Arit - Problemas_de_Aritmética_y_cómo_resolverlos - Hernan Flores Velazco

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Problemas de
Aritmética
y cómo resolverlos
D irig ido po r:
Fl ijx A uc allanci u V elásquez
Primera edición en español 
Copyright © 1999 por RACSO Editores
Prohibida la reproducción total o parcial de esta obra por cualquier método de publicación y/o almacenamiento 
de información, tanto del texto como de logotipos y/o ilustraciones sin autorización escrita del autor y los editores 
Caso omiso se procederá a denunciar al infractor a 1j INDECOPI de acuerdo a la Ley V 13714 y al aiiiculo INT 221 
del Código Penal vigente.
Pnnted in Peni - Impreso en Perú
Imprenta M AQ l'ET l E I.R.L. - Jr Caitos Amela I3IÓ - Luna 1
SFR1F DF LIBROS Y 
COMPENDIOS 
CIENTIFICOS
COLECCION RACSO
/
P C O C L O U S D C 4 R I T H C I I C 4
y C O , M C B E S C * V E t t i X S
v _____________________________________________________________________________________________________________________________
is a E D IC IO N
COLABORADORES:
Ing. Jaime Rojas L. UNÍ
Ing. Guillermo López Zamora UNI
Ing. Mario Seguil Mirones UNCP
Lic. Javier Rey naga Alarcón UNI
Ing. Carlos Paucarpura Castañeda UNCP
Ing. Jorge Chumbenza Manzo UNI
Ing. Lucio Toledo Sarzoza UNI
RACSO EDITORES LIMA
Título de la obra:
Problemas de Aritmética y cómo resolverlos 
© 1999, por Hernán Flores Velasco
Primera edición
Publicada por RACSO EDITORES - OCTUBRE 1999
Supervisión general:
Lic. Mario Seguil Mirones (UNCP)
Profesor de la Escuela Matemática Záratc - Hyo.
Revisión de estilo:
Dr. Carlos Chávez Vega
Revisión Técnica :
Mr. Aurelio Games Cabanillas
Profesor de la Universidad Nacional Enrique Guzman y Valle (La Cantuta)
Ing. Guillermo López Zamora
Profesor del Centro de Bachillerato Pitágoras
Composición, Diagramación e Ilustraciones:
Compañía Editorial: RACSO ED ITO RES
Supervisión de la edición:
Miguel Angel D ía: Lorenzo
Compañía Editorial: RACSO ED ITO RES 
Dirigida por: Félix Aucallanchi V.
Primera edición en español
Copyright © 1999 por RACSO EDITORES
Los derechos autnralcs de ésta obra son de propiedad de Racso Editores. Hecho el deposito legal en la Dilección 
de Derechos de Autor de INDECOPI. y amparado a la Ley N ° 13714 y al Código Penal (Articulo 221)
Prohibida la reproducción total o parcial de esta obra por cualquier método de publicación y/o almacenamiento de 
información, tanto del texto como de logotipos y/o ilustraciones sin autorización escrita del autor y los editores 
Caso omiso se procederá a denunciar al infractor a la INDECOPI de acuerdo a la Ley Nu 13714 y el articulo N' 221 
del código penal vigente.
Prmted tn Perú - Impreso en Perú
r r c L C « « i t i A i n r
Siempre ha sido una necesidad permanente por parte de quienes desarrollamos la 
profesión de docentes en el área matemática, el de contar con un material bibliográfico 
adecuado para poner en práctica los principios de esta ciencia, bien llamada : La reina 
de las matemáticas.
Por experiencia podemos ir acumulando una serie de ejercicios adecuados para 
cultivar el dominio en las distintas situaciones problemáticas en que puede encontrarse 
un estudiante de secundaria, de nivel intermedio y porqué no decirlo, los de nivel supe­
rior. Por tales razones acepté elaborar un texto práctico de aritmética para la prestigio­
sa Colección Racso, denominado Problemas de Aritmética y cóm o resolverlos, en el 
que he intentado plasmar a través de ejercicios, la mayor parte de mis experiencias 
como docente. ^
Debo señalar que en concordancia con las demás publicaciones de la colección de 
esta misma línea, se inicia cada capítulo con una breve referencia a los fundamentos 
teóricos, los que a su vez están enriquecidos con ejemplos dirigidos especialmente para 
observar las aplicaciones o algunas propiedades particulares. A continuación presento 
los problemas resueltos que he seleccionado üe modo que el nivel de dificultad sea 
creciente y de criterio amplio, con la finalidad de abarcar el máximo de los modelos o 
tipos de problemas de cada tema.
Muchas veces por atender determinados programas educativos, especialmente 
los referidos a centros pre-universitarios. el curso de Aritmética suele iniciar su desa­
rrollo con los capítulos de Aritmética C om ercial: Razones y Proporciones, Proporcio­
nalidad, Reparto Proporcional. ...etc. Sin embargo, una exposición serie de este impor­
tante curso, supone un desarrollo matemático formal que no dé lugar a la utilización de 
términos que aún no han sido definidos, lo cual constituye un verdadero impase lógico 
entre lo que se propone y lo que se quiere proponer; por tal razón hemos iniciado el 
curso a partir de un tema que consideramos básico en la ciencias matemáticas denomi­
nado Lógica Matemática, para seguir luego con Teoría de Conjuntos. Sistemas de Nu­
meración, Conteo de Números hasta llegar a los temas de la Aritmética Comercial.
No cabe duda que la aritmética ha evolucionado y mejorado su contenido, meiodo- 
logia y su campo de aplicación, de modo pues que hay marcadas diferencias entre lo 
que se hacia el siglo pasado con lo que se hace ahora en el umbral del tercer milenio. 
No podemos entonces estar al margen de toda esta vorágine de cambios que se vienen 
dando en todos los campos del que hacer humano tecnológico y científico. Por esta 
razón, resulta poco práctico y muy tedioso resolver los cases de la aritmética conven­
cional a través del razonamiento puro, tal com o se hacia en décadas pasadas; ha sido 
entonces una lucha intestina por conservar viejos y anquilosados métodos con los nue­
vos enfoques que la aritmética actual exige.
No es extraño observar resoluciones de problemas de aritmética clásica por me­
dio de algunos procedimientos algebraicos, puesto que el campo de aplicación de la 
aritmética se introdujo en regiones más áridas del pensamiento humano. Lo que antes 
no fué lícito, es hoy una necesidad que apuesta por el avance.
Deseo expresar mis mayores sentimientos de gratitud a la editorial Racso que 
depositó en mi persona la confianza de poder realizar el presente trabajo, el que espero 
esté en el nivel de la exigencia del buen público lector.
Conciente que toda obra que llega al público lector especializado, se expone a la 
crítica respectiva, por ello agradeceré a todo aquel que lo estime conveniente alcanzar­
nos su opinión y sus críticas relativas al presente texto.
Hernán Flores Velasco
rp uxc n i cciicc
Como todo lo que se ha logrado producir a través de esta casa editorial, nos 
complace ver concluido lo que antes fuera un proyecto del libro titulado: Problemas de 
A ritm ética y cóm o reso lverlos. Han sid o prolongados m eses de m archas y 
contramarchas, de dilectos conversatorios y de enriquecidas discusiones respecto de 
un sinnúmero de puntos de vista, de lo que podía ser y de lo que debía ser, un libro de 
amplio alcance y contemporáneo enfoque.
El texto que ponemos en vuestras manos, intenta satisfacer todas las exigencias 
de la aritmética actual, la misma que se encuentra sumergida y conectada, com o en sus 
inicios, con muchas otras disciplinas de la matemática; sin embargo, continúa siendo la 
■'reina”. Esto ha sido el preámbulo de un trabajo serio y permanente en busca de darle lo 
mejor a nuestro público lector. Creemos haber hecho bastante, sin embargo somos 
conciernes de que la realidad es cambiante y lo que hoy nos parece aceptable o bueno, 
dentro de no mucho tiempo nos parecerá poco y con menos bondades; sin embargo 
estamos predispuestos a todo lo nuevo que se nos exija, porque aceptamos la renovación 
por las cosas mejores.
Colección Racso se satisface de contar con un prestigioso profesional de las 
matemáticas, como es el Lic. Hernán Flores Velasco. profesor de dilatada trayectoria y 
autor de varias obras que han ido enriqueciendo la bibliografía matemática nacional. No 
dudamos que la presente obra corresponda a uno de los trabajos más serios en el 
campo de la Aritmética Práctica, que se ha publicado en estos últimos tiempos, por la 
enorme cantidad de información que ella posee, por el orden enque ésta se presenta y 
por la selecta concurrencia de problemas resueltos y propuestos.
En esta obra se pueden distinguir temas que la aritmética convencional pocas 
veces atendió, sin embargo debemos reconocer que en íá actualidad estos son temas 
básicos para todo educando que aspira a los niveles superiores como son los institutos y 
las universidades. Entre estos tenemos : Lógica Matemática, Conteo de Números, 
Relaciones y Funciones, Estadística,.... etc.
Se puede apreciar a lo largo de la obra una profusa y generosa entrega de notas 
que enriquecen la información y la aplicación de los principios teóricos. Asi tenemos los 
resúmenes teóricos, los ejercicios de aplicación, los problemas resueltos y los problemas 
propuestos. Todo este material hace posible que el lector tenga un panorama completo 
de todos los temas, sus aplicaciones principales, asi com o también una serie de casos 
resueltos de un modo directo, general y simple.
i
Espero que el presente texto constituya la fuente del orden en temas y problemas 
que todo profesor busca al inicio de su carrera, aliviándole de este modo su labor, pues 
todos por experiencia sabemos que un ejercicio o problema con características apropiadas, 
originales y de resolución a veces inesperada y directa (pero meditada) y con cálculos 
que casi siempre conducen a números de fácil operatividad, nos permite ser aceptados 
con agrado por nuestros alumnos, provocando en ellos una especial atención por el 
curso.
Como en todas nuestras publicaciones anteriores, estoy totalmente seguro que así 
como he quedado satisfecho de la lectura de los manuscritos, por su aceptable sencillez 
y eficaz precisión matemática, los lectores experimentarán una agradable sensación de 
seguridad, puesto que todo lo que aqui se expone fue aplicado por el autor durante 
muchos años de docencia.
Atentamente:
Fé lix A ucallanch i Velásquez
INDICE GENERAL
Página
CAP 1 Lógica matemática...................................................................... I I
CAP2.- Teoría de Conjuntas.................................................................. 41
CAP3.- Sistemade Numeración............................................................. 75
CAP4.- Conteo de Números................................................................... 105
CAP5.- CuatroOperaciones................................................................... 131
C A P6.- Teoría de la Divisibilidad.......................................................... 191
CAP7.- Teoría de los Números Primos................................................... 229
C A P8.- M.C.D-M C.M ........................................................................ 261
CAP 9.- Números Fraccionarios............................................................. 295
CAP 10.- Potenciación............................................................................ 327
C A P I 1.-Radicación.............................................................................. 349
CAP 12.- Longitud y Tiempo................................................................... 373
CAP 13.- RelacionesyFunciones................ 389
CAP 14.-Estadística................................................................................ 415
CAP 15.- Razones y Proporciones............................................................ 455
CAP 16.- Proporcionalidad...................................................................... 487
CAP 17.- Reparto Proporcional............................. 515
CAPIS.- Regla de Tres............................................................................ 541
CAP 19.- RegladePorcentaje.................................................................. 565
CAP20.- Reglade Interés........................................................................ 589
CAP 21.- Regla de Descuento.................................................................. 607
CAP. 22 - Promedios............................................................................... 631
CAR 23.-Mezcla...................................................................................... 647
Claves de Respuestas.................................................................................. 673
Bibliografía............................................................................................... 675
S IM BO LO S
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V
V
(r.y)
(A . B) 
—♦ o
conj con elementos 1. 2 y 3
conj de los números naturales. O. 1:2. 3: ...
cotí) de los números naturales: 1 ,2 .3 :
conj. de los números enteros....: -2; -I: 0. I.
conj de los números enteros positivos
conj de los números enteros negalivns
conj. de los números racionales
conj de los números irracionales
conj de los números reales
conj. de los números reales positivos
conj. de los números reales negativos
conj. de los números complejos
símbolo que representa a -J- l
conjunto nulo o vacío
pertenece a ...
no pertenece a ...
A es subconjunio de B 
A intersección B 
A unión B
complemento del conj A
existe
no existe
existe un único
no existe un único
para todo
no para todo
suma, o, sumaloria
un par ordenado de números
distancia entre los puntos A y B
implica, luego, por lo tanto
es equivalente a. implica en ambos sentidos
e n to n c e s
<=>
/
2 n
2/i + I 
2/i - 1 
OC
W
a > b 
a < b 
a > b 
a < b 
a » b 
a « b 
a < r < l
v 
/ (* ) 
/• ' U) 
ni 
sen x 
eos X 
\% X
ctg X 
sec jr 
esc x 
Km
si y solo si 
tal que 
igual
desigual, distinto 
idéntico
aproximadamente
número par (n * 0)
número impar (n € Z )
número impar (n e N )
proporcional a
valor absoluto de a
a es mayor que b
a es menor que b
a es mayor o igual que b
a es menor o igual que b
a es mucho mayor que b
a es mucho menor que b
c es ma>or que a y menor que b
semejante
congruente
y
o
función de x 
función inverva de x
factorial de n = n {n * l).(n - 2). ... () 2 I
ieno del número x
to\enu del número x
tangente del número x
cotangente del número x
secante del número x
cosecante del numero x
lím ite
mcA 
w m m c k
Entenderemos por lógica matemática a una disciplina intermedia entre las ciencias for­
males : Lógica y matemática, que trata de resolver los problemas de la lógica mediante un 
simbolismo de tipo algebraico.
PROPOSIC IÓN DE LA LÓGICA
Es aquella oración o enunciado que puede calificarse o bien como verdadero (V ) o bien 
como falso (F) pero no ambas posibilidades al mismo tiempo.
Las proposiciones lógicas pueden ser SIMPLES, si expresan una sola idea, o COMPUES­
TAS, si se fonnan a partir de proposiciones simples ligadas entre si por lo que, más adelante 
llamaremos conectii bs lógicos.
La verdad o falsedad de una proposición lógica recibe el nombre de VALOR DE VERDAD 
o también VALOR VERITATIVO.
Las proposiciones lógicas se suelen denotar con letras minuscuLis tales com o: p, q, r, s, 
i , ..., etc Por ejemplo :
p representa la proposición : " 2 es un número entero " (V )
q representa la proposición : " 1/2 es un número natural" (F )
r representa la proposición :" Teófilo Cubillas es peruano " (V )
s representa la proposición : " Todo hombre es mortal" (V )
t representa la proposición :" 4 . 2 = 9 " (F )
No se consideran como proposiciones lógicas: -
¿Dónde vas?
Muchas gracias 
a + b = x
En todas ellas, no se pueden identificar sus valores de verdad o de falsedad. 
NEGACION DE UNA PRO PO SIC IÓ N
La negación de una proposición, consiste en cambiar el valor de verdad que tiene una 
proposición original. Asimismo, dada una proposición "p", su negación se denota as i: ~p
Por ejemplo :
p : 19 es un numero impar (V )
—p : 19 no es un número impai (F )
q : Caracas es la capital de Bolivia (F )
~q . Caracas no es la capital de Bolivia (V )
12 Problemas di Aritmética v como resolverlos Hernán Flores Velozco
Si realizarlos una tabulación:
p ~p *~p” se lee : " es falso que p
i — —
V F "no p*
F I V
EQl IVALENCIA \ ~p: .No es cierto que p
1.1 CONECTIVOS LÓGICOS
1. D1SYLNCION.- Dos proposiciones lógicas simples se pueden enla/at por medio del conectivo 
"o" (en el sentido inclusivo v o) pata formar un.i proposición compuesta 
llamada DISYUNCION de ambas proposiciones
La disyunción de las proposiciones p y q se denota as i: p v q
Por ejemplo : p . Jorge es peruano
r/ : Mich.iel es nurteanietiLano
p v q : Jorge es peruano o Michael es norteamericano
Su tabla de valores veritativos será :
Nótese que:
p v q es falsa (F), únicamente, 
cuando p y q son ambas falsas.
2 CONJUNCION: Un par de proposiciones simples pueden enlazarse mediante el conectivo 
"y" para formar una pioposición compuesta llamada CONJUNCION de 
ambas proposiciones La conjunción de las proposicionesp y q se deno­
ta : p a </.
Por ejemplo : p : Raúl es ingeniero
q : Samuel es médico 
p a q : Raúl os ingeniero^jSamuel es medico
Su tabla de valores de verdad sera
Observe.se que :
p <1 p v q
V V V
V F V
F V V
F F
P <1 P A C /
V V ©
V F F
F v F
F F F
p a * q solamente es verdadera (V), 
cuando p v q son ambas verdaderas
EQUIV ALENCIAS : Pero, sin embargo. además, no obstante, aunque, a la vez.
¡.tilica Mutcmaiita n
3. CONDICIONAL.- Muchas proposiciones compuestos, especialmente en matemática, son de 
la forma «si p entonces r/*, tales proposiciones se llaman CONDICIONALES 
o IMPLICACIONES v se les denota poi : p —> t¡ , que significa «p implica 
</»•
Por ejemplo: p : José es limeño
q : José es peruano 
p —i q : Si José es limeño, entonces Juan es peruano
FQI 1VAI.ENCIAS: Porque, puesto que, ya que, cada vez que siempre que
La tabla de valores y colativos sera
P
V
V 
F 
F
<?
V 
F
V 
F
p ->n 
v
©
v
V
De donde se observa que •
La proposición p -* q es falsa (F), 
cuando el antecedente (p) es verdade­
ro y el consecuente (q ) es falso.
p -> q s - p v q
4 BICONDICIONAI..- Otr.» proposición compuesta bastante común es la de la forma *p si y
solo si q »; tal proposición se llama BICONDICIONAL o DOBLE IMPLICA­
CION y se le denota por: p «-> q , que se lee : «p es condición necesaria 
y suficiente para q ».
Por ejemplo : p : 3 es impar
q : 4 es par
p q : 3 es impar si y solo si 4 es par
En una tabla de valores de verdad se tendrá :
Notemos que.
p <-» q es vcidadera (V). cuando 
p y q tienen valores idénticos de 
verdad.
p <-> (/ ■ (p > </) a (</ ► p)
* (~p v q) a (~<7 v p) 
a (p a ? ) v {~ g a ~q)
5. DISYUNCIÓN EXCLUSIVA.- Dadas las proposiciones p y q. la DISYUNCIÓN EXCLUSIVA de
dichas proposiciones se denota p Aq que se lee :«p o q pero no
ambas » o también : « o bien p o bien q ».
Por ejemplo : p : Jorge va al cine con Edith
q : Jorge va al cine con Gabriela 
p A q : Jorge va al cine, o bien con Edith o bien con Gabriela
p Q P
V V ®
V F F
F V F
F F ®
14 Prubianas de Aritnu tica v cuino rcsoln ilo.s Hernán Flores velozco
Tabulando los valores veritativos :
p Q p A q Observemos que :
V V F
V F vY) p A q es verdadera (V), solamente
F V (v ; cuando p y q tienen valores de
F F F verdad opuestos.
p Aí7 - - (p <-> q)
■ (p v q) a ~ (p Aí/) 
= (P a ~q) v (c/^-p)
1SL TAUTOLOGIA, CONTRADICCION T CONTINGENi
1 -TAUTOLOGIA - Es toda proposición compuesta cuyo valor de verdad es siempre v erdadero 
(V) para cualquier combinación de valores veritativos de sus componen­
tes.
Por ejemplo, construyamos, paso por paso, la tabla de verdad de •
l(p v a ) a ~ q ] ->p
P <1 p v q ~<l _ Q > vq )X ~ q |(p v q) a -p] — > p
V V V F F F
•v¡
V
V F V V V V V
F _ V . V F F F V F
F F F
*
V F F V. F
Luego, la pro|>osición [(p v q) a ~q\ —»p es un.» TAUTOLOGÍA
2 - CONTRADICCION.- Llamamos así a toda proposición compuesta cuyo valor veritativo es
siempre falso para cualquier combinación de valores de verdad de sus 
componentes.
Por ejemplo, construyamos la tabla de valores veritativos de '
l(p a cf) v ~q\ a ~p
P </ p A (7 1 > w < •c i ~q |(p A í / ) v r/| a ~p
V V V V F V F
V F F F V F F V
F V F V F V F F
F F F F 1 V F F V
De donde notamos que la proposición [(p a q) v q\ a —p es una CONTRADICCIÓN
Lógica Mate matica 1 5
3 - CONTINGENCIA - Es aquella proposición lógica simple o compuesta, cuya tabla rlc verdad
liene al menos un verdadero (V) y un falso (F).
Construyamos por ejemplo la tabla de verdad de .
(~p a ~q) v ~q
p <7 ~P ~q ~ P A ~ q Í ~ P A ~ q ) v ~ q
V V F F F F
f -s
F F
V F F V 1 F F V V
F V V F F F F F
F F V V V V V V
Luego, podemos afirmar que la proposición . (—p a —p) v —q es una CON NNGE.NC1A
1.3 PROPOSICIONES LOGICAMENTE EQUIVALENTES
L)os proposiciones lógica p y q se dice que son lógicamente equivalentes cuando sus 
tablas de verdad son idénticas; en esb* caso se denota :
p s q
Como por ejemplo, construyamos las tablas de verdad de :
~P —>~~q y P v ~q
P q ~P ~q ~P -> ~q p v -
V V F F 1 i Í V |
V F F V V J V
K V V F F
1 r 
i v
F F V V Vs_._J l y ji i
idénticos
I.uego, las proposiciones compuestas : —p —» — q y p v ~q son LOGIC AMENTE EQt 'IVA- 
1 ENTES. > lo denotamos asi:
~p ->-(/ s p v ~q
16 Problemas de A ritme tica v como resolverlos Hernán Flores Velozco
1.4 VETES DEL ALGEBRA D E PROPOSICIONES
Ira Ley : IDEMPOTENCIA
P A p s p
p vp = p 
2da Le> : CONMUTATIVA
PAÍ/mq/^p
p v q = q v p
3ra Ley : ASOCIATIVA
( p a < 7 ) A t = p a ( í / a e )
( p v g ) v / ■ p v ( g v r )
4ta Ley : DISTRIBUTIVA
p a (17 v r) = (p a í/) v (p a r)
P v ( ( / A r ) = ( p V p ) A ( p V r )
5ta Ley . MORGAN
~ ( p A i / ) » - p v - f /
~ (p v í/ )s ~ p a —q
6la Ley : COMPLEMENTO
T = Tautología
C = Contradicción
p v —p s T (Tercio excluido) 
p a —p = C ( Contradicción)
 p » p (Doble Negación)
~ T = C 
- C =T
7ma Ley : IDENTIDAD
p v T s T p a T = p
p v C - p / ja C h C
8va Ley : IMPLICANCIA MATERIAL 
p - » r/ - ~ p v q
üna Ley . CO.NTRARECIPROCA 
p —* q = ~ q —f ~ p
lüma Ley : DOBLE IMPLICACION 
P H p s (p -> q ) a { q ->p )
s ( - p v <7)a ( ~ o v p ) 
= (p Ai / ) V ( - p A ~ g )
1 lia Ley : ABSORCION 
p a ( p v ( }) * p 
p v ( / J A ( / ) í p 
p A ( ~ p V í / ) » p A<7 
p V ( ~ p A p ) s p V q
\
L ó g i c a M a t e m á t i c a 1 7
PR0 GL6MAS R€SU€LTOS
1 Dadas las proposiciones : p : Marco es com erciante
q : Marco es próspero industrial 
r : Marco es ingeniero
Sim bolizar el enunciado:
" S i no es el caso que, Marco sea un com erciante y un próspero industrial, entonces, 
es ingeniero o no es com erciante " —
A) ~ (p a q) > (r v p) B ) (~p a q) -* (r a q) C) - (p v q) -» frv p)
^ 0 — (p a q) -> (rv ~p) E ) (~ p a -q) -> (~ rv p)
Resolución -
Si no es el caso que. Marco sea un es ingeniero o no es
comerciante y un próspero industrial comerciante
„ „ -p - - « v - i ¡
, > (entonces) , »\P a <7 ) — —<=- ( r v - p )
solución ~{p/\q) (r v ~p) RPTA. D
2.- S/: p : Luis compra pan
q : Luis Toma desayuno 
r : Luis se levanta temprano 
Sim bolizar: c y\ r* ) V ” ^ A
« S/ Lu/s se levanta tem pranqjino compra pantfim plica que podrá tomar desayuno¿J 
pero, que baya comprado~eípan es condición necesaria y suficiente para que se baila 
levantado temprano »
A )[(r a ~p)v - q ]A [ (p * + r ) D) [(r a -p) <-> q ] a (r -> p)
B ) [ ( r * P )- > - q ] * (q x O E ) [(p a q) -> r] a p
C) [(r a -p) -> -<7 ] a (p <-> r)
Resolució n - ’
Si Luis se levanta temprano que hnvn comprado el pan es condición,
y no compra pan y necesaria y suficiente! para <jue se haya
_ no podra tomar
J j . desayuno
levantado temprano
i ^ r a
' (implica que) " - ■) pero
[ ( r Q ¡ ~ „ ) • ~¡¡ | .. ' a ( i x & ' r )
s o l u c i ó n : | (/ ' a —p ) —> ~ q | a ( p <-> / ) R P T A C
F
3.- S i la proposición compuesta (~p a r) -> (r a -q) es falsa, determ inar el valor de verdad 
de las proposiciones r, p y q respectivam ente.
A ) FVV B ) FV F C) VFV D) VVF E ) VVV
18 Emblemas de Aritmética y como resolverlos Hernán Flores Velozco
Resolución.- V -*• - f ÍE1
La proposición compuesta : (—p a t ) -» (r a — q) es una CONDICIONAL, la cual sera falsa (F) 
solocuando el antecedente (-~p a r) se.» verdadero (V) y el consecuente (r a ~q) sea falso 
(F).
V V v^/ ' - 'v *
La conjunción (—p a t ) será verdadera (V) solo en caso que ~p sea V y r sea V , luego :
f p F l y i r j x i
En la conjunción (r a — q'), para que sea verdadera (V), como r es V. entonces r-q esJypor lo 
tanto: V
r : V q : V p : F RPTA. D
P*
4.- De la falsedad de la proposición : (p -» ~q) v (~r -> s), deducir el valor de la verdad de 
las siguientes proposiciones com puestas :
a) (-p a ~q) v -q
b ) [ (- r v q )A p ]< -> [(-q vr)A s ]
c ) (p - * q )- > [(p v q ) a -q]
A) VFV B J F F F C) VVV D) VVF E) FFV
Resolución.-
(p -* -q ) v (- r -» s) » F
Nótese que la expresión dada es una DISYUNCION, la que solo es falsa (F ) cuando sus dos 
componentes son falsos (F), luego :
p —» ~(¡ = F y — r -> s s F
Ambas expresiones resultantes son CONDICIONALES que únicamente son falsas (F) cuando el 
antecedente es verdadero (V) y el consecuente es falso (F).
De donde : p = V ~q = F y ~r e V s a F
Entonces: p : V q : V r : F s :F
Reemplazando estos valores de verdad en cada uno de las expresiones dadas se tendrá
a) (~p a —q) v ~q = ( —V a —V) v —V 
* ( F a F ) v F
= F v F
s F
li) |(—r v q) Api <-» |(—í7 v r )A s l = |(—F v V) a VJ | (~ V v F )a F ]
Lógica Matemática 1 9
s | (V V V O a V I <-> | ( F v F ) a F J 
a [ V a V | | F a F ]
= V <-> F 
= F
c) (p -> q ) ->|(p ve/) a — q \s (V -» V) -» I ( V v V ) a —V|
9 V —> ( V A F ]
■ V -> F
■ F
Luego: F F F RPTA. B
5.- S i la proposición : (~p -> ~q)v (r A q ), es falsa; entonces los valores de verdad d e :
a) ( p q ) ( r A ~q) b) -q -♦ [ ( p <-> q ) a r]
son respectivam ente:
A) VVj B ) VF C) FV D) F F E ) Indefinidos
Resolución -
Notamos que nos dan como dato una DISYUNCION : (—p —* q) v (r A q), esta solo será falsa 
(F) cuando sus dos componentes sean falsas ; es decir
—p -* ~q * F y rA í/ s F
La primera de ellas, por ser una CONDICIONAL, únicamente sera falsa cuando ~p sea verdade­
ra (V) y — q sea falsa (F), luego : p = F q s V
En la segunda que es una DISYUNCION EXCLUSIVA , se cumple que es falsa (F ) cuando las 
proposiciones componentes tienen valores de verdad iguales, entonces como q es falsa: i s F
Reemplazando los valores de verdad en las expresiones pedidas se tiene
a) (p q) -» (r A ~q) = (F -» V) -> (F A —V)
s V -» (FA F )
= V -> F
= F
b) ~q -» |(p q) a t| ■ ~V -* | (F <-» V) a F|
- F -* I F a FI 
= V 
Luego:’ F V RPTA.C
•
6.- S i la proposición : ~[(p a ~t) -> (r A ~q)] es verdadera. Hallar el valor de la verdad de;
a ) ( r * p )A [ (p A q )~ * (rv q ) ] b) (p q) A (r «-» q) c) (r a p a q )v (r a q) v q
A) VFV B) FFV C) VVF D) VVV E) FFF
20 Problemas de Aritmctiia y como resolverlos Hernán Flores Velozco
Resolución.-
Fácilmente se deduce que: (p a -p) —> (r A — q) debe ser falsa (F), luego por ser una CONDICIO­
NAL, solo sera falsa (F) cuando (p a —r) sea verdadera (V) y (r A ~q) sea falsa (F).
Ahora bien, para que (p a — r) sea verdadera: p = V y ~r * V, es decir p s V y r = F
La otra proposición (r A — q) solamente será falsa (F ) cuando / —q tengan indénticos valores 
veritalivos, entóneos como /' es falsa (F) , — q también es falsa (F), >e deduce que : q = V
Reemplazando en las expresiones pedidas
a) (r a p) A [ (p A q) —> (r v q) \ = (F a V) A [ (V A V) —> (F v V ) |
s F A I F -» V ]
* F A V
= V
b) (p «-» q) A (r <-» t/) £ (V *-> V) A (F V)
= V A F 
£ V
c) (r a p a (7) v (r a </) v q = (F a V a V) v (F a V) v V
a ( F A V )v F v V 
£ F V F V V
v V
Luego: V V V RPTA. D
G Se sabe que : t = (r-* s )Á - f f /
1 u — (r —> -sj —> -r
Además, "f"es falso y "u " es verdadero: determinar el valor de verdad respectivo d e :
a) [(r —* u) a (t A S ) A ~t]
b) [ (r —> u)-> t]-> s
c) [ rA (u A t ) ]- * s
A) VFF . B) VVV C) VFV D) FVV E) FFF
Lógica .Matemática 2 1
Resolución -
Veamos, ahora otro procedimiento para determinar los valores de verdad de r y s , construyendo 
la tabla de verdad de / y //:
r s r -» s -s
— ;
r ~ s ~r
/. " -s
(r -» s) A —r
,---- '---- >
(r —» —s) —♦ r
V V V F
~ ~ ~ 
F F V V '© © F V V F © ®
F V V F V V F F
F F V V V V F F
Motamos que t es falso (F) y u es verdadero (V) solamente cuando r es verdadero (V) y s es falso 
(F), es decir:
r • V s : F 7". F u : V
Reemplazando en las expresiones pedidas:
a )l ( r —» u )A (/^ s )A ~ r ) = { (V -*V ) ] a (F A F ) ]A ~ F
- I V a F 1A V 
% = F A V
= V
b) [ (r -»u) -> / 1 -»s
c) ( r A (u A /) | -* s
Luego: VVV
= I(V - * V )- » F 1 - » F 
= | V -» FJ -» F
- F -» F
s V
« l V A (V A F )J -> F
« I v a v l -> f
* F -> F
- V 
RPTA B
8.- Sabiendo que el valor de verdad de la proposición com puesta:
{ -[ (p a r)-* q ] * [ ( p v q ) ó s ] } - * { ( s A p ) - * t } 
siempre es falso, determ inar el valor de verdad de la siguiente proposición : 
{ [ (- p Á q )A r ] -* ~ [q - * ( t - * p ) ] } ó (p ó q )
B ) F C )V ó F D) Tautología E ) Contradicción
/
A) V
22 Problemas de Aritmética y como resolverlos Hernán Flores Velozco
Resolución-
La expresión dada como dato es una CONDICIONAL; ahora bien, esta solo puede ser falsa (F) 
cuando el antecedente sea verdadero (V) y consecuente sea talso (F), es decir
~[(p A t ) -*p] a (p v p ] As] = V (s A p) -» / = F
Reemplazando
Reemplazando
~!(p a t ) —> <7] 3 V y (p a p) A s = V
O r
( p a r) - » q h F ^ _ _ ^ 
p a te V v q * F
p = V r = V X /
(V V F) A s = V 
V As s V
O
s - F
(F A V) -* / = F 
V -*/ = F
O
/« F
Reemplazando en la proposición pedida :
{](—p Api A r] —> ~|p —»(/ -*p)]} A(p Ap) = (l(~ V A F ) AV] -> ~[F-> (F-> V )I) A (VAF)
e {]( F AF)AV|-> ~[F-> V]|AV 
= {| F A V] —» —|V ]} A V 
■ { F -* F } A V
s V A V
Luego: R P T A .^
9.- Es posible determ inar s i la proposición "p " es verdadera o falsa sabiendo que: 
~(p a r) es verdadera ; p -» q es verdadera y ~r-> ~q es verdadera ?
A) Si, es verdadera B ) Si, es falsa C) No se puede
D) Depende de r E ) Depende de -r
Lógica Matematim 23
Nuevamente utilizaremos las tablas de verdad para determinar el valor de verdad de "p'\ 
Como hav tres proposiciones :p ,q y r s c formarán 8 (= 23) combinaciones de valores :
Resolución.-
_ P Q r__ ~q I__P A r ~ (P a t ) p -* q _ —r —» —q
V V V F IV V ' V V
V V F V F F v i V F
V F V F V V F F V
V F F V V F V F V
® V V F F F (Y) © ©
F V F V F F V V F
® F V F V F © © ®
® F F V V F © (y; ©
Puede observarse que las proposiciones compuestas ~(p a r), p-*q y r —» —q son verdaderas 
en tres casos (marcados en la tabla) y en cualquiera de esos casos "p" es falsa.
Luego: p ■ F RPTA B
10.- S i definimos : p • q s ~(p —> q) entonces s i : ~p • (~p —* q) verdadera ; determ inar el 
valor de verdad d e :
a ) -(Q * P ) -q * -p
y / )V F B )V V C )F V D )F F E) N.A
Resolucion.-
(I) La equivalenciap * q = —(p —> q) indica que la tabla de verdad de ambos miembros son 
idénticos:
P q p - *q ~{p -» q) P q p * q
V V V F r \ V V F
V F F V I ; V F Y
F V V F l t/ F V F
F F V F F F F
l)e donde observamos quep *q sólo es verdadera (V ) cuandop (antecedente) es verdadera 
(V) v q (consecuente) es falsa (F) ; luego, en el dato :
24 Problemas de A ritmé tica y como resolverlos Hernán Flores Velozco
~P * C~p -> <7) * v
~P £ V y
'O Reemplazando
P - F
~ F -> <7 = F 
V —»p s F
i " 1
<7 = F
Reemplazando en las expresiones pedidas *
a) ~(q *p ) = ~ (F + F)
F
= V
b) —q *~p * ~F * —F
II) De la equivalenciap * q = ~ (p q) podemos darnos cuenta que el nuevo conecti\o= es 
equivalente a una CONDICIONAL NEGADA, luego en el dalo :
-p * ( ~p -* q ) = - l~ p -> (~p —> <7)] = V
V * V 
F
Luego: V F RPTA. A
Luego : ~p -> ( —p —»r/) - F
—p = V y —p —»<7 = F
V -» q ^ F
<7 . F
Luego, en las expresiones pedidas : 
a) ~{q * p )s - K p —>p)I
E£/-»P
s V
Lógica Matemática 25
b) ~<7 * ~P * ~[~Q -* ~p\
= —| —F -» —F]
- - I V-» V]
= ~ V
- F
Luego . V F HPTA A
11.- Utilizando las leyes del álgebra de proposiciones, determ inare l equivalente más 
simple de la expresión.
(p * q )v [ ( - p * ~ q ) v p ]
A) (p v q ) B ) ~p a. q C ) p ^ q D) q -* p E ) p a ~q
Resolución.-
l'tili/ando las leyes del álgebra de proposiciones :
( p a <7) v |(~p a ~q ) v p) s (p a, q) v [p v C~p a —<7)] por ley CONMUTATIVA
« (p a <7) v |p v ~p ] por ABSORCION r-.. V inji
* ( (p a q) v p ] v —q por ley 1A l IV’A
* I P v (p a q) 1 v —q ...por ABSORCION
= p v ~ q ............... por ley CONMUTATIVA
9 -q v p por IMPLICANCIA MATERIAL
* Q -* P .......................
Solución. q -» p RPTA I)
12.- Cuál es el equivalente más sim ple d e : ~(p -> q) v - (p v q).
A) q B ) -q C) p E )- p E ) p v q
Re?>olución.-
—(p -»<7) v ~(p v q )^ — ( —p v q )v ~ (p v q) por ley IMPLICANCIA MATERIAL
m ~ l (~ P v q) a (p v q") ] por MORGAN
s —| ( —p Ap) v <7) 1 por ley DISTRIBUTIVA
= - ( C v q 1 por CONTRADICCION
= ~ | p ] por IDENTIDAD
= ~q
Solución: —q RPI'A. B
26 Problemas de Aritmética y como resolverlos Hernán Flores Velazco
13.- Sim plificar la siguiente expresión : [ (~p v q) -» (~q v p) a ~(p a q) ]
A )p B )q C) -p D )-q E ) p * q
Resolución-
[(—p V Í7) -> (í/ v p )] A — (p A g ) a |~ (~ p v q) v (—í/ v p )j a — (p aq ) .... por IMPLICANCIA
MATERIAL
se |(-- ^ a ~q ) v ( — q v p )J a —(p a r/) por MORGAN
= | (p a ~q) v (-</ v p) J a ~(p a r/)....... por DOBLE NEGAC
■ l((p a ~r/) v —q) vp | a — (p a q ) por ley ASOCIATIVA
= 1 ~</vp | a - (/ ;a í/) porABSORCION
s ( —f/ vp ) a (~p v —q) ................. por MORGAN
■ —q v (yj a p ) ..................... .......... por ley DISTRIBUTIVA
= ~ q v C ............................................ por CONTRADICCION
S ~q .................................................... por IDENTIDAD
Solución : — q RITA. D
14.- Sim plificar: ~ [ (p A q) -q ]
A )p * q B ) p v q C) p a ~ q D )p v -q E ) -p a q
Resolución-
Comparando las tablas se verdad de la BiCONDICIONAL y de la DISYUNCION EXCLUSIVA so 
observa que:
P A q ~ (p q) ....(a )
~ l(p A q )- > ~ q l = ~ l~ (p A q )v ~ q \ ........................... por IMPLICANCIA
= ~l~(~(p«-><7)) v — q\ ................... por lev (a)
= ~ I (p q) v I .......................... por DOBLE NEGACION
= ~(p q) a c7 ........................... por MORGAN
s ~ (p <-> q) a q ................................. por DOBLE NEGACION
s - 1 (p a q) v (~p a ~q ) 1 a q ......... por DOBLE IMPLICANCIA
= |~ (p A (l) A ~P A —«/) 1 A </ ........ por MORGAN
- [ (~p v — <7 ) a ( - — p v </) J a q ... por MORGAN
- [ (~p V -Í/) A (p V <7) ] A <7 ......... por DOBLE NEGACION
= C —p v —q) a [ (p v q) a q ] ............ por ley ASOCIATIVA
= (~p v ~q) a r/ ............................... por ABSORCION
s ~ p a < 7 ......................................... por ABSORCION
Solución: —p a </ RPTA E
lógica Mutinuil ira 27
15.- La siguiente proposición: «Si Patty no va al cine o Patty va aI cine, pero no va con falda, 
implica que no va al cine pero tiene puesta su falda » ; es equivalente a :
A) Patty va al cine D) Patty no lleva puesta su falda
B ) Patty no va al cine E ) Es una Tautología
C) Patty tiene puesta su laida 
Resolución.-
Consideremos las siguientes proposiciones . 
p : Patty va al cine 
q : Patty tiene puesta su falda 
Entonces la proposición compuesta resultante del enunciado dado será *
{ l (~p v p ) a —q | - » ~p } a p - {|T a ~q\ -» —p ) * q . . . por TERCIO EXCLUIDO
= { - < / - > ~p 1 a p por IDENTIDAD
* { — q v —p ) a p por IMPL1G\NC1A MATERIAL
m (p v —p| a p .............. por DOBLE NEGACION
* <1
Luego, la proposición dada sera equivalente a .
Patty tiene puesta su falda RPTA. C
16.-Dada la proposición: « S i hoy hace calor entonces me pondré un pantalón blanco; y 
que no me ponga pantalón blanco es condición necesaria y suficiente para que hoy 
haga calor*». Está proposición es equivalente a:
A ) Hoy me pondré un pantalón blanco
B ) Hoy no hace calor
C) Hoy no hace calor y usaré un pantalón blanco
D) Hoy no me pondré un pantalón blanco
E ) Hoy hace calor
Resolución -
Sean : p : Hoy Mace calor
p : Hoy me pondré un pantalón blanco
Luego, la proposición que resulta del enunciado será :
[p -> q) a (— p p) b (p —► p) a | (~p —»p) a (p -* —p) ] ..... por DOBLE IMPLICANCIA
= (-P v p) a [ (— q v p) a (~p v -p ) ] .. por IMPLICANCIA MATERIAL
s { —p v p) a | (p vp ) a (~p v ~p ) | ..... por DOBLE NEGACION
= [ (~p v p) a (p vp ) | a (~p v —p ) por ley ASOCIATIVA
28 Problemas de Aritmética y como resolverlos Hernán Flores Velozco
= l (~ P a p) v <7 ) a (~p v —í/) por ley DISTRIBUTIVA
- [ C v q | a ( ~p v ~q) por CONTRADICCION
s q a (~p v ~q ) por IDENTIDAD
= q * ~ p .... por ABSORCION
= —p/\q por ley ASOCIATIVA
Por lo tanto, la proposición dada resultó equivalente a :
Hoy no hace calor y usaré pantalón blanco RPTA. C
17.-¿ Cuál o cuales de las siguientes proposiciones es equivalente a : «Si hoy sale e l so l, 
entonces mañana no vamos a la playa» ?
I) No es el caso que, hoy salga el so l y mañana vamos a la playa
II) Hoy sale el so l y mañana no vamos a la playa
III) Hoy no sale el so l o mañana no vamos a la playa
A) I B ) I y II C )ll D) III E ) I y III
Resolución
Sean: p : Hoy sale el sol
q : Mañana nos vamos a la playa
Entonces, la expresión dada se simboliza as í. p —> —q m —p v —q 
Ahora, foniialicemos l.is expresiones y luego simplifiquemos •
I) (p a (/) = -p v ~p
II) P a q
III) —p v ~q
Luego la proposición dada es equivalente a :
I y III RPTA. E
18.- La negación de : "N i Pepe estudia matemática ni atiende la clase " es :
A) No es cierto que, Pepe estudie matemática y atienda la clase
B ) Pepe atiende la clase y estudia matemática
C) Pepe no atiende la clase o no estudia matemática
E) Pepe atiende la clase o estudia matemática
Resolucion.-
Asumiendo las proposiciones. p : Pepe estudia matemática
q : Pepe atiende a la clase
Luego, la proposición compuesta : " Ni Pepe estudia matemática ni atiende la clase ", se
Lógica Matemática 29
simbolizará asi : ~p a — q. Esta proposición, por la de Morgan se convierte en : -~{j) v q). 
Entonces, la negación de ésta será :
 {p v<7) mp wq
19.- De las siguientes prem isas:
- S i estudio en la mañana entonces no me levantaré temprano
- Estudio en la mañana o no voy al cine en la tarde
- Iré al cine en la tarde
Se puede conclu ir: , H
I) Estudio en la mañana
II) No me levanto temprano
A) Solo I B ) l y l l C) Solo II D) Falta inform ación E ) Ninguna
Resolución.-
Este problema corresponde al llamado METODO DE DERIVACION FORMAL mediante el cual 
hallamos una conclusión formal en base a premisas supuestamente verdaderas. En este caso 
las premisas se formulan en función a tres proposiciones.
p : Estudio en la mañana 
q : Me levantaré temprano 
r : Vov al cine en la tarde
Premisa N,J I : p -» — q Las tres premisas se supone
l*remisa N° 2 : p v —r * que tienen a verdadero (V)
Premisa 3. r como valor veritativo
* En la premisa N° 3 : r * V
* En la premisa Nu 2 : p v —r = V , luego • p v ~V = V
■ c *
Pope atiende a la clase o estudia matemática RPTA E
p s V : Estudio en la mañana
q ̂F No me levantaré temprano
r * V : Iré al cine en la tarde RPTA B
20.- Para una proposición cualquiera "p" se define:
tdero
30 Ptoblamu (le \t itnivtica \ canto tesolvi ilos Hernán Flores Velozco
S i: \|/ (x) = 1 ; x s (p a -r) <-* (s -> w)
y (y) = 0 ; y= w v -s 
Hallar respectivam ente : y (s «-» -w) y y (~p v r) .
A) 1 ; 1 B ) 1 ; 0 C) 0 ; 1 D) 0 ; 0 E ) No se puede
Resolución -
De acuerdo a la definición vj/ (y) = 0 cuando "y", es decir la DISYUNCION tu v ~s , es falsa y 
esto solo ocurre si u' es falso (F) y s* es verdadero (V). entonces con estos valores de verdad se 
deduce que s -> w es falso (F) Esto serviia en el siguiente análisis
A partir de la misi i ia definición: y (a ) = I ei itonces as(/m —i ) (s —* tv) es verdadero (V ), de
donde, como s —*tv es falso (F) , (p a — r) es falso (F)
Analizando las expresiones pedidas
* ) so ~tv = Y *-» —F = V o V s Y , luego vp (,s <-* —tv) = I
*) — p v r * ~ (p a —r) m — F a V , luego * \p (~p v r) = I
á0
por ley de Morgan 1 ; 1 RITA A
21.- A l evaluar la tabla de verdad de la siguiente proposición compuesta :
«Si el triángulo tiene dos lados iguales , entonces el triángulo se llama isósceles y el 
triángulo no se llama isósceles. Luego el triángulo no tiene dos lados iguales»
Se obtiene: ¿ Tautología, contingencia o contradicción?
A) Tautología B ) Contradicción C) Contingencia
D) No se puede E ) Im posible
Resolucion.-
En el enunciado se puede distinguir 2 proposiciones: 
p : El triangulo tiene 2 lados iguales 
q : El triángulo se llama isósceles
\ » 
Luego, la proposición formalizada en forma simbólica sera :
| p —> (<7 a ■—</) ] ■—p * (—p v (p a —p )] —> —p por IMPLICANCIA MATERIAL
S I- P V C ]- > ~ p ....... por TERCIO EXCLUIDO
■ —p —>—p por IDENTIDAD
 p v ~p por IMPLICANCIA MATERIAL
= p v —p .... ... por DOBLE NEGACION
• T por TERCIO EXCLUIDO
Tautología RPTA. A
Lógica Mal tamílica 31
22.- Determinar cuántas de las siguientes proposiciones son tautológicas : 
i ) - q - + [ ( p - * q ) * ~ p ]
I I ) [ ( P - K 1) a ~ q]-+ -P
III) (p a q) a (p > -<p¿
JV )[~ (p A q )-> p )A ~p
A) O B ) 1 C) 2 D) 3 E ) 4
Resolución.-
0) -> I (p -»f/) I a ~p = ~q -> | (~p v q) a ~ p | .............. por IMPLICANCIA MATERIAL
m ~ q —> —p ................ por ABSORCION
■ p - r r/ ................ por CONTRARECIPROCO
(II) | (p —> <7) a ~~Q ] —> —p = [ ( —p v <7) a ~q | —> —p por IMPLICANCIA MATERIAL
s (~p a —p) —» —p ...................... por ABSORCION
£ ~ (—p a ~~q) v ~~p ................... por IMPLICANCIA MATERIAL
■ (~ —p v —— q) v ~ p ................... por MORGAN
= ( p v <7 ) v ~ p .................. por DOBLE NEGACION
£ ( q v p ) v —p .................. por ley CONMUTATIVA
- q v (p v ~ p ).................... por ley ASOCIATIVA
£ q v T ............................ por TERCIO EXCLUIDO
£..............T ................................... por IDENTIDAD (Tautología)
✓
(III) (p a q) a ( p -> ~q) £ (p a <7) a (~p v -</) por IMPLICANCIA MATERIAL
* (p a í/) a —(p a <7) ..................... por MORGAN
£ C .................................. por CONTRADICCION
(IV) [ (p a ¿7) —> p | v ~~p * [ — (p a <7) v p] v ~p por IMPLICANCIA MATERIAL
£ ( (p a q) v p | v —p .................... por DOBLE NEGACION
s p v —p .............................. por ABSORCION
* T ................................... por TERCIO EXCLUIDO
(Tautología)
2 RPTA. C
12 Problemas de Aritmética \ como te solverlos Hernán Flores Veiazco
23.- S i definimos un nuevo conectivo "A" como : p A g e (p v q) a (-p v ~q) entonces la 
formula (p A -q) A p equivale a:
B ) -p a -q C)-p*->q D) -q E) -pA) p —> q
Resolución -
Utilizando la defin ic ión d a d a :
(p A ~ q ) Ap =? | ( p v ~ q ) a ( ~p v q ) \ A p
s {[(/ ; v ~q) a (~p ví/)| v p ) a {--[(/> v —q) a (~ p vr/)| v ~p) 
Aplicando la ley DISI RIBUTI\ A y de MORGAN :
= { f ( p v —q) v p | a \ { ~ p v q ) v p | } a { ~ ( j j v -q) v ~ ( ~ p v q) v ~ p ) 
Aplicando la lev CON MU IATIYA \ de MORGAN :
= { ( / ) V - q ) A ( ~ p V / J V ( / ) [ A { { ~ p A Í / ) v ( / M ~ < / ) V ~ p |
Aplicando la ley del TERCIO EXCLUIDO y ASOCIATIVA
= { ( p V — r / ) A ( T v p ) } A { ( ~ p A q ) v - p v ( p a ~ c / ) >
Aplicando la lev de IDENTIDAD Y ABSORCION .
= { ( p v ~ q ) a T } a { - p v ( p A ~ í / ) )
Aplicando la ley de IDEN TIDAD Y ABSORCION :
= { p v ~ q ) a { - p v ~ í / }
Aplicando la lev DISTRIBUTIVA:
{ p A ~ t / } V ~ t /
Aplicando la lev de CONTRADICCION :
= C v
Aplicando la ley de IDENTIDAD :✓
= ~q
~ q RPTA D
24.- Se tiene que : pss q =
Representarproposicionalm ente el si­
guiente círcu lo lógico es ind icar su 
proposición equivalente más sim ple:
A ) p
B )r
C) -q
D) p * q
E ) ~ p s s r
p s r q i
—r-
P
q
l oyií íi Mati nuitica 33
Resolución.-
La representación preposicional del circuito será :
\p a (r v q) a q\ v [r a í~ r v q ) Ap|
|p a [r ve/) Api v [r a (~ r v q ) Ap] 2 (p A r/ ]v |rA q A p ] por ABSORCION
s (p a r/1 v [r a ( p a r/)| por ASOCIATIVA
a p a <7 ...... por ABSORCION
p a q RPTA D
25.- Sabiendo que se diseña un circuito lógico de la siguiente m anera: 
p * q * p q
- P
q —
p v qm . —
Diseñar un circuito para : p A q
A)
— P --- 9 — — p --- ~q —i - P --- ~9—
~ B ) — C) —
—~9--- P ~ - ~ P --- <7—1 —~P---~9-
D )—P —
— P <7 —
L_~p q —
E) N.A
Resolución -
Comparando las tablas de verdad de la BICONCIONALy la DISYUNCION EXCLUSIVA se puede 
llegar a la siguiente equivalencia :
p \ q = ~ { p
E ~ ((p Ap) v ( — p a — <7) .......... por DOBLE IMPLICANCIA
s ~(p a q) a ~ (~ p a ~p) ......... por MORCAN
2 — (p v — p ) a ( p v </) ... por MORGAN
e (~p v ~ q ) a ( p v p) ......... por DOBLE NEGACION
s (p v 9 ) a (~p v — q ) ......... por ASOCIATIVA
34 Problemas de Aritmética \ como resolverlos Hernán Flores Velozco
* |p a (~p v ~p)| v | ( / a (~p v ~p)| ... por DISTRIBUTIVA
- (p a —q) v (p a ~ p )....................... por ABSORCION
*■ (p a —p) v (~p a p) ¿ ..................... por CONMUTATIVA
Construyendo el circuito .
— P -P-,
 p p —
RPTA B
26.- Hallar la proposición equivalente más sim ple de :
r m : > n
\-~p--q-j
A )- P -
Resolución.
B )- r- t-
Dividiendo el circuito
C)
—r — t —
D) - r - E )- p - ~ q
L ~ n —
p — I I— p —
p — q
p _ ~ p
\— „ /
B
*•
Resolviendo cada parte:
A * ( p v p ) a ( ~ p v —q) 
* ( p v p ) a — ( p a p ) . .
= p A p .......................
B = (p A p )v (~ p A -p )
-r— /-j
Entonces el circuito será 
- (A u B) a C
por MORGAN
por DISYUNCION EXCLUSIVA
= (p A (j) v — ( p v c/)............... por MORGAN
E ~ l~ (p a q) a (p v c / )J............ por MORGAN
= ~ I (p v </)1 a ~(p a < / )1 ......... por CONMUTATIVA
= ~ (p \q ) por DISYUNCION EXCLUSIVA
C = r v (r a /)
« r ............................................ por ABSORCION
Reuniendo las partes
1 (p Ac/) v ~ (p Ap) |a r ...............
T A r ..............................por TERCIO EXCLUIDO
/ por IDENTIDAD
l.ogu u Mciicnunic a
36 Ptobianas de Antmctiea \ como resolverlos Hernán Flores Velozco
PROBLEMAS PROPUESTOS
1.- De las expresiones:
(I) \- + 4
(U )! Hola i
(III) <4-0 = 4?
(IV ) 2 + 2 = 4
(V ) Cu/cu es la capital cid Perú 
Son proposiciones .
A ) Indas O) 1,11.111. IV y V
B) I , IV y V li)So lo V
^ í v > v
2.- Sean las proposiciones:
p : Carlos estudia en la U N I 
q : Carlos es comerciante 
r : Carlos gasta poco dinero 
Snnholt/ar.
«I:s sullcicni^quc Carlos sea coincidíante 
v o gaste mucho dmcio, para que no estudie 
en la U.N.I. Peí o si estudiaren la U.N.I. en­
tonces no es comeiciante» ‘
A ) [((/vr)-»-/> | a (p->q)
tflf[(íy v ~ r)- > -/>) a (/>-> ~ í/ )
C) [ ( r / v r )—»/>! a (/>-»//)
D) [(p a /•)->/>! a (~/>-»r/).
I£) [ ( p v r ) v - p j a (/m i /)
3.- Sean las proposiciones :
p ' Roberto se casa con Janet 
q : Sus padres se enojaran con é l . 
r : Sus suegros se cniqaran con él 
Simboliza! :
*«Koheito se casa con Janet entonces sus 
*5 ^padres se enojarán conjil. y si no se casa 
con Janet entonces sus suegros se enoja- 
tan con éí. Pero Roberto se casa con Janet 
o no se easa.Vor lo tanto, sus padres o sus 
suegros se enojarán con él».
A) {[(/>-»</) a (~p->i ) )v (pv~p)¡ (í/vr)
H) [(/#-></) A (-/>-»/)v (pv~/;)J -* (q v r )
C ){((l’-*‘l) b (-/>->') Jv [(/>v-/>)| -M í/vr)]}
i
D) (p->í/) A (-/>-»/ )v(pv~p ) A Ufvr) 
^ {[(p-> t/) A (-/í-»r)| A (pv-p )} - » (í/ v ;»
4.- Si se sabe que : p v ~ q es lalso. q —> v es 
verdadero y rv .v es verdadero , al hallar el 
valor de verdad de las f ormulas :
( I) q a — / ) H ( / V - / )
( II) (p <-> -.v) v ~ [i a ~.\);
se obtiene .
A ) V l: B lbV C )VV
D) H- I:)Contiadicei(>n. contingencia
5.- Si se sabe que p a q es verdadeta. # v / 
es V y p «-> r es lalsa. entonces los 
valores de verdad de p. q. r y t sonrespet 
livamente:
A) VbFV B )W V I; Q VVI-V
D )V iw p: )W it
6.- Si se sabe que ■ (p aí/) es lalso y (q —> t) es 
lalso. ¿Cuáles de las siguientes proposicio­
nes son verdaderas?
( I) (~p v t) v v
( II) -\p a ( - í/v ~p )|
( III) | p v (q a - /)] —» \{r —» q) a - Kq a M|
Lógica Matemática 37
A ) Solo I D) II > III solamente
B ) Solo III E l Todas
C) I y III solamente
7.- Si la proposición : ~ [ ( q —» v) —» (/>—»/)] 
es verdadera ; hallar el valor de verdad de:
(I) (~.v-»-</) A (r- » / j)
( II) - ( í/a -í ) a (p A - r )
( III) (/? a í / a r A s ) v ( / ;< -> /)
A)VTV B )F W C)FVF D>VW E)1FF
8.-Si la proposición: (/ v 5)-»[(/)a~.í)->(/ja'</)| 
es lalsa. determinar el valor de verdad de 
cada una de las siguienics expresiones 
proposieionales.
(I) (p A - í/ )H r
(II) <7A(~/7V~.V)
(III)(- / 7 - » r )v ~ í
A )W V B )V FV C )W F D lFVV E )FV F
9.- Sabiendoc|ue : - ( p —> q ) v - res lalsa.
- ( s p ) A r e s verdadera
¿Cual(es) de las siguientes afirmaciones es 
(son) corree la(s)?
il) -{p v s ) es verdadera
(II) a' a l es lalsa.
(III) p -* s es verdadera.
^ I > II B) I y l l l C ) II y 111
D) Todas E ) Solo una de ellas.
III.- La proposición - \(p v q) <-» ( r a \)| es 
lalsa teniendo r y s valores de verdad 
opuestos ¿Cuál es el valor \crilati\ode cada 
una de las proposiciones siguientes?
(I) [(-p A~<y) v (rA.v)| a p
(II) [(~ p vq ) a ( r v i ) | v (~ / 7a<7)
( III) | (- rA ~ s )—»(pv~</)] A ~ ( r A .\ )
A )W V B)KVF C)VFV
D )FFV / )X 'X F
11.- Si la proposición compuesta :
-{p v -q) a (qi->r)
es verdadera y las proposiciones .v y / lic­
iten valor de verdad desconocido. ¿Cuá­
les de las siguientes proposiciones son 
verdaderas ?
( I ) ( / I V A ) a q
( II) ( t a q ) — > /
( I I I ) (.v Ar/) —> q
A ) Solo I B ) I y II C ) I y III
D) II y III E)N .A .
12.- Si se s;abc que la negación de la fórmula ‘
( p —* q) v ti/ v ~r)
es verdadera, entonces los respectivos valo­
res verilalivos de p. q y r son :
A ) V II* B )YFV Q F V F
D)VVF EIRA/
13.- Dadas las pioposieiones : p , q y r ;
donde :
i/: 4 es un numero impar; tal que :
~ [( r v q ) -> (r —»/7 )]
es verdadera; hallar el valor de verdad de 
las Siguientes expresiones proposicio- 
nales:
( I) r -> (~p v ~í/)
( II) [/ <->(/>aí/ )] {q/\~p)
A )V V D )IT
B )V F E ) Ninguna anterior *
C )FV
14.- Hallar el valor venial ivo de cada una de las 
siguientes expresiones proposieionales :
3S
1S.- Ln la siguiente lahla
Problemas dt Aritmética \ conm resalía los Hernán Flores Vclozcu
( I ) [{/> a í / ) < —» / | p < - > ( r / a - / ) |
(II) [ t/í v ~i¡ ) > r ] a [ —p <—> (q r /)] 
Sabiendo que • /-—#[/*«->(</ —> r )| es lalso
A)V\ B )Y F C )FY
D )FF i:) Ninguna
15.- Sean las proposiciones • p . q \ i lales 
que las siguiente* proposiciones com­
puestas
p <-» ~ U / a r ) y - / k \ í /
son siempre verdaderas .determinar el va­
lor de verdad de •
( I ) [ - / • a ( /»v . \ ) ] - > ( í / V v )
(II) [ rv(-// a \)j —> ~p
A)VV B) VF C ) IV
D ) IT E ) Ninguna
I6j- Si la proposieión :
(/ JA “ < / H (r^ - .í)
es lalsa. Determinar cuántas de las pro­
posiciones Niguiemes son verdaderas.
(I) -(/»vr/)v~r/
(II) [(r-»í/)Ar/lc->|(--í/Ar) a s]
(III )~ (p —>r/)—>/
(IV ) ~\(p v<y) A-í/J -» -/>
A lt) B) I C )2 D)3 E)4
17.- Luego de consumí la tabla de verdad de 
la siguiente proposición;
(/>*-»</) -> ii A -p)
j.Cuántas "V " y cuantas "F " aparecen res­
pectivamente?
A )6 ;2 B )5 ;3 C )4 ,4
D.- ' . l E )3 ;5
p <i ip~*q )
V V í ©
Y F ©
F V ©
F F ©
~P)
I os valoics de verdad que deben reem­
plazar a los ciiculos en el oidcn indicado 
son .
A lVVVV B )V M \ C jVVFF
DiFV F\ Fjl-FH-
19.- Al hacer la lahla de verdad de la siguiente 
proposición compuesta :
«Te levantas temprano o estudias en la 
noche si y solo si. no es cierto que, no te 
levantes lempiano y que no estudies en 
la noche»
Se obtiene una .
A ) Tautología D) Fallan datos
B) Contradicción E ) Ninguna anterior
C) Contingencia
21).- Indicar las proposiciones verdaderas 
ti) (~/> a -(/)«-»(p v í/)c* una contradicción
(II) [ ( /»—> i¡) a (q —» r)| - » (p —> r) es una 
A tautología
(III) \p a (p —> r/)l —» ( r / A r)cs unaeontin- 
geneia.
A f l . II v 111 B 7 Solo I y II C) Solo I
l» S o lo Iy III HjSolo IIy III
21.- f Cuál de las siguientes proposiciones es 
una tautología?
( 1) \~(p a </)—>/>! v -/)
t il) — (/> —>z/> —M/> V ~(f)
t III) - (f) —> q) —» ( - p -* ~q)
l ógica Matemática 39
A ) Solo I B ) Solo II C) Solo III
D ) l y l l I:) Todas
22.- De las siguientes proposiciones. ¿Cuál es 
(son) contradice ion(es) ?
(I) ~[~{p v q) —> ~ r/] a (p —> i¡)
( I I ) ~i~ p-^q) —> (p —* q)
A) Ninguna B )So lo I C) Solo II
O) I y II F ) Fallan dalos
23.- Dadas las proposiciones 
a = - ¡> a (p v ~ t¡)
b = [~ p —* q) a \q r\{~ (j p)\ 
c = q v (p a q a r)
Indicar si es tautología, contradicción o 
contingencia la proposición:
(a «-> h) a c
A)Tautología D) Fallan dalos
B) Conti adicción E ) Ninguna
C) Contingencia
24 .- Sirnplilicar: ~ ( ~ / ) a -q)
t\)¡> B )q C ) p a q D ) p v < / E ) / > —»*/
2 5 .- S i m p l i f i c a r : (p a q) v ( ~ p a - q) v p 
A)p\/q B )~/?v r/ C ) /) a ~
D)/> v- í/ E ) ~ p * q
2 í>.- Simplificar el esquema :
( ~p a q) (q-*p )
A) p A í/ B) ~ (/) v q) C) p -> q
D )/> v < y >áft/ -» p
27.- Simplilicar:
- \(P -* ~ <7) v “ (l) f '/ ' <->("/» -> */)!
A ) - /> a í/ B ) - p a - r/ C )~ {pvq )
D ) ~ í /j a í /) i : ) / ; —> r/
2.S.- S i : /) r/ ~ r/
P <1 =~P a - f /
Simplificar: l ( /> q )—*(p q)\ v q
A ) ~ / > a í / t f )p —*q C )q - * - p
D) ~ (p v í/) I:) ~ (/) v - í/)
29.- Si se define • p ® q s - p —>~q
p * q = p * ~q
Decir cuales son ptoposiciones equiva­
lentes :
(I) (/* * - q) © p 
t il) ~/>© -(/ *•-r/)
U II) - |(/r*(r© ~í/)|
A ) Solo 1 y II D) I . II y III
B ) Solo II y III E ) Ninguno
C) Solo II
30.- La proposición :
-(/>-></) a ( í/-> - r),
es equivalente a cual o cuáles de las si­
guientes pioposiciones .
( I ) p a (/> v - /•) a - q
( I I) />a-í/ a ~(q a r)
( II I ) (/> A ~í/) V l(/) A - / ) A -Í/I
A ) I B) II C ) Todas
D) IV , I y II F ) V . II y III
31.- Sea : A = { i/» es una proposición} 
ademas se define
I , s i a e s v e r d a d e r o 
0 . s i i e s l a l s o
40 Prohit utas d i \ritnulit a \ ionio ir solverlos Hernán Flores Velazco
Indicar verdadero o laKo, según los si­
guiente'. enunciados
( I ) <pi// v íf) - 0 ( / > ) + ó U¡)
(I I) $ (-/» = I - O(/i)
( III)0 {p -*(/*= I - 0 (~ q)
A ) W V B )\FV ( ) IM -
I»\ I I- I i I W
¡- Dada*la pieiiusa .
«■No es brillante pero se ve m i esluei/o- 
es equivalente a ■
A) No es cierto que -.ea bnllanie y no se vea
s i l C s l U c l / o
B) No es eierti que. se vea su esíucr/u v no 
sea hriliante
Q) No es cierto que sea bi illanic o no se vea 
su esfuei/o.
D) No es cicilo que. se vea su estuerzo o no 
sea brillante.
h ) Ninguna anterior
33.- De las siguientes picmisas
- Si estudio en la mañana entonces me le­
vantaré temprano
- Estudio en la mañana o no voy al eme en 
la tai de.
• Irc al cine en la larde
k
Se puede concluir:
(I) Estudio en la mañana 
(II j No me levanto temprano 
^X)Solol B ) Solo II C ) I y II
D) Ninguno I•) I-alia información
34.- ¿A que formula eouesponde el siguiente 
cuclillo lomeo :
A ) ( / ’ A (/) a i * | ( - / > / < / > -• r j
l)M/> r- q) A I A </> V I/)
i f )\p q\ I * |t~/> </j /]
D)(/r a q) a / / t - /> •. - í/j
í : ' B v C
35.- Se tiene /> a t¡ = ■
q =
P q 
V
Si el costo de eada llave en la instalación 
del circuito
r-
</-
9-£
es de S7 MI , En cuanto se reduciría el cos­
to de la instalación si se reemplaza este 
circuito por su equivalente más simple ’
A) 200
D) 100
B)4(X) 
I )S(X>
C’)3fX)
P
</
p q
* -I
9 TEORIA DE 
CONJUNTOS
Conjunto, es una palabia sin definición, c u n o s sinónimos son ■ leunión. colección, 
agrupación, agregado, clase, conglomerado o familia de objetos homogéneos reales o abs­
tractosllamados elementos. *
Los conjuntos se denotan con letras mavusculas (A ; B ; C ,...) v sus elementos, separados 
j)or comas (o punto y coma en el caso de números), encerrados entre llaves.
Se dice que un conjunto está correctamente determinad»» cuando se puede estable­
cer, sin ambigüedad, si un elemento dado es integrante o no de dicho conjunto Todo con­
junto puede* determinarse de dos maneras :
2 2 A POR EXTENSION O FORMA TABULAR
Cuando se mencionan uno a uno a sus elementos, o se da una idea de la sucesión de ellos.
2 2 B POR COMPRENSION O FORMA CONSTRUCTIVA
Cuando se enuncia a sus elementos por medio de una propiedad o cualidad común a 
ellos y queMes es valida únicamente a estos.
Ejemplos .
(A) Determinar el conjunto de las cinc ti vocales.
(B ) Determinar el conjunto de los números impares ( + ) menoies qu»_» 1G
(C) Determinar el conjunto de los números enteros ( + ) que terminan en 5
* Por Extensión . A = {a ; e ; i ; o ; n}
B= (1 ; 3 ; 5 ; 7 ; 9 ; II ; 13; 15} 
C = {5 ; 15 ; 25 ; 35 ; 45 ; ...)
* Por Comprensión : A = {x /x es una letra vocal}
t B = {y / v es un # impar (+ ) a v < 16)
C = {10n + 5 « es un # entero no negativo}
42 Pntblcmas di Aritmética v como rt udveilos
A
Hernán Flores Vclozco
2.3 RELACION DE PERTENENCIA
t ’n elemento pertenece (e ) <i un conjunto si torm.i parte o es agregado de dicho conjun­
to. Un elemento no pertenece (e ) a un conjunto si no cumple con la condición anterior. Esta
relación vincula un elemento con un conjunto, m a s no vincula elementos o t onjunlos entre sí.
Ejemplo : Dado el conjunto ’ A = {4 ; (> ; 7 ; 9}
Entonces: 4 e A (4 pertenece a A)
9 e A (9 pertenece a A)
5 v A (5 no pertenecí» a A)
2 A CARDINAL DE UN CONJUNTO
Es el numero entero, no negativo, que indica la cantidad de elementos diferentes de un 
conjunto. El cardinal de un conjunto A se denota : n (A).
Ejemplos A = {7 , 4 ; G , 3}
B = <2;4;G;8; 10} 
C= {6 ;4 ;4 ;6 ,4>
n (A) = 4 
n (B) = 5 
n (C) = 2
2.5 RELACIONES ENTRE CONJUNTOS
2.5.A INCLUSION
Se dice que un conjunto A está incluido en otro conjunto B, cuando todos los elemen­
tos de A pertenecen a B. Se denota por A c B v simbólicamente se define la inclusión asi :
A c B <=> V a g A - i a e B
A c B
B=>A
* A esta incluido en B
* A esta contenido en B
* A es parte de B
* A es subconjunto de B
*B incluye a A 
*B contiene a A
* B es supcrconjui no de A
Nota : Si algún elemento del conjunto A, no pertenece a B entonces decimos que A no esta 
incluido en B y se denota : A cz B.
Ejemplos : Dada el conjunto : A = {6 ; 4 ; 2 ; 7 ; 5}
Entonces: {4 ,2 } c A { 2 ; 4 ; 5 } c A
{G ; 7 ; 3} <z A { 7 } c A
A
Teoría de Conjuntos 43
Se dice que dos conjuntos A y B son iguales cuando ambos poseen los mismos ele­
mentos, se denota A = B y simbólicamente se define la igualdad as í :
A = B <=> A c B a B c A
Ejemplo : Dados: A = {1 ; 5 ; -1 ; 3}
B = (2x - 3 / x es entero (+ ) a t S4 }
En el conjunto B, x loma los valores : I ; 2 ; 3 y 4 , luego (2v - 3) loma valores :
^ --- - 2 (1) - 3 =-1
2a - 3 = ------- 2 (2) -3=1
7 ------ 2 (3)-3 = 3
'----- 2 (4) - 3 = 5
Luego, el conjunto B, determinado por extensión será:
B = {-1 ; 1 ; 3 ; 5}
Com o: A c B a B c A —> A = B
2 5.C COMPARACION
Se dice que dos conjuntos son comparables cuando por lo menos uno de ellos está 
incluido en el otro.
Ejemplos : * Sean ; A = {7 ; 4 ; 6}
B = {2 ; 3 ; 4 .5 ; 6 ; 7 , 8 }
como A c B , entonces A y B son comparables
• Dados : M = {6 ; 2 ; 3 ; 9}
V N = (3 ; 6 }
como N c M , luego M y N son comparables
♦Si: P = {5; 8 ,3}
Q = {3 ; 6}
se observa que P c Q y Q c P , luego P y Q no son comparables.
2 5 D DISJUNCION
Dos conjuntos A y B son disjuntos cuando no poseen elementos comunes.
Ejemplo : Sean los conjuntos : A — {x / \ es un número par}
B = {x / \ es un numero impar}
-como no hay elementos comunes a A y B, entonces son disjuntos.
2.5 B IGUALDAD
44 Pntblcmas de Aiitmctú n \ coma resolverlos Hemon Flores Velozco
2 5.E EQUIVALENCIA
Dos conjuntos A y B son equivalentes, si poseen la misma cantidad de elementos, lo 
cual se denota as í : A o B. Simbólicamente se define la equivalencia asi *
A o B <=> n(A) = n (B )
2.6 CLASES DE CONJUNTOS
2.6 A CONJUNTO NULO O VACIO
Ls aquel conjunto que no posee elementos y se le denota comunmente como . 0 o { } 
Coinencioiialrnenle al conjunto nulo se le considera incluido en cualquier otro conjunto A
0 c A
Ejemplo • A = {a / i es número entero y : 3 < v <5}
2.6 B CONJUNTO UNITARIO O SINGLETON
Es aquel conjunto que tiene un solo elemento.
Ejemplos : A = {5}
B = {0 }
C = {x/ x es número entero y 7 < x < 8 }
D - {9 ; 9 ; 9 ; 9}
2.6.C CONJUNTO UNIVERSAL O REFERENC1AL
Es un conjunto refereiicial dado que se elige de manera arbitraria de acuerdo a la situa­
ción particular que se está tratando. Contiene a lodos los conjuntos considerados y se le 
denota generalmente con lj.
Ejemplos : Dados los conjuntos : A = {3 ; 5 ; 7 ; 9}
V B= {5 ; 13; 19; 23}
Un conjunto universal para A y B puede ser c ualquiera de los siguientes conjuntos :
1 = {x/x es imjiar a x < 25}
I = {x/x es número entero positivo}
I = {1 ; 3 ; 5 ; 7 ; .„}
2.6.D CONJUNTO DE CONJUNTOS
Es aquel que por lo rnenos tiene a un conjunto como elemento.
Ejemplos : A = {{3} ; 2}
B = {{1} ; { I ; 2}}
2 6 E CONJUNTO POTENCIA
Dado un conjunto A, se denomina conjunto potencia de A al que esta formado por 
l o d o s l o s subconjuntos de A Se le denota P(A).
Teoría ilc Conjuntos 45
Ejemplo : Dado : A = {7 ; 5 ; 3} , los subconjuntos de A son:
0 , { 7 } , ( 5 } , { 3 } , { 7 ; 5 } , { 7 ; 3 } . { 5 ; 3 } , { 7 ; 5 ; 3 }
Entonces el conjunto potencia de A es .
PÍA ) = {O , {7 } , {5 } , {3 } , {7 ; 5 } , <7 ; 3 } , {5 ; 3} , {7 ; 5 ; 3}}
Nota • Si r/(A) es el cardinal del conjunto A , se verifica que :
# de subconjuntos de A 
ó # de elementos P(A ) = 2'̂ AÍ
n |P(A )I = 2"lA)
2 6 F SUBCONJUNTO PROPIO (5 )
Es aquel que siendo subconjunto de un conjunto dado, no es igual a éste.
Ejemplo : Dado el conjunto : A = {2 ; 6 ; 8 } , sus subconjimlos son.
Ó. {2} , {6 } , {8 } , {2 ; 6 } , {2 ; 8 } , {6 ; 8 } , {2 ; G ; 8 }
Luego, sus subconjuntos propios son:
0 , { 2 } , {6 } , {8 } , {2 ; 6 } , {2 ; 8 } , {6 ; 8}
' Nota : Si n(A) representa el cardinal del conjunto A:
# de subconjuntos propios de A = 2',ÍA) - 1
2.6.G SUBCONJUNTO IM PROPIO (c )
Es aquel que siendo subconjunto de un conjunto dado es igual a este.
2.7 DIAGRAMAS DE VENN - EULER
Son regiones planas limitadas por figuras geométricas ceiradas que se utilizan para 
representar gráficamente a los conjuntosrSe estila representar al conjunto universal mediante 
un rectángulo
Ejemplo : Dados los conjuntos A. B > C incluidos en el conjunto universal U, podríamos
tener el siguiente diagrama:
Nota : Otros diagramas usados para representar gráficamente a los conjuntos son:
y
27 A DIAGRAMA DE CARRO ll
Llamado así en homenaje a Lewis Oarroll, seudónimo de ( liarles Lutvvidge Uodgson, 
escritor y matemático inglés ( I 832 - 1 8!)8) que fue el puntero que lo ulili/o en su obra "AIk la 
en el Ruis de las Maravillas" Se usajjencralmeiite para t Oiganlos difuntos
Ejemplo
Hombres Mujeres
Donde:
i- '1 -> Hombres que bailan 
i -► Mujeres que bailan 
r-ti -» Hombres que no bailan 
Mujeres que no bailan
L
. i ' i
46 Problemas de A iitim tiea v como it solveilos Hernán Flores VelOZCO
Se usa |iara conjuntos comparables : significa B c AB
Ejemplo : Sean las conjuntos numéricos:
I Conjunto de los numero lomplejos 
Im : Conjunto de los números imaginarios 
I Conjunto de los números reales
I. : Conjunto de los números racionales 
I : Conjunto de los números irracionales 
/ : Conjunto de los números entejos
S Conjunto de los números naturalos
Teniendo en cuenta la precedencia de la inclusión, se establece:
«
F Im
i
I
*
C I
Teoría de Conjuntos 47
Z.S OPERACIONES ENTRE CONJUNTOS
2.8 A UNION
Dados dos conjuntos A y B, la unión de ellos es el conjunto formado por aquellos 
elementos que pertenecen por lo menos a unode esos conjuntos A o B. Se denota A v j B y 
se define:
A u B = {x/ jre A v a e B }
Ejemplo : Dados: A = (6 ; 8 ; 2}
B = (3 ; 7}
-> A u H = { 2 ; 3 ; 6 ; 7 ; 8 }
Diagramas :
2 8 B INTERSECCION
Para dos conjuntos A y B , la intersección de ellos es el conjunto formado por los ele­
mentos comunes de A y B. Se denota A B y se define:
A n B = { a / x e A a r e B>
Ejemplo : Dados: A = (1 ; 3 ; 5}
B = { 2 ;3 ;4 ;5 ;G > 
-* A n B - {3 ; 5}
Diagramas :
A r tB = 0 A n B = A
2.8 C DIFERENCIA
La diferencia de dos conjuntos A y B (en ese orden), es el conjunto formado por los 
elementos que pertenecen a A, pero no a B. Se denota por A - B y se define :
A - B = {x l x e A a a e B)
Ejemplo : Dados: A = (6 ; 8 ; 4 ; 7 ; 2}
B = (3 ; 4 , 5 ;G ; 7}
-» A -B = (8 ; 7 ; 2}
Diagramas :
48 Problemas de Aritmética v como resolver los Hernán Flores Velazco
, ? )
B
A -B
2.8.D DIFERENCIA SIMETRICA
Dados dos conjuntos A y B, la diferencia simétrica de ellos es el conjunto formado por los 
elementos que pertenecen a A o B pero no a ambos. Se denota por A A B y se define :
A A B = { j f / ,v e (A - B ) v x e (B - A ))
Ejemplo : Dados: A = (6 ; 4 ; 2 ; 8}
B = (3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 7} 
-> A A B = {2 ; 8 ; 3 ; 5 ; 7}
Diagramas :
A A B
2 8 E COMPLEMENTO
El complemento de un conjunto A, es el conjunto formudi¿por los elementos del con­
junto universal I que no pertenecen a A Se denota jior: A ', A\ A o C (A) y se define :
A' = {x / x e l a x t. A} = I - A
\
Ejemplo : Sea : V = {x / x e /* a x < 8 }
y : A = {2 ; 3 ; 5}
-> A* = {1 ; 4 ; G ; 7}
%
Diagrama : “
l'coiia tle Conjuntos 49
2 8 F PRODUCTO
Llamado también producto cartesiano de dos conjuntos A y B, es aquel conjunto cuyos 
elementos son pares ordenados donde las primeras componentes pertenecen a A y las segun­
das componentes pertenecen a B. Se denota A x B y se define :
A X B = {(íí ; ¿>)/ o e A a b e B )
Ejemplo : S i : A = {1 ; 2 ; 3}
B = {m ; n\
-> A x B = { ( I ; m ) , (1 ; n) , (2 ; n i) , (2 ; n ) , (3 ; m ), (3 ; n)\
-> B x A = U m ; 1) , (m ; 2) , (m ; 3) , (» ; 1) , (//; 2 ), (n ; 3 )}
Nótese que si A * B : A x B í B x A
2.9 ) LEYES T PROPIEDADES DELALGEBRA DE CONJUNTO
2.9 1 REFLEXIVAS
I A. A u A = A 
IB A n A = A 
1C. A A A = A
2.9 3 ASOCIATIVAS
3A. A u ( B u C ) = ( A u B ) u C 
3B. A rs (B n C) = (A n B) n C 
3C. A A (B A C) = (A A B) A C
2.9 2 CONMUTATIVAS 
2A. A vj B = Bx j A 
2B. A n B = B n A 
2C. A A B = B A A
2.9.4 DISTRIBUTIVAS
4A. A u ( B n C ) = ( A u B ) n ( A u C )
4B. A n ( B u C ) = ( A n B ) u ( A n C )
4C. ( A u B ) n C = ( A n C ) u ( B n C ) 
4D. (A n B) u C = ( A u C ) n ( B u C )
1
5U Pn)blema\ de Aritmética v tamo resolxerlos Hernán Flores Velozco
2 9 5 DE LA INCLUSION 2.9.6 DE LA EXCLUSION
Si: A c B
A cj B = B 
A n B = A 
A - B - $ 
A A B = B - A
Si: A y B son disjuntos =>
2.9.7 ELEMENTO NEUTRO 
7A. A vj<> = A 
7B A n 0 = 0 
7C A ú l = 1 
7D. A n 1 = A
2 9 9 DE LA DIFERENCIA 
9A. A - B = A n B’
9B. A - B = B ' - A'
2 9.1 1 DEL CONJUNTO PRODUCTO 
IIA. n(A x B ) = //(A) . r/(B)
1 IB. A x ( B u C ) = ( A x B ) u ( A x C) 
1 lC. A x (B n C) = (A x B) n (A x C)
A n B = 0 
A - B = A 
A A B = A o B
2 9 8 DEL COMPLEMENTO
8A. (A ) ’ = A
8B. A u A = I
8C. A n A = ó
8D. 0' = I
8 E. I 1 = 4»
2 9.10 LEYES DE MORGAN 
10A. (A o H ) ' = A 'n B '
10B. (A n B )’ = A 'u B '
2.9 12 DE ABSORCION 
I2A. A u ( A n B ) = A 
I2B. A n ( A ú B ) = A 
12C. A u ( A ' n B ) = A u B 
12D. A n ( A ' u B ) = A n B
2.10 RELACIONES CON CARDINALES
(I) Si A y B son disjuntos :
r?(A u B ) = n( A) + n (B )
(II) Para 2 conjuntos cualesquiera A y B :
r»(A u B ) = ri(A) + /í(B) - ri(A n B)
(III) Para 3 conjuntos cualesquiera A , B y C :
rt(A u B u C ) - «(A ) + n (B ) + /i(C) - ri[ A n B) - r?(A n C) - n (B n C) + n(A n B n C)
Teoría de Conjuntos 5 1
P R O B ie M A S R € S U € lT O S
1 S i el conjunto A tiene 3 elem entos ¿ Cuántos subconjuntos propios tiene el conjunto 
ponencia de P^A) ?
A) 2a - 1 B J2 8 - 1 C) 216 - 1 D ) ? 56 -1 E ) Z64 - 1
Resolución.-
* Si el conjunto A tiene 3 elementos, el conjunto P(A ) tiene 23 = 8 elementos.
* Si el conjunto P(A) tiene 8 elementos, el conjunto potencia de P(A ) tiene 28 = 25b elementos. 
Por lo tanto, el número de subconjuntos propios del conjunto potencia de P(A ) será:
2256- I RPTA.n
2.- Sabiendo que e! conjunto : A = {a + b ; a + 2 b -2 ; 10} es un conjunto unitario. ¿C u ál es 
el valor de = a2 + b2?
A ) 16 B ) 60 C) 68 D) 58 E ) 52
Resolución.-
Para que sea un conjunto unitario, los elementos deben ser iguales, luego :
* o + b = 1 0 ... (ex)
* a + 2¿> - 2 = 10 -» a + 2b = 12 ... (p)
De (a ) y (P) • a = 8 a b = 2
o2 + b2 = 68 KPTA. C
3.-S i : A = {x / x e / a 10<x<20}
B = jy + 5 / y e / a ( J y + 15)e A}
¿ Cuál es la suma de los elem entos de B ?
A ) 45 B ) 50 C) 55 D) 60 E)65
Resolución.-
El conjunto A, determinado por extensión es :
A= { l l ; 12; 13; 14; 15 ; 16 ; 17 ; 18; 10}
En el conjunto B, como ( Jy +15) e A :
77 € {0 ; 1 ; 2 ; 3 ; 1}
-»>’€ {0 ; I ; 4 ; 9 ; 16}
Luego : B = (5 ; G ; 9 ; 14 ;21}
Suma de elementos de B = 55 RPTA C
52 Problemas de Aritmética v como resolverlos Hernán Flores Veiozco
4.-Dados los siguientes conjuntos iguales:
A = {a 2 ; a 1}
B = { 7 -a ; 8 -a]
C = {b + 1; c + 1}
D = {b + 2 ; 4}
Determinar el valor d e : a + b + c
A ) 2 B ) 5 C) 7 D) 10 E ) 12
Ré5glucipn.-
Para que sean iguales deben tener lo.-» mismos elementos, luego*
Si: A = B. los elementos de A y los de B deben ser los mismos, entonces, igualando los mayores:
a + 2 = 8 - a -» o = 3 *
De donde los elementos de A son 5 y 4, por lo que, si A = D
£> + 2 = 5 —» £> = 3
Finalmente, en ei conjunto "C £ > + 1 = 4 —> c' + I = 5 r = 1
Por lo tanto :
o + b + c = 10 RPTA. I)
«
5.- S e a : I = {1 ; 2 ; 3 ;
Entonces, dados los conjuntos: A = {2x/x e l a x < 5}
* B={1.5x- 1/xe A)
¿C ual es el numero de elem entos de A n B ?
A) 1 ^ 2 C) 3 D) 4 E ) 5
Resolución.-
Determii unido el conjunto A por extensión :
Como: x < 5 -> x e { l ; 2 , 3 ; 4} -* A = {2 ; 4 ; 0 ; 8 }
Determinando el conjunto B por extensión :
Como : v e A = {2 ; 4 ; 6 ; 8} -» B = {2 ; 5 ; 8 ; 11}
Luego : A n B = {2 ; 8 }
o (A n B ) = 2 RPTA B
6.- E l conjunto A tiene 2 elementos menos que el conjunto B. que por cierto posee 3 072 
subconjuntos mas que A. S i tales conjuntos son disjuntos. ¿ Cuál es el cardinal de A\j B ?
A) 19 B ) 20 C) 21 D) 22 E) 24
Re solución -
Si asumimos que el número de elementos de A es "x", se tiene. 
ri(A) = a # de subconjuntos de A = 2'
/j(B) = x + 2 -» # de subconjuntos de B = 2' +2
Luegq, por dato 2t+2 -2* = 3 072
Operando algebraicamente 2' (2¿ - 1) = 3 072
leona de ( unjnntus 53
Luego : 
Entonces:
x = 10
n{A) = 10 a n (B ) = 12
Por lo tanto, como A y B son disjuntos :
zi(A u B ) = 10 + 12 = 22 RPTA. D
7.- ¿Cuántos subconjuntos tiene el conjunto "B", donde:
B = [ A kj C) -{Ars C), 
s i : A = {x/x3 - 6x* + 12x -8 = 0}, 
y : C = {x/x? + x - 20 = 0)?
A) 2 B) 4 C) 8 D) 16C) 8 D) 16 E) 32
Resolución -
Determinando ambos conjuntos por extensión luego de observar algebraicamente que:
A = {x/ {x - 2)J = 0} = {.x / x - 2 = 0} -* A = (2)
C = {x (x - 4) C* + 5) = 0} = {x/x - 1 = 0 v a + 5 = 0} -* C = {1 ; -5}
Entonces A u C = {2;4;-5>
A n C = 9
Luego : B = (A w C) - (A C) = {2 ; 4 ; -5>
Como : r/(B) = 3 -» # de subconjuntos de B = 2* = 8 RPTA C
8.- Para 2 conjuntos A y B s e cumple que:
* A tiene 16 subconjuntos
* B tiene 8 subconjuntos
* A u B tiene 32 subconjuntos 
¿Cuántos subconjuntos tiene A r\ B ?
A) 2 B ) 4 C) 8 D) 16 E)32
Recuerde que el numero de subconjuntos de a es 2"(*) donde n(\) es el numero de elemen­
tos del conjunto x, entonces:
* # de subconjuntos de A = 16 = 24 —» r/(A) = 4
* # de subconjuntos de B = 8 = 2* -* n {B) = 3
* # de subconjuntos de A ^ B = 32 = 2* —» n {A B) = !>
Como ;/(A •_ B) = n{A) + n (B ) - ;í(A n B )
x3 - 6x* + I2v - 8 = (.x - 2)3 
x2 + x - 20 = C* - 4) (v + 5) O . O
Setiene:
54 Problemas de Aritmética y como resolverlos Hernán Flores Velazco
Reemplazando: 5 = 4 + 3- n (A rs B ) -> n(A n B ) = 2
Pbr lo tanto # subconjuntos de A o B = 2¿ = 4 RPTA. B
9
9.- S i : B c A , d e m o s t r a r q u e : B v j (A - B ) = A .
Resolución.-
Aplicando la propiedad 9A : B u (A - B ) = B u (A n B )
Por propiedad 12C : = B u A
Como B c A : = A
Si B c A : B u (A - B ) = A
10.- D e m o s t ra r q u e : (A - B ) o C = {A n C) - ( B n C ).
Resolución.-
Comenzando por el lado más complicado y aplicando la propiedad 9A : 
( A n C ) - ( B n C ) = (A r \ C ) n ( B n C )
Por propiedad 10B 
Por propiedad 4B 
Por propiedad 3B 
Por propiedad 8B 
Por propiedad 7B 
Por propiedad 7A 
Por propiedad 9A
= (A n C )n (B 'u C )
= [ ( A n C ) n B |u | ( A n C ) n f | 
= ((A o B) n Cj u ((A n ( C n C ) | 
= | (A n B ) o C ] kj | (A o 0 ]
= I(A o B ) o C| u ^
= ( ( A o B ' ) n C l 
= ( A - B O n C
( A n C ) - ( B n C ) = (A - B ) o C
11.- D e m o s tra r q u e : A A B = ( A u B ) - ( 4 n B ).
Resolución.-
Se sabe que : A A B = (A - B ) u (B - A)
POr propiedad 9A : = ( A n B ' ) u ( B n A )
Por propiedad 4D : = [A u (B r\ A )| r> |B‘ u (B n A’)l
Por propiedad 12C : = ( A u B ) n ( B ' u A ' )
Por propiedad 2A : = ( A u B ) n (A‘ cj B')
Por propiedad l OB : = ( A u B ) c ( A n B )’
Por propiedad 9A : = (A u B ) • (A n B)
A A H = ( A u B ) - ( A n B )
Teoría (le Conjuntos 55
12.- Demostrar que : (A A B ) n C = [A n C) A (B n C).
Resolución -
Comenzando por el miembro m.is complicado y aplicando lo demostrado en el problema 
«interior:
( A n ( ' ) A ( B n C ) = [ ( A n f ) u ( B n C ) ] - | ( A n C ) n ( B n C ) ]
Por propiedad 4C 
Por propiedad 3B 
Por propiedad IB
= [ ( A u B ) n f ] - | ( A n C ) n ( B n C ) |
= [ ( A u B ) n C | - | ( A n B ) n ( f n C ) ]
= ( (A cj B ) r i C| - |(A n B) n C |
Por problema 2 : = f (A vj B ) - (A r\ B )J n C
Por problema 3 : = (A A B ) o C
(A n C) A (B A C) = (A A B ) n C
13.- Demostrar que : [A* - (B ‘ - C )]’n ( B ' n C ) ’ = A n ( f l u C ) .
Rcsolución.-
Comenz.indo por el miembro mas complicado y aplic.indo l.i propied.id Í)A: 
IA* - (B* - C)P n (B* n C’)* = |A’ r\ (B 1 - C)'|' o (B 1 o C)*
Por propiedades 1OB y 8A 
Por propiedad 9A 
Por propiedad 10A
= |A u ( B ' - f ) | n ( B u C)
= | A u ( B n C ) | n ( B u C ) 
= |A u (B o C)-| n (B u C)
Por propiedad 12D = A n ( B u C )
IA1 - (B - C)|' n (B ‘ n C)* = A n (B u C)
14." Sim p lificar: [ A - ( S u P ) ] n ( 6 - A) sabiendo que A c. P.
A) B B ) A C) A \j P D) A r\ P E ) <*>
Resolución - 
Por dato : A c P
Se sabe que : P c ( B u P )
Luego por propiedad de inclusión : A - (B vj P) = 0
Entonces : |A - (B u P)| r> (B - A) = Q n (B - A)
Por propiedad 7B : = «Jt
( A - ( B u P ) I n ( B - A ) = <J> RPTA E
A c ( B u P )
56 Problemas de Aritmética \ como icsoivci los Hernán Flores Velozco
15.- Siendo A, B y C tres conjuntos contenidos en un mismo universo I y además 
satisfacen : A 's j B = C ; sim plificar la expresión:
( 4 u 5 u C)' n ( 4 n E ' n C )
A) A B j A r s B C) A - B D) C E ) 0
Resolución -
Por dato : A’o B = C
Aplicando complemento . (A’ u B ) ‘ = C
Por propiedades RA y 10A : A r. B = C
Por propiedad ‘JA : A - B = C‘ ... (<*)
Luego, por propiedad asociativa .
(A B u C )1 n( A r . B n C ) - | ( A u B ) u C ) n |(A B ' ) o C |
Por propiedad 10A : = ((A j B}' r. ( ” 1 n |(A B ) C'l
Pbr propiedad 9A y reemplazando C de (a ) . = |(A 1 B J n (A - B)1 n I(A - B) n (A - B)|
Por propiedades ‘T\ y 1A = [(A - B) - (A ■_< B )J rs (A B)
Como A - B c A u B = 0 n (A - B)
Por propiedad 7B : = 0
( A u B u C ) ' n (A n B' n C ) = Ó RPTA. E
Definimos la operación "* " tai que : A * B = {A - B )' según esto sim p lificar:
[(A * B ) * ( B - A ) ] *A 
A) As j B B j A r s B C) A - B D ) B * A E ) A * B
Resoluaón.-
Aplicaudo la definición de **":
|(A * B ) * (B - A)| * A = <((A - B) - (B - A)|* - AK
Por propiedad 9A : = \ I(A - B )' n ( B - A )'l' - A}
F*Or propiedad I0B : = {( (A - B) i / (B * A)1 - A } ’
Por propiedad 9A : = { ((A - B) u (B - A)1 r\ A’}'
FY>r propiedad 1C : = { | (A - B ) n A ' l u | ( B - A ) n A'))}'
Por propiedad 9A : = I |(A - B ) - A) cj l(B - A) - A ] } ’
Como A-Bcr A = {O ^ |(B - A) - A |}‘
T\)r propiedad 7A : = |(B - A) ■ A|'
Como (B - A) v A son disjuntos = (B - AJ
Por dennicion de "^e"; = B aje A
I(A * B) * (B - A)] * A = B * A RPTA. D
leona tlt Ctmjuntos 57
17.-De 150 alumnos. 104 no postulan a la U.N.I., 109 no postulan a la P.U.C. y 70 no postu­
lan a estas universidades. ¿ Cuántos postulan a am bas?
A) 6 B ) 7 C) 8 D) 9 E ) 10
Resolución -
Sean A v B los conjuntos de alumnos que postulan a la LI.N.I y a la Rl T.(’. respectivamente se 
tendía , por datos del problema:
r?(A) =104 -> rí(A) = ISO - 104 = 40
/i(B’) =109 rr(B) =150-109 = 41
n|(Av_>B)'| = 70 -> h ( A u B) =150- 70 = 80
Como : ri(A u B ) = »(A ) + n (B) -r/(Ar>B)
Reemplazando : 80 = 46 + 41 -/í (A n B)
Luego, postulan a ambas universidades : n(A n B ) = 7 RPTA B
18.-De cierto número de figuras geométricas se sabe que 60 son cuadriláteros, 20 son rombos, 
30 son rectángulos y 12 no son rombos ni rectángulos. ¿ Cuántos son cuadrados ?
A ) 1 B ) 2 C) 3 D )4 E ) 5
Resolución -
S i : A : conjunto de rombos
B : conjunto de rectángulos
Nótese que, en el diagrama de Y'enn - Euler, la intersección de ambos conjuntos, A y B, está 
dada por los cuadrados.
Luego : 20 - jt + x + 30 - x + 12 = 60 x = 2 RPTA B
19.- En una encuesta realizada entre los estudiantes de una universidad, se obtuvo los 
siguientes resultados:
* E l 60% usan el producto A
* E l 50% usan el producto B
* E l 80% usan los productos A o B pero no ambos
* 200 alumnos no usan estos productos 
¿Cuántosalum nos fueron encuestados?
A) 2 400 B) 3 200 C)4 000 D) 6 400 E) 5 600
58 Piobhmns de Arinm'tica v como resolverlos Hernán Flores Velazco
Resolución.-
Consideremos a P ' como el número de estudiantes encuestados, entonces el diagrama de 
Venn - Euler correspondiente sera •
De donde : o + b = 60% P 
b + c = 50% P 
a + c = «0% P 
Sumando miembro a miembro 
2 (o + b + r ) = 100% P 
—> a + b + c = 95% P
Entonces, como el total es representado por el 100%, las 200 personas representan el 5% del 
total do encuestados:
5% de P = 200 -> P = 4 000 RPTA. C
20.- En una ciudad se determinó que:
* A la cuarta parte de la población no le gusta la natación n i el fútbol 
‘ A la m itad les gusta la natación
* A los 5/12 les gusta e l fútbol
¿A qué parte de la población les gusta solamente uno de los deportes m encionados? 
A) 3/4 B ) 1/4 C) 1/3 D) 7/12 E ) 1/2
Rooluciflu--
Sean : T " el conjunto de habitantes que gustan del fútbol y "N" el conjunto de habitantes que 
gustan de la natación. Entonces suponiendo una población de 12 habitantes se tendrá:
* A ̂ (12) =3 habitantes no les gusta la natación ni el fútbol
* A ̂ ( 12) = 6 habitantes les gusta la natación
5
* A J 2 02 ) =5 habitantes les gusta el fútbol 
En un diagrama de Venn - Euler :
200
Teoría di Con junios 59
UC12)
2 + } = G - » x =3
El numero de personas que gustan solamente de uno de estos deportes sera : 
x + v= 1+3 = 7
Que representa lo s : 7/12 de la población RPTA I)
21,- Se dan tres conjuntos X, Y ,Z incluidos en un mismo conjunto universal I tal que: 
^ Z n X = Z 
n[Z ) = 150 
n (X 'n Y") =90 
n[(X u Y) - Z] = 6. n(Z)
H allar: n{ I ')
A) 140 B ) 170 C) 150 D) 180 E ) 160
Rcsoludon.-
Phr propiedad de la inclusión se sabe que: Z n X = Z « Z c X 
Luego, el diagrama de Venn - Euler correspondiente a este problema será
X Y t
Z
a b c d e f
V ____________
Analizando los datos :
* n(Z ') = ISO -» a + b + r + í = 15 0 ... (o )
* Aplicando la propiedad I0A:
n(X ’ rs Y ) = n |(X u Y)'| = 90 -> a = í)0
* n [(X sj Y) - Z| = 6 . n(Z) -» b + e + f = 6 (c + d)
Reemplazando en (a ) • 90 + 6 (c + d) = 150 -♦ c + d = 10
r/(1 ■)=a+b + c + d + e+ f
60Problemas de Aritmética v como resaberlos Hernán Flores Veiazco
= u + b + e + f +c + (¿ — 150 + 10
n( «.) = ICO RPTA F
22.- En una encuesta a 170 com erciantes que laboran en un mercado del centro de Lima se 
tiene:
* 30 son sordos y venden libros
* 32 que oyen m úsica, venden libros
' 75 que venden libros, no oyen m úsica
* 55 son sordos
* 60 oyen m úsica
¿Cuantos de los que no oyen música, no venden libros, ni son sordos?
A) 20 B ) 15 C) 18 D) 12 E ) 10
Resolución.-
Sean : S . Conjunto do sordos
M : Conjunto de los que oyen música 
V : Conjunto de los que venden libros
Notemos que ningún sordo puede oir música, entonces los conjuntos 5 y M son disjuntos; 
luego en un diagrama de Venn - Eulcr se tendrá .
 U - l 70
S V M 1
(55) (60)
¿> 30 C|32 c )
'i 1 j
\
Notemos que: b + 30 = 55 —» b = 25 
30 + a = 75 —> a — 45 
32 + c = 60 -* c = 28
Los que nu oven música, no venden libros ni son sordos son:
* = 170 - (25 + 30 + 45 + 32 + 28)
a = 10 RPTA. E
23.- De 120 alumnos que rindieron una prueba que contiene los cursos A, B y C se sabe que:
* Se anuló 10 pruebas y e l resto aprobó por lo menos un curso
* Los que aprobaron A, desaprobaron B y C
* Hay 20 alum nos que aprobaron B y C 
¿Cuántos aprobaron un solo curso?
A) 60 B ) 70 C) 90 D) 80 E ) 100
/cotia tic Conjuntos 6 I
Rcsoluciún.-
Teniondo en cuenta que los que aprobaron A. desaprobaron B y C; se tendrá el siguiente 
diagrama de Venn - Euler:
Del diagrama:
10 + a + b + 20 + c = 120
Luego, aprobaron un solo curso-
a + U + c = 90 RPTA. C
24.- Se hizo una encuesta entre 170 personas para ver la preferencia entre partidos políticos: ' 
A y B d e centro, C de derecha yD d e izquierda con los siguientes resultados:
10 no simpatizan con partido alguno, 32 solo con D, 22 solo con A, 20 solo con B y 20 
solo con C; 20 con A y D pero no con B ; 6 solo con B y C; 4 solo con A y C; 24 con B 
y D y 28 con A y B.
S i ninguno que simpatiza con la derecha sim patiza con la izquierda.
¿Cuántos simpatizan con A, B y D ?
A) 8 B ) 12 C) 16 D) 20 E ) 24
Resolución.-
Considerando que ninguno que simpatiza con la derecha, simpatiza con la izquierda, se 
tiene el siguiente diagrama de Venn - Eu ler:
Ademas :
c + d = 24 
a + b + c = 28
Luego
20 + 4 + a + 6 + 22 + b + 20 + 20 + c+ d + 3 2 + 10 = 170
—» a + b + c + d + 134 = 170 
—» a + b + c + d = 3G
Corno : a + b + c = 28 —> d = 36 - 28 = 8
Finalmente : c = 24-8
Por lo tanto, los que simpatizan con A. B y D son:
c = 16 RPTA C
62 Problemas de Aiitmctica v como tt sohulos Hemon riores Velazco
25.- Se tomo una encuesta a 300 personas sobre preferencia de 3 diarios: A .B y C , averi­
guándose que:
* 250 leen A o B
' 100 leen A pero no leen B
* 120 leen B pero no leen A
* 20 no leen estos diarios
* No más de 10 leen los 3 diarios
¿Cuántas personas, como mínimo, leen A y B pero no C ?
A) 18 B ) 19 C) 20 D) 21 E ) 22
Resolución -
El diagrama de Yeun - Euler correspondiente sera 
U=300 A B
o e b 
< ,* f
c
20
Nos piden t* —n
1 tnm
c
De los datos . * a + d+ e+ g + b+ f= 250 ... (1)
r/ + r/ = 100 .(II)
* 6 + (= 120 .(III)
* g S 10
Reemplazando (II) v (III) en (!):
100 + e + g + 120 =250 —» e + g = 30
-* e = 30 - g
El menor valor de V se conseguirá si g es máximo o sea : g = 10
e = 20 RPTA. Crmn
26.- En un aula de clases:
* 40 alumnos tienen el libro de Aritm ética, 30 el de Física y 30 el de Geometría
** A 12 de ellos les falta solo el libro de Física, a 8 solo el de Geometna ya 6 solo el de Aritmética
* 5 tienen los 3 libros y 6 no tienen estos libros 
¿ Cuántos alumnos hay en el aula ?
A) 48 B ) 60 C) 65 D) 70 E ) 90
Restiiución.-
Considerando los siguientes conjuntos :
Teoría {!( Conjuntos 63
A -* Alumnos que tienen el libro de Aritmética 
F —> Alumnos que tienen el libro de Física 
G -» Alumnos que tienen el libro de Geometría
Y. colocando los dalos en un diagrama de Vcnn - Eulcr
A(40) F(30) * 0 + 8+ 12 + 5 =40 -> a = 15
<
* c + 12 + 6 + 5 = 30 -» c = 7
* 6 + 8 + G + 5 =30 -» b = 1 1
6 G(30)
Luego, el total de alumnos sera :
15 + 8 + 11 + 12 + 5 + 6 + 7 + 6 = 70 RPTA D
27.- De un grupo de 41 estudiantes de idiomas que hablan inglés, francés o alemán, son 
sometidos a un examen de verificación, en el cual se determ ino que:
* 22 hablan Inglés y 10 solam ente inglés
* 23 hablan francés y 8 solam ente francés
* 19 hablan alemán y 5 solam ente aleman 
¿Cuántos hablan inglés, francés y alem an?
A ) 6 B ) 9 C) 4 D) 5 E ) 2
Rgaplución.-
Considerando los conjuntos
1: Estudiantes que hablan ingles 
F : Estudiantes que hablan francés 
A : Estudiantes que hablan alemán
Colocando los datos en un diagrama de Venn - Euler :
K22) F(23)
10 a l 8
x
A(19)
64 Problenuts de Anime tica y como re solverlos Hernán Flores Velazco
De donde:
• 10 + a + b + x = 22 -> a + b 4 x = 12 ... (1)
• 8 + a + c + r = 2 3 - > o 4 c + t = l 5 ... (II)
• 5 4 b 4 c 4 a = 19 —► b 4 c + v = 14 ... (III)
0) + (II) + (III) : 2 (o 4 b 4 t ) 4 ¿ X = 41 ... (IV)
Además : I 0 4 o 4 8 4 b 4 V 4 r 4 5 = 4l - » o 4 b 4 c 4 v = I 8 ... (V)
(IV) 2x (V) : x = 5 RITA. D
28.- De un total de 99 personas, 5 hablan inglés y español únicamente, 7 español y alemán 
únicamente y 8 inglés y alemán únicamente. S i los números de personas que hablan 
alemán, español e ingles son el doble, el triple y el cuádruple del número de personas 
que hablan los 3 idiom as respectivam ente.
¿Cuántas personas hablan español?
A) 46 B ) 36 C) 31 D) 41 e / s I
Resolución- 
Sean los conjuntos :
I : Personas que hablan inglés 
E : Personas que hablan español 
A : Personas que hablan alemán 
Entonces, en un diagrama de Venn - Euler se tendrá :
E
De donde:
• c 4 a 4 8 4 7 = Z\ -4 c = x - 15 
*b 4 X 4 5 4 7 = 3x-» b = 2a- 12 
• ü 4 a 4 5 4 8 = 4a—* a = 3x - 13
(0 
... (ID
... (III)
(I) 4 (II) 4 ( I I I ) : O 4 b 4 C = li-X - 40 (IV)
Además: o 4 5 4 ¿>4 8 4 x 4 7 4 c = 99
Teoría de Conjuntos 65
—> o + b + c = 79 - x ... (Y')
Igualando (IV) y (V ) : 6x - 10 = 79 - \ -» jt= I7
En ( II) : b = 2(17) - 12 -» b = 22
o(E) = 5 + 6 + a + 7 = 51 RP IA E
29.-De un total de 100 alumnos que postularon a la U.N.I., 40 aprobaron Aritm ética y F ís i­
ca: 39 Química y Geometría: m ientras que 48 aprobaron Algebra y Trigonometría; 10 
aprobaron los 6 cursos; 21 no aprobó curso alguno; 9 aprobaron Aritm ética, Geome­
tría, Física y Química solam ente; 19 no aprobaron Física, ni Geometría, ni Química, ni 
Aritm ética pero si los otros dos cursos. Halle el numero de alum nos que aprobaron 
solo dos cursos.
A ) 37 B ) 41 C) 36 D) 53 E ) 29
Rfisoludón.-
Consideraremos los siguientes conjuntos :
AF —> Alumnos que aprobaron Aritmética \ Física 
GQ —» Alumnos que aprobaron Geometría y Química 
XT -> Alumnos que aprobaron Algebra y Trigonometría 
Colocando los datos del problema en el siguiente diagrama de Venn - Eu ler:
U=100 Se observa que:
* o + c + 10 + 9 = 40 -> o + c = 21 ... (a )
* b + d + 9+10 = 3!) -* b + d = 20 ... (|5)
* c + d 10 + 19 = 48 -» c + d = 19 ... (y)
I
(« ) + CP) : a + b + c + d =4]
De (y) : a + b + 19 =41
—* n + b — 22
Por lo tanto, los que aprobaron solo 2 cursos son:
0 + 0 + 19 = 22+19 = 41 RPTA. B
30.- En un conjunto de 132 personas, se sabe que el numero de los que saben Word, Excel 
y Access es igual a: --
* 1/6 de los que saben solo Word
* 1/5 de los que saben solo Excel
* 1/4 de los que sabe solo Access
* 1/2 de los que saben Word y Excel
* 1/3 de los que saben Word y Access
* 1/4 de los que saben Excel y Access
Prohhmas dt Aiitmt'iica v como resolverlos Hernán Flores Velozco
¿Cuantos saben Word o Ex ce l?
A ) 91 B ) 84 C) 72 D) 90
Resolución.-
Sean : W : personas que saben Word
E ' personas que saben Excel 
A : personas que saben Access
Llamamos Y al numero de personas que saben Woid, Excel 
v Access y colocando los datos del problema en un diagia- 
ma de Venn - Eulci :
Luego : Gv + x + 5\ + 2\ + x + 3x + 4a = 132 —» a = G 
Por lo tanto, saben Word o Excel ‘
Gx + x + 5x + 2v + X + 3x = I 8a = 18 (G) = 10831.- En un aula de clase, a 49 alum nos les gusta la Aritm ética, a 47 el Algebra y a 53 la 
Geometría. Se sabe además que el total de alumnos es 100 y de ellos a 8 les gusta los 
3 cursos y a 8 ninguno de los tres. Determ inar:
( I) ¿A cuántos les gusta solam ente 2 de estos cursos?
(II) ¿A cuántos les gusta solam ente 1 de estos cu rsos?
A) 46; 39 B )2 4 ;3 1 C) 51; 63 D) 41; 43 E ) 36 ; 39
Resolución.-
Considerando los conjuntos:
A : Alumnos que gustan del curso de Aritmética 
X : Alumnos que gustan del curso de Algebra 
G : Alumnos que gustan del curso de Geometría
Y el siguiente diagrama de Venn - Eu ler:
En el diagrama:
*a+e + d + 8 = 49 
*¿> + e + /' + 8 = 47 ►
•c + d + f + 8 = 53
Sumando : (« + b + c) + 2 (d + e + f) + 24
-» a + b + c + 2 (d + e-+ f)
Además: o + b + c + d + c + f + ü + 8
-» ‘ (o + b + c) + (d + e + ñ
(u) - (|3): d + e + f = 4 1 
En (13) : a + b + c = 43 41 ; 43 RPTA. D
 U = 1 0 0
A(49) < . X(47)
149
125 ... (a )
100
84 ... (P)
E ) 108 
W E
( 6x,-(
i x
5x
\ ̂ \ x í \
■ / 2 x \ ' r 3xS
' j
i 4 a *
\ /
RPTA E
leona di Conjuntos 67
32.' Para una competencia deportiva de 150 deportistas se realizaron 3 pruebas (para dar 
la tercera era necesario aprobar la primera o la segunda); sabiendo que el numero de 
hombres que aprobo las 3 pruebas es igual al numero de hombres que no aprobó 
prueba algunaéiguaráfTlum er’cr&e hombres que aprpbó las dos prim eras pero ñó íá 
tercera. En el caso de las mujeres, las que aprobaron las 3 pruebas son la mitad de las 
que aprobaron la primera y la segunda y este último número igual a l de las que no 
aprobaron examen alguno.
E l número de personas que aprobo la primera o la segunda pero no la tercera es igual 
al número de personas que aprobó las 3 pruebas.
Los que aprobaron la primera y tercera solam ente es el triple del numero de hombres 
que aprobó las 3 pruebas y el número de los que aprobaron la segunda y tercera 
solamente el igual al numero de mujeres que no aprobó prueba alguna.
¿ Cuantos aprobaron las 2 prim eras pruebas ?
A ) 50
Resolución.-
B ) 40 C) 35 D) 60 E ) 70
Sean P : Conjunto de los que aprobaron la primera prueba
S Conjunto de los que aprobaron la segunda prueba
T : Conjunto de los que aprobaron la tercera pruebe»
Para dar la tercera prueba era necesario apro­
bar la primera o la segunda luego realizado una 
combinación entre los diagramas de C.uroll y 
Venn - Euler, se tiene :
El numero de hombres que aprobo las 3 pruebas 
es igual «íl numero de hombres que no uprobó 
prueba alguna e igual al numero de hombres que 
aprobo las dos primeras pero no la tercera.
En el caso de las mujeres, las que aprobaron las 
3 pruebas son la mitad de las que aprobaron la 
primera y la segunda y este último número igual 
al de las que no aprobaron prueba alguna.
Hombres
Mujeres
Hombres
Mujeres
Hombres
Mujeres
El numero de personas que aprobó la primer.i o 
la segunda pero no la tercera es igual al numero Hombres 
de personas que aprobo las 3 pruebas :
m + a + n + p + b + q = a + b -»/7? + /i+p+r/ = 0
—i m = n =/>=(/ = 0 Mujeres
T m ¿
i l
n
P b q
a
2b
6K Pmhlcmas de Aritmética v como ti solverlos Hernán Fláres Velazco
Los que aprobaron la primera v la tercera Aúla- 
münle qs el triulc del numero de hombres que 
aprobó las 3 pruebas y el numero de tos que apro­
baron la segunda y tercera solamente es igual al 
número de mujeres que no aprobaron examen 
alguno.
H om bres
Mujeres
T
[ ^ ' b ' 
o if
/ a . 
a ° \ 2b — *yo
2 b
Luego, como el total de participantes es 150 :
3a + o + c i + h + b + 2 b + a + 2b = 1 50 Ga + (ib = 150 
u + b = 2 5
Nos piden : ¿Cuantos aprobaron las do> pnmeras pruebas?
2 (« + b ) = 2 (25) = 50 RPTA A
33.- En una encuesta a 100 viviendas de un pueblo joven se obtuvo que:
* 60 casas tenían aparatos de TV a color 
*30 tenían equipo de sonido
* 20 teman VHS
*21 tenían TV a color y equipo de sonido
* 15 tenían TV a color y VHS
*16 teman equipo de sonido y VHS
¿Cuántas casas, como máximo, no tenían estos aparatos?
A) 24 B ) 32 C) 25 D) 31 E ) 18
Resolución.-
Considerando los conjuntos:
T : Viviendas que tienen TV a color 
E : Viviendas que tienen equipo de sonido 
V : Viviendas que tienen VHS
De los datos :
* a + d + e + g = 60 
* b + d + f + g = 30
* c+ e+ t + g = 20
* d + g = 2l - tf = 2 1 - g
* e + g = J 5 —> e - 15 - g
* F + g = 16 -* f= 16 -g
0 )
... 01)
.(III)
/'tona tic Conjuntos 69
En (I) . o + (21 - g) + (15 - g) + g = 60 —» a = 24 + g
En (II) b + (21 -g) + (16-g) + g = 30 -> ¿> = g - 7
En ( I I I ) : c + (15-g) + (10-g) + g = 20 -» c = g - 11
Nótese, en las deducciones hechas, que • 11 <g < 15
Además : u + b + c + d + e + f + g + x = \00
(24 + g) + (g - 7) + (g - 11) + (21 - g) + ( 15 - g) + ( IG - g) + g + x = 100
Para que V sea máximo, "g" debe ser mínimo : x . = 42 - 11 = 31
m«ix
\ = 42 -g
RPTA. D 
/
34.- En el centro de cómputo de la U.N.I. se decide analizar que coincidencias se produje­
ron en el último examen de admisión, notándose que:
' E l número de personas que aprobó solo el prim er examen es igual a l número de per­
sonas que aprobó el segundo y tercer examen.
* E l número de personas que aprobó solo el segundo examen es igual al número de 
personas que aprobó el prim er y tercer examen.
* E l número de personas que aprobo solo el tercer examen es igual al número de per­
sonas que aprobó el segundo y tercer examen.
* E l número de personas que aprobó solo 2 examenes es Igual al triple de los que apro­
baron los 3 exámenes.
S i para ingresar basta con aprobar 2 de los examenes. ¿Q ue porcentaje del total de 
postulantes fueron admitidos s i el 16% de los postulantes no aprobaron examen algu­
no?
A) 24%
Resolución.-
B ) 25,2% C) 33,6% D) 43,5%
Sea "N" el número de postulantes y los conjuntos * 
P -* aprobaron el primer examen 
S -* aprobaron el segundo examen 
T —* aprobaron el tercer examen
Nos piden : d + e + f + x
De los datos :
16% N N
* o= f + x 
* b=d+x
* c - e + \
Sumando : a + b + c= d + e + f+ 3\ 0 )
* d + e + f = 3v .... (II)
(11) en (I) : a + b + c - 3\ + 3x —» a + b + c = 6v
Ademas a + b + c + d + e + f +x + 16% N = N
Reemplazando : t»v + 3v + x + 16% N = N x = 8.4% N
Finalmente: d + e + f+ .x = ’ix + x = U = 4(8,4% N) = 33,6% N RPTA. C
70 Prohhmas de Aritmética y coma resolverlas Hernán Flores Vetazo o
PROBLEMAS PROPUESTOS
1.-Si //(A)< I y B = C Calcular el valor de :
m + n+p
A= |2/?;m)
B=|/i+ I ; 2/»i- 3)
C= {n + 5 ;2p- I )
A ) 10 B ) 11 C ) I2 D) 13 K) 14
2.- En una academia de computación se ohser 
va que todos los que estudian Pascal, es­
tudian Cobol; 15 estudian Pascal. Cobol y 
Basic; 60estudian Basic; KOestudian Cobol. 
1.a cantidad de los que estudian Cobol y 
Basic pero no Pascal es el doble de los que 
estudian solo Basic y a su ve/ e s el triple de 
los que estudian solo Cobol. ¿Cuántos es­
tudian Pascal pero no Basic?
A) 20 B ) 25 C)30 D)35 E)45
3.- En un congreso internacional de Medicina 
se debatió el problema de la Eutanasia, 
planteándose una moción :
* 115 Europeos votaron a Livor
* 75 cardiólogos volaron eñ contra
* 60 Europeos votaron en contra
* 80 cardiólogos volaron a favor
Si el número de cardiólogos europeos ex­
cede en 30 al número tic americanos de 
otras especialidades y no hubo abstencio­
nes. ¿Cuántos médicos paiticipuron en el 
congreso?
A) 300 B)200 C)350 D )3 I0 F)230
4.- En un salón hay 29 alumnos que dan los 
exámenes de Aritmética, Algebra y Geo­
metría, de los cuales solo 2 apiuchan los 
cursos y se observa que;
* l a novena parte de los que aprobaron Arit­
mética o Algebra, apiohaion Aritmética 
y Algebra.
* La onecava patte ríe los que aprobaion 
Aritmética oGcomciria, aprobaron Arit­
mética y Geometría.
* La séptima parle de los que aprobaron 
Algehia o Geometría, aprobaron Alge­
bra y Geometría.
¿Cuantos aprobaion solamente Aritmética, 
si los 29 alumnos aprobaron al menos un 
curso?
A ) 3 B ) 5 C )7 D) 8 K )9
5.- Un agente de seguridad busca a un delin­
cuente entre la multitud reunida,el cual 
según informes, viste chompa a/ul panta­
lón negro, con ojos verdes y acento ex­
tranjero. Hay 20 personas que tienen 
chompa a/ul, 15 con pantalón negro, 18 
de ojos verdes, ademas 7 con chompa a/ul 
y pantalón negro, pero no tienen ojos ver­
des; 4 con chompa a/ul y ojos verdes, pero 
no tienen pantalón negro; 6 con pantalón 
negro y o)os veidcs. pero sin chompa a/ul. 
Si las personas con una sola característica 
suman 16. ¿Cuantos interrogatorios tiene 
que hacer el agente de seguridad para ha­
llar al delincuente?
A ) 0 B ) I C )2 D) 3 E ) 4
f>.- Una empresa hace un estudio de mercado 
con miras a que tipo de leche producir . 
embotellada, enlatada o embolsada. En una 
encuesta sobre I 600 personas, los resul­
tados son ; 140 compran leche en botella. 
360 enlatada y 500 embolsada 90 com­
pran leche en botella y en lata; 62 compran 
leche en botella y en bolsa; 30 compran le­
che en botella y en bolsa pero no en lata. Si 
560 compran leche enlatada o en bolsa pero 
no en botella. ¿Cuántos compran leche en 
lata y en bolsa peí o no en botella?
A) 140 B ) 144 C)I48 D) 150 F) 160
7.- Fn una reunión de 10 personas, unos sor­
dos, otros mudos, oíros sordomudos y 
otros normales, de los cuales se lorman
Ti oí ind i Con juntos 71
grupos según sus características. Al comen- 
/ai Juan le dice a José : "Si v iencs a mi grupo 
seriamos tantos como los que quedan en el 
tuso" José no le entiende ni le puede con­
testar. Entonces Juan le dice a I uis: "Si voy 
a tu grupo, seríamos 3 y en el mío quedai i.i 
solo uno" l.uis le contesta : "No le entien­
do” . , Cuantos son mudos y no soidos?
\) 5 B )4 C )3 D) E ) I
8.- A un Congreso Internacional de Dermato- 
loeia asistieron médicos británicos, ale- 
manes y tranccscs. Hay el doble de Irán 
ceses que alemanes y estos son a su ve/ el 
doble de los británicos. Se proponen dos 
técnicas diferentes para tratar lo mejor 
posible cierta enfermedad, de las cuales 
cada medico presente es invitado a elegir.
La técnica del profesor Smilli es apoyada, 
entre otros, por lodos los británicos. Para 
la técnica del prolesor Simón hay tantos 
alemanes iavnrahlcs como Iraneescs hos­
tiles. ¿En que relación están los votos del 
Doctor Smith y los del Doctor Simón?
A) 1/3 B)2/3 C)3/4 D) 1/4 E ) 1/2 A ) B u C B ) B C )C D )$ E) B ’
11.-Simplificar• l (ArvC') B| 'rv|BL/(E- F)| 
sabiendo que:
* E c E
* C = ( A - B ) ' n ( B - A )
A) A r\ B B) A C) B D) B E) A ’
12.- Si D c (A A B ) simplificar: 
l A u B ) - l ( B - D l u ( A - D ) u ( A n B ) |
A ) A u B B) B C )D D) A - B IT)A
13.-1 (aliar C|} 1(B A C ) - (A A D)J subiendo que: 
A = { v g D / \ e B a ig C )
B = ( i e C /.v £ D v v e A }
C={.\g B / a g A v A <2 D}
D = | u C / r e B a i g A}
Nota : A B también se llama complemento de 
B relativo a A . C (B )
9.- 300 alumnos rindieron exámenes de Arit­
mética. Algebra o Cieometiía con el si­
guiente resultado:
10rA desaprobaron los 3 cursos; de los que 
aprobaron al menos uno de los 3 exáme­
nes. el 60*3 no dcsaprobaion al menor 2 
exámenes. Con respecto a los que apioha- 
ron exactamente un examen. ¿Que tanto por 
ciento representan los que aprobaron los 3 
exámenes si estos son el 20fr de los que 
aprobaron exactamente 2 exámenes?
A) 2(7'- B)25% C )35%. D)3(Fr E)l5'/r
11).- De un grupo de 70 inuieres:
* 24 tienen ojos a/ules. pero no tienen 
1 5 años.
* 8 no tienen ojos negros m a/ules y son 
mayores de 18 años.
* De las que no son mayores tic* 18 años, 
14 no tienen ojos negros ni a/ules.
Cuántas quineeañera.s tienen o|os a/u­
les. si ellas son la tercera parle de todas 
las que tienen ojos negros?
A) 4 B) 5 C)ft D) 7 1 ) 8
14.- Sea U = { a / i g % } definimos el operador 
matemático 'donde x'■ indica el máxi­
mo múltiplo de 3 menor que i. l eñemos:
A = ' s~_+ 1 + 1 3 / i g N a 2 < a < 6
B= (l.\ +2j/ i g N a i <9}
/.Cuantos elementos tiene (A O B)7 
A ) 2 B ) 3 C )4 D) 5 E )6
15.- Dados 3 conjuntos A : B y C donde los 2 
últimos son disiunlos, se establecen las 
operaciones que se indican a continuación:
A v j B = {-I ,0 ; I ; 2 ; 4 : 6 }
A vj C = {-1 ; 0 ; 2 ; I ; 3 ; 7 ; 8 }
B*= {-2 - 1 ;2;1.5:7.8:9) 
iA u B l/ C )‘= {-2 :5 ,9 }
A n C = |2|
, C’iiántos elementos tiene (A cj B ) - (B v jC)?
A) I B ) 2 C) 3 D) 4 E ) 5
72 Pioblcimts tlt Aiilnn'lica v mino iv\otva!o\ Hernán Flores Veiazco
16.- Sea ■ A = {<ib„ / ti < b < 15 a // = 2o} 
¿Cuantos elementos tiene A?
A) 100 D) 1 1(1 C ) I I5 D) 120 F.) 150
17.- Se sabe que los siguientes operailoies 
matemáticos indican-
" a h - o . h + b
* u 1* fj = a . b - a
Teniendo.
F = { ü /, / « . / # € / a 2 < o . b < 5 J
I= | ¿ / a ; b e / a 2 < u : b < 5}
/Cuantos elementos tiene F A I7?
A )3 U) 4 C )S D )ft F ) 7
18.- Paia .3 colijamos A ; B > C tenemos que ■
* h i A ) = 20 i/ (B ) = 40 ;i (C ) = 29 
‘/i(BnC)= 12 ;/(AnC)=IO ;i(AnB)= K
* n |(A u U u U j I = 11 (A n II n C) 
* / / | ( A u l l u ( ' ) | = 6 l
llallai . 11 | ( C u »)- Al 
A ) 48 B) 50 C)41 D) 52 l:)56
19.- Fn una asamblea comunal participuion 
400 vecinos; el numero de limeños 
gobienastas era igual a:
* 1/4 del númeio de los que no son li 
moños ni gobiernistas.
* 1/10 del mima o de límenos
* 1/3 del mimerodc gobiernistas 
/.Cuantos limeños no son gobiernistas?
\)2(X) B) 175 C)225 D)2I5 I*) 235
20.- F 11 un.i población el 45f-í de los habitantes 
leen las icvisias A >/o B pcio 110 las dos a 
la se/, el 50T no lee la rev isla A. el 75‘3 
no lee la icvista B v 4 800 personas leen 
las revistas A v B. /Cuantos habitantes 
hay en la población?
A) 32000 B)40(XX) C)42(Xk)
D)45tXX) l:)4S(Xx)
21.- F 11 una población se determinóque el 30f3 
de los habilauies usan an(eo|os y el .SO'! 
de los hahuanics Iliman Si la suma de los 
que solo Iliman y de los que solo usan 
anteojos es el 44S de las población y que
17 100 habitantes no turnan ni usan ante­
ólos. ¿Cual es el mima o de habitantes de 
dicha población?
A ).35(XX) B) 36(XX) 040000
D ) 4 5 t X X ) F ) 4 8 ( X x )
22.- F 11 una votación paiticipan 600 diputa­
dos. 300 de ellos gubernamentales ropio- 
scntanlcs ilc los disiiiios del sin. votaron 
a lavoi de l.i pioposición. 25 diputados 
de la oposición representantes de los dis­
tritos norteños voiaion en confia. Fnlic 
los diputados que tomaion parte en la 
votación los gubernamentales supcian en 
98 .1 los de oposición. De los volantes.
I 35 icpresentan a los disiuios norteños.
18 diputados gubernamentales vol.uon en 
contra de la pioposición: 11)2 diputados 
noiteños votaron poi ella I a votación lúe 
aprobada poi 310 votos de margen. /.Cuán­
tos sureños votaion en contia de la pio- 
posicion?
A ) 98 B ) I 0S C) 112 D) 117 1)121
23.- Fn la maternidad se observó que de las 47 
personas presentes : 29 eran hombies. de 
los cuales 19 no cían may oies de edad, si
II peísouas nacieion hoy. y las mujeres 
mayores de ed.id son lanías como las 
menores de edad, de estas las que no 11a- 
cieion hoy repiesentan el 20'á del nume­
ro de liomhics m.iyoies de edad ¿Cuán­
tos hombres menores de cd.nl no nacie­
ron hoy/
A) 10 B) 15 0 20 D) 25 F) 30
24.- Se I11/0 una encuesta cntie 4S0 peí solías so­
bre el control de natalidad, observándose :
* La canlid.nl de solteros cncucstados 
es a la de casados como 3 es a 5
* Fa cantidad de quienes dieron su opi­
nión a lavor es a la de los que opina­
ron en contra como 7 es a 5
/í f i n a t ic C o n f in i to s 73
* Filtre Ion que opin.uon a favoi . I.i can­
tidad de varones casado*. es igual a la 
de iuu|eres solleías.
‘ l a cantidad de mujeres casadas que 
opinaron a lavores la tercera parte de 
los v aioncs casados que opinaron asi.
* Futre las mujeres casadas las que opi 
liaron a lavor son la mitad de las que 
opinaron en contra.
* Filtre los solteros que opinaron en coli­
na la cantidad de mujcics excede a los 
varones en 12.
* 42 varones solteros o|nnaron a lavoi. 
/.Cuantas mujeres solteras están en contra?
20 B ) 22 C)23 D)24 H)25
De un grujió de 80 estudiantes:
* Iodos los varones tienen masde 22 año.s
* 40 mujeres hay en el grupoy 25 son casados 
y I 6 estudiantes casadi »s tienen mas de 22 años 
“ lOmiijei es casadas tienen más de 22 años
* 60 estudiantes tienen más de 22 años
Sin considerar a las mujeres mayores de 
22 años, no se casaron "t" estudiantes 
Hallar "v":
25 B) 30 C) 35 D) 40 F)45
- Fn un seminario jxirtiei|ian Agrónomos, 
Ahogados y Feonomistas. De estas per­
sonalidades se sabe que:
* 20 tienen 2 prolesiones. 12 de estos 
son mujeres.
* No hay Abogados que son también 
Agrónomos.
* Hay igual número de Agrónomos - Eco­
nomistas. Abogados - Feonomistas, así 
como solo Abogados en el caso de mu­
jeres como de hombres.
* Hay tantos Feonomistas hombres 
como Agrónomos mu|crcs
* Hay tantos Feonomistas mujcics 
como agrónomos hombres.
* Hay 30 economistas.
(Cuantos Ilumines existen con una sola 
prolusión?
A ) 18 B ) 20 C)24 D) 25 F)28
27.- Fn un aula de 05 alumnos, se tomo 3 exá­
menes A . X y (¡ lili los resultados se 
observo que linios ajiroharon por lo me­
nos un examen, ademas:
* 21 nui|crcs aprobaron A. 16 de estas 
apiobaioii \
* 25 imi|ci cs apiobaron un solo examen. 
7 ile estas apiobaron A.
* De los que a|irohaion 2 exámenes úni 
cántenle : en el grupo que no aprobó 
A l o s hombres cían 4 más que las mu­
leles, mientras que en los otros 2 gru­
pos hubo empate entre ellos y ellas, 
además 5 mujeres no aprobaron A.
* Fn el grii|>o ijue aprohó los 3 examenes, 
ellas eran 2 mas que ellos.
(.Cuántos homhics aprobaron exactamen­
te un examen?
A ) 24 B ) 21 C ) I8 D) 15 F ) 12
28.- De un grupo de 64 damas de una oficina, 
se observo lo siguiente:
* 25 son simitálicas.
* 36 son blancas.
* 1 2 son solo blancas.
*8 son blancas, smi|'Miicas con ojos a/ules.
* 18 no tienen estas características
Ademas se sabe que todas las damas de 
ojos a/ulcs son blancas ¿Cuantas damas 
son blancas v simpáticas, que no tienen 
los ojos j/ules?
A ) 4 B ) 5 C ) 6 D ) 7 E ) 8
29.- Se sabe que de un total de 660 personas 
que toman W hisky ; Ciin o Vodka; 210 no 
toman Whisky, 180 no loman Gm y 190 no 
loman Vodka; ademas los que no toman 
solo uno ile estos tragos es la mitad de 
los que loman Vodka. ¿Cuántos toman 
\Vhisky. Vodka > Gln■,
A ) 3 B ) 4 C) 5 D) 6 H)7
74 Piohlcnuis de AnimcUca \ como resoíwrtos Hernán Flores Velazco
30.- De un grupo de músicos que locan gmta- 
rra. mandolina ochaiango se sal)c que la 
séptima parte tocan solo guilana. la sexta 
parle locan solo mandolina, la diferencia 
entre los que tocan solo guitarra y los que 
tocan solo mandolina locan solo 
chamuyo Si además 84 locan por lo me­
nos 2 de esios instrumentos. t Cuántos 
tocan solo mandolina?
A) IX B ) 21 0 2 4 D) 27 L)3()
31.- fin el populoso distólo de Comas de 200(X) 
hahitanlcs \c reeoyio los siyuiemes da­
tos
El 8091 loma café, el 42.5% toma té y el 
10% loma leche, cntic los que toman calé, 
el 35* > también loma le y el 8** loma le­
che; el 85% de los que loman leche tam­
bién loman té* y solo el 5% de la población 
loma leche, café y te. ¿Cuántos habitan 
tes no loman leche, cale ni té?
A) 1050 B) I OSO C) I 120
D) I ISO E) I 210
32.- De 500 postulantes que se presentaron a 
la UNI y/o a La Católica. 300 lo hicieron a 
La Católica, igual número a la UNI. ingre­
sando la mitad del numero total de 
postulantes; los iki ingresantes se pre­
sentaron a San Martin: de estos. 90 no se 
piesentaron a la UN I y 130 no se presen­
taron a I .a Católica. < Cuántos postulantes 
ingresaron a la UN I y a La Católica7
A) 55 B l 60 0 6 5 D)70 h)75
33.- "Blanquila" comenta ; el 70' r de los prole- 
sores son simpáticos, el 70% tic los profe­
sores son excelentes y ademas el 70% de 
los piolesoics son jovenes. /Cual es. 
como mínimo, el porcentaje de prolesores 
excelentes, simpáticos y lóvcnes?
A)K% Biin% C) 12* < I)>I5% | ) ! 6'v
34.- Al revelarse los resultados de una encues­
ta a cierto numero de personas, se supo 
que la tercera paite tomaban solamente; 
la sexta parte solo fumaban . 36 fuman, lo­
man y van a discotecas. Ademéis la canil
ilad de personas que van a discotecas 
peto no loman ni luman es igual a la 
semidilerenda entre quienes solo loman 
y solo luman. lamhien, el numero de per­
sonas que lidien exactamente dos de es- 
las costumbics es el dohlc de los que solo 
van a discotecas. Averiguar cuantos solo 
toman o solo luman (todos luman. loman 
o van a discotecas).
A ) 36 B) 18 C) 6() D) 72 b)84
35.- De un conjunto de deportistas se observa 
que 45 pi.icdcan basque! v 48 voley. l a 
cantidad de hombres que practican solo 
hasquel es el triple de la cantidad de mu­
ja es que pracucan hasquel y voley; esta 
última es la mitad de la cantidad de hom- 
hics que únicamente practican volcy. La 
cantidad de mujeres que practican solo 
voley excede en 2 a la cantidad de hom­
bres que practican hasquel y voley. mien­
tras esta cantidad es el doble de la canti­
dad de mii|cres que solo practican 
hasquel. ,.Cuál es la dilcrcncia entre la 
cantidad de hombres y mujeres/
A ) 10 B) 12 C) 15 D) IX E ) 20
36.- Para el inereso a la U.N.I. en el año I 996 
se inscribicion 8 440 estudiantes. De los 
que aprobaron alguno de los 3 exámenes 
asuma los siguientes datos;
* 10% de aprobados en solo 2 examenes
* 30‘ i de api ohmios en el primer examen
* 60% de aprobados en el segundo examen
* 60% ilc aprobados en el tercer examen
Además sabemos que el 10% no aprobo 
examen alguno con respecto a los estu­
diantes que aprobaron solo un examen 
¿Cuántos estudiantes nproharon los 3 
exámenes, si estos representan el 11 1/9% 
de los que aprobaion al menos 2 examc 
lies?
A)260 B) 350 C)400
D)480 h)S40
3Pr^ l
U J ,
SISTEMAS DE 
NUMERACION
3 A NOCIONES PRELIM INARES
3 1 A NUMERO
idea o abstracción de un<t cantidad observada en la realidad concreta.
3 l.B NUMERAL
Símbolo empleado pata representar un mímeio. Es como un vehículo para comunicar 
ideas de tumieros. Por ejemplo, algunos numerales para representar al numero cinco son1
5 ; V ; 1MT ; cinco ; 2J + 1 ,3^- 2 ’ etc.
3.1 .C ORDEN
Lugar o posición, contado de derecha a izquierda, que ocupan una citra dentro de un 
numeral. Por ejemplo:
7 6 2 5 8 
i i A A
I ' 'orden u orden 0
— ------- 2'*° orden u orden i 1
-— 3*'r orden u orden 2
4‘° orden u orden 3 
 5 '° orden u orden 4
3 I D SISTEMA DE NUMERACION
Conjunto de símbolos, reglas y nomenclaturas que rigen la expresión de los cardinales 
de un conjunto.
3 1 E BASE DE UN SISTEMA DE NUMERACION
Es un numeral refcrencial que indiea como deben agrupaise las cantidades para for­
mar l.«s órdenes de un numeral en cierto sistema de numeración.
Ejemplo I : S i se tuviera 27 bolitas; para representar esta cantidad en el sistema de
base 6, se tendría que agrupai de 6 en 6, es deiii :
I..J : ; o J c o o o on* o o o o o o
c _ o oN . . o o o o o
De donde si* tiene 4 grupos de 6 v 
subían 3, lo t nal se expresa asi
43.
76 Problemas de Ai itmetiia v amia re xolvrrUn Hernán Flores Velozco
Ejemplo 2 : Para representar 33 bolitas en el sistema de base 14 se agrupa de 14 en 14. asi.
£ * © 0 o © o o o 0 0
© © C- o © c 0 O ;. o o
O O o o o 0 0 o o o o •xpiesa; 25 11
Ejemplo 3 : Si se desea expresar 25 en el sistema de base 4, debe agrupaise de 4 en 4 en 
forma sucesiva, es decir -
1 O
¡ 9
l O
o o ■Xo \ c
o o O 1 o
0 o ° ’í *
l os_ 6 o o ! oo c o r-* o
Temltemos enlom es un grupo 
de lü (4-). 2 grupos de I y so­
bra 1 . lo que se escribe :
121,
Ejemplo 4 : Para expresar 36 en el sistema de base 13 se agrupa de 13 en 13. así tenemos:
O O O O O O O O O
o o o o o o o o o o o ^
O O © O O O o G O o O O
3.2 CONSIDERACIONES IMPORTANTES
1.- La base de un sistema de numeración debe ser un numeral entero v mayor que I; en 
consecuencia, existen infinitos sistemas de numerarion, siendo los principales :
Base Sistema de Numeración Cifras que utiliza
2 Binario o Dual 0 ; 1
3 Temario 0 ; 1 .2
4 Cuaternario 0 , 1 , 2 . 3
5 Quinario 0 . 1 , 2 , 3 ; 1
6 Senario o 1 lexanario 0. 1 , 2 ;3 ; l ; 5
7 Heptanario 0 ; 1 ; 2 ; 3 ; l ; 5 ; 6
8 Octanario 0 , 1 ;2 ; 3 ; 4 ; 5 , 6 ; 7
9 Nona rio 0 , 1 ; 2 ; 3 ; 4 , 5 ; ( i ; 7 ; 8
10 Decimal o Décuplo 0 ; 1 ; 2 ; 3 ; 1 ; 5 ; ti ; 7 ; 8 ; 9
11 Undécima! 0 , 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 7 ; 8 ; 9 ;»/.
12 Duorlecim.il U. 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 7 ; 8 ; 9 ; « ; | J
Donde notamos que hay 
2 grupos de 13 y sobran 
10 que se representa por 
"a." \ se escribe
Otros sistemas utilizados son el hcxadecimal (Base 16) y el vigesimal (Base 20)
Sistema ile \iuih iani>n 77
Con frecuencia se estila utilizar las siguientes letras para denotar algunas cifras :
i Alfa 
Bella 
Gamma 
Delta: 
Fpsilon :
u o 10 
<> 11 
Y <> 12
5 <> 13
F <> 1 1
Además / o 15 
8 <> 10 
h <> 17 
i < > 18
2 - L i liase de un sistema de numeración siempre es mavnr que cualquiera de las cifras que 
se iis.ni en dicho sistema; esto permite determinar si un numeral esta trien o mal esc rito, 
por ejemplo :
4 2 6 5 2r Numeral mal escrito
37 19* 
3 1 4 27
5 1 6 4 3,Ir
3 7 I 9 412
6 1 5 P 3m
Numeral mal escrito 
Numeral bien escrito 
Numeral mal escrito 
Numeral bien escrito 
Numeral mal escrito
3.- En el sistema de numeración de base "n" se dispone de n“ cifras para representar a tocios 
los números, como puede observaise en el cuadro unterioi. la mínima cifra es ceio y la 
máxima es menor en 1 que la base del sistema de numeración.
4 - Toda cifra que forma parte de un numeral tiene 2 tipos de valor:
a.- Valor Absoluto (VA) : Aquel que la cifra toma sólo por forma v figura, independiente
de la base, ejemplo :
N = 7496 NL = 3 5 4 6„
VA (7) = 7 
VA (4) = 4 
VA (9) = 9 
VA (6) = 6
VA (3) = 3 
VA (5) = 5 
VA (4) = 4 
VA (6) = 6
b.- Valor Relativo (VR) : Aquel que depende del lugar que la cifra ocupa en el numeral;
por ejemplo
N = 7 496
101VR (7) = 7 
VR (4) = 4- I02 
VR (9) = 9 -10' 
VR (6) = 6 • 10° 
En general:
N = 354 6.
VR (3) = 3 - 8 ’ 
VK (5) = 5 - 82 
VR (4) = 4 - 8 ' 
VR (6) = 6 * 8°
VR (cifra) = (cifra) (Base)* Donde vli” e.\|)resa el número de cifras que quedan a la dere­
cha de la cilra analizada.
78 PrahUmas tic Ai innchca v como resolverlos Hernán Flores Velozco
3 2 A DESCOMPOSICION POLINOMICA DE UN NUMERAL
Consiste en expresar a un numeral mediante l.i suma de los valores relativos di» cada 
una de sus cifras
Cjeinplus :
* 6 5 7 3 = VR (6) + VU (5) + Vl< (7) + VR (3)
= 6 ♦ IO1 + 5 • 10" + 7 • I0 1 + 3 ■ 10“
* 3 5 2 7,, = VR (3) + VR (5) + VR (2) + VR (7)
= 3-9* + 5 y2 + 2-9 1 + 7-.!)"
* 3 24 02r> = 3-5 1 + 2-5:i + J - 5 ’ + 0 5* + 2 - 5 °
* I 6 2 a 3i2 = 1-12'+ Ü-I2J + 2 • !2¿ + 10 - 12' + 3 - 12"
3.3 REPRESENTACION LITERAL DE NUMERALES
* Numeral de 3 c ifras de base "n ":
abe,, = o./r + b n + c
* Numeral de 4 cifras del sistema decimal :
rncdii = rn . 1 0 J + c . 1 0 J + i l . 1 0 + 11
* Numeral de 3 cifras riel sistema heptanano :
mnpj = m . 72 + n . 7 + p
* Numer.il capicúa : Es a<|uel cuyas cifras equidistantes del centro son iguales ,y 
se les reconoce porque su escritura y leetma de i/cjuieid.r a derecha es igual que de
derecha a izquierda
Capicúa de 2 rtlras • na 
Capicúa de 3 cifras : aba 
Capicúa de 4 cifras . abba 
Captcua de 5 citras abrba 
Capicúa de 6 cifras • ab u lia
3.4 CAMBIOS DE BASE
Caso I DE BASE DIFERENTE L)E 10 A BASE 10.
Ejemplo : Coni'erlu 2 6 7 4 del sistemo de num eración octonaria a l .sistema de mime 
ración decimal.
S is te m a i le N ú n u i l ic ió n 7 9
• Por el método de la descomposición canónica :
2 ü 7 4g = 2 ■ b3 + C + 7 8 + 4
= 2(512) + 6(61) + 7(8)+ 4
= I 024 + 384 + 56 +4
= 1 168
2 6 7-1,,= 1 468
* i» ,Por el método de Rulfini
8
I
▼
(* B)
6
(+ )
16r
22 l*
B) -
7
(+ )
176
183
4
(+ ) 
1 464
B)
2 6748 = I 468
Taso Jl • DE BASE 10 A BASE DIFERENTE DE 10 
Ejemplo : Convenir 7 426 a! sistema de numeración nonario 
* Pór el método de las Divisiones Sin esivas ;
1 468,T
7426 9
925 . 9
1 I 1 0 2
7' I
9 
I I 9
1
7 426 =1 2 3 7 1,,
Caso III • DE BASE DIFERENTE DE 10 A BASE DIFERENTE DE 10. 
Ejemplo : Convertir 3 5 2 67 al sistema de ntim enuión undécima!. 
Paso I : Convertir 3 5 2 6? al sistema decimal (Caso I).
• 3 5 2 G7 = 3 71 + 5 • 7¿ + 2-- 7 + 6
= 3 (343) + 5 (49) + 2 (7) + 6 
= 1 029 + 245 + 14 + 6 
= 1 294
80 Problemas di Aritmética \ como resolverlos Hernán Flores Velozco
Puso 2 : Convertir I 201 al sistema tle numeración niHiecim.il (Caso II)
* 1 294 1 1 
1 1 7 1 1
10
v7,
3 5 2 6? = (i 7 7m (u : Diez)
3.5 CASOS ABREVIADOS DE CONVERSION
Caso I : DE BASÉ n" A RASE "rí'" (/fe /*).
Se divide al numeral de baso "n" en grupos de 7?" cifras (comen/ando por la derecha) y 
luego a cada grupo se le convierte directamente (mediante descomposición polinómica) al 
sistema de base Vi*".
Ejemplo : Cuni erlir 10100110101 l i l i 00011, al sistema octonario.
De base 2 a base 8 = 2‘5 ( n = 2 a k = 3)
Por descomposición 
polinómica
1 0 1 0 0 1 1 0 1 0 1 I 1 I 1 0 0 0 1 1
t
5
T
7 4
?
3
10100110101111100011 , = 2 4 (i 5 7 4 3„
w
Caso II ; DE BASE Vi*” A BASE Vi" (/» e 7*).
A cada una de las cifras del numeral de base Vi*" se les convierte directamente (median­
te divisiones sucesivas) al sistema de base"/?" teniendo cuidado de nbteiiei grujios de k" cifras 
por cada cifra convertida (los grujios incompletos se llenan con ceios a la izquierda)
Ejemplo : Convertir 6 4 2 073 al sistema (le numeración binai io.
De base 2i a base 2 (ir =2 a k = 3)
6 4 2 6 7 3I
I T I T T Í
A .
1 1 0 1 0 0 0 1 0 1 1 0 1 1 1 0 1 1
6 4 2 6 7 3^= 11010001011011101 \ ¿
Sistema de i\ tana ación 81
3.6 PROPIEDADES D E LA NUMERACION
1 - Toda base es ma\or que oualquicia de sus cifras.
BASE > CIFRA
* CIFRA MAYOR = BASE 1
2.- Si un numero se expresa en dos sistemas de numeración, se c umple que ¿
«A iiiaxor representación aparente le corresponde menor base y-viceversa*
POi ejemplo, en la igualdad • a b e d 4 = tuiip^
Poi tener un mayor numero de cifras, se provee que : abed > ntnp
=> x < v
3.7 CONSIDERACIONES FINALES
I.- Para convertir al mayor numeral de "k" cillas de b.ise n al sistema decimal se puede utilizar 
la siguiente relación :
(n - l)(«- l)(n - l)...(n - l)n=r7 -1 
"k ” cifras
Ejemplos : * G 6 6? = 7J - 1 = 343 - 1 = 342
* 5 S 5 5 = 61 - 1 = 1 296 -1 = 1 295h
* 3 3 333 = I- - I = I 024 - I = I 023
2.- Para bases suecsivav, o bases tle bases, puede usarse*
lo.
\b_
le
= n + {a + b + c + ... + x )
Ixn
Ejemplos : 1619
15
11
17
= n + (b + 9 + 5 + 4 + 7) = n + 31
* x 1515
15
24
= x' + (5 + 5 + 5 + ... + 5) = x + 120
v
24 sumandos
15
veces \
S2 Problemas de Aritmética i t emía resalía los Hernon Flores Velazco
pRoait'M as R esu elto s
1.- S i los siguientes numerales están correctam ente escritos:
n32qm ; p21n ; n3m $ ; 1 211p 
Calcular el máximo valor de (m + n + p + q).
A) 13 B ) 14 C) 15 D) 16 E)17
Observando convenientemente las desigualdades en cada numeral, se lendra :
n32qm
II
n < m 
De donde
Además .
p2\n n3m G 1211,,
II II II
p < n rn < 6 2 < p
2 < p < n < m < 6
i i i 
•3) 4 5
q < m —» q < 5 —» El mayor valor de q es 4
(jn + n + p + q) = 5 + 4 + 3 + 4=16 RPTA Dv • r/inrn
2.- E l mayor numeral de 3 cifras diferentes de cierto sistem a de numeración se escribe en 
el sistem a senario como 313. D arla base desconocida.
A) 4
Resolución
B ) 5 C) 6 D) 7 E) 8
Considerando a V como la base desconocida, del dalo del problema se deduce que el 
mayor numeral de tro* cifras es de la forma :
(/ i- l ) (n-2 ) (n-3)„ = 3l3r>
Por descomposición polinomica :
(n - \ ) ri2 + (n -2) n + n - 3 = 3 • 6“ + I ■ 6 + 3
Efectuando • r?1 - n2 + n2 • 2n + n - 3 = 108 + 6 + 3
Luego: n* - n = 120
Factori/ando : n (//+ 1)(//-!) = 120
4 5 6
Entonces : n - 6 RPTA C
Sistema de Numeración 83
3.- Un numero se representa por 281 y 353 en dos sistem as de numeración cuyas bases 
son dos números enteros consecutivos. Indicar el número en base 10.
A ) 305 B ) 255 C) 303 D) 403 E ) 235
A
Ri^ol.uümi-
Si las bases son n v n + I, entonces recordando que a mayor escritura corresponde menor 
base, de acuerdo con los dalos se tendrá :
N = 281 , = 353H+1 II
Aplicando descomposición polinómita ;
2 (/?+ I )2 + 8 (n + I ) + I = 3n¿ + 5/7 + 3
Efectuando 2 (n2 + 2/7 + I) + 8 (// + I) + I = 3n2 + 5/7 + 3
2/72 + 4/7 + 2 + 8/7 + 8 + 1 = 3/72 + 5/7+3
8 = /72 - 7/7
I * 8 = /i (/? - 7 ) —» // = 8
Luego, convirtiendo ,\l a liase 10 N = 353H = 3 • 8" + 5 • 8 + 3
N = 235 RPTA E
4.- Determine el valor de(a + b + c) s i se cumple que:
5 n o , = ab e 5 „t n
j ) 7 B ) 8 C) 9 D) 6 E ) 5
Resolución.-
5/707 = abe 5
jl
n < 7 5 < /i
Vinculando las desigualdades : 5 < n < 7 —> // = 6
Entonces el dato qued.irá : 5ü07 = abe 5^ ... (I)
Para c<ilcul<ir a , b y c convertimos al numeral 50G7 «d sistema de liase 6 :
♦ 5G07 = 5 - 72 + 6 • 7 + 0= 245 + 42 + 0 = 287 +- Base 10
6
47 6
7 6 * 5ü07 =1!55g . . ( I I )
5 1
1
287
5
V
84 Prohtcnuis tic Ariimtlica v ionio n solverlos Hernán Flores Velazco
De (I) > (II) o - I b = I c = 5
a + b + c = 7 RIMA A
5.- Calcular el valor dea + b , si se cumple que :
a b b b 6 = 5bag
A) 3 B ) 4 C) 5 D) 6 E) 7
Resolución
abbbh = 56 crR
IVir descomposic ión polinnmica : u • 6 5 + b (i2 + b - (i + b = 5 • 8J + b - 8 + u 
Efectuando operaciones . 2l6ci + 366 + fió + b = 320 + 86 + 0
215c; + 35/; = 320 
13c; + 76 = fi4
Dando valores c; = I a b = 3
a + b = 4 RIMA. B
6.- Hallar el valor numérico de a + b, s i se cumple que:
10ab6 - ab7g
A) 5 B ) 8 C) 9 D) 10 E ) 12
Resohjcion -
I Uc;6 . = ob 7U o «
Por descomposición polinomica : I • (i1 + o- G + 6 =c;-8J + 6 - 8 + 7
Efectuando operaciones 216 + 6ri + b = 64c; + 86 + 7
20!) = 58o + 7b %
Dando valores : <; = 3 a 6 = 5
c; + 6 = 8 RPIA B
7.- Sabiendo que : 23ag = 27bn= 36ap 
Determinar el valor de : b - a + n + p
A) 17 B) 18 C) 19 D) 20 E) 21
Sistema eU \mnenicion 8
Resolucion.-
Del dato se liene que : 23a9 = 27bn = 36a
J1
6 < p
* Como el uuiueral de base "p" tiene mayor representación que el de liase "n” : p < n
* Adornos el numeral de base ’Vj" tiene mayor representación que el de liase 9, entonces 
n < 9
\ inculando las desigualdades 6 < p < n < 9
i i
7 8
Entonces, el dato del pioblema quedaiá : 23o,, = 27/iH = 36«7
v
(I)
Por descomposición polinomica en (!): 2 • 92 • 3 • 9 + o = 2 • 8J + 7 • 8 + b
189 + íí = 18*1 + b 
—> b-a =5
b - a n + p = 5 + 8 + 7 = 20 RPTA D
8.- H allar: x + y + m
S i: 2 312 =238,, = 3x yw 12
A) 10 * B ) 11 C) 12 D) 13 E ) 14
Resolución.-
2 312f|j = 238I2 = 3 v y ...(I)
Para calcular x ey s c convierte a 238,2 al sistema decim al:
* 238|Z = 2- I22 + 3- 12 + 8 = 288 + 36 + 8 = 332 ...(II)
De (1) y (II): * = 3 a y = 2
También , trabajando con : 2312m = 332
Por descomposición polinomica : 2m 3 + 3m l + m + 2 = 332
Efectuando : rn (2rn¿ + 3m + I) = 330
m {'¿m + I) [rn + 1) = 330
5 6 11
De donde * m = 5
x + v + m = 10 RPTA. A
86 Problemas de Aritmética v como usolvi ríos Hernán Flores Vetazco
9.- ¿Cuantos números de la forma ab a existen en base 14 tal que al ser convertidos al 
sistema de base 7 se escriben como bbaa ?
A) O B) 1 C) 2 D) 3 E) 4
Resolución.-
Por dato: obo,, = bbao1
De aqui se deduce que : a < 7 a b < 7)
Descomponiendo polinoiniramcntc : a • 14* + b • I I + a — b • 7’ + b 72 + a • 7 + o
I ‘)íki + 14b + a = 343b + 49b + 7a +■ a
-4 189o = 378b
-» a = 2b
Dando valores :
* Si b = 1 -> n = 2 —> í/bftj | = 2 12 ,,
* Si * :siII•o —> u = 4 —> obo, 1 = 421„
* S i: II■c —* a = G —> u bax, = 63Gm
Existen 3 números RPTA D
10.- S i se cumple que: a89m - 81mn = 6m pJ2 
¿C ual es el valor dea + m + n + p ?
A) 31 B ) 33 C) 35 D) 27 E ) 24
Resolución.-
o89 m = 8 lw r| = G m py¿
9 < m m < n
Como el numeral de base tiene mayor escritura que el numeral de base 12, entonces por 
propiedad: n < 12
Luego, vinculando las desigualdades : 9 < ni < n < 12
1 l 
10 I I
Entonces, el dalo del problema quedará • o89 = 8 I«,, = 6a p ,2 
Por descomposición polinómica:
o - 10-+ 8 - 10+ 9 = 8 -I I 2 + I • I I + 10 = G - 12¿ + 10- \2 + p
Si sh nut de Huma ación 87
100o + 89 = 989 = 984 + p 
De donde : a = 9 a p = 5
a + m + n + p = 35 RPTA C
11.- Calcular el valor de (a + b + n ), s i:
aa07 = t>abg
A) 13 B ) 14 C) 15 D) 16 E ) 17
Resolución.- __
(ja 07 n = 6 o 6 ,j
8
7 < n
Como el primer numeral tiene mayor representación que el segundo, deducimos que : n < 9 
Luego al vincular las desigualdades se tendrá : 7 < o < 9 —> / i = 8
De donde se puede deducir que : a o 07B = bub
Por descomposición polinómica : a • 83 + a • 82 + 7 = 6 • 92 + a • 9 + b
Efectuando operaciones : 512o +G4o + 7 = 816 + 9o + b
576o + 7 = 82 b + 9o
567o W = 826
QO/j
Dividiendo entre 7 * 81o + I = ... (*)
De donde observamos que: 6 = 7
Reemplazando en (* ) : 81o + 1 = 82 -+ o = I
o + 6 + o= 1 6 RPTA D
12.- S i se cumple que: ab c3 s = x x x7 ; entonces el valor d e : a + b + c + x , e s :
A) 10 B ) 12 C) 6 D) 9 E )5
Resolución -
o6c35 = x x x 7
Descomponiendo polinomicainente y en forma conv eniente cada miembro de la igualdad , 
se puede establecer que :
o6 c5 .5 + 3= jr .72 + j r .7 + x 
o6 c5 . 5 + 3 = 57a ... (I)
Como el producto de abc5 . 5 solo puede terminar en 0 ó en 5, entonces al observar la
relación notamos que : 57 . x , puede terminar en 3 6 en 8.
57 x — ... 3 —i \ = 9 (Imposible poi estar en base 7)
57 x = ... 8 -> a = 4
En (1): . 5 + 3 = 57 • 4
—» oüc^ = 15 
Comidiendo 45 al sistema de base 5
45 5
9 5
45
0 I
v 4
De (II) y (III) • o = l . b = 4 a c = 0
a + b + r + a = 9 RPTA. I)
13.- Calcular (a + b + ri) en : 1 1 0 5n = ab a 7
A) 11 B ) 12 C) 13 D) 14 E ) 15
Resolución.-
En primer lugar notamos que : 5 < n
Ademas, como en la igualdad dada el numeral de base >i" tiene más cifras que el numeral de 
liase 7 , podemos establecer que :/i < 7
Entonces de ambas desigualdades deducimos que * ri = 6
De este modo la condición del problema quedará asi : 1 10 50 = a b a 7 ... (I)
Para calcularoybse convierte al numeral 1 10 5, al sistema de base 7J (j
* 1 1 0 5 = 1 ■ 63 + I • G2 + 0 - 6 + 5u
= 216 + 36 + 5 = 257 <- Base 10
* 2 5 7 7 Es decir : 1105(. = 515? ... (II)
j 36 | 7
.5) ¡ -5)
1 - !
8K Problemas de A n ím ela (t \ como nso lve ilos Hemon Flores VelOZCO
(ID
 OID
De (I) v (II) : ti = 5 a b = 1
ci+ í#+/i= 12 RPTA B
Sistema ile Numeración
14.- Sabiendo que: ab4 n = b1 n 6 ; ca lcu la r: a + b + n
A) 10 B ) 11 C) 12 D) 13 E ) 14
Resolución.-
«64 „ = b 1 n ,n 0
A partir de la igualdad notamos que : 4 < n a n < G * // = 5
Luego, la expresión queda . rí^ 5 =
Y ahora por descomposición polinomica :
o . 52 + b . 5 + 4 = b . 0 ' + I 6 + 5
Efectuando ; '¿Tur = 31 b + 7
Dando valores ; a = 1 a b — 3
o + ó + n= 12 RPTA. C
15.-S i: 4{b+1)3 6 = bbb4 n ¿C u ál es el valor de "b "?
A ) 1 B ) 2 C) 3 D) 4 E ) 0
Riisulurión -
4(6+1)3 6 = 6664 n (*)
4 < n
Como el primer numeral tiene menor representación que el segundo, deducimos que : n < 6. 
Vinculando las desigualdades tendremos : 4 < n < 6 —> o = 5
Reemplazando en (*) : 4(6+ 1)36 = 6664 5
Por descomposición polinomica :
4-G2 + (6 + I ) G + 3 = 6 - 53 + 6 - 52 + 6 - 5 + 4
Efectuando; 144 + G6 + G + 3 = 1256 + 256 + 56 + 4
153 + 06 = 1556 + 4 
149 = 149.6
6 = I RPTA A
16.- S i se cumple que: ab7cdm = 7 607g. hallar el valor d e : a + b + c + d + m 
A) 16 B ) 18 C) 17 D) 13 E ) 20
A partir de la relación dada a b 7 td m = 7 G07g
Deducimus del numeral del 2do miembro (jue : 7 < m
Y como en la igualdad el numeral de base "m" hene mas rilras que el de base 9, podemos 
concluir que ; ni < 9
Vinculando las desigualdades deducimos que 7 < ni < 9 —> ni — 8
A partir de esto el dato del problema quedará asi : ab7cdg = 7 G 0 7,, ... (I)
Para calcular a , b , c y d al numeral 7 G 0 7,, se le debe convertir al sistema octanario :
* 7 007., = 7 ■ 9J + G • 9- + 0 - 9 + 7
= 5 103 + 18(1 + 0 + 7 = 5 59G *- Base 10
* 5596 8
| 699 8
4 , 8 7 8
90 Pmblcmas de Ai ¡tulenca ) como resolverías Hernán Flores Velozco
v 3 I 0 8
I
Fntnnres • 7 G 0 7,, = I 2 7 3 1s ... (II)
Comparando (1) ) ( I I ) : a = \ 6 = 2 c = 3 d = 4
a + b + c + d + tn = 18 KPI'A B
17.- S i se cumple que: a b a b a b n = 7078 , calcu lar el valor d e : a + b + n 
A) 5 B ) 6 C) 7D) 8 E )9
Resolución.-
obabal) = 707.n 8
Descomponiendo polinomk .unenie en forma conveniente
abn . nA + o 6f| . n2 + abn = 7* 82+ 0 8 + 7
ubn (/i4 + rr + I) = 455
5 91
Puesto que n> I, de (* ) podemos establecer que : n x + n2 + 1 =91
—> n = 3
De este modo se tendrá que : obn = 5 > « 6 , = 5 = 12,
/
A base 3
Sistema /le ftunii lat ion 91
De esta ultima igualdad podemos deducir que a = I a b = 2
a + b + n = 6 RI’ IA B
18.-Un numero de 4 cifras empieza en 9. y si se le suprime esta cifra, el numero resultante 
es 1/21 del original. Entonces la suma de las cifras del numeral original es :
A) 17 B ) 18 C) 19 D) 20 E ) 21
Resolución -
Se.» el numero 9abe donde suprimiendo el 9 quedara el numero abe , de manera que de 
ac uerdo con el dato del problema se tendrá que
abe = . 9abe
Efectuando: 21 abe = 9abe
=> 21 . abe = 9 000 + abe
20 abe = 9 000 
=> abe = -150 => « = ■!,/) = 5 a c = 0
Luego el numero será • 9etbc — 9-150
Suma de citras = 18 RPTA B
19.- Hallar un número de 4 cifras que empieza en 2, tal que si ese 2 se coloca al final del 
número se obtiene otro que excede en 1 755 al original. Dar como respuesta la suma 
de las 4 cifras.
A ) 10 B ) 11 C) 12 D) 15 E ) 14
Resolución.-
El dato sera: 2 abe = abe'l - 1 755
Descomponiendo polinoiniramente y de manera com emente tendremos :
2 ■ 10* + abe = abe .10 + 2 1 755 
2 000 + abe = 10 abe - 1 753 
3 753 = 9 . abe 
417 = ub c => a = 4 , b — \ a c = 7 
Entonces : 2abe =2417
Suma de cifras = 14 RPTA E
20.- S i se cum ple: 458 - 284 y 460 = 288 ; calcular el valor de : m + nfn n * m n
A ) 24 B ) 26 C) 28 D) 23 E ) 25
Resolución.-
Ordenado los datos : 458 = 281 ... (I)t l i t i x '
4G0 = 288 ... (II)!U ti v '
Descomponiendo polinomicamente v restando (II) - (I) miembro a miembro
tu - 8 = 4 -» ni = 12
Reemplazando en (II) : -1G0,, = 288* \¿ n
Descomposición polinomicamente •
4 12- + G 12 = ¿ ir + 8n + 8
(>48 = 2 ii2 + 8/í + 8
Dividiendo entre 2 : 324 = n2 + 4» + 1
Expiosando como un cuadrado pertecto la primer miembro :
I82 = (/?+ 2)2 -> n = IG 
m + n = 28 RPTA C
21.-S i: a45 m = bb43„ y a50 m = bb 4 4 „ ; calcular el valor d e : a + b + m + nm n * m n
A) 15 B ) 16 C) 17 D) 18 E ) 19
Resolución.-
Ordenando los datos : o45//t = bb43n .. (I)
o50m = b b 44,, ...(II)
Procediendo como en el problema anterior, descomponemos polinomicamente y restamos
(II) - ( I ) , obliendose :
/77 - 5 = I -» m = 6
En ( I ) : = bb43n
8 
4 < n
Como el primer numeral Irene menor esentura que el segundo podemos decir que : n < 6 
Luego, al vincular las desigualdades concluimos que :
92 Problemas de Aritmética y como icsols crios Hernán Flores Velozco
4 < r? < 6 —> n = 5
Sisa nía di’ Aninerai ion 9 3
Reemplazando en (II) : í/50g = bb445
Descomponiendo polmomicamcnte .
a • 6J + 5 G = b • 5* + b - 5' + 4 • 3 + 1
3Go + 30 = I25b + 25b + 20 + 4
3Go + G = 150b 
Dividiendo enire G : Ge/ + 1 = 25.b
Dando valores . a = 1 a b = I
a + b + m + n = IG RPTA B
22.- Calcu lar: a- b + c , s i : a b c 3 = ca b ; donde b y c son números impares y ,
a + b + c = 22
A) 6 B ) 7 C) 8 D) 9 E ) 4
Resolución.-
De los datos deducimos . o b f H 3 = ca b .. (t)
i ü
b < c + 3 c < b
Luego : c < b < c + 3 —» b = c + I v b = c + 2
Y como b y c son números impares, deducimos que : b = i + 2 ... ( I )
Descomponiendo polinomicamente en (I) ci(c + 3) + b= r .b + t7
Transponiendo términos : a (c + 3) - a = cb - b
Factorizando el segundo miembro : a (c + 2 ) = b (c - I ) ... (2)
b
Reemplazando ( I ) en (2): o = c - I ... (*)
Por dalo : a +- b + c = 22 ... (**)
Reemplazando (*) en (** ) : c - I + r + 2+ c = 2 2
-> c = 7
Al .sustituir en ( I ) y (*) * a = 6 a b= 9
a - b + c = 4 RPTA E
23.- Sabiendo que: 122 = 101. = 721 A O c
¿C uál es e l menor valor dea + b + c ?
A) 22 B ) 23 C) 24 D)25 E ) 26
94 Problemas tic Aníme ¡iva v coma resolverlas Hemon Flores Velozco
Resolución.
122 = 101, = 72(i h i
Descomponiendo polinómicarnenle : a2 + 2u + 2 = bl + I = 7í + 2
Restando 1 a cada miembro : a2 + 2a + 1 = b¿ = 7c + 1
-» (o + 1)¿ = b2 = 7c + I ... (I)
Observamos que 7c + I , debe ser un cuadrado perfecto, en donde ademas r 3
deducimos que : c = 81 ti Mi
En (1) intentamos con c= U (o + l )2 = ó2 = 7(9) + 1
(a + i )2 = b¿ = 1.1
De donde se deduce que a = 7 a b — 8
(a + b + c) . = 24 RPTA. Cx 'nun
24.- Calcular Mn “ s i se cumple que : 24.0 =558,
19
2 4 » „
veces
A) 10 B ) 11 C) 12 D) 13 E ) 14
Resolución -
Aplicando bases de bases : 19,,, = n + 24 9 = « + 216
I!)
24 « fl 
veces
En el dato: 24 = 558u>< + 21» 9
Por descomposición polinoinira :
2 (n + 216) + 4 = 5 • 92 + 5 . 9 + 8 
2 n + 432 + 4 = 405 + 45 + 8
n = 11 RPTA B
25.- Calcular el valor de "n " en : 1n _ =112
1n__
1n
"n " Tn
8veces
A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 7
7. Luego
Sistema de Sumeracum 95
Resolución -
Aplicando la formula rio bases sucesivas v la descomposición polinómica se tendrá
8 + (o + 0 + 0 +...+ //) = i r + o + 2
w i*o veces
l.ucgo : 8 + o ' = n ! + o + 2
o = 6 RPIA Ü
26.- Cumpliéndose que: 1n._ =2 176; calcu lar el valor de "n".
2n _
2 n _
2n
>1 M ___
n 2n
veces
A) 5 B ) 6 C) 7 D) 8 E ) 9
Resolución.-
Efectuaremos vanos cálculos (iterativos) de modo que se.» posible reconocer alguna regla 
de formación en los resultados obtenidos, paia luego poder generalizar :
* I vez 2o = 20 + o = 2 1 ■ 10 + (2 1 - 1 ) o
* 2 veces : 2o = 2o = 2 (20 + o) + o = 40 + 3o = 22 • 10 + (2“ - I) o2/1 Z0 + /i
* 3 vecos : 2o _ = 2o =2 ( 10 + 3o) + o = 80 + 7o = 21 • 10 + (2J - I ) r2/j_ Mlt.ln
¿n
Para "oM veces : 2o = 2" -10 + (2" - I ) o
2 n _
' 2/1
»U« ’ 2/í
veces
En el dalo : lo = 2 176
2 ̂. 10 ♦ ['¿n - t)/i
Por descomposición polinómica :
T 10 + (2''- l )o + ii = 2 176 
-+ 2"- 10 + 2" -o -o + o = 2 176
-» 2" (10 + o) = 2 176
27 17
o = 7 RPTA C
27.- Calcular x + y , s i se cumple ia igualdad: 333 — = 2xy 2n
A) 17 B ) 18 C) 19 D) 20 E ) 21
Resolución -
A paitir del dalo podemos reconocer que el printer numeral tiene mayor representación qite 
el segundo, luego :
n 9 < 2 n -» n = l 
Reemplazando en la condición dada 333 = 2\\ 7| ... (I)
P.ira calcular x e v debemos convertir al numeral 333 al sistema de numeiacton de base 2P
* 333,., = 3 • ID" + 3 • 19 +■ 3
= I 083 4- 57 + 3 = I 143 *■ Base 10
96 Emblemas di A ritm iticu v cama resolverlos Hernán Flores Velazco
* 1143 21
54 2 1
9 2
v 1 2
3331<| = 2 y 92, (II)
Donde - y = Doce
De CD > ( I I ) : x = 12 a v = 9
x+> = 2 l RPTA E
28.- Hallar el valor de "a" si e l numero abOab (0 = cero) es el producto de 4 números 
enteros consecutivos.
A ) 1 B ) 2 C) 3 D) 4 E ) 5
Resolución.-
Por descomposición polinomica iibQub = nb . I03 + nb
abOab = I 001. ah 
Transformando convenientemente . abOab = 7 • 11 • I3 • ab
Para que abOab sea el producto de 4 números enteros consecutivos, ab debe ser el produc­
to de los factores que (altan, luego : ab = 24 = 2 • 12 , para que
abOab = ! I 12 - 13 - 14 = 24 024
RPTA. B
Sistema di Numeración 97
29.- Un numeral del sistem a de base "n " es igual a l cuadrado de la m ayor cifra que existe 
en dicho sistem a; s i el numeral formado por las mismas cifras, pero en orden inver­
tido, se convierte al sistem a decim al se obtiene 16. ¿ Cuál es el valor de “n " ?.
A) 7 B ) 8 C) 9 D) 11 E ) 13
Como sabemos la mayor cifra que exisle en base n es (/»- 1), luego .
(/í - l )2 = n2 - 2n + 1 = (« - 2) n + I = (/ í-2)l ii
Num rr.it que es igual <il cuadrado 
de la in<i\or cifra en b ase “/ f
Pbr condición del problema : l(//-2)ff = 16
Por descomposición polinomica : n + n - 2=16
n = 9 RPTA. C
30.-S i se cumple que: ab ab a = x yO y 7 ( O = cero) ¿C u ál es el valor d e : a + b + x + y ? 
A) 20 B ) 21 C) 22 D)23 E ) 24
Resolución -
Del dalo se sabe que : ububg = * }0 ) 7
Descomponiendo polinómicamenle : ab8 . tí2 + obh = x . 7J + y . 72 + y
Efectuando operaciones, se tiene ; 05 . c/bK = 343\ + 50)
343 x
Dividiendo por 5 . 13. ab& = ' + 10y
Observamos que : x = 5 -> 13. abH = 313 + 10)Expresando a 343 como 13 • 26 + 5 : 13 . abH = 13 26 + 5 + 1 Oy
A continuación dividimos por 13 : ubg = 26 + ** — (*)
. lOv+5. .Luego, para que ( ' ) sea un numeru entero, se requiere que : y = 6
I a = 3
Entonces en ( ') . ub„ = 26 + 5 = 31 = 37K i ^ _ y
4
Abase 8
o + b + .r + v = 21 RPTA B
Piohlinuis de Aiitmética y <orno le.solvnlos Hernán Flores Velozco
31.- S i un número tiene 6 cifras en el sistem a cuaternario. ¿Cuántas cifras tendrá en el 
sistema de base 13?
A) 3 B ) 4 C) 3 ó 4 D) 4 ó 5 E) 6
Resolución.-
Si un número, digamos 'N", se escribe en el sistema cuaternario con (i cifras, su valor mínimo 
es 100 000, y su valor máximo es 333 333r es decir:
100 000, < N < 333 333^
Convirtiendo a liase 10 ; I • 4* < N < 4'’ - 1
Efectuando las potencias : I 024 < N < 4 095
Conviniendo a base 13: 60c¿,3 S N < 11130,,
De donde deducimos que : a = die/ a |i = onc e
Por lo tanto, N en base 13 tendrá :
3 ó 4 cifras RP4A C
32.- Una persona muy caritativa reparte SA 3 000 entre cierto numero de personas, entregán­
doles : S/. 1 ;S/. 7; SA 49; SA 3 4 3 ;...; con la condición que ellas esteen agrupadas de 
modo que no exista más de 6 personas en cada grupo. Determinar el total de personas 
favorecidas con el reparto.
A) 8 B ) 9 C)10 D) 11 E) 12
Resolución.-
Supongamos que los S/. 3 000 se reparten de la siguiente maneta .
"a" personas reciben S i cada una (a < G)
"b" personas reciben S :. 7 cada una (b < 6)
"c" personas reciben S . 49 cada una (c < G)
”d" personas reciben S . 343 cada una (t/ < 6)
Luego . 3 000 = c/ * I +6* 7 + c • 49 + c7 • 343 + ...
Reconociendo que los factores de ti. b, c, d, ... son potencias de 7, tendremos que :
3 000 = a • 7Ü + b ■ 71 + c • 7‘ + d • 73 + ...
Puede notarse que el segundo miembro es la des­
composición polinóiuica en base 7 donde a , b ,c, 
d ,., son las cifras, luego debe convertirse 3 000 a 
base 7
3000 7
428 7
4 6 1 7
c , v 1 8 ; 7Entonces : *
3 000 = 1 1 5 14, 5 I 1
3 U00 = I • 7* + 1 - 7J + 5 • 7*’ + I - 71 + 4 • 7°
Sistema de A iinu nu um 99
Por Linio . 1 persona recibe 71 — S 2 101 cada lina
1 persona recibe 7J = S/. 343 cada una
5 personas reciben 7¿ = S . 49 cada una
1 persona recibe 71 = S/. 7 cada una
4 personas reciben 7“ = S/. I cada una
# de personas favorecidas 1 + 1+ 5 + 1 + 4 = 1 2 RPTA. E
33.- Un numero de dos cifras del sistem a senario se escribe en base "n " con las mismas 
cifras pero en orden inverso. E l máximo valor de 7?" es:
A) 17 B ) 26 C) 37 D)50 E ) 65
Resolución -
Do acuerdo con los datos se estable ce que . ab (t — bu
Descomponiendo polinómicamcnle * (>« + b - bu + n
=* 5 o + b = bn
Dividiendo por 7?" . + I = n ... (*)
Haciendo una inspección de (*), podemos deducir que el mayor valor de 7/" se obtiene 
cuando "a" sea máximo (es decir 5, por que la base es (i) y ”b" sea mínimo (o sea I).
5 5
=» " ™ ” i + l
n . = 26 RPTA Bmax
34.- S i : a b cab c fí = m nppq 7 y n > 5 . Calcular el valor d e :a + b + c + m + n + p + q 
A) 13 B) 18 C) 19 D) 15 E ) 16
Resolución.-
nbcabc = m nppq 7 
n <7
Pero por condición del problema : n > 5
Luego, vinculando las desigualdades tendremos : 5 < n < 7 
Por lo tanto deducimos que : n = 6
Entonces, el dalo quedará a s i: abe abe G = mGppq 7
Descomponiendo polinótnicamenlc .
abc6 . 63 + abc6 = m . 7 ’ + 6 73 + p . 7l + . 7 + t/
217 . nbCg = 2 401/// + 2 058 + 49p + 7/i + q
Dividiendo por 7 : 31 u b c = 343/// + 294 + 7p + // + ^
Puede notarse que ■ q = 0
=* 31 abe6 = 343//? + 294 + 8p
Expresando convenientemente el segundo miembro para poderlo dividir por 31, tendremos:
31 obc6 = 341/// + 2/// + 279 + 15 + 8p 
-> 31 . obcc =31 x I \m + 31 x !) + (2m + Hp + 15)
... ... . , 2/i? + 8/j +15 ...Dividiendo por 31 : ol2crt = 1 lm + 9 h — ( )
Luego : 2m + Sp + 15 = 31 => 2m + 8p = 1G
m = 4
100 Pt oblemos de \i itmética v como resolverlos Hernán Flores Velozco
m + 4p = 8
!> =1
En (* ) : abcG = 11(4) + 9 + I = 51 = 130̂
a= I 
b = 3 
c = 0
a + b + c + m + /i + p + q = 15 RPTA D
35.- ¿Cuántos numerales de 2 cifras resultan ser iguales a "k" veces el producto de sus 
cifras {k e / )?
A )0 B ) 2 C) 3 D) 4 E ) 5
RfikQllLCLQD.-
Considerando a ob como un numeral do 2 cifras, se tendrá : ob = k a . b
Por descomposición polinórnica : 10a + b = k .a .b
Transponiendo términos y faclorizando : b = a (k b - 10)
Si hacemos : kb - \0 = n -» b = a n donde n < 10
Entonces h . a . n - 10 = n —> h . a . n - n = 10
—> n (k . a - 1 ) = 10
Analizando las distintas posibilidades se tendrá :
Sistema tic Numeración 101
! » k .a k a b = a . n
i
ab
n (k . o - 1 ) = 1 • 1 0 1 1 1 1 1 1
1
1
2
1
1 1
n (k . a - 1 ) = 2 * 5
2 6
6 1 2
2 3 6I 3 6
3 2 4 2 4
n {k .a - 1 ) = 5 - 2
L_ 5
3 1 5
t.
1 5
Existen 5 numerales RPTA F
1 0 2 Prohit mas ríe Ai ¡miélica v como resolverlos Hernán hieres Velazco
PR0 &16MAS PR0 Pü€ST0S
1.- Calcular "a" s i: a a 3a. - 64rt..f) *>
A) I B)2 C)3 D)4 E)5
2.- Hallar "ti" s i: /i 4 */7 = 1 20o,
A) I B)2 C)3 D»4 E)5
3.- Siel numeral: h 99m
está correctamente escrito. /Cuántos va­
lores puede lomar "//"?
\)\ B ) 2 0 3 D ) 4 E ) 5
4.- Si . 3tt̂ + 6.3 h + lrha = (a + !)(/> + l)j-rh;
dar el valor de * a . h.
A) 30 B ) 56 C ) 40 Dt 42 E ) 72
5.- Calcular el máximo valor de cu :
ah - bu*
A) 65 B ) 8 C ) 17 D) 28 H) 50
6.- Hallar un número de nuestro sistema tal 
que esculo en dos sistemas de numeración 
de hases consecutivas se obtiene 252 y 
207.
A) 153 B ) 133 0 98 O l 135 E ) 100
7.- Si : I 331 =1 0(KV ; hallar el menorm n ’
valor posible de (m . n)
A) 5 B ) 10 C )20 D) 25 El .30
8.- Si : 62//n = 47/>x; calcul.ir el mayor va­
lor de (ti + h)
A )5 B ) 6 C ) 7 D i 8 E) 9
9.- Hallar (a + /i)en : 4 ab1 = 2 btî
A ) 5 B i6 C)7 D )8 E)9
10.- Hallarlo + h) si ; abate = f 2o )/>«,,f> I I
A )6 B )8 0 9 D) 10 H) 11
11.- /Cual de las siguientes expresiones da­
das en sistemas de numeración distintos 
representa el numero mayor/
A) 43 B) 10110, C)240 1 *
O) 212, E)102,s
12.-S i: o73 =o27u . hallar: (o + n)n v
A) 8 B )9 C) 10 D) 11 l ) 12
13.- Si se vei illca :
«/*<■= I 022 = 2 0 2 1 = I 022c6 h
Hallar ubi y expresarlo en base (o + h)
A ) I 100 B ) I 102 C ) I 002
0 ) 2 100 E ) I 001
14.- Un numero entero se escribe como uuh 
y hhh en los sistemas quinario y cuater­
nario respectivamente. Hallar : (ti + h).
A ) 4 B ) 7 C )8 D) 5 E ) 6
15.- Si : l//i4 se expresa en base " i i" como 
504. Hallar (m + n)
A ) 12 B ) 13 C) 14 D) 15 E) 16
16.- Se convierte un numero de la base 10 a 
otros dos sistemas de numciación y se 
obtiene I 331 y 2 626 respectivamente Si
S i s a n u t t/i \ 'u n i c n u io n 103
una de las bases es 7 \ la otra es mayoi : 
hallar la base desconocida
A) 8 B ) 9 C ) l l D) 12 E ) 13
17.-S. a ch = chui2 
y : a + h + c = 24
Expiesar a be en el sistema hevadecimal.
A )3 5 l l „ B)372I(, Q363,,.
D ) 3 H ir, n ,3 S llh
18.- ( En cuantos sistemas de numeración el 
número 300 se escribe con 3 cifras.*
A) 9 B ) 10 C ) 11
D) 12 E ) N A
19.- El número 496 del sistema decimal se 
expresa como 354 en un sistema desco­
nocido. Hallar la base.
A ) 6 B ) 8 C ) 11 I); 12 E ) 13
20.- Hallar (a + h + r) si :
ahcily = 37(</+1)
A ) 5 B ) 6 0 8 D) 9 E ) 10
21.- Hallar a b si : 2l)a5h = 701K
A ) 7 B ) 8 C ) 9 D) 10 ^ 1 2
22.- Hallar (a + h + <•) si : 6na = 4bbul h
A ) 13 B) 14 15 D) 16 E) 17
. /
23.- Si : abe^ — cha7 ; hallar : (a + b + c). 
/
>T)3 B ) 4 C) 5 D) 7 E ) 8
M ¡- Convertir al sistema de numeración dcci- 
' mal al menor número capicúa de 4 cifras 
significativ as del sistema de base 7. si se
sabe que la suma de sus cilras es igual al 
produelo de sus dos primeras alias. —■
A ) I 368 B ) 1638 0 1 863
D) I 386 E ) I S3S * '
25.- No se sabe en qué base está escrito el 
número 3 i v r 7 . solo se sabe que en base 
10es el numero 15015. Hallar; ( v + \ +r) .
A) 8 11)9 C) 10 I» I I 1)12
26.- S i : 10o . ; 2bc \bb están correclamcn4 ti
le esa nos. Hallai ; la + b + c)
A )4 U>55 C ) 6 D)7 E )8
t
2^,-El menoi número de 4 a lias de la base"n" 
excede al mayor número de 2 eilras de di­
cha base V en 449. Dar "n"
A ) 6 B)7 C )8 0 )9 H)5
28.- Si el numero a he ls se eon\ icrte al sislc- 
nfci de numeración nonai io. viene expre­
sado p o r 3 cifras iguales Determinar {a + 
b + r).
A )7 B )8 C)9 D) 10 E) 11
29.- Hallar un numero de 4 cilras de la lorma 
a b r i l sabiendo que :
* ab =4 la + h)
* a be = 19 (a + h + r)
* a b r i l =118 la + b + c + d)
I )ar como i espuesta el valor de (a + b + r + tt) 
A ) 20 B)2I C)22 I» 23 E)24
30.- Determinar la suma de las alias del nume­
ro que excede en 13a 14 veces la cifra de 
las unidades.
A ) 10 B ) 11 C) 12 D) 13 E) 14
Problemas de \ritnutica \ como resolverlos Hernán Flores Velazco
*1.- Sise cumple que I 331 = IOtH) y ademas:
u
14
veces
= 171.
u
¿ Cuál es el valor de k + /?
A i 15 B) 16 C) 17 D) 18 F) 19
32.-S i: 750 =1533m n
760 = I 545i* n
Hallar el valor de "///"
A) 10 B19 C )8 D) 7 F ) l l
33.- Si el número a a a a a a e.s la terca a parle 
del producto de 4 números impaies con­
secutivos. ¿Cuál es el valoi de "a "!
A) I B )3 C )5 Dj 7 F) 9
34.- Si : 2* = 194 se puede nlirmai que 2,f‘ es 
igual a .
A)3|ul4 B ) 311314 C) 3|y|4
I) j2lal4 n>2lpl4
35.- Calcular a + // + /; s i:
ab lu í nn —
h7i fui
donde • ji = once.
A) 6 B ) 7 C )8 D) 9 F ) 10
36.- Hallar "//" m 245 de lu base "n" se escribe 
en le sisicma undccimal como 140.
37.- Escribir • 121 .12 es base (// I )ii it '
A) 101 B) 112 C )l II 13)110 H) 120
38.- Dctcrmmai el valor de i - s en lacxpicsión:
2.i6,, = 54 vH 
A ) 1 B)2 C) 3 D)4 F)5
39.-Si: 1I24 = «/„■,/*
Hl valor de {a + b + rt es :
A ) 2 B)4 C )6 D)5 F)3
40.- S i : (/i - I ) n (n + I )s = T| 1 ((
Calcular "n"
A ) 2 B)3 C)4 D)5 F )6
41.- Si se cumple que :
3</ + r I = 14 + b Ic h a s
At() B) I C)2 I»3 F) Mas de 3
42.-Si a la + btb = bi) 22N
Calcular// - h 
A ) 10 B ) I2 C) 15 D) absurdo l-)6
43.- Indique la suma de Ion valores de Y/" que 
vorillean :
(loa
A l 6 B) 12 C) 10 D )8 F i lD .
A) 6 B)7 C)S I))9 E) 12
/ I
-J* i c o m o DENUMEROS
4.1 PROGRESION ARITM ETICA
Llamamos asi a lorio conjunto de mímelos ordenados, de tal manera que, cada uno de 
ellos (a excepción del pnmero) se obtiene incrementando a su inmediato anterior en una 
cantidad constante llamada tazón de la progresión aritmética.
E j e m p l o s
* 12; 19 ; 2G ; 33 ;...; 425 
(Progresión aritmética de razón 7)
* 22 ; 3G ; 50 ; G4 ; . . . ; ! 408 
(Progresión aritmética de razón I I)
* 7 , IG ; 25 ; 34 ;...; 223 
(Progresión aritmética de razón 9)
*35; 32; 29 ; 26; ;5
(Progresión aritmética de razón -3)
En general, d.ida la siguiente progresión aritmética de razón V :
. . . . . . . . . . . #
i • 2 • 3 • i ' » • *■" * k • "■ • n
Donde: /, : Ier término
: Termino de lugar”k"
: Último termino
: Termino .interior al Ier termino
o = V r
rt : Numero de términos
106 l'nihlemas de Aritmética v como tcsolvcríos Hernán Flores Velazco
Entonces podemos generalizar.
lk = *i + & ' ^
También : tn = /, + (n - l ) r
Efectuando. I = t ,+ n r- rn I
t -/,-»/ = tilII I
Despejando 7i” y dándole 1111a forma apropiada :
- , i « Í í í — ¡_! - = ' i "» ...(i)
n —
De (I) .
De (II):
— n - 1,1 *l + ' = /;' + I ... (II)i i r
, , ., Último te rmino-Anterior al I o# de temimos = -------- ,,— .---- — ... (B)Razón
. .. Ultimo término-Io termino ,# de términos --------- n - .------------ + | t* ... (y)Kazon
Ejemplo ■ Calcular el vigésimo noveno término v el numero total de término* en 
5 ; 13 ; 21 ; 29 ; ....... ; G37
Resolución-
Nótese que la progresión aritmética propuesta es de razón 8 donde el primer término es 5. el 
ultimo termino es 637 y el tenuiuo anterior al I '1 es .
5 - K = -3
Aplicando la fonnula (a ) para c.ilciilar el vigésimo noveno termino .tendremos 
/.K> = 5 + (29 - 1)8 = 5 + 28 • 8 =* / ., = 229
P.ira t alcnlai el número de términos puede usarse la fui muía ((!) .
j, . . 637-(-3) 640 „ , .# de términos = v = => # de ten unios = 80O O
C a n t e o d e S u m a o s 107
PR061CMAS ReSUaTOS | GRUPO I )
1.- Calcular el trigésimo segundo termino de la siguiente progresión aritm ética de 50 térmi­
nos:
10;................................... ;304
A) 184 B ) 192 C) 196 ' D) 180 E ) 190
Resolucion-
Como la progresión riada tiene 50 términos, el ultimo, es decir 304. será el término de lugar 50 :
tM = 304 => 10 + (50 - 1) r = 304 =* 49/ = *294
Luego la razón de la progresión aritmética sera r = G 
Entonces el trigésimo segundo termino sein
= ,ü + (32- U 6 = 10 + 31-6
r32 = I9G RPTA C
2.- Una progresión aritmética empieza en 111, termina en 514 y tiene 3a términos. Entonces 
el valor de "a" e s :
A) 2 B ) 3 C) 4 0 )5 E )6
Resolución -
Considcr.indo que la razón de la progresión aritmética es/- :
514 - 111 , 0# de términos = — + I = 3ai
403 ^ ,=> + 1 = 3a/
3113 , _=> + I = 3ar
De donde notamos que : r = 13 a o = 2
a = 2 RPTA A
3.- Indicar el décimo quinto término de la siguiente progresión aritm ética:
16n : 27n : 40n ¡ .............
A)203n B) 204n c ) 214n D)212p E) 205n
108 Pioblenias tic A ii tn u i i ia v to m o resolvíalos Hernán Hores Velozco
Rcsolución.-
Hoi el concepto de ra/on :
27 -16 = 40 -27 -> '¿ti + 7 n G =■ 4« -2/1-7ii n n n
7i + I = 2n 7 => // = 8
En la progresión 16 "27 *40 •.... ....o o o
En ba>e 10 14 ; 23 ; 32 ; ..... ..
Corno la razón es 9 :
/ |5 = 14 + (15 - 1)9 = 140 pasando a base u = 8 f Jt. = 2I4n RPTA C
4.- ¿Cuántos términos tiene la siguiente progresión aritm ética?
1 2 n : 17 n ! 2 4 n • 3 1 n
A) 78 B ) 79 C) 80 D) 81 E ) 82
Resolución-
Aplicando el concepto de razón
17 - 12 = 24 - 17 =* n + 7- n -2 = 2n + 1 -n - 7n ii n ii
5 = «- 3 =* n = 8
Entonces, la progresión quedara : I2g ; I7g ; 24g ; 31 g ; ; 620,
En base 10: 10; 15 ; 20 ; 25 ; ... ; 400 (razón = 5)
^ . 1 00 - 10 , „# de términos = ̂ + 1 = 1 9 RPTA B
5.-¿En qué sistem a de numeración, los num erales: 479 ; 698 y 907;
están en progresión aritm ética?
A) Decimal B ) UndécimaI C) Duodecimal D) Vigesimal E ) Hexadecimal
Resolucion.-
Sea «"latíase: 479 ; 698 , 907
ri n • ii
Por el concepto di* tazón : 698 - 479 = 907 - 698
1 ii n ti t i
6n¿ + 9n + 8 - 4n¿ - 7n - 9 = 9n¿ + 7 - 6nl -‘9n - 8
2n2 + 2/1-1 = 3n¿ - 9n - 1
11 n = n ¿ =s n = 11 ^
Sistema Undécima! RPIA B
jé.-$ Cuantos términos tiene la siguiente progresión aritm ética;
^ 89 ; ab ; ac ; ; 1cb ;
sabiendo ademas que :b + c-1 = a ?
A) 20 B ) 21 C) 22 D) 23 E ) 24
Resolución.-
Como os lina progresión aritmética creciente : 8!) < ub => o = 9
Usando el concepto de razón
ub - 89 = tic - ub => I0« + b - 89 = 10o + c - I0o - b
\0u + b - 89 = c - b
Como u = 9 90 + b - 89 = t • b
-> c = 2b + \ ... (I)
Por dalo . b + < - I = u
Reemplazando b + '¿b t 1 - I = 9 => /> = 3
En ( I ) : c = 2 (3) + I => c = 7
Entonces, la progresión artimética quedara 89 ; 93 ; 97 ; ; 173
l a razón es 4, entonces :
17'i — k()
# de términos = ' " + I = 22 RPTA. C4
7.- Determinar el número de términos de la siguiente progresión aritm ética:
ab n • ban t ¡ 4S„ . , ;■■■■■■■: 1tn + 2 l3 9 
A) 9 B ) 10 C)11 D) 12 E ) 13
Resolución.-
En el 3" y ultimo termino puede notarse que :
8</7 + 3 => 5 < n
n + 2 < 9 => n < 7
La piegresión aritmética quedará : abG ; bc¡7 ; 48,, ; ... ; 183,,
Utilizando el concepto de razón : / = ba7 - ab G = 48,, - ba7
Descomponiendo polinómiramenlc : Ib + a - ba - b = 4 - 9 + 8 - Ib - o
Efectuando operaciones : I3ó = 11 + ‘lo
Conti-o di Numeras
L_ ( - n = ü
110 Problemas di Arilniclna y como resolví ríos Hernán Hores Velazcu
Dundo valores ¿> = 4 a a = 2
Entonces. la progresión ser.i : 24 12. ; 48(| , 183,(
Pasando a base 10 • IG , 30 11 , 15G
Como la ra/on, se observa, es I I *
# de temimos = ^ ^ + 1 => # téiminos = 11 RPTA Cel
8.- En la progresión aritm ética: 38 ; .... ; 87 ; .... ; 220; la cantidad de términos que hay
entre 87 y 220 es el triple de la cantidad de términos existentes entre 38 y 87. Hallar la 
cantidad total de términos.
A ) 19 B ) 15 C) 23 D) 27 E ) 31
cion.-
Considerandoa V como la ra/ón fie esta progiesion; los términos que h.iv entre 87 y 220 son
87 + / ¡87+2/ ; 87 + 3/ * .220-/
■ “ ■ r* “ i i. i —
^ . . . 220 r 87 133 /# de términos = =/ i
y los términos que hav entre 38 v 87 son
38 n ;38+2z ; 38 r 3/ ,...; 87 r
87-/ -38 4!) - i# de temimos = =/ /
n . 133-/ „ 19-/Por dato: = 3. => r = ¡r r
Luego el numero total de términos sera :
o-m
# de términos = - + I = 27 RITA D
9.- ¿Cuantos numerales de tres cifras del sistema de numeración senario, se escriben con 4 
cifras al ser convertidos al sistem a cuaternario?
A) 131 B ) 151 C) 152 D) 153 E ) 154
Ku-frplncion
Sea N uno de los números que cumple las condiciones del problema, entontes como tiene 3 
cifras un el sistema semino.
100| N - 555 ; pasando a base 10: 30' l\ 215 ..(I)
C o n l i o d e N m n e m s I I I
\ para que tenga 4 ritr.is en el sistema cuaternario :
I 0004 < N < 3 333, ; pasando a base 10 . 64 < N < 255 ...(II)
De (I) y (II): 64 S N S 215
Luego : N e {64 ; 05 ; 66 ;...; 215}
# de valores de \ = 215 ~ = 152 RPTA. C
10.-Dada la siguiente se rie : 8a30 ; 9a2g ; u a28 ; ............; ( a = d / e z ) .
Calcular la máxima cantidad de términos si a < 10
A) 9 B ) 10 C)11 D) 16 E ) 18
Riaolutiún--
Sea el último término: xa, , donde * x < >y
Nótese que en cada termino de l¿t sucesión la suma de la primera citra y la base siempre es 38, 
es decir:
8 + 30 = 9 + 29 =10 + 28 = ........ = 38 =* x + y = 38 ... (I)
En el primer término 30-8 = 22
r i j . • «i» o or» #s pares consecutivosEn el segundo termino 29 -9 = 20 — decrecientes
En el tercer termino 28- 10= 18
=> En el último término• v-x = 2 ...(II)
De (I) y ( II) ' y = 20 a .v = 18
Luego la sucesión será : 8aJQ ; 9£/2¡} ; uu2R ; ... ; (18)«20
Para calcular el numero de términos puede tomarse en cuenta a las bases (razón = -I).
# términos = — + 1 = I I RP TA. C
112 Problemas ele Aritmética v como nsolverlos Hernán Flores Velazco
4.Z PAGINACION
Es el acto (le numerar paginas, recordando que u ii tipo de imprenta equivale a una cifra.
Cálculo del número de cifras usadas al escribir en forma consecutiva desde I hasta abe 
(número de 3 cifras).
1; 2 ,3 ; , 9 í 10,11; 12 ;...; 99 ; 100 ; 101,102;...; abe
" V" ' ■ ■ ■ “ ~ V * -̂---------------------- V ----------------------- *
9 números de 90 números de (abe - 99) números
1 cifra 2 cifras de 3 cifras
nV4 4
9 cifras 180 cifras (abe - 99)3 cifras
Luego el numero de citras sera :
9 + 180 + (abe -99)3 = 189 + abe 3 - 297
= abe .3-98 
(Sumando y restando 3) = abe . 3 + 3-111
De donde *
Número de cifras = (abc +1)3 - 111
En general, el número de cifras usadas al escribir desde l hasta N, donde N es un número de 
"k" cifras, será:
(N + 1)* - 111...1
■^"cifras
Pbr ejemplo, si deseamos averiguar cuántas cifras se utilizan al escribir los números 
naturales desde 1 hasta 5 290, en primer lugar notamos que 5 29C tiene 4 cifras, luego aplican­
do la formula tendremos :
Número de cifras = (5 290 + I ) • 1 - 1 I I I
= 5 297 - 4 ■ I I I I
= 21 188-1 I I I
= 20 077
Ejercicio : ¿Cuantos tipos de imprenta se utilizarán al enumerar las 648 paginas de un libro? 
Resolución.-
Para enumerar las 048 paginas del libro, se debe escribir, en forma consecutiva desde I hasta
Conten ile Ñutimos 113
648; luego, romo pura cada rifra se lisa un tipo de imprenta (es dei ir, un carácter), el numero 
de tipos de imprenta es igual al número de cifras usadas en la escritura -
('orno 648 tiene 3 cifras
Número de tipos de imprenta = (648 + I )3 I I I
= 649-3 I I I 
= 1 y-17 - I I I 
= I 836
PR0 B16MAS RCSUaTOS ( GRUPO II )
^ 11.- Para enumerar la primera cuarta parte de las páginas de un libro se emplearon 342 
cifras. ¿Cuantas cifras se emplearon para enumerar todo el lib ro?
A) 1522 B ) 1562 C) 1 692 D) 1 614 E ) 1 624 4
Resolución -
En primer lugar, averigüemos cuantas páginas tiene la cuarta parte del libro, sabiendo que se 
usaron en su enumeración 342 cifras :
1; 2 ; 3 ; ; 9 ; 10; 11; 12 ; ; 99 ; 100 ; 101; 1 0 2 ; ; N
9 núm eros d e 90 n úm ero s d e E n e s ta p arte e l
I c ifra 2 c ifra s n ú m ero d e c ifra s
n i u sad as s e r á :
V
9 cifras 180 cifras (N - 99)3 = 342 - 9 - 180
N = 150
Como "N" es la última pagina de la primera cuarta parte del libro, entonces el libro tendrá en 
total: 4N = 4 150 = 600 paginas.
Entonces en lodo el libro se usaron :
(600 + 1)3 - 111 = 1 692 cifras RPTA C
12.-S i un libro tiene 960 paginas. ¿Cuantas cifras se emplearon para enumerar sus páginas 
impares?
A) 1 585 B) 1 185 C) 1 385 D) 1 285 E) 1 485
114 Problemas de Aritmética \ como rcsiilverlos Hernán Peres Velozco
Resolución -
Considerando solo las páginas impares :
1. 3 ; S : 7 ; 9 . 11.13;15; ;99 ; 1 01 ;1 0 3 :1 0 5 9 5 9
•* ' m * v ■ * ' ■ ■ ■ ■■ V " " ■
5 números de 15 números de 430 números de
1 cifra 2 cifras 3 cifras
> h '•
5 cifras 90 cifras 1 290 cifras
Numero de cifras = 5 + 90 + I 290 = I 385 RPTA. (
(l3.-Al escribir la siguiente secuencia: f 1 ; 22 ; 33 ; 44 ; . . . ; abcabc ;
se han empleado 522 cifras. H allara + b + c 
A) 5 B ) 6 C) 7 D) 8 E ) 9
jksoiudQn
Nótese que, tanto en las bases como en los expolíenles se usa la misma cantidad de cifras, 
luego *
números de 
| 3 cifras
1 ; 2 ; 3 ; ; abe
1 ~ - w ~ m ■ “
5r,2Numero de cifias = “
u
(u6c + l) 3 - 111 = 261 -> abe = 123 
ti + 6 + c = 1 + 2 + 3= G RPTA B
14.- En la numeración de las 5ab páginas de un libro se usan 15a b cifras. Determinar el 
valor de a+ b.
A) 7 B ) 8 C) 9 D) 10 E ) 11
Rcsolución-
Para enumerar las 5o6 paginas de un libro debe escribirse en forma consecutiva desde I 
hasla 5o6, luego por dato :
Numero de cifras = !5o6
Canteo ilc umems 115
Como 5c/6 tiene 3 cifras : (5«6 + l) 3-111 = I5«6
Descomponiendo polinómicamente ■ (500 + ab + l) 3 - 111 = I 500 + ab
Efectuando : 1 500 + 3 ab + 3-111 = 1 500 + ab => ab = 54
« + 6 = 5 + 4= 9 RPTA. C
15.- En la escritura de los números (base y exponente) que forman la siguiente sucesión :
. ÍZ5 . Í26 . ...1 2 7 . . 7x6453 , 452 f 451 , — ! 15 x
¿Cuántas cifras se utilizaron?
A) 1 800 B ) 1 806 C) 1 812 D) 1 818 E ) 1 824
Resoluciort.-
Para escribir cada término se usan ti cifras (3 para la base y 3 pura el exponento), luego habrá 
que calcular el número de términos y multiplicarlo por 6.
Nótese además que en cada término la suma de base y exponente siempre es 578, es decir:
453 + 125 = 578 ; 452 + 126 = 578 ; 451 + 127 = 578 ;...
Entonces ; I5x + 4x6 = 578 => x = 2
Entonces la sucesión queda : 45312;>; 452126 ; 451127 . - 1 15212*’
El número de términos se puede calcular con los exponentos : 420 - 124 = 3u2
Número de citras = 302 • 6 = 1812 RPTA C
16- ¿Cuántas paginas tiene un libro s i en la enumeración de sus 385 últimas páginas se 
utilizaron 1 340 tipos de imprenta ?
A ) 1 182 B ) 1 183 C) 1 184 D) 1 185 E ) 1 186
Resolución.-
Si las 385 páginas finales tienen 4 citras cada una, se utilizarían
385 -4 =1 540 tipos de imprenta
Cuino sólo se lian usado 1 340 tipos de imprenta (es decir 200 tipos menos), se debe c ambiar 
200 números de 4 cifras por 200 números de 3 c ifras, luego cincelan : 385 - 200 = 185 números 
de 4 cifras, es decir .
1000 ; 100 1 ; 1002 ;... ;N
.N - 999 = 185 ^ N = 1 184
F.l libro tiene 1 181 paginas RPTA C
17.-De un libro de 225paginas se arrancaron cierto numero de hojas del principio, notándose 
que en ¡as paginas que quedaron sin arrancar se emplearon 452 tipos de imprenta. 
¿ Cuantas hojas se arrancaron ?
A) 62 B ) 24 C) 30 D) 31 E)32
Resolución -
En la enumera» ion de todas las paginas del libro, es decir al escribir desde 1 hasta 225 (uume 
ro de 3 citras) se utilizaron
(225 + 1)3-111 = 567 tipos de imprenta
Luego, en las paginas que se arrancaron se utilizaron :
567 - 452 =115 cifras
Veamos, hasta que pagina se arranco
* Del 1 al 9 hay 9 numen>s de I cifra es dedi, se fian utilizado 9 t ilrus
* Ln paginas de 2 cilras se uso : 115-9= 106, es decir son 106 -5- 2 = 53 paginas de 2 rilras
10 ; 11 , 12 M
N - 9 = 53 => N = 62Por lo tanto, se arrancaron 62 páginas, es decir .
62 + 2 = 31 hojas RPTA D
18.- Se han arrancado cierto numero de hojas centrales de 2 cifras a un libro de 120 paginas 
notándose que en las paginas que quedaron se emplearon en su enumeración 12 tipos 
más de los que emplearon en las páginas arrancadas. ¿Cuantas hojas se arrancaron?
A) 30 B ) 60 C) 33 D) 66 E ) 120
Resolución -
I
Como el libro tiene I2l) paginas, el ruiineio de tipos de imprenta usados en toda su enumera­
ción sera •
(120 +1)3-11 í= 252 
Sean A : numero de tipos usados en las paginas arrancadas
Q numero de tipos usados en las paginas que quedan
Luego Q + A = 252
Q = 132 a A =120
Por dato : Q - A = 12
Como en l a s p a g i n a s arrancadas se usaron 120 cifras y todas estas paginas tienen 2 cifras
|90
116 Problemas de \r i tintín o \ corno rtsohcrloi Hernán Flores VelOZCO
Numero de paginas anancadas “ = 60
Confio de Números
Se arrancaron: ^ = 30 hojas RPTA. A
19.-¿Cuantas cifras "6" se emplean en la enumeración de los 700primeros números natu­
rales?
A) 180 B ) 200 C) 210 D) 240 E ) 260
Resolución.-
Analizando orden por orden *
En las unidades 6 ; 16 ; 26 ; 36 ;...; 696
70 cifras n6"
* En las decenas 60 ; 61; 62 
160; 161; 162 
260 ; 261; 262
69
169
269
660; 661; 662;...; 669
10 7 = 70 cifras "6"
* En las centenas: 600 ; 601 ; 602 ;...; 699
1 -
100 cifras "6"
Número de cifras "6” = 70 + 70 + 100 = 240 RPTA. D
20.-De un libro se sacan las hojas que terminan en 4, notándose que en ellas se han utiliza­
do 674 cifras. ¿ Cuál de las siguientes no puede ser la última página del lib ro?
A ) 1 123 B ) 1 110 C) 1 122 D) 1 121 E ) 1 119
Resolución.-
Nótese que al arrancar las |iojas;que terminan en 4, se arrancan las páginas que terminan 
en 3 y las que terminan en 4f luego, en las páginas que terminan en 4 se han utilizado : 
671 + 2 = 337 cifras.
4 ; 14; 24; 34;...; 9-1 ; 104 ; 114 ; 121;...; 994^ ̂ v * 'V *
1 número 9 números de 90 números de
de I cifra 2 cifras 3 cifras
1 cifra 18 cifras 270 cifras
118 Problemas de Aritmética v tomo resolverlos Hernán Flores Velozco
Hasta 994 se han usado : I 18 + 270 = 289 cifras
Entonces, en números de 4 cifras, se usarán . 337 - 289 = 48 cifias
Es decir: 1004 , 1011 ; 1021 N
4= 48 =* N = 1 114 A/f
Por lo tanto la ultima hoja arr.incada contiene las paginas 1 113 y 1 114; luego, el numero 
de páginas del libro debe ser no menor di* I 114 ni mavor de I 123, pues de existir la 
pagina I 124, se tendría que arrancar una hoja más, entonces en altern,divas la única que 
no puede ser la última página del libro es
1110 KPTA. B
4.3 METODO COMBINATORIO
Fundamento : La cantidad de números o combinaciones que pueden formarse con varios orde­
nes o variables independientes entre si, es numéricamente igual al producto de 
las cantidades de valores que pueden tomar dichos ordenes o v.iriahlos.
Ejemplo : /Cuántos números de dos cifras existen en el sistema decimal tal que su cifra de 
mayor orden sea par y su cifra de menor orden sea impar?
Resolución.-
Considerando que los números son de la tonna ab donde por condición del problema "a" 
debe ser par y b” es impar, es decir
0 6 { 2 ; 4 ; C ; 8 } a b e { 1 ; 3 ; 5 ; 7 ; 9}
Combinando los valores de "o" y ’£>" se obtienen los números de la fonna ab, así *
~b Í2 í ; 23; 25; 27 ,29; 41; 43; 45; 47 ; 49|
° £ [61; 63 ; 65; 67 , 69 ; 81; 83 ,85 ,87 ; 89;
Donde puede observarse que hay 20 números de la forma ab.
Utilizando el método combinatorio, en un esquema, sería :
Variables =
Valores dt* las variables
cantidad de valores 
de cada v ariable
a b
i i
2 1
4 3
6 5
•8 7
9
4 55 = 20 numeios
Conlto ile i\uníaos I 19
PROGIGMAS R esu elto s ( GRUPO III )
21.- ¿ Cuántos números de 5 cifras existen en el sistem a heptanarío de manera que su cifra 
inicial sea impar, terminen en 2 ó 5, su cifra central no sea impar y las otras dos cifras 
sean significativas?
A) 726 B ) 864 C) 802 D) 720 E ) 750
Resolución.-
Considerando que los números son do la forma ; ubi de 7 v utilizando el método combinatorio, 
se tendrá según las condiciones del problema :
Cantidad de números =
a b c d e
i i i i i
1 1 0 1 2
3 2 2 2 7
5 3 1 3
4 G 4
5 5
f i G
3 G 4 • G 2 80-1 números RETA B
22.- ¿Cuantos números de la forma :
(a + 2 ){b - 1 )[a2 j(6 + 2 ) 
existen en el sistema de numeración duodecim al?
A) 24 B ) 35 C) 60 D) 30 E ) 45
Resolución.-
Para que el numeral exista en liase 12, sus curas deben sei mouoies que 12, es decir.
o + 2 < 12 => o < 10
b + 2 < 12 =* b < 10
Donde además se observa, en el segundo orden, que “a " es par y, en el tercer orden, que b > 1 ; 
luego, por el método combinatorio, analizando las variables "a v "b"\
Cantidad de números = 5
a b
i i
0 1
2 2
4 3
G 4
8 5
G
7
8
9
5 • 9 45 números RPTA E
120 Problemas, di Aritmética v como resolverlos Hernán Flores Velazco
23.-¿ Cuántos números de 4 cifras existen tal que sus cifras de orden par son mayores en 1 
que las cifras de orden precedente?
A) 64 B ) 90 C) 81 D) 72 E ) 56
Resolucion.-
Los números son de la forma abed donde las citras do orden par (2rl° y 4 '°) son a y c, que por 
condición del problema deben ser mayores en I que las cifras de orden precedente (anterior), 
es decir •
a = b + I a c — d \ 1
Luego, el numeral quedará : abed = (b+-1) b {d +1) d 
Por el método combinatorio, analizando las variables b y d :
b d
i i
0 0
l 1
2 2
8 8
9 • 9Cantidad de números =
24.- ¿Cuántos numerales capicúa de 3 cifras del sistem a de base 6 tienen como suma de 
cifras a un número par?
A) 9 B ) 12 C) 15 D) 20 E ) 24
Resulución.-
Si el numeral capicúa es de la forma ab oG, entonces, por condición del problema :
* a + b + o = # par -> 2o + b = # par
Para cualquier valor de "a”, el valor de 2a siempre es par, entonces "b” debe ser obligatoria­
mente par. Luego por el método combinatorio :
a b
i i
1 0
2
3 2
4 4
5
5 3Cantidad de números = 5 3 = .*. 15 números RPTA C
25.- ¿ Cuántos números m ayores que 300pero menores que 800 se pueden formar utilizan­
do solo las siguientes c ifras:
0 ;2 ;3 ;5 ;6 ;7 y 9 ?
A) 169 B ) 196 C) 168 D) 195 E ) 190
Conten tU Números
Para que los números sean mayores que 300 y menores que 800. deben ser de la forma a b e , 
donde :a e {3 ; 5 ; 6 ; 7}.
Luego, por el método combinatorio :
Resolución-
a b c
i i i
3 0 0
2 2
5 3 3
6 5 5
7 6 6
7 7
9 9
4 7 7Cantidad de números = 4 7 7 = 196 números
Pero, notemos además que el número 300 no cumple las condiciones del problema, luego : 
Cantidad de números = 196- 1 = 195 RPTA. D
26.-¿Cuántos números de 4 cifras, comienzan o terminan en 7?
A) 2 400 B ) 3 600 C) 900 D) 1 800 E ) 7 200
Resolución -
Los números de 4 cifras que comienzan o terminan en 7 son de 3 tipos :
(I) Números de 4 cifras que comienzan en 7 y no terminan en 7 :
7 abe
■1 li ' 
» i i
0 0 0
1 1 1
2 2 2
3 3 3
4 4 4
5 5 5
6 6 6
7 7 8
8 8
9 9 9
10 • 10 9Cantidad de números = 10 • 10 9 = 900 números
122 Problemas de Aritmética v i orno resolvía los Hernán Flores Velozco
(II) Números de 4 cifras que no comienzan en 7 y terminan en 7
abe 7
» T
0 0
l 1 1
2 2 2
3 3 3
4 4 4
5 5 5
G 6 G
8 ot 7
9 8 8
9 9
8 10 • 10Cantidad de números = 8 1 0 - 1 0 = 800 números
(111) Números de 1 cifras que comienzan y terminan en 7 ;
7ab7
T »
0 0
1 1
2 2
3 3
4 4
5 5
G 6
7 7
8 8
9 9
10 • 10Cantidad de números = 10 10 = 100 números
Cantidad de números = 900 + 800 + 100 = 1 800 RPTA D
27. - ¿ Cuántos números de la forma a (a+ b )b existen en el sistema de numeración senario ?
A) 30 B ) 15 C) 21 D) 42 E ) 18
Kcwlución--
Paia que el numeral a {u + b)b exista en base 0 , debo verificarse que : a + b < (i 
donde a e { l ; 2 ; 3 : 4 ; 5).
Si a = l b e {0 ; l , 2 ; 3 . 4} —> 5 númeios
t Si rr = 2 => b e (0 ; l ; 2 : 3 } => 4 números
C<mta> th Suinero\ 123
* Si a = 3 => b e {O ; 1 : 2} =3 3 números
* Si a = 4 => b e {0 ; 1} —> 2 números
* Si a = 5 =* b e {0} =* 1 numero 
Finalmente:
Cantidad de numcios = 5 + 4 + 3 + 2 + l = 15 números RP1A B
28.- ¿ Cuantos números de 4 cifras, todasimpares y distintas entre si. existen en el sistema 
de numeración undécim a!?
A) 144 B ) 120 C) 240 D) 625 E ) 720
Resolución.-
Sean los números pedidos de la forma ubt d donde u ; b ; c v d son impares y diferentes entre sí.
Las variables u ,b , c y d pueden lomar los valores .1 ; 3 ; 5 ; 7 y 9 , pero, por ser distintas entre
si se analiza de la forma siguiente :
* "o" toma 5 valores : 1 ; 3 ; 5 ; 7 , 9.
* "b" toma solamente 4 valores, pin-s, uno de los valores anteriores fue tomado por "a", 
luego es prohibido para "6"
* V torna únicamente 3 valores, pues hay 2 valores prohibidos (los que tomaron 'a ' y "b")
* “( f , por idéntico razonamiento, toma solo 2 valores.
Finalmente, la cantidad de números sera .
5-4-3 2 = 120 RPTA. B
29.- Determinar ¿cuántos números capicúa están comprendidos entre 2 000 y 20 000?
A) 180 B ) 179 C) 80 D) 184 E ) 186
Resolución.-
Los números capicúa comprendidos entre 2 000 y 20 000 son de 4 citras ubba v de 5 cifras ; 
m npnm ; entonces, aplicando el método combinatorio :
2 000 < cibbu a rn n p n tu < 20 000
0
a b
X X
2 0
3 1
4 2
. 3
9
9
Cant. de #s = 8 10 = 80 Cant. de #s = 1
m n i>
X X X
0 0
1 1 1
2 2
9 9
1 10 10
Existen : 80 + 100 = 180 #s RPTA A
124 Problemas de Ai i l n u l i c o v como resolverlos Hernán Flores Veiazco
30.- ¿ Cuántos números de 3 cifras de la base 8 utilizan la cifra 2 en su escritura ? 
A) 162 B ) 172 C) 146 D) 154 E ) 108
Resolución. -
Sean los números de la forma . nbc^
* Calculamos la cantidad total de números
o ó r8
—
f r ?
0 0
1 1 1
2 2 2
3 3 3
7 7 7
— — —
7 8 8 =Canl. de *s =
* La cantidad de números que no utilizan la cifra 2 se calcula
obcH
? r r
1 0 0
3 1 1
1 3 3
5 4 1
6 5 5
7 G G
7 7
— — —
G 7 - 7 =Cant. de #s =
Finalmente, la cantidad de números que utilizan la cifra 2 será :
148-294= 151 RPTA. D
31.- ¿Cuántos números de 3 cifras existen que tengan por lo menos una cifra par y por lo 
menos una cifra im par?
A) 225 B ) 900 C) 625 D) 675 E ) 725
ILysolucion •
Los números pedidos son de la forma abc\ luego para calcular la cantidad de ellos que 
tengan por lo menos una cifra par v Pnr lo menos una cilra impar, se procede asi
• Se calcula la cantidad total de números de 3 cifras
( (nitro ilt Números 125
a b c
i i i
0 0
1 1 1
2 2 2
3 3 3
9 9 I)
8 10 10 =
* Calculamos, ahora, los que no cumplen las eondieiones del problema; es decir, los que 
tienen todas sus cifras pares (falta la impar) y los que tienen todas sus cifras impares (falla la 
par)
t
m np
1
t t f
A> ’ 
l r
2 0 0 1 1 1
4 2 2 3 v3 3
6 4 4 5 5 5
8 6 6 7 7 7
8 8 9 H 9
— — — — — —
4 5 5= 100 Cant. de #s = 5 5 • 5 =Cant. de #s =
Finalmente, la cantidad de números pedida será
900 - 100 - 125 = 675 RPTA. D
32.- ¿Cuántos números de 4 cifras existen tal que el producto de sus cifras sea par?
A ) 9 000 B ) 8 375 C) 7 875 D) 3 250 E ) 1 250
Resolución.-
Para que el producto de las 4 cifras sea par, por lo menos una de estas cifras debe ser par, luego 
la única posibilidad para que este producto no sea par es que todas sus cifras sean impares, 
entonces.
* Calculamos, en pnmor lugar, la cantidad total de números de 4 cifras :
a b e d
i.
? » t »
0 0 0
1 1 1 1
2 2 2 2
3 3 3 3
9 9 9 9
Cant. de números = 9 10 10 10 = 9 000
126 Problemas de Aritmética v como resolverlos Hernán Flores Velozco
* Calculamos, ahora, la cantidad de números de 1 cifras que tienen todas sus cifréis impares ■
m n p q
♦ r t t
1 1 1 1
3 3 3 3
5 5 5 5
7 7 7 7
9 9 9 9
Cant de números = 5 5 - 5 5 = 625
Finalmente, la cantidad de números pedida sota la diferencia de las cantidades anteriormen­
te calculadas :
9 000 - 625 = 8 375 RPTA. B
33.- En el sistema de numeración cuaternario hay 3 072 números de "n ” cifras. ¿ Cuál es el 
valor de “n "?
A) 4 B ) 5 C) 6 D) 7 E ) 8
Resolución-
. * ’ *-■ ( •; i f
Sea el numero de "ri" cifras : c/j a2 a^... afl • f
donde por el método combinatorio :
«i o-.* °3 a i •
i i i i i
1 0 0 0 0
2 1 1 1 1 .V
3 2 2 2 2
3 3 3 3
3 • 4 4 1 - 4 = 3 072
4" = 3-4* => n = 5 RPTA B
i . T
í)
- t 'Y\
¿
34.-¿En qué sistema de numeración existen 90 números de la form a: a(a+ 4)b[b+ 4) ?
A)Nonano B ) Duodecimal C) Hexadecimal D) Base 14 E ) Base 15 
Resolución-
’s
Sea "n” la base de! sistema de numeración pedido; luego, como las cifras deben ser menores 
que la base :
a + 4 < n = * a < n - 1 a b + 4 < n = » b < n - 4
C a n t e n d e f t u n i c m s 127
Por el método combinatorio :
a b
1 i 
0
1 1
2 2
3 3
n - 5 n - 5
Cantidad de números = (ri - 5) (n - 4)
Como existen 90 números (por d a lo ):
(/; - 5) (n - 4) = 90 =* n = 14
9M0
Base 14 RPTA. D
35.-¿En qué sistema de numeración existen 180 numerales capicúa de 5 cifras?
A) Quinario B ) Senario C) Nonarío D )O ctanario E ) Decimal
Resolncion.-
Los numerales capicúa son de la forma c i b c b a n donde "n" es la base del sistema de numera­
ción pedido; entonces, por el método combinatorio :
a b c
i i i
0 0
l 1 1
2 2 2
3 3 3
n - 1 n - 1 n - 1
Cantidad de números = ( / » - ! ) • n n
luego, como la Cantidad de números es, por dato, 180 :
(n - l) • n ■ n = 180 =* n = 6
5 T e
Sistema de numeración senario RPTA B
128 Problemas de \iitmclica v como resolverlos Hernán Flores Veiozco
PROBLEMAS PROPUESTOS
1.- Sea /i, ; n, y nx el número de términos de 
cada una de las siguientes sucesiones , 
.v, y a, respceiivamenté, iloiuie ;
v ,. 15; 16. 17; 18;.... 168
V 14: 18; 22; 2 6 ;.... 186
•Vj: 2 , 9 ; 16 ; 23 .... ; 94
Hallar /i, 4 «, + nx
AH98 B )488 C)512 0)489 h)524
2.- Sean a y b los últimos términos de cada 
sene a y r, respectivamente
.s( . 13 ; 18 . 2 ' 28 ; ... (53 términos)
s , : 2 . 1 1 ; 20 ; 29 ;.. (48 léimmos)
Hallar b - a
A) 152 B ) 153 C )I5 4 D) 151 F ) 150
3.- Si la diferencia de los términos de lugar 
73 y 58 de una progresión aritmética es 
90. Fl décimo quinto termino es 104 Cal 
eular el vigésimo término
A) 186 B ) 194 C) IS 6 D) 144 E ) 114
4.- Señalar cuántos términos tiene la siguiente 
progresión aritmética:
78 ; ab ; a c abe
sabiendo además que : a + b + c = 19
A) 151 B ) 152 0 1 5 3 D) 154 F ) 155
5.- Calcular a + b + n en la siguiente progre­
sión aritmética;
a l ,a 5 ; {a + 1) 1 . 4b ,H * II II II *
A) 12 B ) I 5 C ) I 7 D )18 F ) 19
6.- En la siguiente progresión aritmética, que 
consta de 33 términos, determinar la suma 
del primer y ultimo termino;
3<i 7 3«9 • •
(La suina de cifras del ultimo termino es 7)
A ) 665 B)667 C)776 17)778 F)887
7.- Fn la siguiente progresión aritmética :
1\ ;...; ab t ; | V j , . (2//)59
Fl numen» de téiimnos que hay desde 31 
hasta 139 excede en 1 al número de tér­
minos que hay entre 139 y (2«)59. De 
terminal el valor de </ + /> + «.
A ) 8 B ) 9 O 19 D) 11 F) 12
8.- ¿.Cuantos números del sistema decimal se - 
icpresentan con 3 cifras, tanto en el sis- -w 
tema ocianano como en el sistema \ 
señar io"'
A ) 150 B ) 151 C) 152 D) 153 E) 154
9.- ¿ Cuántos términos tiene la siguiente pro 
grcsion aritmética'.'
a bn , ban [ , 88 + ,. ... , 64( n +1 )(>
A ) 16 11)17 C ) I8 D) 19 F ) 20
10.- Un hombre tiene que pagar una deuda de
. ' SI. 3 600 en 40 pagos mensuales tu\a|T. ¿ 
dilereneia mes a mes es constante. Cuan­
do ya había cancelado 30 de las mensua­
lidades fallece dejando una tercera par­
te de la deuda sin pagar. ¿ Cuál lúe el ul­
timo importe que pagó? t
A )51 B ) 131 C)133 D )127 F ) 109
11.- ¿Cuantas cillas se emplearan al enume­
rar las siguientes secuencias '
( I ) 3 9 , 41 ; 43, .931
(II) 1 .2 . 3 ......640
Dar la suma de ambos resultados
A ) 3 12S B ) 3 222 C ) 3 I 22
D) 3 424 E ) 3 548
Conten ilc Números 129
12.- Al escribir la serie de los números natu­
rales a partir ile I se emplearon 5 213 ci­
llas en total (Cuál es el último número 
escrito?
A) 1570 11)|5N) C)1540
[)) I 520 1 580
13.- Al enumerar la primera mitad de las pagi­
nas de un libro se utili/o702 cilras (.Cuán­
tas c i l r a s se empleó en lodo el libro?.
A) 1404 11)1418 C)I510
17)1512 E) 1516
14.- En la paginación de las 38 primcias lu>|asde un libro se ha usado la sexta parte de 
la cantidad de cilras que se emplean en la 
paginación total. El número de hojas del 
libro será :
A) 322 B) 135 -¿H 6 I D)22X F) 114
15.- ¿Cuantas páginas tiene un libro si en sus 
100 últimas paginas se han utili/ado 283 
tipos de imprenta?
A) 180 B) 181 0182 D) 183 F> IK4
16.- De un libro de 500 hojas se arrancan 5 
hojas seguidas notándose que en l a s ho­
jas que quedan se habían utili/ado. 2 866 
tipos, en su enumeración. Determine el 
numero de la primera pagina arrancada.
A ) 95 B)96 C)97 D)98 E)99
J7.- De un libro de 321 hojas se arrancaron
—- cierto numero de hojas del principio, oh- 
servandose que en ius paginas restantes 
se usaron I 679 tipos de imprenta. ¿.Cuan­
tas hojas se arrancaron?
A ) 26 B ) 27 C)36 F»37 E)3S
18.- ¿Cuántas páginas de un libro se podrán 
enumerar con el doble del numero de ci 
Iras que se utilizan para enumerar un li­
bro de 500 |iaginas? *
A) 962 B)972 C)964 Df548 E)965
19.- Considere un lolleto lormato medio oficio 
elaborado con j>a|vcl tamaño oticio. Al nu­
merarlo se obseda que una de las hojas 
tamañoolicioesta numerado' 35 ; 36;799y 
800. . Cuantas cillas se escribieron al enu 
meioi las paginas del folleto7
A) 2 192 ^B)2 394 C)3052
D)2 564 F.)2794
20.- Para numerar un libro se necesitan 855 
cilras Si se le divide en 3 capítulos de 
lal forma que la numeración de cada ca­
pitulo coiiuen/a en I, siendo la dilcren- 
cia de paginas entre dos capítulos suce­
sivos de 22 paginas. Hallar cuantas ci­
llas. de mas de menos, se necesitarán 
paia su enumeración con respectivo a la 
forma inicial.
A ) 200 mas B ) 200 menos C) 202 más
I» 202 menos E ) 147 menos
21.- ¿.Cuantos numerales naturales de 3 cilras 
existen que no utili/an la cifra 2 ni la cifra 
3 en su escnluia7
A) 800 B)900 C)810 17)512 E)448
22.- ,.Cuánlos "capicúas" de 7 cifras, cuya 
suma de cilras sea impar, existen en el sis­
tema de numeración decimal7
A) 4050 B)5400 C)5(H0
1)14 500 E)40(X)
23.- ( Cuantos números de 3 cilras del sistema 
decimal tienen exactamente una cifra que 
pertenece a A ?
A = {2 . 3 ; 4 ; 5}
A») 384 B)675 0225 D)450 E)2X8
24.- ¿Cuántas cilras se empicarán al enumerar 
todos los números pares mayores que 
5 (KM) y menores que 15 000 que se pue­
den lormai con las eilias .
0 ; 1 , 3 . 4 ; 5 ; 7 y 87
130 f'rohltnuis de Aritmética ) como resolvíríos Hernán Fiorcs Velozco
A )4 124 B ) I 416 0 3 672
P ) 3 542 E)4700
25.- tCu;intu\ números de 3 cifras, diferentes 
entre si. existen en el sistema de numera­
ción hcptanario'’
A) 120 14)180 0 210 n»\5t> L ) 144
26.- ¿Cuántos números, capicúas pares de 5 
cilras. tal que las 3 primeras sean dilc- 
rente entre si, existen en el sistema de 
numeración heptanario ’
A) 100 14)75 C) 120 ir* 105 D 1 I7
27.- /Cuantos números de 3 cilras de la base 
8 ulili/ar. la cilra ° en su escritura?
A) 162 B* 172 0 116 I» 154 1-) 108
28.- (Cuantos números de 1 cifras tienen 
■alguna cilra 2 o alguna cilra 4 en su es-
crituia.’
A) 452 B)252 C)352
D) ISO E)3í)0
29.- ( Cuantos números de 3 cilras tienen por 
lo menos una cilra que pertenece a A en 
û escritura'*
A = (2 , 3 ; 4 . 5}
A) ISO tí'/720 0 3 6 0 D )600 E)540
30.- ( Cuantos mimeios de 4 cilras de la base 
7, tienen por lo menos dos cifra** igua-. 
les' I
A) 720 13)1250 C) I 344
D) I 33S h) I 348
31.-(Cuantos números Je 4 alias mayores que 
4 (KM), terminan en 0 o en 7 *
A) I 200 0)599 C)1199
D)«K) E) I 8<Á>
32.- /Cuantos números de 4 cifras ma\ ores que 
3 ÍHK) se puede formar con las cifras
0 . I ; 3 : 4 ; 5 .7 : 8 y 9 >
A ; 3 071 14)2080 0 2 058
I))3072 E) 2 688
33.-, Cuantos números de 5 cdias se pueden 
loim.ir con la cifra *
I ; 2 ; 4 . 5 : 6 y 9
de tal manera que el producto de la cuar­
ta y la segunda cilr i sea 18 ?
\ ) 216 B)432 O KM
P ) 1 728 ht 3 4̂ 6
34.- En cierto .sistema ríe numei.icion de lo 
dos los números que se escriben con 4 
cilias. ha\ 20 que sr»n capicúas. (Cuan­
tos no son capicúas *
A ) 280 I 4 ) 4 S 0 C > 4 8 0
P)58() L)600
35.-, l;n que sistema de numeración existen 
648 números de la forma :
r/(« + 2 )/>(/>-2 ) t ( í - I ) ( r + 1 ) ■’
A) Duodecimal P ) Undécima!
14)Hexadecimal F; ) Non.mo
%
O IXvimal
. i
CUATRO 
OPERACIONES
5.1 ADICION
A FORMULA PARA SUMAR NUMEROS EN PROGRESION ARITMETICA
o _ (1er término + Ultimo término) (número de términos)
2
Ejemplo : Calcular : S = 5 + 12 + 19 + .... + 278
Resolución : Nótese que la razón es 7 y a d e m á s :
278 — 5Número de términos = — y ' + 1 = 40
Luego S = (5 + 278)10 2 S = 5 ÜGO
B SUMAS IMPORTANTES.
B1) Suma de los "n" primeros números enteros positivos
S » 1 + 2 + 3 + ... + n = n(n +1 )
B2) Suma de los "n" primeros números pares positivos
Sp = 2 + 4 + 6 + ... + (2n) = n (n + 1) 
B3) Suma de los "n" primeros números impares positivos
S, = 1 + 3 + 5 + ... + (2n - 1 ) = n~ 
B4) Suma de los ”n" primeros números cuadrados perfectos (* 0)
S , = l2 + 22 + 32 + ... + rr = n (m l ) ( 2n + l ) " 6
B5) Suma de los n ' primeros números cubos perfectos (* 0)
BG) Suma de los "n" primeros productos de dos números consecutivos.
M
. . . . . . . ̂ / .x /?(/? + !)(/?+ 2 )S = 1 r 2 + 2 x J 3 x 4 + + n (/i + 1) = 2
B7) Suma de las "ri" primeras potencias naturales de un número A.
S = A<% t A ' + A 2 + A3 + ... + A"-' = A " ' 1A -1
Bb) Sumas triangularos.
a) Dadas las siguientes sum.is •
Sj = 1 + 2 + 3 + 1 + + n
S¿ = 2 + 3 + 4 + + /i
Sj = 3 + 1 + .. + /i
132 Problemas tle Aritmética v coma rc\ol\ tolos Herrón Flores Velozco
Se cumple que :
t . c . c ^ c n ( n + I ) ( 2 / i r l ) =» S, + S, 4 S3 + ... 4 S„ = - -6
b) Dadas las siguientes s u m a s :
S, = 1- + 2? + 3- + 42 + ... + ri£
S¿ = 2‘ + 3= + 4" + ... + n2
= 3“ + 42 + ... + i r
Se cumple que .
Cuatro O paanom v
PROGL€MOS ReSUeiTOS ( GRUPO I )
1.- Calcular el valor d e "S ” s i: S = 1 x 5 + 2 x 6 + 3 x 7 + ... +20x24
A) 3640 B ) 3590 C)3710 DJ3774 E)3910
Resolución -
Escribiendo <i los sumandos en forma conveniente
S = 1 (1 + 4) + 2 (2 + 4) + 3 (3 + 4) + +20 (20 + 4)
Efectuando oper.n iones .
S = l 2 + 1 x 4 + 22 + 2 x 4 + 3a + 3 y 4 + + 202 + 20 * 4
Agrupando S = ( l 2 + 22 + 32 + + 20J) + 4 (1 + 2 + 3 + +20)
I tili/ando las formulas de suma de números enteros positivos v de cuadrados pertectos .
„ 20(21)(4I) 20( 21)
a = „ + 4 xb 2
S = 3710 UNA. C
2.- Indicar el valor de "K " que hace posible que la suma de los térm inos de la siguiente 
progresión aritmética : K ; K + 6 ; K + 1 2 ;. .. ; TK
A) 17
R e s o l u c i ó n . -
B ) 18 C) 19 D) 20 E)21
7K- KComo la razón es 6, el numero de términos es : .. + I = K + Ib
Entonces, por la fórmula de la suma de números en progresión aritmética
(K+7KKK+1)
2 = IÜK0
Efectuando y .simplificando K (K + I) = 420 
K = 20 RPTA. D
3.- Calcular la suma de todos los términos d e ,
A) 2r?
D) n3 - 1
B) n?
E)3rr2
C)2n3
1 2 3
2 3 4
3 4 5
n n + 1 n + 2
n 
n + 1 
n + 2
2 n - 1
Problemas de Aritmética v como n volverlos Hernán Flores Velozco
Resolución.'-
Notemos que en cada fila hay "n" números; entonces aplicando la fonnula de 1.» suma do 
números en progresión aritmética para cada una, tendremos :
(l + rr)n (2+// + l)/r (3 + /í + 2)/7 (/r + 2/r-I)n
•i “ 2 - + -2 + 2 + •••••*• 2
Etectuando las operaciones entre paréntesis y sacando factor común : . tendremos
S= j |(l + n) + (3 + /i) + (5 + /i)+....+(3/? I)]
Aplicamos, nuevamente la lonrmlu para sumar números en progresión aritmética
5 _ a £ (Jj^ +3/1-0/1J 
=> S = rts RPTA. B
4.- S i : a + b + c = 14; h a lla r: M = ab3 + c2b + 4ac + bea 
A) 1554 B ) 1777 C)1754 D)1977
Resolución.-
E) 1654
Ordenando a los sumandos de M en columna para .suiu«ir orden por orden, se obtiene el 
resultado de la suma :
1 1
o b 3
c 2 b
\ a c
b f a
1 9 7 7
= H (dato)
M = 1977 RPTA. D
5.- H allar: x + y + a ; s i : a1x + a2x + a3x + ... + a7x = 38y1 
A) 6 B ) 7 C) 8 D) 9
Resolucion.-
Sumundo orden por orden :
7 sumandos •
a I \ + 
a 2 \ 
a 3 x
 Q 7 Y
3 8 y l
E ) 10
Cuatro Operaciones 135
*En el I " oiden 7 x x = ... 1
Luego v = 3 , pues , 7 x 3 = 21 (pongo I llevo 2)
* En el 2do orden : 2 + ( I + 2 + 3 + ... + 7) = 2 + 7-8) = 30 (pongo 0 llevo 3)
m0
=$ y = 0
* En el 3W orden ; 3 + 7 x a = 38
7 x a = .35 => o — 5
a + y + y = 8 RPTA C
6.-Hallar "c " s i: a74b + c7a + 5ba2 = bba68
A) 4 B ) 7 C) 5 D) 8 E ) 6
Resolncion.-
Escribimos a los números uno debajo de otro para sumar orden por orden ; a "¡
<
5 t 
b b t
* En el I ,-r orden : b + a + 2 = 8
=* a + b = 6
* En el 2rto orden : 4 + 7 + o = .... G
(i
a = 5 =* b = 1 (llevamos l al 3l‘r orden)
* En el 3” orden : I + 7 + c = ... a =3 ( I + 7 + c) + 1 = .... 5
c = G RPTA E
7.- Hallar (m + n) s i se cumple que: nm + mn + 352 = nmn
A) 12 B ) 14 C) 15 D) 8 E ) 13
Resolución -
Colocamos a los números en forma vertical para siim.u oiden por orden : n
rn 
3 5
4 b + 
7 a 
o 2
G 8
r n 4
n
2
n rn n
136 l’iobh nuis de AiilHictn a v como t csnhi tíos Hernán •s yes Vefazco
ti
... n - n 
... O
8 (llevamos 1 )
... ni 
. . . m - tn
... 0 
4
12 RPTA. A
8.- S a b ie n d o que : 21 a b + 2 4 a b + 27a b + ... + 6 9 a b = x y z 6 3 . ¿C u ál e s e l v a lo r d e : 
a + b + x + y + z ?
A) 27 B ) 28 C) 29 D) 30 E)31
Resolución -
Colocamos a los sumandos eri forma vertical para sumar orden por orden 2 I u b +
2 4 u b 
2 7 a b
6 }) a b 
\ v z 6 3
* El numero de sumandos sera : ^^3^* + I = I?
* Di el P r orden 17 x b ... 3
Luego b = 9 , pues • 17 x 9 = 153 (pongo 3 llevo 15)
* En el 2a * orden 17 x a + 15 - ... G
Luego : u — 3 , pues : 17 x 3 + 15 = G6 (pongo 6 llevo (>)
* En el : r V T ° orden : ( 21 ♦ 24 + 27 + ... +69) + G = uz
771 = uz
\ * 7 
y » 7 
z = I
* En el I orden : ni + n + 2 =
ni + 2 =
m + 2 =
=s m =
' En el 2',rt orden . 1 + n + ni + 5 =
n + 6 =
n 6 =
=> n =
ni + n =
a + b + \ + y + z = 27 RPTA A
Cnaltn Operaciones 137
9.- Hallar la suma de las 3 últimas cifras de la siguiente suma : 3 + 53 + 353 + 5353 + ...; si 
dicha sumatoria tiene 24 sumandos.
A) 10 B ) 11 C) 12 D) 13 E ) 14
Resolución
Colocando a los sumandos en tonua vertical par»! sumar orden por orden :
24 sumandos
3
53
353
5353
* En el Ier orden : 3 x 21 = 72 (pongo 2 llevo 7)
* En el 2du orden : 5 x 23 + 7 =122 (pongo 2 llevo 12)
* En el 3‘‘' orden 3 x 22 + 12 = 78 (pongo 8 llevo 7)
Luego l.i suma termina en : 822
8 + 2 + 2=12 RITA. C
10.- Determinar la suma de cifras del resultado de la siguiente ad ición :
7+97+ 997 +.... + 999... 997
60 cifras
A) 67 B ) 68 C) 69 D) 70 E ) 71
Resolución.-
Escrihiendo cada sumando en forma conveniente :
7 10 - 3
97 = 100 3
997 = ÍOÜO - 3
999...997 = l 00...0000 -3
GOcifras fiOcifiastT
Sumando verticalmente se tendrá : 111... I I I 0 - 3 (00)
Restando orden por orden :
60cil,-.isT
1 1 1 .... 1 1 1 1 0
180
1 1 1 ...' — —v-.10930
5 7 c i f i . i s " I "
Suma de cittas = 57 + 9 + 3 + 0 = 09 RPTA C
P tobianas de A ritme tica v tomo resolverlos Hernán Flores Velozco
11.-La suma de todos los números de "n " cifras cuyo producto de cifras es 5, termina en 42. 
Calcular el valor de "n “ sabiendo que es un número de 2 cifras.
A) 15
Rcsolución.- 
La suma será :
B ) 16 C) 17 D) 18
n números
’/T'cifras
11 I ... 11 5 +
1 1 1 .. 151 
1 I 1 ... 5 I 1
115 . 1 1 1 
15 1.. 111
115... I 1 I
... .42
Del Iw v 21" orden se puede concluir: 5 + (» - I) = 22
n = 18
E ) 19
RPTA. D
12.- Se tiene la sum a: abede + edeba = 9x8yz ; además se sabe que :
a? + b? + e2 = c3 + d* + 5 ; y ; 
a > b > c > d > e > 1
Calcular: x + y + z .
A) 24 B ) 25 C) 26 D)27 E ) 28
Reipludyn.-
Ordenundo la suma n b c d v + 
e d e b a
9 x 8 \ z
A partir de la desigualdad dada podemos mferii que c > 9. luego en el 3'r oidcn
2». c = 8 =* r = 4
Luego, como d y e son inenoies que "c” pero mayores que 1; lendiemos que
d = 3 a e = 2
Fn el 5'" orden a + r = 9 —> « + 2 = 9 -=» « = 7
Por dato u¿ + b¿ + e2 = i ' + d 2 + 5
Reempl.izando ■ 7~ + b1 + 2~ = f + 3~ + 5 4> /; = 5
Cuatro Operaciom \ I 39
Entonces, la suma será : 75 132 + 23 157 = 98 889
x + y + z = 25
y =8
Z = 9
x = 8
RPTA B
13.-La suma de los 6 números de 3 cifras distintas que pueden formarse con las cifras a, b 
y c (a > b > c) es 4 218. S i la suma de los 3 números mayores excede a la suma de los
otros 3 en 792, hallar: ax ̂
A) 7
Resolución.-
B ) 14 C)21 0)28 E ) 56
Ordenando de mayor a menor, los 6 números serán : a 6 t +
a c 6
6 a e
6 c a
e a 6
e 6 a
4 2 I 8
En el lrr orden notamos que : 2 (o + b + r ) = 38
• => o + b + c — 19 .„ (« )
Pbr dato se sabe que la suma de los 3 mayores, más la suma de los 3 menores es 4 218.
Asimismo, la suma de los 3 mayores excede en 792 a la suma de los 3 menores.
. i » . ? 4 218 + 792Luego l« suma de los 3 mayores es : — = 2 505 *
Luego . a b e + 
a c b 
—Lu jl l
i >
P7 urden. 2» + b = 15 ... ((1)
3'7 urden . 2a + b = 23 ... (y)
2505
Los uniros valores que cumplen (a ) , ((3) v (y ) san :
a = 8 a 6 = 7 a c = I
a.b (8)(7)
4 14 RPTA. B
14.- Disponemos únicamente de las cifras :0 ; 3 ; 4 ; 7 ;8 y 9. H allarla suma de los números 
pares de 3 cifras que pueden formarse.
A) 60 810 B) 39 960 C) 51 615 D) 61 938 E) 62 716
140 Problemas de Aritmética y como resolverlos Hernán Flores Velozco
Resolución.-
En primer lugar calcularemos, por el método combinatorio, la cantidad de números *
?
a b e
» ?
3 0 0
4 3 4
7 4 8
8 7 -
9 8 3
9
5 x 6 * T
’ cifras pares
Puesto que la suma se puede calcular orden por orden, tendremos :
90* En el I " orden : ̂ (0 + 4+ 8)= 360
90
* En el 2**° orden : c (0 + 3 + + 4 + 7 + 8 + 9) = 465o
90* En el 3rr orden : & (3 + 4 + 7 + 8 + 9) = 558
Entonces la suma de esos números será : 360 +
465
558
60810
60 810 RPTA A
15.- Hallar la suma de los números de 3 cifras que tengan por lo menos una cifra par y por lo 
menos una cifra impar.
A) 280 775 B ) 370 775 C) 300 675 D) 380 775 E ) 360 775
Resolución.-
En primer lugar calculamos la cantidad de números de 3 cifras que tienen por lo menos una 
cifra par y por lo menos una citra impar, utilizando para ello la siguientes relación y el método 
combinatorio.
( Total de números ̂ ( Total de números ̂ ( Total de números \
\ de 3 cilras ) [ de 3 cifras pares J “ ̂de 3 cifras impares J —
abe abe abe
» ? T T f ? * * *
9 x I O * 10 4 x 5 x 5 5 x 5 x 5
900 100 # s 125 * s
Cuatro Ü¡h lociones 141
Reemplazando estos resultados en (a ) diremos existen . 900 - 100 - 125 = b75 , números 3 
cifras que tienen por lo menos una cifra pai y por lo menos una cifra impar.
La suma de estos números se calcula de manera similar •
(Suma de todos los \ 
Inlimeros de 3 cifras I (Suma de los números \ de 3 cifras pares J
u u
En el l ‘,f y 2í1° orden la | * En el 1rr y 211" orden
suma es ■
900 
10 (0+1+2+3+. .+9) =
la suma c*s ' 
100 (0+2 + 4+G+8) —
900 
9
= 100 
* La suma será :
(1+2+3+ .+9) = 
(9x10)l 2 J = 1j0
t 100
l (2+4+6 + a) =
4050 + 
4050 
4500___
494550
= 25 (20) = 500
* La suma será •
400 + 
400 
500
54400
(Suma de los números) de 3 cilras impares J —(P)
8
En el r r , 2,l,> y 3er orden 
l.i suma es :
IU , 5 * l
= 90 ( j = 4050 | = 20 (20) = 400 j
* En el 3‘‘r orden la suma es : ̂ * En el 3*‘r orden la suma es
125 (1+3+5 + 7+9) =
= 25 (25) = 025
* La suma será :
G25 + 
025 
G25
69375
Finalmente, reemplazando estos resultados en ((1). la respuesta sera : „
404 550 - 54 400 - 69 375 = 370 775 RPTA B
142 Ptohlemas de Antoniieo \ como resolverlos Hemon Pores Velazco
M - S = D Donde • M => Minuendo
S =* Susli.iendn
D -> Dilerenr la
PROPIEDAD (A)
M = S + D
PROPIEDAD (B
M + S + D = 2M
PROPIEDAD (C)
«Si a un número fie 3 cifras (ton su cifra de centenas mayor que su cifra de unidades) se le 
resla el numeio que resulta de invertir el orden de sus cifras, entonces en la dilcreneia, la cifra 
de decenas siempre es 9 v la suma de sus cifras de unidades > centenas es 9-,
Sea el numero abe donde c > r , si: ubi - cha = m np, se cumple
/? = 9 
m + p = 9 
a -c = m + 1
Demostración :
a h e ­
c h a
mnp
lrt orden: I0 + C - o =/7 (« )
J?1* orden : lü + b - 1-b = n .... (|3)
3°' orden <7 - 1 - c = rri .... (y)
En (p)
(a) + (y) * 
En (y) *
10 + c - a + a - 1 - 1 = p + ni =s r/i + p = 9
a - 1 - c = m => a - < = m + 1
10 + b • 1 b = n n = 9
Ejemplo Hallar cr + c: : si abe • cba = mn2 
Solución ■
De acuerdo con la propiedad expuesta, se tendrá que :
Cuatro O pa aciones 143
n = ü
m + 2 = 9 => rn = 7
a - c = m + 1 => a - c = 8
Luego: « = 9 a c = 1 (únicas posibilidades)
a2 + c2 = 92 + l 2 = 82
NOTA
En el sistema de numeración de Base "rf ; si : abe,, - cba„ = xac , se cumple 'rf •
v = n - 1 
r + z = n - 1 
a -c = x + 1
METODO DE SUMAS Y DIFERENCIAS
Se emplea cuando el problema-a resolver tiene como datos tanto la sui lia como la diíerencia 
de las Cantidades desconocidas. Por lo general el calculo de esl<i> cantidades se hace operando 
mecánicamente con los datos (Suma v Diíerencia) de Ja numera como se indica en el siguiente 
cuadro:
ESQUEMA ILUSTRATIVO
Representando por barras a la suma y diferencia de dos números: Mayor y menor, tendremos 
el siguiente esquema :
Cantidad mayor S u m a + D ife r e n c ia->
Cantidad menor S u m a —D ife r e n c ia_ . _ ^
S U M A
Mayor Menor
M en or
D I F E R E N C I A
De esto observaras que :
1) Suma - Diferencia = dos veces menor
2) Diferencia -+■ Menor = Mayor
144 Problemas de Antnutica \ ionio tcsolvcrios Hernán F lores Velazco
pftoeteM&s R e a ra ro s ( grupo tt i
16.- En una sustracción, la suma de sus 3 términos es 142. S i la suma del sustraendo mas 
el minuendo es 100. hallar la diferencia.
A) 26 B ) 71 C)29 D)42 E)13
Resolución *
Sea la sustracción : M - S = D =s M = S + D
Por dato M + S + D=142
2M = 142 
M = 71
Por dato . S + M = 100 => S + 71 = 100 => 5 = 29
Finalmente M - S = D => 71 - 29 = D
D = 12 RPI A D
17.- En una sustracción, a l sustraendo le sumamos 140 y le restamos el cuádruple de la 
suma del sustraendo mas la diferencia, obteniéndose como resultado el minuendo. Sa­
biendo que el sustraendo es el mayor número posible cuya suma de cifras es 3 y que la 
diferencia es un numero positivo: hallar la suma de los términos de dicha sustracción.
A) 68 B ) 72 C) 78 D) 84 E)56
Resolución.- •
Sea la sustracción : VI - S = D => \\ — S + D
Por dato : S + 140 - 4 (S + D) = \1
S + 140- IM = \1
=* s + 1 U) = r.\l
Coí no el sustraendo tiene corno suma de c ifras a 3 S = .30
tntonces : 30 + 140 = 5M =* \1 = 34
M + S + L> = 2M = 2(34) = f>8 RPr \. A
18.- En una resta, si al minuendo se le agrega 2 unidades en las decenas y al sustraendo se 
le aumenta 5 unidades en las centenas, entonces la diferencia dism inuye en :
A) 52 B ) 520 C) 502 D)480 E)370
Cuntió ()¡n raciones 145
Sea la resta : M - S = U
Si al minuendo se le agrega 2 unidades en las decenas, el nuevo minuendo sera :
M + 2 (10) = M + 20
Si al suslraendo se le aumenta 5 unidades en las centenas, el nuevo sustraendo sera :
S + 5(100) = 5 + 500 
Entonces la nueva resta será :
(M + 20) - (5 + 500) = (M - S) - 480 = D - 480
La diferencia disminuye en 480 RPTA. D
19.- A l sumar a un número de 3 cifras el que resulta de invertir e l orden de sus cifras se 
obtuvo 1291: pero si en vez de haberse sumado se hubiera restado, el resultado hubie­
se terminado en 7. Hallar el mayor de los números.
A) 791 B ) 794 C) 792 D) 793 # E ) 795
Resolución -
Considerando que el número buscado es : ubc
Por dato: abe + cba = 1291
Asimismo : abe - cba = xy7 \ ^
' J
= 297 (Por propiedad (c )) »
1291 + 297Luego : abe = ^-
abe = 794 RPTA. B
20.- Un número de tres cifras abe es tal que: abe - cba = mn3
S i se sabe que la suma de sus cifras es 19; hallar el valor d e : a2 + b2 + c3
A) 150 B ) 151 C) 152 D) 149 . E ) 153
Rcsolución.-
Por propiedad: n = 9 a m = 6
Entonces : abe - cba = 693 a - c ■= 6 + 1 = 7
Resolucion.-
Como : a + b + c = 19
!46 Problemas de Aritmética v tonto resolvalos Hernán Flores Velozco
Entonces: a = 9 r= 12 6 = 8
a- + b¿ + c3 = 153 RIMA E
21.- S i cada asterisco es una cifra en :
abe - cba = 3 "
abe + cba = * 35 *
Hallar el valor d e : 2a + b + c
A) 18 B ) 24 C) 27 D)21 E ) 19
Resolución -
Según I.t propiedad (c). se tendrá que : uhc ebu = 3 % a o c = 4 ..(<0
Al lora en la suma :
abe + 
cba 
*35*
Es fácil reconocer que . 6 = 7 a a + c = 12 ... ((i)
Resolviendo (re) y (p ) : o = 8 \ c = 4
2o + 6 + c = 2(8) + 7 + 4 = 27 RIMA C
22.- Considerando que todos los números que intervienen en e l presente problema están 
expresados en base "n c a lc u la r la cifra de 3er orden de la diferencia de un numeral de 
3 cifras y el que resulta de invertir el orden de sus cifras, sabiendo que en dicha diferen­
cia la suma de cifras es 17 y la cifra de 3er orden excede en 2 a la cifra de 1er orden.
A) 4 B ) 5 C) 3 D) 6 E )7
Kesuluiion.-
Sea c/6c n el numero de 3 cifras que buscamos. Ahora según los. da tos se sabe que 
aben - c6o „ = u : n , donde nuestra incógnita es: i = ’
* x + > + z = 17n (pues lodos los números del piobleina están en Base '//”)
r a - ? = 2
/ De acuerdo con la propiedad (c) \ = n - l a v + z = // -1
( orno : \ + v + z = 17f| => (// - I) + (o - 1) = o + 7 > n = 9
Finalmente : x +■ z = 8
x - z = 2 => \ = 5 RPTA B
/ ,23,- La diferencia de 2 números de 3 cifras significativas es 291. ¿C ual sera la diferencia de 
í dichos números con el orden de sus cifras invertido?
W A) 191 B ) 93 C)293 D) 43 E ) 91
Cuatro Oju i aciout ,\ 147
Analizando la resta, orden por orden ; abe -
d e f
291
* En el P r orden : c- f= 1 ...(a )
* En el 2ll° orden : 10 + 6 -e = 9 ... (fi)
=> e - b = I
* En el 3 " orden : a - I - d = 2
=> a-d = 3 ... (y)
A partir de la resta pedida, tendremos : eba -
f ed
Según (y), en el 1er orden : a- d — 3
Según CP), en el 2do orden : 10 + b - e = 9
Según (a), en el 3” orden . c - 1 - f = 0
eba - fed = 93 RPTA. B
i24.- ¿Cuántos números de 3 cifras cumplen que ai sum arles o restarles 424, en ambos 
casos se obtengan capicúas de 3 cifras?.
A) 5 B ) 6 C) 7 D) 8 E )9
RiLitiluomi.-
Considerando a abe como uno de los números de 3 cifras se tendrá :
abe + 424 = ded i a
abe - 424 = fg f I T
Restando miembro a miembro : 848= ded - f i f í
Es decir: d e d -
f S f
84 8
* En el I *'1 orden . d - f = 8 
Luego. d = 9 a f = 1
148 Problemas de Aritmética y como resolverlos Hernán Flores Velozco
* En el 2^ orden : e - g = 4
i i
4 0
5 I
6 2
7 3
8 4
9 5
6 posibilidades
Como hay 6 pares de números capicúa que cumplen el problema, entonces
Existen 6 números RPTA B
25.-¿Cuántos numerales de 4 cifras, distintas y diferentes de cero existen, tal que restados 
' en el que resulta de invertir e l orden de sus cifras dan en su diferencia, un numeral 
capicúa de 4 cifras.
A) 16 B ) 15
Resolución -
Según el enunciado:
C) 18 D) 12
ab cd - 
deba
x yy \
* Del T-' y 41" orden : 10 + d - a = x
a -d = x
Sumando miembro a miembro : x = 5
* Del 2do y 3er orden * 1 0 + c - I - b = y
b - 1 - c = y
Sumando miembro a miembro : y = 4
Luego en (0) y (y)
E ) 10
A
(6)
(Y)
a - d = 5 A b - c =
i i i i
6 1 6 1
7 2 7 2
8 3 4 posibilidades 8 3
9 4 9 \
Como las cifras deben ser distintas concluimos que
Cantidad de números = 4 x 3 = 12
4 posibilidades
w f ,
RPTA D
Cuatro Operaciones 149
5.3 MULTIPLICACION
Donde: M
m
P
M x rn = P
Multiplicando
Multiplicador
Producto
<=> M + M + M ....+ M = P
m veces
ALGORITMO DE LA MULTIPLICACIÓN
Multiplicando 
Multiplicador —
- * - N x 
- a b e
Productos 
parciales 4
L l □ r iL 'H N x cnnnn ~ nx¿>
□ □ □ □ . - N x a
Producto =-0 □ □ □ □ □
Ejemplo : Hallar la suma de las cifras del producto e n :
.1 . * 
3 .2
A) 20
Resolución.-
B)21
.3 .
3 .2 .
. 2 . 5
1 . 8 .3 0
C) 22 D) 23
a 1 b x 
3c 2
. 30 
3.20 
. 2.5 
1. 8. 30
* Como • 2 . a\b = .30 -» b = 5
■
•Como. c .a l5 =3.20 —» c = 8
* Yaque : 8 x ol5 = 3.20 -» a - 4
Entonces el producto será : 415 .382 = 15 8530
£ cifras = 22
E) 24
150 Problemas de Aritmética y como resolví r!o\ Hernán Flores Velozco
PROBLEMAS R€SU€LT0S ( GRUPO III )
26.- E l producto de dos números es 720; s i se añaden 6 unidadesal multiplicando, el 
producto es entonces 816 ¿C uál es el m ultiplicador?
A) 72 B ) 36 C) 45 D) 16 E)32
« t
Resolución -
La multiplicación sera • M x m = 720 (*)
é
Por dato (M + 6) x ni = 816
Efectuando . M x m + 6 x rn = 816 
De (*) se tiene : 720 + 6 xm = 81G
6 x rn = 96
m = 16 RPTA D
27.-En la multiplicación de dos números, s i a uno de ellos se le quita 3 decenas, el producto 
disminuye en 10 830. Hallar uno de dichos números.
A )320 B ) 361 C)412 D)317 E)326
Resolución.-
Considerando la multiplicación : M x m = P
Por dato : (M - 30) x m = P - 10 830
Efectuando operaciones : M x rn - 30 x rrt = P - 10 830
P - 30 x m = P - 10 830
30 x m = 10 830
m = 361 RPTA. B
28.- Hallar : E = (b + c) - (a + d), s i en la m ultiplicación : abed x 95, la diferencia de los 
productos parciales es 15 372.
A) 12 B )6 C) 3 ‘ D )8 E ) 10
Resolución -
En la multiplicación abed 95 los productos pare lales son abed • j y ahid 9
Por dalo, se sabe que ■ 9 x ubed - 5 x abed — 15 372
Cnano Opi un iones 151
Entonces • abrd = 3843
De donde se puede reconocer que : o = 3 , 6 = 8 , r = 4 a d — 3
E = (6 + c) - (a + d) = 6 RPTA. B
29.- Al multiplicar un número por 47 se comete el error de colocar los productos parciales, 
uno debajo del otro sin dejar un lugar vacio a la derecha, obteniéndose como resultado 
5 973. Calcular el producto correcto.
A) 28 543 B ) 25 532 C) 25 521 D) 25 510 -E) 26 312
Resolución -
El esquema de multiplicación realizado seria : N x
4 7
r r _ i ]- — n x 7 c; i - N x 4 
5973
Nótese que: 7x.N + 4 x N = 5973 => N = 543
Entonces el producto correcto será : 543 x 17 = 25 521 RPTA C
30.- E l producto de un número por "a" es 446 y por "6 " es 336. Hallar el producto de este 
número por el mayor número capicúa de 3 cifras que se puede formar con "a " y “b ".
A) 48608 B )54 302 C)51608 0)38416 E)27548
Resolucion.-
Sea "N" el número, entonces por datos : N x o = 448
N x 6 = 336
Nótese que a > 6 , luego el mayor número capicúa de tres cifras que se puede formar con a y
b es : aba
Entonces : __N -
a b a
448 N x o
336 N x 6
/ 448 < - N x o
48608
N x aba = 48 608 RPTA A
152 Problemas de \ntmctn.a \ tomo resolverlos Hernon Flores Velazco
31.- Hallar un número de la forma aba que multiplicado por 79 de como producto, un nú­
mero que termina en bcd3. Dar como respuesta: a + b + c + d.
A) 20 B ) 19 C) 17 D) 24 E)21
tooliidm i.-
La multiplicación sera a b e d X
79
4783 <— a b e d
609 <— a b e d
b e d 3
* En el l*' r orden : d x 9 = __3 —> d = 7
• En el 2(l° orden • 6 + c x 9 = __8 —» c = 8
* En el 3 " orden : 7 + 6 x 9 = __7 —> b = 0
* En el 4“ orden • o x 9 = __4 —> o = 6
a + b + c + d = 21 RPI'A E
32.- S i multiplicamos abe por nOn (O = cero), observamos que el producto totales ** 435 
(cada asterisco representa una c ifra ). S i a <9 ¿ Cuál es el valor d e :a + b + c ? .
A) 15 B ) 16 C) 17 D) 18 E ) 19
Re>QluÚ9n -
La multiplicación será a b e x
nOn
935 ■*— a b e xn
9 3 5 <— ab c x n
••435
Luego : abe x n = 935 = 187 x 5
Entonces: o = 1 ; b - 8 ; c = 7 a n = 5
a + b + c = 1G RPTA. B
33.- Encontrar un número de 5 cifras que al ser multiplicado por 4, de un producto formado 
por las mismas cifras del original, pero dispuestas en orden invertido. Dar la suma de 
cifras de dicho número.
B) 22 C) 25 D) 27 E) 29
Cuatro Operaciones 153
R c so lu r ió n --
Segun el enunciado del problema se tiene : abe de y.
4
edeba
* En el lPf orden * 4 x e = __a Xlin
' F.n el 5to orden 4 x a < 10 => a = 2
* En el 2do orden : 4 xt/ + 3 = __b => b = 1
* En el 4'° orden : 4 x¿> < 10 IISiir
* En el 3*>f orden . 4 x c + 3= 39 r = 9
Asi el número sera : ubede = 21 978
a + b + c + d + e = 27 RPTA l)
34.- Un número es tal que, multiplicado p o r: 2 ; 5 ; 6 ; 7 ; 8 ; y 11, resultan, como productos,
números cuyas formas son : abedef ; efabed ; bedefa; fabede y defabe . Determinar 
el número sabiendo que :a + b + c + d + e + f=27.
A) 76 963 B) 76 023 C) 79 623 D) 76 293 E) 76 923
Resolución.-
Considerando a "N" como el número buscado se tendrá :
N x 2 = a b e d e f
N x 5 = e d e fn b 
N x 6 = e fa b e d
N x 7 = b e d e fa
N x 8 = fa b e d e 
N x 1 1 = d e fa b e
Si efectuamos la suma miembro a miembro, se observar.! que en cpda orden se repite la
condición dada : a + b + c + d + e + f= 27.
Por tal razón obtendremos : N x 39 = 2 999 997
N = 7G 923 RPTA. E
154 Problemas de Aritmética \ romo re solverlos Hernán Flores Velozco
5.4 DIVISION EN 7 (DIVISIÓN ENTERA)
Es aquel caso particular de la división, en el cual lodos sus térrninosson números 
enteros.
Esquema .
Dividendo 
(D e Z )
Resto o Residuo _J~ 
(r e 7+) (0 <.r < d)
*-D d -
q -
^ r
Divisor (d e / ’ ) 
Cociente (<7 e Z )
EXPRESIÓN GENERAL
CLASES DE DIVISIÓN • 
( I) División Exacta (r = 0)
D = d x <7 + r
D d
0 d
Ejemplo . 476 1 1
0 34
I D = d x q
(II) División Inexacta (r * 0) 
(A) Por Detecto
D
D = d x q + r 
(0 < r < d)
(a)
476 - 14 x 34
Ejemplo 138 19
138 = 19 x 7 + 5
(B) Por E xce so
D
q + I D = d {q + l ) - r ... (P) 
(0 < P < d)
Ejemplo 138
14
19
138 = 19 x 8 - 14
Cuatro Operaciones 155
PROPIEDADES DE LA DIVISION INEXACTA EN /
I En toda división inexacta la suma del resto por defecto y el resto por exceso es igual al 
divisor
Demostración ;
Igualando .
r + iJ — d
Di* (a ) : D = d (t/) + r
De (p) * D = r/(r/+ I) -r'
d * q + r = d {q + 1 ) * F
d x q + r ^ d x q + d - r 1 
r = d-T
r + iJ= d
2. Si en una división INEXACTA, se multiplica al dividendo y al divisor por un mismo número, 
el cociente no se alteru, pero el resto queda multiplicado por ese numero :
Por defecto:
D
c >
D x n
r x n
d x n
Por e.xceso;
q+ 1 O
D x n 
r* x n
d x n
q + 1
3. En una división inexacta, el resto máximo es menor en i que el divisor v ei resto mínimo es 
la unidad
R = d- 1m aviTto
R = Iinuiifno
156 P roble mi i\ de Antméticu v como resolverlos Hernán Flores Velozco
PROBICMAS R€SU€lTOS ( GRUPO IV? )
35.- La suma del dividendo y el divisor de una división inexacta es 31 veces el resto y la 
diferencia de ios mismos es 21 veces dicho resfo. ¿C uál es el cociente de dicha divi­
sión?
A) 9
Resolución-
Sea la división
B )7 C) 5 D) 12 E ) 15
D 
r
De acuerdo con los datos :
donde : D = d x q + /• . (u)
D + </ = 3l r 
D - d = 21 r
De donde: D = 26 r a d = 5 1
Reemplazando en ( a ) : 26r = 5 r > q + r
26 r = r (5 q + 1)
<7 = 5 RPTA. C
36.- E l cociente de la división de un número entero entre otro número entero es 19 y el resto, 
26. S i se suman el dividendo, e l divisor, el cociente y el resto, la suma obtenida es 1 011 
¿ Cuál es el dividendo ?.
A) 825
Be¿2lU£Í2H.-
La división será.
B)872
D
26
C)919 D) 966 E) 1 013
19
Donde:
Por dato se sabe que 
De ( I ) en (2 ): l9</ + 26 + d + 19 + 26 = 1011
D + d + 19 + 26 = 1011
D= <7x19+ 26 ... ( 1 )
... (2)
</ = 47
Luego en ( I ) : D = (47) 19 + 26
D = 919 RPTA C
Cuatro (J/icraciants 157
37.- La suma de los 4 términos de una división entera inexacta es igual a 544. Hallar el 
dividendo si el cociente es 12 y el resto, la mitad del divisor.
A) 564 B)470
Resolucion.-
begun los datos; la división es
C)462 D) 480 E)475
D
di2
d_
12
Donde:
Por dato también:
D = d x 12 + 
d
, L
D + d + 12 + ” =544
- (a) 
•• (P)
De (a ) en (P ) : 
Remplazando en (a )
12d + 2 + d+ 12 + | =544 í/ = 38
•30
D = (38) 12 + g 
D = 475 RPTA E
38.- E l cociente y el resto de una división Inexacta son 17 y 19 respectivamente. Pero s i al 
dividendo se le aumenta 49 unidades, el cociente sena 21 y el resto 6. Hallar la suma de 
dividendo y divisor prim itivos.
A) 238
Resolución.- 
Según los datos
B)240 C) 244
Divison inicial 
D 
9
17
d_
21
División inicial:
En la nueva división :
De (u) en (P) :
Sustituyendo en (« ) :
D = d x 17 + 9 
D + 19 = d x 21 + 6
r/x 17 + 9 + 49 = r/ x 21 + G 
D = 13 ( I7 )s+ 9 
D + d = 243
D)241 E)243
Nueva División 
D+49 
6
- (ci)
- (P)
=> (I = 13
=> ü = 230
RPTA F
39.-En una división entera inexacta, el divisor es 23 y el resto 4 ¿ Cuál es la maxima cantidad 
que se le puede agregar al divisor de manera que el cociente aumente en 3 ?
A) 65 B) 42 C) 66 D) 88 E) 87
158 Problemas de Aritmética \ como resolverlos Hernán Flores Veiazco
Resolución.-
Dc acuerdo con los datos :
División Inicial
En la división in icial: 
En la nueva división :
De (a ) en (P ) :
D
4
23
Nueva división
D+x
22
23
<7+3
D = 23<7 + 4
t_ Para que V sea máximo, el resto 
debe ser máximo.
... (a )
D + x = 23(í7 + 3) + 22 ... (p)
i
23q + 4 + x — 23q + G9 + 22
x = 87 RPTA. E
40.- En una división inexacta el dividendo es 508 y el cociente es 13. ¿ Cuántos valores puede 
tomar el d ivisor?
A) 1
Resolución.- 
Sea la división
De:
Luego : 
Asimismo :
B )2 C) 3
< X
d
13
508 = d . 13 + r 
13. d < 508 
13 d + d > 508
D)4
siendo : d > r 
=> d< 39
=9 d > 36
=> d e {37 ; 38 ; 39}
"d" puede tomar 3 valores
E )5
RPfA. C
41.- En una división entera inexacta, el resto es 13; s i a l dividendo se le multiplica por 4 y al 
divisor por 2, entonces en la nueva división el resto es 16. ¿ Cuál es el divisor original?
A) 16
Resolución.
B ) 18 C) 20 D) 17 E)24
De acuerdo a los datos podemos establecer los siguientes algoritmos :
Cuatro Operaciones 159
División inicial Nueva división
D
13
d_ 4xD
Q
16
2 xd
d\
* Nótese que : d > 13
En la división inicial: D = d . q + 13 ... (o )*
* En la nueva división : 4D = 2d . q x + 16 ... (P )
De (a ) en (p ): 4(dq +13) = 2d . qx + 16
Efectuando: 4dq + 52 = 2d .q x + 16
36 = 2d(qx - 2q)
18 = d(qx - 2qj
Luego, reconocemos que la única posibilidad es : d = 18 RPTA. B
/
I 42> En una división entera inexacta, s i al dividendo y a l divisor se les m ultiplica por 4, el 
1 / resto por tiefecto aumenta en 96; pero si se dividen entre 3, el resto por exceso disminu-
ye en 60. S i la suma de los cocientes, por defecto y por exceso es 37; hallar el dividendo.
A) 2196 B ) 2 228 C) 1956 D )3 128 E)2000
Kesolución.-
* Si al dividendo y al divisor se le multiplica por 4, el resto por defecto queda también multipli­
cado por 4, entonces aumenta a 3 veces su valor, luego :
' '= 3 - Y * - - ,
* Si al dividendo y al divisor se le divide por 3, el resto por exceso se divide también por 3, el 
resto por exceso se divide también por 3, entonces disminuye a 2/3 de su valor, luego :
* I 3
|p = 6 0 => r’ = 90 r ^
ftir Propiedad : r + r' = d => d = 122
Dado que los cocientes, por defecto y por exceso son siempre números consecutivos, luego :
<y + (<7 + 1) = 37 => (/ = 18
Finalmente : D = d q + r
D = (122) (18) + 32
D = 2 228 RPTA B
160 Problemas de Aritmética v coma u solverlos Hernán Flores VelazcoÜ La suma de los 4 térm inos de una división es 479. S i se multiplica a l dividendo y al 
{ S divisor por 6, la nueva suma de términos es 2 789. Hallar la suma de todos los dividen­
dos que cumplen con dicha condición.
A) 854
Resolucion.-
B)481 C) 428
División Inicial 
D 
r
d_
q
6xD
6xr
D = d x q + r 
D + d + q + r= 479
D)894
División Final 
6 x.d
E)468
Donde:
Por datos en la división in icial:
Asimismo en la división final: 6D + (x7 + <7 + (y' = 2 789 
Multiplicando ((J) por 6 v restándole (y) :
5<7 = 85 => q = 17
Reemplazando en (a ) : D = </( 17) + /
De (*) y (**) en (p ) : I7</ + r + </ + 17 + r = 479
18cY + 2r = 4G2
(a )
(P)
(Y)
(*)
(**)
9 / 7 + i = 2 3 1
9r/ < 231 
9d + d > 231
d < 25 
d > 23
* Si : </ = 24
* S i: d = 25
r = 15 
r = 6
D = (24) (17) + 15 = 423 
D = (25) (17) + 6 = 431
423 + 431 = 854 RPTA A
t*4..... S i se realiza una división inexacta por defecto, la suma de los 4 términos es 847; pero, si 
V ̂ dicha operación se hubiera realizado por exceso, la suma de los 4 términos hubiera sido 
901, sabiendo que los cocientes suman 19; hallar el dividendo.
A) 756
Resolución-
B ) 806
Por Delecto 
D d
q
C)587 D) 743
Por Exceso
E)692
D
f
<7+1
Donde D = d . q + r . ( 1) D = d(q + 1) - r ...(2)
Cuatro Operaciones 161
Por dato se sabe que : q + (q + 1) = 19 =*
Entonces en (1) y (2 ): D = í/ (9 )+ r a
También por dato. D + t f + q + r = 847 ... (a )
Asimismo : D + í / + ( q + l ) + r’ = 901 ... (P)
De(*) en (P) : \0d^? + d + 10 + f = 901 =* ú = 81
De (y) en (u ): 9(81) + r + 81 + 9 + r = 847 =* r = 14
D = (81) (9) + 14 = 743 RPTA D
q = 9
D = í/(10) -r’ ... (*)
(Y)
45.- En una división entera inexacta: el resto por defecto, el resto por exceso, el resto máxi­
mo y el cociente por defecto forman una progresión aritm ética de razón 5. ¿C uál es el 
valor del di videndo ?
A) 363
Resolnción.-
B ) 360
Por Defecto
C)368
D
r
d_
q
D) 385
Por Exceso 
D
E)272
<7+1 y
Según los datos
Por Propiedad:
r = n ... ( 1)
f = n + 5 ... (2)
d- 1 = n + 10 =* d = n + I I ... (3)
q = n + 15 ... (4)
r + r* = d ... (5)
Reemplazando (1), (2) y (3) en (5 ). n +(n + 5) = n + 11 => n = G
Luego en (3 ): d = 6 + 11 =* d = 17
Ahora en (4) : q = 6 + 1 5 = » q = 21
Yen (1) : r = G
Entonces : D = d . q + r
n = (17) (21) + 6
D = 363 RPTA. A
46.-Hallar un número entero que dividido entre 150 de un resto por defecto que es el triple del 
cociente por exceso y un resto por exceso que es el cuádruple del cociente por defecto.
A) 3 128 B) 3 712 C) 3 648 D)3216 E) 3 526
162 Problemas di Aritméltia v como resolverlos Hernán Flores Velazco
RfiiLílucián.- 
Sean las divisiones
Por Defecto
D d_
q
Por Exceso 
D 
r*
<7+1
Por datos :
Por Propiedad :
d = 150 ... ( 1)
r = 3 (<7 + 1) ... (2)
» = -l// ... (3)
/ + f = d ... (4)
Reemplazando (1). (2) y (3) t*n (4) * ¿(q + 1) + 4q =150 => q = 21
Luego r = 3(2I + 1) =* / = fiG
Finalmente D = d . q + i (*)
Ahora reemplazando en O D = (150) (21) + G6
D = 3 21G RPTA D
47.-A l dividir dos números, una persona que lo hace por exceso da por respuesta el resto, 
otra persona revisa el resultado y asegura que el primero se excedió en 18 unidades al 
calcular el resto. S i las dos operaciones están bien hechas, calcular el dividendo si en la 
segunda operación el cociente es el triple del divisor y al resto le faltan 24 unidades para 
igualarse al divisor.
A) 1 806
Resolución.-
B ) 2 706
1ra persona 
(Por Exceso)
D 
f
<7+1
Donde:
Según los datos : 
Taiunbien ;
Como :
D = d{q + 1) -P
r - 18 = r
q = 3<7 
/ + 24 = d 
r + f = d
C) 1 904
■ 0 ) 
. ( 2)
(3)
(4)
D) 3 512 E) 4 198
2'l‘ persona 
(Por Defecto)
D
r
D = d . q + r
Cuatro Opilaciones 163
Igualando (3) y (4) 
Luegu :
Entonces ;
Por tanto
r = 2 4 - 1 8 = 6 
d = r + T = 30 
q = 3c/ = 90
D = (30) (90) + G = 2 70G
f = 24
RIMA. B
48.- En una división inexacta realizada por defecto y por exceso, a l resto por exceso le 
faltan Kn “ unidades para ser igual a l otro resto; a l resto por defecto le faltan u2n" uni­
dades para ser igual al divisor, m ientras que al divisor le faltan "3n" unidades para ser 
igual a l cociente. S i a l cociente le faltan 1 410 unidades para ser igual a l dividendo, 
h a lla r"n ".
A) 4
Respluuón.-
B ) 5 C) 6 D) 7
Por Defecto
D d_
q
Donde: 
Por datos .
r* + n = r 
r + 2n = d 
d + 3n = q 
q + 1410 = D
C o m o r+r,=d
— ( a ) j
Como : 
En (a ) :
D = d q + r => D= (5n) (Rn) 
8n + 1410 = 40/i2 + 3n 
1410 = 4 On2 - 5n 
(+5) => 282 = /i (8/i - 1)
n = G RPTA C
E )8
Por Exceso 
D 
r1
9+1
D = d(q + 1) - f
. f - 2n 
> r = 3/7 
. d = 5/? 
* q = 8/i
3/i 1) = 40/r + 3 n
49.-En una división entera inexacta, cuyo dividendo es 5 355 se cum ple que el divisor dista 
tanto del cociente como del resto. Hallar la suma del cociente, resto y divisor.
A) 64 B) 75 C) 196 D) 162 E) 148
164 ¡bablemas de Aritmética v como resolverlos Hernán Flores Veiazco
Resolucion.-
La división sera : 5 355
r
_d_
Q
q + r
Donde : 5 355 = d q + r ; > por dato : d = —- — => r = 2x1- q % f
Reemplazando : 5 355 = d .q + 2d - q
5 355 = d(q + 2) - q 
Restando "2" a ambos miembros : 5 353 = d(q + 2) - (q + 2)
Luego . 5 353 = (q + 2) (d - 1) => 101 x 53 = fa + 2) {d - 1)
T
Í0 Íx 5 3
Si: q +2 = 101 a d - 1 = 53
= > q = 9 9 a d = 54
En ( a ) : 2 (54 ) = 9 9 + r =* r = 9
f7 + / + d = 162 RPTA D
50.- Determinar el menor número entero tal que multiplicado por 33, nos da un producto 
formado por solo cifras “N9 7”. Dar la suma de sus cifras.
A) 22 B ) 23 C)24 D) 25 E)26
Resolueión.-
Segun el enunciado : N x 33 = 777 ... 7
777 7O lo que es lo mismo : iN =
Efectuamos la división, agregando cifras "7" hasta que 7 7 7 7 7 7*1 33
la división sea exacta, para asi tener el menor número --------
tormado por 7: OJí 2 3 5 6 9
1 1 7 
_ 2_2
Finalmente : N = 23 569
1 87
JJL5 
227 
LSLS 
297
Suma de cifras = 25 RPTA 1) 2 9 7
0 0 0
Cuatro Upt raciones 165
53 COMPLEMENTO ARITIVÍETICO DE UN NUMERAL
Sea N un numero de "K" cifras, entonces se define el complemento aritmético de N : C. A. (N), 
a aquel número que se obtiene a s í:
C . A. (N) = 10k -N
Ejemplos : C . A. (47) = 102 - 47 = 53
* 2 cifras
C . A (272) = 101 - 272 = 728 
V— 3 cifras
C . A (5042) = 104 - 5042 = 4958 
t 4 cifras
t
Método Práctico : A la primera cifra significativa, a partir de la derecha se le resta de 10 y a 
todas las cifras que quedan a la izquierda se les resta de 9. Si existen ceros al final del número, 
estos se conservan en el complemento aritmético.
Ejemplo :
9 9 10 (9-5) (9-7) (10-2)t t i * » »CA. (5 7 2) = 4 2 8
En base a este ejemplo te presento los siguientes :
9 9 9 10 
CjA. (2 0 4 3 ) = 7 957
9 9 10
CA. (2 5 7 0 0 ) = 74 300
166 Problemav dr Aritmética v romo resolverlos Hernán Flores Velazco
PR0B16MAS R esu elto s ( GRUPO V )
51.- Un numeral de 3 cifras es tal que al restarle e l doble de su complemento aritmético 
resulta 523. ¿C u al es la suma de las cifras de dicho núm ero?
A) 10 B ) 11 C) 12 D) 13 E ) 14
R eso lu c ió n -
Sea el n u m e ra l. abe
Según el d a lo • abe - 2 [ c .A . (a b e ) ] = 523
Por de fin ic ión d e C . A a b e - 2 (1 0 l - a b e ) = 523
Efectuando o p erac io n es • a b e =841 =* a = 8 , b = 4 a c = l
a + b + c = 13 R PT A D
\
52.- S i : C . A (abe) + C . A. (cba) = xyzw - 2(abc)
Calcular: x + y + z + w ; s i: a > c
A) 18 B ) 16 C) 27 D)20 E)24
Resolmión.-
Por definición de C. A : CIO3- abe) + (10* - cba) = xvztv - 2(abe)
Efectuando se obtiene 2 000 - aln - cba = xyzw - 2(abe )
Transponiendo termuius ■ abe - cba = xyziu -2 000 . (•)
De (*) podemos reconocer que: x = 2 ; luego abe - cba = vztu 
Entonces por Propiedad (C) de Sustracción ; z = 9 a \+u> = 9
x + y + z + ir = 20 RPTA D
53.- Dos números A y B tienen "n" cifras cada uno. S i el primero es el cuádruple de su 
complemento aritmético y el segundo es la cuarta parte de su complemento aritmético; 
hallar el valor (A + B).
A )1 (r B ) 10P*1 C )1 (fn D)1CT•' E )4 x 1 0 ,t
Resolución.-
egun los datos : A = 4 x C . A. (A) ... (a )
B = J x C . A . ...(P )
Citano Opi laciones 167
En (« ) . A = 4 (10n - A ) =* A = ̂ (10")
En ( P ) : B = \ (10n - B ) => B = ' (10n)4 b
Finalmente: A + B = 10n RPTA. A
54.-Hallar un número de dos cifras tal que su complemento aritm ético sea igual al número 
de cifras que se requieren para escribir todos ios números enteros positivos menores 
que dicho número de dos cifras. Dar como respuesta la suma de sus cifras. ^
A) 2 B )4 C) 6 D) 9 E ) 10
Resolución.-
Si ab es un número de 2 cifras, los números enteros positivos menores que este numero son:
1 ; 2 ; 3 ; ; ab - 1
El número de cifras que se requieren para escribir esos números sera :
|(o b - l)+ l] 2-11 (Recordando el capítulo anterior)
Por dato : C . A. (ab ) = [(ob-l)+ 1]2 - 11
Efectuando operaciones : 102 - ab = (a b )2 - 11
111=3 (¿5 ) 
ab = 37
a + b = 10 RPTA. E
55.- S i el numero ab7 se resta de su complemento aritmético, el resultado es un numero de 
3 cifras iguales. Dar (a + b).
A) 4 B ) 5 C) 6 D) 7 E ) 8
Resolución.-
Según el dato ' C . A . (a h í )- a b l = x x x «— (número de 3 cifras iguales)
Por definición de C. A . : (IO3 - a b l ) - u b i = xxx
=> 1 000 - ‘¿ ( a b l ) = x x x
Nótese que '¿ (ab l) termina en 4 , luego : 1 000 - 2(ob7) termina en G, luego : x = 4
Entonces : 1 000 -2 (a b l) = 66G
168 Problemas de Aritmética y como resolverlos Hernán Flores Velozco
Efectuando operaciones : u b i = 167
Luego: a = 1 a b = 6
Finalmente: a + b = 7 RPTA D
56.- Encuentre un número de 4 cifras cuyo complemento aritm ético sea igual a la suma de 
sus cifras. Dar como respuesta su menor cifra.
A ) 4 B ) 5 C ) 6 D) 7 E )8
Resolución
Sea el número de 4 cifras : abed
Por condición del problema : C A. ( ubed ) = a + b + c + d
Pero por definición de C. A. : 104 - abed = a + b + c + d
10 000 - abed = a + b-=c + d ...(* ) ,
Como (a + b + c + d) toma a 36 como valor máximo, se puede afirmar que :
o = 9 a b = 9 
Entonces al reemplazar en (•) : 1000 - 99cd = 9 + 9 + c + d
Descomponiendo polinomicamente : 1000 - (9000 + 900 + 10c + d) = 18 + c + d 
Efectuando operaciones y despejando : 1 le + 2c/ = 82
Tanteando valores, obtenemos : c = 6 a d = 8 ,
Menor cifra = 6 RPTA. C
57.- Se tiene un número de 4 cifras significativas, cuya suma de cifras es 21. ¿C uál es la 
suma de las cifras de su complemento aritm ético?
A) 13 B ) 14 C) 15 D) 16 E ) 17
Resolución.-
Considerando a abed como el número de 4 cifras significativas, entonces
a + b + c + d = 21
El complemento aritmético de ubed se puede calcular por el método practico :
C . A. (abed ) = (U - « )(9 - b )(9 - c )(1 0 - d )
Cuatro Opt raí ¡mu s 169
9 - a + 9 - b + 9 - c +■ ID - </ = 37 - (ti + b + c + d)
Luego • Suma de cifras (C . A.) = 37-21
Suma de cifras (C A.) = 16 RPTA. D
58.- Con 3 cifras que suman 19, se forma un número de 3 cifras de tal manera que su com­
plemento aritmético sea otro número de 3 cifras, pero consecutivas y crecientes. Hallar 
dicho número.
A) 577 B ) 766 C)676 0)757 E ) 874
Resolución.-
Sea ubc el número buscado donde : u + b + c = 19 ... (*)
Por condición del problema : C . A. ( abe ) = n ( n + 1) ( a + 2)
Y por el método práctico, se tiene : C . A. ( ubc ) = (9 - o )(9 -¿>)(10 - c )
Entonces, la suma de las citras del complemento aritmético será :
Luego : n = 9 - o
n + 1 = 9 -b 
n + 2 = 1 0 -c
Sumando miembro a miembro : 
3n + 3 = 28 - (o + b + c)
19 (pora)
=> ri = 2
Reemplazando este dato obtenemos : o = 7 b = 6 c = G
ábe = 766 RPTA. B
59.- La suma de los complementos aritm éticos de los núm eros:
1nn2 ; 2nn3 3nn4 i ....; 8nn9 . es 42 196.
Calcular el valor de "n ".
A) 3 B ) 2 C) 5 D) 6 E )7
Resolución.-
Aplicando el método practico a Numero
cada numero se logrará descubnr
una regla de formación entre los lm>2 —»
resultados obtenidos. Veamos : 2mi3 —»
3wi4 —>
tí/rr/9 —»
Complemento Aritmético 
8(9-/i)(9-»)8 +
7(9-ri)(9-f/)7 
6(9-ri)(9 - ri)6
l(9-n )(9-n )l
•1 2 _ l 9 6
170 Problemas de Aritmética Y canto resolverlos Hernán Flores Velozco
Efectuando los >umas por columnas tendremos •
( » ) ( 9 )En el 1 orden 8 + 7 + 6 + ... + 1 = = 3G (pongo 6 , llevo 3)
* En el 2do orden : 3 + 8 (9 * n ) = 59
n = 2 RIMA B
60.- Cuántos números de 4 cifras significativas existen tales que su complemento aritméti­
co sea igual a l producto del complemento aritm ético del número formado por sus dos 
primeras cifras por el complemento aritm ético del número formado por sus dos últi­
mas cifras.
A) 100 B ) 90 C) 81 D) 72 E)64
Resolucion.-
Sea abed el numero de 4 cifras significativas que buscamos, luego por condición del proble­
ma se tendrá que
C . A. (abed) = C . A. {ah ) x C . A. (cd )
Por definición de C . A. : 101 - abed = (10¿ - ab) (102 - cd )
101 - IOOíió - cd = 104 - 1 00 ab - 100 cd + ab x cd
99 cd = ab x cd => ah = 99
Luego, los números son de la fonna : 99cd, de manera que para determin.tr la cantidad total 
de números con esta característica emplearemos el método combinatorio :
9 9 c d 
»
1 1 
2 2 
3 3
I 1
9 9
9 X 9 = 81 números RPTA C
Citano Opt raciones 171
5.6 DETERAUNACION A PRIO RI DE LA CANTIDAD DE 
CITRíVS ENTERAS DE UN PRODUCTO T UN COCIENTE
OBSERVACIONES PREVIAS
Si "V tiene 4 cifran=* N e {1000; 1001 , 1002 ; 9999}
Luego• 1000 < \ < 10000
101 < N < 101
Si N" tienen 12 cifras
Si "N” tiene de G a 19 cifras
Si "N" tiene entre 8 y 15 cifras
Si. 107 < N < 10®
Si: 10° < N< 1018 
En general:
10m S 'N < 10"
10" £ N < 10,J 
10*' £ N < 1ü,n 
10H < N < 1011 
"N" tiene 8 cifras
"N" tiene corno mínimo 7 cifras y como máximo 18 cifras.
[mínimo : /n + l cifras 
[m áxim o: n cifras ^
172 Piohlt mas de Aiitmctii a \ amia resolverlas Hernán Flores Velozco
PROBLEMAS RESUELTOS | GRUPO 01 )
61- S i: "A " es un número de "a " cifras
'B “ es un número de ub " cifras 
C " es un numero de "c" cifras
¿Cuántas cifras, como máximo y como mínimo tendrá : D = A x B x C ?
. . m m :a+ b+ c „ . m in : a + b c + 1 r . min :a + b + c-1
max :a + b+ c+ 3 ° f max :a + b+ c max :a *■ b + c
min :a + b + c 2 min :a * b + c 3
' max :a+ b ~i c max :a+ b • c+1
Resolución
Según el enunciado del problema :
A es un numero de "a" cillas => -1 £ A < 10 ‘
B es un numero de “b” cillas => 101’ 1 < B < 101’
C es un numero de °c" cifras => 10‘ ■' < C < lu ‘
Multiplicando miembro a miembro 10-' * < D < 1 0*' * ** *
Luego: mínimo : (a + b + c - 2) cifras
máximo : (« + b + c) cifras RPTA D
Obsemacion
En geneial. sean los números : A ( . A, , A^ An
CiiVtis cantidades de cifras i esportivas son : k { , k.¿ , ,... ,k fí
Entonces el producto . D = Aj x x x x An . tendrá :
mínimo : (k l + k.¿ + k i + ... + k - n + l) cifras
máxima : [k. + k., + k . + + k ) cifrasV I 1 J II
62.-Sean : mA H un número de 10 cifras
B " un número de 7 cifras 
"C " un numero de 12 cifras 
¿Cuantas cifras, como mínimo y como máximo tendrá: D = A . B . C ?
A) máx : 29 B ) máx: 29 C) max : 28 D) máx : 30 E ) máx : 30
min : 26 m in : 27 min : 26 min : 27 min : 26
Cttaluf Operai iones 173
Resolución.-
Según la generalización anterior
Cantidad máxima = 10+7 + 12 = 29 cifras 
Cantidad mínima = 10 + 7+ 12-3 + 1 =27 cifias RPTA. B
63.- S i un numero mA " tiene mx " cifras y otro número B tiene "y" cifras¿ Cuantas cifras como
A
mínimo y como máximo tendrá: Q = ?B
A) máx: x - y + 1 
m m : x - y
D) máx: x -y - 1 
m in: x - y -2
B ) m áx: x - y 
min : x -y + 1
E) m áx: x - y + 1 
min : x - y - 1
C) máx : x + y - 1 
m in: x - y -2
Resolución.-
"A" tiene V cifras => 10* * 1 < A < 10x ... (<x)
B" tiene V cifras => 10V 1 í B< 10V
=> 10' > B > 10v 1 ...(p )
Dividiendo miembro a miembro (a ) + (p) : 10* y Q < I0X v + 1
Luego :
Cantidad máxima = v - v + 1
Cantidad mínima - x - y RPTA A
64.- Dados dos números A y B que tienen 16 y 10 cifras respectivam ente. Determ inar la
A
cantidad de cifras, máxima y mínima d e : Q =
A) max: 6 
m in: 5
B ) max: 7 
m in: 5
C) máx: 7 
m in: 6
D) máx: 6 
m in : 4
RgátflUC ion .-
En base a la solución del problema anterior podemos afirmar que :
Cantidad máxima = 16 - 10 + 1 = 7 cifras 
Cantidad mínima = 16-10 = 6 cifras
E ) m áx: 8 
m in: 6
RPTA C
65.- Sean los núm eros, “A “que tiene 14 cifras 
“B " que tiene de 12 a 19 cifras 
“C " que tiene entre 6 y 12 cifras 
"D “ que tiene de 10 a 15 cifras
17 4 P r o b l e m a s d i A r i t m é t i c a y c o m o t e v o l v e r lo s Hernán Flores Velozco
¿Cuántas cifras, como máximo y como mínimo, tendrá: 
A 2 x B 3 x C 2
E ‘ V ~ “ 7
A) m áx: 72 B ) m áx: 71 C) max : 70 D) m áx: 70
m in:13 m ín: 11 m ín : 11 m in: 13
Rosolución.-
Segun los datos ; 1013 £ A < 10M =* I0 20 < A 2 < I0 2S
10n S B < 101<Í =» I053 < B3 < 1057
lO1, < C < 10" => I0 12 < C2 < 1022
Multiplicando, miembro a miembro :
I071 £ A2 x B3 x C2< 10107 ... (o)
También . 10* < ü < 1015
=> I031 < IT* < 10“
=> 10“ > D* > 10* ... (P)
Dividiendo, miembro a miembro (a ) + ( P ) : 10"<̂ < E < I071
Luego :
Cantidad máxima = 71 cifras
Cantidad minima = 12 cifras RPTA. E
E ) m áx: 71 
m ín: 12
C u a t r o O p e r a c i o n e s 175
5.7 OPERACIONES COMBINADAS
A) FALSA SUPOSICIÓN
66.-A una fiesta ingresan en total 350 personas, entre hom bres y m ujeres, recaudándo­
se S/. 1 850 debido a que cada hombre pagaba S/ 6 y cada mujer S/ 4 . ¿ Cuál es la 
diferencia de los números de hombres y m ujeres?
A) 100 B ) 75 C) 150 D) 60 E ) 50
Supongamos que las 350 personas son hombres (FALSA SUPOSICION), entonces se habría 
recaudado:
S/. 350 x 6 = S/ 2 100
Como, realmente se recaudó S/. 1 850, entonces se ha cometido un error por exceso de :
2 100 - 1 850 = 250 
Si reemplazamos un hombre por una mujer, el error disminuye en :
SI. 6 - S/. 4 = S/ 2
Luego el número de reemplazos de hombres por mujeres lo obtendremos dividiendo la re­
caudación por exceso (S/. 250) con ei error provocado por la diferencia de precios de las 
250entradas: - y = 125
Luego : Número de hombres = 350 - 125 = 225
Número de mujeres = 125
Diferencia = 225 - 125 = 100 RPTA A
67.- Un cazador dispara 3 veces para matar un águila y dos veces para matar una paloma. S i 
hoy día hizo 60 disparos llegando a matar 26 aves, hallar la diferencia entre el número de 
palomas y águilas.
A ) 20 B ) 10 C) 8 D) 11 E ) 18
Resolución.-
Supongamos que las 26 aves que ha matado son águilas (FALSA SUPOSICION), entonces ha­
bría hecho :
26 x 3 = 78 disparos 
Como sólo hizo 60 disparos, se ha cometido un error por exceso de :
78 - 60 = 18 disparos 
Si reemplazamos un águila por una paloma, el error disminuye en .
3-2=1 disparo
176 Problemas ele Aritmética y como resolverlos Hernán Flores Velozco
Entonces, el número de reemplazos de águilas por palomas será : j =18
Luego : Número de águilas = 26 - 18 = 8
Numero de palomas = 18
Diferencia = 18-8 = 10 RPTA B
68.- Un estudiante se compromete a presentar a su padre la resolución de 8 problemas 
diarios. E l padre da a l hijo S/9 por cada problema bien resuelto y e l hijo abona a su 
padre S/. 6 por cada problemas que deje de presentar o esté mal resuelto. A l cabo de 
20 días el hijo ganó S/540. ¿Cuántos problemas resolvió bien el estudiante?
A) 60 B ) 120 C) 80 D) 100 E ) 90
Resuhfdón-
En los 20 días, el estudiante debe presentar : 20(8) = 160 problemas, entonces suponiendo 
que todos son presentados correctamente resueltos (FALSA SUPOSICION), el hijo recibiría
160 (SA 9) = S/. 1 410
Como él solo recibe S; 5-10, habríamos cometido un error por exceso de
Si. 1 440 - a 540 = a . 900
Si cambiamos un problema correctamente resuelto por otro no presentado o mal resuelto, el 
hijo deja de percibir S/. 9 y todavía debe pagar S/. 6 , luego el error disminuye en :
9 - ( - 6) = SA 15
900Entonces el numero de cambios que debemos hacer rs : ^ =60 cambios
Luego
Resolvió bien : 160 -60 = 100 problemas
Resolvió mal o no presentó : 60 problemas RPTA. D
69.- Asumiendo que un litro de leche pura pesa 1,032 kg y que un litro de agua pesa 1kg. 
Decir s i está adulterada o no la leche de un recipiente en el cual se supone que existen 
17 litros de leche, los cuales pesan 17,32 kg . En caso de ser asi ¿ Cuántos litros de agua 
contienen?
A) 6 B )7 C)7,5 D)10 E ) No está adulterada
Resolucion.-
Supongamos que los 17 litros son de leche (FALSA SUPOSICION), entonces el peso seria :
17(1,032) = 17,544 A»
Como el peso real es 17,32 kg, se ha cometido un error por exceso de :
17,5-14 - 17.320 = 0,224 kg
C u a t r o Í ) [ H t a i l o n i s 177
Si cambiamos un litro de leche por un litro de agua, nuestro error deberá disminuir en :
1,032- 1 = 0.032 kg
0,224
Luego, el número de cambios que se debe hacer es : ̂ = ? cambios
Entonces:
Número de litros de leche = 17-7= 10
Número de litros de agua = 7 RPTA. B
70.- Dos niños han recorrido en total 64 metros, dando entre los dos 100 pasos. S i cada 
paso del segundo mide 50 cm y cada paso del primero mide 70 cm ¿Cuántos pasos 
más que el segundo ha dado el prim ero?
A) 10 B ) 20 C) 30 D) 40 E ) 50
Resolucíon.-
Metodo Analítico.- Si todos los pasos fueran de 70 centímetros, el recorrido seria de :
100 x 70 = 7 000 cm = 70 metros
Pero el recorrido exacto es de 64 metros-, luego hay:
70 - 64 = 6 metros ,6, G00 cm de mas.
Sabemos que por cada paso de 50 cm, queha sido tomado como de 70 cm, se genera un exceso 
de 20 cm, por ello el # de pasos de 50 cm se obtendrá por medio de la siguiente división :
600 + 20 = 30 pasos
En resumen : - El primero dio 100 - 30 = 70 pasos de 70 nn : 49 metí os
El segundo dio 30 pasos de 50 cm : 15 metros
El 1" dió . 70 - 30 = 40 pasos más que el 2*\
Método abreviado .- Este consistirá en reconocer los elementos que componen al (Limado 
Método del Rombo :
, 70 
>c r A
100 pasos
X V
50
~ e n 1 0 0x7 0 -6 400# de pasos de 50 : = 30
# de pasos de 70: 100 - 30 = 70
G 400
Exceso de unos sobre los otros: 70 - 30 = 40 RPTA D
1 7 K Problemas de A ritme tica y como resolverlos Hernán Flores Velozco
m
B) REGLA DEL CANGREJO
71.- Tenia cierta suma de dinero, ahorré una cantidad iguai a la que tenia y gasté S/. 80. 
Luego ahorré una suma igual al doble de lo que me quedaba y gasté S/. 360. S i ahora 
tengo nada ¿ Cuánto tenia al principio?
A) S/ 80 B)S/140
Resolución.-
Aplicando la regla del cangrejo:
C) S /100 D) S/ 120 E) S/50
Operación OperaciónInversa
Tenía cierta cantidad 
de dinero ? i
A
100
Ahorré una cantidad 
igual a la que tenía x 2 + 2 200
Gasté S/. 80 -80 + 80 1 120
Ahorré una suma igual 
al doble de lo que 
quedaba
x 3 + 3 360
Gasté S/. 360 -360 + 360 0 4- Tengo nada
*A l principio tenia S/ 100 KPIA D
72- Con un cierto numero hago las siguientes operaciones : Lo elevo al cuadrado, al 
resultado le quito 15 y lo m ultiplico por 3 ; al numero asi obtenido lo dividido entre 6 y 
luego lo elevo al cubo, obteniendo un número al cual luego de aumentarle 19 unidades 
le extraigo raíz cuadrada para obtener 12 como resultado final. Siendo positivo el 
numero que tenía inicialmente, diga ¿C uál es el número?
A) 10 B ) 6 C )8 D) 4 E ) 5
Resolución.-
L'tilizando la REGLA DEL CANGREJO , es decir comenzando en la ultima operación, se tiene 
Operación. O2 -15 x3 + 6 0* +19 J~
A. A A A A A A
5 25 10 30 5 125 144 12
> > > . . >- . > > _ >-
Operación inversa: +15 4-3 xG 3J~ - 19 0"
El número es 5 RPTA. E
Cuatro Opean iones 179
73.- Tres jugadores A, B y C convienen en que el que pierda en cada partida doblará el 
dinero de los otros 2. Habiendo perdido cada jugador una partida, en el orden en que 
han sido nombrados, resulta que el primero tiene S/24, el segundo S/28 y el tercero S/ 
14 ¿ Cuánto dinero tenia el prim er jugador a l in iciar el juego ? *
A) 20 B ) 32 C) 24 D) 36 E ) 28
RfiStiludÚn-
Como al final tienen S . 24 , S/. 28 y S . 14 respectivamente, entonces entre los 3 tienen : 24 
+ 28 + 14 = S/- 66 que será la cantidad total de dinero que tienen los 3 en cualquier momento 
del juego.
La progresión del juego será :
Inicio del P'r juego (pierde A)
Inicio del 2do juego (pierde B)
Inicio del 3‘‘r juego (pierde O
FINAL
Completando el cuadro de abajo hacia arriba mediante la REGLA DEL CANGREJO, se tendrá :
"A" tenia al pnneipio S/. 36 RPfA D
74.- Están jugando "casino" A, B. C y D y cada uno de ellos gana una partida en orden 
inverso al que han sido nombrados. La regla del juego es la siguiente: A l que gane en 
primer lugar, tos demás, le darán S/ 40; a l que gane en segundo lugar, le darán S/30; ai 
que gane el tercer juego, los que pierden, le daran S/20 y al que gane el ultimo solo se le 
dará S /10 por cada uno de los que pierden. Luego de jugarse el cuarto juego y cumplir­
se con las reglas establecidas, cada uno tiene S/ 80. Diga Ud. la diferencia entre lo que 
tenían inicialm ente B yD .
A) 30 B) 80 C)100 D) 60 E)40
180 Problemas de Aritmética y como resolverlos Hernán Flores Velozco
Resolución.-
En cualquier momento del juego, la cantidad total de dinero será :
80 + 80 + 80 + 80 = 320 
De acuerdo a la progresión del juego y utilizando la REGLA DEL CANGREJO se tiene *
Inicio del I " juego (gana D)
Inicio del 2tk> juego (gana C)
Inicio del 3*‘r juego (gana B)
Inicio del 4'° juego (gana A)
FINAL
I 10 
(-10) 
100 
(-30) 
70 
(-20)
50
80
B
I00
H O ­
CO
(-30)
30
90
(-10)-
80
C
(50
(-10)
20
110
(-20)
90
(-10)-
80
D
20
140
(-30)
110
(-20)
90
(-10)
80
Total
320
320
320
320
320
Entonces, la diferencia de lo que tenían inirialmente B v D es :
100 - 20 = 80 RPTA R
75.- Lili, caaa día gasta la mitad de lo que tiene más S/. 20; s i gastó todo en 4 dias. ¿Cuánto 
gasto el segundo día ?
B ) 110 C) 120A) 100
Resolución:
En cad.i día sucede lo siguiente ■ "gasta la mitad; gasta S'. 20" 
Fs decir, en operaciones " + 2 ; - 20 "
Repelido 4 veces, porque son 4 días, tendremos :
D) 130 E ) 140
x — 2 ; -20 + 2 ; -20 + 2 ; -20 + 2 ; -20 0
Aplicamos el método del cangrejo y obtendremos los valores del dinero que tenía al inicio de 
cada proceso: A
1" iteración : (0 + 2 0 ) ^ 2 = 2tf ; w = 20
2** iteración : (20 + 20) x 2 = 80 ; z = 80
3M iteración : (80 + 20) x 2 = 200; y = 200
4" iteración * (200 + 20) x 2 = 140; * = 440
Lo que gasto el 2J" día es : v - z = 200 - 80 = 120 RITA. C
Cuatro Operaciones 181
C) PROBLEMAS COMBINADOS
76.- Un librero adquirió 78 libros a S/ 40 cada uno. habiéndosele regalado uno por cada 
docena que compró. ¿A cómo debe vender cada ejemplar para ganar S/1208, s i él a su 
vez ha regalado 5 lib ros?
A ) S/. 50 B ) S/. 48 C) S/. 56 D) S/. 52 E ) S/. 54
Rosolución.-
Coino le han regalado uno por cada docena que compro, el numero de «docenas» que com­
pró es
78 r 
12+1 =6
Enlonces el costo de los libros será : 6 (12) (S/. 40) = S/. 2 880
Para ganar S/ I 208, debe venderlos en : 2 880 + 1 208 = 4 088
Si ha regalado 5 libios, solo cobró por 78 - 5 = 73 libros
4088Luego cada libro lo ha \ endido en • --- = 8/ 50 RPTA Cf ó
77.- Ocho personas realizan un viaje, cuyos gastos convienen en pagar por partes ¡guales. 
Al termino del mismo, tres de ellos no pudieron hacerlo y entonces cada uno de los 
restantes tuvo que pagar S/180 mas. ¿Cuánto costó el via je?
A) S/2 400 B ) S / 1 800 C )S/1200 D )S/3 600 E)S/2100
Resolución.-
Como 3 de ellos no pueden pagar, los otros 5 deben poner adicionalmento y en total;
5(180) = S'. 900
Este monto es lo que no pudieron pagar las 3 personas, lo que significa que cada una de cll.is 
debió pagar inicialmente :
9003 = 300
Por lo tanto el costo del viaje es : 300 (8) = S 2 400 RPÍA A
78.- Un aprendiz entra a l estudio de un notario y se le promete $ 2 600 y una gratificación 
por 5 años de trabajo. A l cabo de 3 años y 3 meses, e l aprendiz renuncia y recibe $ 850 
y la gratificación. ¿A cuánto asciende la gratificación?
A) $2 400 B ) $2 600 C) 52 000 D) 5 2 700 E )$ 2 100
Resolución -
Por 5 años, es decir C0 meses, se le promete S 2600 más la gratificación.
Por 3 años y 3 meses, es decir 39 meses, recibe $ 850 más la gratificación.
182 Problemas de Aritmética v loma resolver lo\ Hernán Flores Velozco
Luego por los : 60 - 39 = 21 meses que no trabajó, dejo de percibir 2 600 - 850 = $ 1 750
Entonces el pago mensual que le hacían era de :
Esto quiere decir que, por los 60 meses (5 años) debieron pagarle
( 1750 ̂ ^
60 ̂— j- = $ 5 000
Teniendo en cuenta que este monto incluye la promesa de pago de 2 600 y la gratificación, 
concluimos que dicha gratificación es de
5 000 - 2 600 = $ 2 100 RPTA. A
79.- Una persona, en el mes de octubre, resta los años que tiene de los meses que ha 
vivido y obtiene 106. S i es mayor que otra persona en 3 meses ¿En que mes nació la 
segunda persona?
A) Agosto B ) Diciembre C) Jun io D) Abril E ) Mayo
Asumiendo cjue esta persona, en el mes de Octubre, tiene .
"A" años vivirlos 
7/f meses vividos
Donde la cantidad exacta de meses vividos es
rn = A (12) + mp ... (*)
* Cantidad de meses que han pasado des­
de el mes de su cumpleaños < 12)
» ^
Según el enunciado del problema : m - A = 106 . (**)'
Reemplazando (*) en (**) : (12A + mp) - A = 106
1 1A + m = 106
Los únicos valores que satisfacen esta igualdad son : A = 9 a rn = 7
Luego, hasta Octubre, han pasado 7 meses desde su cumpleaños, entonces, esta persona, 
nació en el mes de Mar/o y como es mayor que la 2dj persona en 3 meses , concluimos que:La 2da persona nació en Junio RIMA C
80.- Un ómnibus va de A a B y en uno de sus viajes recaudó S/ 152. E l precio único del 
pasaje es S/ 4 , cualquiera sea el punto donde el pasajero suba o baje del ómnibus. 
Cada vez que bajo un pasajero subieron 3 y el ómnibus llego a B con 27 pasajeros. 
¿Con cuantos pasajeros salió el ómnibus de A ?
A) 5 B) 11 C) 6 D) 8 E) 16
Cuatro Opcrai iones 183
De los datos : Recaudación total =8.152
Precio de cada pasaje = 5/. 4
Luego, el numero de pasajeros que subieron al ómnibus es :
152
4 =3«
Como a "B" solo llegaron 27 pasajeros, en el trayecto bajaron
38 - 27 = 11 pasajeros 
IVro, según el enunciado, c.ida vez que bajo un pasajero, subieron 3, entonces subieron
11 (3) = 33 pasajeros
Resolución.
Luego de A partieron : 38 - 33 = 5 pasajeros RPTA . A
61.- Todos los días, sale de Marcona a Lima, un ómnibus con velocidad de 100 km/h. Este 
" se encuentra diariamente a las 12h con un ómnibus que viene de Lim a con velocidad 
de 55 km/h. Cierto día, el ómnibus que sale de Marcona encuentra malogrado al otro a 
las 14h 45 '¿A qué hora se malogró el ómnibus que sale de Lim a?
A) 6h
Resolucion.-
B)7h C )Bh D) 9h E ) lOh
55 km/h
Marcona
Pun to d e en cu en tro ¡ 
n o rm al (12/0
M
ü
L im a
Pun to d o n d e se m a ­
logra e l ó m n ib us q u e 
v ien e de L im a
El ómnibus que sale de Marcona demoia, para la distancia EM :
14// 15 - 12// = 2h 45 = 2 ̂ // = V h
4 1
Como su velocidad es 100 kuvh :
EM = (100 km/h) í llY4 hv *» J EM = 275 km
El ómnibus que sale de Lima tiene una velocidad de 55 km h, luego para la distancia EM 
demora :
275 km
55 k m / h = 511
Entonces, como al punto "E" llega a las \‘¿h, llego al punto M, 5 horas antes.
Se malogró a las . 12h - 5h = 7h RPTA B
82.- Suena la sirena de un pesquero "A " y a los 20 segundos suena la de otro “B “ que está 
pescando a 10 000 m de "A ", Calcular la posición de un tercer pesquero "C “ situado 
entre "A “ y “B “ en linea recta, desde donde se oyen ambas sirenas en el mismo instan­
te. (considerar que la velocidad del sonido es 340 m/s).
A) a 6 800 m de A B )a 3 200m deB C )a 8 400m deA
D) a 1 600 m de B E )C y D son respuestas
Resolución.-
La sirena de A suena 20 segundos antes que la de B, luego en esos 20 segundos, el sunido de 
la sirena de A habra recorrido *
(340 rn's) (20 *•) = C 8Q0m
184 Problemas cL Aritmética y i orno resolverlos Hernán Flores Velozco
20 s
A A' C
— 6 800 rn — j
-j-------------------- 10 000 m ------------------ ^
Cuando el sonido de la sirena de A está en A ', suena la sirena de B, luego, el pesquero C para 
escuchar ambas sirenas al mismo tiempo, debe estar ubicado en el punto medio de A’B :
10000-6800
2
Entonces, el pesquero C estara ubicado :
= 1 600 rn
a : 6 800 + 1600 = 8 400 m de A 
a : 1 600 m de B RPTA L
Cuatro Opt raciones 185
PROBLEMAS PROPUESTOS
ADICION:
1.- Hallar las 4 ultimas cifras de la suma.
888...888
S = 888 + 8 888 + SS 888 + . + 75" ^ ^
A) 624 B)724 C)824
D) I 624 I:) 1 824
2.- Hallar "a + b + cn si se cumple que :
ntlnt + nilnt + «i3«i + ... + m9/ii = abe* 
A) 12 B )I3 w C) 14
D) 15 E) 16 *
3.- Hallar la siguiente suma:
S = I 2 + 2 .3 + 3.4 + 4.5+ .+97 98 
A) 311 698 A f) 313 698 O 313 598
D) 312 698 E) 315 698
4.- Determinar la suma de los términos de la 
tila número 20 del siguiente triángulo 
numérico :
1
3 : 5
7 9 II
13 ; 15 , 17 . 19
A» 3 450 B)6230 C)6980
D)7 200 JífsOOO
5.- Hallar V en la siguiente suma :
¿i 746 + 56«2 + c ía = bhabX 
A l 4 B ñ C )6 D)7 F )S
6.- Reempla/ar las letras y los puntos por las 
eilras
a b c ii e
e d 1 b u
■8 6
Sabiendo que se tiene . a > b > c > d > e 
y q u e ir 4 a - ir + r
A)'87678 B )87696 C) 85667
D) 86698 F.) 87669
7.- Hallar un numero de dos cifras cuya suma 
sea 14. y tal que si se invierte el orden de 
las eilras. el numero aumenta de 18
A >66 B ) 67 C )68 D)69 b)7<)
S I S I R A C C IO N :
8.-Hallar "c + d + e" s i: ^ «
5ede cdoc =2579
A)10 B i l l ^112 Ü013 E ) 14
9.- Hallar el minuendo de una sustracción, 
sabiendo que la suma lie sus términos 
tomados ele dos en dos son : 380 ; 448 y 
692.
A ) 812 ‘ B ) 342 <^380 D) 392 H)498
10.- Si al restai ('BOA de 5ABC se obtiene 
2579; hallar. A + B + C
A )I0 B ) 11 0 1 2 D) 13 E) 14
11.- Dado las siguientes operaciones :
RO M A - R0
A M O R A M *> U
2 x1 y 96
186 Problemas de Aritmética \ romo te solverlos Hernán Flores Velozco
Donde. 0 > M > R > A > 0
Determinar ■ \ + M + O + K
A) 15 B) 17 C) 19 K>>24 E)25
12.- Cuál es la suma del menor y mayor valor 
entero de 3 cillas que puede lomar N ; si 
la última de las siguientes restas es 7.
N u - / j . p - a = 0 . Q - a = R ,... 33 icslas
A) 846 B)93| C1964
D)997 II) I IOS
0
13.- Un número estj compuesto de 3 cilras 
sigmticalivus. el numero de las decenas 
es igual a la suma del de las centenas con 
las unidades y sobrepasa de 693 a éste 
número invenido. / Cuál es este número?
A) 888 B 1889 C)890 i»89| H)X92
M i r n n i l a c ió n :
14.-Si abtd x 9 99: = 6 578 . hallar:
a + b + c + d
A) 20 B)2 I <?)22 Dj23 E)24
15.-Si N x 4 = ...3548 y N x3 = ...2661 
Hallar las cuatro últimas cilras de N x | 347
A) 0889 B)3549 C)4709
D>4789 I;) 6209
16.- /Cuanto suman las seis cilras del menor • 
orden del prtxlucto:
555...55 x 333...333 - 
130 cillas SO cilras
A)2I B)23 0 2 5 D)27 1:)29
17/- Si A : B ; C y D son números enteros de 8;
5 ; 6 > 7 cilras respectivamente. /.Cuántas 
cifras puede tener A x B x C x D í
A ) 22 a 25 ^ )2 3 a ;6 C) 24 a 26
D)24 a 17 E ) 23 a 25
18 .- Hallar el pioduclode ahí x 248, sabiendo 
que el producto de sus pioductos 
parciales c*s 900
A ) 53X00 O 5fc>800
D) 58 800 li)59XOO
19.- Si se sabe que :
ab< x acb x (bu = 31832164/ S
Hallar: a + h + i. ' ^
A ) 14 B) 15 0 1 7 ^13)16 b )IS
20.- Cuánto suman las cilras del producto
7 0
p - 1998x 999......99 - *0 - .1 / 4. i
■•ll.* M
A )602 B )6M 0608 I» 606 ..TÍ)630
0
21.- Un alumno, clectuando la multiplicación 
ile 124 por un cierto número, hulla por 
pioducto 5332. pero uno de .sus 
compañeros le hace la observación que 
cM ha tomado un 5 poi un 3 en la cifra de 
las unidades del multiplicador. f Cuál debe 
ser el producto verdadero''
A ) 5850 Ü|55XO 08055
D)X585 F)S550
22.- Reconstruir la siguiente multiplicación
I ir b i d e 
______________ 3_ A t,
a b i d i I t ' a
k'
A >482517 B ) 24*?781 0154872
D) 452871 U Í428571
Cuatro Operaciones 187
DIVISION:
23.- En una divi>mn 1c falta 15 unidades al 
residuo para ser seria mínimo al restarle 
18 unidades. Determinar el dividendo de 
la diMsion si el cociente es el doble del 
residuo
A) 920 
D) 1 330
B)989 
yS 1349
C)l 180
24.- La suma de dos números es 930, su 
eoelente es 17 y el residuo de su división 
es el mayor posible. Hallar la diferencia 
de los números.
yfS32 B)84l 0842 D)K52 E)862
25.- En una división entera inexacta el residuo 
por deteeto. el residuo por exceso, co­
ciente por exceso y el divisor torman una 
progresión aritmética de ra/ón 6. Calcular 
el dividendo.
A ) 18 B)54 C) 128 D)424 E)702
26.- En una división entera el divisor es 23 y al 
residuo 15. Si al div idendo se le suma 60 
unidades, el cociente aumenta en "v" 
unidades y el residuo disminuye en "y" 
unidades. Hallar ( i +y).
A") 12 B) 15 Q I7 D) 18 E)2I)
27.- En lina división inexacta el dividendo es 
575 y el cociente 12. ¿Cuántos valores 
puede lomar el divisor?
A) I B )2 03 D)4 E)5
28.- El cociente de la división de un numero 
entero D por el número entero </ es 4; el 
residuo de la división es 30 Si se adiciona 
el diwdcndo, el divisor, el cociente y el 
residuo, la sunia asi obtenida es 574 
Hallar el dividendo y el div isoi.. Hallar la 
suma del dividendo y el divj^or.
* 0 > „
A )510 B)515 0528 D)535 . Lr)$40
29.- El residuo de la división de un numero 
por 4 es 3; el residuo de la división del 
mismo numero por 9 es 5. Hallare! residuo , 
de la div ision del numero por 36. ^
A ) 22 B)23 C)24 D;25 E)26 í
CÜMPLLMEM Ü \RlT\lETlCO:
30.- Hallarun numero de tres cifras cuyo C.A. 
sea igual al número de cifias necesarias 
para escrihir lodos los números enteros 
desde I hasta dicho número, inclusive 
indicar el producto de cifras de dicho 
numero
E) 120A ) 48 B>54 C)63 D)98
31.- Hallar {a + b ) , sabiendo que :
C . A ( a h ) + C. A. ( a b a b ) = 3674 
A ) 8 C) 10 D) 1 1 E) 12
32.- ¿ Cual es el mayor número de cuatro citras 
signitieativas, tal que la diferencia de la 
suma de sus citras y la suma de sus cilras 
de su complemento aritmético es 1 1 ?
A ) 9 961 
D)9972
B ) 9 861 
E>9942
Ó 9 951
33.- Si el C.A. de un numeral capicúa de 4 cilras. 
Determinar la sumado cifras del numeral 
inicial. 0 , Q / Q
A ) 36 B)37 C)42 D)43 E)44
34.-1 .a suma de los C.A. de los numerales 
«10 , « I I ; «12 ; ... ; «89 es 52 040 
Determinar el valor de "a ".
A ) 1 B)2 ^ Í3 D)5 E )6
188 Problemas de Animé tica v como resolverlos Hernán Flores Velazco
D K T K R M IN \ C IO N A P R IO R I :
35.- ¿Cuantas cifras como inmuno tiene el 
producto |A x B 4 x Cb)2 . S.ibicndo que 
los números enteros A x B x C tienen 6 ,4 
y 2 cifras respectivamente.
A) 42 B>47 C)49 D)51 JÍÍ57
36.- Sabiendo que la expresión .
/> = A * x B 2xC f
tiene 12 cifras además A x C tiene 8 a lias 
/Cuantas cifras tiene Ax B ?
A) 5 B )6 C)7 D)8 E)9
37.- Hallarcl valor de si E " tiene 15 cilras; 
A tiene 18 y B tiene 13 cilras, siendo ■
n= \ A ‘x B <1I
A )4 B)5 C)7 D) 12 ' F ) 15
38.- Siendo A y B números culeros de 17 y I I 
cifras enteras /Cuantas cilras enteras 
puede tener A /B/
A>6 o 6 B ) 5.6 ó 7 j ($ 6 n 7
D)7o8 E ) 17.8o 9
i., ^ . A 2x B 1 ,39.-¿Cuantas cilras tiene p = ̂ /
Si sabemos que A/B nene 20 cilras y B/C 
tiene 8 cilras. ^
A i l ió 12 B ) 12o 13 4 .0 1 3
I)) 1 2 a 14 E ) 12a 15
RAI S\SU PO S IC IO N :
49.- Un graniero muy aficionado a la arilftieiica 
le aumenta a un amigo lo siguiente • "traigo 
para vender a la loria 117 cahe/as y 400 
patos" /.Cuantos ceidos y cuantas galli­
nas llevo el gianiero a la tena?
\ )34 y 83 
D )33 y 85
B )32 y 83 
L j 34 y 85
C )33 y 84
41.- Si se posaran 4 palomas en cada poste, 
tallaran 3 postes, pero si se posaran dos 
palomas en cada poste sobrarán 36 
palomas. / Cual es la cantidad de palomas /
A ) 20 B)39 0 3 7 Di 59 £)60
42.- Se compraron 1056 lapices de colines por 
S/. 2768 en ca|as de 20 y 12 unidades, las 
primeras costal un .S7. 82 y las otras S/. 32 
¿ Cuantas cajas se compiaron en total*
5
A) 172 B l 163 C) 100 D)32 E )6i
43.- Para ganar S/. 28 en una rita de un rmm 
componente se liarán 90 boletos; pero se 
vcndicion p«ÉH0ft 75 que originó una 
perdida de S/. 17; determinar el costo del 
minicnniponenie •
/V¿42 B)354 0376 D)789 E)980
Podría ahorrar 20 soles diarios, pero cada 
mañana de sol g.isto 9 soles en helados y 
cada mañana Iría gasto 6 soles en calé, si 
ya tengo 258 \oles. ¿ Cuantos días ahorro/
A ) 20 y<2l 023 Di 26 E)22
A IE T ( > IX ) D K L C \N< ,K K J< )
45.- Del total de dinero que tenía 5/6 -100 di a 
Pilar, de lo que me quedaba 4Aí di a Rocío, 
si todavía me quedaba lOOio/e-v ¿ Cuanto 
tenia al comien/o?
A)47b Bj 460 C)490 0)480 E)450
46.-A un cierto numero se le multiplica por 18, 
al icsuliado se le suma 30, al resultado se 
le divide entre 5 Al resultado se le resta 
24. al resultado se le extrae la rai/ cuadrada 
y se obtiene 6. ¿ Calcular dicho numero/
A) 13 B» 14 O l í D) 16 EV>5
Cuatro Operaciones 189
47.- A y B juegan 3 partidos de poker. Si "B " 
pierde. A recibirá la mitad de lo que tenia 
B; si A pierde, le pagará la quinta parte de 
loque tiene a B. Si A y B acaban con 1920 
y 1580 soles respectivamente y B solo 
perdió la primera partida., Cuánto perdió A?
A) 463 B)5H0 C)630 D )6Xí) E)720
48.- Del total del dinero que tenia 5/12 +100 di 
a Susana, de lo que me quedaba 5/8 -40 di 
a Sonia, si todavía me queda 160 soles. 
t Cuánto tenia al comien/o?
A i710 B)705 C) 769 tf)720 E)725
49.- Un padre del total de su fortuna 1/3 +500 
dio a su hijo mayor, de lo que le quedaba 
1/4 + 125 dió al segundo y lo que le 
quedaba 3/5 + 800 dio al último si todav la 
le queda 2 000 soles. ¿Cual era la fortuna 
del padre?
A) 14000 f i) 15000 C) 1 600
D) 15200 E) 19000
MOYIIJüs
50.- Un tren sufre un accidente que lo demora 
30 minutos; reiniciando el viaje con una 
velocidad que es los 3/4 de la que traía, 
llegando así con 2/i30’ de retra/o. Si el 
accidente hubiese ocurrido 150 km mas 
adelante; hubiera llegado con 2h 5' de 
retraso. Calcular la distancia recorrida (en 
km) desde el accidente.
A) 540 B)72D C)780 D)820 HiWO
51.- Un piloto conduce^in auto a la velocidad 
de 150 m/mm durante 15 futras: pero un 
desperfecto en el auto obliga a reduen su 
velocidad durante las ultimas 40/i«r«vdc 
su v ia|e. Si la vclocidjd promedio lúe de 
Ihm/min. ¿En cuánto i edujo su velocidad 
inicial (en m/min)!
A ) 110 B> 115 C)420 D) 130 E)140
52.- Una tripulación empica 3 horas en remar 
16 km rio aba|o y regresar, el tiempo 
empleado en remar 2 km rio arriba es el 
mismo en remar 4 km rio abajo. Hallar la 
velocidad del bote (en km/h) cuando se 
dcspla/a en aguas tranquilas.
A ) 8 B) 10 C)12 D) 14 E) 16
53.- Dos ómnibus una que sale de Lima a 72 
km/h y otro que sale de Tacna a 108 km/h 
se encuentran siempre a las 12 meridiano; 
pero un día el ómnibus que salió de Lima 
encuentra malogi ado al ómnibus que salió 
de faena a las 2 pnt. ¿A que hora se 
malogro el ómnibus?
A) 10 «.ni 13) 10: IOí/.n/ C) 10.20 a.m
D) 10:30«.m E ) I0 40«.w
54.- Cierto día una persona recorre una 
distancia AB en 2 lloras, de regreso 
aumenta su velocidad en 1 1 m por minuto, 
y recorre la misma distancia en 105 
minutos ; hallar la distancia A B.
A ) 7.24 A/// B)8.24¿/;i C)9,24 km
0)5.24 km 1)6,24 km
PR O R LE\ IA S COY 1BINADO S
55.- Si con 60 millones de francos se manda a 
fabril ai billetes de S/. 1 (XX) a ra/on de 60 
francos el millar de billetes y se cambia 
todo en dolares a ra/on de S/. 500 cada 
dolar ¿Cuantos miles de dolares se 
tendí á?
A )2x10* B )2 x I0h C ) 2 x l ()4
D )2 x l0 s E) 200(1
56.- A la misa de gallo de cierta iglesia 
asistieron tal cantidad de personas que 
la mitad de ellos no se pudo sentar, pero
190 Pioblemos de Aritmética y como resolverlas Hernán Flores Velozco
si hubiesen asistido 214 personas menos, 
hubieran quedado 4 asientos vacíos. 
¿Que capacidad para personas sentadas 
tiene dicha iglesia ?
A) 210 B>320 Q 4 I0 1))420 E)440
57.- En una tiesta a las que lueron 53 peisonas 
en un momento determinado 8 mujeres no 
bailaban y 15 hombres tampoco. ¿.Cuantas 
mujeres asistieron a la reunión?
A) 19 B) 21 0 2 3 L))25 E)27
58.- Un comerciante compra ailículos a 3 por 
S/. 50 y los vende a 5 por S/ 100; si los 50 
artículos que le quedan represt nía su 
ganancia. (.Cuantos artículos en total 
compro7
A) 200 B)250 C)300 D)275 E)I50
59.- Un examen de ingreso de 140 preguntas 
durante 3Junas. Si un postulante dedica 
60 minutos para leei y responder 40 
preguntas y de cada 10 acierta 5 ¿ Cuantas 
no acertó o deja de responder?
A) 80 B)60 0 2 0 D)50 E)I30
60.- En una reunión numeiosa, una de las 
personas piopuso hacer una cuota paiu 
los pobics. se dehena icunu una cicita 
suma, y un calculista, de la sociedad halla 
que esta suma se sobiepasaiía de I 10 
sales si cada uno dicria 5 .soles, mientras 
que faltarían 90 soles pai.i hacer la suma 
en cuestión si cada uno se suscribiera con 
3 soles. Se pille el numero, de personas y 
la suma que ha sido necesaria.
A) 390 B)391 C)392 D)393 E)394
61.- En una sociedad nuinciosa había 
primitivamente lies veces nuis hombres 
que mujeres; después que se sep.uaion 8 
parejas, el numero de hombres quedo 
cinco veces mas giandc que el de las
mujeics; ¿Cuantos hombres y mujeres 
había al principio?
A ) 46 B)47 C)48 E»49 E)50
62.- Un automóvil recorre 315 kilómetros en 5 
horas, y otro hace un recorrido del doble 
numero de kilóm etros en 7 horas. 
Suponiendo que los. dos marchan durante 
9 horas, calculai la diferencia de los 
recorridos.
A ) 239 B)240 C)24l l))242 E)24363.- Un cartero repartía la coricspomlencia en 
los pisos entresuelo, principal, segundo 
y tercero de una casa. Durante un cierto 
año subió 25 días hasta el entresuelo, 72 
hasta el principal. 43 hasta el segundo y 
el resio hasta el tercero. Siendo los 
iiimicros de escalones hasta el entiesuelo 
y de piso a piso, 30, 22, 24 y 24. 
respectivamente, ¿Cuántos escalones 
subió el cartero en ese año. solamente 
para el servicio de dicha casa?
A )30263 B )30262 C) 31260
D) 32606 b )31236
64.-Una tábrica gala diariamente 1 51)0 sale- 
para el pago de los jornales de 40 operarios 
de una clase y 75 de otra, pero, con el 
mismo gasto desea duplicar el numero lie 
operarios de la primera clase > reducir a 
25 los de la segunda. ( C'uál es el |ornal de 
un operan o de cada clase7
A) 12 B) 1.3 C )l4 D) 15 E) 16
65.- Un jxidre a quien se le pregunto por la 
edad de su hi|o, responde : Mi edad es 
tres veces la suya, peí o hace 10 años era 
el qumiuplc. ¿Cual es la edad del hijo?
A ) 10 B) 15 0 2 0 Di 25 b)30
TEORIA DE LA DIVISIBILIDAD
6.1 DIVISIBILIDAD
Se dice que un numero entero A es divisible entre otro numero entero positivo B llama­
do modulo . cuando la división entera de A cntri* B es exacta.
A es divisible 
entre B
Ejemplo 1 : ¿Será 91 divisible entre 13''
A ! B 
K
0
Veamos : 91 113
7 =>
0
Ejemplo 2 : ¿Es -24 divisible entre 8?
91 es divisible entre 13
Veamos: -24 [8
-3
0
-24 es divisible entre 8
6.2 MULTIPLICIDAD
L'n numero entero A es múltiplo de otro número entero B, si se verifica que
A = B x /i
donde "n" es un número entero cualquiera , es decir:
n e ; -3 ; -2 ; -1 ; 0 ; 1 ; 2 ;3
Notacion.-
Ejemplos :
A es múltiplo de B o A = B a B es múltiplo de B
I 85 = 17 , pues : 85 = 17 (5) y 5 e /
192 Problemas de Aritmética y cómo resol\erlo.\ Hernán Flores Veiosco
2.- -36 = 9 , pues : -36 = 9 (-4) y (-4) e /
3.- 0 = 1 1 , pues : O = 11 (0) y (0) e /
4.- Los múltiplos de 8 son de la forma &j i , donde "n" es un numero entero cualquiera . Esto 
permite afirmar que los múltiplos de 8 serán
...; -24 ; -16 ; -8 ; 0 ; 8 ; IG ; 24 ;...
5.- Los múltiplos de 17 son de la forma 17.n, donde "n" es un número entero cualquiera . Esto 
permite afirmar que los múltiplos de 17 serán :
...; -51 ; -34 ; -17 ; 0; 17 ; 34 ; 51 ;...
6.3 CONCEPTOS EQUIVALENTES
Que un numero A sea divisible por otro B puede tener las siguientes interpretaciones :
A es divisible por B 
A es múltiplo de B 
A = B => • B es divisor de A
B div ide a A 
B es factor de A
6.4 DEFINICIONES BASICAS
1 - El cero (0) es divisible por todo número entero positivo.
2 - Todo número entero positivo es divisible por sí mismo.
3 - La unidad es divisor de todo numero entero.
PRINCIPIOS O
Sea n un número y n un múltiplo de é l, entonces se cumplirá que
o o e
Para una adición: n + n = n
Para una sustracción:
• • a
n - n = n
Para una multiplicación:
Para una potencia:
fi * k = n , donde : k e /
I " / " " • donde : k e / 4
Teoría tic la fiivisihilulud 193
6.5 TEOREMA DE EUCLIDES
Si un cierto módulo divide al producto de dos números enteros y no tiene divisores 
comunes (aparte de la unidad) con uno de dichos números, entonces divide al otro número.
'■ O c O
Si A * B = n , y : A con n tienen un solo divisor común ( la unidad) => B = n
Ejemplos .
1.- Si 9 . P = 13 , entonces P
2.- Si 18. Q = 7 , entonces Q 
PROPIEDADES
1ra.- Si un numero entero A no os divisible poi otro numero entero positivo B, entonces puede 
expresarse de dos maneras:
A = B + r v A = B - r
donde r v r' son los restos por detecto y por exceso respectivamente, de la división entera de
A entre B.
2dd.- Si un numero entero posee "n - ésima" parte entera v exacta, entonces es múltiplo de "n", 
siendo "n” un número entero y positivo.
A
— = # entero => A= n n
3,d.- Todo numero entero es múltiplo de los factores positivos que lo forman y de toda combi­
na» ión que con ellos se pueda etectuar.
Sea 1 N = a x l ) x f *
•j O
Luego :N = I \ a : b \ c , a x b ; b x c . a x c , N
Donde a ,b y c son números enteros positivos v se les llama FACTORES de N.
4,a- Si un numero entero es divisible por dos módulos, que no poseen divisores comunes 
(aparte de la unidad), entonces sera divisible por el producto de dichos módulos.
N ¿ a = a x b x c \
[ N = a < b<
N = b = a x b x c 1
O
= 13 , pues ; 9 y 13 solo tienen como divisor común a la unidad.
O
= 7 , pues : 18 y 7 tienen como único divisor común a la unidad.
Donde a y b no tienen divisores comunes (aparte rio la unidad)
194 Problemas de Aritmética v cómo resolverlos Hernán Flores Velasco
PROBLEMAS RESUELTOS ( GRUPO I )
1.- Del 1 a l 4 500, determ inar:
(i) ¿Cuántos números son divisib les por 15?
(¡i) ¿Cuántos números son d ivisib les por 19?
Dar la suma de ambos resultados.
A) 624 B ) 536 C) 524 D) 317 E ) 724
Resolución.-
Del dato tenemos : 1, 2 ; 3 ;...; 4500----- v------ "
4500 números %
(í) Los números divisibles por 15 forman una progresión aritmética de razón 15 , es decir :
15 ; 30 ; 45 ;...; 450
4 500 -15Asi la cantidad de números estará dada por • ' 4 I = 300 números
En lonna práctica, también puede obtenerse la cantidad de números dividiendo 4 500 por 15
4500 .=> 300 números
(//) Por analogía, la cantidad de números divisibles por 19 será :
4500 .
— — = > 2 3 (> n ú m e r o s
iy i
(solo se considera el cociente entero)
La suma de ambos resultados será: 300 + 236= 536 RP TA. B ,
2.- En la siguiente secuencia : 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ;... ; 400 
(!) ¿ Cuántos son di visib les por 5 ?
(II) ¿Cuántos son divisib les por 3 ?
(III) ¿Cuantos son divisib les por 15?
(IV ) ¿Cuántos no son d ivisib les por 3 ni por 5 ?
Dar como respuesta la suma de todos los resultados
A) 450 B ) 451 C) 452 D) 453 E ) 454
Resolucion.-
Del dato se tiene : l ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ;...; 400
400 números
¡c o iK I tic lo D i\ iu h i l id c ld 195
(i) La cantidad de números divisibles ontie 5 seiu : => XOrmmeios
(ii) La r.uitidad de números divisibles entre 3 será ^ =* 133 números
(iii) La cantidad de números divisibles entre 15 sei.»: ^ => 2(i númerosI a
(iv) l'tili/ando los diagramas de \enn-Euler \ colocando convenientemente los resultados 
obtenidos en (i), (ii) \ (iii) , se tendrá
400
Conjunto de números Conjunto de números
divisibles por 5 ‘ divisibles por 3
54 26 107
80-26 133-26
Aquí estarán los números divisibles 
por 3 y 5 (o sea por 15)
Fnlonces la cantidad de números que no son divisibles por 3 ni por 5 será ■
400 - (54 + 26 + 107)= 213 números
La suma de los resultados sera : 152 números RPTA. C
3.-¿Cuántos números enteros positivos no m ayores que 1 000 son m últiplos de 3 y 5a la 
vez. pero no de 4?
A) 66 B ) 45 C) 52 D) 50 E ) 16
Resolución -
r
A partir del dato se tiene que : I ; 2 ; 3 ;...; IOuO* , *
1000 números
En un diagrama do Venn-Euler: Conjunto de números
divisibles por 15
Conjunto de números . 7 Conjunto de números
divisibles por 3 - r — divisibles por 5
/ \ '
— Conjunto de números 
divisibles por 4
196 Problemas de Aritmética \ como resaberlos Hernán Flores Velosco
Para calcular lo que nos piden (la región .sombreada) se debe restar la cantidad de números 
divisibles entre 3 ; 5 y 4, es decir entre 60, de la cantidad de números divisibles entre 15.
La cantidad de números divisibles entre 15 será : * =* 66 números
La cantidad d‘* números divisibles entre 60 sera 1 =» 16 númerosuU
Finalmente la cantidad de números solicitados sera - ,6 -lG = 50 números RPTA D
4.- ¿Cuántos números de tres cifras son divisibles por 12 ?
A) 71 B ) 72 C) 73 D) 74 E ) 75
Resolucton.-
Como el numero de 3 cifras abe es divisible por 12, se verificará que :
obc = 12 x k , donde : k e /
Se sabe que ■ 100 < abe £ 999
Reemplazando: 100 < 12. k <> 999
Dividiendo entre 12: 8,33 < k < 83,25
Luego : k e {9 ; 10 , 11 ;...; 83} ...( sucesión de razón I)
83 — 9Entonces "A?” puede tomar — - + 1 = 75 valores
Bar lo tanto, existen : 75 números RPTA E
5.- ¿Cuantos números de 3 cifras, que terminan en 4 resultan ser múltiplos de 77 
A) 72 B) 90 C) 29 D) 13 E ) 10
Pl»WlJU£ÍÚn •
Por dato • ubA =7 ub t = 7 k , donde * k e /
Para que 7. k ongine un producto que termine en 4 “k" sera un numero que solo puede termi­
nar en 2 . Veamos :
Se sabe que. 104 < ab 1 < 99-1
Reemplazando. 104 < 7.k < 994
Dividiendo por 7 14.8 < k < 142
Tanta di la Divisibilidad 197
Luego: k e {22 ; 32 ; 42 ; ; 142} ...(sucesión de razón 10)
1 12 —22Entonces 7r" puede tomar : + 1 = 13 valores
Por lo tanto, existen : 13 números RPTA D
6.- ¿Cuántos m últiplos de 6, term inados en 2, existen entre 120 y 1 236?
A ) 18 B ) 19 C) 36 D) 37 E ) 38
Resolución -
Según los datos : N = 6 => N = 6 k
=> N = ... 2
Nótese que, para que : 6. k termine en 2, el factor "k" deberá terminar en 2 ó en 7.
Pordato 120<N<I230
Reemplazando: I20 < 6/e < 1236
Dividiendo por 6 ‘ 20 < k < 206
Luego: /? e {22 ; 27 , 32 ; 37 ; , 202} ...(sucesión de razón 5)
Entonces 7? puede tomar ■ 202̂ -22 + j = 3 7 valores
Por tanto, hay. 37 números RPTA. D
7.- De los 400 alumnos de una escuela, se supo que a l finalizar e l año los 2/5 de las 
muferes aprobaron todos los cursos y los 3/7 de ellas desaprobaron a l menos un 
curso y los 5/8 de las m ismas seguirán estudiando en la escuela ¿Cuántas mujeres ya 
no seguirán estudiando en la escuela?
A) 120 B ) 175 C) 112 D) 102 E ) 105
Resolución.-
Llamomus "M" al numero de mujeres de la escuela, entonces por condición del problema 
debeia cumplirse que : M < 400
2 “Ademas M aprobaron todos los cursos =* M = 5
3
_ M desaprobaron al menos un curso s M = 7
M seguirán estudiando en la escuela > M 8O %
198 Problemas üe Aritmética v como resolverlos Hernán Flores Veiosco
Como 5 ; 7 y 8 solo tienen como divisor común a la unidad , de acuerdo a la 4U propiedad del 
ítem 6 5 se deberá cumplir que .
M = 5x7x8 =* M = 280
ft)r condición M es menor que 400 Juego : M = 280
Por tanto el numero de mujeres que ya no seguirán estudiando en la escuela sera
¡j x280= 105 RIMA E
8.- A una fiesta de aniversario asistieron un numero de personas que es mayor que 200 
J pero menor que 350. En cierto momento se observó que los 2/11 de los asistentes son 
varones que están bebiendo y los 5/13 de los mismos son mujeres que están bailando 
. S i todos los varones están bailando o bebiendo. ¿Cuantas mujeres no están bailando 
en dicho momento?.
A) 14 B ) 21 C) 64 D) 36 E ) 24
Resolución -
Sea N el numero de personas . luego por condición 200 < N < 350 ....(*)
2Poi datos. Varones que están bebiendo ^ N => N = l l
Mujeres que están bailando ; “í N => N = 13I «3
Como "N" es divisible por I I y 13, sera divisible entre 11x13 , es decir. N = 143
Pero por la condición (*) se puede deducir que N = 143 x 2 =s N = 280
2
Reemplazando en los datos * \arones que están bebiendo ■ x 280 = 52
Mujeres que están bailando. ^ x = IDO
Es lacil reconocer que al haber 110 mujeres baiiando, habra también 110 varones bailando; 
entonces como todos los varones están bailando o bebiendo ;
Total de varones 52 + 110= 102
Total de mujeres ; 286 -162 = 124
Por tanto el numero de mujeres que no están bailando seia
124- 110 = RPTA A
1 1̂ -- En una fiesta donde asistieron 280 personas entre damas, caballeros y niños, la 
y j cantidad de caballeros que no bailaban en un momento dado era igual a la cuarta parte 
del número de damas; la cantidad de niños asistentes era igual a la séptim a parte del 
numero de damas. S i la quinta parte de las damas están casadas ¿Cuantas damas no 
bailaban en dicho momento?
A) 55 B ) 75 C) 65 D) 45 E ) 35
Resolución
Sean: D = Número de clamas ; C = Numero de caballeros ; N = Numero de niños
Por condición del problema se tiene que : D + C + ,\ = 280 .... (1)
/con 11 tlr la Divisibilidad 199
O
Según los datos : Caballeros que no bailaban: ^ => D= I
DLos niños son N = ? => D = 7
DDamas que están casadas: => D = 5
n <5
De lo cual deducimos que : D= 1x7-5 => D = 140 ....(2)
> de ( l ) y (2) deducimos que : D = 140 => N = = 20 => e n ( l ) : C = 120
También : Caballeros que no bailaban =35
Entonc es : Cuballeios que bailaban : 120 - 35 = 85
Luego: Damas que bailaban • ■ 85
l\>r lo tanto: Damas que no bailaban : 140 - 85 = 55 RITA. A
s10.- En un salón de clases donde hay 59 personas, la octava parte de los hombres usan 
anteojos y la séptima parte de las mujeres practican voley. ¿ Cuántos hombres no 
usan anteojos?
*
A) 14 B ) 7 C) 28 D) 21 E ) 35
Resolución -
Sean: H = Numero de hombres y M = Número de mujeres
Por condic ión del problema . H + M = 59 ( I )
H pPor datos .hombres que usan anteojo-. • => H = 8 = 8O
MMujeres que practican vole\ : => M = 7
...C2 )
200 Problemas tle Ammética y cómo resolverlos I lernan Flores Velosco
Para calcular "6" y posteriormente el numero de hombres, reemplazamos (2) en ( 1) : 
86 + 7 = 5 9 ...... [86 = (7+1)6 => M/f = 7 + * I
O O O o
Luego. 7 + 6 + 7 = 7 + 3 => /? = 7 + 3 => 6 = 3
Entonces : H = 8 x 3 = 24
Por tanto: Hombres cjue no usan anteojos : ^ x 24 = 21 RPTA D
11.- Hallar el año en qué nació Andrés A. Cáceres, sabiendo que fue presidente a los 53
años (ese año fue 53 + 31). Ocho años más tarde volvió a ser presidente (dicho año 
fue múltiplo de su edad mas 3). Dar como respuesta el producto de sus cifras.
A) 24 B ) 72 C) 40 D) 48 E ) 32
Resolución
Sea "N" el año en cjue nano Andrés A Cáceres, entonces cumplió 53 años en el año: (N + 53), 
luego, por condición del problema se deberá cumplir que
O O
N + 53 = 53 +31 => N = 53 + 31 ...( I)
Ocho años después cumplió 61 años, esto es , en el año (N + 61), luego por condición del 
problema se tendrá que :
N + G I - 6 1 + 3 =* N= 61 +3 = 616 + 3 ...(2)
Igualando (1) y (2) 53+31=616 + 3 ' I 616 = (53+8)6 => 616 = 53+8*1
Efectuando 53 + 31 = 53 + 86 + 3 =s 8 6 - 28 = 53 "
=* 6 =30
Entonces, Andrés A. Cáceres nació en el año : N = 61 (30) + 3=1833
POr tanto , el producto de sus cifras sera : 1 x 8 x 3 x 3 = 72 RPTA B
— . A
12.- ¿Cuántos valores puede tomar ab ; s i : ab + 2.ab +3.ab +... + 15.ab = 132 ?
A) 7 B )8 C) 9 D) 10 E ) 11
Resolución--
o
Extrayendo factor común ab se tendrá que : ab (1 + 2 + 3 + ... + 15) = 132
=> ab x 120 = 132
Temía de la Divisibilidad 201
Para que el pnmer miembro sea divisible por 132 .deberá ser divisible por 11 y por 12. Puesto 
que 120 es divisible por 12 pero no por 1 1 , deducimos que :
db = l°l
Entonces los números posibles serán • ab e {1 1 ; 22 ; 33 ;...; 99}
Por lo tanto, ab puede tomar • 9 valores RPTA. C
O
13.- S i : mcdu = 17 y me = 3 [du -1) ; hallar e l máximo valor de medu y dar como 
respuesta la suma de sus cifras.
A) 16 B ) 14 C) 22 D) 15 E ) 18
Resolucion.-
Por dato se sabe que . mcdu = 17
Descomponiendo polinómicíimeute por bloques : 100 rnc + du = 17
O
Reemplazándome por la condición ( 3 du -3) : 100(3.í/«-3) + du = 17
O
Efectuando operaciones se tendrá que : 301 du - 300 = 17 ...... (*)
° JA continuación reconocemos que por exceso: 301 = 17-5 ,
o
Amismo se reconoce que por exceso: 300 = 17 - G 1
% O
Reemplazando en (* ) y efectuando tendremos ■ 5 du - 6 = 17
De donde deducimos que . du = 25
Finalmente al reemplazar en la condición : me = 3 (25 - I ) = 72
*
m + c + d + u = 1G RPTA. A
14.-S i el número abed se divide entre 23, e l resto es 8. ¿ Cuál es e l valor de ,‘b Hsi además: 
a + b + c + d=18 y ab + be + cd = 163?
A) 4 B )5 C) 6 D) 7 E ) 8
Resolución -
Colocando los sumandos en forma vertical: ab +
be
jrd
103
202 Proifl enias tic Aritmética v cómo resaberlos Hernán Flores Velosco
En el l*'r orden se cumple que : b + c + d = 13 u = 5
En el 2cl° orden se verifica que : o + 6 + c = 15 => d = 3
De donde .se deduce que : b + c = 10
O O
Por dato se sabe que : abcd = 2 3 + 8 => 5 be 3 = 23 + 8
Descomponiendo en torma conveniente :
5000 + 106c + 3 = 23 + 8 => 5003 + 106c = 23 + 8 ... ( I )
O
■, Como: 5003
i 12
23 => 5 003 = 23 + 12 ...(2 )
217
O O
Reemplazando (2) en ( I ) : 23 + 12 + 10 . be = 2 3 + 8
i‘V o
Efectuando se tiene que : 106r + 4 = 23
De aquí se deduce que 6c e {18 ; 41 ; 64 : 87}Y como : 6 + c = 10 =* 6c = 61
6 = G RPTA. C
15.- S i el numeral 2abc se divide entre 17 el resto es 4 . ¿ Cuál es el menor numero entero 
positivo que se debe sum ar a abc2 para que sea divisib le por 17 ?
A) 17 B ) 14 C) 8 ‘ D )7 E ) 10
Resolución--
 O
Por dato: 2abe = 17+4
 O O
Descomponiendo: 2000 + abe = 17 + 4 (2000 = 17 - G ) por exceso
O __ O O
Reemplazando: 17 *6 + abe = 1 7 + 4 =* abe = 17 + 10 - ( I )
Sea V el menor número entero positivo que debe sumarse a utn l para que sea divisible poi
17. entonces se tendrá que :
 O
abe 2 + v = 17
O
Descomponiendo: 10 x abe + 2 + x = 17 . .(2)
Reemplazando (1) en (2): 10(17 + 10) + 2 + x = 17
O o
Efectuando operaciones : 17 + 102 + x = 17
Teoría de la Divisibilidad 203
Como 102 = 17 , se deduce que : x = 17
x =17m in RPTA A
16.- ¿Cuántos términos, como mínimo bastará tomar de la secuencia : 8 ; 16; 24 ; 32; 
para que la suma de ellos sea divisib le por 38 ?
A) 38
Kesolución.-
B ) 19 C) 15 D) 18 E ) 37
O
La condición del problema es =38
• * 8+16+24+32 +......
Extrayendo factor común:
l
Luego:
Entonces:
Para que se verifique la igualdad :
n termnos
8 ( 1+ 2 +3 +4 + ...) = 38V *
"n"té /minos 
n(// +1 )
8 x
O
= 38
4n(/r + 1) = 38 .donde: 38 = 19x2
• ( , - * ■=•*■■*£
t o
n = 19 , ó , n + l = 19
n =18 RPTA I)min
204 Problemas (le Aritmética v cómo resolví ríos Hernán Flores Velase o
6,6 DIVISIBILIDAD EN EL BINOMIO DE NEW TQN
Dado que el binomio de Newton es una potencia, podemos aplicar en él los principios de 
Divisibilidad expuestos en el ¡tem 6.4 , con lo cual se logra establecer que :
*
( n + r)k = n +/* .donde: k e Z*
U + rk si Ar es par (+)
( n - r ) * = ] k! n - r si k es impar (+)
Ejemplos :
(1) (9 + 2)52 = 9 + 2^
(2) (13 +5),f) = 13 + 5|C’
(3) ( II- 4 ) ',c = 11+4“’
(1) (17 - 5)-1 = 17 -521
6.7 RESTOS POTENCIALES
Son los residuos que se obtienen al dividir las potencias de exponente entero y positivo de 
un cierto número entre un modulo determinado.
Por ejemplo los restos potenciales de 5 respecto al módulo 13 serán:
5 =13 + 5 
52 = 13 + 12
■i
5 =13 + 8 
5 =13 + 1
s = 4
55 = 1 3+ 5
O
5°= 13+12 
57 = 13 + 8 
5h =13+1
5’ = 13 + 5
Restos potenciales
Se denomina gaussiano (g) al número de restos potenciales diferentes entro si y 
distintos de cero que se repiten en forma ordenada y periódica Por ejemplo, en el raso descrito 
en el ejemplo el gaussiano es 4, pues hay 4 restos que se repiten : 5 ; 12 : 8 v I
Utilizando todo lo expuesto hasta aqu í, podemos predecir el resto que se obtendría al dividir 
cualquier potencia de 5 entre 13 . Veamos:
i* .45 1 = 5"~ = (5 " )"= (1 3 + ir = 13+1
5 1 =13 + 1
5 m = 13+5
5 ,+2 = 13+ 12
5U1 = 13+8
7'enría de la Divisibilidad 205
PROBLEMAS RESUELTOS ( GRUPO II )
17'.- Determinar el mayor valor del producto dea xb tal que a y b cumplan con la siguiente 
relación: *
7.9*b + 8ba =56 + a + b
B ) 63 C) 72 D) 54 E ) 56A) 81
Resolucion.-
Para formar los múltiplos de 56 puede trabajarse convenientemente con múltiplos de 7 ó de 8:
7.lJ üb + 8.8bo 1 = 56 + o + b
4
«t
7(8 + \)ub + 8(7 + I)*"7 = 5 6 + o + b 
Aplicando la divisibilidad al binomio de Newton , tendremos
* 0 O O O
7(8-s 1) + 8(7+1) = 56+0 + 6 
Efectuando las multiplicaciones indicadas se tendrá que :
O O O
56 + 7 + 56 + 8 = 56 + o + 6
De lo cual deducimos que :
posibilidades '
o + 6= 15
t T 
6 9
7 8
8 7 
!) 6
(o x 6 ) = 7 x 8 = 56■'rn.ix RPTA E
18.- Hallar el resto de dividir 2200 entre 7.
A) 1 B )2 C) 3 D) 4
F t e s Q lü i io n -
E )5
Según el problema se tiene :
.200
22U0 = 7 + r
206 Problemas de Aritmética > cómo riMtfvcrlox Hernán Flores Velasco
Puesto que es previsible analizar los restos potenciales de 2 respecto al modulo 7, tendremos
2' = 7+ 2 
2¿ = 7+ 4 
23 = 7+1
S = 3
23*1 = 7+2 
2^ 2 =7+4
Y =7+1
Reconociendo que : 200 = 3 +2
Se tendrá que 2'00 = 23+z = 7 + 4 r = 4 RPTA D
19.- Sabiendo que: 23.23.23...23 = 5+2 ;donde además Nn “ es un numero de dos cifras
Hn " veces
¿Cuál es la suma de todos los valores que puede tomar Mn “?
A) 1025 B ) 1265 C) 1375 D) 1155 E ) 1485
Resolución -
O
Expresando la condición dada de un modo más abreviado, se tendrá: 23° = 5 + 2 ... (1)
Analizando los restos potenciales de 23 respecto al módulo 5 :
231 =5+3
232 = 5+4
233 =5+2 
23̂ = 5+ I
231+1 =5+3 
23v2 = 5+4
23l+3 =5+2
i •
23 =5+1
.(2)
Comparando (1) y (2) deducimos (jue : n = 4 +3
Puesto que la condición es que "n" sea un numero de das cifras , se puede predecir el siguiente 
conjunto de valores posibles :
n e {1 1 ; 15 ; 19 ; ; 99} -• ( sucesión de razón 4)
l-uego 7?" tomara 99-11 + 1 = 23 valores
(1 l + 99)x23La suma de todos ellos será : ---- — = 1 265 RPTA B
Teoría de la Divisibilidad 207
20.- S I: 577aú* =11 +4. ¿ Cuántos valores puede tomar aba ?
A) 3 B ) 10 C) 20 0 )30 E ) 40
Rcsolución.-
~h~ °De acuerdo con el dalo se sabe que : 577u " = 11+4
Analizando los restos potenciales de 577 respecto al módulo 11, se tendrá :
577* = 11+5 
5772 = I I-» 3 
577a = \\+ 4 
5771 = 11+9 
5775 = 11+1
5775*1 = 11+5
■ O
577 = 11+3
5775*3 = l°l+ 4 
577^'= l°l + 9 
5775 =11+1
-(*)
-— O
Corno 5 7 7 0 6 0 = n + 4 de (• ), se deduce que aba = 5 + 3 ....(**)
De (**) podemos afirmar que "a" solo puede ser 3 ú 8 , mientras que b puede tomar cualquier 
valor. A continuación te muestro todos los posibles valores para generar el numero aba :
a b
i i
3 0
8 l
2
3
9
T x TÍT = 20 números RPTA. C
21.- S i sabemos que : abe =11+2
b °abe =11+4
abcc = 11+9
- a b eCalcular el resto de dividir abe entre 11 
A) 1 B )3 C) 5 D) 7 E)9
208 Problemas de Aritmética y cómo resolverlos Hernán Flores Velasco
Resolución-
Sabiendo que: abe** 11 => abcobr = \\+r
r I *
. —7— abe —7- lOOt/i l06->< . llXln , 1 0 6 . r /IXOperando: abe = abe = ubi abe . ubc ....... ( I )
A continuación analizaremos faclor por factor empleando los restos potenciales .
a) El primer factor: abe l0° n = (ab ca ) I0Ú ,
Reemplazando el dato : obci00a = ( I I + 2) ,0° = I I + 2,tw (*)
Ahora analizaremos los restos potenciales de 2 respecto al módulo 11
, °
2 = 11+2
2HM = 11+2
2¿ = 11+4
21 = 11+4
23 = 11+8 2I0+1 = 1 K 8
21 = l°l+ 5
2io+j O= 11+5
2S = 11+10 tíoII00
2>0»5 = 11+10
'¿ ' = 11+9 2t0-6 = 11+9
27 = 11+ 7 2 l0+? = 11+7
28 = 11+ 3 2 IO+8 = l°l+ 3
q ° 
2 = 11+6 21(69 = f l+6
210 =l°l+l
D
2I0 = O11+1
Dado que: 100= 10 => 2 100 = 2 10 = II + 1 (**)-
I fV] ^
AI reemplazar en (**) en (*) encontrarnos que : abe “ = 11 + 1 (2)
b) El segundo factor: «de106 = ( abch ) 10 = (11 + 4)10 = 11 +4,u = 11+2^
Y como: 20 = 10 => 2?u = fl + I => ubcm = M + l (3)
 O
c) El tercer factor, es por dato : ahcc = 11+9 (4)
Luego de (2) .(3) v (4) en (10 : ubcatH = (11 + I ) ( 1 1 + l ) ( | | + 9)= 11+9
r = 9 RPTA E
ícona de la Divisibilidad 209
G.8 CRITERIOS DE DIVISIBILIDAD
Llamamos criterios de Div isibilidad a ciertas practicas o procedimientos que aplicados a las 
c ifras de un numeral permiten determinar su divisibilidad respecto a cierto modulo
6 8A CRITERIO DE DIVISIBILIDAD ENTRE 3 ó 9
l n numeral es divisible entre 3 (o entre 9) si y solo si la suma de sus cilras es divisible entre* 
3 (o entre 9).
 ____________ O :■
abed = 3 <=> ’a + b + c + d = 3
 & -■>
abed = 9 <=> a + b+ <+f/=9
Ejeicicio * Calcular el valor de "\" sabiendo que 67x414 es divisible entre 9.
Resolución :
67x414 = 9
O
=* 6 + 7 + x + 4 + 1 + 4 = 9
O _
22 + x = 9
x = 5
6 8B CRITERIO DE DIVISIBILIDAD ENTRE 11
lin numeral es divisible entre 1 1 si v solo si la diferencia entre la sui na de sus cifras de orden 
impar y la suma de sus cifras de orden par es divisible entre 1 1 .
+ -+ - +
 — — — *9 O ^
a b e d e - 1 1 <=> a-b + t - </ + €>= I I
Ejemplo: ¿Cuál es el valor que debe tomar "y" para que el numeral ] | y 17 sea divisible entre 1 1? 
Resolución :
14)17- = fl
O
Luego: l-4 + y- l+ 7 = l l
=* 3 + y = 1°1
y = 8
210 Problemas de Aritmética y cómo resolverlos Heman Flores Velosco
6 .8C CRITERIOS DE DIVISIBILIDAD ENTREPOTENCIAS DE 2
Un numeral es divisible entre 2 (= 21) si y sólo si su última cifra es par (0 ;*2 ; 4 ; 6 u 8).
Un numeral es divisible entre 4 (= 22) si y sólo si el numeral formado por sus 2 últimas cifras es 
divisible entre 4.
Un numeral es divisible entre 8 (= 2J ) si y solo si el numeral formado por sus 3 ultimas cifras es 
divisible entre 8.
O
abede = 2 
abede = 4
abede = 8
valor debe asignársele a ”z" para que el numeral 1143 2 sea divisible entre 8? 
1113 z = 8 a
O
432 = 8 
z = 2
6 .8D CRITERIOS DE DIVISIBILIDAD ENTRE POTENCIAS DE 5
Un numera! es divisible entre 5 si y sólo si su última cifra es múltiplo de 5 (0 o 5)
Un numeral es divisible entre 25 si y solo si el numeral formado por sus 2 ultimas cifras es divisible 
entre 25.
lln numeral es divisible entre I25 si y solo si el mimeial formado por sus 3 últimas citras es 
divisible entre 125.
e = 0 ó 5 
~de = 25 
ede = 125 -
Ejemplo . ¿Cual es el valor de la suma de los valores que deben reemplazar a "m” y "/»" en el 
numeral 87653 mn para que sea divisible entre 125.
_ a
abed = 5 <=>
 *
abede = 25 <=>
abede = 125 <=>
Ejercicio : ¿Qué 
Resolución :
Como 8 = 21:
<=> e - 2
U *<=> dé = 4
32 1
<=> edé = 8
Teoría de la Divisibilidad 2 11
O
87653/71/7 = 125 
Como 125 = 53: fñ ü i = 125
m = 7 a n = 5
6 8E CRITERIO DE DIVISIBILIDAD ENTRE 7
Un numeral es divisible entre 7 si al multiplicar a cada una de sus cifras (a partir de la 
derecha) por: 1 ; 3 ; 2 ; -1 ; - 3 ; - 2 ; 1 ; 3 ;... y luego efectuar la suma algebraica resultante ésta 
resulta ser divisible entre 7.
1 2 3 1 2 3 1 o p
a b c d e f g = 7 ^ a -2b-3c-d + 2e + 3/ + g = 7
+ - +
Ejemplo ; ¿Cuál es el valor de "o" si el numeral 13o372 es divisible entre 7?
Resolución :
2 3 1 2 3 1 o
1 3a 3 7 2 =7
v _ » _
+
Entonces:-2(1)-3(3) - (l)o + 2(3) + 3(7) +1(2) = 7
=* 18-o = 7
o = 4
a
6 8F CRITERIO DE DIVISIBILIDAD ENTRE 13
\ Un numeral es divisible entre 13 si al multiplicar a cada una de sus cifras (a partir de la 
derecha) por: I 3; - 4; - P; 3 ; 4; 1 )-3 ; - 4;... y luego de efectuar la suma algebraica, resultara 
qüe ésta es divisible entre 13.
Resolución :
Ejemplo : ¿Qué valor debe lomar ”6" en el numeral 1286306 si éste es divisible entre 13.
1 4 3 1 4 3 1 o
1 2 8 6 3 0 6 = 13 
+ - +
Resolución :
212 Problemas de Aritmética x cómo resolverlos Hernán Flores Velasco
Entonces: 1+8 + 24-6-12-0 + 6=13
=> 27 - b = 13
6 = 1
6 8G CRITERIOS DE DIVISIBILIDAD ENTRE 33 ‘ó 99
Un numeral es divisible entre 33 si al multiplicar a cada una de sus cifras (a partir de la* 
derecha) por : I ; 10 ; I ; 10 ; 1 ... y luego efectuar, la suma algebraica obtenida resultara s»*r 
divisible entre 33.
Un numeral es divisible entre 99 si al multiplicar a cada una de sus cifras (a partir de la 
derecha) por : 1 ; 10 ; 1 ; 10 ; 1 ... y luego efectuar, la suma algebraica obtenida resultara ser 
divisible entre 99
I to 1 10 1 C 0
a b e c í e = 33 <=> a + 106 + c + lOd + e = 33
1 10 1 10 1 o O
á b e d e = 99 <=> a + 1 06 + c + I0c7 + e = 99
Ejercicio : Calcular (d + e) si el numeral 56d Ole es divisible entre 99 : 
Resolución :
10 1 10 no t o 
5 6 d 0 1 e = 99
10(5) + 1(6) + 10r/ + 10(0) + 10(1) + e = 99
66 + de = 99
de =33
Luego, es fácil deducir que : d = 3 a e = 3
leona de la Divisibilidad 21
PR081CMAS R€SU€LTOS ( GRUPO III )
O
22.- Dar e l valor dea + b, s i: 5a07a =9 ( I )
b3b4b = 11 ( I I )
A) 4 B ) 5 C) 7 D) 8 E )9
»sq]
Resulta claro que debemos aplicar los criterios de divisibilidad entre 9 y entre 11 :
O O
(I) 5o07« = 9 =* 5 + a + 0 + 7 + a = 9
O
=> 12 + 2o = 9 => o = 3
+ - + - + o o
(II)53545 = 11 => 5-3 + 5 - 4 + 5 = 1 1
=* 35-7 = Ü =* 5 = 6
o + 5 = 9 RPTA E
23.- Calcular la suma de todos los valores de "w " s í el numeral 4ww8 es divisible entre 7 
A) 2 B ) 9 C) 7 D) 10 E ) 11
Resolución. -
Aplicando el cnterio de divisibilidad entre 7 •
O of *_____ „ = 7 => -4 + 2 w + 3o. + 8 = 712 3 14 tx> tx> 8
5/e + 4 = 7
T
2
?)
2 + 9 =11 RPTA E
24.- Hallar el valor de la cifra ux" s i el numero 2x6x8 es divisible entre 13. 
A) 2 B ) 3 C) 4 D) 6 E )8
214 Problemas de Aritmética v como resolverlos Hernán Flores Veloseo
Resolución.-
Utilizando el cnterio de divisibilidad entre 13 :
3 j 4 3 i o
2x6 x 8 = 13 => G - v - 24 - 3x + 8 = 13
+ - +
=> - 10 - 4* = 13
x = 4 RPTA C
25.- S i el número 8xyx5y es divisible entre 88, dar el valor numérico de x . y.
A) 5 B ) 2 C) 9 D) 3 E )8
Résglueioq.-
Para que 8 xyx 5 y sea divisible entre 88 debe ser divisible entre 11 y entre 8 :
— +— I— t e o
a)8xvr5y = l l => -8 +x-y + x-5 + y = l l
=> 2x - 13= 1°1 => v = 1
O
b) 8xyx5y = 8 , de acuerdo con lo establecido en el item G.8C , tendremos que .
15 y = 8 =* y = 2
x . y = 2 RPTA B
26.-¿Qué cifras deben sustituir a las letras " x " e "y" del número 7x36y5 para que sea divisi­
ble entre 1375. indicar (x + y).
A) 5 B ) 4 C) 8 0 )12 E )3
Kc-so|Mcian.
Dado que : 1375 = I25 x 11 , el numero 1 x 36 v5 debe ser divisible entre i25 y entre 11 .
a) 7x3Gy5 = 125 (51) =* Gv5 = 125
=> y = 2
b) 7x36} 5 = 11 =* 7 x 3 6 2 5 =11
=> -7 + \- 3 + 6-2 + 5= 11
t
O
=> x - 1 = 11 =» x = 1
, x + y = 3 RPTA E
27.-¿Cuantos números de la forma 1a1bab son divisibles entre 63?
A) 1 B ) 2 C) 3 D) 4 E ) 5
Resolución-
El número laIbub es divisible entre 63. si y sólo si es divisible entre 7 y entre 9 a la vez :
2_3_l 2_3 t o o
a) l a i b a b — 7 => - 2 -3a - l + 2b + 3a + b = 7
+ o
=> 3b - 3 = 7
=> b = l , ó , b = 8
______ O o
b) lalbab = 9 => l + a + l + b + a + b = 9
O
=> 2a + 2b + 2 = 9
Si: b = l => 2 a + 2(1)+2 = 9
o
=> 2 a + 4 = 9 => a = 7
Si b = 8 => 2a + 2(8) + 2 = 9
O
=> 2a + 18 = 9 => a = 0 , ó , a = 9
Luego existen 3 números de la forma 1 a 1 bab : 171171
101808
| 191898 RPTA C
28.- Calcular la suma de todos los valores que toma el número ab s i Í2a03b es divisible 
entre 33.
A) 164 B ) 183 C) 181 0)171 E)167
Rósplucrón -
10 1 1 0 1 1 0 1 o
Aplicando el cnterio de divisibilidad entre 33 : 1 2 a 0 3 b =33
t
Teoría de la Divisibilidad 215
=> 10(1) + 1(2) + 10a + 1(0) + 10(3) + l(b ) = 33
216 Problemas de Aritmética v cóma resolverlas Hernán Flores Velasco
O
=> 10 + 2 + 10o + 0 + 30 + b = 33
=* 10o + 6 + 42=33
^ ab + 42 = 33
=> áb e {24; 57; 90}
Luego la suma de los posibles valores de ab e s :
24 + 57 + 90 = 171 RPTA. D
29.- ¿ Cuántos números de tres cifras, divisibles entre 11, tienen como suma de cifras a 15? 
A) 2 B ) 3 C) 4 0 )5 E )6
Resolifción.-
Considerando a o6c como el número de 3 cifras buscado , tendremos :
O
Según los datos : abe =11 ... (1)
a + 6 + c = 15 ... (2)
* - + o o
De (1) : o6c = 11 => (o + c) - b = 11 ... (3)
De (2): o + c = 1 5 - 6 ...(4 )
O
Reemplazando (4) en (3) : 15-6-6=11
15-26 = 11 =* 6 = 2
En (4) • a y c = 13
/ L _ ^ 9 « 7 6 5 4
X------- 1 5 6 7 8 9
Existen entonces , 6 números de la forma abe '
429 ; 528 ; 627 ’; 726 ; 825 : 924 RPTA E
30.’ Calcular: a xbxc, s i abe es divisible entre 9, bac es divisible entre 11 y cab es divisible 
entre 7.
A) 162 B ) 126 C) 154 0)96 E)90
Resolución -
D O
Según los datos . abe = 9 ; bac = 11 ; cab = 7
Teoría de la Divisibilidad 2 1 7
O
Operando en forma conveniente
O o _
abe = 9 => a + b + c = 9 => cab = 9
* * o o o
buc = 11 => b - a + c = I I =* cab = 1 1
Luego, como cab es divisible entre 7 , 9 y 11
 ___________ o ^_______________________ o
cab = 7 x 9 x í 1 => cab = 693
Corno cab es un número de 3 cifras . cab = 693
Es decir. c = 6 ; o = 9 ; 6 = 3
a .b .c = 162 RPI A A
31.-S i mnp es divisible entre 37 y npm es divisible entre 14 ¿ Cuál es el valor de(m + n+ p )? 
A) 13 B ) 14 C) 15 D) 16 E ) 17
Resolución.-
Por datos : mnp =37 .. ( I )
O
npm =14 ... (2)
' o
En (1) : IOO/77 + 10/r + p = 37
O
Multiplicando por 10 : 1000/n + 100/7 + lOp = 37
Como 1000 = 37 + I : (37 + 1 )m + 100/7 + 10// = 37
37 + z/r + 1 OO/i + lOp = 37
v »
100/7 + lOp + 777 = 37 »=> npm = 37
Luego como npm es divisible entre 14 y entre 37 :
°
npm = Nx37 =s npm =518 
Como npm es un número de3 cifras , podemos afirmar que : npm =518
Es decir n = 5 ; p = I : m = 8
m + n + p = 14 RPTA. B
218 P u é b l e n l a s d i . \ i i l n u ' i u a \ c ó m o r e s o l v e r l e s Hernán Flores Velase o
6.8 ECUACION DIOEANTICA O DIOFANTINA
Es aquella ecuación donde tanto los términos constantes como las variables son números 
enteros y .«lemas es un sistema insuficiente , asimismo puede sol una sola ecuación con dos o 
mas incógnitas \ de cualquier gi.ulo El teimuio 'Diofantica" o liiolantina" se utili/a en honor a 
DIOFANTU, matemático alejandrino que vivió alrededor de 210 \ < .
La ecuación diolántica lineal con dos incógnitas tiene la siguiente forma :
en + bv = c ( 1 )
donde a y b tienen como único divisor común a la unidad.
Siendo xQ. v(| una solución |><irticular de la ecuación (1) , su solución general sera : V
x = \p + bt a y = v0 - al l e í *
Ejemplo Modelo . Resolver Da + 5v = 374 (o ) h Y
L\j>resemos la ecuación en iiincion de multi|ilos del menoi coeticiente, es decir de 5. Veamos •
o O
5 - * + 5 = 5 + 4 => 5 = \+ l
L ^ x c 1r (l
[j Reemplazando en (a ) : 9(1) + 5> =371 => vfl = 73
%
L i solución general será:
X=1 + 5' l Cl e n
>=73-91 |
Reemplazando algunos valores de "1" para determinar las soluciones posibles :
/ T XA X
• i •
•
-2 -9 91
■^-1 -4 82
! °
1 73
6 64
2 11 55
Tanta tlt la D t\ tsib ilnlael 219
PROBLEMAS RESUELTOS ( GRUPO 10 )
32.- ¿Cuántas parejas de valores cumplen q u e : 6x + 17y = 315
Sabiendo que: x e /* a y e / *
A) 1 B )2 C) 3 D) 4 E) 5
Resolución -
Según la recomendación dada .expresaremos la ecuación en función de múltiplos de 6 :
6 + (6 - l)y = 6 + 3
6 + 6 -v = 6 + 3 => 6 = y + 3
Reemplazando: 6r + 17(3) = 315 =» x0 = 44
Luego, la solución general será: -v-44 + 17/ I ^
y=3-G/ ]
Rara que x e t * a y e / * :
oII«a => * II A y = 3
t = -1 => r̂MII A II LO
/-■ 2 =>
OII* A y = 15
Existen 3 parejas de valores RPTA.C
33.- Por S/. 241 se han comprado cuadernos a S/38 cada uno y lapiceros a S / 17 cada uno. 
¿Cuántos objetos se han com prado?
A) 7 B )8 C) 9 D) 10 E ) 11
Resolución •
Sean: x : número de cuadernos comprados
v : número de lapiceros comprarlos
=* 38.V + 17y = 241 .. (*)
Expresando (1) en función de múltiplos ríe 17 :
(17 + 4)x + 17 = 17 + 3 =* 17 + 4\ + 17 = 17 + 3
4x - 3 = 17
220 Problemas ele Aritmética y como resolverlos Hernán Flores Velasco
Luego: xQ = 5
Reemplazando en (1) : 38 (5) + 17y = 241 =* y0 = 3
Luego la solución general será: -*-5+17/ I n e g)
>'=3-48/ ]
Como tanto x como y son cantidades positivas : / = 0
x + y = 8 RPTA. B
34.- Rocío va al mercado a comprar cierta cantidad de frutas, compra naranjas a S/0,84 
cada una y manzanas a S/0 ,36 cada una, gastando en total S/26,04. Calcular cuántas 
frutas compró en total, sabiendo que la cantidad de naranjas es la mayor posible ?
A) 33 B ) 34 C) 35 D) 36 E ) 37
Resolución -
Rocío compró "v" naranjas (a S .0,84 cada una)
V manzanas (a S' 0,36 cada una)
=> 0 ,8 4 a + 0,36y = 26,04
Multiplicando por 100 : 8 4 a + 36v = 2 C04
Dividiendo entre 12 : 7 a + 3v = 217 ... (*)
Expresando (*) en luncion de múltiplos de 3 : *
(3 + l)jr + 3 = 3 + 1 =* 3 + x = 3 + I
v -1 = 3
x o = 1
Reemplazando en (*) : 7(1) + 3) = 217 =» yy = 70
Luego la solución general sera : I / e / *
>=70-7/ |
Porque la cantidad de naranjas sea máxima, la cantidad de manzanas debe ser minima:
70 - 7/ > 0 => 70 > 7 /
=> / < 10
Si / = 9: x = 28 a y = 7
x + y =35 RPTA. C
Teoría di la Divisibilidad 221
35.- Por S/. 500 se compraron 100 frutas entre sandias, manzanas y ciruelas; s i los precios 
unitarios de cada uno son S/. 50; S/.10 y S/. 1 respectivam ente. ¿Cuántas frutas entre 
sandias y manzanas hay?
A) 39 B ) 40 C) 41 D) 42 E ) 43
Resolución -
Sean: "v" el numero de sandias compradas
"y" el número de manzanas compradas 
"z" el número de ciruelas compradas
luego: v + y + z = 10 0 . .. ( I )
50a + lOy + z = 500 ... (2)
Restando (1) de (2) llegamos a la ecuación diofántica ;
49x + 9) = 100 . (3)
F.xpresando esla ecuación en función de múltiplos de 9 :
O D D O
(9 +*J ) . i+9 +4 => 9 + 4x+ 9 = 9 + 4
=> 4 ( \ - l ) = y
Luego podemos deducir que : x = 1
Reemplazando en (3) 49 ( I ) + 9> = 100 => v0 = 39
i i - i ' 1+9/ 1 .La solución general sera > / e /
y=39 49/ |
Para que tanto x como) sean enteros . / = 0
x + y = 40 RPTA B
36.- Jorge piensa cada día ahorrar S7.150. pero cada mañana se encuentra con Ana y gasta 
S/129. S i no es Ana, es Betty con quién gasta S/. 73. De esa manera ¿ en cuántos dias, 
como mínimo y como máximo, Jo rge ahorrara S/. 1 456?
A ) 32 y 64 B ) 64 y 24 C) 24 y 56 D) 32 y 56 E ) 32 y 48
Resolución -
< ada día que sale con Ana ahorra 5". 150 - S 129 *■ S' 21
Y cada día que sale con Betlv ahorra : S 150 S 73 = 5 77
Si salió 'a"iUus con Ana e "y tdias con Betlv 21 \ +77 v = 1456 
Dividiendo entre 7 3x+l l\=20H ...(*)
Lxpresiindu la ecuación ( I) en tuni ion de múltiplos de 3
222 Problemas ile Aritimucu v cómo re sol \ trios Hemon Flores Velasco
3 + (3 + 2)> = 3 + 1 => 3 + 3 + 2> = 3 + l
2v - 1 = 3
Reemplazando en (1) :3a + 11(2) = 208 
Luego, la solución geneial sera 
Las soluciones serán
■'« = 6 2
\ = 62 + 1 1/ I 
x = 2 -3/ J /< /
/ I x X
0 62 i
\~-\ 51 5
- 2 ^ 40 8
-3 29 
-4 18
11
14
-5 7 17
/
Entonces (x + \) = 62 + 2 = 64 dias■ 'rn*»irno
(x + \) = 7 + 17 = 24 días RPTA B- ininini*’
37.- Cada vez que desean encontrarse. Jo sé y Patricia recorren entre ambos 1 044 km con 
rapideces constantes de 27 y 15 km/h respectivam ente; cuando caminan un número 
entero de horas, descansan ¿C uál es la diferencia entre la cantidad de kilómetros 
recorridos por cada uno de ellos cuando se encuentran, sabiendo que la diferencia de 
horas caminadas por cada uno es mínima y ademas pueden descansar?
A) 72 km B ) 414 km C) 236 km D) 128 km E ) 324
km
Resolución -
\Skm/h ---
Patricia
— ei — —
— 1044 km -
é
Del gráfico se puede apreciar que e¡ + ep = 1 014
Sea "v" el numero de horas que estuvo caminando Jos»* , e , ">" el numero de hoias que estuvo 
caminando Patricia, luego • 27x. + I5> = I044
— •- 27 km/h 
José
Teoría ílc ¡a L)i\ ¡sibtlidad 223
Expresando (*) en función de múltiplos de 5 :
Dividiendo entre 3 : 9v + 5} = 348
O O O
( 5 + 4 ) \ + 5 = 5+ 3
O “ O
> 5 + 4.x + 5 = 5 + 3
... «
Reemplazando en (* ):
La solución general será:
Las posibles soluciones serán:
=> 4\ - 3 = 5 =* -̂ü = 2
9(2) + 5(>) = 348 => >0 = 66
x = 2 + 5/ a y = 66 - 9/
(x - y) mínimo
t 0 1 2 3 4 ; 5 ; 6 7
X 2 7 12 17 22 l l 2 7 : 32 37
y 66 57 48 39 30 t ; 2i ? 12 3
Luego: er ep = 27(27) - 15(21)
e f - ep = 41 Akrn RPTA B
38.- Un m lcrobusero recaudó en uno de sus recorridos S/. 24,40; si por cada escolar 
cobra S/. 0,30, por cada universitario S/.0,35 y por cada pasajero adulto S/.0,70. Averi­
guara cuántos pasajeros transportó, sabiendo que el número de pasajeros adultos es 
el mayor posib le?
A) 34
Resolucion.- 
Si subieron:
B)35 C) 36 D) 37 E ) 38
a escolares (0̂ 30 c/u.) 
v universitarios (0,35 c/u ) 
z adultos (0,70 c/u.)
Entonces se puede establecer que : 
Multiplicando por 20:
r
i /
0,30a + 0,35y + 0,702 = 24,40
Gx + 7> + 142 =488 ... (1)
Expresando en función de múltiplos de 7
Puesto que "z" debe ser máximo , x debe ser mínimo
7-x + 7 + 7 = 7+ 5
v = 2
224 P roble mus de Aritmética y cénno resolverlos Hernán Flores Velasco
Reemplazando en (*): 6(2) + 7y + 14z = 488
7) + 14z = 476 
y + 2z = 68
Como "z" es máximo, "y” es mínimo, luego : y = 0
= 34 RPTA Amax
39.- Un grupo de estudiantes compuesto de 30 personas, en un examen recibió califica­
ciones d e2; 3; 4 y 5 . La suma de las calificaciones es 93. Las notas de 3 fueron más 
que las de 5 y menos que las de 4. E l número de las de 4 es divisible entre 10 y el 
número de las de 5 es par ¿Cuántas calificaciones son de 2 ?
A) 8 B )9 C )10 D) 11 E ) 12
Resolución.-
Sean: V personas que recibieron calificación 2
"y " personas que recibieron calificación 3
O
"z" personas que recibieron calificación4 (z = 10)
"w " personas que recibieron calificación 5 (jlv =
x + y + z + w = 30 ...(l) ) ^Luego: > w < v <M.
2x + 3y + 4z + 5tt» = 93 ...(2) J
Multiplicando la ecuación (1) por (2) y restándola de la ecuación (2) se obtiene :
y + 2z + 3 tv = 33
Como "z" es divisible entre 10 : z = 10
Emonrcs :
«- pues: y > w 
Reemplazando en (1) : x= I I RPTA D
40.- ¿Cuántos triángulos rectángulos cumplen con la siguiente condición: "Sus catetos 
son números enteros y s i a l m ayor se le resta 14 y al menor se le agrega 8, la 
hipotenusa no varia "?
A) 1 B)2 C) 3 D) 4 E) 5
Teoría de la Divisibilidad
Resolución.- 
Triangulo inicial Triángulo final
/X
a -14
Donde: a
T
cátelo
mavor
b
T
cateto
menor
Por el teorema de Pitágoras : a2 + 62 = h2
(a - 14)2 + (6 + 8)2 = h2
Igualando: a2 + 62 — (a - 14)2 + (6 + 8)2
a 2 + 62 = a2 - 28a + 196 + b2 + 166 + 64
Luego de simplificar se tiene: 28a -166 = 260 "
7a - 46 = 65 ... (*) ^
Expresando en función de múltiplos de 7: 7-46 = 7+ 2
O
=> 46+ 2 = 7 => 6 = 3
7a - 4(3) = 65 => a = 11Reemplazando en (*) :
La solución general será: 
Como a > 6 :
Luego : / = - 2 =
/ = - 1
o = l l - 4 / 
6 = 3-7/
11-4/ > 3 - /
a = 19 A 6=17 
a=15 a 6 = 10
/
3/ > -8 
/ > -2,6
Existen 2 triángulos RPTA B
226 Problemas de Aritmética y cómo resolverlos Hernán Flores Velasco
PROBLEMAS PROPUESTOS
1 .- ¿Cuantos enteros positivos menores que I 
t)(X) son divisibles entre 13?
A) 77 Ó) 76 C)75 D)78 F.72
/
2.-Entre 261 > 7214. ¿Cuántos números ente­
ros terminados en 2. Son div isibles por 7?
A)9x ¡̂ 99 C) 100 L))I01 E)102
3.- ¿Cuántos números de 4 cifras terminados 
en 3 son divisibles por 13?
A) 110 B)70 071 r f ) 6 9 1:) 109
4.- Del I al 1000 ( Cuántos números son 
divisibles entre 3 pero no entre 8? *
A) 290 B)29l 0292
D)295 E)296
5.- Por que números será divisible la diferen­
cia de los cuadrados de ah y b a .
A )6 > II ’f e ) I I C ) 5 y 4
D)7 E ) 13
6.- Porque numero e> siempre divisible un 
numero de la forma: N = ab{ 2a ) l2b ) .
A)f3 B) 15 C) 17 D) 19 E)3 I
7.- En una reunión asistieron 158 personas, se 
 ̂ observó que a la nnccava parte de los hom­
bres les gustaba el baile de tambada y a la 
novena parle de las mujeres no le gustaba 
dicho ritmo erótico. ¿A cuántas mujeres le 
gustaba la lambada?
M U B)63 C)66 D)90 E)81
8.- T’oto podría ahorrar S/. )() diariamente pero 
cada ve/ que sale con Barbara gasta 19 
soles, cada vez que sale con Raquel gasta 
16 solév y cuando sale con su novia gasta 
8 soles. Si lodos los días sale con alguna 
de las tres y ya tiene ahorrado S/. 273. 
¿Cuantos días salió con su novia, sabien­
do que Toto ahorró dicha sunva en un tiem­
po mínimo?
A ) 14 B ) 16 0 10 D)6 E)3
9.- Un vendedor tiene 6 cestas que contienen 
huevos en unas tiene huevos de gallina y 
en las otras de pato. El número de huevos 
que tenían las cestas es como sigue : 8; 12 ; 
21; 23; 24 y 29 meditaba el vendedor; "Si
^ vendo esta cesta de huevos de pato, me 
quedarían el cuadruplo de huevos de ga­
llina que de pato?
A ) 12 y 29 B ) 12y 24 C ) l 2 y 8
D) 12 y 21 E ) 23 y 29
_ O
10.- S i : a b á a b = 221 . Hallar los valores de
"b" e indique su suma.
A ) 20 B ) 12 O I3 1 D?25 E) 14
11.- ¿Cuantos números enteros positivos me 
ñores que 1500 cumplen con la con dición 
de que al expresarlos en base 5; 7 y 11 
>iempre terminan en cero.
fd 3 B)4 C)5 D )6 E)2
12.- Un numero de la tormu:
( 2 a ) ( 2 / ;)( 2c ) a b c 
es siempre div isiblc entre:
A) 7 B) 13 C)19 D) 17 F)2 )
Teoría de la Divisibilidad 227
13.- La suma de 45 números consecutivos re- 
s sulta un múltiplo de 17. Si el primero es de
2 cifras. Dar el menor valor que toma el 
menor de los números.
A) 17 I W C)14 D) 12 fc) 18
14.- ¿Cuántos números de la forma 31 abe son
divisibles entre 957 
«
A) 8 B)9 <?)!<) D) 11 E) 12
15.-Si el numero • a( fl+ 5)(fl + 4 )I (
lo con\ertimos a base 6 1, termina en : 
A )4 B)5 0 8 D) íx E)p
f̂j.7 / Cuántos números de la forma abhax son 
múltiplos de 17?
A ) I B)2 C)3 D)4 E)5
17.- Hallarel menor valor do (o + b) s i.
tab + 2 ab + ?>ab + ... + 20 ab = 51^
A) 2 B)3 C) 13 D)5 E )6 A
18*- I-as edades de 9 personas son dilcrentes 
entre si y se lonnan usando únicamente 3 
cifras; ademas el numero de personas 
mayores" excede en 3 al numero de pel­
eonas 'menores” ; sabiendo que se con­
sideran mavures a partir de los 50 años y 
que la suma de las edades de los "mayo­
res" excede en 256 a la suma de las eda 
des de los "menores Hallar la edad del 
mayor de todos.
A) 55 B)G6 0 7 7 D)SS E)99
19.- Podría ahorrar S/ 200 diarios pero ead > 
mañana de sol gasto S/. 90 en helados y 
cada mañana de irio gasto S/ 60 en vate 
Si ya tengo ahorrado S/ ¿'Cuantos
días ahorré ’ 2 ^ ° °
A ) 19 B)20 C )2 I D)22 E ) 23/
20.- Una persona va a una tienda y compra 
lápices a S/. 2.60 cada uno y lapiceros a S/ 
62,80. ¿Cuantos lápices compró si el nú­
mero de lapiceros lúe mc^or que uĵ TíVo-
ccna'
A ) 15 B) 16 0 1 7 D) 18 E) 19
2 1 .- IJn canguro debe avan/ar una determina­
da distancia y da saltos de 17 dtn cada 
uno. que es su mayor capacidad de salto, 
hasta completar la tercera parte; luego da 
saltos de 9 drn cada uno hasta uvan/ar 
199 dtti en total., Cuántos saltos mas debe 
dar para que llegue en forma exacta, si cada 
uno de ellos debe ser de igual distancia y 
de una dimensión entera en dnt'l
A H I B ) 17 C )8 f^ l9 E)23
22.- Se dispone de S/. I í)0 para comprar sellos 
L. de 1, 4 y 12 soles la unidad. ¿Cuántos se­
llos de cada uno de estos precios debe 
comprarse para hacer un total de 40 de 
ellos7
A )28; 9; 3 D )20 ; l l ;9
B) 28, 8,4 E) 18; 16; 6
C ) 2(); 12.8
1/
23.- Mana va al mercado con S/ 22.59; cum- 
pra p a p a y a s a S/. 0,77 cada una. naranjas
^ a SI. 0,81 cada una y manzanas a S/. 1.43 
cada una. Si compra la mayor cantidad 
posible de man/anas ¿ Cuántas trutas com­
pro en total, si gastó todo su dinero?
A ) 23 B)24 G<25 D) 16 EH7
24.- tn un >alon de 45 alumnos se rindió la 
prueba de aritmética obteniendo notas de
44. 64 v 77 punios, siendo la suma de no­
ta- 2711 , Cuantos alumnos han obtenido 
44 punios* ^
228 Preblemos de Aritmética \ cómo resolverlos Hernán Flores Velaseo
A) 12 B ) 13 0 1 4 D) 15 E) 16
25.- Que atrás deben sustituir a las cifras 9 y 
2 del número 59326 para que el resultado 
sea div isiblc entre 88.
A)Oy 2 B)3 y 6 C )7yK
D)Oy 3 E )4y 8
26.- Encontrar un numero de cuatro cifras 
di\ isibles por 5; 9 y I I . donde la primera 
y la última cilra son iguales Indicar la suma 
de las cifras del numero.
A) 18 B )2 I C)32 D)9 F)37
27.- Hallar un numero de 5 otras divisibles 
por 88 sabiendo que sus cifras centrales 
forman et número452. (Darenmu resulta­
do la suma de cifras del numero).
A) 15 B ) 19 021 D) 22 F)23
28.- S i : abe = 66 (// + / -b). Calcular el valor de
•> ■» t
: a~ + b~ + c “
A )74 B ) 136 C)125 D)89 F)I82
29.- Si abe = 27(a + b + c). Calcular "a" si "c" 
es par.
A)4 B)5 C )6 D)7 E )8
3U.- Indicar el valor de "a", si * a h i2 n es 
divisible entre 104
A) 3 B )6 0 5 D)S E)7
31.-Calcular a . b, s i: S a b l lb = 72
Ai 24 B)32 0 1 6 D) 14 F)28
32.- S i : .n 6 \v = \ 375 
Entonces tv^ es divisible entre
A l l í B) 13 C)17 D)37 E)29
33.- Si • abe = I I (menor posible), y. a + h + c 
= 17 Hallar: a + 2b + 3<
A)27 B) 32 0 36 D)3S F)41
34.- Calcular// + /; si ■ 89//46Ó es divisible 
entre 56.
A )4 B)5 C )6 D)7 E)9
35.-Cuál es el valnrde(T + v + r).xi. 20. x 28 vr 
= 875
A ) 17 B) 18 C)19 D)20 E)2 I
n
36.-S i. abe =13
at b = I I 
bac — 5
Hallar, a h + c
A)65 B )68 C ) l l D)2I E)(2)ó(3)
37.- Si a un numeral se le extrae su quinta par­
te se obtiene como resultado 5ab48 el 
cuál es múltiplo de 504 Dctenmnai la suma 
de fifias del numeral al cual se le ha ex­
traído su quintajjarTe
A ) 15 B ) 16 C ) I8 D )8 E)24
38.- ¿ Cuántos números de la forma abbai son 
divisibles entre 13?
A ) 18 B) 36 C)72 '»48 E)45
39.- El numero de la lorma ab lha . es divi­
sible entre 44. Hallar: (zi + b).
A )7 B) 10 Cl9 D)S h)6
40.-Cuantos números de 3 atrás son iguales 
a 22 veces la suma de sus cifras
A ) 1 B)2 C) 3 D)4 F)5
m omos
Y C O M P m S
7.1 NUMERO PRIM O ABSOLUTO
Se llama asi a cualquier numero entero positivo mayor que uno, que se divide sin resto 
solamente por si mismo y por la unidad.
Por Ejemplo : 2,3,5, 7,1!, 13, 17.19,23,29,31,37,41,43.
OBSERVACIONES
1) La serie de los números primos absolutos es infinita (Demostrado por Elididos : Siglo Wa.d. 
n. e.)
2) Todo numero de primo absoluto mayor que 3 al ser dividido entre 6 deja resto I ó 5
3) La unidad no es número primo.
7.2 NUMERO COMPUESTO
Se llama así a todo numero entero positivo q u e se divide sin resto por otros números 
aparte de la unidad y el mismo.
Pür ejemplo:
# —> Divisores
18 -> 1;2;3;6;9; 18
49 1; 7; 49
42 -> 1; 2; 3; 6; 7; 14; 21; 42
7.3 NUMEROS PRIM OS EN TR E SI (P. E. SI)
Llamados también números primos relativos, son aquellos que poseen un solo divisor 
* común: La Unidad.
Por ejemplo sean los números : # -> Divisores
12 -> 1; 2; 3; 4; 6; 12
25 -» 1; 5; 25
35 —> 1; 5; 7; 35
i*
I
230 Problemas de Aritmética y como resulvetlos Hernán Flores Velozco
Entonces : (*) 12 y 25 son P. E. Si (•) 25 y 35 son P. E. Si
(*) 12 y 35 son H E. Si (*) 12, 25 y 35 son R E. Si
7.4 NUMEROS PRIM OS ENTRE SI 2 A Z
Son aquellos que al ser tomados por parejas (de 2 en 2) en todas las combinaciones 
posibles, siempie son primos entre sí. Por ejemplo, sean los números :
# —» Divisores
15 —> 1; 3; 5; 15 (*) 15 y 28 son P. E.Si
28 —> 1:2; 4:7; 14; 28 - => (*) 15 y 143 son P E.Si
143 —» 1; 11; 13; 143 (*) 28 y 143 son P. E.Si
Entonces: 15; 28 v 1 13 son primos entre si 2 a 2
7.5 TEOREMA FUNDAMENTAL DE LA ARITM ETICA
"Todo numero compuesto se descompone en una multiplicación de potencias de expo­
nente entero positivo de sus divisores primos*.
Por ejemplo : (*) 24 = 23 x 3
(*) 882 = 2 x 32 x 72 
(*) 720 = 24 x 32 x 5
NOTAS•
1) A esta descomposición se le conoce con el nombre de DESCOMPOSICION CANONICA
2) La descomposición canónica de un número es única
Sea el numero • N = Aa x Bb x Cc x ... x Pp ■ y *
Des'’oiii|Kjs¡cion Canónica
Donde:
t
(*) A, B, C , , P : Números primos absolutos distintos entre sí (Factores primos o divisores primos) 
(*) a, b, c, ... p ' Exponentes enteros y positivos
•) CANTIDAD DE DIVISORES DE N [D (N)I
D(N) = (a +1) (b + l ) ( c + I ) - ( / ? + 1) ....(7.1)
Ejemplo Aplicativo :
¿Cuantos divisores tiene 180?
(*) 180 = 22 x 32 x 5‘
Luego. D (180) = ( 2 + 1)(2 + l ) ( l + 1)= 18
Teoría de los Números Primos 231
PROBLEMAS RESUELTOS ( GRUPO I )
1.-¿Cuántos divisores tiene el número :N = 12?. 153 ?
A) 20 B ) 120 C) 216 D) 288 E ) 292
Resolución.-
Descomponiendo canónicamente al numero .
N = (22 . 3)4 (3.5)3 
= 2a . 3* . 33 . 53
2* 3* 53^ — 1 ■ v----- J
Descomposición Canónica 
Luego, la cantidad de divisores de N será:
D (N) = (8 + 1 ) (7 + 1 ) (3 + 1)
D (N) = 288 RPTA. D
2.- ¿Cuántos divisores primos tiene: N = 1 965 600 ?
A ) 2 B )3 C) 4 D) 5 E ) 6
Resolución -
Descomponiendo canónicamente: 1 965 600 = 25 . 32 . 52. 71. 131
Entonces los divisores primos serán . 2; 3; 5; 7 y 13
D(Primos) = 5 RPTA D
3.- Determinar la cantidad de divisores com puestos d e : N = 243 . 212
A) 180 B ) 177 C) 176 D) 194 E ) 175
Resolución--
Todo numero entero positivo tiene como divisor a la unidad, tiene divisores primos y también 
» divisores compuestos, luego:
D (N) = l + D (Primos) + D (Compuestos) ... (1)
Descomponiendo canónicamente: N = (24.3)* . (3. 7)2
= 2o . 33 . 32 . 72
= 2'1. 3J . 72 e Desc. canónica
232 Problemas de Aritmética v como resolverlos Hernán Flores Velozco
Luego: D (N) = (9 + 1) (5 + 1) (2 + 1)
D (N) = 180
Tiene como divisores primos a 2; 3 y 7 : D (Primos) = 3
E n (l) : 180 = 1 + 3 + D (Compuestus)
D (Compuestos) = 176 RPTA C
4.- Para el número 2 160, determ inar:
(i) Cuántos de sus divisores son m últiplos de 2 ?
(ii) Cuántos de sus divisores son m últiplos de 3 ?
(iii) Cuantos de sus divisores son múltiplos de 12?
(iv) Cuántos de sus divisores son múltiplos de 15? 
Dar la suma de todos los resultados.
A) 72 B ) 90 C) 124 D) 95 E ) 200
Resehidfln-
La descomposición canónica de 2 160 es: 2 160 = 24 . 31. 51
5u cantidad total de divisores sera: D (2 160) = 5.4 2 = 60
(i) Para calcular la cantidad de divisores múltiplos de 2, se separa en la descomposición canónica 
un factor 2
2 160 = 2 { r ,73T“ 51)
O ' v *
De este inodo los divisóles múltiplos de 2 serán : D (2 ) = 1 .4 .2 =32
(ii) Si se desea calcular la cantidad de divisores múltiplos de 3, se separa en la descomposición 
canónica un factor 3 *.
2160 = 3(24 .3 2 .5 i )
o----- *--- '
D (3 ) = 5 . 3 2 =30
(iii) 1.a cantidad de divisores múltiplos de 12 (= 22 .3) se calcula :
2160 = 22. 3(22. 32. 51)
D(12) = 3 3 .2 * = 18
(iv) Análogamente, la cantidad de divisores múltiplos de 15(=3. 5) será :
T e o r í a d e l o s N i m i a r t m o s 233
5 .- ¿Cuántos divisores impares tiene 37 800?
A) 36 B ) 48 C) 52 D) 72 E) 24
Resolución.-
D esco m p o n ie n d o ca n ó n icam e n te : 37 800 = 23 . 3 3 . 52 . 7 1
La suma de todos los resultados será : 32 + 30 + 18 + IF = 97» RPTA. D
c
C u ya c a n tid a d to ta l d e d iv iso re s s e rá : D (3 7 8 0 0 ) = 4 . 4 . 3 . 2 = 96 ’ \
ÍLO %
L a c a n tid a d d e d iv is o re s p a re s ( 2 ), s e rá : 37 800 = 2 (2 “ . 3 . 5 “ . 7 1)
o ------------- ---------------- “-----------------
D ( 2 ) = 3 . 4 . 3 . 2 = 7 2
P o r lo tan to la c a n tid a d d e d iv is o re s im p a re s s e rá : D (im p a re s ) = D (3 7 8 0 0 ) - D (2 )
= 9 6 - 7 2
D (im p a re s ) = 24
O tro m étod o : E lim in a n d o d e la d e sco m p o s ic ió n c a n ó n ic a la p o te n c ia d e 2, q u e d a ra n lo s 
fa c to re s q u e o rig in a n a lo s d iv iso re s im p a re s : 33 . 52 . 7 1 .
P o r lo t a n t o : D (im p a re s ) = 4 . 3 . 2 = 24 RPTA. E
¿Cuántos divisores de 113 400 terminan en 1; 3; 7 ó 9 ?
A) 10 B ) 13 C) 12 D) 15 E) 17
R e so lu c ió n .-
a d e sco m p o s ic ió n c a n ó n ic a d e 113 400 e s : 113 400 = 23 . 34 . 52 . 7 1
Lo s d iv iso re s q u e te rm in a n en 1; 3; 7 ó 9 so n a q u e llo s q u e n o so n d iv is ib le s p o r 2 n i p o r 5, 
p o r tan to , e lim in a n d o la s p o te n c ia s d e 2 y d e 5 : *
113 400 = 25 . 34 . 52 . 7 1 
L a ca n tid a d d e d iv is o re s p e d id a e s : (4 + 1) (1 + 1 ) = 10 . R PT A .A
7.- ¿Cuántos de los divisores de 396 000 son divisibles por 3 pero no por 5 ?
A) 24 B ) 36 C) 18 D) 72 E ) 48
R e so lu c ió n .-
C on la fin a lid a d d e p o d e r te n e r u n e n fo q u e a p ro p ia d o d e lo s co n ju n to s d e d iv is o re s 
s o lic ita d o s , u tiliz a re m o s un d ia g ra m a d e V en n - E u le r :
D iv iso re s 15
234 Problemas de Aritmética y como resolverlos Hernán Flores Velazco
D iv iso re s 5
D iv iso re s 3 pero no 5
O o
La cantidad de divisores pedida se obtendrá restando ■ D(3 ) - D(15)
Descomponiendo canónicamente : 396 000 = 2 '. 32 . 53. 11 1
La cantidad d e d iviso res m ú ltip lo s de 3 e s . 396 000 = 3 ( 2 S . 3 , . 5 J . l l 1 )
D (3) = 6 . 2. 4. 2 =96
La cantidad de divisores múltiplos de 15 (=3 .5) es :
396 000 = 3 .5 (2 r T3r75T 7 ll l )
 ’
D(15) = 6 . 2. 3. 2 =72
Por lo tanto, la cantidad de divisores múltiplos de 3 pero no de 5 será *
96 - 72 = 24 RPTA. A
Otro método : Luego de extraer el factor 3, eliminamos la potencia de 5 para descartar a todos 
los divisores múltiplos de 5 *
396000 = 3 (2 5 .3 1 . I I 1)
0(3 pero no 5 )= 6 .2 .2 =24 RPTA A
Tan til de los Números Pronos 235
| 7.6 FORMULAS ESPECIALES
i _____ _______________
Sea la descomposición canónica de N
N = Au . Bb . C‘ ... Pp ..(* )
|1) SUMA DE LOS DIVISORES DE N (SD(N)J
Si queremos encontrar el valor de la suma de todos los divisores de un numero N, debe­
mos encontrar pnmero su descomposición canónica tal como se indica en (*), luego la relación 
que nos permiteobtener dicha suma esta dada así
Aa * ' - 1 r c+l - 1 p P 'l_ iSD(N) „ A _ 1 B _ J . £ _ 1 .... P _ 1 (7 2)
(2) SUMA DE LAS INVERSAS DE LOS DIVISORES DE N [SID(N)]
Conociendo la suma de los divisores de un número |SD(N)|, el valor de la suma de sus 
inversos, estará dada por la siguiente relación :
SID(N) = ....(7.3)
Donde SD(N) es la suma dedos divisores de N
(3) PRODUCTO DE LOS DIVISORES DE N [PD(N)J
fe
Si deseamos encontrar el valor del producto de todos los divisores de un número N cono­
cido, debemos encontrar primero su descomposición canónica como en (*) y a continuación 
determinar la cantidad de divisores que él poseo |D(.N) ] y luego aplicar la siguiente relación :
PD(N) = Vnd(n) --(7.4)
236 Problemas de Aritmética v como te volverlos Hernán Flores Velozco
PROBLEMAS RESUELTOS ¡ oRUPO ll )
8.- ¿ Cuál es la suma de los divisores de 2 100?
A) 5218 B ) 3124 C) 2678 D) 6944 E ) 8244
Resolución •
Descomponiendo canónicamente: 2 100 = 22 . 3l 5¿ . 71
2 2+l _ i 3 1 ̂ * i 52+i _ i 7 u l _ i
Aplicando la formula : 5D(N) =
2-1 3-1 5-1 7-1
= 7 .4 31 .8
SD(N) = 6 914 RPTA D
9.-Determinar la suma de ¡as inversas de los divisores de 360.
A) 2,75 B ) 3,25 C )3 D)2,8 E)3 ,3
Resolución.- '
4
Descomponiendo canónicamente : 360 = 2S . 32 . 51
2 3*1 - 1 32** - 1 51' 1 - 1La suma de sus divisores será : SD(360) =
2 - 1 3-1 5-1
=» SD(360) = 1170
Entonces, la suma de las inversas de los divisores de 360 es :
s in n rm - SD( 360> - SID(3G0) - - 3M - 360
S1D(360) = 3,25 RPÍA. B
10.- Hallar el producto de los divisores del núm ero: N=124. 203. Dar como respuesta el 
menor exponente de su descomposición canónica.
%
A) 4 200 B ) 1200 C)900 0)480 E)840
Resolución.-
Descomponiendo canónicamente N = (22 3) 1 (22 . 5)3
=> N = 2m . 34 53
Descomposición
Canónica
Su número de divisores es : D(N) = (14+1) (4 + 1) (3+ 1 ) =*■ D(N) = 300
Teoría de los Números Primos 237
DD(N) = 21200 . 3l2W . 5900 RPTA D
11.- Para el número 980. Determinar la suma de sus divisores m últiplos de 2.
A) 3048 B ) 2072 C) 1026 D) 1036 E ) 2052
Resolución.-
La descomposición canónica de 980 e s : 980 = 22 . 5 . 72
Hallando los divisores múltiplos de 2 980 = 2 (2*. 51 . 7" )
(0
2 2 3
La suma de los divisores de (1) será: SD(1) = ̂ . 7¿ "" I J ” I f “ I
=> SD(1) = 1026
A cada uno de los divisores de ( l ) le falta multiplicarse por 2 para convertirse en múltiplo de 2, 
luego .
SD(2) = 2 x SD(1) v => 5D (2) = 2052 RPTA. E
é
12.- Determinar el producto de los divisores múltiplos de 3 del núm ero: 180 
A )2 , .3 " .5 9 B )2 ” .3 ” . 5a C) 2 " . 3” . 5a D )2 '1.3 'a .5 l E)2a . 3,a. 513
Resolución -
La descomposición canónica de 180 es : 180 = 22 . 32 . 51
Hallando los divisores múltiplos de 3 : 180 = 3( 22 . 3*. 51)' v ■ “ ■ *
(0
La cantidad de divisores de (1) será : D (l) = ( 2 + I ) ( l + 1 )0 + 1)
=> D(4) = 12
Luego, el producto de los divisores de (1) será : PD(1) = J (2 2. 31. 51 ) 12
P D (I) = 212 . 3h . 5°
A cada uno de los divisores de ( I ) le falta multiplicarse por 3 para convertirse en múltiplo de 3, 
luego:
Entonces, el producto de divisores será : DD(N) = ^/(2!í 3'1. 53 )300
PD (3) = 312 PD (l) => PD (3 ) = 212 . 318 . 56 RPTA. D
238 Problemas de Aritmética v amia resolverlas Hernán Flores Veiazco
7.7 CONCEPTOS ADICIONALES
1 DIVISOR PROPIO :
Es aquel que, siendo divisor de un número, no e> igual a él.
Ejemplos :
* Los divisores propios de 8 son : 1; 2 y 4
♦ Los divisores propios de 20 son ■ 1; 2; 4; 5 y 10
2.- NUMERO DEFECTUOSO
Es aquel cuya suma de divisores propios es menor que el
N es d e fectu o so o S D (N ) - N < N
Ejemplo :
21 es un número defectuoso, pues la suma de sus divisores propios: l + 3 + 7 = 11 < 21
3 - NUMERO ABUNDANTE
Es aquel cuya suma de divisores propios es mayor que él.
N es abundante o SD(N) - N > N
Ejemplo :
I8es un numero abundante, jiues la suma de sus divisores jiropios: 1 + 2 + 3+ 6 + 9 = 21 > 18
4.- NUMERO PERPECTQ
Es aquel cuya suma de divisores propios es igual a el.
N es perfecto o SD(N) - N = N
Ejemplo
28 es un número pertecto, pues la suma de sus div ¡sores propios 1 + 2 + 4 + 7 + 14 = 28 = 28
Los números perfectos se obtienen dando valores enteros> positivos a la variable "rt“ en la
siguiente formula llamada Relación de Euclides.
N (perfecto) 2n( 2nA - I )
número pruno 
absoluio
Si n- I , el número perfecto será : 21 (2I + I -1) = 6 
Si n = 2, el numero perfecto será : 22 (22* 1 - 1) = 28
Sin = 3 , el número 2*(2^ 1 - 1) = 120 no será perfecto j>ues 23* 1 - 1 = 15 no»-> numero primo
T e o r í a ¿ Je lo s /Vt u n e r o s P r i m a s 2 3 9
PR0816MAS R€SU€lTOS ( GRUPO III )
13.- Determinar un numero de 3 cifras que sea igual a la m itad de la suma de sus diviso­
res. Dar como respuesta la suma de sus cifras.
A ) 17 B ) 18 C) 19 D) 20 E ) 21
Resolución -
Sea "N" el número pedido, entonces por dato : N = ̂ x SD(N)
2N = SD(N)
N = SD(N) - N
Luego, N es un numero perfecto; ahora bien, como N debe tener 3 cifras, hacemos n = 4 en la 
RELACION DE EL'CLIDES:
N = 24( 25 - l ) = 49G
* v *
# primo
la suma de cifras será : 4 + 9 + 6 = 19 RPTA C
2 4 0 P m h l e m u s d e A r i t m é t i c a v c o m a r e s o l v e r l a s Hernán Flores Velozco
Se define :
ni = 1 . 2 . 3 . 4 ... n (n e N) 
0! = 1
Ejemplos :
* 4! = l . 2 .3 .4
* 9! = 1 .2 3 .4 5 .6 .7 .8 .9
* 24» = 1 .2 .3 ..... 23 . 24 = 23!. 24
Ejemplo :
Descomponer canónicamente a 12»
* 12! = 1 .2 3 4 .5 6 . 7 .8 .9 10 11 . 12
Descomponiendo canónicamente:
• 12! = 2 . 3 . 22. 5 . 2 . 3 . 7 . 23 . 32.£ . 5. 11. 22. 3 =* 12» = 210 . 33 . 52 - 71 . 1 1 *
Un análisis de estos resultados ha permitido determinar una relación entre el numero, su 
factorial y los exponentes correspondientes a cada uno de sus factores primos. Puede probarse 
que los exponentes de los divisores obtenidos también se pueden encontrar dividiendo 12 
entre cada uno de ellos v sumando los cocientes obtenidos. Veamos -
* Exponente de 2 :
12 [ 2
6 ~t_2
.3)1 2 =* Exp(2) = 6 + 3+1 = 10
:í>
Exponente de 3:
* Exponente de 5 :
12
=> Exp(5) = 22
• L o s e x p o n e n t e s d e 7 y 11 s e r á n , o b v i a m e n t e 1 y 1 :
E x p ( 7 ) = 1 a E x p ( 1 1) = I
T t 'o n a d e lo s Ñ á m a o s P r i m o s 241
PRO&IGMAS R€SU€LTOS ( GRUPO 10 )
14.- ¿C uál es el exponente de 2 en la descom posición canónica de 212l?
A) 511 B ) 1 023 C) 2 047 D) 4 095 E ) 8 191
Rcsolución-
P.ira hallar el expononle de 2 bastará dividir sucesivamente 2,? entre 2 y sumar los 
cocientes :
2" 2 
2^71 2
6 “ [ i .
(29;.
■ r- .
2* l_2
(̂ 2 ) 1 2_
CD
Luego : Exponente (2) = 1 + 2 + 22 + 23 + ... + 2,ü + 2M
2-1
Expolíenle de 2 = 4095 RPTA D
%
242 Problemas de Atinnética v como resolverlos Hernán Flores Velazco
7.8 METODO COMBINATORIO
La cantidad de maneras en que puede descomponerse un número N como ei producto de 
dos tactores enteros y positivos \f (N ) 1, se obtendrá a partir del conjunto de todos sus divisores 
elegidos convenientemente de dos en dos.
Ejemplo ( I ) : Los 8 divisores de 24 son :
1 ; 2 ; 3 • 4 6 ; 8 ; 12 24
A A i A A A A
L
' 1 iíi
Luego, 24 puede descomponerse de 4 maneras.
24 =
1 x 24 
2 x 12 
3 x 8 
4 x 6
((24) = 4
Ejemplo (2) : Los 9 divisores de 36 son : 
1 : 2 : 3 ; 4 6 ; 9 12 18 36
j
t 1
i
L ---------------------
Luego, 36 puede descomjxinerse de 5 maneras :
36 =
1 x36
2 x 18
3 x 12 
4 x 9 
6x 6
((36 ) = 5
En general
( (N ) =
, si D(N) es par 
. si D(N) es impar
M
Donde D(N) es la cantidad de divisores del número "N".
Teoiia de los Numeras Primos 243
MISC€LAN€A
15.- Cuántos triángulos rectángulos, cuyos catetos miden un numero entero de metros, 
tienen un área igual a 1200 m2?
A) 30 B ) 36 C) 15 D) 18 E ) 24
Resolución.-
Sea el triangulo ABC de área l 200 rn2:
A
c
Area =1200 => ̂ = 1200
B a C
Luego : er c = 2 400
Para determinar el número de triángulos que satisfacen la condición dada, se debe encontrar de 
cuántas maneras puede descomponerse 2 400 como el producto de 2 números enteros,es decir, 
debemos obtener: f (2 400). Veamos :
2 400 = 25 . 31. 52 
=> D(2 400) = (5 + 1) (1 + 1) (2 + 1)
D(2 400) = 36 (# par)
f (2400) = 326 = 18 RPTA D
16.- Determinar e l valor de "n", s i : N = 15. 1ET, tiene 144 divisores.
A) 3 B )4 C) 5 D) 6 E ) 7
Resolución -
Descomponiendo poliiióiiiicamente : N = (3 . 5) . (2 . 32)"
= 3 . 5 . 2n . 32n
= 2n . 3n** . 5*
Descomposición
Canónica
Por dato sabemos que : D(N) = 144
2 4 4 P r o b l e m a s d e A r i t m é t i c a \ c o m o r e s o l v e r l o s Hernán Flores Velozco
Luego : (n + 1) (2/f + 2) ( I + 1) = 144
(/i + 1)2 (n + 1)(2) = 144 
(n + l )2 = 36
n = 5 RPTA C
17.- S i N = 15 x 3CT tiene 294 divisores ¿C uál es el valor de “n "?
A) 3 B ) 4 C) 5 D) 7 E ) 8
tteSPlUQiQn.-
Descomponiendo canónicamente : N = 3 . 5 . (2 .3 . 5)"
= 3 5 .2 / i. ¿ i . 5"
= 2" . 3n+l . 5n+l
v-------v------- '
Descomposición
Canónica
Por dato sabemos que : D(N) = 294
Luego : (n + 1) (n+ 2) (n + 2) = 294
6T T
n = 5 RPTA C
18.- ¿Cuántos ceros hay que agregar a la derecha de 275 para que el numero resultante 
tenga 70 d ivisores?
A) 2 B ) 3 C) 4 D) 5 E ) 6
Resolución -
Sea "n' el número de ceros agregados : N = 275000 ...OQ
" n "
Descomponiendo canónicamente: N = 275 . I0n
N = 5¿ . 11 (2 . 5)n
N = 2n . 5I,+¿ . 111
Descouipmu ion 
Canónica
D(N) = 70 
(n + l) (n + 3) (2) = 70
P o r d a l o s e s a b e q u e ;
T e o r í a d t lo s N ú m e r o s P r i m o s 2 4 5
(ri + 1) (« + 3) (2) = 70
(n + 1 ) ( « + 3) = 35 
5.7
n = 4 RPTA. C
19.- S í el número N = 42. 3” tiene 3 divisores menos que 900, hallar dicho número y dar la 
suma de sus cifras.
A) 9 B ) 5 C) 11 D) 8 E ) 13
Resolución.-
Descomponiendo canónicamente: N = 2 .3 .7 .3 " => N= 21 . 3mI . 71• . -Descomposición
Canónica
El numero 900 descompuesto canónicamente es :
900 = 22. 32 . 52 
Entonces tiene : (2 + I) (2 + 1) (2 + I) = 27 divisores
De este modo D(N) = 27-3
(2) (n + 2) (2) = 24 =* n = 4
N = 42 .3 ’ = 3402 RPTA A
20.- Sabiendo que A = 12. 3 (f tiene doble cantidad de divisores que B = 12". 30 ; hallar el 
valor de “n".
A) 3 B )4 C) 5 D) 6 E ) 7
Resolución.-
Descompuniendo polinomicamente:
A = (22 . 3) . (2 . 3 . 5 )" =* A = 2 " + 2 . 3 " + 1. 5 "
B = (22 . 3 )". (2 .3 .5 ) => B = 22n + ,.3n* , .5 I
« Por condición del problema: D(A) = 2x D(B)
(n + 3) (n + 2) (n + 1) = 2(2n + 2) (n + 2) (1 + 1)
(n + 3) (n + 2) (n + 1) = 2 . 2(n + I) (n + 2) (2) 
o + 3 = 8
n = 5 RPTA.C
246 Pioblemas de Aritmética y como resolverlos Hernán Flores Velazco
21.- S i la suma de los números de divisores de : Nf = 1 4 . 3(T a N3 = 21. 1S1 es 96. ¿ Cuái 
es el valor de "n ”?
A) 2 B ) 3 C) 4 D) 5 E )6
Resplucion-
Descomponiendo canónicamente:
. N, = 2 . 7 . (2 .3 . 5)n => M, = 2"* 1 .3 ".5 n 71
N2 = 3 . 7. (3 . 5)" => N2 = 3n+ 1 .r>n.7 l
Por dato $e sabe que : D(N,) + D(N2) = 96
(n + 2) (/» + I) (n + 1 ) (2) + (n + 2) (« + I ) (2) = %
Dividiendo entre 2 • (// + 2) (n + I )2 + (n + 2) (n + i) = 48
Facloiizando: (n + 2) (n + 1) |(/i + 1) + 11 = 48
(n + 2)2 (n + I ) = 48 
4 2 3
n = 2 RPTA A
22.- S i 16? tiene ”p ” divisores. ¿Cuántos divisores tendrá 256n?
A) 4p + 1 B ) 4p- 1 C)2p +7 D) 2p - 1 E ) Bp
Resulución.-
Como 16 = 21, entonces . 16n = 21n
Por dato se sabe que' D (l6" )= p => 4n + I =p ... ( I )
Como 256 = 2“ , se tendrá : 256n = 28n
Luego. D(256n) = 8n + l
= 2(4/i + 1 )1 ...(2)
Finalmente de (2) en (1) : D(256n) = '¿p - 1 RPTA D
*23.- S i el número: N = 13k *2 - 73*; tiene 75 divisores compuestos; indicar el valor de "k ", 
A) 3 B ) 4 C) 5 0 )6 E ) 7
ResplycjQn-
Descomponiendo eai iónicamente : \ = 13k . 132 - 13k
Sacando factor común: N = 13k (132 - 1)
Temía de lo\ Numeras Primas 247
Efectuando, se tiene N = 13k. 168
A continuación : N = 13k . 23 . 7*
Descomposición
Canónica
Según el dato del problema, "N" tiene 75 divisores compuestos; asimismo observamos de la 
descoinpusición canónica de "N ", que éste tiene 4 divisores primos (13; 2; 3 y 7), luego :
D(N) = 1 + 4 + 75 
(* + 1) (4) (2) (2) = 80
k = 1 RPTA B
24.- ¿Cuántos ceros se debe poner a la derecha de 9 para que el resultado tenga 239 
divisores com puestos?
A) 4 B )5 C) 6 D) 8 E) 9
Resolución.-
Llamando ’n" al numero de ceros agregados : Y = 9000...0
~ 'r ír
Descomponiendo canónicamente : N = 9 10"
N = 3" 2n . 5n
Dcscom|iosicion
Canónica
Se observa que N tiene 3 divisores primos (3; 2 y 5). Asimismo se sabe que N tiene 239 divisores 
compuestos, luego:
D(N) = I + 3 + 239 
3(/i + l ) ( « + l) = 243 
(n + I )2 = 81
n = 8 RPTA D
%
25.- ¿ Cuántas veces habrá que m ultiplicar por 8 a l número 300 para que el producto 
resultante tenga 126 d ivisores?
A) 3 B )5 C) 6 D) 9 E ) 10
Resolución.-
Multiplicando “n" veces por 8 a 300 se tendrá :
P = 300 x 8 x 8 x 8 x ... x 8 = 300 x 8n
n veces
248 Problemas de Aritmética v como resolverlos Hernán Flores Velozco
De donde se obtiene : P = 22 . 3 . 5“ . 2in
Y reduciendo. P = 23,,+2 . 31 52
DescomposiciónCanónica
POr dato. D(P) = 126
(3n + 3) (2) (3) = 126
n = 6 RPTA C
26.- ¿Cuántos términos debe tener la siguiente m ultiplicación para que el producto sea un 
número que tenga 961 divisores :
P = 36x362x363x 36*... 36" ?
A) 3 B )4 C) 5 D) 6 E ) 7
Resolución.-
Descomposicion canónicamente: P = 36 1 + 2 + 3 + +n
11 ( n * I )
Sustituyendo el exponente : P = 3G 2
n t n * I )
Descomponiendo 36: P = (2 2 .32 ) 2
Efectuando : P = 2,,(rul) . 3n(n+l)
DescomposiciónCanónica
Pero por condición : D (P) = 961
|n(n + I) + 11 | n(n + 1) + 1J = 961 
| n(n + I) + l l 2 =312
n = 5 RPTA. C
»
27.- Encontrar el menor número entero divisible por 15 que tenga 21 divisores. Dar la 
suma de sus cifras.
A) 18 B )9 . C) 27 D) 15 E ) 12
Resolución.-
Como el numero (lo llamamos N) es divisible por 15, debe ser divisible por 3 v por 5, luego su 
descomposición canónica será:
N = 3*'. 51’
T e o r í a d e t o s N ú m e r o s P r i m o s 2 4 9
Para que tenga 21 divisores: (o + I) (6 + 1) = 21
3D
Si "N 1 es lo menor posible, el exponente de 3 debe ser lo máximo posible, luego :
o + l = 7 a 6 + 1 = 3
a =6 6 = 2
N = 3* . 52 = 18225 RITA. A
28.- Hallar un número "N ” que admite solo a los factores prim os 3 y 5; tal que 125 N tiene 
el doble de divisores que N y 81 N tiene el triple.
A) 150 B ) 45 C) 90 D) 75 E ) 375
Resolución.-
Como ei número N solo admite los factores primos 3 y 5, su descomposición canónica será :
N = 3X. 5y
Entonces las descomposiciones canónicas de 125N y 81N serán:
125 . N = 53. 3* . 5y => 125 . N = 3X . 5y + 3
81 .N = 34 .3X.5> => 81 .N = 3X + 1 .5>'
Según la primera condición: D(125N) = 2 . D(N)
(x + 1) (y + 4) = 2(x + 1) (y + 1)
=> y = 2
Y por la segunda condición: D(81N) = 3. D(N)
(x + 5) (y + 1) = 3(x + 1) (y + 1)
=> x = 1
Pór lo tanto: N = 31 . 52 = 75 RPTA.D
29.- Hallar un número entero compuesto únicamente por los factores primos 2 y 3, sabien­
do que al m ultiplicarlo por 12, su cantidad de divisores aumenta en 19 y al dividirlo por 
18, la cantidad de divisores dism inuye en 17.
A) 5 184 B ) 5 288 C) 5 284 D) 5 174 E ) 5 080
Rcsolución.-
La descomposición canónica del número será: N = 2X . 3V
Si lo multiplicamos por 12 o lo dividimos entre 18, sus descomposiciones serán :
250 Problemas dt A iiím itita v como resabíelos Hernán Flores Velozco
H - ¿X V _ ,X - I p -2 
18 - 2 ■ 32
Por condición: D( 12N)- D(¡\) = 19
=> (a + 3 )0 + 2)-(x + 1 )0 + I) = 19 
=> x*y + 2a + 3 v + 6 - vy - a - > -1 = 19 
=> a + 2v = 14 (1)
17Y por la segunda condición. L)(N) - D
=9 (a + 1 ) 0 + l ) - ( v ) ( y - O = 17
=3 AA + A + \ + 1 A> + A = 17
=> 2\ + > = 1G (2)
Resolviendo (1) y (2) . \ = G a v = 4
N = 24 34 = 5184 RITA A
30.- Un numero tiene como únicos factores primos a 2 y 3 ; si lo duplicamos tiene 4 
divisores más. pero s i lo multiplicam os por 3. la cantidad de divisores se Incrementa 
en 3. Calcular el número y dar como respuesta la suma de sus cifras.
A) 3 B ) 6 C) 9 D) 12 E ) 15
Resolución.-
Llamemos" V a l numero buscado, luego su descomposición canónica sera :
N = 2 ‘ 3b ( I )
Multiplicando a "V por 2 o por 3, quedará : 2N = 2 . 2a . 31' = 2a * 1. 31’
3N = 3 . 2a . 3b = 2a . 3b + 1 
Según la puniera condición: D(2N) - P(N ) = 1
(o + 2) (b + 1) - (o + 1) (b + I) = 4
(b + ! ) [ ( « + 2) -{u + 1 )|= I
=> b = 3 ..(2)
Y por la otra condición . D(3N) - D(N) = 3
(o + l) (b + 2) - (í i + I ) (b + I) =3
(«+ 1) I(b + 2) - (b + D i = 3
=> u = 2 ... (3)
Finalmente de (2) y (3) en (1) se tendrá que : N = 21 31
N = 108 RPTA C
I
Teoría de los Número» Primos 251
31.- Los divisores primos de un entero positivo N son 2 y 3 ,e l número de divisores de su 
raíz cuadrada es 12 y el número de divisores de su cuadrado es 117. ¿ Cuántos de tales 
”N “ existen?
A) 5 B )4 C) 3 D) 2 E ) 1
Resolución.-
Asumiendo que la descomposición canónica de N es ; N = 22,1 32b
Las descomposición canónica de su raiz cuadrada es; v N = 2'*. 3Ü
Y la de su cuadrado será: N2 = 2'Ij S41’
Por condición se tiene : D( v N ) = 12
(a + l) (b + 1 ) = 12
ab + a + b = 11 ... ( I )
Y por la otra condición: D(N2) =117
(4a + 1) (4/> + 1) = 117
IGab + 4a + 1b = 116
4ab + a + b = 29 ... (2)
De (1) y (2) obtenemos que : a.b = 6 a a + b = 5
Entonces: a = 3 a b = 2
C): a = 2 a b = 3
Por lo tanto, existirán 2 de tales números ;
N = 22(3). 32(2) = 5 184 
N = 22f¿). 3m) = 11 664 RPTA D
32.- ¿ Cuantos números existen que contengan como únicos factores primos a 2 y 3, de 
modo que la cantidad de divisores de su cuadrado sea e l triple de su respectiva canti­
dad de divisores?.
A) 0 B ) 1 C) 2 D) 3 E ) 4
x
Resolución.-
Como los únicos factores primos son 2 y 3, la descomposición canónica del número será:
N = 2a . 3b
La descomposición canónica de su cuadrado deberá s e i.
N*‘ = 22" . 32b
Problemas de Aritmética y como resolverlos Hernán Flores Velozco
Por condición D(N2) = 3. D(N)
(2a + 1) (26 + 1 ) = 3(a + 1) (6 + 1)
Efectuando : 4a6 + 2a + 26 + 1 = ¿ab + 3a + 36 + 3
Simplificando * ab = a + b + 2
Acomodando convenientemente ab - a = 6 -1 + 3
a (6 - 1) = (6 - 1) + 3
3
Dividiendo por (6 -1) : a = I +
Luego (6 -1) es divisor de 3, entonces : 6 = 2 a a = 4
O: 6 = 4 a a = 2
Por lo tanto, N toma 2 valores :
N = 21 . 32 = 144
N = 22 . 31 = 324 RPTA.C
33.- Determinar el valor de “n", s i N= 175.245n tiene 28 divisores que no son divisibles por 
35.
A) 5 B )6 C) 7 D) 8 E )9
Resolucion.-
Descomponiendo canónicamente: N = 52 7 . (5 . 72)n
Efectuando y reduciendo términos : N = 5n T 2 . 72'1 + 1 ... (*)
=* D(N) = (n + 3) (2a + 2) ...(1)
Los divisores que son divisibles por 35 se obtienen sacando el factor 5.7 de (* ):
N = 5. 7(5" + 1. 72n)* v *
=* D(3°5) = (n + 2) (2u + 1) ..(2)
Luego, como hay 28 divisores que no son divisibles por 35, tendremos que :
D(N) - D(35) = 28 (3)
De (1) y (2) en (3) : (a + 3) (2a + 2) - (a + 2) (2a + 1) = 28
Efectuando : (2a2 + 8a + 6) - (2a2 + 5a + 2) = 28
a = 8 RPTA D
34.- S i N = 2 .3 * .7* tiene 40 divisores divisibles por 9 y 30 divisores pares; hallar (a + b). 
A) 10 B ) 9 C) 8 D) 7 E ) 6
T e o r í a ( l e lo s N i u n e m s P r i m o s 2 5 3
Resolución.-
A partir del dato: N = 21. 3a . 7b
La cantidad de divisores divisibles por 9 es 40, luego:
N = 32 ( 2 * .3 ° 2 . 7b )
D (9 ) = 2 (o-1)(6 + 1) = 40
=> (o - l ) ( 6 + l) = 20 . . . ( 1 )
O
La cantidad de divisores pares (2 ) es 30, luego •
N = 2 (3 ° 7b )
. D(2) = (o+ 1 )(6+ l) = 30 ...(2) 
o - l 2
Dividiendo (1) + (2) : 1 = 3 ^ 0 = 5
Y en ( I ) : 6 = 4 o + 6 = 9 KPTA B
35.- La suma de los divisores del número : N = 6?* * 1 . 8* es 17 veces la suma de los 
divisores d e : M = 8“ . 3*** *. ¿C uál es el valor de "a " ?
A ) 1 B ) 2 C) 3 0 )4 E ) 5
Resolución.-
Descomponiendo canónicamente : N = (2 . 3) 3,1 * 1. 923)a = 26a * 1. 33,1 * 1
V1 = (23)d . 3a3 + 1 = 23*1. 33a ' 1 
Por condición: SDfN) = 17 x SD(M)
Sustituyendo cada suma por la fórmula expuesta en el item 7.6, tendremos :
2 3n4,- l _ j
- - -----------------x -------------------------------= 1 7 x — x -----------------------------
2-1 3-1 2-1 3-1
Simplificando: 22(3a + ') - 1 =17 (23a + 1 - 1)
(23a T 1 + 1) C23* + 1 - 1 ) = 17(23a * 1 - 1 )
=> 23a + 1 - I = 17
o = l RPTA A
0
254 Problemas de Aritmética y como resolverlos Hernán Flores Velozco
36.- Hallar la diferencia de los números primos p y q (mayores que 2) sabiendo que la suma 
de los divisores de N = 8pq es igual a l triple del numero N.
A ) 10 B )8 C )6 D )4 E ) 2
Resolución.-
Descomponiendo canónicamente: N = 2*. p . q
ftjr condición del problema : SD(N) = 3 . N
Ahora sustituimos el 1" miembro por la relación (7.2) :
A 2 i 2 i2 4 - l P —I q -1— , =3 .H .p .q2 - 1 p - 1 q - l
Efectuando : 15 . (p + 1) (</ + 1) = 24 . p . q
5(p + 1) (¿7 + 1) = 8 P <7
Como el factor pruno 5 aparece en el primer miembro, uno de los factores primos del segundo 
miembro debe ser 5, luego si asumimos que :
p = 5 => 5(5 + 1) (t/ + 1) = 8 5 . q
Efectuando operaciones: <7 = 3
p - q = 2 RPTA E
37.- E l producto de los divisores de un número es 31* . T2.-Hallarla suma de las inversas de 
los divisores de dicho número.
A) 1,72 B ) 1,49 C) 1,18 D) 1,26 E ) 1,14
Rcsolución.-
Sea "N' el numero buscado, luego: PD(N) = 318 . 7*2
Expresando en forma conveniente PD(N) = (33 72)f>
Lo que equiv.de a : PD(N) = J ( 3 3 ,7 2 ) 12
Nótese que 12 es la cantidad de divisores de 3*. 7¿ pues ■ (3 + 1) (2 + 1) = 12
Entonces por la relación (7.4) , podemos reconocer que :
N = 31. 72 = 1 323 
3^-1 73 - 1Luego la suma de sus divisores es : SD(N) = . =2 280
3-1 7-1
Finalmente por la relación (7.3) obtendremos la suma de las inversas de dichos divisores:
SID(N) = SD^N) => SID(N) = H H = 1-72 RPTA A
Tiana de lo\ Nitntt im Pumo'
38.- Sabiendo que N = 6a . 15b tiene 756 divisores es 63 veces la suma de los divisores de 
M = 3a . 15b. ¿ Cuál es el valor d ea + b ?
B ) 12 C) 11 D) 13A) 9
Resolución.-
Descomponiendo canónicamente a los números dados ■
N = (2 3)*. (3 . 5)'* N = 2*'. 3,,+ '*. 5h
M = 3*'. (3 . 5)b => M = r * b . 5'*
Por condición del problema : SD(Y) = ü.3. SD(M)
E ) 15
Por la formula:
0 u - l . _ /•+1 , 0 </-6 i-l _ í i * I ,2 - l a t -1 . _ .5 5 - I
2-1 .'3-1 5-1 ‘ 3-1 5-1
Simplificando. 2-,+ I -I =03 => a = 5
Luego en (*), el númeio Y quedara Y = 2r‘ . 3b+ ‘ 5b
Asimismo por dalo se sabe que : D(1S) = 756
0(6 + 6) (6 + 1) = 750
Entonces: ( 6 + 0) (6 + 1) = 126 =» 6 = 8
o + 6 = 1 3 RPTA. D
C )
39.- Determinar 3 números primos entre s i tales que cada uno de ellos se diferencia con el 
anterior en 4 unidades, que el mayor de ellos sea divisible por 5 y que la suma de los 
tres sea un número de tres cifras divisible entre 63. Dar la suma de cifras del menor de 
ellos.
A) 6 B ) 10 C)11 D) 20 E ) 2
*
Resolución.-
Los 3 números forman una progresión aritmética de razón 4. luego estos son de la forma :
iY - 4 ; N ; .Y + 4
O
Fl mayor de ellos debe ser múltiplo de 5, luego • N + 4 = 5
Entonces Y + 4 solo puede tcmiinar en 0 ó en 5, estableciéndose las siguientes posibilidades :
iY + 4 =...0 N + 4 =...5
Y = . . . 6 V Y = . . I
i ii N - 4 =...7
Del pumer caso reconoc emos que los numcios no son primos entre* si. por ello trabajaremos con 
la segunda posibilidad . A continuación, como la suma de olios es divisible por 63. tendremos .
256 P tobianas de Aritmética \ ionio resolverlos Hernán Flores Velozco
(N-4) + N + (N-4) = 63
u u \i
... 5 + ... I + ... 7 = 63
' , -
3 = 63
Ahora bien por condición del problema, la suma debe ser un número de 3 cifras, que, como se 
ha demostrado, termina en 3, por lo tanto solo puede se r.
63 x 11 = 693
Es decir. (N - 4) + N + (N + 4) = 693
3N = 693 
N = 231
Finalmente los números serán : N - 4 = 227
N = 231 
N +*4 = 235 RPTA. C
40.-¿Cuantos números no mayores que 400 son primos relativos con e l?
A ) 160 B ) 200 C) 240 D) 320 E ) 180
Resolución. -
Como la descomposición canónica de 400 es : 400 = 21 52
Entonces, todo numero no mavoi que 400 que sea primo con él, no puede ser divisiblepor 2 ni 
por 5, entonces con la ayuda de un diagrama de Venn - Euler, se tendrá:
10
2 - 5
n
/
o
Luesjo : Cantidad de números (2 ) = 400 2 = 200
o
Cantidad de números (5 ) = 400 + 5 = 80
O
Cantidad de números (10) = 400 + 10 =■ 40
10
i
Colocando estos valores en el diagrama: í 160 40 J 40
Teoría de los Números Primos 257
Por lo tanto, la cantidad de números pnmos relativos con 400 pero no mayores que él será:
400 - (160 + 40 + 40) = 160 RPTA A
Otro Metodo.-
Si la descomposición canónica de N e s : N = A* . Bb . Cc .... Pp
La cantidad de números no mavores que N pero primos relativos con él se puede calcular por 
una relación llamada FUNCION DE El >LER ó INDICADOR DE L N NUMERO:
' ' (N>=N( i- i ) ( , -é )( ,- ¿ M i> )
En el problema, como : 400 = 24. 52
=> v (400) = -100^1-2 ) ( ’ - Í J
< |í(N )= lfi0 RPTA A
258 Emblemas d e Aritmética y como resolverlos Hernán Flores Velazco
PR06L6MAS PROPU€STOS
!.- ¿Cuantos divisores tiene el numero:
471 744 7
A) 40 B)96 C)140 D)70 E)K4
2.- S i : N = 15.21n, licnc 60 divisores; hallar 
: V .
A) 2 B)3 C)4 D)5 R)6
3.- Si : 8 ̂+ 8*1 + 2, licnc 84 divisores com­
puestos: hallar "k" .
A) 4 B)5 C )6 D)7 F.)8
4.- Si los números : A = 24. 30°
B = 24n + 3 , 2n + 1
tienen la misma cantidad de divisores; 
hallar
A) 3 B)4 C)5 D )6 H)7
5.- S i : 6n tiene 30divisores más que 7n. ¿Cuán 
tos tendrá 12n7
A) 44 B)50 C)32 D)66 E)45
6.- Calcular el valor de ”n” para que el numero: 
N = 9 . 12n lenua 150 div isores.
A ) 4 B)5 C )6 D)7 1:)8
7.- ¿Cuantos divisores compuestos tiene:
N = I8 18 7
A) 16 B)703 C)364 D)548 l£)7(X)
8.- Si se cumple que la expresión :
h = qbOO + edi) + ab tiene 27 divisores; 
hallar (a + b ) s i: cd = 2 . ab .
A) 5 B )6 O H 0 )9 E) 10
9.- Si : "///" y ”n” son dos números cuya dife­
rencia es 3; hallar (//< + ti) s i:
N = 3m + 3n 
tiene 36 divisores.
A )9 B ) 11 C )I3 D) 15 E) 16
10 .- ¿Cuál es el menor numero imparque tiene 
14 divisores?
A ) 14 B; 625 C)2025
0)5624 E)900
11.- Hallar el valor de "ti" para que el número 
de divisores de N = 30n tenga el dohle del 
número de div isores de M = 15 x 18n.
A )5 B )6 C)7 D)8 H)9
12.- ¿Cuántos div isores tiene el número N 
= 2~ 3a sabiendo que al multiplicarse por 
18 su numeru de divisores aumenta en 
127
A ) 16 B ) 15 C)12 0)18 E)24
13.- Calcular el valor de ”n" sabiendo que la 
expresión 481n tiene n \ divisores
A )4 B l5 C )6 0)8 E)9
14.- Hallar el residuo de div idir el producto de 
los 2 000 primeros números primos entre 
GO.
A ) 10 B)20 C) 30 D)40 E) 15
15.- ¿Cuántos triángulos existen cuyos cate­
tos sean números enteros y además ten­
gan como area 600//C?
A ) I I B ) 12 C )I3 D) 14 E) 15
Teoría de los Numeras Primos 259
16.- ¿Cuantos números enteros existen que 
sean prunos relativos con 104 y menores 
que I04>
A) 3 QCXÍ B)40ü0 C)6(MX)
D )2 0 0 0 E)70fXX)
17.- S i : 63! tiene ”n" divisores. / Cuántos tcn-
drá64!
64 n 
29 R l32"B ) 29 O 16,129
16/r E ) 12" } 5858
18.- Dar la suma de cif ras del número que des­
compuesto en sus factores primos es: 3J .
lf* . a \ sabiendo que tiene 72 divi-sores 
y no es múltiplo de 27.
A )9 B ) IR C)24 D)27 E)30
19.- S i : A ! = 2a . 3b . 5C (a > b > c): hallar:
SD(A+ l)!-SD (A - 1)!
A )3164 B)791 C)4325
D) 10244 E) 18984
20.- /Cuántos divisores múltiplos de 3 pero 
no de 7 ni do 5 tiene el número 126 000?
A )80 B)40 C)60 D) 10 E )V )
21.- ¿Cuántos de los divisores de 22176 son 
divisibles entre 8 pero no entre 16?
A) 16 B)8 C) 12 D) 36 E)N.A.
22.- ¿Cuántos números de 3 cilras del siste­
ma cuaternario son primos absolutos?
A) 10 B ) 11 C) 12 D) 13 E) 14
23.- Sabiendo que el número 24n x 36n tiene 
589 divisores. Hallar cuántos divisores 
tendrá I8nx30n.
A ) 1729 B) 1056 02640
D)5X5 E)N .A
24.- Calcular la suma de las inversas de los 
divisores múltiplos de 15 del número 81 
9(X).
A ) 224/65 B ) 672/13 C) 224/975
D) 112/65 E)N .A
25.- Sabiendo que el producto de los diviso-
A l l - d Ü 1 ,res de un numero es 3 x 5 , determi­
nar el número y dar la suma de los cua­
drados de sus cifras.
A ) 31 B)90 C)33 D)45 E)N.A.
26.- Un número que contiene en su descom­
posición canónica a los números 2. 3 y 7 
al ser multiplicado por4 aumenta en 12 su 
cantidad de divisores y al .ser dividido 
entre 3 disminuye en 10 dicha cantidad 
de divisores. Dar el resto de dividir el 
número entre 13.
A ) 3 B)4 C)7 D) 10 E)N.A.
27.- Sea: N = A d x B b xCc , donde A. B y C son 
primos absolutos. Si div idimos N entre A 
se eliminan 42 divisores, dividiendo en­
tre B se suprimen 35 y si se div ide entre C 
se eliminan 30. Hallar: a + b + c.
A ) 12 B ) 15 C )I8 D)9 E)21
28.- Encontrar 2 factores primos p y q. tales 
que la suma de todos los divisores del
número 2̂ * p * q sea el triple de este 
mismo numero. Dar la cantidad de div ¡so­
res de p + q.
A ) 1 B )2 C)4 D )8 E)N .A.
260 Problemas de Aritmética y como resolverlos Hernán Flores Velozco
29.- Hallar si; N = 2 1 . 15n tiene 20 diviso­
res compuestos.
A )5 B)4 C)3 D)2 E) I
30.- Calcular (a + b) si el número N = 36a . 5h 
tiene 96 divisores compuestos.
A ) 4 B)5 C)6 D)7 E )8
31.-S eñalar (a + b) sabiendo que el número N 
= 5000 x 3a x 7 ̂tiene 240di\ i s o re s (a y b 
son cilras significamos)
A) 5 B)7 C)9 D) 10 1L)9
32.- Un número tiene solamente 2 factores pri­
mos; si posee 5 divisores impares y 15 
divisores múltiplos de 18. Hallar la suma 
de sus cifras.
A )9 B ) 18 C ! r D)42 E)36
33.- Si uh es un número primo absoluto. 
¿.Cuántos divisores como mínimo tiene
abOab (0 = cero)?
A )8 B) 10 C) 12 Di 15 E ) 16
34.- Hallar la + h) si la suma de los- divisores 
del número N = 2*.a.b. es 27/10 de N (a y 
b son primos absolutos mayores de 2 )
A) 7 B) 10 C ) ll I)) 12 E) 14
35.- Hallar la.suma de las inversas de los divi­
sores de un numero cuyo producto de
divisores es : 2*^. 5 ^ .
A)2,9¿$ B)2,163 C)2.4I8
D) 3,125 E) 1.725
36.- Un número tiene 22 divisores y su cubo 
. tiene 64 divisores. ¿Cuántos div ¡sores tie­
ne su raí/ cúbica?
A ) 6 B )8 C )I0 D) 12 E)15
37.- ¿Cuantas veces hay que multiplicar por 
12 al número 135 para que el producto 
tenga 144 divisores?
A ) I B)2 C)3 D)4 E)^
38.- ¿Cuantas veces debe multiplicarse a '8 
por si mismo para que el resultado tenga 
88 divisores compuestos?
A ) 3 B)4 C)5 D)6 E)7
39.- Un número entero positivo se llama "per­
fecto" si es igual a la suma de todos los 
divisores menores que él incluyendo In 
unidad; según esta definición. ¿Cuantos 
de los siguientes números son números 
pcrlcctos? 4; 6; 8; 12; 14; 28.
A ) Ninguno B) 1 C)2 D)3 E)4
40.- Sea "/»/" la diferencia entre la cantidad de 
divisores que tienen I36n y I47n enton­
ces. determinar cuál (cuáles) de las al ir 
maeiones siguientes es (son) correctas
L "m" es el producto de dos números con­
secutivos.
11 "m" es siempre par
m."m" es el producto de dos números pares.
IV. "n i' es el producto de dos números impa­
res.
V "m“ es el doble de la suma de I hasta "n"
A ) I y II B ) I. II y V C )IV
Dj III E ) II v III
M C D Y M .CM
8.1 MAXIMO COMUN DIVISOR (M.C.D)
Es el mayor de los divisores comunes de varios números También se le conoce con el 
nombre de Prodivisor o Máximo Divisor Común.
Sean los números 15 y 75 :
DIVISORES
45 - 1 ; 3 5 ; 9 ; 15 ; 45
75 - 1 ^ ; 3 ; 5 ; ^ 15 ; 25 ; 75
^ á
DIVISORES COMUNES
El mavor de los divisores comunes es 15, entonces : M.C. D. (45 ; 75) = 15 
NOTA : Los divisores comunes de varios números son los divisores de su M.C.D.
Nótese que los divisores de 15 son • 1; 3; 5 v 15; es decir, los divisores comunes de 45 y 75 
En general:
O
A = d
O r-%
B = d I > ”cf es divisor común de A , B y C, entonces es divisor del : M.C.D. (A ; B ; C) 
o
C = d
8.2 MINIMO COMUN MULTIPLO (M.C.M) :
Se llama si al menor de los múltiplos positivos comunes de varios números.
Se le llama también Promúltiplo o Mínimo Común
MULTIPLOS POSITIVOS
8 - 8 ; 16 ; 24 ; 32 ; 40 ; 48 ; 56 ; 64 ; 72 ; 80 ; . . . 
12 12 ; 24 ; 36 ; 48 ; 60 ; 72 ; 84 ; . . .
^ i ^
MULTIPLOS POSITIVOS COMUNES262 Problemas de Aritmética \ como n solverlos Hernán Flores Velazco
El menor de los múltiplos positivos comunes es 21, entonces : m. c. m. (8 ; 12) = 24 
NOTA : Los múltiplos comunes de varios numeios son los múltiplos de su m.c.m 
JY)r ejemplo, los múltiplos positivos de 24 son : 24 ; 48; 72;...
Es decir, los múltiplos comunes de 8 > 12 
En general
O
\ = a
* O
\ = b N = m .c .in (o ,5 ,c )
N = c
8.3 PROCEDIM IENTOS DE CALCULO
1) POR DESCO M PO SIC IÓ N CANONICA •
Se descompone canónicamente a cada uno de los números y luego :
A. El M.O.D. es el producto de aquellos tactores primos que sean comunes a todas las descom­
posiciones, elevados al menor exponento con que aparecen en ellas
B. El m c.m sera el producto de todos aquellos factores primos existentes en las descomposi­
ciones, elevados al mayor exponente con que aparecen en ellas
Sean los números 1800; 756 y 2376 cuyas descomposiciones canónicas >on:
1 800 = 23 . 32 52 
756 = 22. 33. 7
2 376 = 23 . 33 . 11
Entonces : M.C.D. (1800; 756, 2376 ) = 2J . 3¿ = 36
m.c.m (1800 , 756 ; 2376) = 2*. 3*. 52 . 7. 11 = 415 800
2) METODO PRACTICO
Se descompone a los números en torma simultánea y luego :
A. El procedimiento para el M.C.D. termina al encontrar número.-, primos entre si.
B El procedimiento para el m.c.m termina al encontrar la unidad.
I M .C.D-M .C.M 263
Dados los números 1800; 756 y 2376;
1800 - 756 - 2376 2
900 - 378 - 1188 2
450 - 189 - 594 3
150 - 63 - 198 3
50 - 21 - 66 2
25 - 21 - 33 3
25 - 7 - 11 5
5 - 7 - 11 5
1 - 7 - 11 7
1 - 1 - I I 11
1 - 1 - 1
M.C.D.
) m.c.m.
/
Entonces : M.C.D. ( 1800; 756 ; 2376) = 2¿ 32 = 36
m.c.m. (1800; 756; 2376) = 23 . 33. 52 . 7 . 11 = 415800
3) METODOS INDIRECTOS :
A) El M.C.D. o el M.C.M. de más de dos números también puede calcularse, encontrando en 
forma sucesiva el M.C.D. o el m.c.m. de parejas de números
Por ejemplo:
375 250
M.Ci3.= 25
285 225
M.CD. = 15
M.C.D. = 5
=* M.C.D. (375 ; 250 ; 285 ; 225) = 5 
(Análogamente para el caso del m.c.m.)
B) Si varios números se multiplican o dividen por un mismo número entero, entonces el 
M.C.D. y el m.c.m de ellos quedará multiplicado o dividido por dicho numero entero.
Sea: * M.C.D. (A; B; C) = k
m.c.m. (A ; B ; C) = m
Entonces : M.C.D. (A x n ; B x n ; C x /?) = k x n
m.c.m ( A x n ; B x n ; C x n ) = /?ixn
. C . D . Í * ; B ;< n
( n n n i
(A B C ) 
i.c.m. — ; ; -\ n n n ,
k
n
m
n
264 Proble nuis de Aiitmética y como resolverlos Hernán Flores Velazco
PROBLEMAS RESUELTOS ( GRUPO I )
1.- A l dividir 1020 y 665 entre 'n" ios residuos respectivos fueron 12 y 17. ¿C uál es el 
mayor valor de "n "?
A) 64 B ) 72
RiíM2lU£ÍáD.- 
Según los datos:
C)90
1020
12
665
17
n
Q\
n
<h
r
D) 108 E ) 8
1020 = n + 12 
1008 = n . . . (a )
c>
665 = ñ + 17 
648 = n . . . (3)
De (a ) y ({J) , n es divisor común de 1008 y 648. Si queremos que Ma" sea el mayoi posible, 
entonces : n = M.C.D. (1008 ; 648)
Calculando el M.C.D
1008 - 648 
504 - 324 
252 - 162 
126 - 81 
42 - 27 
1 4 - 9
2
2
2
3
3
> M.C.D. = (1008 ; 648) = 72
n = 72 RPTA. B
2.- El menor número entero positivo que dividido entre 4; 5; 6; 7 y 8 deja siempre de resto 3 es: 
A) 663 B ) 766 C) 843 D) 1683 E ) 708
Resolución.-
Llamando "N" al número pedido : N = 4 +3 => N - 3 = 4
\ N = 5 +3 N - 3 = 5
N = 6 + 3 N - 3 = 6
N = 7 + 3 => N-3 = 7
N = 8 +3 => N-3 = 8
M.C.D M.C.M. 265
Luego, (N - 3) es un múltiplo común de 4; 5; 6; 7 y 8 
También (N - 3) debe ser lo menor posible, entonces : 
Calculando el m .c.m :
N - 3 = m.c.m (4; 5; 6; 7; 8)
- 5 - 6 - 7 - 8 2
- 5 - 3 - 7 - 4 2
- 5 - 3 - 7 - 2 2
- 5 - 3 - 7 - 1 3
- 5 - 1 - 7 - 1 5
- 1 - 1 - 7 - 1 7
- 1 - 1 - 1 - 1
> m.c.m. (4 ; 5; 6; 7; 8) = 840
Por tanto: N - 3 = 840 
N = 843 RPTA C
3.- Calcular el número de divisores del M.C.D. de los números :
A = 4 0 '°. 214 
B = 60s .353 
C = 804 . 14*
C) 128 D) 180A) 165 B ) 150
Resolucion.-
Descomponiendo canónicamente:
Entonces, el M.C.D. de ellos será 
Luego:
E ) 120
A = (23 . 5 ) '° . (3 . 7)a = 230 . 31. 510. 71
B = (22 . 3 . 5)5 . (5 . 7)3 = 210 . 35. 58 . 73 
C = (24. 5)4 . (2 . 7)2 = 2,ü . 5'1. 72
M.C.D. (A, B ) = 2,ü . 51. 72
D(M.C.D) = (10 + 1) (4 + I) (2 + 1)
D(M.C.D) = 165 RPTA A
4.- Hallar "n " sabiendo que el m.c.m de ios números :
A = 12n .15 
B = 1 2 .1 5 nm
tiene 140 divisores.
A) 1 B)2 C) 3 D) 4 E )5
Problemas de Aritmética \ romo resolverlos Hernán Flores Velazco
Resolución -
Descomponiendo canónicamente a ambos numeios:
A = (22 . 3)n . (3 . 5) = 2-'n . 3n ’ 1 . 51
B = (22. 3 ). (3 . 5)n = 22 3n + 1 . 5"
Recuerde que el m.c.m. es el producto de lodos los tactores primos elevados a su mayor 
expolíente, luego :
m.c.m. (A . B ) = 22n 3" * '. 5"
Por dato : D(m.c.m) = 140
(2/i + 1)(// + 2)0/ + 1) = 140
n = 3 RPTA. C
5.- Dados tres números A, B y C s e sabe que el M.C.D. de A y B es 30 y el M.C.D. de B y C 
es 198. ¿C uál es el M.C.D. de A. B y C ?
A ) 4 B ) 12 C) 18 D) 6 E ) 16
Resolución.-
Según los datos : M.C D (A ; B) = 30
M C D ( B . C ) = 198 
El M.C.D. de A , B y C será igual al M.C.D de 30 y 198 es decir:
30 -198 2 ' _ ,nn „ ̂ M.C.D. = (30 ; 198) = 6
15 - 99 3 J
5 - 3 3
M C .D ÍA ; B ; C ) = 6 RPI A D
6.- S i el m.c.m. de A y B es 484 y el m.c.m. de C y D es 363. Determinar el m.c.m. de A, B, 
C y D.
A) 1322 B ) 1432 C) 1542 D) 1452 E ) 1632
Resolurion.-
Por datos : m.c.m (A , B) = 484
in.c mi (C . D) = 303
M C I)-M .C .M . 267
El m.c.m de A, B. C y D será igual al m.c.m de 484 y 363 que se calcula :
484 - 363 
4 4 - 3 3 
4 - 3
4 - 1
2 - 1
1 - 1
11
11
3 m.c.m. (484 ; 363) = 1452 
2 
2
m.c.m. (A, B, C, D) = 1452 RPTA I)
7.- S i el M.C.D. de 45A y 63B es 36. ¿C u a l es el M.C.D. de 25A y 35B? 
A) 16 B )2 7 C) 20 D) 24 E ) 18
Resolución - 
IY>r dato :
Dividiendo entre 9
M.C.D. (45A ; 63B) = 36
( 45A 63»^l 9 : 9 J - 369
=> M.C.D. (5A ; 7B) = 4
Multiplicando por 5 : M.C.D. (5x5A; 5x7B) = 5x4
M C.D. (25A , 35B) = 20 RITA. C
268 Problemas de Aritmética v como resaberlos Hernán Flores Velazco
8 A. ALGORITMO DE EUCUDES
Permite calcular el M.C.D. de solamente dos números mediante divisiones sucesivas. 
Ejemplo:
bean los números : 1812 y 672
Cocientes! -----
1812 672
f
1
D ividendos y d iviso res 
R esid u os
Se divide 1812 + 672 colocando el cociente y el residuo en el lugar correspondiente
2
1 8 1 2 6 7 2
4 6 8 ^
_
El residuo 468 pasa a ocupar el siguiente casillero central y ahora se divide 672 468:
2 1
1 8 1 2 6 7 2 4 6 8
4 6 8 " " 2 0 4 "
Asi sucesivamente hasta llegar a una división exacta
2 1 2 3 2 2
1 8 1 2 6 7 2 4 6 8 2 0 4 6 0 2 4 1 2
4 6 8 " " 2 0 4 ' ' " 6 < f " t ^ 2 4 h r
El ultimo divisor empleado, es decir 12, será el M.C.D. 
M.C.D. (1812 ; 672) = 12
MC I) - M.C.M. 2W
PROBLCMAS ReSUGLTOS ( GRUPO II )
8.- E l M.C.D. de dos números es 14 y los cocientes sucesivos obtenidos en su determina­
ción por el método del Algoritmo de Euciides han sid o : 4 ; 2 ; 2 y 3. ¿ Cuál es la suma de 
estos núm eros?
A) 1288 B ) 1414 C) 1396 D) 966 E ) 1206
Resolución.-
Siendo Ay B los números, como el M.C.D. de ellos es 14, el esquema del Algoritmo de Euciides 
quedará:
I 4 l 2 2 3
A
B L
14
Reconstruyendo, por la Regla del Cangrejo se tendrá ;
4 2 2 3
1050 238 98 42 14
98 " ■"42 " 14 " ^ 0
Luego : A = 1050 a B = 238
A + B = 1288 RPTA A
9.- La suma de dos números es 1248. S i los cocientes sucesivos obtenidos a l hallar su 
M.C.D. por "divisiones sucesivas" fueron: 2; 6; 1; 1 y 2 . H allarla diferencia de dichos 
números.
A ) 204 B ) 456 C) 228 D) 912 E ) 432
Resolución. -
Si A y B son los números y llamamos 7?” a su M.C.D. el esquema del Algoritmo de Euciides 
quedará:
2 6 - 1 i 1 2
A B 1 k
•* -i
270 Problemas de Aritmética y como resolverlos Hernán Flores Velozc o
Reconstruyendo, por la Regla del Cangrejo :
2 6 1 1 2
71* 33* 5* 3* 2 * *
5 * " 3 * ' 2 * * 0
Luego:
Por dato. 
Reemplazando:
Entonces :
A = 71* a B = 33/?
A + B = 1248 
71* + 33* = 1248 
=> * = 12 
A = 71(12) = 852 
B = 33(12)= 396 
A - tí = 456 RPTA B
8.5. PROPIEDADES RELATIVAS AL M.C.D TA L M.C.M
1 Los cocientes de dividir a venios números por el M.C.D de ellos son números Primos entre si 
Sea : M.C.D. (A ; B; C) = K
Números primos entre si
2 Los cocientes de dividir el m.c.m de varios números entre cada uno de ellos son números 
primos entre s í:
Sea: m.c.m. (A ; B ; C) = rn
PmA
m
B
m
C
Números primos entre si
= P.
A/.C/J A/CA/. 271
Si multiplicamos los cocientes primos entre sí de la propiedad 1; dicho producto es igual 
al cociente de su M.C.M. entre su M.C.D"
Sea: M.C.D. (A ; B ) = k
m.c.m (A ; B) = m
A = C K >
m
3. Para dos números se cumple que
1 El producto de dos números es igual al producto de su M.C D. y su m.c.m 
Sean: M.C.D. (A ; B ) = k
m.c.m (A ;.B) = m
A x B = h m
5 Si dos números son PE.S1, su M.C.D es la unidad y su m.c.m es el producto de dichos 
números.
M.C.D. (A ; B ) = 1
Ay B son P.E SI £>
m.c.m (A ; B ) = A x B
6 Si un numero entero A es divisible entre otro número B, su M.C.D. es B y su m.c.m. es
M.C.D. (A ; B ) = B
A= B £>
m.c.m. (A ; B ) = A
En Resumen : M.C.D. = (A ; B ) = k
A = kC.
I v> B = k Cz
m.c.m. (A , B ) = /eC, C2
Donde: Cj a C2 : PE. Sí.
272 Problemas tic Aritmética y como resaberlos Hernán Flores Velazco
PROBICMAS R€SU€lTOS ( GRUPO Itl )
10.- E l producto de dos números es 5915 y e l M.C.D. de ellos es 13. Hallar el mayor de 
esos números s i ambos son números que 100.
6)91 C) 61 D) 52A) 78
Resolución -
Sean los números A v B luego • A x B = 59I5 . (a )
Como: M C.l). (A ; B ) = !3
Entonces A = I3C,
E)98
B = 13C,
Donde C. y C., son números PE.SI.
Reemplazando en (u ) : 13C, x 13C.¿ = 5915 
C, x C2 = 35
Como, tanto A como B son menores que 100 : C. =5
Por lo tanto . A = 13(5) = G5 
B = 13(7) = 91 RPTA. B
C2 = 7
11.- Hallar dos números sabiendo que su M.C.D. es 36 y su m.c.m. es 5148. Uno de ellos 
será:
A ) 360
Resolucion.-
B ) 396 C) 458
Sean A v B los números M.C D.(A,B) = 36
Como m.c.m. (A , B ) = 51-18
36C,C2 = 5148 
C , . C 2 =I43
D) 520
A =36 C,
B = 36C2 
m c m. = 36C,C, 
C, a C2 : P E. Si
E ) 612
Entonces, tenemos dos opciones :
(C, = 11) C2 = 13) v (C, = I a C.¿ = 143)
M.C.D - M.C.M. 273
A = 36(11) = 396 A = 36(1) =36
B = 36(13) = 468 B = 36(143) = 5148 RPTA.C
12.- E l producto del M.C.D. por el m.c.m. de dos números es 1620. S i uno de los números 
es el M.C.D. de 108 y 162 ¿C u ál es el otro?
A) 16 B ) 24 C) 30 D) 90 E ) 85
Resolución.-
Sean los números A y B se tendrá ; M.C.D. (A , B ) = k
m.c.m. (A , B ) = m
Por datos : k . m = 1620
A = M.C.D. (108 ; 162) => A = 54
Por Propiedad : A x B = k m
Reemplazando: 54 x B = 1620
B = 30 RPTA. C
13.- Determ inar dos números primos entre s í tal que su suma sea 23 y su m.c.m. sea 120. 
Dar la diferencia de ellos.
A) 5 B ) 7 C )9 D) 13 E ) 3
Resolución.-
Sean Ay B los números pnmos entre si, entonces por propiedad :
M.C.D. (A , B ) = 1
m.c.m. (A , B ) = A . B
Por datos: A + B = 23 a m.c.m. (A ; B ) = 120
Entonces : A + B = 23 a A x B = 120%
Luego, los números son: A = 15 a B = 8
A - B = 7 RPTA. B
14.- Un número es 13 veces el valor del otro. Además e l m.c.m. de estos es 559. Hallar el 
M.C.D. de dichos números.
A ) 43 B ) 55 C) 52 D) 53 E ) 45
Por lo tanto, hay dos parejas de números ;
274 Problemas de Aritmética v como resolverlos Hernán Flores Velazco
Resolucion.-
Siendo A y B los números : A = 13 x B
Nótese que A es divisible entre B (el cociente de su división es 13), entonces
M.C.D. (A ; B ) = B 
m.c.m. (A ; B ) = A 
Pt>r dato: m.c.m. (A , B) = 559
Entonces : A = 559
Reemplazando : 13B = 559
• B = 13
M.C.D. (A , B) = 43 RPTA A
15.- Hallar el mayor valor de P que cumple con las condiciones :
753= P - 3 
421 = P - 13 
Dar como respuesta la suma de sus cifras.
A) 7 B )6 C )8 D) 9 E ) 5
Resolución.-
O
POr dalos: 753 = P - 3
O
421 = P - 13
O
l.uego : 756 = P
434 = P
0
"P" es divisor común de 756 y 434
Como "P" debe ser lo mayor posible : P = M.C.D. (756; 134)
*
Calculando el M.C.D.:
756 - 434 
378 - 217 
54 - 31
2 ) M.C.D. = 
7 l
(756; 434) = 14
R>r lo tanto: P = 14 RPTA. E
M í D - M.C.M 275
16.- Un negociante tiene tres barriles de vino de 360; 460 y 600 litros; desea venderlos en 
recipientes pequeños de máxima capacidad de modo que no sobre vino en ninguno 
de los barriles. ¿Cuántos recipientes necesita?
A) 12
Resolución.
B ) 15 C) 24 D) 30 E) 10
La capacidad de los barriles pequeños debe ser un divisor común de 360; 1K0 y 600 y además 
debe ser lo mayor posible, luego debe ser el M.C.D. de esos números
360 - 480 - 600 2
180 - 240 - 300 2
90 - 120 - 150 2
45 - 60 - 75 3
15 - 
3 -
20 - 25 
4 - 5
5
Luego, la capacidad de los recipientes pequeños es 120 \ilros 
El número de recipientes necesarios será :
.. . . . 360 , -180# reep,en.es = p2|) + |2Q 600
120
# recipientes = 12 RPTA A
17.- Se han colocado postes igualmente espaciados en e l contorno de un campo triangu­
lar cuyos lados miden 210; 270 y 300 m respectivam ente. Sabiendo que hay un poste 
en cada vértice y que la distancia entre poste y poste es la m ayor posible. ¿Cuántos 
postes se colocaron?
A) 24 B ) 26 C) 23 D) 30 E ) 27
Resolución.-
276 Problemas de Aiitmétiia v romo re solverlos Hernán Flores Velozco
Denotando por "cT a la distancia entre poste v poste se observa :
210 = d ; 270 = d a 300 = d
Luego, "J" es un divisor común de 210; 270 y 3U0
Además, la distancia entre poste y poste, o sea "d", es lo mavor posible, entonces
ci = M.C.D. (210; 270; 300)
Calculando el M.C.D.
210 - 270 - 300 
105 - 135 - 150 
35 - 45 - 50 
7 - 9 - 1 0
1 M.C.D. =
r
(210 ; 270 ; 300) = 30
Entonces d = 30 (La distancia entre po-te y poste es 30m)
Para calcular el número de postes colocados se divide el perímetro del campo entre la distan­
cia entre poste y poste es decir *
# postes = 210+270 + 30030
# postes = 26 RPTA. B
18.- Se trata de formar un cubo con ladrillos cuyas dimensiones son 20cm. 15cm y 6cm. 
Diga cuántos ladrillos son necesarios para formar el cubo más pequeño posible.
B ) 60 C) 120A) 100
Resolución.-
Denolando por "L" a la longitud de la arista del cubo a construir
D) 160 E ) 180
f y
f D*»
ít *^15 
20 cm |:>
cm 
cm
L = 20 ; L = 15 a L = b
Entonces "L" es múltiplo común de 20; 15 y 6.
M.C.D M.C.M 277
Pan» formal el cubo más pequeño posible, es necesario c|iie "L 1 sea lo menor posible, luego
L = m.c.m. (20; 15; G)
Calculando el m.c.m.:
m.c.m. = (20 ; 15 ; 6) = 60
2 0 - 1 5 - 6 2
1 0 - 1 5 - 3 2
5 - 1 5 - 3 3
5 - 5 - 1 5
1 - 1 - 1
Entonces' L = 60 (La longitud ríe la arista del cubo es 60 a n )
Por lo tanto, el número de ladrillos es j , . .... 60 60 60# ladrillos = .¿u - |5 •
# ladrillos = 120 R ITA.C
19.- Un terreno de forma rectangular cuyos lados miden 144m y 252 m están sembrados 
con árboles equidistantes y separados lo más posible. S i se observa que hay un árbol 
en cada vértice y uno en el centro del terreno. ¿Cuantos árboles hay en total?
A ) 112
Resolución
B)56
d d
d i
144/77 * 
d
C) 40 D) 135
255 m 
d d d d d
/
E ) 120
\
: 72/77
d%
d
: 72 /77
a k
• • • •
d d d d d d d d
126 m — 126 777
Llamando "d" a la distancia que existe entre árbol v árbol, mitese que para que se tenga un 
árbol en el centro del terreno, éste debí* ser la intersección de dos lilas que pasan por los 
puntos medios de los lados, luego V debe ser un divisor común do 72 v 126.
278 Problemas de Aritnutica y como resolverlos Hernán Flores Velazco
Ademas, para los árboles oslen separados lo más posible "d" debe ser lo mayor posible 
entonces •
d = M.C.D. (72; 126)
Calculando el M.C.D
72 - 126 
3 6-63 
12 - 21 
4 - 7
2
3
3
► M.C.D. = (72 ; 126) = 18
Luego : d = 18 (la distancia entre árbol y árbol es 18m)
El numero de lilas de arboles porcada lado será •
1
- Largo •
- Ancho:
Pbr lo tanto:
252
18
144
18
+ 1 = 15 Hlas 
+ 1=9 filas 
# de árboles = 1 5 x 9 = 135 RPTA. D
20.- Se desea construir un prism a rectangular recto de dimensiones : 135m, 1B9my 
261m respectivam ente con la menor cantidad de ladrillos cúbicos de dimensiones 
enteras de metros posibles. ¿Cuántos ladrillos se usarán?
A) 585 B)21 C) 10135 D) 315
Resolucién.-
Llamando "o" a la longitud de la arista de los ladrillos cúbicos :
E ) 9135
135 = o 261 = o 189 = o
Entonces "o" es un divisor común do 135; 261 v 189
M.C.D - M.C.M. 279
Aliora bien, para usar la menor cantidad de ladrillos, la longitud de la arista de los ladrillos es 
decir "o", debe ser lo mayor posible, luego :
a = M.C.D. (135; 201; 189)
Calculandoel M.C.D.:
135 - 261 - 189 
45 - 87 - 63 
15 - 29 - 21
3 
3 M .C .D . = (1 3 5 ; 261 ; 189) = 9
Entonces : a - 9
Por lo tanto, el número de ladrillos necesarios sera :
* . . . . 1 3 5 2 6 1 1 8 9# ladrillos = x x
# ladrillos = 9135 RPTA E
21.- E l número de niños de un colegio es el menor posible. S i se agrupan de 10 en 10 
sobran 3; s i se agrupan de 12 en 12 sobran 5 y de 15 en 15 sobran 8. ¿Cuántos niños 
tiene e l colegio ?
A ) 61 ¡3)53 C) 73 D) 113 E ) 173
Resolución.-
O
Sea N el numero de niños del colegio; entonces, por los datos ;
Exp.e sandolos en su forma por exceso:
N = 10 +3
,N = 12 + 5
N = 15 + 8
N =
O
10-7
N = 12 - 7
N =
O
15-7
Y = 60 - 7
N = 53
Como el m.c.m. (10; 12; 15) es igual a 60, se tiene .
Por lo tanto, el menor valor de N seia : N = 53 RPTA. B
22.-En una empresa trabajan 180 empleados. Se selecciona un grupo de ellos, notándose 
que si se les agrupa de 8 en 8, de 10 en 10 y de 12 en 12, siem pre sobra 1; del numero 
de no seleccionados. ¿C u ál es la suma de sus c ifras?
A ) 4 B ) 7 C) 10 D) 14 E ) 16
Resolución. -
Si asumimos que de los 180 empleados, se selecciona "N " empleados, se tendrá por datos :
N = 8 + | ; N = 10 + 1 a N = 12 + 1
O
Como el m.c.m. de 8, 10 y 12 es 120 se concluye que : N = 120 + I
Entonces el numero de seleccionados es : N = 121
Por lo tanto, el número de no seleccionados es 180 - 121 = 59 RPTA D
23.- Hallar la cifra de unidades del m ayor número de 3 cifras que convertido a los siste­
mas de numeración de bases : 6 : 8 y 9 da como resultados números que terminan 
en 5; 7 y 8 respectivam ente.
A) 3 B ) 4 C )S D) 6
Resolución.-
Considcrando a abe como el numero de tres cifras: abe = ... 5,.
abe = ... 7g 
abe = ... 84>
Expresando por exceso: abe = 6 - 1
O
abe = 8 - 1 
abe =9-1
%
Como el m.c.m. de 6; 8 y 9 es 72, se tiene : abe =72-1
Luego ; abe e {143; 215; 287;...}
El inavorvalorde abe Si-rá ; abe nn* = 72(13)- I
a b e ma* = 935 R P I A c
24.- A l dividir 199 y 369 entre "n " los restos respectivos fueron 7 y 9.
¿Cuántos valores toma "n "?
A) 2 B ) 3 C) 4 D) 5 E ) más de 5
Uesolución.-
280 Problemas de Aritmética y armo resolverlos Hernán Flores VelQZCO
Por datos; i n a _
r 199 = n + 7 => 192 = n
<7i
7
E )7
O
abe = 6 + 5
O
abe = 8 + 7
O
abe = 9 + 8
M C I) - M.C.M. 281
369 n 
<72
¡y 369 = n + 9 360 = n
Nótese que 7i" es dividir coinun de 192 v 360, entonces es ctividii de su M.C.D 
Calculando el M.C.D. de 192 v 360
M.C.D. = (192 ; 360) = 24
192 - 360 2
96 - 180 2
48 - 90 2
24 - 45 3
8 - 15
Entonces "n" debe ser un divisor de 24 y además mayor que 9, pues en las divisiones iniciales 
el divisor debe ser mayor que el resto; luego :
n e {12;24}
u puede tomar 2 valores RPTA. A
25.- A un terreno rectangular de 952m de largo y 544m de ancho se le quiere cercar con 
alambre sujeto a postes equidistantes de manera que disten de 30 a 40m y que 
corresponde un poste a cada vértice, a s í como también uno a cada uno de los puntos 
medios de los lados del rectángulo. ¿Cuántos postes se necesitan?
A ) 56
Resolución.-
B ) 96 C) 72 D) 83 E ) 88
476 m
544 m
952 m
282 Problemas de Aritmética y como resolví rlo\ Hernán Floros V&azco
Nolc.se que ”</" es un divisor común de 272 v 47b, luego es un divisor de su M C M. entonces :
272 - 476 2
136 - 238 2 M.C.D. = (272 ; 476) = 68
68 - 119 17
4 - 7
Entonces "d" es un divisor de 68 comprendido (por dalo) entre 30 > 10. luego d = 34
, „ 952 + 544 + 952 + 54 1Por lo tanto: # postes = ------ ---------
.IT
# postes = 88 RPTA E
26.- Calcular e l valor de "n". S i : m.c.m. (A ; B ) = 19 440 [M.C.D. (A , B )¡
Donde : A = 18.3CT a B = 45.20n
A) 2 B ) 3 C) 4 D) 5 E ) 6
Resolución
Descomposición canónicamente : A = (2 . 3*) (2 3. 5)" = 2" + 1 . 311 * 2. 5n
B = (32 . 5) . (2¿ . 5)" =2¿n 3* 5" ' 1
Calculando su M.C.D y su in.e.m.: M.C.D. (A . B) = 2“ T 1 . 3" 5lf
m.c.m. (A , B ) = 220 . 3" * 2 . 5“ + 1 
Por dato : m.c.m. (A , B ) = 19440 |M.(\D. (A , B )J
Reemplazando y descomponiendo canónicamente a 19 440 :
22n .3n + 2 .5n + 1 = 2f .3s .5 2n t , . 32 5 " ]
Efectuando. 22" . 3n *2 . 5n * 1 = 2n ♦ s 37. 5n + 1
Igualando los exponentes de un mismo factor primo n = 5 RPTA. D
27.- ¿Cuantos de los divisores de 10040 son también divisor de 20030; 30020 y 40010?
A) 832 B ) 961 C) 861 D) 931 E ) 1061
Resolución.-
l.os divisores comunes de 10010 ; 2 0 0 ; 30U'ÍI) y 40üloson los divisóles de su M.C D .; entonces 
descomponiendo canónicamente:
I001n = (2-. 52) 10 = 2S0 5S<1
20010 = (2J 5-)*' = 2 ,ü 5a’
30020 = (22. 3 . 52)20 = 210 3¿,). 510
40010 = (2 1 52)10 = 210 . 520
M.C.D- M.C.M. 283
Por lo tanto para determinar la cantidad de divisores comunes, bastará hallar el número de 
divisores de su M.C.D.:
D(comunes) = (40 + l ) (20 + I )
D(comunes) = 86! RPTA. C
28.- Calcular A . B sabiendo q u e : M.C.D. (35A ; 5B) = 70
• m.c.m. (4 2 A , 6B) = 504
A) 126 B) 135 C) 140 D) 168 E) 191
Resolucion.-
Según los datos: M.C.D. (35A, 5B) = 70 ...(1 )
m.c.m. (42A, 6B) = 504 ... (2)
Si dividimos a los números entre un divisor común, el M.C.D. y el m.c.m. quedan divididos 
entre caída entre dicho divisor común, entonces :
Luego, el M.C.D. de ellos sera : M.C.D - 210 520
0 ) - 5 : M.C.D. ( 355\ 55B ) = 705
M.C.D. (7 A ;B ) =14 ...(a )
/«x . ( 42A 68 1(2)+ 6 : m.c.m. I —g—;-g- I = 504 6
m.c.m. (7A ; B ) =84 ... (P)
Por propiedad en (a ) y (P ) : 7A x B = 14 x 84
A x B = 168 RPTA. D
29.- S i e l m.c.m de A y B es igua l a 2A y el M.C.D. es A /3 . H allar el va lor de A sabiendo
además q u e :
A - B =145
A) 335 B) 165 C) 515 D) 435 E) 505
Resolución.-
Según los datos : m.c.m. (A , B ) = 2A
M.C.D. (A , B) = A/3
A
Por Propiedad: A x B = ̂ x 2A
2ASimplificando "A ": B =
También : A - B = 145
284 Problemas de Aritmética \ como resolverlos Hernán Flores Velazco
2AReemplazando: A- =145«3
Efectuando operaciones . A = 435 RPTA D
30.- Se divide A entre B y el cociente resulta exacto e igual al cuadrado de su M.C.D. s i :
m.c.m. (A , B )- M.C.D. (A , B ) = 504.
Determinar el valor de UA
A) 8 B ) 64 C) 512 D) 729 E ) 81
Resolución.-
5i el cociente de la división de A entre B es exarto, entonces A es divisible entre B luego .
M.C D. (A . B ) = B 
m c.m (A , B ) = A
OPor dato: £ = [M.C D. (A . B)\¿ => = |BJt> D
=> A = B 1 . . ( I )
También : m.c.m (A , B ) - M.C.D. (A , B ) = 5U4
Reemplazando. A - B = 504 => B3 B = 504
Factorizando ■ B (B + 1) (B 1) = 50-1
8 x 5 x 7
Luego . B = 8
En (1 ): A = 83
A = 512 RP1A.C
31.- Una ciudad A esta a 224 km ae la ciudad B y a 624km de la ciudad C. Un avión que vuela a 
velocidad constante hace escala en B al ir deAaC. Suponiendo que tarda 20 minutos en la 
ciudad B y que el m.c.m. de los tiempos que demora en ir de A a B y de B a C es 700 minutos. 
¿Cuántos minutos dura el viaje d e A a C ? (Las ciudades A, B y C están en linea recta).
A) 77 B )98 C) 107 D) 116 E ) 87
Resolución.-
üe acuerdo al enunciado, B es una ciudad intermedia entre A y C : 
v = cte
— 224 km — — -------------- 400 km —
A B C
*
Aquí hace escala de 20 minutos
M .C.D-M .C.M 285
Llamando 7 " al tiempo que demora en ir de A a B y 7," al tiempo que demora en ir de B a C:
Como t = distancia + velocidad 
Multiplicando por " V :
C alculando el m.c.m.:
m.c.m. (/, ; /2) = 700
(224 400 ̂ ^
m.c.m. y- I =700
m.c.m. (224 ; 400) = 700 x V . ( 1)
224 - 400 
1 1 2 - 2 0 0 
56 - 100 
28 - 50 
14 - 25 
7 - 2 5 
7 - 5
7 - 1
1 - 1
2
2
2
2
2
5
57
^ m.c.rr». (224 ; 400) = 5 600
En (1) ; 5600 = 700 xV
=9 V = 8
Entonces /, = 224 + 8 = 28 minutos
t2 = 400 + 8 = 50 minutos
Por lo tanto el viaje de A a C dura : 28 + 20 + 50 = 98 minutos RPTA. B
32.- Af calcular el M.C.D. de los números abbc y cbba por el Algoritm o de Euciides, los 
cocientes han sido : 2; 2; 1; 1 y 2. Hallar a . b . c s i : a - c = 4
A ) 688
Resolución.-
B ) 682 C) 96 D) 128 E ) 628
5¡ el M.C.D de abbc y cbba es "k" el esquema del Algoritmo de Euciides quedará
abbc cbba
I I
Reconslmyendo, por la regla del cangrejo
2 2 1 I 2
31 k 13* 5k 3k
^ ^
2k k
5k 3 * ' 2 * " " 0
286 Problemas de Aritmética v como resolverlos Hernán Flores Velazco
Luego: abbc = 31* a cbba = 13//
Como a - c = 4 ; descomponiendo polinómicamente y efectuando se tendrá
Reemplazando; 
Luego : 
Entonces -
abbc - cbba = 999 (o - c)
= 999 (4)
abbc - cbba = 3 996
31* - 13* = 3 996 =* * = 222
abbc = 31(222) = 6 882
u = 6 
b = 8 
c = 2
a . b . c = 96 RPTA C
33.- A l calcular el M.C.D de los números xyzw y(a+ i )a (a* 2) por el Algoritmo de Euclides 
se obtuvieron como cociente sucesivos : 7; 1; 3 y 3. Calcular el valor d e :
B ) 14
a + x + y + z + w
C) 15 D) 16 E ) 17A) 13
Beífiludím--
Denotando por "*" al M.C.D. de xyzw y (o + l)o (o + 2) , se tendrá ;
4 ' - i
xyzw ̂ (a + 1) o (a + 2)
~ T ^
Reconstmvendo, por la Regla del Cangrejo :
3 3
*
I
0 í
7 1 3 | 3
101 * 13*
_ ,
1 0 * 3* *
10*' 3* j 'k ' o r
Luego: xyzw = 101* a (í/+ I)í/ (o + 2) = 13*
 __ O
Nótese que (a + l)a (o + 2) = 13
4 3 1
Aplicando el criterio de div isivilidad entre 13 : , {K (a + ljíj (a+ ¿J
O
= 13
M.C.D - M.C.M. 287
=> - 4(a + 1) - 3(a) + (a + 2) = 13
O
=> -6a -2= 13
=» a = 4
Entonces: (c/+ l)a (a + 2) = 13A:
Reemplazando: 546 = 13fr =* k = 42
También: xyziv = 101(42) = 4242
Luego : x = 4
y = 2 
z = 4 
w = 2
a-^x + y + z+ u) = 16 RPTA. D
34.- La suma de los cuadrados de dos números es 832 y su M.C.D. es 8. La suma de los 
números e s :
A ) 8 B ) 40 C) 60 D) 20 E ) 80
Resolución.-
Suponiendo que los números son A y B : A2 + B 2 = 832 ... (a )
A = 8 C
M.C.D. (A , B ) = 8
i
B = 8 C.2
Cj y C2 son P.E. Si
Reemplazando en (a ) : (8C .)2 + (8C , )2 = 832, / • v — 2 J
64C*+ 64C* =832
2 2 c , + c ‘ = 13
Luego : C, = 2 a C¿ = 3
Entonces: A = 8(2) = 16
B = 8(3) = 24
A + B = 40 RPTA. B
2KK Problemas rlt Aritmética v como resolverlos Hernán Flores Velazco
35.-Hallar la diferencia de dos números enteros sabiendo que su M.C.D. es 48 y su suma es 288.
A) 187 B) 189
Resolución-
Sean A y B los números :
C) 191
Por dato:
M.C.D. (A, B)
A + B = 288
48C, + 18C2 = 288 
C, + C¿ = b
Como Cj y C2 son P.E. s í: C, =5
c2 = i
Luego: A = 48(5) = 240 
B = 48(1) = 48
0
D) 192 E ) 193
A = 48 C,
B = 48 C.¿
donde C, y son PE. S i :
A - B =192 RPTA. D
36.- ¿Cuantos pares de números enteros existen tales que su suma está comprendida 
entre 400 y 500 y tenga como M.C.D. a 48?
A) 5 B ) 4
Resolución.-
Sean los números A y B :
C) 3
400 < A + B < 500
M.C.D. (A . B ) = 18
D )2 E)1
... (a )
A = 18 C, 
B = 18 G,
C j a C.¿ : P.E. Si
En (u) : 100 < 48C, + 48C2 < 500
8 1/3 < C, + C2 < 10 5/12
Entonces C + C2 = 9 v C, + C2 = 10
1 
1
2 
4
i
8
7
5
i
I
3
i
9
7
EXISTEN 5 PARES RITA A
M.C.D - M.C.M. 2R9
37.- La suma de dos números es 105, siendo su m.c.m. 180. Dar la diferencia de ellos. 
A) 12 B ) 10 C) 15 D) 25 E ) 30
Resolución-
Sean los números A y B tal que :
M.C.D (A ; B ) = * | > B = * C.¿
A = * C,
m.c.m. = * C , ; C2 
C, a C 2 F’E .S i
Como ■ A + B = 105
*C ,+ *C 2 = l05 =* * (C , + C ,) = IOS ...(« )
También: m.c.m. = 180 =* *C,C2 = 180 (P)
C +C i 2 7
Dividiendo (a ) + (p) : p p = .
I 2 l¿
Entonces: C, + C2 = 7 a C ,C 2 = I2
Luego : C, = 4 a C¿ = 3
En (a ) : *(4 + 3) = 105 => * = 15
De donde: A = 15 x 4 = 60 a B = 15 * 3 = 15
A * B = 15 RPTA. C
38.- Un número excede a otro en 44 unidades y ia diferencia de su m.c.m. y su M.C.D. es 
500. Hallar dichos números y dar su suma.
A) 77 B)99 C)110 D) 100 E ) 144
RüüQlución--
A = * C,
Sea: M.C.D. (A, B) = *
b = * c 2
m.c.m. = * C, C¿ 
C, a C2 : P E. Si
Por dalos: A - B = 44 =* *(C , - C2) =44 ...(« )
m.c.m (A , B) - M.C.D. (A . B ) = 500
*C,C2 - k = 500 => *(C, C2 - l) = 500 . . (P)
290 HftibUnui\ d t Aritmética \ como resolverlas Hernán Flores Velozco
Dividiendo (a ) + ({J)
(* -C I 2 11
C .C -1 ■ 125 1 2 14:0
Luego. C, C2 = 11 a C, C2 = 126
l)e donde : C, = 1» A C„ = 7
En (u) : *(18-7) =14 => U = 1
Entonces. A = 1.18 = 72 
B =4 . 7 =28
A + B =100 RPTA. D
39.- Calcular el valor de N sabiendo que : m.c.m. (500 - N ; 770 -
A) 410 B)472 C) 419 0)412
Resolución.-
Asumiendo que • M.C.D. (500-N ; 770-N) = *
Entonces: 500 - N = *Cj (a )
700 - N = *C2 (P)
- m.c.m. (500 - N ; 770 - .\) = *C,C2
=» I053 = *C,C2 ( I )
Restando ((i) - (a ) 270 = *(C2-CQ (2)
Dividiendo ( l ) -=- (2)
39 C i ' C 2
i o ’ V S
Luego . C ,. r 2 = 39 A c 2 - C, = 10
De donde ('2 = 13 A C, = 3
En (2 ): 270 = *(13 -3) => * = 27
En (u ) : 500 - N = 27 .3
E ) 370
N = 419 RPTA. C
40.- Carlos mandó a su empleado a la librería a comprar borradores, lapiceros y cuader­
nos con la condición de gastar la misma suma para cada tipo de articulo escolar y 
que sea lo menor posible, bajo pena de pagar 10 centavos por cada articulo que 
compre demás. E l empleado encontró borradores a 300 centavos, lapiceros a 600 
centavos y cuadernos a 750 y 900 centavos cada uno de estos; tomo los más bara 
tos y tuvo que pagar una suma a Carlos. ¿C uál fue esta sum a?
A) 50 B) 60 C) 70 D) 80 E) 90
M.C.D-M.C.M. 291
La primera opción es que el empleado compre borradores a 3U0 centavos, lapiceros a 600 
centavos y cuadernos a 750 centavos; entonces como debe gastar una misma suma (la menor 
posible) para cada tipo de artículo, esta debe ser el m.c.m. de 300; 600 y 750, luego :
Resolución.-
3 0 0 - 6 0 0 - 7 5 0 2
1 5 0 - 3 0 0 - 3 7 5 5
3 0 - 6 0 - 7 5 5
6 - 1 2 - 1 5 3
2 - 4 - 5 2
1 - 2 - 5 2
1 - 1 - 5 5
1 - 1 - 1
> m .c .m . ( 3 0 0 ; 6 0 0 ; 7 5 0 ) = 3 0 0 0
Entonces la suma gastada par cada tipo de artículo es 3 000 centavos. 
El número de artículos comprados es : 3000 3000 3000 300 + 600 + 750
La segunda opción es que el empleado compre borradores a 300 centavos, lapiceros a 600 
centavos y cuadernos a 900 centavos; luego como debe gastar la misma suma (la menor 
posible) para cada tipo de artículo, esta debe ser el m.c.m. de 300; 600 y 900, es decir:
2 ''i 
2
3 0 0 - 6 0 0 - 9 0 0
1 5 0 - 3 0 0 - 4 5 0
7 5 - 1 5 0 - 2 2 5
2 5 - 5 0 - 7 5
5 - 1 0 - 1 5
1 - 2 - 3
1 - 1 - 3
1 - 1 - 1
> m .c.m . ( 3 0 0 ; 6 0 0 ; 9 0 0 ) = 1 8 0 0
3
5
5
2
3
Luego la suma gastada para cada tipo de artículo es 1 800 centavos. 
Entonces, el número de artículos comprados sería: 1800 1800 1800 _ 300 + 600 + 900
Como el empleado eligió la primera opción, ha comprado: 19 -11 = 8 artículos de más, luego 
debe pagar a Carlos:
8 x 10 = 80 centavos RETA D
292 Problemas d e Aritméiiiu y como resolverlos Hernán Flores Velazco
PR0G16MAS PROPUÉSTOS
1.- Se han plantado árboles igualmente espa­
ciados en ci contorno de un campo trian­
gular cuyos lados miden 144 m, I 8* V» y 240 
m. Sabiendo que hay un árbol en cada vér­
tice y que la distancia entre 2 árboles con 
secutivos esta comprendida entre 4/» y 
10/». Calcular el numero de árboles.
A) 88 B)94 C)90 D)95 E )%
2.- Un móvil sedespla/acon velocidad cons­
tante; recorriendo primero 180A/uy luego 
240A//I. Si el M .C.M. de los tiempos em­
pleados es 96 horas. ¿Cuántas horas se ha 
demorado en total7
A) 24 B)V7 C)28 D)56 F)25
3.- Hallar el valor de "»" si el m.c.m. de los 
números: A = 12". 45 y B = 12.45". Tiene 
450 d¡\ ¡sores.
A ) 4 B)5 C)6 D)2 F >6
4.- Se dispone de un terreno de forma rectan­
gular de dimensiones 4K0/ii por 72/» y se 
desea sembrar íntegramente con árboles 
equidistantes a lo largo y ancho del terre­
no. de modo que haya uno en cada vértice. 
¿Cuántos arboles serán necc-sarios mse 
desea emplear la menor cantidad posible 
de ellos?
A) 80 B)89 C )88 D)84 E)82
5.- Si tenemos que llenar 4 cilindros de capa­
cidades 72; 24; 56 y 120 galones res­
pectivamente. ¿Cuál es la capacidad del 
balde que puede usarse para llenarlos exac­
tamente si está comprendida entre 2 y 8 
galones?
A) 6 B)4 C)5 D)3 l:)7
6.- ¿Cual es el menor número no div isiblc por; 
4; 6; 9; 11 y 12 que al div idilio entre estos 
se obtiene restos iguales?
A) 215 B)3 I7 0397
D)428 E)459
7.- ¿Cuántos divisores tiene el M C I) de :
A = 12' x !04 
B = I84 x I52 
C= I0? x 30’
A ) 16 B)2() C)60 D)46 E)N .A .
8.- Hallai "»*' si el m.c.m de A = 28 x 32"y 
B = 28" x 32 tiene 72 div isores.
A ) 2 B) 1 C)4 D)5 l ;)6
9.- Se han dividido 3 barras de acero de lon­
gitudes 540; 480 y 360c»i, en tro/os de igual 
longitud, siendo está la mayor posible. 
¿Cuantos tro/os se han obtenido?
A ) 20 B )2 I 0 2 2 D)23 E)24
10.- Se dispone de un terreno de forma rec­
tangular de 540x 120/» el cual se hadividi- 
do en parcelas cuadradas todas iguales 
exactamente Hallar el lado de la parcela si 
se desea obtener entre 4(X) y 5(X) parcelas.
A ) 12/» B) 15 C ) I6 D) 18 t)20
11.-Si:M .CD .( i l v8 ; v9y0)= 18 
H allar: i + v
A ) 8 B)9 C) 10 13) 11 Fi) 14
12.- Dados los números : A = 15 x 9()n
B = 90 x 15"
Hallar el valor de "«" sabiendo que el 
m.c.m. de A y B es 46 veces el M.C.D. de 
dichos númcios
M .C.D-M .C.M 293
13.- Se divide A entre B y el cociente resulta 
exacto c igual al cuadrado de su M.C D Si 
M .C.D.(A. B ) + m.c.m.iA. B ) = 52U. Hallar 
el valor de ” B ”.
A )X B) 7 C)9 D)6 E) 12
14.- E l producto del m.c.m. por el M.C.D.de 
uh y abab es 17069. Hallar (a + b).
A )2 B) I C)4 D)3 E)5
15.- La suma de los números a v b es 651. El 
cociente entre m.c.m y M.C.D. es 108 
Hallar// - b.
A )481 B)473 C)423
D)4S3 E)581
16.-m.c.m.(A. B ) = A 2} M.C.D.íA . B ) = 2I. 
El valor de B será :
A )2 I B) 121 C)42 D) 420 E)441
17.- Hallar la suma de dos números enteros 
sabiendo que la suma de los cocientes 
obtenidos al dividir cada uno de ellos 
entre su M.C.D. es 9 y que su producto 
div idido entre este mismo M.C.D. da como 
resultado 180.
A) 49 B)81 C)63 D) 101 E)64
18.-S i: M.C.D.(3A ,3B) = 3 y
m.c.m. (4A.4B) = 572
Hallar* A .B .
A )110 B )121 C)I32
D )143 E ) 154
19.- El producto de dos números es 3500 y la 
suma de su M.C.D. y su m.c.m. es 360. 
Uno de los números puede ser:
A) 2 B)3 C)4 D)5 E)7
A )35 B)60 C)70 D) 150 E)N .A .
20.- ¿ Cuantas parejas de números existen cuyo 
m.c.m sea igual a 180 veces su M .C.D?
A) 16 B)24 C)32 D)64 E)4
21.- Hallar 2 numcios. uno con 21 divisores y 
el otro con 10 divisores, cuyo máximo 
común divisor sea 18. Dar la diferencia 
entre ellos.
A ) 2868 B)4!4 C)6S4
D)522 E)N .A
22.- Al calcular el M.C.D. de dos números pri­
mos entre si mediante "divisiones sucesi­
vas" se obtuvo como cociente sucesivos 
: 2: 1; 3; 3 y 2.1 a diferencia de los núme­
ros es •
A ) 7 B P () C)83 D)53 E)23
23.- A l calcular el M.C.D. de 2 números por el 
método de las divisiones sucesivas se 
obtuvo por cocientes : I ; I; 2; 3 y 4. De- 
lermmarel mayor de ellos si el M.C.D. de 
ellos tue 56.
A ) 7300 B ) 3920 C) 2408
D )4368 K )40X8
24.- A l encontrar el M.C.D. de dos números 
mediante el algoritmo de Euelidcs se ob­
tuvo como cocientes sucesivos. I ; />; 3 y 2. 
Hallar el valor de "p" si la suma de los 
números es iiiual a 53 veces su M.C.D.
A ) I B)2 C)3 D)4 E)7
25.- Hallar a + h + /, sabiendo que lo> co­
cientes sucesivos al calcular el M.C.D. por 
el algoritmo de Euclides de los números :
a [ a + 4)// y //1 // + 4 )bc fueron : I ; I ; I y 3
A ) I I B) 13 C )I7 D )2I E)22
26.- ¿Cuantos pares de números suman 476 y 
tiene como M.C D a 28?
A ) 16 B) 1 C )6 D )8 E)9
294 Problemas de Aritmética \ como resolverlos Hernán Flores Vclozco
27.- El M.C.D. de dos números es 9 y el cua­
drado del primero más el segundo es 486 
¿Cuál es la suma de los números?
A) 414 B)405 C)426
D)477 E)423
28.- Los cuadrados de dos números difieren 
en 3375 y su M.C.D. es 15. Diga cuál de 
los siguientes no es uno de ios números.
A)60 B) 120 C) 15 D)75 E)IÜ5
29.- Sean A y B dos números que guardan 
una relación de 60 a 40. Si el M.C.D. es 9. 
Determine la diferencia de dichos núme­
ros.
A ) 8 B)9 C) 18 D)27 E)36
30.- Para los números: A = 24(K) y B = 4950. el
M .C .M .(A , B ) 
valor de: X LC D .(A ~ B ) • cs :
A) Mayor que 1056 D)264
B) 1056 E ) Menor que 264
C)528
31.- El M.C.D. de dos números enteros y posi­
tivos es 12 y el M.C.M. es 72. Si el pro­
ducto de los números entre la suma de 
ellos da un cociente mayor que 12. Hallar 
la diferencia de los números.
A) 17 B ) 15 C) 12 D) 10 E) 16
32.- El M.C.M. de dos números es 147 y la 
diferencia de los números es 28. Hallar la 
suma de los números.
A) 56 B)70 C)84 D)3l E)77
33.- Hallar dos números enteros que sumen 
225 y que la suma de su M .C.M. y su 
M.C.D. sea 315.
A )60y 165 B )4 0 y 185 C )45y 180
D)90y 135 E)2(X)y45
34.- Hallar dos mimeios enteros, sabiendo que 
la suma de sus cuadrados es 3492 y que
su pri»ducto es 216 veces su máximo co­
mún divisor. Dar la sumado los números.
A ) 78 B)82 0 7 2 D)80 E )86
35.- Hallar dos números sabiendo que su pro­
ducto es 30 veces su M.C.D. y que la 
suma de sus cuadrados es 87 veces su 
M.C.D. Dar como respuesta el menor de 
los números.
A ) 10 B )6 C )I5 D) 27 E)25
36.- El M.C.M. de dos números enteros es igual 
a 55 veces su M.C.D. si la diferencia de 
dichos números es 18. Dar la suma de los 
números.
*
A) 30 B)60 C)48 D)32 E )%
37.- Hallar dos números enteros sabiendo que 
su suma es 581 y su M.C.M. es 240 veces 
su M.C.D. Dar como respuesta el mayor 
de ellos.
A ) 560 B)280 C)350
D)420 E)630
38.- Hallar dos números enteros sabiendo que 
su suma es igual a 6 veces su M.C.D. y su 
producto es igual a 8 veces su M.C.M.
A ) 30 y 5 B )4 8 y 8 C )40y8
D) 24 y 6 E)48y 5
39.- Se sabe que el cuadrado del M.C.M. de 
dos números es igual al cubo de su 
M.C.D. y que la suma de estos números 
es ISO. Hallar su diferencia.
A ) 12 B)24 C)60 D)36 E)90
46.- Se tiene dos números de 3 cifras cada uno, 
de tal manera que uno de ellos es el com­
plemento aritmético del otro. Si el M.C.M. 
de los dos números es 1875. Hallar la dife­
rencia de los dos números.
A) 100 B)50 C)200
D )125 E)250
NUMEROS 
FRACCIONARIOS
9.1 FRACCION O QUEBRADO
Es toda expresión de la forma a/b donde a y b son números enteros diferentes de cero (0), 
donde a no es divisible entre 6
numerador
f = es frac ción
\ denominador
o e / a be i 
a * 0 a 6 * 0
a * 6
El Denominador.- Indica en cuántas partes iguales se ha dividido a la unidad 
El Numerador.- Indica cuantas de esas partes se están considerando
3
Ejemplo : Utilizando un gralico represente a la fracción f = g
f _ 3_« Número de partes que se toma. 
8 * Número de partes en que se divide la unidad.
X
CLASIFICAC IO N
9 1 A. POR LA RELACIÓN ENTRE SUS TÉRMINOS
a) FYopia / or = ^ es propia «=> a < b v 0 < f <
Por ejemplo, son fracciones propias 3 . 7 . 15 . 1 . 5 * 12 ’ 23 * 1
b) Impropia , a' — fj tí» impropia <=> o > 6 v f > 1
Por ejemplo, son fracciones impropias : 7 12 8 273 ' 5 : 7 : 15
2% Probit mas de Aritmética \ tomo resolverlos Hernán Flores Velozco
9 IB POR SU DENOM MADOR
a) Fracción Común - Es aquella cu\ o denominador no es una potencia de 10
/ = ^ es común b e 10"
Por ejemplo, son fracciones comunes 12 ' 9 * ’ 19 ''
b) Fracción Decimal - Es aquella cuyo denominador es una potencia de 10
f = £ es decimal <=> b e 10a
Donde : I0n = <10; I02 ; I0 3 ; 101; . . . }
Por ejemplo, son tracciones decim ales:
13 2*1 15 236
ioo ’ ío • íooo ’ íoooo
9 1C POR GRUPOS DE FRACCIONES •
a) Fracciones Homogéneas. Si todas las fracciones tienen el mismo denominador
. 3 6 24 15
Pbrejemplo: 7 '• 7 ' 7 : 7
b) Fracciones Heterogéneas. Si todas las fracciones no tienen el mismo denominador 
Por ejemplo: 5 : 9 : *3 : lo
Númcios Fun cionarios 2 9 7
PROBLEMAS RESUELTOS ( GRUPO I )
1.- ¿C uál es la fracción que dividida entresu inversa resulta 169/576? Dar la suma de sus 
términos.
A) 32 B ) 36 C) 37 D) 39 E ) 41
Rmlución-
Sea la fracción : f = fb
Por dato:
o
f b = 169
/ 1 b 576
o
o2 132 a 13
=> 2 — 2
b 24 ^ b 24
a + b = 37 RPTA. C
2.-¿Cuál es la fracción ordinaria que resulta triplicada si se agrega 
denominador?
A) 1/4 B ) 5/13 C) 2/13 D) 2 ft
Resolución.-
Sea la fracción:
Pbr condición del problema : u + b _ g ( o^
b + b Ifc , 
a + b 3 o
2 b ~ b
a + b 
2 ~ = 3a
=3 a + b = 6a
=> b = Sa
Acomodando los términos: I _ a
5 ~ b
f = l- RPTA E
D
E ) 1/5
298 Problemas de Aritmética y como resolverlos Hernán Flores Velazco
9.2 CONCEPTOS IMPORTANTES
9.2A Número Mixto - Son aquellos que tienen parte entera v parte fraccionaria
* a t a A b + aA = A = — -— b b b
T
1 Parte fraccionaria
Parte entera
Por ejemplo:
, 2 _ 3(5)+ 2 _ 17 7 4(9)+ 7 _ 43 # 1 _ 2(7) + 4 _ 18
5 5 ~ 5 9 9 “ 9 7 ~ 7 ~ 7
9.2B. Fracciones equivalentes.- Son aquellas que teniendo términos distintos, tienen el mis­
mo valor Por ejemplo, son fracciones equivalentes :
5 10 15 20
9 < > 1 8 < > 2 7 < > 3 6 < > ‘ •
9.2C. Simplificación de fracciones.- Es un procedimiento en el cual, dada una fracción, se 
busca una equivalente a ella pero de menores términos Por ejemplo; simplificando la fracción 108/ 
84.
9.2D. Fracción irieductible - Es aquella que no se puede simplificar, es decir sus términos 
(numerador y denominador) son números primos entre s i.
af = - es irreductible <=> a y b son PE si
5 2 9 13Por ejemplo, son fracciones irreductibles ; ; ; ;9 5 7 6
9.2E. Expresión general de las fiacciones equivalentes.- Sea f = ° una tracción irreductible 
V ffK} = ™ una tracción equivalente a f :
m a ni = ak
n * > b ^ n = bk k e i
Números L ruci ionario* 299
PROBLEMAS RESUELTOS ( GRUPO II )
f -
1 2 13.- ¿Q ué fracción de 17/24 hay que añadirle a los 2- ̂ de 5 ^ de ^ Para 9U& pueda ser 
igual a la tercera parte de la mitad de lás cinco sextas partes?
A) 15/8 B ) 5/4 C) 30/17 D) 15/17 E ) 31/17
Resolución.-
Sea ” f la fracc ión, entonces, por el enunciado del problema se podrá establecer que :
+ H ) ( s i ] ( ¿ ) = ( i ) ( 2 ) ( í ¡ ) ( , 2 )
/ I 7 4. 5 17 1 - 1 1 5 19
24 2 3 34 ~ 3 2 6
, 17 5 _ 5
1 24 12 _ 3
17 _ 5 . 5
21 " 3 12
r 17 = 15 
24 12
, 30
' = 17
4.-¿Cuántas fracciones irreductibles cuyo denom inadores 12, cumplen la condición que 
sean mayores que 2/7 pero menores que 5/7?
A) 4 B ) 5 C) 3 D) 2 E ) 1
Resolucion.-
NLas tracciones son de la forma : f = ^
Por dato: ̂ < A < 3
2 < N < 5 
7 12 7
Multiplicando por 12 : ^ < N < ^
=> 3.4 < N < 8,5
VI) Problemas (U Aritmética \ ce una resolverlos Hernán Flores Velozco
Corno ” f debe ser irreductible, N debe ser pnnio con 12, luego :
N . 1 5 . 7 Í ' « { ¿ . ¿ r
Existen 2 fracciones RF'TA D
5.- Hallar una fracción equivalente a 7/12 cuya suma de términos sea 209. 
A) 71/138 B ) 69/140 C) 77/132 D) 82/127
Resolución.-
Sea f = j* la tracción equivalente a ^
? < > lob 1 2
a = 7k 
b = 7 k
Por dato sabemos que : o +b = 209
= > 7 k + \ 2 k = 2 0 9 
= > k = I I
Luego se tendrá que : a = 7(l I) = 77
b = 1 2 ( 1 1 ) = 1 3 2
f= 7372 RPTA. C
E ) 75/134
Números Frac donarías 301
9.3 PROPIEDAD
Si la suma de dos fracciones irreductibles es un número entero, entonces, ambas fraccio­
nes son homogéneas.
Sean: ft ^ y f2 = ^ dos fracciones irreductibles :
S i:
9.4 M.C.D. T M.C.M. DE FRACCIONES
Dadas las fracciones irreductibles :
f = °'i b
m c n (f * f - f \ (a , c , e)M.C.D. (r, . , A3) ni. c.ni. (b , d , f )
t* t £\ m.c.m. ( o , c pe) m.c.m. (A,; f.¿ ; f.¿) - M c D
PROBLGMAS R€SU61T0S ( GRUPO III )
6.- S i la suma de dos fracciones irreductibles resulta 5 y la suma de sus numeradores es 
40 ¿ Cuál es la suma de sus denominadores ?
A) 8
Resolución.-
B ) 10 C) 14 D) 16 E ) 18
Como la suma de ambas fiacciones es 5, que es un numero entero, deducimos que las fraccio­
nes deben ser homogéneas. luego :
Donde : a + b = 40
Luego : A, + A, = 5 =*
' . - 7
° + 6 =5 c c
A = b2 c
a + b = 5
302 Problemas de Aritmética v como resolverlos Hernán Flores Velazco
- f = s
=> C = &
Por lo tanto, la suma de los denominadores es : c + c = 16 RPTA D
7.-¿C uál es el M.C.D. y el m.c.m. de las siguientes fracciones :
. 20 48 56
H - 45 • 7 “ 72 A f>~ 63
A) M.C.D. =2/9 B ) M.C.D. =2/9 C) M.C.D. = 2/3
m.c.m. - 8/3 m.c.m. = 3/8 m.c.m. = 8/9
D) M.C.D. = 2/3 E ) M.C.D. =2/3
m.c.m. = 8/3 m.c.m. = 9/3
Resolución.-
Simplificando las fracciones hasta hacerlas irreductibles, tendremos:
f = — f = ̂ a A — 81 9 i 3 3 9
M.C.D.(4 ,2 ,8 ) 2
Luego: \1.CD. - m c In .C9,3 = 9
m .c.m .(4 .2 , 8) 8
m.c.m - M |) (9 3 i)) - 3 RRTA A
Números Fraccionarios 3 0 3
9.5 EXPRESION DECIMAL DE UNA FRACCION
So llama asi al resultado de la división del numerador entre el denominador de una frac­
ción. Por ejemplo, dada la fracción 7/8.
Fracción Parte entera
U Parte decimal
7 » i_
j = 0,875
ÍT
EXPRESIÓN 
DECIMAL
00
De acuerdo al número de cifras de su parte decimal una expresión decimal puede ser: 
9.5A. Exacta.- Cuando posee una cantidad limitada de cifras en la parte decimal.
* 3 = 0,25 ■ -3̂ = 3,875
9.5B. Inexacta.- Cuando posee infinitas cifras en la parte decimal. Además existe un grupo de 
ellas cjue se repite en forma ordenada y periódica (Periodo). A su vez puede se r:
a) Penodica Pura : Cuando el periodo comienza inmediatamente después de la coma decimal
* 3 = 0,454545... = 0,45
* 27 = 1.481481481 . . = 1,481
b) Periódica Mixta : Cuando el periodo no comienza inmediatamente después de la coma 
decimal, sino luego de un conjunto de c i f r a s que representan la parte no periódica.
* 3 = 0,8333 ... = 0,8 3
* = 2,1363636.. = 2.Í36
9.6 EXPRESION DECIM AL A FRACCION
Convertir una expresión decimal a una fracción, es encontrar la fracción generatriz que dió 
ongen a la expresión decimal analizada Dicha fracción generatriz debe ser irreductible.
CASO I
La fracción generatriz de una expresión decimal exacta se obtiene al simplificar la fracción 
cuyos términos respectivos son: la parte decimal y la unidad seguida de tantos ceros como cifráis 
tiene la parte decimal. Veamos :
70
64
60
56
40
8
0,875
304 Problemas de Aritmética v como resaberlos Hernán Flores Velazco
0 a b t 1000
Ejemplos
*0 42 = ^ ^joo 50
i
Fracción generatriz
• 0 375 = 3/5 < > 3 1000 8i
Fracción generatriz
CASO 2
La fracción generatnz de una expresión decimal inexacta periódica puta se obtiene al 
simplificar la fracción cuyos términos respectivos son : el periodo y un numero formado por 
tantas cifras "9" como cifras tiene el periodo.
0,abc * 999
Ejemplos ;
• 0,36 = c > ¿i
i
Fracción generatriz
KI 1
•0,081 = 999 < > 37
1— Fracción ceFracción generatriz
CASO 3
La fracción generatriz de una expresión decimal inexacta periódica mixta se obtiene al 
simplificar la fracción cuyos ténnirios respectivos son : La parte no periódica seguida del perio­
do, disminuida en la parte no penodica y un numero formado por tantas cifras "9" como cifras 
tiene la parte no periódica y tantos ceros como cifras tiene la parte no periódica.
Ejemplos :
n _ abcde -ab0,abccde - 99900
Fracción generatriz ̂ Fracc. Gener
i *
• m í _ 38-3 ^ 7 *n>ác _ 240-2 ^ ^ 1220,38 9Q !g 0.246 990 < > }95
Números Fraccionarios 305
PR0BL6MAS R6SU€LTOS ( GRUPO 10 )
8.- Determinar fas fracciones generatrices de cada una de las siguientes expresiones 
decimales : ^ ^
(1)2,36 (11)4,27 (111)5,8 3
Dar la suma de los numeradores.
A) 36 B ) 151 C) 159 D) 141 E ) 139
Resolución--
Desdoblando cada número en parte entera y parte decimal .tendremos :
36 9 59(I) 2,36 = 2 + 0,36 = 2 + =2 + - = -
I
_ Fracción generatriz
( , « ) 4 . 2 7 = 4 + 0 . 2 7 . 4 + ! = 4 + Í 7 = ^
f Fracción generatriz
0n) 4,83 = 5 + 0,83 = 5 + 83" 8 = 5 + 5 = -
90 6 6
fl— Fracción generatriz
Luego la suma de los numeradores es : 59 + 47 + 35 = 141 RPTA. D
En forma directa:
oor
(I) 2,36 = = Fracción generatriz236 _ 59
100 25
427-4 _ 423 _ 17
9999 11
583-58 525 35
90 90 6
(II) 4,27 = — gg— = "99" = |j Fracción generatriz
™ ^ 583-58 525 35(Ul) 5,83 = — — = TwT = ~c Fracción generalnzyu yo ti
Suma de numeradores: 59 + 47 + 35 = 141 RPTA D
„ .... 0,393939 ...+ 0,3060606...9 .- S im p l i f ic a r : ----------------------------
2 42 + 0,024 + 2,016 
Indicar la diferencia entre los términos de la fracción irreductible resultante.
A ) 31 B ) 41 C) 82 0 )4 0 E ) 62
V6 Problemas de Aritmética v como resolverlos Hernán Flores Veiozco
Resolucion-
La expresión a simplificar es
Expresando cada decimal como fracción ordinaria:
0.39 + 0,306
2 a i42 + 0,024 + 2,016
39 306 -3
99 boo
115 i 24 2016
■12
T
]oou * 1000
13 101
33 330
115 24 1000
12 1000X 2016
Simplificando:
231
O'JA
Efectuando las operaciones indicadas 115 j
42 + 81
231
Entonces al reducir y simplificar nos queda . ^
84
Pbr lo tanto: 55 - 14 = 41 RPTA. B
Nlimeros h raccinnarios 307
9.7 D E T E R M IN A C IO N A P R IO R I D E L T IP O D 
EXPRESION DECIMAL QUE ORIGINA UNA FRACCIOJ
Bastará analizar el denominador de una fracción irreductible para predecir el tipo de 
expresión decimal que ella originará.
CASO 1 : Si en la descomposición canónica del denominador de una Iraccion irreductible 
solo aparecen los factores primos 2 y/o 5; entonces, dicha fracción originará una expresión 
decimal exacta. El número de cifras de la parte decimal estará indicado por el mayor expo- 
nente de 2 o de 5 que aparece en la descomposición
Ejemplos :
* f. = ? 9 => Origina una expresión decimal exacta con 4 cifras decimales
‘ 2 5
* í2 = ^ => Origina una expresión decimal exacta con 9 cifras decimales
4
* /, = , => Origina una expresión decimal exacta con 6 cifras decimalesj 5i>
CASO 2 : Si en la descomposición canónica del denominador de una fracción irreductible no 
aparecen los factores primos 2 y 5; entonces, dicha fracción origina una expresión decimal 
inexacta periódica pura. La cantidad de cifras del periodo está indicada por la cantidad de 
cifras del menor número formado solo por cifras "9" que contiene exactamente al denomina­
dor.
Ejemplos 
J3 
37
13
* fi = — =* Origina una expresión decimal inexacta periódica pura con 3 cifréis
en el periodo, pues : 999 = 37
2
* U = - => Origina una expresión decimal inexacta periódica pura con 6 cifras
5 7
en el periodo, pues : 999999 = 7
CASO 3 : Si en la descomposición canónica del denominador de una fracción irreductible 
aparecen los factores primos 2 y/o 5 y además otro(s) factor(s) diferente(s) de ellos entonces, 
dicha fracción originará una expresión decimal inexacta periódica mixta. La cantidad de cifras 
de la parte no periódica está indicada por el mayor exponente de 2 o de 5 que aparece en la 
composición y la cantidad de cifras del periodo se calcula por el método de los "nueves".
Ejemplos :
19
* ^b~ ~3— 5----- ^ Origina una expresión decimal inexacta periódica mixta con 5 cifras
2 5 101 en la parte rio periódica y 4 cifras en el periodo, pues :9999 = 101
4
* f-j - ~4 ~=> Origina una expresión decimal inexacta periódica mixta con 4 cifréis
2 27 en la parte no periódica y 3 eilras en el periodo, pues :999 = 27
Problemas de Aritmética y como resolverlos Hernán Flores Velazco
PROBLGHAS R€SU€lTOS ( GRUPO 0 )
10.- Determinar e l tipo de expresión decim al que origina la siguiente fracción :
f = l _________________
26 54 11 33 13 101
A ) Inexacta periódica pura con 12 cifras en el periodo.
B ) Inexacta periódica pura con 15 cifras en el periodo.
C) Inexacta periódica mixta con 6 cifras en la parte no periódica y 12 en el periodo.
D) Inexacta periódica mixta con 4 cifras en la parte no periódica y 12 en ef periodo.
E) Inexacta periódica mixta con 4 cifras en la parte no periódica y 15 en el periodo.
IkaQlütiOn -
Simplificando la fracción f =-----------------
2 5 I I 3 13 101
* Como el denominador contiene, aparte de 2 y 5. a otros factores, la fracción origina un 
expresión decimal inexacta periódica mixta
* El mayor exponente de 2 o 5 es 4, luego tiene 3 cifras en la parte no periódica
* Analizando la cantidad de cifras que origina cada factor diferente de 2 y 5 :
99 = 11 => 2 cifras en el periodo.
999 = 3J =» 3 cifras en el periodo.
999999 = 13 => 6 cifras en el periodo.
9999 =101 => 4 cifras en el periodo
Luego, la cantidad de cifras del periodo es : m.c.m (2 ; 3 ; 6 ; 4) = 12
Por lo tanto, origina lina expresión decim al:
Inexacta periódica mixta con 4
cifras en la parte no periódica
v 12 cifras en el período. RPTA d
1 1 .-¿ Cuál es el período impropio que resulta duplicado, s i se resta a sus dos términos, la 
mitad de su num erador?
A) 9/5 B ) 5/2 C) 7/2 0)372 E ) 5/3
Resolución.-
Sea el quebrado : f - °b
Nlimeros Fraccionarios 309
° " 2 f u 'Por dalo : ̂ =2
b - f U j
2a - a
=> 2— = 2 2 
2b-o2
n 2a
2b-a ¿ 
1 2
2b - a b
b = 1 b - 2a 
2a = '3b
a = 3 
b 2
f = - RPTA. D
2
72.- E l denominador excede a l numerador de una fracción en la unidad. S i a l denominador 
se fe agrega 4 unidades, e l resultado es 2 unidades menos que e l triple de la fracción 
original. ¿C uál es el numerador de la fracción orig inal?
A) 3 B )4 C) 5 D) 6 E ) 7
Resolución.-
aLa fracción será: f =
Por dato : — -— = 3
a + 1 + 1
a+ l
\
-2
ka +1
Dando común denominador o _ 3a-2(a+ I) a + 5 a+ l
a u - 2
a +5 a+ l
Efectuando operaciones: a = 5 RITA. C
13.- Hallar una fracción equivalente a 2/5 tal que el producto de sus térm inos sea igual a 
640. Dar la suma de sus términos
A ) 448 B ) 312 C) 112 D) 56 E ) 128
310 Problemas de Aritmética > como resolverlos Hernán Flores Velozco
Resolución.-
Sea f = a b la fracción equivalente a 2'5. <7
b
2
5
a = 2k 
6 = 5*
C )
Por dato: 
De (*) : 
Efectuando
a b =640 
(2k) (5*) = 640 
k = 8 (*•)
Entonces al reemplazar (•*) en (*), se tendrá : a = 2(8) = 16
b = 5(8) = 10
a + b = 56 RITA D
14.- La fracción equivalente a 5/7, cuya diferencia de térm inos es 20, es representada por 
m/n; la fracción equivalente a 5/7, cuya suma de sus términos es 48 la representa­
mos por p/q. Entonces m + q es :
B )48 C) 82 D) 78
m 5 
n < > 7
A) 40
Resolución.-
m n es la fracción equivalente a 5/7, cuya diferencia de términos es 20.
> rn = 5a a n = 7u 
Para que la diferencia de. m y n sea 20 : a = 10
Entonces: m = 50 a n — 70
p q es la fracción equivalente a 5 7, cuya suma de términos es 48
=$ p - 5b a q - Ibi
Para que la suma de p y q sea 48 :
Entonces : p = 20
E ) 72
P 5 
Q <> 7
b =4
q = 28
rn + q = 78 RPTA. D
15.- Hallar una fracción equivalente a 693/945 tal que la suma de sus térm inos sea 
divisible entre 22 y sus térm inos, los menores enteros positivos posibles.
A) 88/154
Resolución.-
B ) 110/144 C) 121/165 D) 143/165 E) 121/143
Sea: f = u/b la fracción equivalente a 693/945 :
o 693 11
b < > 915 < 15 0 = 1 1 / ¡ a b - 15/f
A limeros F faccionarios 311
11 k + 15 b = 22 
26 k = 2 2 
=> k = I I
Para que la fracción tenga como términos a los menores enteros positivos posibles, k = 11 :
f= = — RPTA. C15(11) 165
16.-¿Cuántas fracciones con términos, numerador y denominador de tres y cuatro cifras 
respectivam ente se reducen a 7/11?
A) 40 ¡3)50 C) 51 D) 52 E ) 53
Resolución -
Sea : í = a i> la fracción que se reduce a 7/11 
ú 7
. < > ,. => a = 7 k a b = I \ kb 11
Como "a" es un numero de 3 cifras : 100 < a < 999
100 < 7 k < 999
I4,3< k< 142,7 (1)
Corno "b" es un número de 4 cifras ; 1000 < b < 9999
1000 < !!/?< 9999 
90,9 < k < 909 ... (2)
De (1) y (2) ■ 90,9 S k 112,7
Entonces: k e (91 ; 92 ; 93 ; . . . , 142}
Luego "k" puede tomar : 142 - 90 = 52 valores
Existen 52 fracciones RPTA. D
17.- La suma de ias fracciones irreductibles es 2 y la suma de sus numeradores es 30 
¿Cuántos pares de fracciones irreductibles de este tipo existen?
A ) 5 B ) 6 C) 7 D) 8 E ) 9
Resolución--
• o cSea un par de fracciones irreductibles: f = a f =
1 b ¿ d
Por dato . a + b = 22
Por datos : A,+A¿ + = 2 a o + c = 30
312 Problemas de Aritmética v como resolverlos Hernán Flores