CKT Eletricos 1 - Aula 4

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Objetivos do encontro 
Balanço de potências
Modelagem de Circuitos Profa. Ma. Gabriela Schenkel
Transformação ou conversão estrela triângulo
Revisão equações simultâneas e regra de Cramer
Análise Nodal
Balanço de potências
Modelagem de Circuitos Profa. Ma. Gabriela Schenkel
Um circuito elétrico pode ser equacionado também
através de suas potências ativas e passivas. Tomemos
como exemplo o da figura 2.48.
(2.22) = 
1 + 3 + 2
= 1 + 3 + 2 (2.23)
(2.24)1 1 + 3 3 + 2 2 = 12 1 + 32 3 + 22 2
Figura 2.48
Transformação ∆ - Y
Modelagem de Circuitos Profa. Ma. Gabriela Schenkel
A figura 2.49 mostra um circuito resistivo em Y (ipsilon),
também conhecido por estrela, e um circuito em ∆ (delta),
também conhecido por triângulo. O circuito Y pode ser
desenhado na forma de T (circuito tê), e o circuito ∆ pode
ser desenhado na forma de um (circuito pi).
Figura 2.49
Transformação ∆ - Y
Modelagem de Circuitos Profa. Ma. Gabriela Schenkel
(2.25)
(2.26)
(2.27)
(2.28)
A equivalência e a correspondente relação entre estes
circuitos pode ser calculado como:
Figura 2.49
Exemplos
Modelagem de Circuitos Profa. Ma. Gabriela Schenkel
Exemplo 1 : Converta a rede ∆ da Figura 2.50 em uma rede Y 
equivalente. 
Solução: Usando das Equações (2.26)
a (2.28), obtemos
Figura 2.50
Exemplos
Modelagem de Circuitos Profa. Ma. Gabriela Schenkel
Exemplo 3 : Obtenha a resistência equivalente Rab para o 
circuito da Figura 2.52 e a use para encontrar a corrente i.
Figura 2.52
Solução:
Definição. O problema está claramente
definido. Note que essa parte
normalmente precisará de um
investimento de tempo muito maior.
Exemplos
Modelagem de Circuitos Profa. Ma. Gabriela Schenkel
Figura 2.52
Apresentação.
Fica claro, ao eliminarmos a fonte de
tensão, que, no final das contas, temos um
circuito puramente resistivo. Uma vez que
ele é composto por deltas e ípsilons
(triângulos e estrelas), há um processo
mais complexo de associação de
elementos. Podemos usar transformações
estrela-triângulo como uma forma de
abordagem na tentativa de encontrar uma
solução. É útil localizar as estrelas
(existem duas delas nesse caso, uma em
n e outra em c) e os triângulos (existem
três: can, abn, cnb).
Exemplos
Modelagem de Circuitos Profa. Ma. Gabriela Schenkel
Figura 2.52
Alternativa.
Existem diferentes métodos que podem
ser usados para solucionar esse
problema. Já que o foco desta Seção é a
transformação estrela-triângulo, esta
deve ser a técnica a ser empregada.
Outra abordagem seria encontrar a
resistência equivalente injetando um
amperímetro no circuito e encontrando a
tensão entre a e b.
Exemplos
Modelagem de Circuitos Profa. Ma. Gabriela Schenkel
Figura 2.52
A abordagem que podemos aplicar aqui
para nos certificarmos seria usar uma
transformação estrela-triângulo como
primeira solução para o problema.
Posteriormente, podemos verificar a
solução iniciando com uma
transformação triângulo-estrela.
Tentativa. Nesse circuito, existem duas
redes Y e três redes ∆. Transformar
apenas uma delas já o simplificará. Se
convertermos a rede Y formada pelos
resistores de formada de 5 Ω, 10 Ω e
20Ω. podemos selecionar
Exemplos
Modelagem de Circuitos Profa. Ma. Gabriela Schenkel
Portanto, das Equações (2.26) a (2.28), temos
Exemplos
Modelagem de Circuitos Profa. Ma. Gabriela Schenkel
Com o Y convertido em ∆, o circuito equivalente (com a
fonte de tensão eliminada por enquanto) é mostrado na
Figura 2.53. Associando os três pares de resistores em
paralelo, obtemos
Figura 2.53 de modo que o circuito equivalente é
mostrado na Figura 2.54. Assim,
determinamos
Exemplos
Modelagem de Circuitos Profa. Ma. Gabriela Schenkel
entãoFigura 2.54
Observe que fomos bem-sucedidos na resolução do
problema. Agora, temos de avaliar a solução.
Exemplos
Modelagem de Circuitos Profa. Ma. Gabriela Schenkel
Avaliação. Desta vez, precisamos determinar se a resposta está
correta e em seguida avaliar a solução final. É relativamente fácil
verificar a resposta; isso pode ser feito resolvendo o problema
partindo de uma transformação triângulo-estrela. Transformemos
o triângulo, can, em uma estrela.
Seja Rc = 10Ω , Ra = 5 e Rn = 12,5 . Isso conduzirá ao seguinte
(façamos que d represente o centro da estrela):
Exemplos resolvidos
Modelagem de Circuitos Profa. Ma. Gabriela Schenkel
Isso agora conduz ao circuito mostrado na Figura 2.55.
Examinando a resistência entre d e b, temos duas
associações série em paralelo, o que resulta em
Figura 2.55
E está em série com o resistor de
4,545Ω, ambos os quais estão em
paralelo com o resistor de 30Ω . Isso
resulta, em seguida, na resistência
equivalente do circuito.
Exemplos resolvidos
Modelagem de Circuitos Profa. Ma. Gabriela Schenkel
Isso agora nos leva a
Note que usar duas variações na transformação estrela-
triângulo conduz aos mesmos resultados. Isso representa
excelente comprovação.
Resolução de equações
simultâneas
Modelagem de Circuitos Profa. Ma. Gabriela Schenkel
Resolução de equações
simultâneas
Modelagem de Circuitos Profa. Ma. Gabriela Schenkel
Regra de Cramer
Modelagem de Circuitos Profa. Ma. Gabriela Schenkel
Regra de Cramer
Modelagem de Circuitos Profa. Ma. Gabriela Schenkel
Regra de Cramer
Modelagem de Circuitos Profa. Ma. Gabriela Schenkel
Regra de Cramer
Modelagem de Circuitos Profa. Ma. Gabriela Schenkel
Regra de Cramer
Modelagem de Circuitos Profa. Ma. Gabriela Schenkel
Regra de Cramer
Modelagem de Circuitos Profa. Ma. Gabriela Schenkel
Análise nodal
Modelagem de Circuitos Profa. Ma. Gabriela Schenkel
A análise nodal fornece um procedimento genérico para
análise de circuitos usando tensões nodais como
variáveis de circuitos. Optar por tensões nodais em vez
de tensões de elementos como essas variáveis é
conveniente e reduz o número de equações que se deve
resolver simultaneamente. Para simplificar as coisas,
partiremos do pressuposto, nesta seção, de que os
circuitos não contêm fontes de tensão, pois os que
contêm serão analisados na seção seguinte. Na análise
nodal, estamos interessados em encontrar as tensões
nos nós. Dado um circuito com n nós sem fontes de
tensão, a análise envolve as três etapas a seguir:
Análise nodal
Modelagem de Circuitos Profa. Ma. Gabriela Schenkel
Agora, vamos explicar e aplicar as etapas dadas. O
primeiro passo na análise nodal é selecionar um nó como
nó de referência ou nó-base. O nó de referência é
comumente chamado terra (GND).
Análise nodal
Modelagem de Circuitos Profa. Ma. Gabriela Schenkel
uma vez que se supõe que ele tenha um potencial nulo, e
esse nó é indicado por qualquer um dos três símbolos
apontados na Figura 2.56. O tipo de terra na Figura 2.56c é
denominado terra (chassi) e é usado em dispositivos onde
o gabinete, caixa protetora para equipamento ou chassi
atuam como um ponto de referência para todos os
circuitos. Quando o potencial da terra é usado como
referência, usamos o terra (solo) indicado na Figura 2.56a
ou b. Vamos sempre usar o símbolo indicado na Figura
2.56b.
Figura 2.56
Análise nodal
Modelagem de Circuitos Profa. Ma. Gabriela Schenkel
Assim que escolhemos um nó de referência, atribuímos
designações de tensão aos nós que não são de
referência. Consideremos, por exemplo, o circuito da
Figura 2.57a. O nó 0 é o de referência (v = 0), enquanto
aos nós 1 e 2 são atribuídos, respectivamente, as
tensões v1 e v2 . Tenha em mente que as tensões
nodais são deinidas em relação ao nó de referência.
Conforme ilustrado na Figura 2.57a, cada tensão nodal
é a elevação de tensão a partir do nó de referência ao
que não é de referência correspondente ou
simplesmente a tensão daquele nó em relação ao nó de
referência.
Análise nodal
Modelagem de Circuitos Profa. Ma. Gabriela Schenkel
Figura 2.57
Como segunda etapa, aplicamos a LKC a cada um dos nós que
não são de referência do circuito. Para evitar o acúmulo de
informações, o circuito elétrico da Figura 2.57a é redesenhado
na Figura 2.57b, em que, agora, acrescentamos i1 , i2 e i3 como
as correntes através dos resistoresR1 , R2 e R3 ,
respectivamente. Aplicando a LKC ao nó 1, temos
Análise nodal
Modelagem de Circuitos Profa. Ma. Gabriela Schenkel
Agora, aplicamos a lei de Ohm para expressar as
correntes desconhecidas i1 , i2 e i3 em termos de tensões
nodais. A ideia central é ter em mente que os resistores
são elementos passivos, pela convenção de sinal
passivo, e por isso a corrente sempre deve fluir de um
potencial mais elevado para um mais baixo.
No nó 2, temos
Fonte de corrente
Fonte de corrente
(2.29)
(2.30)
Análise nodal
Modelagem de Circuitos Profa. Ma. Gabriela Schenkel
Podemos expressar esse princípio como
(2.31)
Note que esse princípio está de acordo com a maneira
pela qual definimos resistência. Sabendo disso,
obtemos o seguinte da Figura 2.57b:
Análise nodal
Modelagem de Circuitos Profa. Ma. Gabriela Schenkel
(2.32)
Substituindo a Equação (2.32) nas Equações (2.29) e
(2.30) resulta, respectivamente, em
Figura 2.57
Análise nodal
Modelagem de Circuitos Profa. Ma. Gabriela Schenkel
(2.33)
Em termos de condutâncias, as Equações (3.5) e (3.6)
ficam
(2.35)
(2.34)
(2.36)
Análise nodal
Modelagem de Circuitos Profa. Ma. Gabriela Schenkel
A terceira etapa na análise nodal é encontrar as tensões
nodais. Se aplicarmos a lei dos nós aos n – 1 nós que
não são de referência, obtemos n – 1 equações
simultâneas, como as Equações (2.33) e (2.34) ou (2.35)
e (2.36). Para o circuito da Figura 2.57, resolvemos as
Equações (2.33) e (2.34) ou (2.35) e (2.36) para obter as
tensões nodais v1 e v2 , usando qualquer método-
padrão como o da substituição, da eliminação, a regra
de Cramer ou a inversão de matrizes. Para usar um dos
dois últimos métodos, devem-se formular as equações
simultâneas na forma matricial.
Análise nodal
Modelagem de Circuitos Profa. Ma. Gabriela Schenkel
(2.37)
Por exemplo, as Equações (2.35) e (2.36) podem ser
formuladas na forma matricial como
que podem ser resolvidas para obter-se v1 e v2 . A
Equação (2.37) será generalizada na Seção 3.6. As
equações simultâneas também podem ser resolvidas
usando calculadoras ou pacotes de software como o
MATLAB, Mathcad, Maple e Quattro Pro.
Exemplo 
Modelagem de Circuitos Profa. Ma. Gabriela Schenkel
Solução: Considere a Figura 2.58b, na qual o circuito da Figura 2.58a
foi preparado para análise nodal. Observe como as correntes são
selecionadas para a aplicação da LKC. Exceto para os ramos com
fontes de corrente, os nomes atribuídos às correntes são arbitrários,
porém consistentes.
Exemplo 1: Calcule as tensões nodais no circuito mostrado na
Figura 2.58.
Figura 2.58
Exemplo 
Modelagem de Circuitos Profa. Ma. Gabriela Schenkel
No nó 1, aplicando a LKC e a lei de Ohm, obtemos
(Por consistente queremos dizer que se, por exemplo,
considerarmos que i2 entra no resistor de 4 do lado esquerdo,
i2 tem de deixar o resistor do lado direito.) O nó de referência é
selecionado e as tensões nodais v1 e v2 agora devem ser
determinadas.
Multiplicando por 4 cada termo da última equação, obtemos
(2.38)
Exemplo 
Modelagem de Circuitos Profa. Ma. Gabriela Schenkel
Multiplicando cada termo por 12, resulta em
No nó 2 fazemos o mesmo e obtemos
Desta vez, temos duas Equações simultâneas (2.38) e (2.39).
Podemos resolver as equações usando qualquer método e
obter os valores de v1 e v2 .
(2.39)
Exemplo 
Modelagem de Circuitos Profa. Ma. Gabriela Schenkel
Substituindo v2 = 20 na Equação (2.38), temos
Método 1: Usando a técnica de eliminação adicionamos as
equações 2.38 e 2.39
Método 2: Para usar a regra de Cramer, precisamos colocar as
Equações (2.38) e (2.39) na forma matricial como segue
Exemplo 
Modelagem de Circuitos Profa. Ma. Gabriela Schenkel
O determinante da matriz é
Obtemos v1 e v2 como segue
(2.40)
Exemplo 
Modelagem de Circuitos Profa. Ma. Gabriela Schenkel
que dá o mesmo resultado que obtivemos pelo método da
eliminação. Se precisarmos dos valores das correntes,
podemos calculá-los facilmente a partir dos valores das tensões
nodais.
Exemplo 
Modelagem de Circuitos Profa. Ma. Gabriela Schenkel
Exemplo 2: Determine as tensões na Figura 2.59a.
Figura 2.59
O circuito neste exemplo tem três nós de referência,
diferentemente do exemplo anterior que tinha dois nós que não
eram de referência. Atribuímos as tensões aos três nós,
conforme mostra a Figura 2.59b, e identiicamos as correntes.
Exemplo 
Modelagem de Circuitos Profa. Ma. Gabriela Schenkel
Multiplicar por 8 e reorganizar os termos resulta em
No nó 1,
Multiplicando por 4 cada termo da última equação, obtemos
No nó 2,
(2.41)
Exemplo 
Modelagem de Circuitos Profa. Ma. Gabriela Schenkel
Multiplicando por 8, reorganizando os termos, e dividindo por 3,
obtemos.
No nó 3,
(2.43)
(2.42)
Temos três equações simultâneas a resolver para obter as
tensões nodais v1 , v2 e v3 . Resolveremos as equações das
três maneiras
Exemplo 
Modelagem de Circuitos Profa. Ma. Gabriela Schenkel
MÉTODO 1 Usando a técnica de eliminação, adicionamos as
Equações (2.41) e (2.43).
(2.44)
Somando as Equações (2.42) e (2.433), temos
(2.45)
Substituir a Equação (2.45) na Equação (2.44) resulta em
Exemplo 
Modelagem de Circuitos Profa. Ma. Gabriela Schenkel
Da Equação (2.43), obtemos
Portanto,
Exemplo 
Modelagem de Circuitos Profa. Ma. Gabriela Schenkel
MÉTODO 2 Para usar a regra de Cramer, colocamos as
Equações (2.41) a (2.43) na forma matricial.
(2.46)
Desta, obtemos 
Exemplo 
Modelagem de Circuitos Profa. Ma. Gabriela Schenkel
onde ∆, ∆1 , ∆2 e ∆3 são os determinantes a serem calculados
como segue. Conforme explicado no Apêndice A para calcular
o determinante de uma matriz 3 por 3, repetimos as duas
primeiras colunas e realizamos uma multiplicação cruzada.
Exemplo 
Modelagem de Circuitos Profa. Ma. Gabriela Schenkel
De forma similar, obtemos
Exemplo 
Modelagem de Circuitos Profa. Ma. Gabriela Schenkel
Portanto, determinamos
conforme obtido através do Método 1.
Exemplo 
Modelagem de Circuitos Profa. Ma. Gabriela Schenkel
MÉTODO 3 Agora, usamos o MATLAB para resolver a matriz. A
Equação (2.46) pode ser escrita na forma
onde A é a matriz quadrada 3 X 3; B é o vetor-coluna; e V é um 
vetor-coluna formado por v1 , v2 e v3 que queremos determinar. 
Usamos o MATLAB para determinar V como segue:
Consequentemente, v1 = 4,8 V, v2 = 2,4 V e v3
= –2,4 V, conforme obtido anteriormente.
Referências
GUSSOW, Milton. Eletricidade básica. 2 ed.. São Paulo: Pearson 
Makron Books, 1997
Modelagem de Circuitos Profa. Ma. Gabriela Schenkel
Fundamentos de circuitos elétricos [recurso eletrônico] / 
Charles K. Alexander, Matthew N. O. Sadiku ; tradução: José 
Lucimar do Nasci¬mento ; revisão técnica: Antônio Pertence 
Júnior. – 5. ed. – Dados eletrônicos. – Porto Alegre : AMGH, 
2013.