CKT Eletricos 1 - Aula 3

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Objetivos do encontro 
Leis de Kirchhoff
Modelagem de Circuitos Profa. Ma. Gabriela Schenkel
Leis de Kirchhoff
Modelagem de Circuitos Profa. Ma. Gabriela Schenkel
Nós, ramos e laços
A lei de Ohm por si só não é o bastante para analisar os
circuitos; entretanto, quando associada com as duas leis
de Kirchhoff, elas formam um conjunto de ferramentas
poderoso e suficiente para analisar uma série de
circuitos elétricos. As leis de Kirchhoff foram
introduzidas pela primeira vez em 1847 pelo físico alemão
Gustav Robert Kirchhoff (1824-1887) e são formalmente
conhecidas como lei de Kirchhoff para corrente (LKC, ou
lei dos nós) e lei de Kirchhoff para tensão (LKT, ou lei das
malhas); sendo que a primeira se baseia na lei da
conservação da carga, que exige que a soma algébrica
das cargas dentro de um sistema não pode mudar.
Leis de Kirchhoff
Modelagem de Circuitos Profa. Ma. Gabriela Schenkel
Nós, ramos e laços
Leis de Kirchhoff
Modelagem de Circuitos Profa. Ma. Gabriela Schenkel
A lei de Kirchhoff para corrente (LKC) diz que a soma
algébrica das correntes que entram em um nó (ou um
limite fechado) é zero.
Matematicamente, a LKC implica o seguinte
(2.14)
Leis de Kirchhoff
Modelagem de Circuitos Profa. Ma. Gabriela Schenkel
onde N é o número de ramos conectados ao nó e in é a
enésima corrente que entra (ou sai) do nó. Conforme
essa lei, as correntes que entram em um nó poderiam ser
consideradas positivas, enquanto as correntes que saem
do nó, negativas, e vice-versa.
(2.15)
Para provar a LKC, ou lei dos nós, vamos supor que um 
conjunto de correntes i k (t), k = 1, 2, ..., flua para o nó. A 
soma algébrica das correntes no nó seria
(t)= 1(t)+ 2(t)+ 3 (t)+ ⋯ 
Leis de Kirchhoff
Modelagem de Circuitos Profa. Ma. Gabriela Schenkel
Considere a Figura 2.35.
Aplicando a LKC, temos
(2.16)1+(- 2)+ 3 + 4 + − 5 = 0
Figura 2.35.
uma vez que as correntes i1 ,
i3 e i4 estão entrando no nó,
enquanto as correntes i2 e i5
estão saindo. Rearranjando os
termos, obtemos
(2.17)1+ 3 + 4 = 2 + 5
A Equação (2.17) é uma
forma alternativa da LKC
Leis de Kirchhoff
Modelagem de Circuitos Profa. Ma. Gabriela Schenkel
A soma das correntes que entram em um nó é igual à
soma das correntes que saem desse nó.
Figura 2.36.
Note que a LKC também se aplica a um
limite fechado. Isso pode ser
considerado um caso genérico, pois um
nó pode ser uma superfície fechada
reduzida a um ponto. Em duas
dimensões, um limite fechado é o mesmo
que um caminho fechado. Conforme
ilustrado de forma característica no
circuito da Figura 2.36, a corrente total
que entra na superfície fechada é igual à
corrente total que sai da superfície.
Leis de Kirchhoff
Modelagem de Circuitos Profa. Ma. Gabriela Schenkel
Uma aplicação simples da LKC é a associação de fontes
de corrente em paralelo. A corrente resultante é a soma
algébricas das correntes fornecidas pelas fontes
individuais; por exemplo, as fontes de corrente mostradas
na Figura 2.37a podem ser combinadas, como mostra a
Figura 2.37b. As fontes de corrente resultantes ou
equivalentes podem ser encontradas aplicando a LKC ao
nó a.
Figura 2.37.
Leis de Kirchhoff
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+ 2 = 1 + 3 (2.18)ou = 1− 2 + 3
Um circuito não pode conter duas correntes diferentes, I1
e I2 , em série, a menos que I1 = I2 ; caso contrário, a LKC
será violada.
A segunda lei de Kirchhoff se baseia no princípio da
conservação da energia:
A lei de Kirchhoff para tensão (LKT) diz que a soma
algébrica de todas as tensões em torno de um caminho
fechado (ou laço) é zero.
Expresso matematicamente, a LKT, ou lei das malhas,
afirma que
Leis de Kirchhoff
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(2.19)
onde M é o número de tensões no laço (ou o número de
ramos no laço) e vm é a m-ésima tensão.
Para ilustrar a LKT, considere o circuito da Figura 2.38. O
sinal em cada tensão é a polaridade do terminal
encontrado primeiro à medida que percorremos o laço,
partindo de qualquer ramo e percorrendo o laço no
sentido horário ou
anti-horário, conforme mostrado; então, as tensões
seriam –v1 , +v2 , +v3 , – v4 e +v5 , nessa ordem. Por
exemplo, ao atingirmos o ramo 3, o terminal positivo é
encontrado primeiro; portanto, temos +v3 . Para o ramo
4, atingimos primeiro o terminal negativo; logo, temos –
v4 . Consequentemente, a LKT resulta em:
Leis de Kirchhoff
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Figura 2.38.
− 1+ 2 + 3 − 4 + 5 = 0
Rearranjando os termos, obtemos
 2 + 3 + 5 = 1+ 4
(2.20)
(2.21)
que pode ser interpretado como:
A soma das quedas de tensão é igual à soma das
elevações de tensão.
Leis de Kirchhoff
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Essa é uma forma alternativa da LKT. Observe que, se
tivéssemos percorrido no sentido anti-horário, o
resultado teria sido +v1 , –v5 , +v4 , –v3 e –v2 , que é o
mesmo que antes, exceto pelo fato de os sinais estarem
invertidos, portanto, as Equações (2.20) e (2.21)
permanecem as mesmas.
Quando as fontes de tensão
estiverem conectadas em
série, a LKT pode ser aplicada
para obter a tensão total. A
tensão associada é a soma
algébrica das tensões das
fontes individuais. Por
exemplo, para as fontes de
tensão indicadas na Figura
2.39a, a fonte de tensão
associada ou equivalente na
Figura 2.39b é obtida
aplicando a LKT.
Leis de Kirchhoff
Modelagem de Circuitos Profa. Ma. Gabriela Schenkel
Figura 2.39. Fontes de tensão
em série: (a) circuito original;
(b) circuito equivalente.
Exemplos resolvidos
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Exemplo 1 : Para o circuito da Figura, determine as tensões v1
e v2 . Solução: Para encontrar v1 e v2 ,
aplicamos a lei de Ohm e a lei de
Kirchhoff para tensão. Consideremos
que a corrente i flua pelo laço,
conforme mostra a Figura 2.40.
Da lei de Ohm,
Figura 2.40
Aplicando a LKT pelo laço, obtemos
(1.0)
(1.1)
Exemplos resolvidos
Modelagem de Circuitos Profa. Ma. Gabriela Schenkel
Substituindo a Equação (1.0) na Equação (1.1), obtemos:
Finalmente, substituindo i na Equação (1.0), temos
Exemplos resolvidos
Modelagem de Circuitos Profa. Ma. Gabriela Schenkel
Exemplo 2 : Para o circuito da Figura, determine as tensões v1
e v2 . Solução: Para encontrar v1 e v2 ,
aplicamos a lei de Ohm e a lei de
Kirchhoff para tensão. Consideremos
que a corrente i flua pelo laço,
conforme mostra a Figura 2.41.
Da lei de Ohm,
Figura 2.41
Aplicando a LKT pelo laço, obtemos
(2.0)
(2.1)
1 = 4 2 = −2
−32 + 1 − −8 − 2 = 0
Exemplos resolvidos
Modelagem de Circuitos Profa. Ma. Gabriela Schenkel
Substituindo a Equação (2.0) na Equação (2.1), obtemos:
Finalmente, substituindo i na Equação (2.0), temos
−32 + 4 − −8 − (−2 ) = 0
6 = 24
= 4
1 = 16 2 = −8
Exemplos resolvidos
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Exemplo 3 : Determine vo e i no circuito mostrado na Figura 
2.42a
Solução: Aplicamos a LKT no laço,
como mostrado na Figura 2.42b. O
resultado é
Figura 2.42
Aplicando a lei de Ohm ao resistor de
6 Ω,temos
(3.0)
(3.1)
Exemplos resolvidos
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Substituindo a Equação (3.1) na Equação (3.0), obtemos:
Exemplos resolvidos
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Exemplo 4 : Determine vx e vo no circuito da Figura 2.43
Resposta 20V e -10V.
Figura 2.43
Exemplos resolvidos
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Exemplo 5 : Determine a corrente io e a tensão vo no circuito 
apresentado na Figura 2.44.
Solução: Aplicando a LKC ao nó a,
obtemos
Figura 2.44
Para o resistor de 4 Ω, a lei de Ohm
fornece
(5.0)
(5.1)
Exemplos resolvidos
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Exemplo 6 : Determine a corrente io e a tensão vo no circuito 
apresentado na Figura 2.45.
Resposta 6A e 12V.
Figura 2.45
Exemplos resolvidos
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Exemplo 7 : Determine as correntes e tensões no circuito 
mostrado na Figura 2.46a.
Solução: Aplicamos a lei de Ohm e as
leis deKirchhoff. Pela lei de Ohm,
Figura 2.46
Uma vez que a tensão e a corrente de
cada resistor estão relacionadas pela
lei de Ohm, como mostrado, estamos
realmente buscando três coisas: (v1 ,
v2 , v3 ) ou (i1 , i2 , i3 ). No nó a,
aplicando a LKC temos
(6.0)
Exemplos resolvidos
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Figura 2.46
(6.1)
Aplicando a LKT ao laço 1, como na Figura 2.46b,
(6.2)
Expressamos isso em termos
de i1 e i2 , como na Equação
(6.0), para obter
(6.3)
Exemplos resolvidos
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Figura 2.46
Aplicando a LKT ao laço 2,
(6.4)
conforme esperado, já que os
dois resistores estão em
paralelo. Expressamos v1 e
v2 em termos de i1 e i2 como
indicado na Equação (6.0). A
Equação (6.4) se torna
(6.5)
Exemplos resolvidos
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Substituindo as Equações (6.3) e (6.5) na Equação (6.1), 
temos
ou i2 = 2 A. A partir do valor de i2 , usamos agora as
Equações (6.0) a (6.5) para obter
(6.6)
Exemplos resolvidos
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Exemplo 8 : Determine as correntes e tensões no circuito 
mostrado na Figura 2.47.
Resposta v1=6V, v2=4V, v3=10V, i1=3A, i2=0,5A, i3=2,5A
Figura 2.47
Referências
GUSSOW, Milton. Eletricidade básica. 2 ed.. São Paulo: Pearson 
Makron Books, 1997
Modelagem de Circuitos Profa. Ma. Gabriela Schenkel
Fundamentos de circuitos elétricos [recurso eletrônico] / 
Charles K. Alexander, Matthew N. O. Sadiku ; tradução: José 
Lucimar do Nasci¬mento ; revisão técnica: Antônio Pertence 
Júnior. – 5. ed. – Dados eletrônicos. – Porto Alegre : AMGH, 
2013.