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Solução dos Problemas do Módulo Online de Engenharia Mecânica

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MATERIAL SUPLEMENTAR PARA ACOMPANHAR
Módulo de Suporte Online para 
Engenharia Mecânica
Solução de Problemas
PRINCÍPIOS DA MECÂNICA DA FRATURA
M.1 Qual é a magnitude da tensão máxima que existe na extremidade de uma trinca interna com um raio de 
curvatura de 2,5 × 10–4 mm (10–5 in) e um comprimento de trinca de 2,5 × 10–2 mm (10–3 in) quando uma ten-
são de tração de 170 MPa (25.000 psi) é aplicada?
Solução
Esse problema pede que calculemos a magnitude da tensão máxima que existe na extremidade de uma 
trinca interna. A Equação M.12b é empregada para resolver esse problema, conforme
M.2 Estime a resistência à fratura teórica de um material frágil se for de conhecimento que a fratura ocor-
re pela propagação de uma trinca de superfície com forma elíptica de comprimento 0,25 mm (0,01 in) e que 
tem uma extremidade com raio de curvatura de 1,2 × 10–3 mm (4,7 × 10–5 in) quando uma tensão de 1200 
MPa (174.000 psi) é aplicada.
Solução
Para estimar a resistência à fratura teórica desse material é necessário calcular σm usando a Equação 
M.12b, dado que σ0 = 1200 MPa, a = 0,25 mm, e ρe = 1,2 × 10–3 mm. Dessa forma,
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M.3 Se a energia de superfície específica para o vidro de cal de soda é de 0,30 J/m2, usando os dados da Ta-
bela 7.1, calcule a tensão crítica exigida para a propagação de uma trinca de superfície com comprimento 
de 0,05 mm.
Solução
Podemos determinar a tensão crítica exigida para a propagação de uma trinca de superfície no vidro de 
cal de soda usando a Equação M.14; tomando o valor de 69 GPa (Tabela 7.1) como o módulo de elasticida-
de, temos
M.4 Um componente em poliestireno não deve falhar quando uma tensão de tração de 1,25 MPa 
(180 psi) for aplicada. Determine o comprimento máximo de trinca de superfície admissível se a energia de 
superfície do poliestireno é de 0,50 J/m2 (2,86 H 10–3 in . lbf/in–2). Considere um módulo de elasticidade de 
3,0 GPa (0,435 H 106 psi).
Solução
O comprimento máximo de trinca de superfície admissível para o poliestireno pode ser determinado con-
siderando a Equação M.14; tomando 3,0 GPa como o módulo de elasticidade, e resolvendo para a, temos
M.5 O parâmetro K na Equação M.18a, M.18b e M.18c é uma função da tensão nominal aplicada σ e do 
comprimento da trinca a conforme
Calcule as magnitudes das tensões normais σx e σy na frente de uma trinca de superfície com comprimen-
to de 2,0 mm (0,079 in) (como mostrada na Figura M.7) em resposta a uma tensão de tração nominal de 100 
MPa (14.500 psi) nas seguintes posições:
(a) r = 0,10 mm (3,9 H 10–3 in), θ = 0º
(b) r = 0,10 mm (3,9 H 10–3 in), θ = 45º
(c) r = 0,50 mm (2,0 H 10–2 in), θ = 0º
(d) r = 0,50 mm (2,0 H 10–2 in), θ = 45º
Solução
Esse problema pede que calculemos as tensões normais σx e σy na frente de uma trinca de superfície com 
comprimento de 2,0 mm em várias posições quando uma tensão de tração de 100 MPa é aplicada. A substi-
tuição por nas Eqs. M.18a e M.18b leva a
em que fx(θ) e fy(θ) são definidos na nota de rodapé 6 que acompanha. Para θ = 0º, fx(θ) = 1,0 e fy(θ) = 1,0, en-
quanto para θ = 45º, fx(θ) = 0,60 e fy(θ) = 1,25.
(a) Para r = 0,1 mm e θ = 0º,
2 Solução de Problemas 
(b) Para r = 0,1 mm e θ = 45º,
(c) Para r = 0,5 mm e θ = 0º
(d) Para r = 0,5 mm e θ = 45º
M.6 O parâmetro K nas Eqs. M.18a, M.18b e M.18c é definido no Problema M.5.
(a) Para uma trinca de superfície com comprimento de 2,0 mm (7,87 × 10–2 in), determine a posição ra-
dial em um ângulo θ de 30° na qual a tensão normal σx é de 100 MPa (14.500 psi) quando a magnitude da 
tensão nominal aplicada é de 150 MPa (21.750 psi).
(b) Calcule a tensão normal σy nessa mesma posição.
Solução
(a) Nessa parte do problema, temos que determinar a posição radial na qual σx = 100 MPa (14.500 psi) 
para θ = 30º, a = 2,0 mm e σ = 150 MPa (21.750 psi). A substituição de K na Equação M.18a leva a
Agora, resolvendo para r a partir dessa expressão, tem-se
Para θ = 30º, fx(θ) = 0,79 e, portanto,
(b) Agora, temos que calcular σy nessa posição. Isso é feito usando-se a Equação M.18b; para 
θ = 30°, fy(θ) = 1,14 e, portanto,
Módulo de Suporte Online para Engenharia Mecânica 3
M.7 Abaixo está ilustrada uma parte de uma amostra de tração.
(a) Calcule a magnitude da tensão no ponto P quando a tensão aplicada externamente é de 140 MPa 
(20.000 psi).
(b) Quanto terá que ser aumentado o raio de curvatura no ponto P para reduzir essa tensão em 25%?
Solução
(a) Nessa parte do problema, é necessário calcular a tensão no ponto P quando a tensão aplicada é de 140 
MPa (20.000 psi). Para determinar a concentração de tensões é necessário consultar a Figura M.5c. A partir 
da geometria da amostra, w/h = (40 mm)/(20 mm) = 2,0; além disso, a razão r/h é (4 mm)/(20 mm) = 0,20. 
Considerando a curva para w/h = 2,0 na Figura M.5c, o valor de Ke em r/h = 0,20 é de 1,8. E, uma vez que 
Ke = σm/σ0, então
(b) Agora é preciso determinar quanto r deve ser aumentado para reduzir σm em 25%; essa redu-
ção corresponde a uma tensão de (0,75)(252 MPa) = 189 MPa (27.000 psi). O valor de Ke é, portanto, 
Ke = 
σm
σ0
= 189 MPa
140 MPa
. Usando a curva para w/h = 2,0 na Figura M.5c, o valor de r/h para Ke = 1,35 é de apro-
ximadamente 0,60. Portanto,
Ou, o raio r deve ser aumentado de 4,0 mm para 12,0 mm para reduzir a concentração de tensões em 25%.
M.8 Um orifício cilíndrico com 19,0 mm (0,75 in) de diâmetro passa totalmente através da espessura de uma 
chapa de aço com 12,7 mm (0,5 in) de espessura, 127 mm (5 in) de largura e 254 mm (10 in) de comprimen-
to (veja a Figura M.5a).
(a) Calcule a tensão na aresta desse orifício quando uma tensão de tração de 34,5 MPa (5000 psi) é apli-
cada em uma direção ao longo de comprimento.
(b) Calcule a tensão na aresta do orifício quando a mesma tensão na parte (a) é aplicada em uma dire-
ção ao longo da largura.
Solução
(a) Essa parte do problema pede que calculemos a tensão na aresta de um orifício circular que atravessa a 
espessura de uma lâmina de aço quando é aplicada uma tensão de tração em uma direção ao longo do compri-
mento. Primeiro devemos usar a Figura M.5a – d/w = (19 mm)/(127 mm) = 0,15. A partir da figura e usando 
esse valor, Ke = 2,5. Uma vez que Ke = σm/σ0 e σ0 = 34,5 MPa (5000 psi), então
4 Solução de Problemas 
(b) Agora, torna-se necessário calcular a tensão na aresta do orifício quando a tensão externa é aplicada 
em uma direção ao longo da largura; isso significa simplesmente que w = 254 mm. O valor de d/w é então de 
19 mm/254 mm = 0,075. A partir da Figura M.5a, Ke é de aproximadamente 2,7. Portanto, para essa situação
M.9 Para cada uma das ligas metálicas listadas na Tabela M.3, calcule a espessura mínima do componente 
para a qual a condição de deformação plana é válida.
Solução
Esse problema pede que determinemos o valor de B, a espessura mínima do componente para a qual a con-
dição de deformação plana é válida usando a Equação M.23, para as ligas metálicas listadas na Tabela M.3.
Para a liga de alumínio 7075-T651,
Para a liga de alumínio 2024-T3,
Para a liga de titânio Ti-6Al-4V,
Para o aço liga 4340 revenido a 260ºC,
Para o aço liga 4340 revenido a 425ºC,
M.10 Uma amostra de uma liga de aço 4340 que apresenta uma tenacidade à fratura em deformação plana 
de 45MPa√m (41 Ksi√in ) está exposta a uma tensão de 1000 MPa (145.000 psi). Essa amostra experimen-
tará fratura sabendo-se que a maior trinca de superfície mede 0,75 mm (0,03 in) de comprimento? Por que 
sim, ou por que não? Considere que o parâmetro Y tenha um valor de 1,0.
Solução
Esse problema pede que determinemos se uma amostra de liga de aço 4340 irá ou não fraturar quando ex-
posta a uma tensão de 1000 MPa, dados os valores de KIC, Y, e o maior valor de a no material. Isso exige que 
resolvamos para σC a partir da Equação M.24. Dessa forma,
Portanto, a fratura é provável, pois essa amostra irá tolerar uma tensão de 927 MPa (133.500 psi) antes de 
fraturar, que é menor do que a tensão aplicada de 1000 MPa (145.000 psi).
M.11 Um componente de uma aeronave

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