Tema 5

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MÓDULO 1 
 Reconhecer o comportamento dos materiais sob tensão 
INTRODUÇÃO 
A partir das ideias qualitativas das deformações elásticas (temporárias) e as deformações plásticas (permanentes), é possível estabelecer uma classificação para os materiais: 
dúcteis e frágeis. 
Materiais dúcteis Apresentam uma quantidade elevada de deformação plástica antes do 
rompimento (aço doce, alumínio, cobre etc.). Materiais frágeis Apresentam pouquíssima deformação plástica antes do rompimento 
(vidro, cerâmica, ferro fundido cinzento etc.). 
Atenção 
A análise anterior foi feita de maneira simplificada. Por exemplo, a temperatura de trabalho pode tornar um material dúctil em frágil. É o que acontece com alguns aços que a baixas 
temperaturas comportam-se fragilmente. É a chamada transição dúctil – frágil. 
 
PROPRIEDADES DOS MATERIAIS 
O engenheiro projetista precisa conhecer várias propriedades dos materiais a fim de otimizar seu projeto. Em nossa disciplina, propriedades como tensão de escoamento, 
tensão de ruptura, ductilidade, resiliência, tenacidade, dureza, entre outras, são 
importantes para o dimensionamento de um projeto. 
Essas características estão tabeladas e foram determinadas a partir de ensaios próprios, baseados em normas técnicas. Essas normas indicam a forma do Corpo de Prova (CP) a 
ser utilizado, a temperatura do ensaio, as taxas de carregamentos e várias outras 
condições para execução dos ensaios. 
Via de regra, os projetos são dimensionados para que ocorra certo valor de deformação elástica (temporária). Caso essa estrutura tenha alguma deformação permanente 
(plástica), o projeto precisará ser revisto. 
 
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A transição entre as duas deformações corresponde ao fenômeno do escoamento. A propriedade 
mecânica associada é a tensão de escoamento, fundamental para projetistas. Outra propriedade é 
a ductilidade, que avalia o grau de deformação plástica. Ela pode ser quantificada a partir da 
variação percentual do comprimento ou da área da seção reta. 
A equação 1 mostra as expressões utilizadas nesse cálculo. 
 
Onde: 
 Lf - comprimento final  L0 - comprimento inicial  A0 - área inicial  Af - área final 
Outras propriedades, como resiliência (módulo de resiliência) e tenacidade (módulo de 
tenacidade) estão associadas à quantidade de energia absorvida pelo material por unidade 
de volume. Na resiliência, essa quantidade de energia está no campo elástico e, na tenacidade, envolve também a região plástica, até a ruptura. 
Saiba mais 
No gráfico tensão x deformação (a ser visto), os módulos de resiliência e de tenacidade 
correspondem às áreas sob a curva do gráfico tensão x deformação. 
GRÁFICO TENSÃO X DEFORMAÇÃO 
O primeiro aspecto que deve ser mencionado no estudo do gráfico tensão x deformação é 
a existência de dois gráficos. Um denominado de engenharia e outro verdadeiro. O gráfico 
a ser apresentado é o de engenharia, em que o valor da tensão desconsidera a diminuição da área da seção reta ao longo do ensaio de tração, ou seja, considera a área A0 inicial do corpo de prova. 
Ensaio de tração 
O ensaio de tração é um ensaio normatizado e realizado numa máquina denominada 
máquina de ensaio de tração. Outros ensaios podem ser realizados nessa máquina, como 
o de compressão, o de fadiga de baixo ciclo etc. A norma que conduz a execução do ensaio, inicialmente, determina a forma e as dimensões do corpo de prova a ser utilizado. 
A figura 1 mostra um croqui de um CP padronizado para o ensaio de tração. 
Figura 1 - Corpo de prova para ensaio de tração. 
 
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Em linhas gerais, a máquina para o ensaio de tração é composta por dois travessões 
horizontais, sendo um móvel, a célula de carga, duas garras e um computador para 
aquisição de dados. Um extensômetro é “colado” ao CP para medir a variação em seu comprimento. 
A figura 2 apresenta um esboço de uma máquina para o ensaio de tração 
 
De forma simplificada, o corpo de provas é preso nas garras e o travessão móvel começa 
a se movimentar, a uma taxa predefinida, fazendo com que o CP comece a se deformar. 
Inicialmente, ocorre a deformação elástica e, depois, a transição para a deformação plástica. O ensaio é levado até a ruptura do CP. Os dados são enviados para o 
computador que traça o gráfico tensão x deformação. Dependendo do tipo de material, a 
curva apresenta aspectos diferentes. 
Na figura 3, são mostradas duas curvas características típicas de materiais dúcteis e frágeis. 
Figura 3 – Curva tensão x deformação. 
Observe, na figura, que os gráficos apresentam duas regiões bem distintas. A primeira, 
refere-se ao campo elástico das deformações e, a segunda, ao campo das deformações 
plásticas. No primeiro gráfico, a região plástica é bem extensa, o que caracteriza um material dúctil, enquanto no segundo gráfico, a região plástica é pequena, típica dos 
materiais frágeis. 
 
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Detalhando mais a curva tensão x deformação, é possível citar alguns aspectos 
relevantes. Inicialmente, o CP começa a ser deformado elasticamente (região elástica), 
mantendo um comportamento linear. A transição para a fase plástica é denominada escoamento e, no gráfico, é vista como uma pequena queda na tensão seguida de um 
“serrilhamento”. 
No decorrer do teste, em virtude da deformação plástica e dos mecanismos microscópicos 
associados, ocorre o encruamento (endurecimento por deformação) do CP e a tensão vai aumentando até atingir o ponto máximo (tensão máxima ou última). A partir desse ponto, é 
possível visualizar no CP o “empescoçamento” (estricção) — que é a diminuição acentuada da seção reta—, e o gráfico passa a apresentar uma queda até a ruptura do 
CP. 
Observe a figura 4, na qual a descrição acima é apresentada num gráfico tensão x 
deformação. 
 Figura 4 – Curva tensão x deformação e suas regiões relevantes 
Várias propriedades mecânicas dos materiais podem ser determinadas a partir da curva 
tensão x deformação. A resiliência e a tenacidade são as áreas sob a curva. A resiliência 
apenas na região elástica e a tenacidade sob toda a curva. Observe, esquematicamente, a figura 5 e as regiões citadas. 
 Figura 5 – Resiliência e tenacidade 
 
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Observação: É possível que o ensaio de tração seja interrompido antes da ruptura do CP. Dois 
casos podem ser analisados: a interrupção aconteceu ainda na região elástica ou a interrupção 
ocorreu quando o material já havia sido deformado plasticamente . 
 Figura 6 - Descarregamento durante o ensaio de tração 
Observe que, na fase de descarregamento, a linha tracejada é paralela ao trecho linear da região elástica. 
Muitos materiais não apresentam, no gráfico tensão x deformação, uma transição da 
região elástica para a região plástica explícita (“serrilhamento”), como mostra a figura 4. 
Por vezes, essa transição é muito tênue, conforme a figura 7, o que dificulta determinar o início do escoamento e, consequentemente, a tensão de escoamento. 
Para esses materiais, utiliza-se um limite convencional para a deformação (0,002). A partir 
desse ponto, traça-se uma paralela à reta do regime elástico e a interseção com a curva 
tensão x deformação indicará a tensão de escoamento. Observe a figura: 
 
Figura 7 – Deformação convencional. 
 
 
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MÃO NA MASSA 
1. (CESGRANRIO ‒ 2011 ‒ Petrobras ‒ Técnico de Inspeção de Equipamentos e Instalações Júnior – 
adaptada) 
 A figura acima mostra o diagrama Tensão x Deformação obtido de um corpo de prova de aço. 
Nesse diagrama, podem ser observados os pontos A = 470 MPa, B = 600 MPa e C = 580 MPa. 
As tensões de ruptura, de escoamento e de resistência máxima valem, respectivamente: 
 
A) 470 MPa, 600 MPa e 580 Mpa B) 580 MPa, 470 MPa e 600 Mpa C) 580 MPa, 600 MPa e 470 Mpa D) 470 MPa, 580 MPa e 600 Mpa E) 470 MPa, 600 MPa e 580 Mpa 
 2. (CESGRANRIO ‒ 2012 ‒ Petrobras ‒ Técnico de Manutenção Júnior ‒ Caldeiraria – adaptada)O gráfico acima mostra a região linear do diagrama Tensão x Deformação referente ao ensaio 
de um material dúctil. P é o ponto limite da região linear desse diagrama e vale 400 MPa e a 
deformação associada εp = 0,4 %. Nesse ensaio, quando a tensão foi de 250 MPa, a deformação associada foi equivalente a: 
A) 0,25 mm/mm B) 0,25 % C) 0,0065 mm/mm D) 0,10 % E) 0,025 % 
 
 
 
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3. (CESGRANRIO ‒ 2011 ‒ PETROQUÍMICA SUAPE ‒ Engenheiro de Manutenção Pleno ‒ Mecânica) 
 A figura acima mostra o diagrama Tensão x Deformação, típico de um aço, em que são 
indicados os pontos O, P, Q e R. Sendo solicitada por tração até o ponto Q, uma barra desse 
material apresentará uma: 
A) Ruptura. B) Deformação nula se for totalmente descarregada após o carregamento. C) Deformação residual se for totalmente descarregada após o carregamento. D) Deformação igual a εQ após totalmente descarregada. E) Tensão σQ = E.εQ, em que E é o módulo de elasticidade do aço. 4. (FUNRIO ‒ 2017 ‒ SESAU-RO ‒ Técnico em Aparelho e Equipamentos Hospitalares) Observe o 
diagrama tensão (σ) x deformação (ε) obtido em um ensaio de tração de uma peça de aço carbono. 
 Com base nesse diagrama, pode-se afirmar que a tensão de escoamento desse aço vale: 
A) 200 Mpa B) 220 Mpa C) 420 Mpa D) 450 Mpa E) 500 Mpa 
 
 5. Considere uma liga metálica X submetida a um ensaio de tração. O gráfico do ensaio é 
apresentado na figura abaixo. Se um corpo cilíndrico de diâmetro 25 mm engastado em uma 
parede é submetido a um esforço por uma carga axial na extremidade livre, determine o valor 
máximo dessa força para que não ocorra deformação plástica. 
 
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 A) 122,6 kN B) 490,1 kN C) 171,7 kN D) 686,8 kN E) 253,4 kN 6. Um Corpo de Prova (CP) padrão para o ensaio de tração tem dimensões padronizadas por 
normas para o ensaio. O comprimento útil é de 50 mm e a seção reta tem 13 mm de diâmetro. 
Determinada liga metálica será ensaiada numa máquina de ensaio de tração. Ao se realizar o 
ensaio de tração, seu comprimento alcança 70 mm ao final do teste, ou seja, na ruptura. 
Utilizando a variação do comprimento para avaliar aproximadamente a ductilidade dessa liga, 
qual o valor encontrado? 
 A) 15% B) 25% C) 30% D) 40% E) 45% 
 
 TEORIA NA PRÁTICA 
 Uma liga metálica nova foi desenvolvida num centro de pesquisas por engenheiros de materiais para utilização específica como peça de um projeto. Nas especificações, a peça deve trabalhar com carregamentos que variam, mas que nunca ultrapassam a região elástica. Por se tratar de um material novo, as principais propriedades mecânicas não se encontram tabeladas. O engenheiro chefe do projeto pede que um de seus estagiários determine a tensão de escoamento dessa liga, pois esta será utilizada como limite no dimensionamento da peça. O aluno estagiário recorda-se de seus ensinamentos a respeito das propriedades dos materiais e tentará solucionar o problema utilizando o ensaio de tração. Inicialmente, ele procura o laboratório de ensaios mecânicos e constata que existe uma máquina apropriada para o ensaio. Ele solicita que dez Corpos de Provas (CPs) sejam preparados, a partir das instruções da norma do ensaio. A sua ideia é realizar dez testes e fazer um estudo estatístico para a tensão de escoamento, determinando o valor médio e uma medida de dispersão, por exemplo, o desvio padrão. Com os CPs preparados, iniciou os testes e coletou os dados provenientes da máquina para utilizar um software que plotasse a curva tensão x deformação. Em um dos testes, ele encontrou a seguinte curva 
 
 
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 O aluno percebeu que o diagrama apresentava o aspecto típico, com um escoamento bem definido. Portanto, ele concluiu, para esse ensaio, que a tensão de escoamento dessa nova liga é igual a 320 MPa. Repetiu o teste mais 9 vezes e encontrou valores próximos a 320 MPa. A partir de seus conhecimentos de Estatística, determinou a média (322 MPa) e o desvio-padrão (5 MPa). Em seu relatório, apresentou para o engenheiro a tensão de escoamento da liga da seguinte forma: 
 VERIFICANDO O APRENDIZADO 
 
1. (CONSULPLAN ‒ 2012 ‒ TSE ‒ Analista Judiciário ‒ Engenharia Mecânica ‒ adaptada) Os materiais metálicos em Engenharia podem ser classificados em dúcteis e frágeis. Com relação a esse tipo de classificação, assinale a alternativa correta A) Material dúctil não apresenta grandes deformações antes de romper. B) O ferro fundido é um típico exemplo de material dúctil. C) Material frágil se deforma relativamente pouco antes de romper. D) O alumínio é um típico exemplo de material frágil. E) Os materiais dúcteis não apresentam deformações elásticas. 
 
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2. (UECE-CEV ‒ 2018 ‒ Prefeitura de Sobral ‒ CE ‒ Analista de Infraestrutura ‒ Engenharia 
Mecânica) Observe o diagrama Tensão x Deformação para um aço, representado na figura abaixo. 
 Atente ao que se diz sobre o diagrama acima: I. A zona "I" do gráfico corresponde à região onde o material apresenta um comportamento 
elástico, em que até a tensão σ1 a relação σ x ε é linear. 
II. Ao atingir a tensão σ2, o material começará a escoar, deformando-se plasticamente sem apresentar qualquer aumento na carga, sendo então classificado como perfeitamente plástico durante toda a zona "II" do gráfico. III. Na zona "III" do gráfico, o material passa por um processo de endurecimento por deformação, chamado de encruamento. IV. Na zona "IV" do gráfico, o material passa por um processo de redução localizada da área da 
seção transversal, denominado estricção, até atingir a sua tensão de ruptura σ3. 
A) I, II e IV apenas B) I, II e III apenas C) III e IV apenas D) I e III apenas E) I, II, III e IV 
MÓDULO 2 
 Definir a Lei de Hooke e o coeficiente de Poisson 
INTRODUÇÃO 
Muitos materiais, quando sob carregamento, apresentam uma fase inicial em que as 
grandezas tensão e deformação normais são diretamente proporcionais. O gráfico Tensão 
x Deformação estudado no módulo anterior (ver figura 4) apresenta, na região elástica, um comportamento linear. 
 
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É a partir desse comportamento linear que é possível determinar a propriedade do material 
denominada módulo de elasticidade (E) ou módulo de Young. Em linhas gerais, são 
propriedades que quantificam a rigidez de um material. 
Exemplo 
Algumas classes de ligas de alumínio apresentam o módulo de elasticidade de 70 GPa, 
enquanto algumas classes de aço apresentam valores em torno de 200 GPa, ou seja, 
cerca de três vezes mais rígidos. 
Mas como determinar tais valores? A partir do gráfico Tensão x Deformação, estudado no módulo 1, será possível. 
 
LEI DE HOOKE 
A deformação imposta a uma estrutura é proporcional à tensão a que esta se encontra 
submetida. A partir do gráfico Tensão x Deformação simplificado (ver figura 8), é possível identificar um comportamento linear (reta). 
O coeficiente angular dessa reta, ou seja, a tangente do ângulo que a reta faz com a 
horizontal, é dado pela expressão do coeficiente angular = 
Figura 8 - Módulo de elasticidade. 
O coeficiente angular encontrado no gráfico da figura 8 é denominado módulo de elasticidade do material (E). Para gráficos com essa região linear mais vertical, maior é o 
valor do módulo de elasticidade, ou seja, mais rígido o material. 
A partir da expressão anterior, utilizada para determinar o coeficiente angular, é possível 
escrever a lei conhecida como Lei de Hooke. 
Observe a sequência de passos matemáticos: 
 
 
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A equação 2 é a Lei de Hooke, utilizada para deformações normais (de tração ou 
compressão) elásticas. 
É importante ressaltar que, uma vez que a deformação ε é adimensional (sem unidade), a tensão 
(σ) e o módulo de elasticidade (E) apresentam as mesmas unidades, por exemplo MPa ou GPa, 
sendo a última mais comum. 
Exemplo 
Suponha que uma peça de aço tenha seção reta quadrada e comprimento 2 m. Uma das 
extremidades encontra-se presa a uma estrutura e a outra (extremidade livre) é tracionada 
de tal forma que seu comprimento aumenta em 2,1 mm. Considerando que essa peça apresenta módulo de elasticidade Eigual a 200 GPa, determine a tensão a que está 
sujeita a peça. Suponha que a deformação seja apenas elástica. 
 
 
Observação: Da mesma forma que foi estudado o gráfico Tensão x Deformação (normal), existe o gráfico Tensão cisalhante x Deformação cisalhante. Os mesmos argumentos apresentados no item Lei de Hooke, resultam nesta Lei aplicada ao cisalhamento. 
 
A equação 3 descreve a expressão matemática dessa lei. 
 
 
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Atenção 
Os módulos de elasticidade E e G apresentam as mesmas unidades. 
COEFICIENTE DE POISSON 
Para entender o parâmetro denominado coeficiente de Poisson (ν), inicialmente, será feita uma avaliação qualitativa simplificada. 
Suponha um cilindro homogêneo de área da base A0 e comprimento L0. submetido a um par de forças axiais trativas. Considerando que todo o fenômeno ocorre no regime elástico, 
o cilindro passará a ter um comprimento Lf (Lf > L0). Considerando a conservação do volume do cilindro, nas condições inicial e final, é verdade que A0.L0 = Af.Lf. Como Lf > L0, é verdade que Af < A0. Assim, o aumento em dada direção (longitudinal) provocará a redução nas direções laterais. 
Antes de ser apresentada a definição do coeficiente de Poisson, é preciso conhecer um pouco mais sobre materiais isotrópicos, ou seja, materiais que apresentam propriedades 
que independem da direção adotada. A madeira, por exemplo, pela existência das fibras em certa direção, apresenta comportamento mecânico distinto em direções distintas. É um 
material anisotrópico. 
A definição do coeficiente de Poisson (ν) é dada pela equação 4 
 
Observe a figura 9, em que um corpo cilíndrico é tracionado e ocorre um alongamento na 
direção longitudinal e uma contração na direção lateral, na região elástica 
Figura 9 - Corpo deformado elasticamente. Note que as deformações longitudinal (axial) e lateral (radial) apresentam sempre sinais 
opostos, indicando que em uma delas houve um aumento no comprimento (deformação positiva) e, na outra, uma redução (deformação negativa). Assim, na expressão do 
coeficiente de Poisson (equação 4), o valor desse parâmetro é sempre positivo. Ademais, 
o coeficiente de Poisson é adimensional (sem unidade). 
 
 
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MÃO NA MASSA 
1. (IMA ‒ 2019 ‒ Prefeitura de Fortaleza dos Nogueiras ‒ MA ‒ Engenheiro Civil- adaptada) Chama-se __________ à relação entre a deformação transversal relativa e a deformação longitudinal relativa. É uma grandeza sem dimensões. ________ = (Δe/e0) / (Δl/l0). A alternativa abaixo que completa corretamente a lacuna é: A) Coeficiente de Poisson B) Constante de Newton C) Constante de Hooke D) Coeficiente de Kirchhoff E) Módulo de Young 
 
 
 2. (FGV ‒ 2010 ‒ FIOCRUZ ‒ Técnico em Saúde Pública ‒ Construção Civil) O coeficiente de Poisson 
de um material para o qual entre o módulo de elasticidade longitudinal E e o transversal G existe a 
relação E = 2,5.G, vale: 
 A) 0,25 B) 0,30 C) 0,35 D) 0,45 E) 0,50 
 
 
 
 3. (FCC ‒ 2014 ‒ TCE-RS ‒ Auditor Público Externo ‒ Engenharia Civil ‒ Conhecimentos 
Específicos) Considere a barra prismática da figura abaixo. 
 A barra possui 5 cm² de área da seção transversal e está submetida a uma carga axial de 
compressão P = 50 kN. Se o módulo de elasticidade do material da barra for de 200 GPa, a sua 
deformação específica longitudinal é: 
A) 0,0005 B) 0,000005 C) 0,00005 D) 0,005 E) 0,05 
 
 
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4. (FUNIVERSA ‒ 2015 ‒ UEG ‒ Analista de Gestão Administrativa ‒ Engenharia Civil) Uma barra de 
aço, de seção quadrada (10 cm x 10 cm) e comprimento original de L=1 m, vai ser carregada por 
um recipiente que contêm cimento e que aplicará uma força de tração na barra de 100 kN, como 
mostra a figura abaixo. 
 Considerando que o módulo de elasticidade da barra é de 100.000 MPa, o alongamento da 
barra (ΔL) devido ao carregamento é: 
A) 0,0001 mm B) 0,001 mm C) 0,1 mm D) 1 mm E) 10 mm 
 
 5. Um corpo metálico com seção quadrada foi submetido a um esforço na região elástica e sua 
deformação normal longitudinal foi de 8. 10-3 mm/mm. Se a deformação (contração) lateral foi 
de – 2.8.10-3 mm/mm, qual o coeficiente de Poisson desse material? 
 A) 2,86 B) - 2,86 C) 0,35 D) - 0,35 E) 0,25 
 
6. (FCC ‒ 2018 ‒ EMAE-SP ‒ Engenheiro ‒ Mecânica) Uma barra prismática de aço, com seção 
transversal quadrada, tem 5,0 m de comprimento e está solicitada por uma força axial de tração F 
= 1000 N. Sabendo-se que o alongamento da barra é de 0,25 mm e que seu módulo de elasticidade é 
Ε = 200 GPa, então a aresta da seção transversal da barra é: 
 A) 25 mm B) 10 mm C) 2,0 cm D) 12 mm E) 50 cm 
 
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TEORIA NA PRÁTICA 
O estagiário de uma empresa recebeu a incumbência de determinar a elongação de uma peça a ser utilizada numa estrutura de um projeto. Como toda a estrutura trabalha no regime elástico, a deformação da peça não pode ser plástica, apenas elástica. Pensando no conhecimento já aprendido em seu curso de Engenharia, percebeu que precisaria ter algumas informações para responder corretamente ao engenheiro. Lendo o projeto, descobriu que a peça é de aço com tensão de escoamento 300 MPa e módulo de Elasticidade ou de Young de 200 GPa. Além dessas informações, conseguiu descobrir que a peça é um cilindro com 60 cm de comprimento e ficará sujeita a um esforço axial de tração. Como informação adicional, descobriu que o fator de segurança utilizado é de 1,5. VERIFICANDO O APRENDIZADO 
 
1. (CEPS-UFPA - 2018 - UFPA - Técnico em Edificações) O parâmetro mecânico que proporciona uma medida da rigidez de um material sólido e que é obtido na fase de comportamento elástico linear dos materiais é denominado: A) Módulo de Euler ou constante de flambagem B) Módulo de deformação ou módulo transversal C) Coeficiente de Poisson D) Módulo de Young ou módulo de elasticidade E) Constante elástica 
2. (UFPA ‒ 2017 ‒ UFPA ‒ Técnico de Laboratório ‒ Mecânica) A Lei de Hooke estabelece uma relação 
entre tensão e deformação. Considere uma barra de comprimento “L” e seção transversal “A” 
submetida a uma carga uniaxial “F”. Essa barra possui um módulo de Young “E”. Com base na Lei de 
Hooke, é correto afirmar que o alongamento (∆L) sofrido por essa barra é igual a: 
A) B) C) D) E) 
 
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MÓDULO 3 
 Calcular tensão térmica 
INTRODUÇÃO 
No estudo das tensões de origem térmica, é necessário compreender que a variação de 
temperatura modifica as dimensões do corpo, seja aumentando ou diminuindo 
Na Engenharia, dependendo das restrições de uma estrutura, o aumento ou a diminuição 
das dimensões podem gerar tensões “extras” cuja origem se deve à mudança na temperatura. No desenvolvimento de um projeto, dependendo da ordem de grandeza 
dessas tensões, não devem ser ignoradas. 
 
DILATAÇÃO TÉRMICA 
No estudo microscópico dos materiais, é conhecido que os átomos que formam o material oscilam. A medida desse grau de agitação é a temperatura. Quando esse grau é elevado, 
significa que a energia cinética dos átomos é alta e colisões são mais prováveis, liberando 
energia na modalidade de calor, o que eleva a temperatura do corpo macroscopicamente. De maneira inversa, ocorre a diminuição da temperatura. 
A fim de se encontrar uma expressão matemática que determine a variação na dimensão 
de um corpo, será feita uma análise de que variáveis influenciam nessa mudança dimensional. Inicialmente, serão tomadas como premissas que o material é homogêneo e 
que uma de suas dimensões é muito maior que as outras duas (corpo unidimensional). 
Observe na figura 10 uma barra metálica de comprimento L0 e que está em um ambiente em que a temperatura é T0. 
Figura 10 - Barra de comprimento L0 
A variação do comprimento (ΔL) da barra depende de três variáveis: o seu comprimento inicial 
(L0), a variação da temperatura (ΔT) e do tipo de material, sendo esta última variável uma 
característica do material denominada coeficiente de expansão térmica (α). 
Matematicamente, ΔL é diretamente proporcional às grandezas ΔT, L0 e α, ou seja, pode ser determinado pela equação 5 a seguir. 
 
 
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Observe, na figura11, uma situação em que uma barra tem seu comprimento aumentado 
em ΔL, devido a um aumento da temperatura (ΔT) 
Figura 11 - Variação no comprimento de uma barra. 
Atenção 
A unidade utilizada para o coeficiente de expansão térmica é 0C-1 
Exemplo 
Suponha uma barra de aço de comprimento 5 m engastada em uma parede. Às 2h da madrugada, a temperatura ambiente é de 10 0C. Considerando o coeficiente de expansão 
térmica do aço igual a 15.10-6 0C-1, determine a maior temperatura a que a barra pode ficar 
submetida para não exercer força sobre a outra parede, uma vez que sua extremidade livre está afastada 1,5 mm dessa parede. Observe a figura a seguir. 
. 
 
 
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TENSÕES TÉRMICAS 
No estudo das tensões térmicas, será utilizada uma simbologia diferente para a equação 
5. A variação no comprimento (ΔL) devido à variação da temperatura, será apresentada por δT. Dessa forma, a equação 5 poderá ser reescrita como a equação 6. 
 
 
A relação apresentada na equação 6 é adequada para situações em que o material é homogêneo (coeficiente de expansão térmica constante ao longo do comprimento da 
peça) e a variação da temperatura é igual em toda a peça. Contudo, essas premissas nem sempre podem ser adotadas na modelagem física do problema, principalmente em relação 
à variação da temperatura que pode mudar ao longo do comprimento (ΔT (x)). Assim, a 
relação a ser utilizada é a apresentada na equação 7. 
 
Atenção 
Perceba que se as premissas descritas no parágrafo anterior forem adotadas, a equação 7 
se apresentará como a equação 6. Note que se α e ΔT (x) são constantes, a integral torna-
se. 
 
Em relação à tensão por ação de uma força externa sobre uma área, a visualização do 
conceito é facilitada, pois os entes envolvidos são concretos (força e área). Contudo, 
quanto às tensões térmicas, o “surgimento” destas é mais abstrato. A fim de que o entendimento seja facilitado, será utilizado um exemplo. 
 
 
Para que seja entendida a origem da variação no comprimento, serão utilizados δT e δF. A primeira tem origem na variação da temperatura e, a segunda, por ação de uma força. 
Suponha uma barra metálica homogênea de comprimento L0, feita de material com coeficiente de expansão térmica α, seção reta constante de valor A engastada em duas 
paredes verticais, conforme a figura 12. 
 
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Figura 12: Barra duplamente engastada. 
Inicialmente, a temperatura ambiente é T0 e sofre um acréscimo ΔT. Caso a extremidade B estivesse sem restrição à translação da barra, o aumento no comprimento desta seria 
calculada por 
Observe na figura 13 essa abstração. 
Figura 13: Barra com acréscimo no comprimento devido à variação da temperatura. 
De fato, esse aumento δT é só uma abstração, o ponto B não ocupará a posição B’, pois existe a parede impedindo esse movimento. Dessa forma, o que ocorre é que a parede exerce uma força impedindo o movimento de B. Na figura 14 é representada essa força e 
o deslocamento de B’ para B, também de forma abstrata. Assim, de fato, a extremidade B da barra não se desloca. 
Figura 14: Barra com decréscimo no comprimento devido à força exercida pela parede. 
Atenção 
As variações mostradas nas figuras 13 e 14 são abstrações. De fato, elas não ocorrem. Os 
seus módulos devem ser iguais para garantir que não ocorra movimento do ponto B. 
Observe que nessas figuras existem dois sentidos. Será suposto que para a direita é positivo e, para a esquerda, negativo. Desse modo, como a variação da posição de B é 
nula, é possível escrever a equação da compatibilidade geométrica, ou seja: 
 
 
21 
 
 
Perceba, a partir da expressão, que caso não ocorra variação na temperatura, ou seja, se ΔT = 0, a tensão será nula. Assim, fica evidenciado que a origem dessa tensão é pela 
variação da temperatura (tensões térmicas). 
Para que a sequência algébrica apresentada anteriormente seja mais facilmente 
entendida, será realizado um exemplo numérico. 
Exemplo 
Suponha que uma barra cilíndrica de aço tenha coeficiente de expansão térmica igual a 
15.10-6 0C-1, comprimento 1,5 m, área circular de diâmetro 12 mm e módulo de elasticidade E igual a 200 GPa. A barra apresenta-se engastada em duas paredes verticais e sem 
nenhuma tensão atuando. A temperatura ambiente é de 200 C. Quando a temperatura 
ambiente for de 300 C, determine a força que a parede exerce sobre a barra e a tensão térmica. 
 
Inicialmente, deve-se notar que há restrições em A e B que não permitem a livre variação na dimensão da barra. Assim, a equação de compatibilidade é dada por: 
 
22 
 
 
MÃO NA MASSA 
1. Considere uma barra de aço do tipo ABC em que seu coeficiente de expansão térmica é de 
12.10-6 0C-1. Se a barra possui comprimento inicial de 2 m a 10 0C, determine sua variação no 
comprimento, quando submetida a uma de temperatura de 30 0C. 
 
A) 0,72 mm B) 0,60 mm C) 0,48 mm D) 0,40 mm E) 0,20 mm 
2. Um corpo, quando submetido a um aumento de temperatura, tem suas dimensões aumentadas. 
Essa característica é intrínseca ao material. Por exemplo, o alumínio apresenta mais facilidade de 
sofrer aumento em suas dimensões do que um aço, nas mesmas condições iniciais. A respeito das 
tensões térmicas, são feitas três afirmativas. 
 
I – A temperatura de um corpo metálico é a medida do grau de agitação térmica de seus átomos. 
 
II – A variação do comprimento de um corpo é diretamente proporcional à temperatura do ambiente 
em que se encontra. 
 
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III – A variação do comprimento de um corpo é inversamente proporcional ao seu comprimento 
inicial. 
 
Sobre as afirmativas acima, é correto afirmar que: 
 A) Apenas a afirmativa I é correta B) Apenas as afirmativas I e II são corretas. C) Apenas as afirmativas I e III são corretas. D) Apenas as afirmativas II e III são corretas. E) Apenas a afirmativa III é correta. 
 
3. (CESGRANRIO ‒ 2018 ‒ Transpetro ‒ Técnico de Inspeção de Equipamentos e Instalações 
Júnior) Duas barras metálicas, uma de aço e outra de alumínio, possuem uma das extremidades livre. 
Quando a temperatura ambiente é 0 °C, a distância entre as barras é de 5,00 cm, como mostra a 
figura. 
 Dados: 
Coeficiente de dilatação do aço = 1,20 . 10-5 °C-1 
Coeficiente de dilatação do alumínio = 2,40 . 10-5 °C-1 
 
A temperatura em °C a partir da qual uma barra encosta na outra é, aproximadamente, 
A) 15,9 B) 36,2 C) 41,7 D) 52,1 E) 277,0 
 
 
 
 
 
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4. Suponha uma barra de alumínio de comprimento 2 m engastada em uma parede e sua 
extremidade livre com uma folga, de outra parede, de 2 mm quando a temperatura ambiente 
é de 15 °C. Determine a temperatura máxima a que a barra pode ser exposta, sem exercer 
força sobre a outra parede. Considere o coeficiente de expansão térmica do alumínio 23.10-
6 °C-1. 
 A) 43,5 °C B) 58,5 °C C) 63,5 °C D) 68,5 °C E) 73,5 °C 
 5. Considere uma barra AB horizontal de comprimento 1 m, suspensa por dois fios de materiais 
distintos (alumínio e aço). Os cabos de aço e alumínio têm 2 m de comprimento cada. Quando 
a temperatura varia em + 40 °C, determine a inclinação da barra AB. Considere que os cabos 
permaneçam na vertical. Observe a figura. 
 
Dados: 
Coeficiente de dilatação do aço = 1,20 . 10-5 °C-1 
Coeficiente de dilatação do alumínio = 2,40 . 10-5 °C-1 
 A) 0,00096° B) 0,0396° C) 0,0168° D) 0,060° E) 0,055° 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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6. Considere que uma barra tenha comprimento 5 m, seção retangular de 100 mm de altura e 
base 50 mm quando a temperatura ambiente é de 10 °C. Uma das extremidades da barra está 
engastada no solo e a outra livre, com uma folga de 1 mm de uma parede. Observe a figura. 
Quando a temperatura se eleva a 40 °C, a barra toca o teto e uma tensão de origem térmica 
“surge”. Determine-a, sabendo que o material da barra tem coeficiente de expansão térmica 
igual a 1,20 x 10-5 °C-1 e módulo de elasticidade E = 200 GPa. 
 A) 32 Mpa B) 35 Mpa C) 40 Mpa D) 42 Mpa E) 45 Mpa 
 
 TEORIA NA PRÁTICA 
 Entre duas partes de uma grande estrutura existe uma barra horizontal de 5 m de comprimento engastadaem uma dessas partes e afastada 2 mm da segunda parte nas condições de temperatura de 20 0C. A barra é feita de aço com módulo de Young (E) de 200 GPa e coeficiente de expansão térmica (α) 1,20 . 10-5 0C-1. Qual a máxima variação de temperatura para que a barra não exerça força sobre a parte 2 (ver figura)? Se a temperatura se elevar a 80 0C, qual a tensão de origem térmica na barra? 
 
 
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VERIFICANDO O APRENDIZADO 
 
1. Um tubo para conduzir um gás tem diâmetro externo de 12 mm, diâmetro interno 10 mm e 
2 metros de comprimento disposto horizontalmente e perfeitamente ajustado entre duas 
paredes quando a temperatura é de 20 °C. Quando o gás passa em seu interior, a temperatura 
chega a 120 °C. Supondo que o coeficiente de expansão térmica do material é de 18 . 10-6 °C-
1 e o módulo de elasticidade de 210 GPa. Nessa situação, qual é a força que a parede e o tubo 
trocam quando a temperatura se eleva? 
A) 10,8 kN 
B) 13,1 kN 
C) 15,2 kN 
D) 21,4 kN 
E) 25,6 kN 
 2. Muitas estruturas metálicas estão em ambientes onde a amplitude térmica (variações de 
temperatura) é elevada, o que provoca o aparecimento de tensões de origem térmica. A 
respeito dessas tensões são feitas três afirmativas: 
 
I – As tensões térmicas podem ser trativas ou compressivas. 
 
II – As tensões térmicas dependem do tipo de material da estrutura. 
 
III – A equação da compatibilidade é dada por δT- δF = 0. 
É correto afirmar que: 
 A) Apenas a afirmativa I é verdadeira. B) Apenas as afirmativas I e II são verdadeiras. C) Apenas as afirmativas I e III são verdadeiras. D) Apenas as afirmativas II e III são verdadeiras. E) Apenas a afirmativa II é verdadeira. 
 
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CONSIDERAÇÕES FINAIS 
Neste tema, estudamos o comportamento dos materiais sob a ação de cargas axiais, 
considerando-os deformáveis. Mostramos os tipos de deformação: elástica (temporária) e 
plástica (permanente). 
Apresentamos o ensaio de tração em que a curva tensão x deformação é seu output. A partir 
dessa curva, uma série de propriedades dos materiais podem ser determinadas, como o 
módulo de elasticidade, a ductilidade, o limite de escoamento etc. Ademais, apresentamos uma 
lei matemática (a Lei de Hooke) que rege o comportamento do material sob forças na região 
linear do gráfico Tensão x Deformação. No último módulo, apresentamos o conceito e a origem 
das tensões térmicas. 
REFERÊNCIAS 
BEER, F. P.; JOHNSTON, E. R. J. Resistência dos Materiais. 3. ed. São Paulo, SP: Pearson, 1995. 
HIBBELER, R. C. Resistência dos Materiais. 7. ed. São Paulo, SP: Pearson, 2010. 
 
EXPLORE+ 
Para saber mais sobre os assuntos tratados neste tema, leia: 
Sobre propriedades dos materiais, o capítulo 3 de Resistência dos Materiais, de R. C. Hibbeler. 
Sobre tensões térmicas, as páginas 106 a 110 de Resistência dos Materiais, de R. C. Hibbeler.