria de Kirchhoff. 
Além disso, no gráfico da figura 32, observam-se os erros percentuais 
das flechas entre as duas teorias, calculados com os resultados do MEF, para 
os casos simplesmente apoiado e engastado, à medida que a espessura da 
placa aumenta. Observa-se um erro percentual maior para o caso engastado 
do que para o caso simplesmente apoiado, e essa diferença torna-se mais 
acentuada para as espessuras maiores. 
 
-60,00
-50,00
-40,00
-30,00
-20,00
-10,00
0,00
10,00
t/a = 0,005 t/a = 0,01 t/a = 0,03 t/a = 0,1 t/a = 0,2 t/a = 0,3
Er
ro
 (%
)
Erro Percentual da Flecha 
Simp.
Apoiada
Engastada
5. Conclusões 
Foi possível observar as diferenças entre os resultados obtidos para a 
teoria de Kirchhoff analiticamente e pelo MEF e também destes resultados em 
relação aos da teoria de Mindlin pelo MEF. 
Conclui-se que a diferença entre as teorias de Kirchhoff e de Mindlin é 
maior à medida que a espessura aumenta. 
Os resultados do MEF e os analíticos se mostraram próximos para o 
caso da teoria de Kirchhoff, mas com uma pequena diferença, o que 
provavelmente se deve ao comportamento da solução em cada um dos 
métodos e ao efeito de “locking” do MEF neste caso, ou seja, de superestimar 
a rigidez. Isso pode ser resolvido, por exemplo, considerando elementos de 
ordem superior ao adotado. 
Além disso, pelos erros percentuais dos deslocamentos transversais 
entre as duas teorias, calculados com os resultados do MEF, observou-se um 
erro percentual maior para o caso de placa engastada, especialmente para as 
maiores espessuras consideradas. 
 
6. Referências 
 
Bathe, K. 1996. Finite Element Procedures. Prentice Hall. 
Brebbia, CA, Telles, JCF and Wrobel, LC. 1984. Boundary Element 
Techniques: Theory and Applications in Engineering, Springer-Verlag, Berlin, 
Heidelberg. 
Mindlin, RD. 1951. Influence of Rotatory Inertia and Shear on Flexural Motions 
of Isotropic Elastic Plates, Journal of Applied Mechanics, pp. 31-38. 
Owen, DRJ e Hinton, E. 1980. Finite Elements in Plasticity: Theory and 
Practice, Pineridge Press Limited, Swansea, U. K.. 
Reddy, JN. 2007. Theory and Analysis of Elastic Plates and Shells, Editora 
CRC Press. 
Reissner, E. 1945. ‘The Effect of Transverse Shear Deformation on the Bending 
of Elastic Plates’, Journal of Applied Mechanics, 12, pp. A69-A77. 
Soriano, HL. 2002. Método de Elementos Finitos em Análise de Estruturas, Ed. 
EDUSP. 
Timoshenko, SP e Woinowsky-Krieger. S. 1970. Theory of Plates and Shells, 
Editora McGraw-Hill. 
Ugural, A.C., 1981. Stresses in Plates and Shells. 1ª ed. USA: McGraw-Hill. 
Ugural, A.C., 2009. Stresses in Beams, Plates, and Shells, 3ª ed. CRC Press. 
	Universidade Estadual do Norte Fluminense Darcy Ribeiro
	Centro de Ciência e Tecnologia – CCT
	Curso: Engenharia Civil
	Relatório do período compreendido entre (06/2016) e (04/2017)
	Campos dos Goytacazes - RJ