Apostila de Calculo Básico (prof Monteiro)

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CÁLCULO BÁSICO
Simone Dutra Ramos
Edezio Pantoja Sacramento
ii Cálculo Básico
Conteúdo
Prefácio vii
1 Conjunto dos números reais 1
1.1 Conjuntos numéricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.3 A reta numérica (ou real) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.4 Intervalos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.5 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.6 Valor absoluto (ou módulo) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.7 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.8 Distância entre números reais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2 Conceitos básicos de geometria 9
2.1 Áreas das principais �guras planas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.1.1 Retângulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.1.2 Quadrado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.1.3 Paralelogramo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.1.4 Triângulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.1.5 Losango . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.1.6 Trapézio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.1.7 Círculo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.1.8 Coroa Circular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.2 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.3 Volume dos principais sólidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.3.1 Paralelepípedo retângulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.3.2 Cubo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.3.3 Cilindro circular reto (ou de revolução) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.3.4 Cone circular reto (ou de revolução) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.3.5 Esfera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.4 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
iii
iv Cálculo Básico
3 Expressões algébricas 21
3.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3.2 Polinômios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3.2.1 Operações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3.3 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
3.4 Produtos notáveis e fatoração . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
3.5 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
3.6 Simpli�cação de expressões racionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
3.7 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
4 Funções reais de uma variável real 33
4.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
4.2 Exercícios: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
4.3 Função injetora, sobrejetora e bijetora . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
4.4 Função Composta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
4.5 Função Inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
4.6 Função par e função ímpar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
4.7 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
4.8 Raiz e sinal de uma função . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
4.9 Função módulo (ou valor absoluto) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
4.10 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
5 Funções do primeiro e segundo graus 45
5.1 Função Polinomial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
5.2 Função do primeiro grau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
5.3 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
5.4 Sinal do produto e quociente de funções do primeiro grau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
5.5 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
5.6 Função a�m e função linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
5.7 Exercícios complementares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
5.8 Função do segundo grau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
5.9 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
5.10 Exercícios Complementares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
6 Função Exponencial e Função Logaritmica 67
6.1 Função Exponencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
6.2 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
6.3 Função Logarítmica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
6.4 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
Simone e Edezio v
6.5 Exercícios Complementares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
7 Funções Trigonométricas 75
7.1 Círculo Trigonométrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
7.2 Relações Fundamentais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
7.3 Relações Derivadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
7.4 Sinais nos Quadrantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
7.5 Funções Trigonométricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
7.6 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 81
APÊNDICE 92
BIBLIOGRAFIA 93
RESPOSTAS DOS EXERCÍCIOS 109
vi Cálculo Básico
Prefácio
É fato que o avanço tecnológico tem provocado uma signi�cativa reestruturação dos cursos de Cálculo na última
década. Entretanto, qualquer professor verdadeiramente comprometido com o ensino dessa disciplina percebe que,
ao longo dessa mesma década, a qualidade na formação matemática dos estudantes egressos do ensino médio vem
sofrendo uma queda considerável.
Esse desequilíbrio, no ensino, compromete de forma grave a formação dos discentes e, em muitos casos, impede a
conclusão dos seus estudos.
Esse trabalho visa minimizar as de�ciências do ensino médio e consequentemente iniciar o aluno, de forma segura,
no aprendizado do Cálculo. Com esta intenção, busca-se apresentar, de forma clara e didática, conceitos e resultados
matemáticos necessários ao estudo do Cálculo Diferencial e Integral.
Com a �nalidade de que este trabalho seja um instrumento útil, em especial, aos estudantes que chegam à Univer-
sidade com pouca base matemática, procurou-se, intencionalmente, dar ao texto algumas características próprias tais
como:
• Os resultados são apresentados através de uma linguagem direta e simples priorizando suas aplicações em exer-
cícios, em detrimento de suas demonstrações;
• Os exercícios propostos são sempre seguidos de respostas apresentadas ao �nal desse trabalho. Evita-se propor
exercícios em número excessivo, pois isso muitas vezes desorienta o leitor em vez de ajudá-lo;
• Um apêndice que oferece ao aluno alguns tópicos do ensino fundamental que, eventualmente, precise rever.
Convém ressaltar que, por melhor que seja o professor, o aprendizado é um processo intrínseco ao aluno e requer,
antes de mais nada, esforço individual que inclui atenção em sala de aula, assim como dedicação diária resolvendo os
exercícios propostos. Além disso, é importante dizer que, na medida em que as di�culdades são superadas, torna-se
natural a complementação do estudo, através dos diversos textos encontrados nos livros clássicos de Cálculo.
Desejo agradecer a leitura dos revisores e em especial, ao Prof. César Luiz Farah, pela sugestão dos exercícios
propostos no capítulo 2.
Esperando ter contribuído didaticamente para o aprendizado do Cálculo, coloco-me à disposição dos leitores para
sugestões e críticas que possam melhorar e complementar esse trabalho.
Os autores
Rio de Janeiro, fevereiro de 2012.
vii
Capítulo 1
Conjunto dos números reais
A importância desse capítulo reside no fato de que o conceito de continuidade e as operações de limite, derivada
e integral estudados nos cursos de cálculo envolvem funções que são de�nidas e assumem valores em conjuntos de
números reais.
1.1 Conjuntos numéricos
Os principais conjuntos numéricos são: Naturais, Inteiros, Racionais, Irracionais, Reais e Complexos.
Números Naturais: N = {0, 1, 2, 3, 4, . . .};
Números Naturais Positivos ou não-nulos: N∗ = {1, 2, 3, 4, . . .};
Números Inteiros: Z = {. . . ,−3,−2,−1, 0, 1, 2, 3, . . .};
Números Inteiros não-nulos: Z∗ = {. . . ,−3,−2,−1, 1, 2, 3, . . .};
Números Inteiros não-negativos: Z+ = {0, 1, 2, 3, . . .};
Números Inteiros não-positivos: Z− = {. . . ,−3,−2,−1, 0};
Números Inteiros positivos: Z∗+ = {1, 2, 3, . . .};
Números Inteiros negativos: Z∗− = {. . . ,−3,−2,−1};
Números Racionais: Q = {p
q
\p ∈ Z ∧ q ∈ Z∗}
Os números racionais são todos os números que podem ser escritos sob a forma de fração de números inteiros. Têm
representação decimal �nita ou periódica.
Exemplo(s) 1.1.1 : 12 = 0, 5 e
1
3 = 0, 333 . . . = 0, 3;
Números Irracionais (I): são aqueles que não são racionais, ou seja, cuja representação decimal não é �nita nem
periódica.
Exemplo(s) 1.1.2 :
√
3 = 1, 7320508 . . . e π = 3, 14159265 . . . ;
Números Reais: R = Q ∪ I;
Números Complexos (C): são aqueles escritos na forma a+ bi, onde a, b ∈ R e o número i é de�nido por i :=
√
−1.
Exemplo(s) 1.1.3 :
√
2 + 3i é um número complexo.
1
2 Cálculo Básico
Observação 1.1.1 : Note que N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R ⊂ C e I ⊂ R. As relações de inclusão entre os conjuntos numéricos
�cam claras num diagrama conhecido com Diagrama de Venn. Veja a �gura abaixo.
C
R
I
Q
Z
N
Figura 1.1: Diagrama de Venn
1.2 Exercícios
1. Classi�que cada uma das a�rmativas a seguir em Verdadeira (V) ou Falsa (F).
1) 3 é natural ( );
2) 0 é natural ( );
3) -4 é natural ( );
4) -4 é inteiro ( );
5) 7 é inteiro ( );
6) 8/4 é inteiro ( );
7) 1/3 é inteiro ( );
8) 1/3 é racional ( );
9) 8/4 é racional ( );
10) -5 é racional ( );
11) 0,37 é racional ( );
12) 0,555... é racional ( );
13) 0,212121...é racional ( );
14) 1,2333... é racional ( );
15)
√
2 = 1, 4142135 . . . é racional ( );
16) π = 3, 1415926 . . . é irracional ( );
17) e = 2, 7182818 . . . é irracional ( );
Simone e Edezio 3
18) 3
√
7 é irracional ( );
19) 3
√
8 é irracional ( );
20) 3
√
7 é real ( );
21) 6 é real ( );
22) -8 é real ( );
23) 2/5 é real ( );
24) 1,37 é real ( );
25) 0,321321... é real ( );
26)
√
−4 é real ( );
27) Todo natural é inteiro ( );
28) Todo inteiro é racional ( );
29) 0, 333333333 . . . é racional ( );
30) Todo racional é inteiro ( );
31) Todo racional é real ( );
32) Todo irracional é real ( );
33) Existe um inteiro que é irracional ( );
34) Existe um natural que não é real ( );
35) Existe um real que não é racional ( );
36) A união dos racionais com os irracionais é o conjunto dos reais( ).
2. Classi�que em verdadeira (V) ou falsa (F), cada uma das a�rmativas a seguir:
a) 3 ∈ N; b) − 4 ∈ N; c) − 4 ∈ Z;
d)
8
4
∈ Z; e) 13 ∈ Z; f)
1
3 ∈ Q;
g) − 5 ∈ Q; h) 0, 37 ∈ Q; i) 1, 2333 . . . ∈ Q;
j)π = 3, 1415926 . . . ∈ I; k) e = 2, 7182818 . . . ∈ I; l) 6 ∈ R;
m) 1, 37 ∈ R; n)
√
−4 ∈ R.
1.3 A reta numérica (ou real)
Para representar os números reais, traçamos uma reta horizontal e marcamos o número real zero que identi�camos
com o ponto O e chamamos de origem. Os números positivos estão representados à direita da origem e os negativos,
à esquerda.
4 Cálculo Básico
O
0-3
B
-1,9
E
-0,2
C D
1,4
A
2
F
√
2
Figura 1.2: Reta numérica
Sobre essa reta, podemos representar todos os números reais.
Observe, na reta numérica representada acima, que:
• o ponto A corresponde ao número +2;
• o ponto B corresponde ao número −3;
• o ponto C corresponde ao número −0, 2;
• o ponto D corresponde ao número +1, 4;
• o ponto E corresponde ao número −1, 9;
• o ponto F corresponde ao o número +
√
2 = 1, 4142 . . ..
Observação 1.3.1 : Em uma reta numérica:
• a todo número real corresponde um e só um ponto da reta;
• a todo ponto da reta podemos associar um e só um número real.
• existe uma orientação e o sentido positivo (da esquerda para a direita) é indicado com uma seta. Isso equivale
a dizer que o conjunto dos números reais é ordenado, ou seja, podemos comparar quaisquer dois números reais
que não são iguais usando desigualdades; podemos dizer que um é "menor que"ou "maior que"outro. Geome-
tricamente, a < b signi�ca que o número denotado por b está à direita do número denotado por a (de modo
equivalente, a está à esquerda de b) na reta numérica.
1.4 Intervalos
Sejam a, b ∈ R, a < b. Podemos de�nir os seguintes tipos de intervalos:
1. (a, b) =]a, b[= {x ∈ R/a < x < b} (intervalo limitado e aberto);
a b
Simone e Edezio 5
2. [a, b] = {x ∈ R/a ≤ x ≤ b} (intervalo limitado e fechado)
a b
3. [a, b) = [a, b[= {x ∈ R/a ≤ x < b} (intervalo limitado e fechado à esquerda e aberto à direita);
a b
4. (a, b] =]a, b]{x ∈ R/a < x ≤ b} (intervalo limitado e aberto à esquerda e fechado à direita);
a b
5. (−∞, b) =]−∞, b[= {x ∈ R/x < b} (intervalo ilimitado e aberto);
b
6. (−∞, b] =]−∞, b] = {x ∈ R/x ≤ b} (intervalo ilimitado e fechado);
b
7. (a,+∞) =]a,+∞[= {x ∈ R/x > a} (intervalo ilimitado e aberto);
a
8. [a,+∞) = [a,+∞[= {x ∈ R/x ≥ a} (intervalo ilimitado e fechado);
a
6 Cálculo Básico
9. (−∞,+∞) =]−∞,+∞[= R (intervalo ilimitado)
Nas de�nições acima, os números a e b são denominados extremos dos respectivosintervalos.
1.5 Exercícios
1. Descreva os seguintes intervalos na forma {x/p(x)}:
a) (1, 2); b) (1, 2]; c) [1, 2]; d) [1, 2); e) (1,+∞);
f) [−2,+∞); g) (−∞, 1]; h) (−∞, 0); i) (−∞,+∞).
2. Se A = [1,+∞[ e B = [0, 5[, obtenha:
a)A
∩
B; b)A
∪
B; c)A−B.
3. Se A = [−2, 2), B = (0,+∞) e C = (−∞, 1], determine:
a)A ∩B; b)A ∩ C; c)B ∩ C; d)A ∩B ∩ C;
e)A ∪B; f)A ∪ C; g)B ∪ C; h)A ∪B ∪ C;
i)A−B; j)A− C; k)B − C.
1.6 Valor absoluto (ou módulo)
De�nição 1.6.1 : Seja x ∈ R. O módulo ou valor absoluto de x, representado por |x|, é de�nido do seguinte modo:
|x| =
 x, se x ≥ 0−x, se x < 0
Interpretação geométrica: O módulo de um número real é representado geometricamente como a distância desse
"número" à origem na reta numérica.
0 x
a) x > 0
|x| = x
0x
|x| = −x
b) x < 0
Figura 1.3: Interpretação geométrica do |x|
A seguir, enunciamos algumas propriedades de módulo que podem ser úteis ao nosso estudo.
Simone e Edezio 7
Propriedades: Sejam a, b ∈ R.
• |a| ≥ 0 e |a| = 0 se, e somente se, a = 0;
• |ab| = |a||b| e se b ̸= 0, |ab | =
|a|
|b| ;
• | − a| = |a|;
• |a|2 = a2;
• |a+ b| ≤ |a|+ |b| (Desigualdade triangular).
Observação 1.6.1 : Se x ∈ R, então
√
x2 = |x|.
De fato,
√
x2 é, por de�nição, o único número positivo ou nulo que elevado ao quadrado é igual a x2. Como |x|2 = x2
e |x| ≥ 0, temos que
√
x2 = |x|.
1.7 Exercícios
1. Resolva, com auxílio da interpretação geométrica do conceito de módulo, as equações e inequações a seguir:
a) |x| < 2; b) |x| ≥ 1; c) |x| = 1;
d) |x| > 5; e) |x| < 1 f) |x| ≥ 3;
g) 1 ≤ |x| ≤ 3; h) |3x− 5| > −1; i) |3x− 1| < 2;
j) |5x+ 7| = −1; k) |x2 − 5x+ 5| = 1; l) |2x− 1| ≤ 3;
m) |3x− 1| = 2x+ 1; n) |x− 3| < 0; o) |2x− 1| = |4x+ 3|.
1.8 Distância entre números reais
De�nição 1.8.1 : Sejam a, b ∈ R com a < b. Considere A e B os pontos na reta numérica correspondentes aos
números a e b respectivamente. A distância entre os números a e b, ou equivalentemente entre os pontos A e B, é
de�nida da seguinte forma:
d(A,B) = |b− a|
Observação 1.8.1 : É fácil ver, através da reta numérica ilustrada abaixo, que:
• d(O,B) = |b− 0| = |b|;
• d(A,B) = d(B,A).
A O B
a 0 b
Figura 1.4:
8 Cálculo Básico
Capítulo 2
Conceitos básicos de geometria
O objetivo desse capítulo é rever o cálculo das áreas de algumas �guras planas e dos volumes de alguns sólidos que
serão usados, no cálculo, em aplicações do conceito de derivada.
2.1 Áreas das principais �guras planas
A ordem de apresentação das seis primeiras �guras planas segue um critério puramente didático, na medida em que a
partir da de�nição da área da primeira �gura podemos deduzir as áreas das demais.
2.1.1 Retângulo
Na �gura abaixo, considere as medidas da base e da altura do retângulo denotadas por b e h respectivamente.
b
h A (área)= b · h
Figura 2.1: Retângulo
9
10 Cálculo Básico
2.1.2 Quadrado
Seja l a medida do lado do quadrado na �gura abaixo.
l
l A (área)= l2
Figura 2.2: Quadrado
2.1.3 Paralelogramo
Na �gura abaixo, sejam b e h as medidas da base e da altura do paralelogramo respectivamente. Como a área em
questão é igual a área do retângulo de base b e altura h, temos:
b
h A (área)= b · h
b
h
Figura 2.3: Paralelogramo
2.1.4 Triângulo
Considere b e h as respectivas medidas da base e da altura do triângulo abaixo. Como a área do triângulo é a metade
da área do paralelogramo de base b e altura h, temos:
Simone e Edezio 11
b
A (área)=
b · h
2h
Figura 2.4: Triângulo
Observação 2.1.1 Triângulo equilátero
Como, em particular, h =
l
√
3
2
, temos:
l
A (área)=
l
2
√
3
4hl l
l
2
Figura 2.5: Triângulo equilátero
2.1.5 Losango
Sejam D e d as respectivas medidas das diagonais maior e menor do losango abaixo. Como a área do losango é quatro
vezes a área do triângulo retângulo de catetos
D
2
e
d
2
, temos:
D
A (área)=
D · d
2d
d/2
D/2
Figura 2.6: Losango
12 Cálculo Básico
2.1.6 Trapézio
Considere, no trapézio abaixo, as bases maior e menor denotadas por B e b respectivamente e a altura por h.
B
h
b
Figura 2.7: Trapézio
Como a área do trapézio é igual à soma das áreas de dois triângulos, um de base B e altura h, e outro de base b e
altura h, temos:
A(área) =
(B + b)h
2
2.1.7 Círculo
Considere abaixo a circunferência γ de centro O e raio R.
O
R
γ
A(área) = π ·R2
Figura 2.8: Círculo
2.1.8 Coroa Circular
Dadas duas circunferências concêntricas de raios r e R, com r < R, chama-se coroa circular ao conjunto dos pontos
pertencentes ao círculo de raio R e não-internos ao círculo de raio r. R e r denotam as medidas dos raios externo e
interno da coroa circular respectivamente.
Simone e Edezio 13
O
A(área) = π · (R2 − r2)
R
r
Figura 2.9: Coroa circular
2.2 Exercícios
1. Calcule a área de um retângulo cujas dimensões são 3m e 4m.
2. Calcule as dimensões de um retângulo, sabendo que a área é igual a 48m2 e a base é igual ao triplo da altura.
3. Calcule a área do retângulo abaixo:
5 13
4. Um terreno retangular tem 8, 4m por 5m e está sendo gramado. Sabendo que um quilo de semente de grama
é su�ciente para gramar 3m2 de terreno, quantos quilos de semente de grama são necessários para gramar o
terreno todo?
5. Qual é a área de um quadrado que tem 2
√
3m de lado?
6. Determine a área de um quadrado, cuja a diagonal mede 6
√
2m.
7. A área de um quadrado mede 96 cm2. Quanto mede o seu lado?
8. Na �gura abaixo ABCD é um quadrado cujo lado mede 4 cm. Calcule a área assinalada.
A B
CD
9. Determine o raio de um círculo, cuja a área mede 25πm2.
14 Cálculo Básico
10. Num triângulo retângulo, a hipotenusa mede 15 cm e um dos catetos mede 12 cm. Calcule a área desse triângulo
retângulo.
11. Calcule a área de um triângulo equilátero de lado 12 cm.
12. Qual é a área de um trapézio, cujas bases medem 12m e 4m e cuja altura mede 7m?
13. No trapézio da �gura, a área é 26m2. Calcule a medida da base DC.
A B
D C
4 cm
5 cm
14. Calcule a área do trapézio da �gura abaixo:
5 m
2 m
6 m
15. Calcule a área do losango abaixo:
A
B
C
D
10 m
16 m
Simone e Edezio 15
16. Calcule a área representada abaixo:
4 m
1 m
1,5 m 3 m
17. Calcule a área assinalada abaixo:
3 cm
3 cm
18. Calcular a área de um triângulo equilátero cujo perímetro é 18 cm.
Lembrete: perímetro de um polígono é a soma das medidas de seus lados.
19. Calcular a área de um círculo cujo comprimento de sua circunferência é de 20π cm.
Lembrete: o comprimento de uma circunferência de raio R é dado por 2πR.
20. A área de um trapézio é 600 cm2 e a base maior mede 30 cm. Calcular a medida da base menor, sabendo que a
altura mede 24 cm.
21. Calcular a área da �gura sombreada no grá�co abaixo:
1
2
3 4
4
0
16 Cálculo Básico
22. As dimensões de um terreno retangular estão na razão 5/8. Qual o valor da menor dimensão, sabendo-se que a
área do terreno é de 1000m2?
23. Calcule a área do quadrado MNPQ abaixo:
A BM
CD P
Q
N
7 cm 1 cm
7 cm
7 cm
7 cm
1 cm
1 cm
1 cm
24. Calcule a área assinalada abaixo, sendo ABCD um quadrado de 2 cm de lado.
A B
CD P
Q N
M
1 cm
1 cm
1 cm
1 cm
25. Calcule a área de uma coroa circular delimitada por circunferências de raios 6 cm e 10 cm.
2.3 Volume dos principais sólidos
2.3.1 Paralelepípedo retângulo
Na �gura a seguir, sejam a, b e c as dimensões do paralelepípedo retângulo (isto é, as medidas das arestas).
Simone e Edezio 17
a
b
c V (volume) = a · b · c
Figura 2.10: Paralelepípedo
2.3.2 Cubo
Considere a medida da aresta do cubo ilustrado abaixo denotada por a.
a
a
a
V (volume) = a3
Figura 2.11: Cubo
18 Cálculo Básico
2.3.3 Cilindro circular reto (ou de revolução)
Na �gura abaixo, sejam r e h as medidas do raio da base e da altura respectivamente.
r
h
O
V (volume) = π · r2 · h
Figura 2.12: Cilindro circular reto
2.3.4 Cone circular reto (ou de revolução)
Considere o cone circular reto ilustrado abaixo de raio r e altura h.
h
r
O
V (volume) =
1
3
πr
2
· h
Figura 2.13: Cone circular reto
Simone e Edezio 19
2.3.5 Esfera
Na esfera ilustrada abaixo, sejaR a medida do raio.
R
R
V (volume) =
4
3
· π ·R
3
O
Figura 2.14: Esfera
2.4 Exercícios
1. Determine o volume de um paralelepípedo retângulo de dimensões 4 cm, 5 cm e 8 cm.
2. Determine o volume de um cubo de aresta 2 cm.
3. Determine o volume de um cubo, sabendo-se que a área de uma das faces é 16 m2.
4. Determine a aresta de um cubo, cujo volume mede 8 cm3.
5. Determine o volume de um cilindro circular reto cujo raio da base mede 3 cm e a altura 5 cm.
6. Determine o volume de um cone circular reto sabendo-se que o raio da base é de 4 cm e altura é de 6 cm.
7. Determine a altura de um cilindro circular reto sabendo-se que o raio da base é o dobro da altura e o seu volume
é igual a 32πm3.
8. Determine o volume de uma esfera de raio igual a 3 cm.
9. Determine o raio de uma esfera, cujo volume é igual a 20πm3.
20 Cálculo Básico
Capítulo 3
Expressões algébricas
Este capítulo tem por �nalidade desenvolver no aluno a habilidade de manipulação de expressões algébricas. Em
particular, busca-se familiarizá-lo com a álgebra dos polinômios. Além disso, visando a compreensão do conceito
de limite introduzido no curso de Cálculo I, damos destaque especial as técnicas de fatoração e a simpli�cação de
expressões racionais.
3.1 Introdução
As expressões matemáticas que apresentam números e letras são chamadas expressões literais ou algébricas.
Exemplo(s) 3.1.1 :
a) 2x+ 7;
b) a− 5b+ 3z;
c) 8x2 +
7
a
− 6b2y3;
d) 5x3 − 7x2 + 5x
3
− ab
2
.
Observe que, no último exemplo acima, os termos algébricos são:
• 5x3 com coe�ciente (parte numérica) 5 e parte literal x3;
• −7x2 com coe�ciente -7 e parte literal x2;
• 5x
3
com coe�ciente
5
3
e parte literal x;
• −ab
2
com coe�ciente −1
2
e parte literal ab.
21
22 Cálculo Básico
3.2 Polinômios
De�nição 3.2.1 : Um polinômio em x é qualquer expressão que pode ser escrita na forma:
P (x) = anx
n + an−1x
n−1 + · · ·+ a1x+ a0,
onde n ∈ IN e os coe�cientes a0, a1, · · · , an ∈ IR.
Polinômios com um, dois e três termos são chamados monômios, binômios e trinômios, respectivamente. Um polinô-
mio escrito com as potências de x na ordem decrescente está na forma padrão.
De�nição 3.2.2 (Polinômio nulo ou identicamente nulo): Polinômio nulo é aquele em que todos os seus coe�cientes
são iguais a zero (P (x) ≡ 0).
De�nição 3.2.3 (Grau): Dado P (x) = anxn+an−1xn−1+ · · ·+a1x+a0, não identicamente nulo e na forma padrão,
com an ̸= 0, dizemos que o grau do polinômio P (x) é o números n.
De�nição 3.2.4 (Valor numérico e raíz): O valor numérico de um polinômio P (x) para x = a ∈ R é o número real
P (a). Quando P (a) = 0, dizemos que a é uma raíz ou um zero de P (x).
Exemplo(s) 3.2.1
(a) P (x) = 2x3 − x2 + 3x+ 1 ⇒
 a3 = 2, a2 = −1, a1 = 3, a0 = 1 e n = 3.P (0) = 1 eP (−1) = −2− 1− 3 + 1 = −5.
(b) P (x) = 3x− 2 ⇒
 a1 = 3, a0 = −2 e n = 1.P (5) = 15− 2 = 13 e P (2/3) = 0.
(c) P (x) = −5 + 10x5 + 5x10 ⇒

a10 = 5, a9 = a8 = a7 = a6 = 0, a5 = 10,
a4 = a3 = a2 = a1 = 0, a0 = −5 e n = 10.
P (0) = −5, P (1) = −5 + 10 + 5 = 10 e
P (−1) = −5− 10 + 5 = −10.
Contra-exemplos(não representam polinômios):
(a) F (x) = x− 3x1/2 + 5;
(b) F (x) = x−7 + 2x+ 15.
3.2.1 Operações
• Adição (ou subtração)
Para adicionar ou subtrair polinômios, usamos a propriedade distributiva e adicionamos ou subtraímos os termos
semelhantes, ou seja, os termos dos polinômios que têm a variável elevada à mesma potência.
• Multiplicação
A multiplicação de dois polinômios requer a multiplicação de cada termo de um polinômio por todos os termos
do outro. Assim, torna-se natural o uso da propriedade distributiva.
Simone e Edezio 23
Exemplo(s) 3.2.2 : Sejam f(x) = −2x4+3x2+x−1, g(x) = 3x2+x−3 e h(x) = 2x3−3x2−x+3. Vamos calcular:
(i) f(x) + g(x);
(ii) h(x)− g(x);
(iii) g(x) · f(x).
Solução:
(i) f(x) + g(x) = −2x4 + 3x2 + x− 1 + 3x2 + x− 3
= −2x4 + 3x2 + 3x2 + x+ x− 1− 3
= −2x4 + 6x2 + 2x− 4.
(ii)h(x)− g(x) = 2x3 − 3x2 − x+ 3− (3x2 + x− 3)
= 2x3 − 3x2 − x+ 3− 3x2 − x+ 3
= 2x3 − 3x2 − 3x2 − x− x+ 3 + 3
= 2x3 − 6x2 − 2x+ 6.
(iii) g(x) · f(x) = (3x2 + x− 3) · (−2x4 + 3x2 + x− 1)
= −6x6 + 9x4 + 3x3 − 3x2 − 2x5 + 3x3 + x2 − x+ 6x4 − 9x2 − 3x+ 3
= −6x6 − 2x5 + 9x4 + 6x4 + 3x3 + 3x3 − 3x2 + x2 − 9x2 − x− 3x+ 3
= −6x6 − 2x5 + 15x4 + 6x3 − 11x2 − 4x+ 3.
• Divisão
Observe a divisão numérica ilustrada a seguir:
3587 32
-32
387
-32
67
-64
3
112
A divisão, seja de números inteiros ou de polinômios, envolve um dividendo dividido por um divisor para obter um
quociente e um resto. Veja, nos próximos exemplos, como podemos dividir polinômios usando um algoritmo bastante
semelhante ao que já conhecemos para a divisão numérica.
Exemplo(s) 3.2.3 (Método da chave):
O algoritmo da divisão(ou método da chave) para polinômios pode ser apresentado no seguinte esquema:
onde:
(i) grau de D(x) ≥ grau de d(x);
(ii) grau de R(x) < grau de d(x);
(iii) ∃!Q(x) e ∃!R(x) tais que D(x) = d(x) ·Q(x) +R(x);
24 Cálculo Básico
(i) x3 + 2x2 − x− 3 x2 − 2x− 3
x + 4−x
3 + 2x2 + 3x
4x2 + 2x− 3
−4x2 + 8x+ 12
10x+ 9
Q(x) = x+ 4
R(x) = 10x+ 9
Assim,
(ii) x4 − 3x2 + 5 x2 − 2x+ 1
x2 + 2x−x
4 + 2x3 − x2
2x3 − 4x2 + 5
−2x3 + 4x2 − 2x
−2x+ 5
Assim,
Q(x) = x2 + 2x
R(x) = −2x+ 5
D(x) d(x)( 6= 0)
R(x) Q(x)
dividendo
divisor
resto
quociente
(iv) grau D(x) = grau de d(x) + grau de Q(x);
(v) D(x) é divisível por d(x) se, e somente se, R(x) = 0 ∀x ∈ R (ou seja,R ≡ 0).
Observação 3.2.1 : Além do método acima, existe o Método de Descartes (ou método dos coe�cientes a determinar)
que se baseia na análise dos graus dos polinômios e utiliza a resolução de sistemas lineares.
Teorema 3.2.1 (Teorema do resto):
d(x) = x− a ⇒ R(x) = D(a).
Em geral, d(x) = ax− b ⇒ R(x) = D(b/a).
Exemplo(s) 3.2.4 : Vamos calcular o resto da divisão de P (x) = x2 − 3x+ 1 por:
(a) x− 1 ⇒ R = P (1) = 1− 3 + 1 = −1;
(b) x+ 1 ⇒ R = P (−1) = 1 + 3 + 1 = 5;
Simone e Edezio 25
(c) 2x− 1 ⇒ R = P (1/2) = 1
4/1
− 3
2/2
+
1
1/4
=
1− 6 + 4
4
= −1
4
.
Teorema 3.2.2 (Teorema de D�Alembert): D(x) é divisível por x− a se, e somente se, D(a) = 0.
Exemplo(s) 3.2.5 : Podemos fatorar D(x) = 3x2 + 7x − 20, ou seja, escrevê-lo como um produto de polinômios,
dividindo D(x) pelo fator x+ 4, já que D(−4) = 0. De fato,
3x2 + 7x− 20 x+ 4
3x− 5−3x
2
− 12x
−5x− 20
5x+ 20
0
Logo, D(x) = 3x2 + 7x− 20 = (x+ 4)(3x− 5).
O exemplo seguinte exibe um esquema denominado Dispositivo Prático de Briot-Ru�ni. Este método sim-
pli�ca os cálculos usados no Método de Descartes para a obtenção do quociente Q(x) e o resto R da divisão de D(x)
por x− a.
Exemplo(s) 3.2.6 : A divisão de D(x) = 2x4 − 3x3 + x− 4 por d(x) = x+ 2 pode ser efetuada do seguinte modo:
2 −3 0 1 −4 −2
2 −7 14 −27 50
coef. de D(x)
resto
raiz de d(x)
coef. de Q(x)
De fato,
2× (−2)− 3 = −7 (2o coef.);
−7× (−2) + 0 = 14 (3o coef.);
14× (−2) + 1 = −27 (4o coef.);
−27× (−2)− 4 = 50 (resto).
Logo, Q(x) = 2x3 − 7x2 + 14x− 27 e R = 50.
Em geral: se D(x) = anxn + an−1xn−1 + · · · + a1x + a0 e d(x) = x − a, o Dispositivo Prático de Briot-Ru�ni
pode ser ilustrado no seguinte esquema:
26 Cálculo Básico
a1 a0 a
bn−1 bn−2 · · · b0 R
resto
coef. de Q(x)
an an−1 · · ·
onde :
bn−1 = an;
bn−2 = a · bn−1 + an−1;
· · · · · ·
b0 = a · b1 + a1;
R = a · b0 + a0.
3.3 Exercícios
1. Dados os polinômios A(x) = 2x3 − x+ 2, B(x) = x2 + x+ 1 e C(x) = 3x− 1, calcule:
a)A(x) +B(x); e)A(x) ·B(x);
b)A(x) + C(x)−B(x); f) [A(x) +B(x)] · C(x);
c)A(x) · C(x); g) [A(x)− 2x ·B(x)] · [B(x) + C(x)].
d)B(x) · C(x);
2. Sendo P (x) = x3 + 2x− 1, calcule [P (x)]2.
3. Se A(x) = x2 − 3x, determine:
a)A(x+ 1); b)A(2− x); c) [A(x− 1)]2.
4. Qual é o grau dos polinômios seguintes?
a) f(x) = 5x3 + 2x;
b) g(x) = 9x2 + 2− 3x5;
c) h(x) = 10x+ 5;
d) i(x) = 52;
e) j(x) = 4x+ 10x15.
5. Dado o polinômio f(x) = 2x3 + 2x2 − 2x+ 2, calcule o seu valor numérico para:
a)x = 0; b)x = −1; c)x = 2; d)x = 1/2.
6. Determine o valor de k de modo que os polinômios abaixo tenham uma raiz igual a 1.
a) f(x) = (k + 2)x2 + 5k; b)h(x) = (2k + 1)−kx+ (7 + k)x2.
7. Determine o valor de k de modo que 0 seja raiz do polinômio
f(x) = 2k − x3 + x+ kx2.
8. Determine um polinômio cujas raízes são 2, -1 e 3.
Simone e Edezio 27
9. Dados os polinômios f(x) = x2 + 1, g(x) = 2x+ 3 e h(x) = −x2 + x, calcule:
a) f(x) + g(x) + h(x);
b) f(x)− g(x);
c) h(x)− f(x);
d) f(x)− g(x) + h(x).
10. Efetue os seguintes produtos:
a) (−x3 + 2x2 + 1) · (2x+ 3);
b) (4x2 + 3x+ 5) · (−x− 4);
c) (x3 + 7x) · (−x2 − 2x).
11. Efetue a divisão dos seguintes polinômios pelo método da chave:
a) x3 − 5x2 − 4x+ 2 e x− 3;
b) x5 − 3x2 + 6x− 1 e x2 + x+ 1;
c) x10 + x5 + 1 e x2 + x+ 1.
12. Efetue a divisão dos seguintes polinômios pelo dispositivo de Briot-Ru�ni:
a) 3x2 − 7x+ 3 e x− 2;
b) 9x2 − 33x+ 37 e −x+ 7;
c) 2x2 + 13x− 27 e x+ 6.
13. Determine, sem efetuar a divisão, o resto da divisão de:
a) x6 − x4 + x2 − 1 por x− 1/2;
b) x8 + 1 por 2x− 4;
c) x2 + x+ 1 por x+ 1.
14. Determine k ∈ lR, de modo que:
a) x3 + 5x2 + kx+ 1 seja divisível por x− 1;
b) 2x3 + kx2 − (2k + 1)x− 13k + 3 seja divisível por x+ 4;
c) x142 + k seja divisível por x+ 1.
15. Dividindo-se um polinômio P (x) por x− 3, resulta um resto de -7 e um quociente de x− 4. Qual é P (x)?
16. Calcule a, de modo que dividindo-se f(x) = 4x3 + ax2 − 3x+ 4 por x− 2 seja obtido resto 4.
17. Dividindo o polinômio P (x) = x3 + x2 + x+1 pelo polinômio Q(x), obtemos o quociente S(x) = 1+ x e o resto
R(x) = x+ 1. O polinômio Q(x) satisfaz a:
28 Cálculo Básico
a) Q(2) = 0;
b) Q(3) = 0;
c) Q(0) ̸= 0;
d) Q(1) ̸= 0;
e) n.d.a.
18. O polinômio x3 + px+ q é divisível por x2 + 2x+ 5. Os valores de p e q são respectivamente:
a) 2 e 5;
b) 5 e 2;
c) 1 e 5;
d) 1 e -10;
e) 3 e 6.
19. Um polinômio f, dividido por x − 1 e x + 3, dá restos -2 e 1, respectivamente. O resto da divisão de f por
(x− 1)(x+ 3) é:
a)
−3
4
x− 5
4
;
b)
−3
4
x+
5
4
;
c)
3
4
x− 5
4
;
d)
3
2
x+
5
2
;
e)
3
2
x− 5
2
.
3.4 Produtos notáveis e fatoração
Existem produtos de polinômios que aparecem freqüentemente nos cálculos com expressões algébricas. Tais produtos
podem ser obtidos a partir de certas regras e são chamados produtos notáveis:
(i) Quadrado da soma de dois termos:
(x+ a)2 = x2 + 2ax+ a2;
(ii) Quadrado da diferença de dois termos:
(x− a)2 = x2 − 2ax+ a2;
(iii) Produto da soma de dois termos pela sua diferença:
(x+ a)(x− a) = x2 − a2;
(iv) Cubo da soma de dois termos:
(x+ a)3 = x3 + 3x2a+ 3xa2 + a3;
Simone e Edezio 29
(v) Cubo da diferença de dois termos:
(x− a)3 = x3 − 3x2a+ 3xa2 − a3;
(vi) Quadrado da soma de três termos:
(x+ a+ b)2 = x2 + a2 + b2 + 2xa+ 2xb+ 2ab.
Observação 3.4.1 : Devemos notar que, em geral,
(x± a)2 ̸= x2 ± a2
(x± a)3 ̸= x3 ± a3 = (x± a)(x2 ∓ ax+ a2).
A seguir, de�niremos, para polinômios, o conceito de fatoração análogo ao conceito conhecido para números.
De�nição 3.4.1 : Fatorar um polinômio é escrevê-lo como um produto de dois ou mais fatores polinomiais.
Principais casos de fatoração:
Caso 1 (fator comum em evidência):
• 3x+ 3y = 3(x+ y);
• 9a2x− 12a2 = 3a2(3x− 4)
 parte numérica:M.D.C.(9, 12) = 3.parte literal: a2.
Caso 2 (agrupamento):
• ax+ ay︸ ︷︷ ︸ +bx+ by︸ ︷︷ ︸ = a(x+ y) + b(x+ y) = (x+ y)(a+ b).
1o grupo 2o grupo
↖↗
fator comum
• 2x2 − 4ax︸ ︷︷ ︸ −3xy + 6ay︸ ︷︷ ︸ = 2x(x− 2a)− 3y(x− 2a) = (x− 2a)(2x− 3y).
1o grupo 2o grupo
↖↗
fator comum
fator comum:2x fator comum:-3y
Caso 3 (trinômio quadrado perfeito):
• x2 + 2ax+ a2 = (x+ a)2;
• x2 − 2ax+ a2 = (x− a)2.
Caso 4 (diferença de dois quadrados):
• x2 − a2 = (x+ a)(x− a).
Caso 5 (soma ou diferença de dois cubos):
• x3 ± a3 = (x± a)(x2 ∓ ax+ a2).
Caso 6 (trinômio do 2o grau do tipo x2 + (m+ n)x+mn):
30 Cálculo Básico
• x2 + (m+ n)x+mn = (x+m)(x+ n).
Um outra opção, para fatorar esse trinômio, é utilizar o seguinte resultado:
x2 + (m+ n)x+mn = (x− (−m))(x− (−n)), onde −m e −n são soluções da equação x2 + (m+ n)x+mn = 0
(veremos a resolução dessa equação posteriormente).
Caso 7 (casos de fatoração simultâneos):
• 5x4 − 45x2 = 5x2(x2 − 9) = 5x2(x+ 3)(x− 3);
• 4x4 − 16x3y + 16x2y2 = 4x2(x2 − 4xy + 4y2) = 4x2(x− 2y)2.
3.5 Exercícios
1. Fatore cada uma das expressões abaixo:
a) 9xy + 12ab; m) 4a4 + 4a2x+ x2;
b) 7x3y − 21x3z; n) a2x4 − 2ab2x2y + b4y2;
c) 20a2b+ 5ab; o)x2 + 6xy + 9y2;
d) px+ py; p)x2 + 9x+ 14;
e) 3x(a+ b)− 5y(a+ b); q) y2 + 4y + 3;
f) am+ na+ bm+ bn; r)m2 − 8m+ 7;
g) 10ax+ 5ay + 6bx+ 3by; s) y2 + 3y − 28;
h)x4 + x3b+ ax+ ab; t)x2 + (a+ b)x+ ab;
i)x2 − 2bx2 − 5a+ 10ab; u) 9a2 − 16;
j)x2 − 3ax− 3ax+ 9a2; v) 27x3 − 8;
k) 9a2 − 6a+ 1; x) 125 + x3;
l) 25x2 − 10x+ 1; z)x3 + 1.
3.6 Simpli�cação de expressões racionais
Frações algébricas ou expressões racionais são expressões algébricas que têm a forma de uma fração, em que o numerador
e o denominador são polinômios, sendo que o denominador não é um termo independente de variáveis.
Exemplo(s) 3.6.1 :
a)
1
2x
; b)
x+ 1
x− 3
; c)
x2 − y2
x+ y
.
Note que, a fração
x2 − y2
x+ y
pode ser simpli�cada do seguinte modo:
x2 − y2
x+ y
=
(x− y)(x+ y)�
(x+ y)�
= x− y.
De modo geral, para simpli�car frações algébricas:
Simone e Edezio 31
• decompomos o numerador e o denominador em fatores;
• cancelamos os fatores comuns.
Observação 3.6.1 : Uma fração algébrica só tem sentido se o denominador não for nulo. Então, os fatores desse
denominador também não são nulos e podem ser cancelados quando a fração for simpli�cável.
3.7 Exercícios
1. Simpli�que as seguintes frações algébricas:
a)
ax+ a− x− 1
x2 − 1
; h)
x3 + 3x2 − 10x
x3 − x2 − 2x
;
b)
15x2 − 15y2
6x2 + 12xy + 6y2
; i)
mx+m− x− 1
m2 − 1
;
c)
5a2 + 10ab
15ab
; j)
x2 − 4xy + 4y2
x2 − 4y2
;
d)
7x2y3 − 21x3y5
7x2y3
; k)
(
x2
m2
− m
2
x2
)
:
( x
m
+
m
x
)
;
e)
a2 − 2a+ 1
a2 − 1
; l)
x− 4
9− y2
x2 − 16
3− y
;
f)
4x2 − 8xy
x2 − 4xy + 4y2
; m)
m+ n
x+ 1
m2 − n2
2x+ 2
;
g)
(a+ b)2 − (a2 − b2)
3ax3 + 3bx3
; n) 1− 1
1 +
1
x
.
2. Efetue e simpli�que:
a)
x2 − 16
x2 + 2x+ 1
· x+ 1
x2 − 5x+ 4
; d)
x4 − a4
x− a
· x+ a
x2 + a2
;
b)
x3 − 1
x2 + 1
x2 − 1
x4 + 2x2 + 1
; e)
x6 − y6
x4−xy3
y4+x3y
.
c)
x− 5
x2 + 5x
· x
2
25− 5x
;
32 Cálculo Básico
Capítulo 4
Funções reais de uma variável real
O elemento fundamental do cálculo são as funções. Este capítulo abre o caminho para o cálculo, apresentando os
conceitos básicos inerentes às funções e seus grá�cos.
4.1 Introdução
De�nição 4.1.1 : Sejam A e B conjuntos. Seja f uma relação de A em B. Suponhamos que:
(i) Dom f(domínio de f)= A;
(ii) Im f(imagem de f)⊂ B;
(iii) Cada elemento x ∈ A está associado a um único elemento y ∈ B.
Dizemos, então que f é uma função de A em B e B é chamado o contradomínio da f.
Notação: f : A −→ B
x 7−→ y = f(x)
Além disso, o grá�co da função f é de�nido por:
Graf f := {(x, y) ∈ A×B/y = f(x)}.
De�nição 4.1.2 : Se A ⊂ R e B ⊂ R, então f é dita uma função real de uma variável real.
Observação 4.1.1 : Sabemos que um dos requisitos que uma relação deve satisfazer para ser uma função é que a
cada elemento x, pertencente ao domínio, deve corresponder um único y, pertencente a imagem. Esta propriedade,
interpretada num grá�co, signi�ca que qualquer reta vertical intercepta o grá�co de uma função em, no máximo, um
ponto. Observe os grá�cos a seguir:
33
34 Cálculo Básico
y
x
f
0
f é gráf ico de funcão
a) y
x
f
b)
fnão é gráf ico de funcão
0
x′
y1
y2
y
x0 0
f
c)
f é gráf ico de funcão
Figura 4.1:
De�nição 4.1.3 : Duas funções f e g são iguais se, e somente se, as seguintes condições são satisfeitas:
(i) Domf = Domg;
(ii) Imf = Img;
(iii) Contradomf = Contradomg;
(iv) ∀x ∈ Domf, f(x) = g(x).
Exemplo(s) 4.1.1 : Note a igualdade das funções f e g de�nidas abaixo:
f : R −→ R
x 7−→ f(x) = 1
x
e
g : R −→ R
x 7−→ g(x) = x
x2
4.2 Exercícios:
1. Determine o domínio e a imagem das seguintes funções:
a) f(x) = x2; f) y =
√
x;
b) f(x) =
1
x2
; g)F (x) =
x
x2
;
c)h(x) =
√
4− x2; h)M(x) = x
2 + 2x+ 1
x+ 1
;
d) k(x) =
1
x
; i)T (x) =
1
x+ 1
;
e) y =
√
x− 1; j)G(x) = x− 1
x2 − 1
.
2. Esboceo grá�co e encontre o domínio e a imagem das funções abaixo:
a) f(x) =

2; x ≤ −1
−2; −1 < x < 1;
3; x ≥ 1
b) f(x) =
 x+ 5; x ̸= 21; x = 2 .
Simone e Edezio 35
3. Dado o conjunto A = {1, 2, 5, 7, 8}, determine:
a) o conjunto A2 = A×A e sua representação grá�ca;
b) o subconjunto W = {(x, y) ∈ A2/x < y};
c) o subconjunto Z = {(x, y) ∈ A2/y = 2x+ 3};
d) o subconjunto T = {(x, y) ∈ A2/x− y = 4}.
4. Dada a função f(x) = 7x− 3, com Domf = lR, obtenha:
a) f(2); d) f(−1); g) f
(
−1
3
)
;
b) f(6); e) f(
√
2); h) f(a+ b).
c) f(0); f) f
(
1
2
)
;
5. Dada a função f(x) = 2x− 3, obtenha:
a) f(3); c) o valor de x tal que f(x) = 49;
b) f(−4); d) o valor de x tal que f(x) = −10.
6. Dada a função f(x) = mx+ 3, determine m sabendo-se que f(1) = 6.
7. Faça o grá�co da função f(x) = 2x+ 1, com Domf = {0, 1, 2, 3, 4}. Determine o conjunto imagem.
8. Faça o grá�co da função f(x) = x2, sendo Domf = {−3,−2,−1, 0, 1, 2, 3}. Determine o conjunto imagem.
9. Faça o grá�co da função f(x) = 3, sendo Domf = R.
10. Esboce o grá�co da função f, de domínio Domf = R, dada por:
f(x) =
 1, se x ≥ 0−1, se x < 0 .
11. Sendo f(x) = (x− 3)3, calcule:
a) f(2); b) f(0); c) f(−2); d) − f(−1); e) f(2x+ 1).
12. Dado f(x+ 1) =
x+ 1
x− 1
, determine o valor de f(3).
13. Considere a função f : R −→ R tal que
f(x) =
 1, se x é racional−1, se x é irracional .
Determine: f(1/2), f(π), f(2, 1313 . . .) e f(
√
2).
14. Considere a função f : R −→ R de�nida por
f(x) =

3x− 1, se x > 3
x2 − 2, se − 2 ≤ x ≤ 3 .
2x+ 3, se x < −2
36 Cálculo Básico
Determine:
i) f(2); ii) f(0); iii) f(−1); iv) f(−3).
15. Qual dos seguintes grá�cos de�ne uma função:
x
ya)
x
yb)
0 0
0
0
x
y
x
yc) d)
16. Uma função f associa a cada número natural n a raiz quadrada positiva do menor quadrado perfeito maior que
n. Calcule f(10) + f(15) + f(25).
4.3 Função injetora, sobrejetora e bijetora
De�nições 4.3.1 : Seja f : A → B uma função:
(i) se a cada y ∈ Imf ⊂ B está associado um único x ∈ Domf = A, dizemos que f é uma injeção ou uma função
injetora ou injetiva;
(ii) se Imf = B, dizemos que f é uma sobrejeção ou uma função sobrejetora ou sobrejetiva;
(iii) se f é uma injeção e sobrejeção, dizemos que f é uma bijeção ou uma função bijetora ou bijetiva.
Exemplo(s) 4.3.1 : Podemos identi�car, entre os diagramas de setas da �gura 4.2, os que representam funções
injetoras, sobrejetoras e bijetoras de A em B:
Simone e Edezio 37
A B
a)
f1
A B
b)
A B
f2
c)
f3
A B
d)
f4
A B
e)
f5
f)
A B A B
g)
f6 f7
Figura 4.2:
De fato, são injetoras as funções f1 e f7; sobrejetora as funções f3, f5 e f7 e bijetora a função f7. Note que as
relações representadas nos diagramas (d) e (f) não são funções.
Observação 4.3.1 :
(i) O grá�co de uma função injetora se caracteriza pelo fato de que uma reta horizontal o intercepta em, no máximo,
um ponto (caso contrário, teríamos um mesmo y ∈ Imf associado a dois x ∈ Domf). Observe os grá�cos que
se seguem:
x
y
f
0 x
y
0
f
fuņcão injetora fuņcão não injetora
Figura 4.3:
(ii) Observe que, se f é uma injeção de A em B, então n(A)1 ≤ n(B);
(iii) Além disso, se f é uma sobrejeção de A em B, então n(A) ≥ n(B);
(iv) Assim, se f é uma bijeção de A em B, segue que n(A) = n(B).
1n(A) denota o número de elementos do conjunto A.
38 Cálculo Básico
4.4 Função Composta
De�nição 4.4.1 : Sejam f : A → B e g : C → D funções tais que
Imf ⊂ C. A função composta de g com f é de�nida por:
(g ◦ f)(x) = g(f(x)),∀x ∈ A.
Notação: g ◦ f : A → D
x 7→ g(f(x))
Exemplo(s) 4.4.1 : Sejam f(x) =
√
x e g(x) = 2x− 3, então temos:
a) Domf = [0,+∞);
b) Domg = R;
c) (g ◦ f)(x) = g(f(x)) = g(
√
x) = 2
√
x− 3 e Dom (g ◦ f) = [0,+∞);
d) (f ◦ g)(x) = f(g(x)) = f(2x−3) =
√
2x− 3 e Dom(f ◦ g) = [3/2,+∞) já que 2x−3 ≥ 0 se, e somente se, x ≥ 3/2.
4.5 Função Inversa
De�nição 4.5.1 : Seja f : A → B uma bijeção. Uma função g : B → A é dita função inversa de f se
f(g(x)) = x, ∀x ∈ B e g(f(x)) = x,∀x ∈ A.
Notação: f−1(x)
Observação 4.5.1 : Quando a função f é de�nida por meio de uma fórmula do tipo y = f(x), isto é, Graf f =
{(x, y) ∈ R2/y = f(x)}, a sua inversa f−1 pode ser obtida trocando-se as letras x e y na fórmula y = f(x). Veja o
exemplo seguinte.
Exemplo(s) 4.5.1 : Seja f : R → R tal que y = f(x) = 3x − 5. Como f é uma bijeção, podemos encontrar f−1
trocando-se as letras x e y. Assim, obtemos
x = 3y − 5 donde y = x+ 5
3
.
Portanto, f−1 é dada por: f−1 : R → R tal que f−1(x) = x+ 5
3
.
Observação 4.5.2 : f(a) = b ⇔ a = f−1(b), isto é, (a, b) ∈ Graf f ⇔ (b, a) ∈ Graf f−1. Assim, podemos concluir
que os grá�cos de f e f−1 são simétricos com relação à reta y = x. Veja a �gura a seguir:
Simone e Edezio 39
f
f−1
y
x
y = x
Figura 4.4:
4.6 Função par e função ímpar
De�nições 4.6.1 : Seja f uma função cujo domínio é simétrico em relação a 0 (ou seja, se x está no domínio de f
então -x também está):
(i) Dizemos que f é uma função par se f(−x) = f(x) ∀x ∈ Domf ;
(ii) Dizemos que f é uma função ímpar se f(−x) = −f(x) ∀x ∈ Domf.
Do ponto de vista geométrico, uma função par é aquela cujo grá�co é simétrico em relação ao eixo dos y, e uma função
ímpar é aquela cujo grá�co é simétrico em relação à origem. Veja os grá�cos ilustrados nos exemplos seguintes.
Exemplo(s) 4.6.1 :
(i) A função f(x) = x2 é par, já que f(−x) = (−x)2 = x2 = f(x) ∀x ∈ Domf = R;
(ii) A função f(x) = x3 é ímpar, já que f(−x) = (−x)3 = −x3 = −f(x) ∀x ∈ Domf = R;
(iii) A função f(x) = x3 + 4 não é par nem ímpar. De fato, se tomarmos, por exemplo, x = 1 teremos f(1) = 5 e
f(−1) = 3.
40 Cálculo Básico
−x x0
f(−x) f(x)
x−x
f(x)
f(−x)
x
y
0 -1
f(−1) = 3
1
5 = f(1)
0x
y
x
y
Exemplo 4.6.1 (ii)Exemplo 4.6.1 (i) Exemplo 4.6.1 (iii)
Figura 4.5:
4.7 Exercícios
1. Sejam f(x) = 1 + x e g(x) = x2 + 1. Calcule:
a) g ◦ f ; b) f ◦ g; c) f ◦ f ; d) g ◦ g.
2. Determine a função inversa das seguintes funções:
a) f(x) = 3x; b) y = x5 + 1; c) f(x) =
3x+ 1
x− 2
.
3. Determine quais das seguintes funções são pares ou ímpares.
a) f(x) = 3x4 − 2x2 + 1; e) f(x) = 5x3 − 2x;
b) f(s) = s2 + 2s+ 2; f) f(t) = t6 − 4;
c) f(x) = |x|; g) f(y) = y
3 − y
y2 + 1
;
d) f(x) =
x− 1
x+ 1
; h) f(x) = x5 + x3.
4.8 Raiz e sinal de uma função
De�nição 4.8.1 : Chama-se raiz (ou zero) de uma função f um número real c do seu domínio tal que f(c) = 0.
Geometricamente, isto signi�ca que o número c é a abscissa de um ponto onde o grá�co intercepta o eixo dos x.
Observe que através da representação grá�ca de uma função podemos fazer um estudo do seu sinal. De fato, se o
ponto do grá�co está acima do eixo dos x, o valor da função é positivo, e se está abaixo, é negativo.
Exemplo(s) 4.8.1 : A �gura seguinte ilustra quatro raízes de uma função, e mostra também que ela é positiva nos
intervalos [x1, x2), (x3, x4) e (x5, x6] (o grá�co está acima do eixo dos x nesses intervalos) e negativa nos intervalos
(x2, x3) e (x4, x5) (o grá�co está abaixo do eixo dos x nesses intervalos).
Simone e Edezio 41
x
y
0x1 x2 x3 x4 x5 x6
f
x2, x3, x4 e x5 são ráizes de f.
Figura 4.6:
4.9 Função módulo (ou valor absoluto)
De�nição 4.9.1 : A função módulo ou valor absoluto é a função dada por f(x) = |x|. Assim, com base na de�nição
de módulo, temos, para todo x real:
f(x) =
 x se x ≥ 0−x se x < 0 .
Pela de�nição de módulo, segue que f é uma função par cujo domínio é o conjunto R e o conjunto imagem é o conjunto
R+. Além disso, seu grá�co coincide com a reta y = x se x ≥ 0 e com a reta y = −x se x < 0, e portanto é fácil
representá-lo.
x
y
0
Figura 4.7: Grá�co de f(x) = |x|
4.10 Exercícios
1. Veri�que se o número dado é raíz de f, nos casos:
a) f(x) =
4x4 − 3x− 1
3x2 + x+ 1
; 1 b) f(x) =
3x− 6
(x− 4)2
; 2 c) f(x) =
x3 − x+ 2
2x4 − x+ 2
; −1
42 Cálculo Básico
2. Estude o sinal da função de domínio [−4, 2], cujo grá�co está representado na �gura abaixo:
x
y
-4 -2 0 21
3. A função y = 2|2x− 1| − x+ 2, para x < 1
3
, é de�nida pela lei:
a) y = 5x− 2;
b) y = 5x− 4;
c)y = 4− 5x;
d) y = 3x− 4;
e) y = 3x+ 4.
4. A imagem da função y =
|x|
x
− 2 x− 2
|x− 2|
, é o conjunto:
a) {−1, 0, 1};
b) {−1, 1, 2};
c) {0, 1, 2};
d) {−1, 1, 3};
e) {−1, 2, 3}.
5. Usando a de�nição de módulo, faça os grá�cos das funções:
a) f(x) =
2x
|x|
; b) f(x) = |2− x|; c) f(x) = |x|+ 2;
d) f(x) = −|x|; e) f(x) = |x− 1|.
6. O grá�co da relação y = |x− 1|+ 2 é:
Simone e Edezio 43
d)
0
0
e)
7. No grá�co a seguir, está representada a função a�m f(x).
f(x)
5
3
O grá�co que melhor representa g(x) = |f(x)| − 1 é:
44 Cálculo Básico
Capítulo 5
Funções do primeiro e segundo graus
Muitos problemas, em matemática, são modelados por funções polinomiais. Estudaremos nesse capítulo, em particular,
as funções do primeiro e segundo graus e seus respectivos grá�cos.
5.1 Função Polinomial
De�nição 5.1.1 : Seja n ∈ N. Uma função real polinomial é uma função
f : R → R de�nida por
f(x) = anx
n + an−1x
n−1 + . . .+ a1x+ a0,
onde ai ∈ R, ∀i = 0, . . . , n. Se an ̸= 0 o número n é chamado o grau de f.
A função dada por f(x) ≡ 0 é considerada uma função polinomial de grau inde�nido.
Exemplo(s) 5.1.1 : f(x) = 4x5 − x2 + 1 é uma função polinomial de grau 5.
Contra-exemplo: g(x) = 6x−4 + 7 não é uma função polinomial.
Todas as funções constantes exceto, a função identicamente nula, são funções polinomiais de grau zero. Seus
grá�cos são retas horizontais, como mostram os exemplos ilustrados a seguir.
Exemplo(s) 5.1.2 :
(i)f : R → R
x 7→ f(x) = 7
(ii)f : R → R
x 7→ f(x) = −5
(iii)f : R → R
x 7→ f(x) = 0
45
46 Cálculo Básico
x
y
0
7
y
x0
-5
y
x0
Exemplo (i) Exemplo (ii) Exemplo (iii)
Figura 5.1:
Observação 5.1.1 : Uma função que pode ser escrita como quociente de polinômios é chamada de função racional.
Ela se diz imprópria se o grau do polinômio do numerador é maior ou igual ao do polinômio do denominador; caso
contrário, ela se diz própria. Em particular, toda função polinomial é uma função racional imprópria.
O domínio de uma função racional é formado pelos números que não anulam o denominador.
5.2 Função do primeiro grau
De�nição 5.2.1 : Sejam a, b ∈ R, com a ̸= 0. Chamamos de função do primeiro grau à função dada por:
f : R → R
x 7→ f(x) = ax+ b
Características:
(i) Imf = R;
(ii) O grá�co de f é uma reta no plano cartesiano, inclinada em relação aos eixos cartesianos;
(iii) O número b é denominado coe�ciente linear da reta e determina a ordenada em que esta reta intercepta o eixo
y (pois b = f(0));
(iv) O número a é denominado coe�ciente angular ou inclinação (especi�ca a direção de uma reta não vertical). Além
disso, se
• Se P1(x1, f(x1)) e P2(x2, f(x2)) são pontos distintos na reta, então
a = tgθ =
△f
△x
=
f(x2)− f(x1)
x2 − x1
onde θ é o ângulo que a reta forma com sentido positivo do eixo dos x. Veja a �gura a seguir:
Simone e Edezio 47
x1 x2
f(x1)
f(x2)
P1
P2
x
y
θ
4f
4x
θ
0
Figura 5.2:
Note que o valor de a independe da escolha dos pontos P1 e P2 sobre a reta. Observe também que
f(x2)− f(x1) = a(x2 − x1).
Daí, segue que:
se a > 0 então f(x) = ax+ b é crescente, isto é, x2 > x1 ⇒ f(x2) > f(x1) (isto signi�ca que à medida que
"aumentam"os valores de x, "aumentam"os valores correspondentes y = f(x)). Veja �gura 5.3 (a);
se a < 0 então f(x) = ax + b é decrescente, isto é, x2 > x1 ⇒ f(x2) < f(x1) (isto signi�ca que à medida
que "aumentam"os valores de x, "diminuem"os valores correspondentes y = f(x)). Veja �gura 5.3 (b).
x x
y y
x1 x1x2 x2
f(x1)
f(x1)
f(x2)
f(x2)
0 0
P1
P1
P2
P2
−
b
a −
b
a
(a) (b)
Figura 5.3:
(v) Observe também, na �gura 5.3, que o estudo da variação de sinal da função f(x) = ax+ b pode ser dividido em
dois casos:
10 caso: a > 0. Então, temos:
• f(x) = 0 se x = − b
a
;
48 Cálculo Básico
• f(x) > 0 se x > − b
a
;
• f(x) < 0 se x < − b
a
.
20 caso: a < 0. Então, temos:
• f(x) = 0 se x = − b
a
;
• f(x) < 0 se x > − b
a
;
• f(x) > 0 se x < − b
a
.
Exemplo(s) 5.2.1 :
(i) f(x) = 2x é uma função do primeiro grau crescente cujo grá�co é uma reta que passa pela origem do plano
cartesiano;
(ii) f(x) = x é uma função do primeiro grau crescente cujo grá�co coincide com as bissetrizes do 1o e do 3o
quadrantes;
(iii) f(x) = −2x+ 2 é uma função do primeiro grau decrescente que intercepta os eixos cartesianos nos pontos
(1, 0) e (0, 2);
(iv) f(x) = x+1 é uma função do primeiro grau crescente que intercepta os eixos cartesianos nos pontos (−1, 0)
e (0, 1).
x
y
0 x
y
1
2
-1
1
0
0 0
1
2
x
y y
x
Exemplo 5.2.1 (i) Exemplo 5.2.1 (ii)
Exemplo 5.2.1 (iii) Exemplo 5.2.1 (iv)
Simone e Edezio 49
Observação 5.2.1 : Note que nos dois primeiros exemplos o coe�ciente linear é nulo. Convém ressaltar que
quando b = 0, a função f(x) = ax é dita função linear (conceito que será apresentado na próxima seção). Em
particular, se a = 1 então f(x) = x é chamada função identidade.
Observação 5.2.2 :
(i) Retas verticais não são grá�cos de funções. Nesse caso, suas equações são do tipo x = k, onde k representa
uma constante real;
(ii) Retas horizontais são grá�cos de funções do primeiro grau cujo coe�ciente angular é nulo (a = 0). Nesse
caso, suas equações são do tipo y = k, onde k representa, novamente, uma constante real;
(iii) Duas retas, não verticais, de equações y = a1x+ b1 e y = a2x+ b2 são paralelas se, e somente se, elas têm
o mesmo coe�ciente angular, isto é, a1 = a2;
(iv) Duas retas, inclinadas em relação aos eixos cartesianos, de equações y = a1x + b1 e y = a2x + b2 são
perpendiculares se, e somente se, o produto dos seus coe�cientes angulares é igual a -1, isto é, a1 ·a2 = −1.
5.3 Exercícios
1. Determine a função do primeiro grau f tal que f(3) = 0 e f(0) = −1.
2. Classi�que as funções abaixo em crescentes ou decrescentes:
a) f(x) = x− 3;
b) f(x) = −x
2
+ 1;
c) f(x) =
2x+ 1
3
− 3x+ 5
4
.
3. Os grá�cos abaixo representam funções f(x) = ax+ b. Determine, em cada item, os sinais de a e b.
4. Determine os zeros das seguintes funções:
(i) f(x) = 2x− 1;
(ii) f(x) = 5x+ 10;
(iii) f(g(x)) sendo f(x) =
x+ 2
2
e g(x) = 8− 4x.
5. Estude o sinal das funções abaixo:
(i) f(x) = −x+ 3;
(ii) f(x) = 5x+ 10;
(iii) f(x) = (x+ 3)2 − (x− 2)2.
6. Encontre a equação da reta que passa pelo ponto (−3,−4) e é paralela ao eixo dos x;
7. Encontre a equação da reta que passa pelo ponto (1,−7) e é paralela ao eixo dos y;
50 Cálculo Básico
x x
xx
y y
y y
(i) (ii)
(iii) (iv)
0 0
0 0
8. Encontre a equação da reta que passa pelos pontos (1, 3) e (2,−2);
9. Encontre a equação da reta que passa por (−2,−5) e tem inclinação
√
3;
10. Encontre a equação da reta que passa pela origem e divide ao meio o ângulo entre os eixos no segundo e no
quarto quadrantes;
11. Dados a reta r com equação 2x− 5y = 10 e o ponto P (5, 1), encontre a equação da reta que passa por P e:
a) seja paralela à reta r;
b) seja perpendicular à reta r.
12. Determine o domínio e a imagem e esboce o grá�co das seguintes funções:
a) f(x) =

2, x ≤ −1
−2, −1 < x < 1 ;
3, x ≥ 1
b) f(x) =
 x+ 5, x ̸= 21, x = 2 ;
c) f(x) =
x2 − 9
x− 3
.
5.4 Sinal do produto e quociente de funções do primeiro grau
O estudo da variação de sinal do produto de funções do primeiro grau pode ser feito a partir do estudo da variação
do sinal das funções fatores.
Simone e Edezio 51
Exemplo(s) 5.4.1 : f(x) = (x+ 3)(2x− 1).
Devemos construir um quadro que represente o sinal dos fatores g(x) = x+ 3 e h(x) = 2x− 1. Assim,
x
g(x) = x+ 3
h(x) = 2x− 1
f(x) = (x+ 3)(2x− 1)
−3 1/2
−
− −
−
+ +
+
++
0
0
0
0
• f(x) > 0 se x < −3 ou x > 1/2;
• f(x) < 0 se −3 < x < 1/2;
• f(x) = 0 se x = −3 ou x = 1/2.
O estudo da variação de sinal do quociente de funções do primeiro grau pode ser feito de modo análogo ao feito no
caso do produto. Devemos tomar apenas um cuidado especial, já que a função racional não é de�nida no ponto (ou
pontos) onde o denominador se anula.
Exemplo(s) 5.4.2 : f(x) =
−x+ 1
x− 2
. Assim,
x
g(x) = −x+ 1
h(x) = x− 2
f(x) = −x+1
x−2
1 2
−
− −
−
+
++ 0
0
0
−
−/∃
• f(x) > 0 se 1 < x < 2;
• f(x) < 0 se x < 1 ou x > 2;
• f(x) = 0 se x = 1;
• f(x) não está de�nida para x = 2, isto é, @f(2).
52 Cálculo Básico
5.5 Exercícios
1. Resolva as equações abaixo:
a) 3x+ 3 = x+ 7; b) 3x− 1− (x+ 2) = 2x− 3;
c) 3(x− 2) + 7 = x+ 2(x− 1); d) 3(x− 1
3
) + x = 2x+
1
2
;
e)
1
x− 3
+
2
x+ 3
=
6
x2 − 9
; f) 2(3− 4z)− 5(2z + 3) = z − 17;
g)
1
2
x+
1
3
= 1; h)
1
2
x =
7
8
.
2. Resolva as seguintes inequações:
a)
x
3
− 2 < x; b) 3x− (5− x) ≥ x− 5;
c)
x− 5
4
+
3− 2x
3
< −2; d) 1
2
(x− 4)− 2x ≤ 5(3− x).
3. Resolva: −4 ≤ 2x+ 6 ≤ 0.
4. Estude o sinal das funções abaixo:
a) f(x) = (x− 1)(x+ 2);
b) f(x) =
x+ 1
x− 2
;
c) f(x) = (x+ 1)(x− 3);
d) f(x) = x3 − x.
5. Resolva as seguintes inequações:
a) (x− 2)(x+ 1)(x− 4) < 0;
b)
x− 1
x2 − 3x+ 2
≥ 0;
c)
x2 − x− 2
x2 − 1
≤ 0;
d) (1− x)(1 + x) ≥ 0.
6. Determine o domínio da função de�nida por:
a) f(x) =
√
(2x− 1)(x+ 3); b) f(x) =
√
1− 2x
2x− 3
.
7. Resolva as inequações:
(i)
x+ 3
−3x+ 2
≤ 0; (ii) x− 5
2x− 4
≥ 1.
5.6 Função a�m e função linear
Uma breve consulta à literatura clássica pode constatar que os conceitos de função a�m e função linear são apresentados
de forma relativamente arbitrária. As de�nições seguintes podem ser encontradas em [1] e [3].
De�nição 5.6.1 : Uma função f é chamada de função a�m se existem números reais a e b tais que f(x) = ax + b,
para qualquer x real. Se b = 0, ou seja, se f(x) = ax, f é chamada de função linear.
Simone e Edezio 53
Com base nessa de�nição, a classe de funções a�ns pode ser caracterizada como o conjunto de funções cujos grá�cos
são retas. Retas inclinadas em relação aos eixos cartesianos são grá�cos de funções do primeiro grau, enquanto retas
horizontais são grá�cos de funções constantes. As funções lineares representam a subclasse das funções a�ns cujos
grá�cos são retas que passam pela origem.
5.7 Exercícios complementares
1. A temperatura de uma caldeira varia linearmente de 0oC a 300oC no intervalo de 0 min a 10 min e, a partir daí,
sua temperatura permanece constante.
a) Qual é a lei que expressa a temperatura da caldeira em função do tempo?
b) Construa o grá�co da temperatura da caldeira em função do tempo.
2. Uma barra de ferro foi aquecida até uma temperatura de 30oC e a seguir foi resfriada até a temperatura de
−6oC. O grá�co mostra a temperatura da barra em função do tempo.
6
-6
0
30
Tempo (min)
Temperatura (oC)
a) Depois de quanto tempo, após o início do resfriamento, a temperatura da barra atingiu 0oC?
b) De 0 a 6 min. em que intervalo de tempo a temperatura da barra esteve positiva?
c) De 0 a 6 min. em que intervalo de tempo a temperatura da barra esteve negativa?
3. A água que usamos em nossas casas vem de grandes represas que devem ser conservadas sempre limpas. Suas
margens não devem ser povoadas, para que esgotos não sejam despejados em suas águas. Suponha que numa
dessas represas o medidor do nível da água consista de uma barra graduada, perpendicular à superfície da água,
sendo 0 m o nível mínimo para abastecimento da região servida pela represa. O grá�co mostra o nível dessa
represa em função do tempo, nos dez primeiros dias do mês de maio.
Supondo que o grá�co em todo o mês de maio seja um segmento de reta, responda:
a) Em que dia do mês de maio o nível da água atingirá o mínimo necessário para o abastecimento da região?
54 Cálculo Básico
-1
0 10
-3
Tempo (dias)
Nível da água (m)
b) Durante quanto tempo no mês de maio o nível da água se apresentará negativo?
c) Durante quanto tempo no mês de maio o nível da água se apresentará positivo?
4. (UFMG) Observe o grá�co, em que o segmento AB é paralelo ao eixo das abscissas. Esse grá�co representa a
relação entre a ingestão de certo composto e a absorção pelo organismo, em mg/dia. A única a�rmativa falsa
A B
0 20
18
Ingestão (mg/dia)
Absoŗcão (mg/dia)
relativa ao grá�co é:
a) A razão entre a quantidade absorvida e a quantidade ingerida é constante;
b) A absorção resultante da ingestão de mais de 20 mg/dia é igual à absorção resultante da ingestão de 20
mg/dia;
c) Para ingestões acima de 20 mg/dia, quanto maior a ingestão, menor a porcentagem absorvida do composto
ingerido;
d) Para ingestões de até 20 mg/dia, a absorção é proporcional à quantidade ingerida.
5. (Vunesp) Um botânico mede o crescimento de uma planta, em centímetros, todos os dias. Ligando os pontos
colocados por ele num grá�co, resulta a �gura abaixo. Se for mantida sempre essa relação entre tempo (t) e
altura (h), a planta terá, no trigésimo dia, uma altura igual a:
a) 5 cm;
b) 6 cm;
c) 3 cm;
d) 15 cm;
e) 30 cm.
Simone e Edezio 55
0 5 10
1
2
h (cm)
t (dias)
6. (ENEM) Uma empresa produz jogos pedagógicos para computadores, com custos �xos de R$ 1.000,00 e custos
variáveis de R$ 100,00 por unidade de jogo produzida. Desse modo o custo total para x jogos produzidos é dado
por C(x) = 1+ 0, 1x (em R$ 1.000,00). A gerência da empresa determina que o preço de venda do produto seja
de R$ 700,00. Com isso a receita bruta para x jogos produzidos é dada por R(x) = 0, 7x (em R$ 1.000,00). O
lucro líquido, obtido pela venda de x unidades de jogos, é calculado pela diferença entre a receita bruta e os
custos totais.
O grá�co que modela corretamente o lucro líquido dessa empresa, quando são produzidos x jogos, é:
1 2 3 4
1
2
3
4
L
u
cr
o
(e
m
R
$
1
.0
0
0
,0
0
)
-1
a)
Número de jogos vendidos
1 2 3 4
1
2
3
4
L
u
cr
o
(e
m
R
$
1
.0
0
0
,0
0
)
-1
b)
-1
Número de jogos vendidos
1 2 3 4
1
2
3
4
L
u
cr
o
(e
m
R
$
1
.0
0
0
,0
0
)
-1
c)
Número de jogos vendidos
1 2 3 4
1
2
3
4
L
u
cr
o
(e
m
R
$
1
.0
0
0
,0
0
)
-1
d)
Número de jogos vendidos
1
1
2
L
u
cr
o
(e
m
R
$
1
.0
0
0
,0
0
)
e)
Número de jogos vendidos
56 Cálculo Básico
7. (ENEM) Todos os anos, no mundo, milhões de bebês morrem de causas diversas. É um número escandaloso mas
que vem caindo. O caminho para se atingir o objetivo dependerá de muitos e variados meios, recursos, políticas
e programas - dirigidos não só às crianças, mas às suas famílias e comunidades. Admitindo-se que os pontos do
grá�co abaixo pertencem a uma reta, a mortalidade infantil em 2015, em milhões, será igual a:
1980
11
15
anos
M
o
rt
a
li
d
a
d
e
2000 2015
Panorama Mundial
Mortalidade Infantil por ano
a) 9;
b) 8;
c) 7;
d) 6;
e) 5.
(em milhôes de bebês)
8. (ENEM) O grá�co abaixo, obtido a partir de dados do Ministério do Meio Ambiente, mostra o crescimento do
número de espécies da fauna brasileira ameaçadas de extinção.
1983 1987 1991 19991995 2003 2007
239
461
ano
n
ú
m
e
r
o
d
e
e
s
p
é
ci
e
s
a
m
e
a̧
ca
d
a
s
d
e
e
x
ti
ņ
cã
o
Se mantida, pelos próximos anos, a tendência de crescimento mostrada no grá�co, o número de espécies amea-
çadas de extinção em 2011 será igual a:
a) 465; b) 493; c) 498; d) 538; e) 699.
5.8 Função do segundo grau
De�nição 5.8.1 : Sejam a, b e c ∈ R, com a ̸= 0. Chamamos de função do segundo grau ou quadrática à função dada
por:
f : R → R
x 7→ ax2 + bx+ c.
Simone e Edezio 57
Características:
(i) O grá�co de f é uma curva no plano cartesiano denominado parábola. Além disso, se
• a > 0, então a concavidade da parábola é voltada para cima. Veja �gura 5.4 (a);
• a < 0, então a concavidade da parábola é voltada para baixo. Veja �gura 5.4 (b).
0 0x
y y
x
(a) (b)
Figura 5.4:
(ii) Para determinar os zeros da função quadrática f(x) = ax2 + bx+ c, devemos resolver a equação do 20 grau:
ax2 + bx+ c = 0.
Como sabemos, as raízes dessa equação são calculadas pela fórmula (de Bhaskara):
x =
−b±
√
△
2a
,
onde △ = b2 − 4ac denomina-se discriminante (ou delta) da equação. Note que, a existência e o número de
zeros da função dependem do sinal de △. Assim, podemos dividir o estudo do sinal da função quadrática em
três casos:
10 caso: △ > 0
Nesse caso, a função apresenta dois zeros reais distintos:
x1 =
−b+
√
△
2a
e x2 =
−b−
√
△
2a
.
Veja �gura 5.5.
58 Cálculo Básico
x1
x1
x2x2
x
y
x
y
0
0
a > 0 a < 0
+ +
+
−
− −
Figura 5.5:
20 caso: △ = 0
Nesse caso, a função apresenta um zero real duplo: x1 = x2 =
−b
2a
. Veja �gura 5.6.
x1 = x2
x1 = x2
y
x
y
x
0
0
a > 0 a < 0
+ +
− −
Figura 5.6:
Observação 5.8.1 : A soma e o produto das soluções da equação do 2o grau são dados por − b
a
e
c
a
respectiva-
mente. Além disso, se △ ≥ 0, podemos fatorar o trinômio ax2 + bx+ c da seguinte forma:
ax2 + bx+ c = a(x− x1)(x− x2).
onde x1 e x2 são as raízes reais da equação ax2 + bx+ c = 0.
30 caso: △ < 0
Nesse caso, a função não apresenta zeros reais. Veja �gura 5.7.
Simone e Edezio 59
y
x
y
x
0
0
a > 0 a < 0
+ +
− −
+
−
Figura 5.7:
(iii) A �gura 5.8, ilustrada abaixo, mostra uma parábola, grá�co da função f(x) = ax2 + bx+ c, com três elementos
importantes assinalados:
y
x0
c
V
r
Figura 5.8:
O número c determina a ordenada em que esta parábola intercepta o eixo y (pois c = f(0)). O ponto V é
chamado vértice da parábola. A reta r, perpendicular ao eixo x e passando pelo vértice, é o eixo de simetria da
parábola. O vértice V é dado por V (xv, yv) com
• xv = −
b
2a
;
• yv = −
△
4a
(já que yv = f(xv) = a(xv)2 + bxv + c).
(iv) A imagem de f é obtida com auxílio do vértice da parábola, como se segue:
10 caso: a > 0(concavidade é voltada para cima)
Nesse caso, a função apresenta um valor mínimo, igual à ordenada do vértice da parábola. Veja a �gura 5.9.
60 Cálculo Básico
y
x0
c
V
xv
yv
Figura 5.9:
Assim:
• xv = −
b
2a
é chamado ponto de mínimo de f ;
• yv = −
△
4a
é chamado valor mínimo de f.
Logo, Imf = {y ∈ R/y ≥ −△
4a
} = [−△
4a
,+∞).
20 caso: a < 0(concavidade é voltada para baixo)
Nesse caso, a função apresenta um valor máximo, igual à ordenada do vértice da parábola. Veja a �gura 5.10.
y
x0
c
V
xv
yv
Figura 5.10:
Assim:
• xv = −
b
2a
é chamado ponto de máximo de f ;
• yv = −
△
4a
é chamado valor máximo de f.
Logo, Imf = {y ∈ R/y ≤ −△
4a
} = (−∞,−△
4a
].
Simone e Edezio 61
5.9 Exercícios
1. Resolva as equações abaixo:
a) x2 + 6x = 7;
b) x2 + 5x− 9 = 0;
c) x2 − 7x+ 5
4
= 0;
d) 4− 6x = x2;
e) 2x2 − 7x+ 9 = (x− 3)(x+ 1) + 3x;
f) 3x2 − 6x− 7 = x2 + 3x− x(x+ 1) + 3.
2. Determine os zeros reais das seguintes funções quadráticas:
a) f(x) = x2 − 4;
b) f(x) = −2x2 + 3x;
c) f(x) = x2 − 2x− 8;
d) f(x) = x2 + 1.
3. Resolva as inequações abaixo:
a)x2 − 9x+ 14 ≤ 0; b) − x2 + x− 2 > 0; c) 4x2 − 4x+ 1 > 0;
d) 9x2 − 4 ≤ 0; e) 2x2 − 3x > 0.
4. Calcule m para que a função f(x) = x2 + 6x+m seja maior que zero para todo x ∈ R.
5. Para que valores de m a função f(x) = 3x2 + 2x+m tem dois zeros reais distintos?
6. Para que valores de m a função f(x) = (m+ 8)x2 − 6x+m possui um zero real duplo?
7. Determine as imagens das funções abaixo:
a) f(x) = x2 + 2x− 1; b) f(x) = −2x2 + 6x− 5.
8. Diga se cada uma das funções quadráticas abaixo admite máximo ou mínimo. Indique, em cada caso, o ponto
de máximo ou de mínimo e o valor máximo ou mínimo.
i) f(x) = 3x2 + 6x− 11; ii) f(x) = 4− 2x2.
9. Calcule m de modo que o valor máximo de f(x) = −x2 + 4x+m seja 3.
10. Resolva as seguintes inequações:
a)
x− 1
x2 − 3x+ 2
≥ 0; b) x
2 − x− 2
x2 − 1
≤ 0
c)
x2
x− 1
< 4; d) (x2 − 2x− 3)(−x2 − 3x+ 4) > 0.
62 Cálculo Básico
5.10 Exercícios Complementares
1. Um retângulo de perímetro 36 cm que área máxima pode ter?
2. Um móvel se desloca segundo a trajetória h = −2t2 + 12t, onde h é a altura em metros alcançada no instante t,
em horas. Determine, sabendo que o móvel parte às 10 h 20 min:
a) a altura máxima alcançada pelo móvel;
b) a hora em que a altura alcançada foi de 18 m.
3. Uma bola, ao ser chutada num tiro de meta por um goleiro, numa partida de futebol, teve sua trajetória descrita
pela equação h(t) = −2t2+8t(t ≥ 0), onde t é o tempo medido em segundos e h(t) é a altura em metros da bola
no instante t. Determine, após o chute:
a) o instante em que a bola retornará ao solo;
b) a altura máxima atingida pela bola.
4. Os grá�cos abaixo representam funções f(x) = ax2 + bx+ c. Determine, em cada caso, os sinais de a, b, c e △.
0
y
x
i)
0
y
x
ii)
0
y
x
iii)
0
y
x
iv)
5. Sabendo que a soma de dois números x e y é 10, calcule os valores de x e y de modo que a soma x2 + y2 seja
mínima.
6. (ENEM) O crescimento da população de uma praga agrícola está representado em função do tempo, no grá�co
a seguir, onde a densidade populacional superior a P causa prejuízo à lavoura.
Simone e Edezio 63
P
Tempo
Densidade populacional
da praga
1 2
No momento apontado pela seta 1, um agricultor introduziu uma espécie de inseto que é inimigo natural da
praga, na tentativa de controlá-la biologicamente.
No momento indicado pela seta 2, o agricultor aplicou grande quantidade de inseticida, na tentativa de eliminar
totalmente a praga.
A análise do grá�co permite concluir que:
a) se o inseticida tivesse sido usado no momento marcado pela seta 1, a praga teria sido controlada de�nitiva-
mente, sem necessidade de um tratamento posterior.
b) se não tivesse sido usado o inseticida no momento marcado pela seta 2, a população de praga continuaria
aumentando rapidamente e causaria grandes danos à lavoura.
c) o uso do inseticida tornou-se necessário, uma vez que o comntrole biológico aplicado no momento 1 não
resultou na diminuição da densidade da população da praga.
d) o inseticida atacou tanto as pragas quanto os seus predadores; entretanto, a população de pragas recuperou-se
mais rápido, voltando a causar dano à lavoura.
e) o controle de pragas por meio do uso de inseticidas é muito mais e�caz que o controle biológico, pois os seus
efeitos são muito mais rápidos e têm maior durabilidade.
7. O custo diário da produção de uma indústria de aparelhos de telefone é dado pela função C(x) = x2−86x+2500,
onde C(x) é o custo em dólares e x é o número de unidades fabricadas. Quantos aparelhos devem ser produzidos
diariamente para que o custo seja mínimo?
8. (U. Católica de Salvador-Ba) Considere a função f : R → R, de�nida por f(x) = x2 − 3x+ 2. O conjunto A, no
qual a função f é crescente e f(x) ≥ 0, qualquer que seja x ∈ A, é:
a) [1, 3/2];
b) [3/2,+∞[;
c) [2,+∞[;
64 Cálculo Básico
d) ]−∞, 1] ∪ [2,+∞[;
e) ]−∞, 3/2] ∪ [2,+∞[
9. (ENADE-2008) Em um jogo de futebol, um jogador irá bater uma falta diretamente para o gol. A falta é batida
do ponto P, localizado a 12 metros da barreira. Suponha que a trajetória da bola seja uma parábola, com ponto
de máximo em Q, exatamente acima da barreira, a 3 metros do chão, como ilustra a �gura abaixo.
3
barreira
8
P
12
Q
gol
R
y
x
parábola
posi̧cão da falta
sabendo-se que o gol está a 8 metros da barreira, a que altura está a bola ao atingir o gol?
a) 3/2m; b) 4/3m; c) 1m; d) 2m; d) 5/3m.
Texto para as questões 10 e 11 (ENEM).
Um boato tem um público-alvo e alastra-se com determinada rapidez. Em geral, essa rapidez é diretamente
proporcional ao número de pessoas desse público que conhecem o boato e diretamente proporcional também ao
número de pessoas que não o conhecem. Em outras palavras, sendo R a rapidez de propagação, P o público-alvo
e x o número de pessoas que conhecem o boato, tem-se:
R(x) = k · x · (P − x), onde k é a constante positiva característica do boato.
10. O grá�co cartesiano que melhor representa a função R(x), para x real, é:
Simone e Edezio 65
x
R
0
a)
x
R
0
b)
x
R
0
c)
x
R
0
d)
x
R
0
e)
11. Considerando o modelo acima descrito, se o público-alvo é de 44.000 pessoas, então a máxima rapidez de
propagação ocorrerá quando o boato for conhecido por um número de pessoas igual a:
a) 11.000; b) 22.000; c) 33.000; d) 38.000; e) 44.000.
12. (ENEM)Na �gura, temos os grá�cos das funções f e g. Se f(x) = 2x2, então g(3) vale:
-1
3
0 x
y
a) 6
b) 8
c) 10
d) 12
e) 14
f g
13. Determine a imagem da função: y = |x2 + x+ 3|+ 2.
14. O valor numérico de y = |x2 + x+ 3| − |x2 + x+ b| é constante, para todo x ∈ R. O valor de b satisfaz:
a) b < 0;
b) −1 < b < 0;
c) b >
1
4
;
d) b ̸=0;
e) b ̸= 1
2
.
66 Cálculo Básico
Capítulo 6
Função Exponencial e Função Logaritmica
6.1 Função Exponencial
De�nição 6.1.1 Seja a ∈ R∗+ − {1}. A função exponencial de base a é de�nida por:
f : R → R
x 7→ f(x) = y = ax
Características:
(i) Dom f= R;
(ii) Im f= R∗+;
(iii) Grá�co: y = ax.
1o caso: a > 1. Exemplo: f(x) = 2x
x y
0 1
1 2
2 4
−1 1/2
−2 1/4
................. .......
..
−5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5
......
...........
.........
−4
−3
−2
−1
1
2
3
4
...........................................................................................................................................................................................................................
....................................................................................
......................................................
........................................
................................
..........................
......................
....................
................
................
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............
............
............
..........
..........
..........
..........
............
...........
..........
...........
.........
.........
.........
.........
.........
.......
........
........
..........
.........
.........
........
........
........
........
.
•
y = 2x
y
x
• o grá�co contém o ponto (0, 1)
• x cresce ⇒ y cresce (função crescente)
67
68 Cálculo Básico
• base a = 2 > 1
2o caso: 0 < a < 1. Exemplo: f(x) =
(
1
2
)x
x y
0 1
1 1/2
2 1/4
−1 2
−2 4
................. .......
..
−5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5
......
...........
.........
−4
−3
−2
−1
1
2
3
4
x
y........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................
••
y = ( 12 )
x
• o grá�co contém o ponto (0, 1)
• x cresce ⇒ y decresce (função decrescente)
• base a = 1/2 < 1
Observação 6.1.1 : Em particular, o grá�co de f(x) = ex é:
................. .......
..
−5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5
......
...........
.........
−4
−3
−2
−1
1
2
3
4
x
y
.................................................................................................................................................................................................................................................................................................
....................................................................
........................................
............................
......................
..................
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..............
............
............
..........
..........
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...........
..........
...........
.........
.........
.........
.......
........
.........
.........
..........
........
........
........
........
.......
.........
.........
.......
........
.......
........
.......
.......
•
y = ex
6.2 Exercícios
1. Classi�que as funções abaixo em crescentes ou decrescentes.
(a) y = 3x
Simone e Edezio 69
(b) y =
(
1
3
)−x
(c) y =
(√
3
)x
(d) y =
(
3
5
)x
(e) y =
(
4
3
)−x
2. Determine x:
(a) 3x = 9
(b) 25x−1 = 625
(c) 81−x = 243
(d) 32x − 10 · 3x + 9 = 0
6.3 Função Logarítmica
De�nição 6.3.1 Seja a ∈ IR∗+ −{1}. O logaritmo de um número N ∈ IR∗+ na base a é de�nido como sendo o número
x tal que ax = N. O número N é denominado logaritmando.
Notação: loga N = x
Observação 6.3.1 : Condições de existência:
• a ̸= 1, a > 0
• N > 0, ou seja, números negativos e zero não possuem logaritmo.
De�nição 6.3.2 Seja a ∈ R∗+ − {1}. Chamamos função logarítmica de base a a função de�nida por:
f : R∗+ → R
x 7→ f(x) = y = loga x
Observação 6.3.2 :
y = loga x ⇔ ay = x. O signi�cado dessa expressão é que a função logarítmica e a função exponencial são inversas
uma da outra. Observe, nos grá�cos dos exemplos seguintes, suas simetrias em relação à reta y = x.
Propriedades básicas: Sejam b > 0, a ∈ R∗+ − {1} e y ∈ R.
(i) loga 1 = 0 pois a
0 = 1;
(ii) loga a = 1 pois a
1 = a;
(iii) loga a
m = m pois am = am;
(iv) aloga b = b pois se loga b = n ⇔ an = b, isto é, aloga b = b;
70 Cálculo Básico
(v) loga b = loga c ⇒ b = c pois aloga c
(iv)
= b ⇒ b = c.
As bases mais usadas são:
• 10 (logaritmos decimais). Notação: log10 b ou log b;
• e (logaritmos neperianos ou naturais). Notação: ln b ou loge b.
Propriedades: Sejam a, b e c ∈ R∗+ com a ̸= 1 e n ∈ R.
(a) loga(b · c) = loga b+ loga c (regra produto);
(b) loga(
b
c ) = loga b− loga c (regra do quociente);
(c) loga b
n = n loga b (regra da potência). Em particular: loga
n
√
b = loga b
1/n = 1n loga b;
(d) loga N =
logb N
logb a
(fórmula de mudança de base).
Características:
(i) Dom f= R∗+;
(ii) Im f= R;
(iii) Grá�co: y = loga x.
1o caso: a > 1. Exemplo: y = log2 x
x y
1/8 −3
1/4 −2
1/2 −1
1 0
2 1
.................. .......
..
−5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5
.......
...........
.........
−4
−3
−2
−1
1
2
3
4
x
y
...........
............
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