MÉTODOS NUMÉRICOS PARA RESOLUÇÃO DE SISTEMAS LINEARES MÉTODO DA ELIMINAÇÃO DE GAUSS MÉTODO DE GAUSS-SEIDEL - SÉRIE 9

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CÁLCULO NUMÉRICO - MÉTODOS NUMÉRICOS PARA RESOLUÇÃO DE 
SISTEMAS LINEARES – MÉTODO DA ELIMINAÇÃO DE GAUSS – MÉTODO 
DE GAUSS – SEIDEL - SÉRIE 9 
Prof. Cida Coelho 
 
Em geral os problemas práticos exigem a resolução de sistemas lineares de grande 
porte, envolvendo grande número de equações e variáveis. Situações que podem 
ocorrer com relação ao número de soluções de um sistema linear: 
1. Solução única 
2. Infinitas soluções 
3. Nenhuma solução 
 
Exemplos: Resolver os sistemas lineares e construir os gráficos: 
 
1. 2𝑥 + 𝑦 = 3𝑥 − 3𝑦 =  −2 
 
2. 2𝑥 + 𝑦 = 34𝑥 + 2𝑦 =  6 
 
3. 2𝑥 + 𝑦 = 34𝑥 + 2𝑦 =  2 
 
Os métodos numéricos para resolução de um sistema linear podem ser divididos em 
dois grupos: métodos diretos e métodos iterativos. Os métodos diretos são aqueles 
que fornecem a solução exata do sistema, caso ela exista, após um número finito de 
operações. Os métodos iterativos geram uma sequência de vetores a partir de uma 
aproximação inicial, podendo convergir para a solução, caso ela exista. 
 
O método da Eliminação de Gauss é um método direto que consiste em transformar 
o sistema linear original num sistema linear equivalente com matriz dos coeficientes 
triangular superior, para facilitar sua resolução. Dois sistemas lineares são 
equivalentes quando possuem a mesma solução. 
 
O algoritmo para o método da Eliminação de Gauss requer o cálculo de 
multiplicadores. Em qualquer calculadora ou computador os cálculos são efetuados 
com aritmética de precisão finita e em muitos casos origina a ampliação dos erros de 
arredondamento. Para se contornar esses problemas deve-se adotar uma estratégia de 
pivoteamento. Um pivô é um número diferente de zero que é usado para criar zeros 
através de operações elementares com os elementos da matriz. A escolha do maior 
elemento em módulo entre os candidatos a pivô faz com que os multiplicadores, em 
módulo, estejam entre zero e um, o que evita a ampliação dos erros de 
arredondamento. 
Exemplo: Resolver o sistema linear: 
3𝑥 + 2𝑦 + 4𝑧 = 1
𝑥 + 𝑦 + 2𝑧 =  2
4𝑥 + 3𝑦 − 2𝑧   = 3
 
 
MÉTODO ITERATIVO DE GAUSS-SEIDEL 
O método iterativo de Gauss-Seidel consiste em, sendo x0 uma aproximação inicial, 
calcular x1, x2, ...xk restantes. 
Exemplo: Resolver, pelo método de Gauss-Seidel, o sistema linear 
2𝑥 − 𝑦 = 2
𝑥 + 2𝑦 =  3 
cuja solução é 
7/5
4/5 , até a segunda iteração, considerando x0 = 
0
0 
 
Equações de iteração: x = 1 + 1/2 y 
 y = 3/2 – 1/2 x 
I0 = 
0
0 →   x = 1 + ½ . 0 
 x = 1 
 y = 3/2 – 1/2 . 1 
 y = 1 
I1 =   11  →   x = 1 + 1/2 
 x = 3/2 
 y = 3/2 – ½ . 3/2 = 3/2 – 3/4 = ¾ 
 
I2 = 
3/2
3/4 →   x = 1 + ½ . 3/4 
 x = 11/8 
 y = 3/2 – 1/2 . 3/8 
 y = 21/16 
 
I3 = 
11/8
13/16 →   x = 1 + ½ . 13/16 
 
 x = 45/32 
 y = 3/2 – 1/2 . 45/32 
 y = 51/64 
 
I4 = 
45/32
51/64 , uma boa aproximação do resultado exato. 
 
ESTUDO DA CONVERGÊNCIA DO MÉTODO GAUSS-SEIDEL 
Os métodos iterativos têm convergência assegurada apenas sob determinadas 
condições, mas apresentam menos erros de arredondamento que os métodos diretos, 
visto que a convergência, uma vez assegurada, independe da aproximação inicial. 
 
CRITÉRIO DE SASSENFELD PARA TESTAR A CONVERGÊNCIA 
Consideremos o sistema dado: 
2𝑥 − 𝑦 = 2
𝑥 + 2𝑦 =  3 e seja B1 = 
|!!"|
|!!!|
 = ½ = 0,5 e B2 = 
!!"  .    !!
|!!!|
 = !!"  .    !,!
|!!!|
    !  .    !,!
!
 = 0,25. Máx B = 0,5 < 1 , então o método de Gauss-Seidel 
gera uma sequencia convergente. 
 
 
EXERCÍCIOS 
1. Resolva os sistemas lineares e construa os gráficos: 
                                𝑎)
2𝑥 + 𝑦 = 4
𝑥 − 3𝑦 =  −5                  𝑏)
2𝑥 + 𝑦 = 3
4𝑥 + 2𝑦 =  6 c) 
2𝑥 + 𝑦 = 3
𝑥 − 3𝑦 =  2 
 
2. Um empresa de máquinas de lavar possui 2 setores onde são feitas as 
montagens e os acabamentos das máquinas. Em um determinado dia, o setor 
de montagem trabalhou 17 horas e o setor de acabamento trabalhou 12 horas. 
Sabendo que uma máquina do modelo A leva 2 horas para a montagem e 1,5 
horas para o acabamento e que uma máquina do modelo B leva 1,5 horas 
para a montagem e 1 hora para o acabamento, quantas máquinas de cada tipo 
foram fabricadas no dia? 
 
3. Resolver os sistemas lineares, utilizando o método da eliminação de Gauss, 
com pivoteamento parcial 
 
a) 
2𝑦 + 2𝑧 = 8
𝑥 + 2𝑦 + 𝑧 =  9
𝑥 + 𝑦 +  𝑧   = 6
 
 
b) 
𝑥 + 2𝑦 + 4𝑧 = 17
2𝑥 + 𝑦 + 2𝑧 =  10
4𝑥 + 3𝑦 − 2𝑧   = 4
 
 
c) 
2𝑥 + 3𝑦 + 𝑧 = −1
𝑥 + 𝑦 + 2𝑧 =  0
4𝑥 + 3𝑦 − 2𝑧   = 1
 
4. Resolva, pelo método de Gauss-Seidel, com x0 = 00 os sistemas lineares até 
a segunda iteração. 
 
a) 2𝑥 − 𝑦 = 3𝑥 + 2𝑦 =  −2 
 
b)  3𝑥 − 2𝑦 = −  2𝑥 + 2𝑦 =  3 
 
 
RESPOSTAS 
1. a) (1, 2) 
 b) (x, 3 – 2x, x ∈ R) 
 c) S = 𝜙 
 
2. A = 4 e B = 6 
 
3. a) (2, 3, 1) 
 b) ( 1, 2, 3) 
 c) (- 3, 5, 0) 
 
 4. a) 
5/8
19/16 
 
 b) 
5/9
11/9