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Solução dos Problemas do Módulo Online de Engenharia Mecânica

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da razão KIc – σl. Os valores 
de KIc e σl conforme tomados das Tabelas B.4 e B.5 estão listados a seguir. (Nota: quando for dada uma faixa 
de valores de σl e KIc, o valor médio deverá ser usado.)
Material KIc = (MPa√m) σl(MPa)
Náilon 6,6 2,75 51,7
Policarbonato 2,2 62,1
Polietileno tereftalato 5,0 59,3
Polimetil metacrilato 1,2 63,5
Com base nesses valores, os quatro polímeros são classificados conforme os quadrados das razões 
KIc – σl, da seguinte maneira:
Material
PET 7,11
Náilon 6,6 2,83
PC 1,26
PMMA 0,36
σl
KIc __
2
(mm)
Esses valores são menores do que aqueles para as ligas metálicas dadas na Tabela M.4, que variam entre 
0,93 e 43,1 mm.
Módulo de Suporte Online para Engenharia Mecânica 35
(b) Em relação ao critério de vazamento antes da ruptura, é usada a razão K2Ic – σl. Os quatro polímeros 
são classificados de acordo com os valores dessa razão, da seguinte maneira:
Material
PET 0,422
Náilon 6,6 0,146
PC 0,078
PMMA 0,023
σl
KIc __
2
(MPa-m)
Esses valores são todos menores que aqueles para as ligas metálicas dados na Tabela M.5, cujos valores 
variam entre 1,2 e 11,2 MPa⋅m.
TAXA DE PROPAGAÇÃO DA TRINCA
M.P13 Considere uma chapa plana de alguma liga metálica que deve ser exposta a um ciclo repetido de 
tração–compressão no qual a tensão média é de 25 MPa. Se os comprimentos inicial e crítico de uma trin-
ca de superfície são de 0,25 e 5,0 mm, respectivamente, e os valores de m e A são de 4,0 e 5 H 10–15, respec-
tivamente (para ∆σ em MPa e a em m), estime a tensão de tração máxima para que se tenha uma vida em 
fadiga de 3,2 H 105 ciclos. Assuma que o parâmetro Y tenha um valor de 2,0, o qual é independente do com-
primento da trinca.
Solução
Nesse problema, devemos estimar a tensão de tração máxima que produzirá uma vida em fadiga de 3,2 × 
105 ciclos, dados os valores de a0, ac, m, A e Y. Uma vez que Y é independente do comprimento da trinca, po-
demos usar a Equação M.48, a qual, após integração, assume a forma
E, para m = 4,
Agora, resolvendo para ∆σ a partir dessa expressão, temos
36 Solução de Problemas 
Esses 350 MPa serão a tensão de tração máxima, uma vez que podemos mostrar que a tensão mínima é uma 
tensão de compressão – quando σmín é negativa, ∆σ é tomado como σmáx. Se tomamos σmáx = 350 MPa, e uma 
vez que σm é estipulado no problema como tendo um valor de 25 MPa, então, a partir da Equação M.38,
Portanto, σmín é negativo, o que justifica tomar σmáx como 350 MPa.
M.P14 Considere uma grande chapa plana de uma liga metálica que deve ser exposta a ciclos de tração–
compressão alternados com amplitude de tensão de 150 MPa. Se inicialmente o comprimento da maior trin-
ca de superfície nessa amostra é de 0,75 mm e a tenacidade à fratura em deformação plana é de 35 MPa√m, 
enquanto os valores de m e de A são de 2,5 e 2 H 10–12, respectivamente (para ∆σ em MPa e a em m), esti-
me a vida em fadiga dessa placa. Assuma que o parâmetro Y tenha um valor de 1,75 que é independente do 
comprimento da trinca.
Solução
Esse problema pede que estimemos a vida em fadiga de uma grande chapa plana dado que σa = 150 MPa, 
a0 = 0,75 mm, KIc = 35 MPa√m , m = 2,5, A = 2 × 10–12 e Y = 1,75. Primeiro torna-se necessário calcular o 
comprimento crítico da trinca, ac. Usando a Equação M.25, e assumindo um nível de tensão de 150 MPa, uma 
vez que essa é a máxima tensão de tração, temos
Agora queremos resolver a Equação M.48 usando um limite de integração inferior, a0, de 7,5 × 10–4 m, confor-
me estabelecido no problema; além disso, o valor de ∆σ é de 150 MPa. Portanto, a integração fornece para Nf ,
E para m = 2,5,
M.P15 Considere um componente metálico exposto a tensões cíclicas de tração–compressão. Se a vida em 
fadiga deve ser no mínimo de 5 H 106 ciclos e sabe-se que o máximo comprimento inicial de um trinca de 
superfície é de 0,02 in e que a tensão de tração máxima é de 25.000 psi, calcule o comprimento crítico da 
_
_
_
_
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trinca de superfície. Considere que Y seja independente do comprimento da trinca e que tenha um valor de 
2,25, e que m e A tenham valores de 3,5 e 1,3 H 10–23, respectivamente, para ∆σ e a em unidades de psi e in, 
respectivamente.
Solução
Nesse problema devemos estimar o comprimento crítico de uma trinca de superfície que produzirá uma 
vida em fadiga de 5 × 106 ciclos, dado que a0 = 2,0 × 10–2 in, σmáx = 25.000 psi, m = 3,5, A = 1,3 × 10–23 e Y = 
2,25. Uma vez que Y é independente do comprimento da trinca, podemos usar a Equação M.48, a qual, com 
a integração, assume a forma
E para m = 3,5,
Resolvendo para ac a partir dessa expressão leva a
_
_
M.P16 (a) Calcule valores para os parâmetros A e m na Equação M.43 (tanto em unidades SI quanto comuns 
nos Estados Unidos) para a taxa de propagação de uma trinca no aço Ni–Mo–V para o qual o gráfico de log 
da/dN em função de log ∆K está mostrado na Figura M.35.
(b) Suponha que um componente metálico fabricado a partir dessa liga de aço Ni–Mo–V seja exposto a 
tensões cíclicas de tração–compressão. Se a vida em fadiga deve ser de no mínimo 3 H 105 ciclos e sabe-se 
que o comprimento crítico da trinca de superfície é de 1,5 mm e a tensão de tração máxima é de 30 MPa, 
calcule o máximo comprimento inicial de uma trinca de superfície. Considere que Y seja independente do 
comprimento da trinca e que tenha um valor de 1,25.
Solução
(a) Para essa parte do problema, devemos calcular, para o gráfico da Figura M.35, valores para os parâ-
metros A e m na Equação M.43. Tirando os logaritmos de ambos os lados dessa expressão leva-se à Equação 
M.45b, que é
38 Solução de Problemas 
Então, tudo o que precisamos fazer é tomar dois valores de log(da/dN) da linha mostrada na Figura M.35 
e seus valores de log(∆K) correspondentes, e então desenvolver duas expressões da equação anterior e resol-
ver simultaneamente para A e m. Em primeiro lugar, para as unidades SI, vamos tomar log(da/dN)1 = –2 e 
log (da/dN)2 = –4; dessa forma, seus valores de log(∆K) correspondentes são log(∆K)1 = 2,041 e log(∆K)2 = 
1,442. Assim, as duas equações resultantes são as seguintes:
A solução simultânea dessas duas expressões leva a m = 3,34 e A = 1,52 × 10–9.
Agora, para unidades comuns nos Estados Unidos, vamos tomar log(da/dN)1 = –4 e log (da/dN)2 = –5, o 
que leva a log(∆K)1 = 1,9140 e log(∆K)2 = 1,5530. E as duas equações são
E as soluções resultantes são m = 2,77 e A = 5 × 10–10.
(b) Para essa parte do problema, para essa liga Ni–Mo–V, devemos calcular o máximo comprimento ini-
cial de uma trinca de superfície para produzir uma vida em fadiga mínima de 3 × 105 ciclos, considerando um 
comprimento crítico de trinca de superfície de 1,5 mm, uma tensão de tração máxima de 30 MPa, e que Y tem 
um valor de 1,25, o qual é independente do comprimento da trinca.
Usando os valores de m e A (para unidades SI), a Equação M.48 toma a forma
Resolvendo para a0 a partir dessa expressão, temos
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M.P17 Considere uma chapa metálica delgada com 25 mm de largura que contém uma trinca em posição 
central e que atravessa completamente a espessura, da maneira como está mostrado na Figura M.9. Essa 
chapa deve ser exposta a ciclos alternados de tração–compressão com amplitude de tensão de 120 MPa. 
Se os comprimentos inicial e crítico da trinca (isto é, 2a0 e 2ac) são de 0,10 e 6,0 mm, respectivamente, e os 
valores de m e A são de 4 e 6 H 10–12, respectivamente (para ∆σ em MPa e a em m), estime a vida em fadiga 
dessa placa.
Solução
Esse problema pede que estimemos a vida em fadiga de uma chapa plana que apresenta uma trinca em posi-
ção central e que atravessa completamente a espessura, dado que W = 25 mm, 2a0 = 0,10 mm, 2ac = 6,0 mm, 
m = 4,0 e A = 6 × 10–12. Além disso, uma vez que devem ser usados ciclos de tensão alternados, ∆σ = 120 
MPa. Para essa placa e geometria de trinca, o parâmetro Y na Equação M.22 é definido pela Equação M.21 e, 
portanto, é independente do comprimento da trinca. Assim,

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