Aula 07 - Análise Nodal e Análise de Malhas (Revisão)

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Circuitos Elétricos I
Professor Jorge Júnior
Análise Nodal
A análise nodal fornece um procedimento genérico para análise de
circuitos usando tensões nodais como variáveis de circuitos.
Optar por tensões nodais em vez de tensões de elementos como
essas variáveis é conveniente e reduz o número de equações que se
deve resolver simultaneamente.
Para simplificar as coisas, partiremos do pressuposto, nesta seção,
de que os circuitos não contêm fontes de tensão, pois os que contêm
serão analisados na seção seguinte.
Análise Nodal
Na análise nodal, estamos interessados em encontrar as tensões nos
nós.
Dado um circuito com n nós sem fontes de tensão, a análise envolve
as três etapas a seguir:
Análise Nodal
O primeiro passo na análise nodal é selecionar um nó como nó de
referência ou nó-base.
O nó de referência é comumente chamado terra (GND).
(a) (b) - Quando o potencial da terra é usado como referência
(c) - terra (chassi) e é usado em dispositivos onde o gabinete, caixa protetora para equipamento
ou chassi atuam como um ponto de referência para todos os circuitos.
Análise Nodal
Exemplo:
Primeira etapa definir nó de referência.
Análise Nodal
Exemplo:
Segunda etapa, aplicar a LKC, a cada um dos
nós que não são de referência do circuito.
Acrescentamos i1, i2 e i3 como as correntes
através dos resistores R1, R2 e R3
Aplicando a LKC ao nó 1, temos:
Aplicando a LKC ao nó 2, temos:
Agora, aplicamos a lei de Ohm para expressar as
correntes desconhecidas i1, i2 e i3 em termos de
tensões nodais.
Podemos expressar esse princípio como:
Em um resistor, a corrente flui de um potencial mais 
elevado para um potencial mais baixo.
Análise Nodal
Exemplo:
Segunda etapa
Substituindo estas Equação nas Equações
encontradas da corrente resulta, respectivamente,
em:
Em um resistor, a corrente flui de um potencial mais 
elevado para um potencial mais baixo.
Análise Nodal
Exemplo:
Segunda etapa
Em termos de condutância:
Análise Nodal
Exemplo:
Terceira etapa, encontrar as tensões nodais.
Se aplicarmos a lei dos nós aos n – 1 nós que não
são de referência, obtemos n – 1 equações
simultâneas, como as equações abaixo:
Ou
Resolvemos as Equações para obter as tensões
nodais v1 e v2, usando qualquer método-padrão
como o da substituição, da eliminação, a regra de
Cramer ou a inversão de matrizes.
Análise Nodal
Exemplo:
Terceira etapa, encontrar as tensões nodais.
Para usar um dos dois últimos métodos, devem-se
formular as equações simultâneas na forma
matricial.
Por exemplo, as Equações de condutância
podem ser formuladas na forma matricial como:
Análise Nodal
Equações simultâneas e inversão de matrizes
Análise Nodal
Regra de Cramer
A regra de Cramer é uma das maneiras de resolver um sistema linear, mas
só poderá ser utilizada na resolução de sistemas que o número de
equações e o número de incógnitas forem iguais.
Portanto, ao resolvermos um sistema linear de n equações e n incógnitas
para a sua resolução devemos calcular o determinante (D) da equação
incompleta do sistema e depois substituirmos os termos independentes em
cada coluna e calcular os seus respectivos determinantes e assim aplicar a
regra de Cramer que diz:
Os valores das incógnitas são calculados da seguinte forma:
Análise Nodal
Regra de Cramer
Exemplo:
• Agora calculamos o seu 
determinante que será 
representado por D.
• D = 1 + 6 + 2 + 3 – 1 + 4
• D = 15.
Análise Nodal
Regra de Cramer
Exemplo:
Agora devemos substituir os temos independentes na primeira coluna
da matriz A, formando assim uma segunda matriz que será
representada por Ax.
Dx = 8 + 4 + 3 + 2 – 8 + 6
Dx = 15
Análise Nodal
Regra de Cramer
Exemplo:
Substituímos os termos independentes na segunda coluna da matriz
incompleta formando a matriz Ay.
Dy = -3 + 24 + 4 – 9 – 2 + 16
Dy = 30
Análise Nodal
Regra de Cramer
Exemplo:
Substituindo os termos independentes do sistema na terceira coluna
da matriz incompleta formaremos a matriz Az.
Dz = – 2 + 18 + 16 + 24 – 3 – 8
Dz = 45
Análise Nodal
Regra de Cramer
Exemplo:
Depois de ter substituído todas as colunas da matriz incompleta pelos
termos independentes, iremos colocar em prática a regra de Cramer.
Análise Nodal
Regra de Cramer
Outro Exemplo:
Análise Nodal
Exercício 1- Calcule as tensões nodais no circuito mostrado na
Figura abaixo:
Análise Nodal
Exercício 1- Calcule as tensões nodais no circuito mostrado na
Figura abaixo:
No nó 1, aplicando a LKC e a lei de Ohm, obtemos:
Multiplicando por 4 cada termo da última equação, obtemos:
ou 
No nó 2 fazemos o mesmo e obtemos: 
Multiplicando cada termo por 12, resulta em:
ou 
O resultado foram duas equações:
Análise Nodal
Exercício 1- Calcule as tensões nodais no circuito mostrado na
Figura abaixo:
No nó 1, aplicando a LKC e a lei de Ohm, obtemos:
Multiplicando por 4 cada termo da última equação, obtemos:
ou 
No nó 2 fazemos o mesmo e obtemos: 
Multiplicando cada termo por 12, resulta em:
ou 
O resultado foram duas equações:
Análise Nodal
Exercício 1- Calcule as tensões nodais no circuito mostrado na
Figura abaixo:
O resultado foram duas equações:
Existem 2 métodos para resolver:
• Técnica de eliminação
• Regra de Cramer
Usando a técnica de eliminação:
Análise Nodal
Exercício 1- Calcule as tensões nodais no circuito mostrado na
Figura abaixo:
Usando a Regra de Cramer:
O determinante da matriz é:
Obtemos v1 e v2 como segue
Se precisarmos dos valores das correntes,
podemos calculá-los facilmente a partir dos
valores das tensões nodais.
Análise Nodal
Exercício 2- Obtenha as tensões nodais no circuito da Figura
abaixo:
Análise Nodal
Exercício 2- Obtenha as tensões nodais no circuito da Figura
abaixo:
Análise Nodal
Exercício 3- Determine as tensões na Figura abaixo:
Análise Nodal
Exercício 3- Determine as tensões na Figura abaixo:
Análise Nodal
Exercício 3- Determine as tensões na Figura abaixo:
No nó 1,
Multiplicando por 4 cada termo da última equação,
obtemos:
No nó 2,
Multiplicar por 8 e reorganizar os termos resulta em:
No nó 3,
Multiplicando por 8, reorganizando os termos, e
dividindo por 3, obtemos:
Temos três equações simultâneas a resolver para
obter as tensões nodais v1, v2 e v3.
Análise Nodal
Exercício 3- Determine as tensões na Figura abaixo:
Temos três equações simultâneas
a resolver para obter as tensões
nodais v1, v2 e v3.
regra de Cramer
Desta, obtemos:
Portanto, determinamos:
Análise Nodal
Exercício 3- Determine as tensões na Figura abaixo:
Temos três equações simultâneas
a resolver para obter as tensões
nodais v1, v2 e v3.
MATLAB:
Onde: 
A é a matriz quadrada 3 X 3; 
B é o vetor-coluna; e 
V é um vetor-coluna formado por v1, v2 e v3 que 
queremos determinar. 
Usamos o MATLAB para determinar V como segue:
Análise Nodal
Exercício 4- Determine as tensões nos três primeiros nós que não
são de referência no circuito da Figura abaixo:
Análise Nodal
Exercício 4- Determine as tensões nos três primeiros nós que não
são de referência no circuito da Figura abaixo:
Análise nodal com fontes de 
tensão
Análise nodal com fontes de tensão
Vamos considerar como as fontes de tensão afetam a análise nodal.
Considere as duas possibilidades a seguir.
Se a fonte de tensão estiver conectada entre o nó de referência e um de não
referência.
Se a fonte de tensão (dependente ou independente) estiver conectada entre
dois nós que não são de referência, eles formarão um nó genérico ou
supernó; aplicamos tanto a LKC como a LKT para determinar as tensões
nodais.
Análise nodal com fontes de tensão
Analisamos um circuito com supernós
usando as mesmas três etapas
mencionadas anteriormente, exceto pelo
fato de os supernós serem tratados
diferentemente.
Por quê? Porque um componente essencial
da análise nodal é aplicar a LKC, que
necessita conhecermos a corrente por meio
de cada elemento.
Não há nenhuma maneira de se saber de
antemão a corrente que passa por uma
tensão nodal, entretanto, a LKC tem de ser
realizada em um supernó como qualquer
outro nó.
Para aplicara lei de Kirchhoff para tensão
no supernó da figura, redesenhamos o
circuito conforme mostrado ao lado
Percorrendo o laço no sentido horário,
temos:
Análise nodal com fontes de tensão
Exercício 1: Para o circuito apresentado na abaixo, determine as tensões
nodais.
Análise nodal com fontes de tensão
Exercício 1: Para o circuito apresentado na abaixo, determine as tensões
nodais.
O supernó contém a fonte de 2 V, nós 1 e 2 e o resistor de 10 V.
Aplicando a LKC ao supernó, conforme mostrado na Figura a ,
resulta em:
Expressando i1 e i2 em termos de tensões nodais:
Ou
Para obter a relação entre v1 e v2, aplicamos a LKT ao circuito
da Figura b . Percorrendo o laço, obtemos:
A partir das Equações dessas equações, escrevemos:
ou
e v2 = v1 + 2 = –5,333 V
Note que o resistor de 10 Ohm não faz qualquer diferença, pois
está conectado através do supernó.
Análise nodal com fontes de tensão
Exercício 2: Calcule v e i no circuito da Figura abaixo:
Análise nodal com fontes de tensão
Exercício 2: Calcule v e i no circuito da Figura abaixo:
Análise nodal com fontes de tensão
Exercício 2: Determine as tensões nodais no circuito da Figura abaixo:
Análise nodal com fontes de tensão
Exercício 3: Determine v1, v2 e v3 no circuito da Figura abaixo usando análise
nodal.
Análise de Malhas
Análise de Malhas
A análise de malhas fornece outra maneira para se
verificarem circuitos usando as correntes de malha como
variáveis de circuito, e usar essas correntes em vez de
correntes de elementos como variáveis é conveniente e
reduz o número de equações que devem ser resolvidas
matematicamente.
Um laço é um caminho fechado que não passa mais de uma
vez pelo mesmo nó.
Uma malha é um laço que não contém qualquer outro laço
dentro de si.
Análise de Malhas
A análise nodal aplica a LKC para encontrar tensões
desconhecidas em dado circuito, enquanto a análise de
malhas aplica a LKT para determinar correntes
desconhecidas;
É aplicável apenas a um circuito que é planar, que pode ser
desenhado em um plano sem nenhum ramo cruzado entre
si; caso contrário, torna-se um circuito não planar.
Análise de Malhas
Um circuito pode ter ramos cruzados e ainda ser planar, se
ele puder ser redesenhado de tal forma que não apresente
mais nenhum ramo cruzando outro.
Análise de Malhas
Um circuito pode ter ramos cruzados e ainda ser planar, se
ele puder ser redesenhado de tal forma que não apresente
mais nenhum ramo cruzando outro.
Análise de Malhas
Os caminhos abefa e bcdeb são malhas, porém o trecho
abcdefa não é uma malha. A corrente através de uma malha
é conhecida como corrente de malha. Nessa análise,
estamos interessados na aplicação da LKT para determinar
as correntes de malha em dado circuito.
Análise de Malhas
Exemplo:
Para o circuito da Figura abaixo, determine as correntes de ramo I1, I2 e
I3 usando a análise de malhas.
Malha 1
Malha 2
Análise de Malhas
Método da substituição (substitui a equação
da malha 1 na equação da malha 2):
Consequentemente:
Logo:
Método - regra de Cramer, formulamos as
Equações
Obtemos os determinantes:
Portanto:
Exercício 1:
Calcule as correntes de malha i1 e i2 no circuito da Figura abaixo:
Análise de Malhas
Exercício 2:
Calcule as correntes de malha i1 e i2 no circuito da Figura abaixo:
Análise de Malhas