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Prof. Charles Way Hun Fung
Sinais e sistemas
Aula 5
Conversa Inicial
1. Representação da transformada de Fourier 
em magnitude e fase
2. A representação magnitude-fase da resposta 
em frequência dos sistemas LIT
3. Sistemas contínuos de primeira ordem
4. Filtros ideais seletivos de frequência
5. Exemplo
Temas desta aula
Representação da transformada de 
Fourier em magnitude e fase
Componentes reais e imaginários da 
transformada de Fourie
Fonte: Zibetti, 2012.
Distribuição da energia em função da 
frequência:
Informação da banda de energia do sinal
Apresenta a banda operacional de um 
sistema
Magnitude
2
Banda de energia:
Banda operacional:
Fonte: Zibetti, 2012.
Fonte: Oppenheim, 2010.
Não afeta a magnitude do sinal ou a 
distribuição de energia
Informação sobre fase relativa de cada 
exponencial complexa
Pode causar efeitos significantes no sinal –
interferências construtivas e destrutivas
Fase ou ângulo
Suponha o sinal
Fonte: Oppenheim, 2010.
a) φ1=φ2=φ3
b) φ1=4 rad, φ2=8 rad, 
φ3=12 rad
c) φ1=4 rad, φ2=8 rad, 
φ3=12 rad
d) φ1=1,2 rad, φ2=4,1 
rad, 
φ3=-7,02 rad
Exemplo: imagem 
x(t1,t2)  X(jω1, 
jω2)
t1 coordenada 
horizontal do pixel
t2 coordenada 
vertical do pixel
Fonte: Zibetti, 2012. Fonte: Zibetti, 2012.
Magnitude  brilho do pixel
Transformada inversa com fase zero
Magnitude unitária Fonte: Zibetti, 2012.
Fonte: Zibetti, 2012.
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A representação magnitude-fase da 
resposta em frequência dos sistemas 
LIT
Fonte: Zibetti, 2012.
Usando relações com base em magnitude e fase
Fase linear – deslocamento no tempo, sem 
distorção
Fase não linear – distorção e deslocamento
Fonte: Oppenheim, 2010.
Com fase linear:
<H(jω)=-ωt0  atraso de t0
Não linear:
Sinal de banda estreita, concentrado em ω0
-d(<H(jω)/dω em vez de -<H(jω)/ω reflete o 
atraso no tempo 
Atraso de grupo
Gráfico do logaritmo da magnitude e fase 
diagrama de Bode:
Escala de valores é muito larga
Uso do logaritmo: intervalos dinâmicos e 
amplos
20log  decibéis (dB)
Decaimento em década
Gráfico de magnitude 
20log(|H(jω)|) por 
log(ω)
Gráfico de fase 
<H(jω) por log(ω)
Fonte: Oppenheim, 2010.
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Sistemas contínuos de primeira ordem 
Equações diferenciais  descrever o 
comportamento de sistemas
Generalizando:
Resposta em frequência:
Ordem do sistema:
Ordem = max(N,M)
Sistema de primeira ordem
Aplicando a transformada de Fourier
Resposta em frequência e ao impulso
Resposta ao impulso
Resposta ao degrau
Fonte: Zibetti, 2012.
Resposta em frequência
Magnitude:
Resposta em frequência
Joelho ou slope: frequência de quebra
Fase:
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Filtros ideais seletivos de frequência 
Sistema LIT com resposta em frequência 
escolhida
Deixa passar uma determinada faixa de 
frequência
Muito usados em diversas aplicações: 
eliminação de ruídos
Filtros
Frequência de corte: limites entre as bandas 
de passagem e rejeição
Banda de passagem: frequências que passam 
pelo filtro sem atenuação ou rejeição
Banda de rejeição: frequências que são 
atenuadas ou rejeitadas pelo filtro
Características dos filtros
Filtros ideais: todas as frequências da banda 
passante são aceitas sem perdas e fase nula 
(sem distorção)
Fonte: Oppenheim, 2010.
Filtro passa-baixa:
Banda de passagem: BP≤ωc
Banda de rejeição: BR>ωc
Resposta em frequência:
Fonte: Oppenheim, 2010.
Filtro passa-altas:
Banda de passagem: BP≥ωc
Banda de rejeição: BR<ωc
Resposta em frequência:
Fonte: Oppenheim, 2010.
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Filtro passa-faixa ou passa-banda
Banda de passagem: ωc1≤|BP|≤ωc2
Banda de rejeição: outras frequências
Resposta em frequência:
Fonte: Oppenheim, 2010.
Filtro rejeita-faixa:
Banda de passagem: outras frequências
Banda de rejeição: ωc1<|BR|<ωc2
Resposta em frequência:
Fonte: Oppenheim, 2010.
Fase da resposta em frequência
A fase pode produzir uma saída indesejável
Podemos convencionar que:
K>0 é uma constante
Fase dos filtros ideais
Fonte: Raginsky, 2008.
Suponha um sinal senoidal na entrada de um 
filtro:
A resposta em frequência H(jω) produz uma 
saída:
H(jω) é 1 na banda passante e zero na banda 
de rejeição
<H(jω)=-ωK na banda passante e zero na 
banda de rejeição
Então, podemos descrever:
Se ω0 estiver na banda passante, a saída y(t) 
será: 
O que é x(t) deslocada
Filtros ideais não distorcem o sinal de 
entrada, apenas causam um deslocamento
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Exemplo
Exemplo adaptado, disponível em Oppenhein, 
2010:
Pulso retangular discreto
Equacionar um filtro RC de primeira ordem:
Equação da malha:
Por definição a tensão de entrada é:
A tensão de saída é:
Queremos determinar H(jω)
Substituindo na equação da malha:
Reduzindo a equação:
Gráfico de magnitude:
Gráfico de fase:
Fonte: Oppenheim, 2010.
Não é um filtro 
ideal, para 
valores de ω ≠ 
0, a magnitude 
é diferente de 
1, ou seja, vai 
atenuar o sinal