MODULO_VII_eletromagnetismo_final

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FFFÍÍÍSSSIIICCCAAA     III III III    
 
 
 
Paulo Henrique Ribeiro Barbosa 
Francisco Ferreira Barbosa Filho 
Departamento de Física 
Universidade Federal do Piauí 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fevereiro de 2010 
 
   
  2 
 
PRESIDENTE DA REPÚBLICA 
MINISTRO DA EDUCAÇÃO 
GOVERNADOR DO ESTADO 
REITOR DA UNIVERSIDADE FEDERAL DO PIAUÍ 
SECRETÁRIO DE EDUCAÇÃO À DISTÂNCIA DO MEC 
COORDENADORIA GERAL DA UNIVERSIDADE ABERTA DO BRASIL 
SECRETÁRIO DE EDUCAÇÃO DO ESTADO DO PIAUÍ 
COORDENADOR GERAL DO CENTRO DE DUCAÇÃO ABERTA À DISTÂNCIA 
DA UFPI 
SUPERITENDENTE DE EDUCAÇÃO SUPERIOR NO ESTADO 
DIRETOR DO CENTRO DE CIÊNCIAS DA NATUREZA 
COORDENADOR DO CURSO DE FÍSICA 
COORDENADORA DE MATERIAL DIDÁTICO DO CEAD/UFPI 
DIAGRAMAÇÃO 
 
 
FICHA CATALOGRÁFICA 
Serviço de Processamento Técnico da Universidade Federal do Piauí 
Biblioteca Comunitária Jornalista Carlos Castello Branco 
 
 
   
 
 B238f Barbosa, Paulo Henrique Ribeiro 
 Barbosa Filho, Francisco Ferreira. 
 Física III /Paulo Henrique Ribeiro Barbosa 
 Francisco Ferreira Barbosa Filho. – Teresina : CEAD/UFPI, 2010. 
 200 p. 
 
 1. Física. 2. Física – Eletromagnetismo. I. Título. 
 CDD 530 
  3 
 
 
 
Este  texto  é  destinado  aos  estudantes  que  participam  do 
programa  de  Educação  à  Distância  da  Universidade  Aberta  do  Piauí 
(UAPI)  vinculada  ao  consórcio  formado  pela  Universidade  Federal  do 
Piauí (UFPI), Universidade Estadual do Piauí (UESPI) e Centro Federal de 
Educação Tecnológica (CEFET – PI), com apoio do Governo do Estado do 
Piauí, através da Secretaria de Educação. 
O  texto  é  composto  de  duas  unidades,  constituídas  de  cinco 
capítulos  cada  uma.  Nos  cinco  capítulos  iniciais  (primeira  unidade), 
iremos  tratar  da  eletrostática,  e  nos  cinco  capítulos  finais  (segunda 
unidade)  trataremos  de  correntes  elétricas,  circuitos  elétricos,  campo 
magnético, lei de Ampère e Lei de Faraday. 
A  bibliografia  para  leitura  complementar  é  indicada  ao  final  de 
cada  unidade,  bem  como  exercícios  resolvidos  e  exercícios  visando 
avaliar o entendimento do  leitor serão apresentados ao  longo do texto 
de cada unidade. 
   
Apresentação 
  4 
Sumário Geral 
 
 
UNIDADE I  
 
1. A LEI DE COULOMB 
1.1  Introdução  10 
1.2  A carga elétrica  11 
1.3  Condutores, Isolantes e Cargas induzidas  13 
1.4  Processos de Eletrização  14 
1.5  Lei de Coulomb  16 
1.6  Problemas Resolvidos  16 
1.7  Problemas Propostos  21 
1.8  Referências bibliográficas  23 
1.9  Web‐bibliografia  23 
 
2 O CAMPO ELÉTRICO 
2.1  Introdução  26 
2.2  Ação à Distância e o Campo Elétrico  26 
2.3  Dipolo Elétrico  28 
2.4  Linhas de Campo Elétrico  29 
2.5  Carga Elétrica na Presença de um campo Elétrico  31 
2.6  Dipolo Elétrico Sob Ação de um Campo elétrico Externo  32 
2.7  Problemas Resolvidos  33 
2.8  Problemas Propostos  35 
  Referências bibliográficas  37 
  Web‐bibliografia  37 
 
3 LEI DE GAUSS 
3.1  O Fluxo de Campo Vetorial  40 
3.2  O Fluxo do Campo Elétrico ܧሬሬሬԦ e a Lei de Gauss  42 
3.3  Aplicações da Lei de Gauss  44 
  5 
3.4  Usando  a  Lei  de Gauss  para Discutir  o  Campo  Elétrico  em 
Condutores 
 
49 
3.5  Problemas  Propostos  51 
  Referências bibliográficas  54 
  Web‐bibliografia  54 
 
4 POTENCIAL ELÉTRICO 
4.1  Definindo Capacitor  57 
4.2  Energia Armazenada em um Capacitor  57 
4.3  Associação de Capacitores  62 
4.4  Capacitores com Dielétricos  64 
4.5  Potencial de um dipolo dielétrico  65 
4.6  Potencial de uma linha de carga  66 
4.7  Diferença  de  potencial  elétrico  entre  as  placas  de  um 
capacitor 
 
67 
4.8  O cálculo do campo elétrico a partir do potencial elétrico  68 
4.9  Superfícies equipotenciais  69 
4.5  Problemas Propostos  71 
4.6  Referências bibliográficas  72 
4.7  Web‐bibliografia  73 
 
5 CAPACITORES E DIELÉTRICOS 
 
5.1  Definindo Capacitor  75 
5.2  Energia Armazenada em um Capacitor  78 
5.3  Associação de Capacitores  81 
5.4  Capacitores com Dielétricos  84 
4.5  Problemas Propostos  85 
4.6  Referências bibliográficas  87 
4.7  Web‐bibliografia  87 
 
 
 
 
  6 
UNIDADE II 
 
6 CORRENTE E RESISTÊNCIA ELÉTRICA 
6.1  A corrente elétrica  90 
6.2  Corrente e velocidade de deriva  92 
6.3  Densidade  de  corrente,  lei  de  Ohm,  condutividade, 
resistência e resistividade 
 
96 
6.4  Resistência e temperatura  102
6.5  Avanços na área: supercondutividade  104
6.6  Potencia elétrica  105
  Questões  109
  Problemas  110
  Bibliografia  111
 
7 CIRCUITOS ELÉTRICOS 
7.1  Elementos e diagramas de circuitos  115
7.2  Força eletromotriz  117
7.3  Associação de resistores  119
7.3.1  Resistores em série  119
7.3.2  Resistores em paralelo  120
7.4  Leis de Kirchoff e circuito básico  122
7.5  Circuitos RC  129
  Questões  136
  Problemas  137
  Bibliografia  139
 
8 O CAMPO MAGNÉTICO 
8.1  Magnetismo  142
8.2  O campo magnético e suas fontes  145
8.3  Movimento  de  uma  partícula  carregada  em  um  campo 
magnético 
 
148
8.4  Aplicações envolvendo movimento de partículas carregadas 
na presença de campo magnético 
 
150
8.5  A  força  magnética  agindo  sobre  um  condutor  portando   
  7 
corrente elétrica  152
8.6  Torque  157
  Questões  161
  Problemas  163
  Bibliografia  165
 
9 A LEI DE AMPÈRE 
 
9.1  Lei de Biot – Savart  168
9.2  Lei de Ampère  173
9.3  A lei de Ampère e os solenóides  176
  Questões  178
  Problemas  179
  Bibliografia  181
 
10 A LEI DE FARADAY 
9.1  Introdução  185
9.2  O fluxo magnético  185
9.3  A lei de Lenz  188
  Questões  194
  Problemas  196
  Bibliografia  200
   
  8 
 
UNIDADE 1 
 
 
A LEI DE COULOMB 
 
 
 
 
Resumo 
 
Nesta  unidade  iremos  discutir  os  fenômenos  elétricos  numa  visão 
eletrostática,  onde  idealizamos  as  cargas  em  repouso.  Começaremos 
discutindo a natureza da carga elétrica, sua conservação a quantização e 
os  processos  de  eletrização.  Em  um  ponto  culminante  da  unidade 
veremos como calcular a força elétrica estática entre cargas distribuídas 
discretamente a partir da lei de Coulomb.   
 
 
 
 
 
 
 
 
   
  9 
 
Sumário 
UNIDADE 1: Lei de Coulomb 
Paulo Henrique Ribeiro Barbosa 
1.1  Introdução  10 
1.2  A carga elétrica  11 
1.3  Condutores, Isolantes e Cargas induzidas  13 
1.4  Processos de Eletrização  14 
1.5  Lei de Coulomb  16 
1.6  Problemas Resolvidos  16 
1.7  Problemas Propostos  21 
1.8  Referências bibliográficas  23 
1.9  Web‐bibliografia  23 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
   
  10 
1.1 ‐ Introdução 
     O  fenômeno  eletromagnético  está  associado  a  uma  propriedade 
fundamental  das  partículas,  chamada  “carga  elétrica”.  Entretanto, 
diferentemente  da  massa  de  um  corpo  que  somente  pode  exercer 
atração gravitacional sobre outra massa, as cargas podem exercer tanto 
atração quanto  repulsão umas  sobre outras, através de uma  interação 
denominada  de  eletromagnética.  Das  quatro  interações  até  então 
conhecidas,  podemos  dizer  que  a  interação  eletromagnética  é  a mais 
importante, pois está presente desde a escala microscópica até a escala 
macroscópica.  No  momento  iremos  tratar  apenas  de  eventos  que 
ocorrem  na  escala  macroscópica,pois  a  descrição  do  fenômeno 
eletromagnético em escala microscópica demandaria conhecimentos de 
mecânica quântica. Ocasionalmente poderemos  fazer uma  abordagem 
microscópica de um sistema, mas numa visão clássica.  
        Ações  comuns  como  o  acionamento  do  interruptor  de  uma 
lâmpada,  o  apertar  de  uma  tecla  de  um  computador  ou  o  simples 
acionamento  de  um  controle  remoto  para  ligar  uma  TV  ou  abrir  um 
portão,  envolvem  aplicações  de  fenômenos  eletromagnéticos.  Ao 
acionar o  interruptor de uma  lâmpada, por exemplo, estabelecemos ou 
interrompemos a passagem de uma corrente elétrica através de um fio, 
onde presenciamos concomitantemente efeitos elétricos e magnéticos. 
Até  o  fim  do  século  XVIII  os  fenômenos  elétricos  e magnéticos  eram 
tratados como mera curiosidade e completamente descorrelacionados. 
Esta visão deixou de existir com a verificação experimental, no início do 
século XIX, de que  correntes elétricas originam  campos magnéticos. A 
descoberta de Faraday da indução magnética, onde campos magnéticos 
variáveis produzem campos elétricos demonstrou mais uma vez que os 
fenômenos elétricos e magnéticos  são  facetas diferentes de um único 
fenômeno,  o  eletromagnetismo.  Com  a  reestruturação  do  estudo  do 
eletromagnetismo por Maxwell, e a reformulação da lei de Ampère com 
a  inclusão da corrente de deslocamento pela  invocação de argumentos 
de  simetria,  foi  possível  prever  a  geração  de  ondas  eletromagnéticas, 
posteriormente comprovadas por Hertz.  
  11 
       Apresentaremos aqui as bases do eletromagnetismo seguindo uma 
seqüência  que  coincide  com  a  construção  cronológica  do 
eletromagnetismo.  Neste  primeiro  capítulo,  e  nos  próximos  três 
capítulos,  iremos  discutir  os  fenômenos  elétricos  do  ponto  de  vista 
eletrostático,  onde  idealizamos  as  cargas  em  repouso.  Começaremos 
discutindo  a  natureza  da  carga  elétrica,  sua  conservação,  sua 
quantização,  e  os  processos  de  eletrização.  Ainda  neste  capítulo 
veremos  como  calcular  a  força  elétrica  entre  cargas  a partir da  lei de 
Coulomb. 
1.2 – Carga Elétrica 
         Primeiramente  devemos  fazer  algumas  considerações  de  caráter 
microscópico. A matéria é formada de pequenas partículas, os átomos. 
Cada átomo, por sua vez, é constituído de partículas ainda menores, os 
prótons, os elétrons e os nêutrons. Os prótons e os nêutrons localizam‐
se na parte central do átomo, e formam o núcleo. Os elétrons giram em 
torno  do  núcleo  na  região  denominada  eletrosfera.  Os  prótons  e  os 
elétrons  apresentam  uma  importante  propriedade  física,  a  carga 
elétrica.  A  carga  elétrica  do  próton  e  a  do  elétron  tem  a  mesma 
intensidade, mas sinais contrários. A carga do próton é, por convenção, 
positiva  e  a  do  elétron,  negativa.  Num  átomo  neutro  não  existe 
predominância  de  cargas  elétricas;  o  número  de  prótons  é  igual  ao 
número  de  elétrons.  O  átomo  é  um  sistema  eletricamente  neutro. 
Entretanto quando ele perde ou ganha elétrons, fica eletrizado. O átomo 
está eletrizado positivamente quando tem mais prótons que elétrons e 
negativamente  quando  tem  mais  elétrons  que  prótons.  A  carga  do 
elétron  é  a menor  quantidade  de  carga  elétrica  estável  existente  na 
natureza,  sendo  por  isso  tomada  como  carga  padrão  nas medidas  de 
carga  elétricas.   No  Sistema  Internacional  de Unidades,  a  unidade  de 
medida de carga elétrica é o coulomb (C). 
A carga do elétron, quando tomada em módulo, é chamada de carga 
elementar e é representada por e,com valor absoluto de 1,6.10 ‐ 19 C. 
• carga do elétron:  ‐ 1,6.10 ‐ 19 C 
• carga do próton:  + 1,6.10 ‐ 19 C 
  12 
        Do  ponto  de  vista macroscópico,  uma  forma  de  construirmos  um 
conceito  acerca  de  carga  elétrica  consiste  em  realizar  um  pequeno 
número de experimentos, descritos abaixo. Considere (ver Fig. 1.1a) dois 
bastões  de  plástico  e  esfregue  um  pedaço  de  camurça  em  cada  um 
deles. Ao tentar aproximar os bastões constatar‐se‐á uma repulsão  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
entre os mesmos. Ao repetir o mesmo experimento usando dois bastões 
de vidro e um pedaço de seda verificará, também, uma repulsão entre 
os bastões de vidro  (Fig.1.1b). Entretanto, ao aproximar um bastão de 
plástico esfregado com camurça de um bastão de vidro esfregado com 
seda verifica‐se uma atração entre os mesmos  (Fig.1.1c). Experimentos 
dessa  natureza  revelam  que  existem  dois  tipos  de  cargas  elétricas:  o 
tipo  de  carga  elétrica  acumulada  no  bastão  de  plástico  e  na  seda 
(convencionada  de  carga  negativa)  e  o  tipo  de  carga  acumulada  no 
bastão de vidro e na camurça (carga positiva). Conclusão: 
                                “Cargas elétricas de mesmo sinal se repelem, 
enquanto     
                      cargas elétricas de sinais opostos se atraem”. 
  Há dois princípios  importantes acerca das cargas elétricas. Para 
apresentar o primeiro princípio consideremos a eletrização do bastão de 
 
Figura  1.1:  (a)  Eletrização  de  bastões  de  plástico  com  camurça.  (b) 
Eletrização  de  bastões  de  vidro  com  lã.  (c) Atração  entre  bastões  de 
plástico e de vidro
  13 
plástico com camurça. Inicialmente estes corpos estão descarregados, e 
depois  de  atritados  ficam  carregados.  O  primeiro  princípio,  da 
“conservação da carga elétrica”, afirma que: 
A soma algébrica de todas as cargas elétricas antes da eletrização é 
igual a soma das cargas depois da eletrização. 
  Assim, em qualquer processo de eletrização no qual um corpo é 
carregado,  a  carga  elétrica  não  é  nem  criada  nem  destruída,  mas 
meramente  transferida  de  um  corpo  a  outro.    O  segundo  princípio 
importante acerca da carga é o que diz respeito à sua quantização: 
O módulo da carga elétrica do elétron ou do próton é uma unidade de 
carga natural “e”. 
Qualquer  quantidade  de  carga  elétrica  observada  é  sempre  um 
múltiplo  inteiro  dessa  unidade  básica,  caracterizando  assim  a 
quantização  da  carga.  Entretanto,  existem  fortes  evidências  de  que  o 
próton  não  seja  uma  partícula  elementar,  e  de  que  o  mesmo  seja 
formado de três partículas menores denominadas de quarks, sendo dois 
com carga +2e/3 e um com carga –e/3. Entretanto, como os quarks não 
são  encontrados  livres  na  natureza  fica  valendo  a  carga  do  elétron 
como a unidade fundamental. 
1.3 Condutores, Isolantes e Cargas induzidas 
  Alguns materiais  permitem  a migração  de  cargas  elétricas  de 
uma  região para outra, enquanto outros  impedem esta movimentação 
de cargas dentro do material e entre materiais. Grosso modo podemos 
classificar os materiais quanto à mobilidade das cargas elétricas em: 
• Condutores elétricos  
              Meios materiais  nos  quais  as  cargas  elétricas movimentam‐se 
com  facilidade. Pertencem a esta  categoria os metais,  como ouro, 
cobre,  alumínio  e  outros.  Estes  elétrons  que  podem  se mover  ao 
longo  do  material  geralmente  são  os  periféricos  e  que  estão 
fracamente  presos  aos  núcleos  de  seus  átomos.  Quando  uma 
quantidade de carga é colocada no  interior de um condutor esta se 
distribuirá por toda a sua superfície. 
• Isolantes elétricos ou dielétricos 
  14 
  Meios materiais nos quais as cargas elétricas não têm facilidade 
de  movimentação.  A  borracha,  vidro  etc.  Ao  contrário  dos 
condutores  seus  elétrons  estão  fortemente  ligados  aos  seus 
respectivos núcleos. Ao colocarmos uma quantidade de carga nestes 
materiaisisolantes  a  carga  não  se  espalha  por  todo  o  material, 
permanecendo localizada na região em que foi colocada.  
Existem  ainda  os  semicondutores,  que  são materiais  de  propriedades 
intermediárias entre os isolantes e condutores.  
1.4 ‐ Processos de Eletrização 
Um  material  pode  ser  eletrizado  através  de  dois  processos:  (a) 
Eletrização  por  atrito,  ocorre  quando  materiais  não  condutores  são 
atritados uns contra os outros. Nesse processo, um dos materiais perde 
elétrons e outra ganha, de modo que um tipo de material fica positivo e 
outro fica negativo. Uma experiência típica e simples consiste em atritar 
a  lã no vidro, como mostrado na Figura 1.2. A comprovação de que ele 
ficou carregado é obtida atraindo‐se pequenas partículas, por exemplo, 
de pó de giz. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
(b) A Eletrização por indução se dá geralmente entre um corpo 
carregado e um descarregado (geralmente um condutor). A figura 1.3 
ilustra as etapas essenciais do processo de eletrização por indução. Na 
ilustração, tem‐se inicialmente (Fig.1.3a) uma esfera condutora 
descarregada e isolada por um suporte não condutor. A aproximação do 
corpo negativamente carregado atrai as cargas positivas da esfera  
 
Figura 1.2: Após serem eletrizadas por atrito vidro e lã se atraem. 
  15 
eletricamente neutra (Fig.1.3b). A extremidade próxima ao corpo 
carregado fica positiva, enquanto a extremidade oposta fica negativa. 
Mantendo‐se o corpo carregado próximo, liga‐se o corpo eletricamente 
neutro a terra (Fig.1.3c). Elétrons descerão pra terra. Cortando‐se a 
ligação com terra (Fig.1.3d), obtém‐se um corpo positivamente 
carregado (Fig.1.3e).  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
O  processo  de  carregamento  de  um  corpo  por  indução  funcionaria 
igualmente bem se as cargas móveis sobre a esfera fossem positivas em 
vez de negativos, ou ate mesmos se existissem simultaneamente cargas 
móveis  positivas  e  negativas.  Em  um  condutor  as  cargas móveis  são 
sempre elétrons. 
É bom observar que um corpo carregado pode exercer força de atração 
sobre objetos descarregados  (neutros). O  exemplo  ilustrado na  Figura 
1.3 é uma demonstração desse fato. Entretanto, a atração pode ocorrer 
entre  um  corpo  carregado  e  um  isolante,  onde  as  cargas  negativas  e 
positivas  do  isolante  neutro  ficam  ligeiramente  separadas 
espacialmente. Este caso pode ser observado quando aproximamos um 
pente eletrizado de pequenos pedaços de papel.   
 
 
 
Figura 1.3: Etapas do processo de eletrização por indução 
  16 
 
1.5 – Lei de Coulomb 
As  principais  interações  entre  partículas  devem‐se  à  sua  massa 
(interação  gravitacional)  e  a  sua  carga  (interação  elétrica). Motivado 
pelos estudos de Cavendish da interação gravitacional, Charles Augustin 
Coulomb  (1736‐1806)  estudou  a  força  de  interação  entre  partículas 
carregadas.  Podemos  dizer  que  dois  corpos  eletrizados  estacionários 
exercem predominantemente uma força elétrica entre si, uma vez que a 
interação  gravitacional  é  desprezível  em  comparação  a  primeira.  A 
eletrostática é a área do eletromagnetismo que aborda interações entre 
cargas  estacionárias  ou  quase  estacionárias.  Coulomb  descobriu, 
experimentalmente, que o módulo da  força elétrica entre duas  cargas 
puntiformes q1 e q2, separadas por uma distância r, é dada por: 
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௥మ
   (lei de Coulomb)                      (1.1) 
onde  k  é  a  constante  elétrica  e  tem  o  seguinte  valor  no  Sistema 
Internacional:  ݇ ൌ ଵ
ସగఌబ
ൌ 8,988ݔ10ଽܰ.݉ଶ/ܥଶ.  A  constante  ε0 
(=8,854x10‐12C2/N.m2) é a permissividade do vácuo. 
Podemos  expressar  a  Eq.1‐1  na  forma  vetorial  usando  a  Figura  1.4a, 
onde as cargas q1 e q2 de mesmo sinal são ligadas pelo vetor posição ݎԦଵଶ, 
que tem origem em q2 e extremidade em q1. O sentido da força ܨԦଵଶ, que 
a  partícula  1  sofre  devido  a  carga  da  partícula  2,  aponta  no mesmo 
sentido  do  vetor  ݎԦଵଶ  depende  do  sinal  de  suas  cargas.  Podemos 
representar a força como 
ܨԦଵଶ ൌ
ଵ
ସగఌ
௤భ௤మ
௥భమమ
̂ݎଵଶ                                                        (1.2) 
Da mesma  forma  a  força  ݎԦଶଵ,  que  a  partícula  1  exerce  na  partícula  2 
aponta  no  sentido  oposto  (ܨԦଵଶ ൌ െܨԦଶଵ). A  Figura  1.4b  esquematiza  o 
caso em que as cargas têm sinais opostos. Consideremos agora a carga 
pontual  q1  interagindo  com  um  conjunto  de  N  cargas  pontuais  qi  (i= 
2,3,...,N). Cada  
uma  das  cargas  qi  exercem  uma  força  ܨԦଵ௜   sobre  a  carga  q1.  Pode‐se 
representar a força total sofrida pela partícula 1 como 
 
ܨԦଵ ൌ ܨԦଵଶ ൅ ܨԦଵଷ ൅ ڮ൅ ܨԦଵே ൌ ∑ ܨԦଵ௜ே௜ୀଶ                                 (1.3) 
  17 
 
Figura 1.4 (a) Força entre cargas de mesmo sinal. (b) Força entre 
cargas 
 
Figura 1.5: Átomo de hidrogênio 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
onde a força ܨԦଵ௜  é a força que a i‐ésima carga exerce sobre a partícula 1. 
No  próximo  capítulo  descreveremos  como  calcular  a  força  elétrica  de 
uma distribuição  contínua de  cargas  sobre uma  carga pontual,  após  a 
introdução do conceito de campo elétrico. 
 
1.6 – Problemas Resolvidos 
Exemplo 1.1 – Para se ter uma idéia da ordem de grandeza da interação 
eletrostática  comparativamente  à  força  gravitacional  entre  duas 
partículas de cargas q1 e q2, com respectivas massas m1 e m2, considere 
o átomo de hidrogênio cuja separação média entre o elétron e o próton 
é de 5,3x10‐11m. Calcule a  razão entre a  sua 
interação  elétrica  e  a  sua  interação 
gravitacional. 
Solução:  Um  esquema  do  átomo  de 
hidrogênio  seguindo  o  modelo  de  Bohr  é 
apresentado  na  Figura  1.5.  Sabendo  que  o 
valor da  carga elementar e = 1,602x10‐19C e 
as massas  do  elétron, me  =  9,1x10‐31kg  e  a 
massa do próton mp =1 ,6x10‐27kg podemos 
 
 
  18 
Calcular o módulo da  forças elétricas, Fe, e da gravitacional, Fg. Assim, 
como ܨ௘ ൌ
ଵ
ସగఌ
௘మ
௥మ
 e ܨ௚ ൌ ܩ
௠೐௠೛
௥మ
, sua razão é: 
ி೐
ி೒
ൌ ଵ
ସగఌబீ
௘మ
௠೐ ௠೛
ൌ
ଽ,଴௫ଵ଴వே.௠మ/஼మ
଺,଺଻௫ଵ଴షభభே.௠మ/௞௚మ
ሺଷ,ଶ௫ଵ଴షభవ஼ሻమ
ሺଽ,ଵ௫ଵ଴షలభ௞௚ሻ௫ሺଵ,଺௫ଵ଴షమళ௞௚ሻ
ൌ 2,3ݔ10ଷଽ. 
Isto mostra que na escala microscópica a  interação gravitacional pode 
ser  ignorada.  Outra  diferença  entre  estas  duas  interações  é  que 
enquanto a força gravitacional é somente atrativa, a força elétrica pode 
ser atrativa ou repulsiva. 
 
Caso Especial: As semelhanças entre a interação gravitacional e  
a eletrostático é muito grande. No caso gravitacional, estabeleceram‐se 
duas propriedades da  força exercida por uma  casca esférica de massa 
específica  uniforme  sobre  uma massa  pontual:  (a)  a  força  sobre  uma 
partícula  dentro  desta  casca  esférica  é  zero  e  (2)  a  força  sobre  uma 
partícula  externa  é  a mesma  como  se  toda  a massa da  casca  esférica 
estivesse  concentrada em  seu  centro. Vamos  importar estes  teoremas  
da interação gravitação sem prová‐los, por enquanto, e estender ao caso 
de uma casca esférica com distribuição uniforme de cargas: 
Uma casca esférica uniformemente carregada não aplica nenhuma 
força  eletrostática  sobre  uma  carga  pontual  posicionada  em 
qualquer ponto no seu interior 
   
Uma  casca  esférica  uniformemente  carregada  aplica  uma  força 
eletrostática  sobre  uma  carga  pontual  do  lado  de  fora  da  casca 
como se todas as cargas da casca estivessem concentradas em uma 
carga pontual no seu centro 
 
Usaremos este resultado para calcular a força entre uma esfera de carga 
com distribuição uniforme e uma carga pontual situada tantoem pontos 
internos  quanto  externos  à  esfera.  Podemos  estender  o  primeiro 
teorema a uma distribuição não‐uniforme de  cargas na  superfície de 
uma esfera? Qual é o campo elétrico no  interior de condutores? Nos 
próximos  capítulos  (campo  elétrico  e  lei  de Gauss)  discutiremos  estas 
questões com mais detalhes. 
  19 
Exemplo 1.2 – Duas cargas puntiformes positivas, Q1 e Q2 de módulos 
iguais a q,  são colocadas ao  longo do eixo y nas posições y=‐a e y=+a. 
Considere  uma  terceira  carga  positiva, Q3=q,  posicionada  ao  longo  do 
eixo  x  na  posição  x.  (a)  Calcule  o módulo  da  força  resultante  sobre  a 
carga Q3.  (b)  Encontre  a  posição  ao  longo  do  eixo  x  em  que  a  força 
resultante é máxima. 
Solução:  (a)  O  problema  está  esquematizado  na  Figura  1.6. 
Considerando a simetria do  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
problema  decorrente  do  arranjo  geométrico  (cargas  eqüidistantes  em 
relação ao eixo  x) e o  fato de que as  cargas  têm o mesmo módulo q, 
vemos que a força resultante aponta ao longo do eixo x. Assim, 
 
ܨ ൌ ܨଵ cos ߠ ൅ ܨଶ cos ߠ
ൌ
1
4ߨߝ଴
ݍଶ
ሺݔଶ ൅ ܽଶሻ
ݔ
ሺݔଶ ൅ ܽଶሻ
ଵ
ଶ
൅
1
4ߨߝ଴
ݍଶ
ሺݔଶ ൅ ܽଶሻ
ݔ
ሺݔଶ ൅ ܽଶሻ
ଵ
ଶ
 
 
ܨ ൌ ௤
మ
ଶగఌబ
௫
ሺ௫మା௔మሻయ/మ
,  
 
onde usamos o fato de que cos ߠ ൌ ݔ/ሺݔଶ ൅ ܽଶሻଵ/ଶ . 
(b)  Para  encontrarmos  o  ponto  em  que  a  força  resultante  atinge  um 
máximo ao  longo do eixo  x derivamos a expressão da  força obtida no 
item (a) e igualamos a derivada à zero, o valor de x encontrado é o que 
 
Figura 1.6: Ação das cargas Q1 e Q2 sobre Q3. 
  20 
 
Figura1.7: (a) Calculo da força para uma carga q0 no interior da 
esfera de raio R. (b) Força entre a carga q0 e a esfera para 
pontos no exterior. 
maximiza  a  força  desde  que  a  segunda  derivada  seja  negativa  neste 
ponto:  
ௗி
ௗ௫
ൌ ௤
మ
ଶగఌబ
ሺ௔మିଶ௫మሻ
ሺ௔మା௫మሻఱ/మ
ൌ 0, leva a ݔ ൌ േ௔
ଶ
. Para verificarmos que este valor 
maximiza a força calculemos a segunda derivada: ௗ
మி
ௗ௫మ
ൌ ௤
మ
ଶగఌబ
ሺ଺௫యିଽ௔మ௫ሻ
ሺ௔మା௫మሻళ/మ
, 
substituindo x=a/2 constata‐se que ௗ
మி
ௗ௫మ
൏ 0 e portanto a força atinge o 
máximo em x=±a/2. 
 
Exemplo  1.3  –  Calcule  a  força  de  interação  entre  uma  esfera maciça 
uniformemente carregada com densidade volumétrica ρ(carga total Q) e 
uma carga pontual q0 situada em um ponto (a) no interior da esfera e (b) 
no seu exterior. 
Solução: Para resolver este problema vamos usar o fato de que o campo 
no  interior de uma casca esférica uniforme de cargas não exerce  força 
sobre  cargas  no  seu  interior  e  quando  a  carga  está  no  seu  exterior  a 
esfera  de  carga  uniforme  pode  ser  tratada  como  uma  carga  pontual. 
Sendo assim, para um ponto  interno à esfera de  raio R  (Figura 1.7(a)), 
podemos  considerar  que  toda  a  carga  q’  na  esfera  de  raio  r  está 
concentrada no seu centro. Os valores da carga total Q e da carga q’ são: 
ܳ ൌ ߩ ସ
ଷ
ߨܴଷ e ݍᇱ ൌ  ߩ ସ
ଷ
ߨݎଷ.  
Dessa  forma  temos  ݍᇱ ൌ ܳሺ௥
ோ
ሻଷ.  Aplicando  a  lei  de  Coulomb  temos  o 
módulo da forçaܨ ൌ ଵ
ସగఌబ
௤ᇱ௤బ
௥మ
. Substituindo q’ temos ܨ ൌ ଵ
ସగఌబ
ொ௤బ
ோయ
ݎ.  (b) 
  21 
Para r>R (Fig. 1.7(b)) a carga se comporta com estivesse concentrada no 
centro da esfera: ܨ ൌ ଵ
ସగఌబ
ொ௤బ
௥మ
. 
 
1.7 – Problemas Propostos  
Problema  1.1  ‐  Duas  partículas  igualmente  carregadas,  com  um 
afastamento de 3x10‐3 m entre elas, são  largadas a partir do  repouso. 
As  partículas  têm  massas  iguais  a  7,0x10‐7  kg  e  5,4x10‐7  kg,  e  a 
aceleração  inicial da primeira partícula é de 700 m/s2. Quais são:  (a) a 
aceleração da segunda partícula? (b) O módulo da carga comum? 
R.: 900 m/s2; 7x10‐10 C. 
Problema 1.2  ‐ Duas  cargas pontuais  livres, +q e  +9q, estão  afastadas 
por  uma  distância  d. Uma  terceira  carga  é  colocada  de  tal modo  que 
todo o sistema fica em equilíbrio. (a) Determine a posição, o módulo e o 
sinal da terceira carga. (b) Mostre que o equilíbrio é instável. 
R.: Carga –9q/16, colocada entre as cargas +q e +9q, a uma distância d/4 
a partir da carga +q. 
Problema  1.3  ‐  Cargas  iguais  a  +Q  são  colocadas  nos  vértices  de  um 
triângulo eqüilátero de  lado L. Determine a posição, o módulo e o sinal 
de uma carga colocada no interior do triângulo, de modo que o sistema 
fique em equilíbrio. 
R.: Carga ݍ ൌ െ ொ
√ଷ
 colocada na bissetriz, a uma distância ܮ/√3a partir 
do vértice. 
Problema 1.4 ‐ Uma carga Q igual a 2x10‐19 C é dividida em duas, (Q‐q) 
e  q,  de  modo  que  a  repulsão  coulombiana  seja  máxima.  Calcule  a 
distância que uma  carga deve  ficar da outra, para que esta  força  seja 
igual 9x10‐9 N. 
R.: 1Å 
 
Problema 1.5  ‐ Duas cargas pontuais  idênticas, de massa m e carga q, 
estão  suspensas por  fios não condutores de comprimento L, conforme 
ilustra a figura 1.8. Considerando o ângulo q tão pequeno de modo que 
seja válida a aproximação tan ߠ ൎ sin ߠ, mostre que 
  22 
 
Figura 1.9 
࢞ ൌ ሺ ࢗ
૛ࡸ
૛࣊ࢿ૙࢓ࢍ
ሻ૚/૜, 
onde x é a separação entre as bolas. (b) Se L=122 cm, m=11,2 g e x=4,70 
cm, qual o valor de q? 
 
 
 
 
 
 
 
Problema  1.5  –  Cinco  cargas  Q  estão  igualmente  espaçadas  em  um 
semicírculo de raio R como mostrado na Figura 1.9. Encontre a força na 
carga q localizada no centro do semicírculo. 
 
Problema  1.6  –  Três  cargas  de  q1=‐1.o  μC,  q2=2.0  μC  e  q3=4.0μC  têm 
suas  localizações  dadas  pelos  pares  ordenados,  respectivamente  em 
metros, (0,0), (0,0.1),(0.2,0). Encontre as forças que atuam em cada uma 
das três cargas. 
Problema 1.7 –  (a) Se a convenção de sinal da carga  fosse mudada de 
modo que a  carga do elétron  fosse positiva e a  carga do próton  fosse 
negativa, a lei de Coulomb ainda valeria? (b) Discuta as semelhanças e as 
diferenças entre as leis de Coulomb e a lei de gravitação universal.   
Problema  1.8  –  Quando  duas  cargas  de  iguais  massas  e  cargas  são 
liberadas sobre uma mesa horizontal e sem atrito, cada massa terá uma 
 
Figura 1.8 
  23 
aceleração inicial a0. Se ao invés disso mantivermos uma das cargas fixas 
e a outra livre, qual será sua aceleração inicial: a0, 2a0 ou a0/2? Explique. 
 
1.8 Referências bibliográficas 
 
Livro Texto 
HALLIDAY,  D.;  RESNICK,  R.;  KRANE,  K.  S.    Física.  V.  3,  4.  ed.  Rio  de 
Janeiro: LTC, 1996. 
 
Bibliografia complementar 
HEWITT, Paul G. Física conceitual. 9. ed. Porto Alegre: Bookman, 2002. 
TIPLER, P. Física 3. 4. ed. Rio da Janeiro: Guanabara Dois, 1999. 
NUSSENZVEIG,  H. M.  Curso  de  Física  Básica  3: mecânica.  São  Paulo: 
Edgard Blücher, 1996. 
SERWAY, R. A. Física para cientistas e engenheiros: com Física Moderna. 
V. 3. 3. ed. Rio de Janeiro: LTC, 1997. 
1.9  Web‐bibliografia 
 
http://br.geocities.com/saladefisica3/labortório.htm  
http://www.adorofisica.com.br/comprove/mecanica/mec_cine_vetor.ht
ml 
 
 
 
 
 
 
 
  24 
UNIDADE 2 
O CAMPO ELÉTRICO 
 
 
RESUMO 
 
 
 
Nesta  unidade  vamos  introduzir  o  conceito  de  campo  elétrico, 
importante  para  o  entendimento  de  como  as  interações  à  distância 
entre  cargas  se estabelecem, principalmente  se estas  cargas estão em 
movimento, como poderá ser discutido em um estudo mais avançado da 
eletrodinâmica  clássica. Neste  capítulo discutiremos  somente o  campo 
elétrico estático devido a cargas em repouso. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
  25 
Sumário 
UNIDADE 2: O campo Elétrico 
Paulo Henrique Ribeiro Barbosa 
2 O CAMPO ELÉTRICO 
 
2.1  Introdução  26 
2.2  Ação à Distânciae o Campo Elétrico  26 
2.3  Dipolo Elétrico  28 
2.4  Linhas de Campo Elétrico  29 
2.5  Carga Elétrica na Presença de um campo Elétrico  31 
2.6  Dipolo Elétrico Sob Ação de um Campo elétrico Externo  32 
2.7  Problemas Resolvidos  33 
2.8  Problemas Propostos  35 
2.9  Referências bibliográficas  37 
2.9  Web‐bibliografia  37 
 
 
 
 
   
  26 
2.1 – Introdução 
  Qual é o mecanismo pelo qual uma partícula consegue exercer 
uma  força  sobre  outra  atravessando  o  espaço  vazio  que  as  separa? 
Supondo que uma partícula em um determinado ponto é  subitamente 
movida, a força que uma segunda partícula a uma distância r exercia na 
primeira  é  subitamente  alterada?  Neste  capítulo  vamos  introduzir  o 
conceito de campo elétrico,  importante para o entendimento de como 
as interações à distância entre cargas se estabelecem, principalmente se 
estas  cargas  estão em movimento,  como poderá  ser discutido  em um 
estudo  mais  avançado  da  eletrodinâmica  clássica.  Neste  capítulo 
discutiremos  somente  o  campo  elétrico  estático  devido  a  cargas  em 
repouso.  
 
2.2 ‐ Ação à Distância e o Campo Elétrico 
A força coulombiana, assim como a força gravitacional, é uma interação 
à distância  e  algo mal  compreendido  até meados do  século dezenove 
quando Michael Faraday introduziu o conceito de campo que permite‐os 
raciocinar como se dá a ação à distância. De acordo com o conceito de 
campo, a interação entre duas cargas, q1 e q2, ocorre através da ação do 
campo elétrico de uma delas  sobre a outra. Definimos então o campo 
elétrico ܧሬԦ, em um ponto, produzido por um conjunto de cargas, como a 
força  elétrica ܨԦ଴  que  atua  sobre  uma  carga  q0  neste  ponto  devido  às 
outras, dividida pela carga q0, 
                                                       ܧሬԦ ൌ ி
Ԧబ
௤బ
,                                              (2.1) 
onde q0 é a carga de prova, convencionalmente tomada como positiva. 
No Sistema  internacional  (SI) a unidade de campo elétrico é 1 newton 
por coulomb (1N/C). Operacionalmente devemos considerar a carga de 
prova, q0,  tão pequena quanto possível para que  esta não perturbe o 
arranjo original de cargas do qual se quer medir o campo elétrico.  Isto 
pode ser resumido na equação abaixo 
ܧሬԦ ൌ lim
௤బ՜బ
ܨԦ଴
ݍ଴
 
Assim,  para  se  conhecer  o  valor  do  campo  elétrico  em  determinado 
ponto, basta colocar uma carga de prova naquele ponto e dividir a força 
medida pelo valor da carga de prova q0. 
  27 
  Considere q uma carga puntiforme positiva como uma fonte de 
campo elétrico. Coloquemos a carga de prova positiva q0 a uma distância 
r desta (ver Figura 2.1a). A carga de prova experimentará uma força de 
repulsão  de módulo ܨ଴ ൌ
ଵ
ସగఌబ
|௤௤బ|
௥మ
.  Substituindo  F0  no módulo  da  Eq. 
(2.1) temos 
                                                                         ܧ ൌ ଵ
ସగఌబ
|௤|
௥మ
                          (2.2) 
Vetorialmente, temos 
ܧሬԦ ൌ ଵ
ସగఌబ
|௤|
௥మ
̂ݎ,                                                          (2.3) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
onde  ̂ݎ é o vetor unitário que aponta na direção do ponto P, onde  foi 
aferido o campo elétrico. Observe que o campo elétrico de uma carga 
positiva aponta na mesma direção da força que atua na carga de prova e 
é, portanto de afastamento. Se q for negativa (Fig. 2.1b) a força será de 
atração sobre a carga de prova e o campo elétrico será de aproximação. 
Também  se  observa  que  o módulo  do  campo  elétrico  de  uma  carga 
pontual  para  uma  mesma  distância  ao  redor  da  fonte  é  o  mesmo. 
Campos elétricos cujo módulo  independem da orientação espacial, mas 
tão  somente  da  distância  da  fonte  ao  ponto  de  observação  são 
denominados de radiais. 
  Considere  uma  pequena  carga  de  prova  q0  em  um  ponto  P 
distante ri0 de uma carga qi. A força na carga de prova devido à carga 
qi é 
ܨԦ௜଴ ൌ
ଵ
ସగఢబ
௤೔௤బ
௥೔బమ
̂ݎ௜଴  
e o campo elétrico é, usando Eq.(2‐1) 
Figura 2.1: Campo Elétrico de uma carga pontual q.(a) carga fonte 
poisitiva e (b) carga fonte negativa
  28 
 
Figura  2.3:  (a)Molécula  de  água  como  dipolo  permanente  e  (b) 
dipolo induzido 
  ܧሬԦ௜ ൌ
ଵ
ସగఢబ
௤೔
௥೔బమ
̂ݎ௜଴ , 
onde  ̂ݎ௜଴ é o vetor unitário apontado da carga qi ao ponto onde se quer 
medir  o  campo ܧపሬሬሬԦ.  Para  uma  distribuição  discreta  de  cargas  o  campo 
total no ponto P é 
 ܧሬԦ ൌ෍ܧሬԦ௜
௜
ൌ ෍
1
4ߨ߳଴
ݍ௜
ݎ௜଴ଶ
̂ݎ௜଴
௜
.                                ሺ2.4ሻ   
A propriedade acima é conhecida como princípio da superposição, que 
decorre  da  existência  de  respostas  lineares  do  sistema  de  cargas 
discretas ou contínuas. A propósito, para uma distribuição   contínua de 
cargas a equação acima é escrita como 
ܧሬԦ ൌ න݀ܧሬԦ ,                                                      ሺ2.4ܾሻ 
onde  em  coordenadas  cartesianas    ݀ܧሬԦ ൌ ଓ̂݀ܧ ൅ ଔ̂݀ܧ ൅ ෠݇݀ܧ  ,  e 
݀ܧ ൌ ଵ
ସగఢబ
ௗ௤
௥మ
, sendo r a distância do elemento de carga dq ao ponto de 
observação. 
2.3 ‐ Dipolo Elétrico  
Um  sistema  formado  de  duas  cargas  de mesmo módulo  e  de  sinais 
opostos  separadas por uma pequena distância  L é  chamado de dipolo 
elétrico.  Sua  amplitude  e  orientação  são  descritos  pelo  vetor  dipolo 
elétrico ࢖ሬሬԦ, que é um vetor que aponta da carga negativa para a carga 
positiva e tem módulo qL (ver Figura 2.2). 
 
 
 
 
Um  sistema  pode  naturalmente  apresentar  propriedades  polares 
(chamados de dipolos permanentes) ou estas podem ser  induzidas pela 
aplicação de um  campo  elétrico no  sistema  (dipolos  induzidos). Como 
um  exemplo  de  um  dipolo  permanente  podemos  citar  o  caso  da 
molécula  de  água  (Fig2.3a),  onde  os  elétrons  “preferem”  passar mais 
 
Figura 2.2: Dipolo Elétrico 
  29 
tempo  próximos  ao  oxigênio  do  que  dos  hidrogênios. No  caso  de  um 
dipolo  induzido  podemos  ter  uma  molécula  em  que  inicialmente  os 
centros  das  distribuições  das  cargas  positivas  e  negativas  coincidem, 
mas são deslocados pela ação de um campo elétrico externo  (Fig2.3b). 
Em muitas investigações em ciências físicas e químicas somos solicitados 
a verificar se um determinado sistema pode apresentar comportamento 
dipolar. Por  isso é  importante  calcularmos o  campo do dipolo elétrico 
para  conhecermos  suas  propriedades matemáticas. O  exemplo  abaixo 
ilustra este procedimento. 
 
Exemplo  2.1: A  figura  2.4 mostra  um  dipolo  elétrico  com  suas  cargas 
posicionadas ao longo do eixo x nas posições x=‐a e x=+a. (a) Encontre o 
campo elétrico em um ponto x>a.  (b) Encontre a forma matemática do 
campo elétrico para a situação limite x>>a. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Solução: (a) Considere um ponto x>a, e aplique a Eq.(2‐4): 
ܧሬԦ ൌ ଵ
ସగఢబ
ቂ ௤
ሺ௫ା௔ሻమ
ଓ̂ ൅ ି௤
ሺ௫ି௔ሻమ
ଓ̂ቃ ൌ ଵ
ସగఢబ
ସ௤௔௫
ሺ௫మି௔మሻమ
ଓ̂. 
(b) O comportamento do campo elétrico do dipolo para x>>a é  
ou 
ܧሬԦ ൌ ଵ
ସగఢబ
ସ௤௔௫
ሺ௫మି௔మሻమ
ଓ̂ ൎ ଵ
ସగఢబ
ଶ௣Ԧ
௫య
,                             (2.5) 
onde  fizemos  a  aproximação    ሺݔଶ െ ܽଶሻଶ ൎ ݔସ  e  ݌Ԧ ൌ 2ݍܽ.  A  Eq.(2.5) 
mostra  que  para  pontos  afastados  das  cargas  o  campo  do  dipolo  cai 
mais rapidamente e com o cubo da distância.  
 
 
 
Figura 2.4: Dipolo elétrico formado de duas cargas de módulo q e 
distância L=2a 
  30 
2.4 ‐ Linhas de Campo Elétrico 
  Podemos  representar  o  campo  elétrico  traçando  linhas  que 
indicam  a  sua  direção.  As  linhas  de  campo  elétrico,  introduzidas  por 
Faraday,  são  também  conhecidas  como  linhas  de  força.  Em  qualquer 
ponto o  campoelétrico, ܧሬԦ,  é  tangente  à  linha. A  Figura  2.5(a) mostra 
que  para  uma  carga  pontual  positiva  o  campo  elétrico  aponta 
radialmente  para  fora,  como mostram  as  linhas  de  força. No  caso  de 
uma carga pontual negativa as  linhas de força convergem para o ponto 
aonde se encontra a carga. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Observe como a representação do campo elétrico em termos de  linhas 
de  força  é  útil.  Por  exemplo,  a medida  que  nos  afastamos  da  carga 
pontual  positiva  as  linhas  de  força  estarão  cada  vez mais  afastadas, 
mostrando que o campo vai ficando cada vez mais fraco.  Considere uma 
esfera de raio r centrada em torno de uma carga pontual. Se N linhas de 
força emergem da carga, o número de  linhas de  força por unidade de 
área que atravessarão a superfície da esfera é N/πr2. Assim, a densidade 
de  linhas  decresce  com  a  distância  com  1/r2,  que  é  o  mesmo 
comportamento do  campo  elétrico. As  Figuras  2.6(a)  e  (b) mostram  a 
representação  do  campo  elétrico  em  termos  de  linhas  de  força 
respectivamente  para  duas  cargas  iguais  e  positivas  e  para  um dipolo 
elétrico. É muito intuitiva a construção de tal representação baseada na 
justaposição das representações em termos das linhas de força de cada  
 
 
 
Figura 2.5: Representação do campo elétrico por meio de linhas 
de força para (a) carga positiva e (b) carga negativa   
Figura 2.6: (a) Cargas iguais e positivas e (b) cargas iguais e opostas 
  31 
carga  isoladamente.  É  muito  instrutivo  resumir  em  um  conjunto  de 
regras  a  serem  seguidas  na  representação  do  campo  elétrico  de  um 
conjunto de cargas elétricas pontuais: 
2 As  linhas  de  campo  elétrico  começam  nas  cargas  positivas  (ou  no 
infinito) e terminam nas cargas negativas (ou no infinito); 
3 As linhas de campo são traçadas simetricamente entrando ou saindo 
de uma carga isolada; 
4 O  número  de  linhas  de  campo  deixando  uma  carga  positiva  ou 
entrando  em  uma  carga  negativa  é  proporcionais  à magnitude  da 
carga; 
5 A densidade de linhas de campo (o número de linhas por unidade de 
área perpendicular  às  linhas)  em qualquer ponto  é proporcional  à 
magnitude do campo elétrico naquele ponto; 
6 Á grandes distâncias de um conjunto de cargas, as  linhas de campo 
são igualmente espaçadas e radiais, como se elas se originassem de 
uma carga pontual de carga líquida igual à do conjunto; 
7 Linhas de campo resultante não se cruzam. 
 
2.5 ‐ Carga Elétrica na Presença de um campo Elétrico 
  Quando uma carga elétrica pontual q é colocada em um ponto 
com campo elétrico ܧሬԦ, a carga fica submetida a uma força ܨԦ ൌ ݍܧሬԦ. Se a 
força elétrica é a única força significativa a que a carga q está submetida, 
esta sofrerá uma aceleração dada pela segunda lei de Newton  
Ԧܽ ൌ
∑ܨԦ௜
݉
ൌ
ݍ
݉
ܧሬԦ,                                               ሺ2.6ሻ 
onde  m  é  a  massa  partícula  com  carga  q.  No  caso  do  elétron  a 
velocidade  envolvida  é muito  grande  e  devemos  considerar  correções 
relativísticas. Se o campo elétrico é conhecido a  relação q/m pode  ser 
calculada pela medida da aceleração. Esta foi a base da experiência de J. 
J. Thomson  em 1897 para a determinação da existência do elétron. Este 
experimento é  a base de  funcionamento de uma  série de dispositivos 
eletrônicos,  como  osciloscópios, monitores  de  computador, monitores 
de TV, etc.  
Exemplo 2.2: Considere um elétron projetado em um campo elétrico  
  32 
 
Figura 2.7: Elétron na presença de um campo elétrico uniforme. 
 
Figura 2.8: Dipolo elétrico sob ação de um campo elétrico externo 
uniforme,    ܧሬԦ ൌ ቀ1000 ே
஼
ቁ ଓ̂  ,  com  uma  velocidade  inicial  ݒԦ ൌ
ቀ2 ൈ 10଺ ௠
௦
ቁ ଓ̂ na direção do campo (ver Fig.2.7).  Que distância o elétron 
viajará na região de campo antes de parar? 
Solução:  Considerando  que  a  única  força  significativa  é  a  elétrica  e 
sendo a  carga do elétron negativa esta  força é ܨԦ ൌ െ݁ܧሬԦ,  constante e 
apontando  no  sentido  oposto  ao  do  campo  elétrico.  Assim,  podemos 
usar  as  equações  do  movimento  uniformemente  variado  para 
encontrarmos a variação da posição até repouso instantâneo do elétron: 
1. O deslocamento Δx esta relacionado às velocidades inicial e final 
pela equação de Torricelli: ݒଶ ൌ ݒ଴ଶ ൅ 2ܽ∆ݔ,  
2. O módulo da aceleração é ܽ ൌ ி
௠
ൌ ି௘ா
௠
, 
3. Quando v=0 temos ∆ݔ ൌ ି௩బ
మ
ଶ௔
ൌ ௠௩బ
మ
ଶ௘ா
ൌ 1.14 ൈ 10ିଶ݉. 
 
2.6 – Dipolo Elétrico Sob Ação de um Campo elétrico Externo 
Já discutimos o caso do campo elétrico gerado por um dipolo elétrico, 
que  pode  ser  uma  molécula  de  água  ou  uma  molécula  de  ácido 
clorídrico,  que  são  moléculas  polares.  Vamos  discutir  agora  o  que 
acontece com um dipolo quando este é submetido a um campo elétrico 
externo. Para simplificar vamos considerar que este campo é uniforme.  
Vamos mostrar que o campo externo não exerce nenhuma força externa 
no dipolo, mas exerce um torque que fará com que o dipolo gire de um 
  33 
determinando ângulo. Considere a figura 2.8, que mostra o dipolo numa 
região de campo elétrico uniforme.   Observe que as forças ܨԦଵ e ܨԦଶ têm 
mesmo  módulo,  F1=F2=qE,  mas  sentidos  opostos,  o  que  dá  uma 
resultante  nula.  Por  outro  lado,  estas  forças  exercem  um  torque  que 
tende a girar e alinhar o dipolo com o campo externo.  Por exemplo,  o 
torque  em  torno  da  carga  negativa  tem  módulo    ߬ ൌ ܨଵܮ sin ߠ ൌ
ݍܧܮ sin ߠ ൌ ݌ܧ sin ߠ. A direção do torque, pela regra da mão direita, é 
aquela  entrando  na  página.  Em  notação  vetorial  podemos  escrever  o 
torque como : 
Ԧ߬ ൌ ݌Ԧ ൈ ܧሬԦ.                                                      ሺ2.7ሻ 
  Quando um dipolo gira de um ângulo dθ, o trabalho realizado 
pelo torque é ܹ݀ ൌ െ߬݀ߠ ൌ െ݌ܧ sin ߠ݀ߠ. O sinal vem do fato de que 
o torque tende a decrescer θ. Como este trabalho é igual ao decréscimo 
da energia potencial, temos 
ܷ݀ ൌ െܹ݀ ൌ ݌ܧ sin ߠ݀ߠ. 
Integrando, obtemos  
ܷ ൌ െ݌ܧ cos ߠ ൅ ܷ଴. 
Escolhendo U0=0 para θ=π/2, temos 
ܷ ൌ െ݌ܧ cos ߠ ൌ െ݌Ԧ · ܧ,ሬሬሬԦ                                ሺ2.8ሻ 
Que é a energia potencial elétrica armazenada no dipolo elétrico. 
  Fornos  de  micro‐ondas  exploram  o  fato  de  que  existe  uma 
grande  quantidade  de  água  (moléculas  polares)  nos  alimentos  para 
poder cozinhá‐los. Ao  funcionar na  faixa de vibração das moléculas de 
água estas vibram por ressonância e os alimentos são aquecidos  
 
2.7 – Problemas resolvidos 
Exemplo 2.3: Uma carga pontual q1=8 nC está na origem , e uma 
segunda carga q2=12 nC está no eixo x, em a=4m (Figura 2.9). Encontre o 
campo elétrico total (a) em P1, no eixo x,  a x=7 m e (b) em P2 no eixo x 
em x=3 m. 
 
 
 
 
 
 
Figura 2.9: Duas cargas pontuais dispostas ao longo do eixo x 
  34 
Solução:  Como o ponto P1 está à direita das duas cargas e as mesmas 
são ponto P2 (x=3 m), que está mais próximo da carga q2, o campo 
elétrico resultante apontará para a esquerda. Vejamos isto 
quantitativamente: 
(a) Usando a Eq. (2.4) para o ponto P1 temos  
ܧሬԦ ൌ ଵ
ସగఢబ
௤భ
௥భబమ
ଓ̂ ൅ ଵ
ସగఢబ
௤మ
௥మబమ
ଓ̂ ൌ ଵ
ସగఢబ
௤భ
௫మ
ଓ̂ ൅ ଵ
ସగఢబ
௤మ
ሺ௫ି௔ሻమ
ଓ̂, 
 
Usando  x=7  m,  a=4  m,  q1=8  nC  e  q2=12  nC,  temos  ܧሬԦ ൌ
ቀ13.5 ே
஼
ቁ ଓ̂. 
(b) Para o ponto P2 temos  
ܧሬԦ ൌ ଵ
ସగఢబ
௤భ
௥భబమ
ଓ̂ ൅ ଵ
ସగఢబ
௤మ
௥మబమ
ଓ̂ ൌ ଵ
ସగఢబ
௤భ
௫మ
ଓ̂ ൅ ଵ
ସగఢబ
௤మ
ሺ௔ି௫ሻమ
ଓ̂,  o  que  dá 
ܧሬԦ ൌ ቀെ100 ே
஼
ቁ ଓ̂. 
 
A Figura 2.10 mostra graficamente o comportamento do campo elétrico 
para todos os pontos ao longo do eixo x. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 2.4:Encontre o campo elétrico no eixo y a y=3 m para as cargas 
vistas na Figura 2.9. 
Solução: Observe que para um ponto sobre o eixo y o campo elétrico, 
ܧሬԦଵ, devido à carga q1, aponta ao longo do eixo y, enquanto o campo ܧሬԦଶ , 
devido  à  carga  q2,  faz  um  ângulo  θ  com  o  eixo  y  (Figura  2.11a).  Para 
encontrar  o  campo  resultante  procedemos  com  a  decomposição 
analítica,  encontrando  as  componentes  x  e  y  de  cada  campo,  como 
mostrado na figura 2.11b. 
 
Figura 2.10: Gráfico do campo elétrico resultante da configuração de 
cargas vista na Fig. 2.9 ao longo do eixo x 
  35 
 
Figura 2.12 
Observe que o campo da carga q1 tem módulo ܧଵ ൌ
ଵ
ସ஠஫బ
୯భ
୷మ
ൌ 7.99 N/C, 
ܧଵ௫ ൌ 0, ܧଵ௬ ൌ 7.99
ே
஼
.   O campo da carga q2 tem módulo ܧଶ ൌ 4.32
ே
஼
. 
Suas  componentes  são  ܧଶ௫ ൌ െܧଶ cos ߠ,  ܧଶ௬ ൌ ܧଶ sin ߠ.  Da  Figura 
2.11a  obtemos  sin ߠ ൌ 0.8  e  cos ߠ ൌ 0.6.  Assim  temos, ܧ௫ ൌ
െ3.46 ܰ/ܥ  e  
ܧ௫ ൌ 10.6
ே
஼
. Dessas componentes obtemos a magnitude do campo 
 
 resultante,  ܧ ൌ ටܧ௫ଶ ൅ ܧ௬ଶ ൌ 11.2 ܰ/ܥ,  fazendo  um  ângulo  ߠଵ ൌ
tanିଵ ቀா೤
ாೣ
ቁ ൌ 108°, com o eixo x. 
  
2.8 –Problemas Propostos 
Problema 2.1‐ As linhas de campo de 
duas esferas condutoras são 
mostradas na Figura 2.12. Qual o sinal 
relativo das cargas e a magnitude das 
cargas das duas esferas?  
 
 
Problema  2.2‐   Um  elétron  entra  em 
uma  região  de  campo  elétrico 
Figura 2.11: Calculo do campo resultante ao longo em um ponto no eixo x. 
  36 
 
Figura 2.13: Quadrado de lado a 
ܧሬԦ ൌ ቀെ2000 ே
஼
ቁ ଔ̂  com  uma  velocidade  inicial  ݒԦ଴ ൌ ቀ10଺
௠
௦
ቁ ଓ ̂
perpendicular  ao  campo.  (a)    Faça  uma  comparação  entre  as  forças 
gravitacional  e  elétrica  que  agem  no  elétron.  Qual  é  a  deflexão  do 
elétron após ele ter percorrido 1 cm na direção x? 
 
 Problema 2.3‐  Calcule o campo elétrico no centro do quadrado da 
figura 2.13 abaixo.  
Problema  2.4‐  Em  um  particular  ponto  do  espaço,  uma  carga  Q  é 
posicionada e não sobre nenhuma força elétrica. Analise cada uma das 
alternativas abaixo, justificando sua resposta: 
(a) Não existem cargas nas proximidades; 
(b) Se existem cargas próximas, estas têm sinais opostos ao de Q; 
(c)  Se  existem  cargas próximas,  a  carga  total positiva deve  ser  igual  a 
carga total negativa; 
(d) Nenhuma das alternativas acima precisa ser verdadeira. 
Problema 2.5‐ Uma carga de +5.0 μC está localizada em x=‐3.0 cm e uma 
segunda carga de ‐8.0 μC está  localizada em x=+4.0 cm. Onde devemos 
posicionar uma  terceira  carga de +6.0  μC de modo a  termos o  campo 
elétrico nulo em x=0.0 cm?   
Problema 2.6‐ Duas cargas +4q e ‐3q estão separadas por uma pequena 
distância. Trace as linhas de campo elétrico para este sistema. 
Problema  2.7‐  Três  cargas  iguais  e  positivas  são  posicionadas  nos 
vértices  de  um  triângulo  eqüilátero.  Esquematize  as  linhas  de  campo 
elétrico para este sistema. 
Problema  2.8‐ Um  elétron,  partindo  do  repouso,  é  acelerado  por  um 
campo elétrico uniforme de módulo 8 x 104 N/C que se estende por uma 
região de 5.0 cm. Encontre a velocidade do elétron depois que ele deixa 
a região de campo elétrico uniforme. 
  37 
Problema  2.9‐Duas  cargas  pontuais,  q1=+2.0  pC  e  q2=‐2.0  pC  estão 
separadas por uma distância de 4μm.  (a) Qual é o momento de dipolo 
do  par  de  cargas?  (b)  Esquematize  o  dipolo  e  mostre  a  direção  do 
momento de dipolo.  
 
2.8 Referências bibliográficas 
Livro Texto 
HALLIDAY, D.; RESNICK, R.; KRANE, K. S.  Física. V. 3, 4. ed. Rio de 
Janeiro: LTC, 1996. 
 
Bibliografia complementar 
HEWITT, Paul G. Física conceitual. 9. ed. Porto Alegre: Bookman, 2002. 
TIPLER, P. Física 3. 4. ed. Rio da Janeiro: Guanabara Dois, 1999. 
NUSSENZVEIG, H. M. Curso de Física Básica 3: mecânica. São Paulo: 
Edgard Blücher, 1996. 
SERWAY, R. A. Física para cientistas e engenheiros: com Física Moderna. 
V. 3. 3. ed. Rio de Janeiro: LTC, 1997. 
 
2.9 Web‐bibliografia 
 
http://br.geocities.com/saladefisica3/labortório.htm  
http://www.adorofisica.com.br/comprove/mecanica/mec_cine_vetor.ht
ml 
 
 
 
   
  38 
UNIDADE 3 
A LEI DE GAUSS 
 
 
RESUMO 
 
Nesta unidade discute‐se uma alternativa à lei de Coulomb, chamada de 
lei de Gauss, que permite uma abordagem mais prática e  instrutiva no 
cálculo  do  campo  elétrico  ܧሬԦ  em  situações  que  apresentam  certas 
simetrias.  Entretanto,  o  cálculo  do  campo  elétrico  na  forma  como 
apresentada  na  unidade  anterior  permanece  infalível,  embora 
trabalhosa em muitos casos. Neste capítulo apresentaremos o conceito 
de  fluxo de um  campo  vetorial,  importante na apresentação da  lei de 
Gauss e depois faremos aplicações. 
 
 
 
   
  39 
Sumário 
UNIDADE 3: A Lei de Gauss 
Paulo Henrique Ribeiro Barbosa 
 
3.1  O Fluxo de Campo Vetorial  3.1 
3.2  O Fluxo do Campo Elétrico ܧሬሬሬԦ e a Lei de Gauss  3.2 
3.3  Aplicações da Lei de Gauss  3.3 
3.4  Usando  a  Lei  de Gauss  para Discutir  o  Campo  Elétrico  em 
Condutores 
3.4 
3.5  Problemas  Propostos  3.5 
3.6  Referências bibliográficas   
3.7  Web‐bibliografia   
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
   
  40 
3.1 O Fluxo de Campo Vetorial  
Uma  forma de entendermos o  significado de  fluxo é  imaginarmos que 
estamos às margens de uma auto ‐ estrada e realizando a contagem da 
quantidade de carros que cruzam a via em determinado ponto durante 
certo  tempo.  Ao  fazer  isto  estamos  calculando  o  fluxo  de  carros  na 
estrada naquele ponto. Se associarmos um vetor velocidade a cada carro 
que  ocupam  a  via  teremos  vários  vetores  velocidade  espacialmente 
distribuídos,  compondo  o  que  denominamos  campo  vetorial  de 
velocidades ݒԦ.  
Para  uma  análise  quantitativa  do  fluxo  vetorial  consideremos  o 
escoamento  de  um  fluido  em  regime  estacionário,  representado  pela 
especificação  do  vetor  velocidade  em  cada  ponto  (ver  Fig.3.1).  Na 
Fig.3.1a  colocam‐se  um  fio  retangular  de  modo  que  seu  plano  seja 
perpendicular ao vetor velocidade,ݒԦ, associado ao fluxo do fluido que 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
escoa  ao  longo  de  um  canal.  Definindo‐se  o  fluxo  do  campo  de 
velocidades de modo que seu valor absoluto seja dado por  
                                                              |ߔ| ൌ ݒܣ,                                          (3.1) 
onde v é a intensidade da velocidade no local em que está posicionado o 
fio retangular. A unidade do fluxo do fluido é m3/s, que é o mesmo que a 
vazão  do  fluido  que  passa  através  da  área  A  delimitada  pelo  fio 
retangular.  Em  termos  do  conceito  de  campo,  podemos  considerar  o 
fluxo  como  uma  medida  do  número  de  linhas  de  campo  que 
 
Figura 3.1: (a) Fio retangular em um fluido com área normal ao vetor 
velocidade. (b) Fio retangular com área formando um ângulo Ф com 
o vetor velocidade.
  41 
atravessam a área do fio retangular. Se  inclinarmos o fio retangular de 
forma que o seu plano não seja mais perpendicular à direção do vetor 
velocidade  (ver Fig. 3.1b), o número de  linhas do campo de velocidade 
atravessando  a  área,  A,  do  retângulo  não  será  mais  o  mesmo  e 
diminuirá. Para calcular o fluxo do fluido observemos que o número de 
linhas  do  campo  de  velocidade  que  atravessam  a  área,  A,  na  forma 
inclinada é o mesmo número de linhas que atravessam a área projetada, 
Acosφ, perpendicularmente às linhas de ݒԦ. Assim, a intensidade do fluxo 
correspondente a situação retratada na Fig. 3.1b é|Φ| ൌ vA cosԄ.                              (3.2) 
Se  o  fio  retangular  for  girado  de modo  que  sua  área  seja  paralela  ao 
vetor  velocidade  (φ=90°),  nenhuma  linha  de  velocidade  atravessará  a 
área  e  o  fluxo  de  velocidades  é  nulo  (|ߔ| ൌ 0ሻ.  Podemos  dar  uma 
interpretação  vetorial  à  Eq.(3.2),  introduzindo  o  vetor  área,  ܣԦ,  que 
emerge  perpendicularmente  (normal)  à  superfície  de  área  A  do  fio 
retangular: 
ߔ ൌ ݒԦ · ܣԦ.                                                      ሺ3.3ሻ 
Observe  que  esta  definição  nos  coloca  diante  da  possibilidade  de  um 
fluxo  de  ݒԦ  positivo  (ߔ ൐ 0 ݌ܽݎܽ Ԅ ൏ 90°),  bem  como  um  fluxo  de  ݒԦ 
negativo  (ߔ ൏ 0 ݌ܽݎܽ Ԅ ൐ 90°).  Assim,  no  caso  de  uma  superfície 
aberta  deve‐se  escolher  um  sentido  para  a  normal  à  superfície  em 
questão. No caso de uma superfície  fechada, na qual se refere a  lei de 
Gauss, adota‐se o  sentido do  vetor área, ܣԦ,  como  sendo o  sentido da 
normal saindo da superfície. Dessa forma, o fluxo associado a um campo 
vetorial  que  atravessa  a  superfície  e  deixa  o  volume  será  um  fluxo 
positivo (fonte de linhas de campo), caso contrário o fluxo será negativo 
(sumidouro de  linhas de  campo). Podemos estender a definição acima 
para uma superfície qualquer considerando que a mesma é formada de 
um  número  muito  grande  de  superfícies  retangulares  de  área, ߂ܣԦ௜, 
elementares, cujo fluxo de  linhas de ݒԦ através da superfície de área ΔA 
será  ሺ߂ߔሻ௜ ൌ ݒԦ · ߂ܣԦ௜.  Em  seguida  somamos  e  tomamos  o  limite  de 
|߂ܣԦ௜| tendendo a zero,  
  42 
ߔ ൌ lim
௱஺೔՜బ
෍ݒԦ · ߂ܣԦ௜
ஶ
௜ୀ଴
ൌ නݒԦ . ݀ܣԦ ൌ නݒԦ. ො݊݀ܣ 
                                                  ߔ ൌ ׬ݒԦ . ො݊݀ܣ ,                                     (3.4) 
onde  ො݊ é o vetor unitário normal à superfície de área elementar dA no 
ponto considerado.  
3.2 – O Fluxo do Campo Elétrico ࡱሬሬሬԦ e a Lei de Gauss 
O  fluxo do  campo elétrico, ܧሬԦ, é análogo ao  fluxo de ݒԦ,  resultando em 
expressão  idêntica quando substituímos ݒԦ por ܧሬԦ em todas as etapas da 
dedução. A Fig. (3.2) mostra as linhas de campo elétrico não uniforme e 
o elemento de área   ߂ܣԦ௜. Tomando os devidos  limites o  fluxo elétrico, 
ΦE, será dado por  
                                                      ߔா ൌ ׬ܧሬԦ . ො݊݀ܣ                               (3.4) 
Esta  integral  indica que  a  superfície  em questão deve  ser dividida  em 
elementos infinitesimais de área ࢊ࡭ሬሬԦ, que é atravessado por um campo  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
elétrico,  ۳ሬԦሺܚԦሻ,  e  que  a  quantidade  escalar ࡱሬሬԦ. ࢔ෝࢊ࡭  deve  ser  calculada 
para  cada  elemento  e  somada,  contemplando‐se  toda  a  área  da 
superfície. No caso da  lei de Gauss, a superfície considerada é fechada, 
sendo a Eq.(3.4) modificada para  
ߔா ൌ ׯܧሬԦ . ො݊݀ܣ, 
onde o círculo na integral sinaliza que a mesma é fechada.  
 
Figura 3.2: Linhas de campo atravessando uma 
superfície S.   
  43 
  Dissemos  acima que o  fluxo de ݒԦ  através de uma  superfície  é 
uma medida do número de  linhas de campo que atravessam a mesma, 
ou  que  é  uma  medida  da  vazão  do  fluido.  Podemos  dar  uma 
interpretação  análoga  para  o  caso  do  campo  elétrico,  dizendo  que  o 
fluxo  elétrico ߔா é uma medida do número de  linhas  que  atravessam 
uma superfície. Como não existem linhas de campo sem cargas elétricas, 
podemos  dizer  que  para  uma  superfície  fechada  o  fluxo  elétrico  está 
diretamente  ligado  à  carga  elétrica  envolvida  por  esta.  Imagine  uma 
superfície  fechada,  que  chamaremos  a  partir  de  agora  de  superfície 
gaussiana,  contendo  uma  certa  quantidade  de  carga  q  (discreta  e/ou 
contínua). A  lei de Gauss  afirma que o  fluxo elétrico ߔா através desta 
superfície fechada é proporcional à quantidade de carga q envolvida: 
ߝ଴ߔா ൌ ݍ ,  
ou 
ߝ଴ ׯܧሬԦ . ݀ܣԦ=q.                                            (3.5) 
A Eq.  (3.5) contabiliza o número de  linhas que atravessam a superfície 
gaussiana  ou  a  quantidade  total  de  cargas  internas  a  esta  superfície. 
Embora a escolha da superfície gaussiana seja arbitrária e não altere o 
resultado da integral na Eq. (3.5), deve‐se fazer uma escolha que explore 
a  simetria  da  distribuição  de  cargas.  A  lei  de  Gauss  estabelece  uma 
relação entre grandezas (o fluxo elétrico ߔா  e a carga total q envolvida 
pela  superfície S) que, em princípio, não  são definidas para um ponto, 
pelo menos na forma como está expressa na Eq. (3.5). Assim sendo, não 
é  de  se  estranhar  que  a mesma  não  sirva  para  calcular  o módulo  do 
campo elétrico de uma distribuição qualquer. Na próxima seção vamos 
mostrar que a  lei de Gauss pode  ser útil no  cálculo do campo elétrico 
(que é uma  grandeza  local) de um número  relativamente  reduzido de 
distribuições de cargas que geram campos elétricos com determinadas 
simetrias,  desde  que  se  faça  uma  escolha  apropriada  da  superfície 
gaussiana. 
A  lei de Gauss e a  lei de Coulomb  são  formas diferentes de abordar o 
mesmo  problema,  e  conseqüentemente  fornecem  a mesma  resposta. 
Então, quando e por que usar uma ou outra lei? O uso de uma ou outra 
lei é determinado pelas seguintes circunstâncias: (a) se a distribuição de 
  44 
cargas apresenta um alta  simetria a  resposta é obtida mais  facilmente 
usando  a  Lei  de  Gauss,  (b)  Entretanto  se  a  distribuição  de  cargas 
apresenta  um  baixa  grau  de  simetria  a  Lei  de  Coulomb  é  a  mais 
adequada. 
 
3.3 – Aplicações da Lei de Gauss 
(a) Carga Puntiforme e a Lei de Coulomb 
Por  argumentos  de  simetria  conclui‐se  que  o  campo  de  uma  carga 
puntiforme  tem  simetria  esférica  (campo  é  o  mesmo  para  qualquer 
ponto  sobre  uma  esfera  de  raio  r  e  é  perpendicular  a  superfície  da 
esfera). Assim, ao escolhermos como superfície gaussiana uma esfera de 
raio r com a carga q em seu centro (Fig.3.3) teremos a possibilidade de 
obter o campo elétrico da carga Q. Como ݀ܣԦ é paralelo a ܧሬԦ em qualquer 
ponto  sobre  a  Gaussiana,  o  produto  escalar  destes  dois  vetores  na 
superfície da esfera gaussiana  será  sempre ܧሬԦ · ݀ܣԦ=EdA. Tomando a  lei 
de Gauss temos, 
ׯܧሬԦ · ݀ܣԦ ൌ ׯܧ݀ܣ ൌ ܧ ׯ݀ܣ ൌ ܧ4ߨݎଶ ൌ ܳ/ߝ଴, ou 
ܧ ൌ ଵ
ସగఌబ
ொ
௥మ
,                                                                (3.6) 
que é a eq. 2.3, o campo de uma carga puntiforme.  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 3.3: Carga pontual Q envolvida por uma superfície 
esférica de raio r. 
  45 
 
Figura 3.4: Linha de carga positiva envolvida por uma superfície 
gaussiana cilíndrica de raio r e comprimento l. 
No  cálculo  da  integral  fechada  sobre  a  superfície  esférica  tiramos  o 
módulo do campo de baixo do símbolo da  integral porque o mesmo é 
constante. 
 
(b) Linha Infinita de Cargas 
Considere uma  linha  infinita de carga com densidade  linear, positiva e 
constante λ, conforme mostrado na Fig.3.4. Deseja‐se calcular o campo 
elétrico  a  uma  distância  perpendicular  r  da  linha  de  carga.  Por 
considerações de simetria conclui‐se que as linhas de campo são radiais. 
Ou  seja,  o  campo  elétrico,  ܧሬԦ,  é  perpendicular  à  linha  de  carga.  A 
superfície gaussiana mais apropriada para o cálculo do campo elétrico é 
uma superfície cilíndrica de raio r, comprimento  l, com a  linha de carga 
passando pelo seu eixo. Observe que ܧሬԦ é constante ao  longo de toda a 
superfície  cilíndrica  e  perpendicular  a  ela. O  fluxo  de ܧሬԦ  através  desta 
superfície é  
ׯܧሬԦ · ݀ܣԦ ൌ׬ ܧሬԦ · ݀ܣԦௌభ ൅ ׬ ܧ
ሬԦ · ݀ܣԦௌమ ൅ ׬ ܧ
ሬԦ · ݀ܣԦௌయ ൌ ݍ/ߝ଴. 
Como para as superfícies S1, S2 e S3 o campo elétricoܧሬԦ e o elemento de 
área  mantém  as  respectivas  relações  ܧሬԦ צ ݀ܣԦ, ܧሬԦ ٣ ݀ܣԦ ݁ ܧሬԦ ٣ ݀ܣԦ,  que 
darão produto interno não‐nulo somente para a integral na superfície S1. 
Assim, usando q=λl temos,  
  46 
 
Figura 3.5: Superfície gaussiana cilíndrica envolvendo uma parte da 
carga de um  plano infinito de carga uniforme contida na área A. 
ܧሺ2ߨݎ݈ሻ ൌ ߣ݈/ߝ଴ 
ou 
ܧ ൌ ఒ
ଶగఌబ௥
 .                                                  (3.7) 
 
(c) Plano Infinito de Cargas 
A Fig. 3.5 mostra parte de uma placa fina, não‐condutora e infinita, com 
densidade superficial de carga σ (carga por unidade de área) constante e 
positiva.  Deseja‐se  calcular  o  campo  elétrico  em  pontos  próximos  à 
placa. Devido à simetria retangular da placa o campo é perpendicular a 
superfície da mesma. A  superfície  gaussiana  adequada  é um pequeno 
cilindro  de  comprimento  2r  e  área  A,  como  ilustrado  na  Fig.3.5.  Da 
simetria,  o  campo  tem  a  mesma  intensidade  nas  extremidades  do 
cilindro. Assim, da lei de Gauss temos  ߝ଴ ׯܧሬԦ . ݀ܣԦ ൌ ݍ,      ou  
ߝ଴ሺܧܣ ൅ ܧܣሻ ൌ ߪܣ. 
Isolando E temos 
 ܧ ൌ ఙ
ଶఌబ
                                                (3.8) 
 
 
  47 
 
Figura 3.6: Casca esférica com distribuição uniforme de carga. 
Ilustração da superfície gaussiana esférica de raio r>R. 
(d) Casca Esférica de Carga 
A  Fig.3.6 mostra  uma  casca  esférica  fina  de  raio  R,  com  uma  carga  q 
uniformemente distribuída em sua superfície. A casca está envolvida por 
uma superfície esférica de raio r. Dos estudos anteriores sabe‐se que o 
campo tem somente a componente radial. Deseja‐se encontrar o campo 
elétrico para pontos  em que  r>R  e  r<R. Aplicando‐se  a  lei de Gauss  à 
superfície esférica de raio r>R, obtém‐se 
ߝ଴ܧ௥ሺ4ߨݎଶሻ ൌ ݍ, 
ou 
ܧ௥ ൌ
ଵ
ସగ௥మఌబ
௤
௥మ
  (casca esférica, r>R)                  (3.9) 
• Uma  casca  esférica  uniformemente  carregada  comporta‐se 
como uma carga pontual para todos os pontos exteriores a ela. 
Se  considerarmos  que  a  superfície  gaussiana  tem  um  raio  r  <R,  ao 
aplicarmos a lei de Gauss encontraremos  
ߝ଴ ׯܧሬԦ . ݀ܣԦ ൌ ݍ ൌ 0, 
pois  não  há  nenhuma  carga  interna  à  superfície.  Como  a  carga  está 
distribuída  uniformemente  sobre  a  superfície  esférica  conclui‐se  que 
ܧ௥ ൌ 0  para  qualquer  ponto  interno  à  casca  esférica  de  raio  R. 
Resumindo, 
ܧ௥ ൌ 0,  (casca esférica com σ uniforme e r<R)                 (3.10) 
• Uma  casca  esférica  uniformemente  carregada  não  exerce 
nenhuma  força elétrica em uma partícula  carregada  localizada 
em seu interior, em qualquer ponto, pois Er=0.  
  48 
 
Figura  3.7:  Comportamento  do  campo  elétrico  de  uma  casca 
esférica em função do raio. 
 
Figura 3.8: Esfera carregada uniformemente. Superfície gaussiana 
esférica com (a) raio r>R e (b) r<R. 
A  Fig.3.7 descreve o  comportamento  gráfico do  campo  em  função do 
raio desde r=0 até r infinito. 
 
(e) Distribuição de Carga com Simetria Esférica 
A  Fig.3.8 mostra uma  esfera de  raio R uniformemente  carregada  com 
densidade  volumétrica  de  carga  positiva  ρ  (coulombs  por  metros 
cúbicos)  ao  longo  de  todo  o  seu  volume  esférico.  Pergunta‐se  pelo 
campo elétrico para pontos interiores ou exteriores à esfera. Tomando‐
se uma superfície gaussiana de raio r>R (Fig.3.8a) (análogo ao caso (d)) e 
usando a lei de Gauss temos, 
  49 
 
Figura 3.9: Comportamento gráfico do campo elétrico da esfera 
uniformemente carregada da figura 3.8. 
ߝ଴ ׯܧሬԦ . ݀ܣԦ ൌ ݍ ou ܧ௥ ൌ
ଵ
ସగ௥మఌబ
௤
௥మ
  (esfera de carga q, r>R). 
Ou seja, a carga distribuída uniformemente por todo o volume da esfera 
comporta‐se como uma carga pontual localizada no centro da esfera. No 
caso da Fig.3.8b a superfície gaussiana envolve somente uma carga q’, 
uma fração da carga total q. Assim, da lei de Gauss temos, ߝ଴ ׯܧሬԦ · ݀ܣԦ ൌ
ݍԢ   ou ܧ௥ ൌ
ଵ
ସగ௥మఌబ
௤ᇱ
௥మ
  (r<R). Como  a densidade de  carga  ρ  é uniforme, 
podemos  escrever  q’  em  termos  de  q:  ݍᇱ ൌ ݍ ቀ௥
ோ
ቁ
ଷ
,  de  forma  que  o 
campo interno à esfera é  
ܧ௥ ൌ
ଵ
ସగ௥మఌబ
௤௥
ோయ
                                         (3.11). 
Graficamente  o  módulo  do  campo  elétrico  para  pontos  internos  e 
externos à esfera é dado na Fig.3.9 
3.4 – Usando a Lei de Gauss para Discutir o Campo Elétrico em 
Condutores 
Pode‐se usar a lei de Gauss para discutir as propriedades de condutores 
em que circule carga elétrica. Uma das mais interessantes propriedades 
é a seguinte: 
• Uma  carga  excedente  localizada  em  um  condutor  isolado 
desloca‐se  totalmente  para  a  superfície  externa  do  condutor. 
Nenhuma  carga  excedente  permanece  no  interior  do  corpo  do 
condutor. 
  50 
O que acontece quando uma quantidade de carga elétrica é armazenada 
em qualquer ponto no  interior de um  condutor  isolado? Quando esta 
carga elétrica  (elétrons) é depositada em qualquer ponto do condutor, 
esta estabelece um campo elétrico no  interior do condutor que exerce 
uma  força elétrica entre as  cargas,  fazendo‐se  com que as mesmas  se 
empurrem ao máximo e se redistribuam ao longo da superfície externa. 
Este processo leva em torno de 10‐9s, levando a um campo interno nulo 
e  ao  estabelecimento  do  equilíbrio  eletrostático.  Se  houvesse  algum 
campo  no  interior  do  condutor  isolado,  haveria  uma  força  elétrica 
atuando nos elétrons de condução do metal. Um fio transportando uma 
corrente elétrica não pode ser considerado um condutor isolado, porque 
este  está  sob  influência  de  uma  ação  externa  (uma  bateria,  por 
exemplo),  que  estabelece  um  campo  elétrico  interno.  A  lei  de  Gauss 
pode  ser  usada  para mostrar  que  qualquer  excesso  de  carga  em  um 
condutor em equilíbrio eletrostático deve estar exclusivamente na  sua 
superfície  externa.  Para mostrar  isso  considere  a  Fig.3.10,  onde  uma 
superfície gaussiana é traçada,  internamente, bem próxima à superfície 
do condutor. Se o campo elétrico é nulo em todos os lugares no interior 
do condutor, este será nulo em todos os pontos da superfície gaussiana, 
que  se encontra  totalmente dentro do condutor. Assim  sendo, o  fluxo 
total através da superfície gaussiana é nulo. Se o fluxo total é nulo, pela 
lei de Gauss, conclui‐se que a carga  total  líquida dentro do condutor é 
nula. 
 
 
 
 
 
Deve  ficar  claro  que  o  campo  elétrico  nulo  no  interior  de  condutor 
isolado  não  é  devido  simplesmente  ao  fato  das  cargas  estarem  na 
superfície externa, mas também devido à adequada distribuição destas 
cargas na parte externa deste. Além disso, se o condutor isolado possui 
uma superfície interna (um buraco, por exemplo), não deve haver carga 
 
Figura 3.10: Condutor de forma arbitrária e o seu 
campo interno.
  51 
 
Figura 3.11: Campo elétrico imediatamente acima de uma superfície 
condutora. 
na  sua  superfície  interna. Outra  característica do  campo elétrico ܧሬԦ na 
superfície externa de um  condutor em equilíbrio eletrostático é que o 
mesmo  é  normal  a  esta  superfície.  Se  existisse  uma  componente 
tangencial na superfície externa haveria uma corrente elétrica nesta. 
Uma vez que o excesso de carga de um condutor isolado permaneça na 
sua superfície externa deve‐se calcular o campo nas proximidades desta 
superfície. Para determinar a amplitude do campo próximo à superfície 
de um condutor usaremos a lei de Gauss aplicada à superfície gaussiana 
cilíndrica desenhada na Fig. 3.11, cujas superfícies retas são paralelas à 
superfície  do  condutor.  Parte  do  cilindro  está  dentro  do  condutor  e 
parte  fora. Da  condição de equilíbrioeletrostático, o  campo elétrico é 
nulo dentro do condutor e perpendicular externamente. O fluxo através 
do cilindro vem somente da parte externa de sua superfície. Assim, 
ߔா ൌ ׯܧሬԦ · ݀ܣԦ ൌ ܧܣ ൌ
௤
ఌబ
ൌ ఙ஺
ఌబ
, 
Resolvendo para E temos, 
ܧ ൌ ఙ
ఌబ
  ,                                                                  (3.12) 
Este  campo,  imediatamente acima da  superfície, é normal à  superfície 
do condutor. 
 Problemas  Propostos  
Problema 1‐ Uma rede de caçar borboleta está numa região onde existe 
um campo elétrico uniforme, como  ilustra afigura 3.12. A extremidade 
  52 
aberta é limitada por um aro de área A, perpendicular ao campo. Calcule 
o fluxo de EሬሬԦ através da rede. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Problema 2 ‐ A figura 3.13 mostra parte de dois longos e finos cilindros 
concêntricos de raios a e b. Os cilindros possuem cargas iguais e opostas, 
com densidade  linear  λ. Use  a  lei de Gauss para mostrar que:  (a) E=0 
para r<a e (b) que entre os cilindros 
ܧ ൌ ଵ
ଶగఌబ
ఒ
௥
. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Problema 3 ‐ Qual é o fluxo elétrico através de cada uma das superfícies 
na Fig. 3.14? Dê sua resposta em termos de múltiplos de q/ε0. 
 
 
 
Figura 3.13: Cilindros concêntricos com cargas iguais 
e opostas, 
 
Figura 3.12: Fluxo elétrico que atravessa uma 
rede de borboletas. 
  53 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Problema  4  ‐  A  esfera  (A)  e  o  elipsóide  (B)  na  Fig.  3.  14  são  duas 
superfícies gaussianas que envolvem a mesma quantidade de  carga q. 
Quatro  estudantes estão discutindo a situação. 
André diz que o  fluxo através de A e B é o mesmo porque as 
superfícies  têm  o  mesmo  raio  médio.  Luís  concorda  que  os 
fluxos  são  iguais, mas  porque  A  e  B  envolvem  cargas  iguais. 
Pedro diz que o campo elétrico não é perpendicular à superfície 
de B, e por  isso o fluxo através de B é menor que através de A. 
Paulo acha que a lei de Gauss não é aplicável à situação de B, de 
forma que não devemos comparar os fluxos através de A e B. 
Você concorda com algum destes estudantes? Explique.  
 
 
 
 
 
 
Problema 5 – Um dos vértices de um cubo de  lado L é posicionado na 
oriem de um sistema de eixos, como mostra a figura 3.16. Suponha que 
o mesmo  é  atravessado por um  campo  elétrico uniforme, ܧሬԦ ൌ െܤଓ̂ ൅
ܥଔ̂ െ ܦ ෠݇, onde B, C e D  são  constantes positivas,  (a) Encontre o  fluxo 
elétrico através de cada uma das seis faces do cubo, S1, S2, S3, S4, S5 e S6. 
(b) Encontre o fluxo elétrico total através do cubo. 
  54 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Problema 6 – Falso ou verdadeiro (justifique) 
(a) A  lei de Gauss é válida somente para uma distribuição de carga 
simétrica? 
(b) Podemos usar a lei de Gauss para mostrar que E=0 dentro de um 
condutor? 
Problema 7 – Um esfera condutora de raio R=0.1 m tem uma densidade 
volumétrica de carga ρ=2.0 nC/m3. A magnitude do campo elétrico em 
r=2R é E=1883 N/C. Encontre a magnitude do campo elétrico em r=0.5R. 
Problema 8 – Um cilindro infinitamente longo, de raio R, contém uma 
carga uniformemente distribuída, com densidade r. Mostre que a uma 
distância r do eixo do cilindro (r<R), 
 
3.6.‐Referências bibliográficas 
 
Livro Texto 
HALLIDAY, D.; RESNICK, R.; KRANE, K. S.  Física. V. 3, 4. ed. Rio de 
Janeiro: LTC, 1996. 
 
Bibliografia complementar 
HEWITT, Paul G. Física conceitual. 9. ed. Porto Alegre: Bookman, 2002. 
TIPLER, P. Física 3. 4. ed. Rio da Janeiro: Guanabara Dois, 1999. 
NUSSENZVEIG, H. M. Curso de Física Básica 3: mecânica. São Paulo: 
Edgard Blücher, 1996. 
 
Figura 3.16 
  55 
SERWAY, R. A. Física para cientistas e engenheiros: com Física Moderna. 
V. 3. 3. ed. Rio de Janeiro: LTC, 1997. 
3.7‐Web‐bibliografia 
 
http://br.geocities.com/saladefisica3/labortório.htm  
http://www.adorofisica.com.br/comprove/mecanica/mec_cine_vetor.ht
ml 
 
   
  56 
UNIDADE 4 POTENCIAL ELÉTRICO 
 
 
RESUMO 
 
Nesta unidade discutiremos   e apresentaremos os conceitos de energia 
potencial elétrica e potencial elétrico,  importantes no desenvolvimento 
do formalismo escalar na solução de problemas eletrostáticos. Veremos 
que a mesma pode  ser armazenada no campo de  forças eletrostáticas 
conservativas. 
   
  57 
Sumário 
UNIDADE 4: Potencial Elétrico 
Paulo Henrique Ribeiro Barbosa 
4.1  Introdução  57 
4.2  Energia Potencial e Energia Potencial Elétrica  57 
4.3  Potencial Elétrico  62 
4.4  Cálculo do Potencial Elétrico a Partir do Campo Elétrico  64 
4.5  Potencial de um dipolo dielétrico  65 
4.6  Potencial de uma linha de carga  66 
4.7  Diferença  de  potencial  elétrico  entre  as  placas  de  um 
capacitor 
 
67 
4.8  O cálculo do campo elétrico a partir do potencial elétrico  68 
4.9  Superfícies equipotenciais  69 
4.5  Problemas Propostos  71 
4.6  Referências bibliográficas  72 
4.7  Web‐bibliografia  73 
 
 
 
 
   
  58 
4.1 ‐Introdução 
Nas unidades anteriores abordou‐se o problema eletrostático usando‐se 
o  formalismo  vetorial.  Naquele  momento  o  interesse  básico  era  a 
determinação  do  campo  elétrico  em  um  ponto  devido  a  uma 
distribuição  de  cargas.  O  campo  produzido  por  esta  distribuição  de 
cargas age em qualquer corpo carregado imprimindo‐lhe uma força que 
modifica  seu  estado de movimento. A  realização de  trabalho da  força 
elétrica  sobre  o  corpo  carregado  mostra  que  energia  pode  ser 
transferida  da  distribuição  de  cargas  para  o  corpo  carregado  e  vice‐
versa.  
Nesta unidade discutiremos a natureza dessa energia e veremos que a 
mesma  pode  ser  armazenada  no  campo  de  forças  eletrostáticas 
conservativo,  levando  aos  conceitos  de  energia  potencial  elétrica  e 
potencial eletrostático associados a um conjunto de cargas. 
 
4.2 ‐ Energia Potencial e a Energia Potencial Elétrica 
Uma forma simples de entender a energia associada às forças elétricas, 
é explorar as semelhanças entre a interação eletrostática entre cargas e 
a gravitacional entre massas: 
 
ܨா ൌ
ଵ
ସగఌబ
|௤భ||௤మ|
௥మ
              eletrostática,                           (4.1)   
 
ீܨ ൌ ܩ ௠భ௠మ
௥మ
                   gravitacional.                           (4.2) 
Foi  visto  em  cursos  anteriores  que  o  trabalho  realizado  pela  força 
gravitacional  para  transportar  uma massa m2  na  presença  do  campo 
gravitacional da outra massa m1 depende somente das posições inicial e 
final da massa m2  relativa  à partícula de massa m1 e não do  caminho 
percorrido  por  esta.  Por  causa  desta  propriedade  esta  força  foi 
denominada de  força conservativa. E quando uma  força é conservativa 
podemos associar a esta uma energia potencial, ܷሺݎԦሻ. Assim, a diferença 
de energia potencial, ߂ܷሺݎԦሻ, à medida que um  corpo  se move de  sua 
posição inicial à sua posição final é igual ao trabalho com sinal negativo 
realizado pela força: 
 
  59 
߂ܷሺݎԦሻ ൌ ௙ܷ െ ௜ܷ ൌ െ ௜ܹ௙ ൌ െ׬ ܨԦ · ݀ݏԦ
௙
௜ ,       (4.3) 
onde  ௜ܹ௙é  o  trabalho  realizado  pela  força  ܨԦ  quando  o  objeto 
move‐se de i para f. No caso da força gravitacional entre as massas 
m1 e m2 usando a Eq.4.3 encontra‐se que a diferença de energia 
potencial quando a massa m2 move‐se de r1 à r2 é 
߂ܷሺݎԦሻ ൌ െܩ݉ଵ݉ଶ ቀ
ଵ
௥భ
െ ଵ
௥మ
ቁ.                       (4.4) 
Observe  que  esta  diferença  de  energia  potencial  está  associada 
com  todo o sistema composto por m1 e m2, e não com cada um 
dos objetos separadamente.  
Embora a força eletrostática entre cargaspossa ser tanto atrativa 
quanto  repulsiva,  a  semelhança  com  a  interação  gravitacional 
permite  chegar‐se à mesma  conclusão  sobre a energia potencial 
elétrica:  A  força  eletrostática  é  conservativa,  por  isso  podemos 
associar  uma  energia  potencial  eletrostática  à  configuração  de 
cargas  interagentes.  O  fato  das  cargas  serem  positivas  ou 
negativas  pode  levar  somente  a  existência  de  uma  energia 
potencial elétrica positiva ou negativa. 
  Para  introduzir  o  conceito  de  energia  potencial 
eletrostática  considere  inicialmente  duas  cargas  pontuais 
positivas,  q1  e  q2,  inicialmente  separadas  de  uma  distância  r1  a 
partir  de  q1.  Considerando  q1  fixa,  podemos  usar  a  Eq.4.3  para 
calcular a  variação de  sua energia potencial eletrostática devido 
ao deslocamento da carga q2 para uma nova posição de distância 
r2, ao longo da reta que une as cargas. Usando‐se  
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 4.1 
  60 
que  ܨԦ ൌ ଵ
ସగఌబ
௤భ௤మ
௥మ
̂ݎ e ݀ݏԦ ൌ ̂ݎ݀ݎ na Eq.4.3 temos, após integração,  
߂ܷሺݎԦሻ ൌ െන
1
4ߨߝ଴
ݍଵݍଶ
ݎଶ ̂ݎ ·
௥మ
௥భ
̂ݎ݀ݎ, 
ou  
 
߂ܷሺݎԦሻ ൌ ܷଶ െ ଵܷ ൌ
ଵ
ସగఌబ
ݍଵݍଶ ቀ
ଵ
௥మ
െ ଵ
௥భ
ቁ.             (4.5) 
A Eq.4.5determina o valor de ߂ܷ para qualquer caminho entre um 
ponto P1, que está a uma distância  r1 de q1 e um ponto P2, que 
está a uma distância r2 de q1. Muitas vezes é conveniente escolher 
um ponto de referencia que corresponda a uma separação infinita 
entre  as  cargas e,  geralmente escolhe‐se  ଵܷሺݎଵ ՜ ∞ሻ ൌ 0.  Logo, 
omitindo‐se o índice 2 temos, 
ܷሺݎሻ ൌ ଵ
ସగఌబ
௤భ௤మ
௥
.                                      (4.6) 
Esta expressão fornece a energia potencial elétrica associada a um 
ponto r, armazenada pelo sistema de duas cargas puntiformes, q1 
e q2, separadas pela distância r. 
Observações: 
(a) Para q1 e q2 de mesmo sinal: 
• Se r1>r2 temos ߂ܷ ൐ 0; 
• Se r1<r2 temos ߂ܷ ൏ 0. 
(b) Para q1 e q2 de sinais diferentes: 
• Se r1>r2 temos ߂ܷ ൏ 0; 
• Se r1<r2 temos ߂ܷ ൐ 0. 
Vamos  examinar  o  sistema  de  duas  cargas  isoladas  à  luz  do 
princípio da conservação da energia mecânica. 
1. Se  as  duas  cargas  q1  e  q2  têm  o  mesmo  sinal  e  estão 
inicialmente  infinitamente  afastadas.  Um  agente  externo 
realizará um  trabalho positivo  contra a  força de  repulsão 
das cargas para posicioná‐la a uma distância  r entre elas. 
Então  a  energia  potencial  eletrostática  do  sistema  será 
aumentada, ߂ܷ ൐ 0. O agente externo armazenou energia 
  61 
no  sistema.  Se  for permitido que  as  cargas  fiquem  soltas 
para se repelirem, a energia armazenada no sistema na  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
forma  de  energia  potencial  elétrica  terá  uma  variação  
negativa  (߂ܷ ൏ 0)  e  a  sua  energia  cinética  terá  uma 
variação positiva  (߂ܭ ൐ 0). A Fig.4.2 mostra esta situação 
para  este  sistema  de  duas  cargas  com  mesmo  sinal  e 
energia  mecânica  Em.Observe  que  a  energia  mecânica 
delimita  a  máxima  aproximação  entre  duas  cargas  de 
mesmo sinal. 
2. Se  as  duas  cargas  q1  e  q2  têm  sinais  opostos  estando 
inicialmente  infinitamente  afastadas,  um  agente  externo 
realizará  um  trabalho  negativo  contra  a  força  de  atração 
entre  as  cargas para posicioná‐la  a uma distância  r entre 
elas.  Então  a  energia  potencial  eletrostática  do  sistema 
diminuirá, ߂ܷ ൏ 0. O agente externo realizou um trabalho 
negativo,  que  fez  diminuir  a  energia  do  sistema.  Se  for 
permitido  que  as  cargas  fiquem  soltas  para  se  atrair,  a 
energia  potencial  elétrica  diminuirá  (߂ܷ ൏ 0)  e  a  sua 
  62 
energia cinética aumentaria indefinidamente até colidirem 
(߂ܭ ൐ 0). A Fig.4.3 mostra o gráfico da energia potencial e 
a separação máxima entre as cargas de sinais opostos para 
uma determinada energia mecânica negativa (Em<0).  
 
 
 
 
   
 
 
 
 
 
 
No  caso  de  cargas  de  sinais  opostos  separadas  inicialmente  de  uma 
distância r, um agente externo deve realizar um trabalho positivo igual a 
ΔU  para  separar  as  cargas  a  uma  grande  distância.  Esta  energia  é 
chamada de energia de ligação, ou energia de ionização. 
  Podemos  generalizar  a  definição  de  energia  potencial 
eletrostática  para  um  sistema  de  N  cargas.  Conceitualmente  esta 
energia deve ser  interpretada como a energia necessária para  reunir o 
conjunto de N cargas. Toma‐se uma carga como referência, e inicia‐se o 
processo de busca das outras cargas. Por exemplo, para trazer a carga q2 
a uma distância  r12 da primeira  carga  realiza‐se um  trabalho dado por 
ଵܷଶ ൌ
ଵ
ସగఌబ
௤భ௤మ
௥భమ
. Ao acrescentar a carga q3 ao sistema (q1 + q2) realiza‐se 
o  seguinte  trabalho: U13+U23, e a energia armazenada na  configuração 
(q1+q2+q3) passa a ser ܷ ൌ ଵܷଶ ൅ ଵܷଷ ൅ ܷଶଷ. Estendendo este raciocínio 
para N cargas têm‐se, 
 
ܷ ൌ ଵܷଶ ൅ ଵܷଷ ൅ ڮ൅ ௜ܷ௝ ൅ ڮ ൌ ∑ ௜ܷ௝ே௜,௝ୀଵሺ௜ஷ௝ሻ ൌ
ଵ
ସగఌబ
∑ ௤೔௤ೕ
௥೔ೕ
ே
௜,௝ୀଵሺ௜ஷ௝ሻ ,                                                     (4.7) 
 
Figura 4.3  
  63 
Onde implicitamente supõe‐se válido o princípio da superposição. Esta 
expressão acima permite dizer que: 
 
A energia potencial elétrica de um sistema de cargas pontuais fixas em 
repouso  é  igual  ao  trabalho  que  deve  ser  realizado  por  um  agente 
externo  para  reunir  o  sistema,  trazendo  cada  carga  de  uma  distância 
infinita onde ela também está em repouso. 
 
4.3 Potencial Elétrico 
Quando  tratamos  do  sistema massa‐mola,  constatamos  que  a  energia 
potencial  do  sistema  fica  armazenada  na  mola  através  de  sua 
compressão  ou  distensão.  Entretanto,  quando  consideramos  duas 
cargas  positivas  (por  exemplo)  q  e  q0  e  perguntamos  onde  está 
armazenada  a  energia potencial do  sistema  (que  eventualmente pode 
ser  transformada  em  energia  cinética  das  cargas)  não  temos  nenhum 
caráter  local, como no sistema massa‐mola. Na Unidade 2, definindo o 
campo elétrico, ܧሬԦ, conseguimos separar a carga q,  fonte de campo, da 
carga q0 que sofre a força devido ao campo da carga fonte,  levando ao 
esquema, 
 
ہ۴۽܀Çۯ ۳ۻ ܙ૙ۂ
ൌ ሾ۱ۯ܀۵ۯ ܙ૙ሿܠሾۯۺ܂۳܀ۯÇÃ۽ ۲۽ ۳܁۾ۯÇ۽ ۾۳ۺۯ ۱ۯ܀۵ۯ ۴۽ۼ܂۳ሿ 
 
Raciocinando  de  forma  análoga  acerca  da  energia  potencial  elétrica 
devido à interação entre as cargas q e q0 podemos elaborar um esquema 
semelhante, 
 
ہ۳ۼ۳܀۵۷ۯ ۲۳ ۷ۼ܂۳܀ۯÇۯ۽ ۳ۼ܂܀۳ ܙ ۳ ܙ૙ۂ ൌ
ሾ۱ۯ܀۵ۯ ܙ૙ሿܠሾ۾۽܂۳ۼ۱۷ۯۺ ۲۳ ۷ۼ܂۳܀ۯÇÃ۽ ۲ۯ ۱ۯ܀۵ۯ ܙሿ. 
Em  analogia  com  a  definição  de  campo  elétrico,  para  o  conjunto  de 
cargas  q  e  q0,  que  armazenam  a  energia  potencial  U  definimos  o 
potencial elétrico, V, como 
ܸ ൌ ௎
௤బ
,                                                       (4.8) 
  64 
onde a carga q0 é a carga de prova usada para detectar o potencial, V, 
criado pela carga fonte q em um ponto P do espaço. Invertendo a eq.4.8 
podemos escrever a energia potencial como 
ܷ ൌ ݍ଴ܸ,                                                                               (4.9) 
 mostrando que, uma vez determinado o potencial V criado pelas cargas 
fontes  naquele  ponto,  fica  fácil  determinar  a  energia  potencial  U  do 
conjunto  carga  fonte+  carga de  prova. A  Figura  4.4 mostra  esta  idéia 
esquematicamente. A unidade de potencial é o joule (J) por Coulomb ( 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A unidade de potencial é o joule (J) por Coulomb (C), que chamada de 
volt (V), no MKS: 
 
1ݒ݋݈ݐ ൌ 1ܸ ൌ 1ܬ/ܥ, 
C), em homenagem a Alessandro Volta, que inventou a bateria em 1800. 
Propriedades do Potencial Elétrico V. 
Embora seja uma idéiaabstrata, a utilidade e praticidade do potencial 
elétrico serão evidenciadas ao longo deste capítulo. Duas características 
essenciais são: 
• O potencial elétrico depende somente das cargas fontes e de 
sua geometria. O potencial é a capacidade das cargas fontes 
interagirem com uma carga q presente.  Esta capacidade, ou 
potencial, está presente através do espaço independentemente 
da presença ou não da carga q. 
 
Figura 4.4 
  65 
• Se conhecermos o potencial em todo o espaço, imediatamente 
conhecemos a energia potencial ܷ ൌ ݍܸ de qualquer carga q 
naquela região do espaço com aquelas cargas fontes. 
A energia de uma partícula carregada é dada por seu potencia 
elétrico: ܷ ൌ ݍܸ. Conseqüentemente, partículas carregadas 
aceleram ou desaceleram ao se moverem através de uma região 
de potencial variável. Dito de outra forma, o estado de 
movimento de uma partícula é alterado quando esta é 
submetida a uma diferença de potencial ߂ܸ ൌ ௙ܸ െ ௜ܸ (chamada 
comumente de ddp ou voltagem), entre o ponto de partida “i” e 
o ponto de chegada “f”. 
 
4.4 Cálculo do Potencial Elétrico A Partir do campo Elétrico. 
A  ligação  entre  V  e  ܧሬԦ  segue  diretamente  da  definição  de  potencial 
elétrico  V=U/q0,  ou  diferença  de  potencial  ΔV=ΔU/q0.  Considere  uma 
carga de prova q0, que é deslocada de a para b em um campo elétrico ܧሬԦ, 
sob a ação da força elétrica ܨԦ ൌ ݍ଴ܧሬԦ. Usando‐se a definição de variação 
de potencial elétrico e a Eq.4.3 temos 
߂ܸ ൌ ௱௎ሺ௥Ԧሻ
௤బ
ൌ ௎್ି௎ೌ
௤బ
ൌ ିௐೌ್
௤బ
ൌ
ି׬ ிԦ·ௗ௦Ԧ್ೌ
௤బ
ൌ
ି׬ ௤బாሬԦ·ௗ௦Ԧ
್
ೌ
௤బ
,  
temos, 
߂ܸ ൌ െ׬ ܧሬԦ · ݀ݏԦ௕௔ .                                                    (4.10) 
Para ilustrar é calculada a diferença de potencial entre os pontos a 
e b de uma carga fonte pontual e isolada. Como o campo de uma 
carga pontual é ܧሬԦ ൌ ଵ
ସగఌబ
௤
௥మ
̂ݎ, e considerando que os pontos a e b 
estejam alinhados, por simplicidade (݀ݏԦ ൌ ̂ݎ݀ݎ), temos, 
߂ܸ ൌ ஻ܸ െ ஺ܸ ൌ െ׬
ଵ
ସగఌబ
௤
௥మ
̂ݎ. ̂ݎ݀ݎ௕௔ ൌ
௤
ସగఌబ
ቀ ଵ
௥ಳ
െ ଵ
௥ಲ
ቁ,  
expressão  válida  mesmo  que  os  pontos  A  e  B  não  estejam 
alinhados.  Podemos  definir  o  potencial  em  um  ponto  se 
associarmos  o  potencial  nulo  a  um  ponto  de  referência.  Por 
exemplo, na equação acima podemos fazer VA=0 no ponto A para 
ݎ஺ ൌ ∞, e VB=V em B para rB=r: 
ܸሺݎሻ ൌ 14ߨߝ0
ݍ
ݎ.                                                (4.11) 
  66 
 
Figura 4.5  
A expressão acima dá o potencial no ponto P, a uma distância r de 
uma carga pontual q (fonte do potencial).  
Podemos generalizar esta expressão para calcular o potencial no 
ponto P devido a um conjunto de N cargas pontuais q1, q2,  ..., qN 
respectivamente distantes  de P de r1, r2, ..., rN, 
ܸ ൌ ଵ
ସగఌబ
∑ ௤೔
௥೔
ே
௜ୀଵ .                                       (4.12) 
Quando  temos  uma  distribuição  contínua  de  carga  ao  longo  de 
uma  linha, numa  superfície ou em um volume, divide‐se a  carga 
em elementos de carga dq, e a soma acima transforma‐se em uma 
integral: 
ܸ ൌ ଵ
ସగఌబ
׬ ௗ௤௥ ,                                                           (4.13) 
onde deve‐se  tomar ݀ݍ ൌ ߣ݀ݏ, ߪ݀ܣ ݁ ߩ݀ݒ,  respectivamente para 
distribuições  lineares,  superficiais  e  volumétricas  de  carga.  O 
potencial  definido  na  Eq.4.13  é  nulo  para  pontos  infinitamente 
afastados das cargas. 
 
4.5 Potencial de um Dipolo Elétrico 
Deseja‐se  calcular o potencial de um dipolo em um ponto P, disposto 
conforme a Fig. 4.5 abaixo. O Ponto P está  localizado a uma distância r 
do  centro  do  dipolo  e  a  um  ângulo  θ  do  eixo  do  dipolo  (eixo  z).  As 
  67 
distâncias  r+ e  r‐  localizam as  cargas positiva e negativa em  relação ao 
ponto P. Da Eq. 4.12 temos, 
ܸ ൌ ଵ
ସగఌబ
ቀ ௤
௥శ
൅ ି௤
௥ష
ቁ, 
que  dá  o  exato  valor  do  potencial  no  ponto.  Em  muitas  situações 
práticas tem‐se interesse na expressão do dipolo para um ponto P muito 
distante  do  dipolo  (r>>d).  Nesta  situação,  valem  as  seguintes 
aproximações: 
ݎା െ ିݎ ൎ ݀ cos ߠ         ݁       ିݎ ݎା ൎ ݎଶ .                        
Substituindo a expressão do potencial acima temos, 
ܸ ൌ ଵ
ସగఌబ
௤ௗ ୡ୭ୱఏ
௥మ
ൌ ଵ
ସగఌబ
௣ ୡ୭ୱఏ
௥మ
,                                (4.14) 
onde  usamos  a  definição  de  momento  de  dipolo  (p=qd).  Esta  é  a 
expressão para o potencial do dipolo  elétrico para qualquer ponto do 
espaço a uma grande distância.  
4.6 – Potencial de uma Linha de Carga 
Como  exemplo  ilustrativo  de  uma  distribuição  contínua  de  cargas 
considere  uma  barra  uniformemente  carregada  positivamente  com 
densidade linear λ por unidade de comprimento e orientada ao longo do 
eixo z. Deseja‐se calcular o potencial elétrico produzido por esta barra 
em um ponto no eixo y, posicionado simetricamente em relação ao eixo 
z,  conforme  mostra  a  Fig.4.6.  Aplicando  a  Eq.4.13  e  utilizando  o 
elemento de carga 
 
Figura 4.6 
  68 
dq=λdz, e usando‐se que ݎ ൌ ඥݖଶ ൅ ݕଶ  , tem‐se 
ܸ ൌ ଵ
ସగఌబ
׬ ఒ
ඥ௭మା௬మ
݀ݖା௅/ଶି௅/ଶ .                                                             (4.15) 
Usando‐se uma tabela de integrais tem‐se 
ܸ ൌ ఒ
ସగఌబ
ln ൤ ௅/ଶାඥሺ௅/ଶሻ
మା௬మ
ି௅/ଶାඥሺ௅/ଶሻమା௬మ
൨,                                                         (4.16) 
onde pode‐se verificar que no  limite de L/y→0, este potencial reduz‐se 
ao de uma carga pontual, 
ܸ ൎ ଵ
ସగఌబ
ఒ௅
௬
ൌ ଵ
ସగఌబ
௤
௬
. 
4.7 A  Diferença  de  Potencial  Elétrico  entre  as  placas  de  um 
Capacitor 
Calcularemos  agora  a  diferença  de  potencial  entre  as  placas  de  um 
capacitor  de  placas  paralelas  a  partir  do  conhecimento  do  campo 
elétrico  no  espaço  entre  elas.   Da  lei  de Gauss  é  fácil mostrar  que  o 
campo elétrico entre as placas de um capacitor de área A e separação s 
é  
ܧሬԦ ൌ െ ఙ
ఌబ
̂ݏ,                                           (4.17) 
onde σ é o módulo da densidade superficial de carga da placa de área A 
e carga q (Fig.4.7).  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 4.7 
  69 
 
Substituindo a Eq.4.17 na Eq.4.10 e usando ݀ݏԦ ൌ ̂ݏ݀ݏ, temos o potencial 
no ponto P 
௉ܸ ൌ െ׬ ቀെ
ఙ
ఌబ
ቁ௦଴ ̂ݏ · ̂ݏ݀ݏ,  
que dá 
௉ܸ ൌ ܧݏ ൌ
ఙ
ఌబ
ݏ.                                           (4.18) 
Para  calcular  a  diferença  de  potencial  entre  as  placas  positivas  e 
negativas usamos a Eq.4.18: 
߂ܸ ൌ ାܸ െ ܸି ൌ ܧ݀ െ 0 ൌ ܧ݀ ൌ
ߪ
ߝ଴
݀ ൌ
ܳ݀
ߝ଴ܣ
                   ሺ4.19ሻ 
4.8 O Cálculo do Campo Elétrico a Partir do Potencial Elétrico 
Já  discutimos  nas  seções  acima  que  podemos  calcular  o  potencial  se 
conhecemos  o  campo  elétrico ܧሬԦሺݎԦሻ  em  qualquer  ponto  P  do  espaço. 
Nesta  seção mostraremos que podemos determinar ܧሬԦ  se  conhecemos 
ܸሺݎԦሻ. Considere V em coordenadas cartesianas, V=V(x,y,z) em qualquer 
ponto do espaço. Da Eq.4.10 temos 
െ׬ ܸ݀௕௔ ൌ ׬ܧሬԦ · ݀Ԧ݈.                                           (4.20) 
 
A  igualdade  entre  estas  duas  integrais  leva  à  igualdade  entre  os 
integrandos para os limites dados: 
ܸ݀ ൌ െܧሬԦ · ݀Ԧ݈.                                                   (4.21) 
 
Escrevendo  ܧሬԦ ൌ ଓԦܧ௫ ൅ ଔԦܧ௬ ൅ ሬ݇Ԧܧ௭  e  ݀Ԧ݈ ൌ ଓԦ݀ ݔ ൅ ଔԦ݀ ݕ ൅ ሬ݇Ԧ݀ݖ 
encontramos que 
െܸ݀ ൌ ܧ௫݀ݔ ൅ ܧ௬݀ݕ ൅ ܧ௭݀ݖ. 
 
Suponha  que  o  deslocamento  se  dá  paralelamente  ao  eixo  x 
(dy=dz=0)  teremos  – ܸ݀ ൌ ܧ௫݀ݔ  ou  ܧ௫ ൌ െሺܸ݀/݀ݔሻݕ, ݖ ܿ݋݊ݏݐ. 
Como  V=V(x,y,z)  devemos  tratar  as  derivadas  como  derivadas 
parciais. 
ܧ௫ ൌ െ
డ௏
డ௫
,             ܧ௬ ൌ െ
డ௏
డ௬
,               ܧ௭ ൌ െ
డ௏
డ௭
,            (4.22) 
 
  70 
que  são as  componentes de   ܧሬԦሺݎԦሻ   em  termos de ܸሺݎԦሻ. Podemos 
escrever o campo elétrico como 
ܧ ൌ െቀଓԦడ௏
డ௫
൅ ଔԦడ௏డ௬
൅ ሬ݇Ԧ డ௏
డ௭
ቁ ൌ െ׏ሬሬԦV,                      (4.23) 
 
onde  dizemos  que  o  campo  elétrico  é  o  gradiente  do  potencial 
elétrico. O gradiente do potencial (׏ሬሬԦV) aponta na direção de maior 
crescimento do potencial  com a posição. Dessa maneira o  sentido 
de ܧሬԦሺݎԦሻ é oposta ao do gradiente.  
 
4.9 – Superfície Equipotencial 
Linha  de  campo  ajuda‐nos  na  visualização  dos  campos  elétricos. 
Semelhantemente, o potencial em vários pontos de um campo elétrico 
pode  ser  visualizado  por  superfícies  equipotenciais.  Este  conceito  é 
análogo  ao  conceito  de  curva  de  nível  usado  em  topografia.  Em  um 
mapa  topográfico,  uma  superfície  equipotencial  é  uma  superfície 
tridimensional em que o potencial elétrico, V,  tem o mesmo valor em 
qualquer  ponto  desta.  Se  uma  carga  de  prova  q0  é  deslocada  de  um 
ponto  para  outra  desta  superfície  equipotencial  sua  energia  potencial 
permanecerá a mesma, ou seja, a força elétrica que atua em q0 devido 
ao  campo  (fonte  do  potencial) não  realiza  trabalho  líquido na mesma 
superfície  equipotencial.  Conclui‐se  então  que  o  campo  eletrostático 
ࡱሬሬԦሺ࢘ሬԦሻ é sempre perpendicular à superfície de uma equipotencial. Além 
disso,  duas  superfícies  equipotenciais  não  se  cruzam,  pois  significaria 
que podemos associar dois campos elétricos resultantes a este ponto de 
cruzamento,  situação  não  física.  As  linhas  de  campo  são  curvas, 
enquanto  as equipotenciais  são  superfícies  curvadas. No  caso especial 
do  campo  elétrico  uniforme  as  linhas  de  campo  são  linhas  retas, 
paralelas  igualmente  espaçadas,  enquanto  as  equipotenciais  são 
superfícies planas perpendiculares às linhas de campo. 
A  Fig.4.8 mostra  três  arranjos  de  cargas  elétricas.  As  linhas  de 
campo possuem setas orientadas no plano. As curvas que  interceptam 
as  linhas  de  campo  são  as  seções  transversais  das  superfícies 
equipotenciais  tridimensionais. Nas  regiões onde o módulo de ࡱሬሬԦሺ࢘ሬԦሻ  é 
relativamente intenso as superfícies equipotenciais estão mais próximas. 
  71 
Figura 4.8 :  
Esta conclusão pode ser tirada da relação entre o campo e o potencial: 
ܧሬԦ ൌ െ׏ሬሬԦV.  Uma  outra  observação  importante  é  a  de  que  ࡱሬሬԦሺ࢘ሬԦሻ  não 
precisa  ser  constante    para  todos  os  pontos  de  uma  superfície 
equipotencial; o caso em que  isto acontece é o do capacitor de placas 
paralelas. 
• Superfície Equipotencial e Condutores 
Um  importante  teorema  acerca  de  superfícies  equipotenciais  é: 
No  equilíbrio  eletrostático  a  superfície  de  um  condutor  é  uma 
equipotencial. Como ࡱሬሬԦሺ࢘ሬԦሻ é sempre perpendicular a uma equipotencial 
e  nulo  dentro  do  condutor  em  equilíbrio  eletrostático,  nós  podemos 
provar este  teorema argumentando que quando  todas as cargas estão 
em  repouso,  o  campo  elétrico  fora  deve  ser  perpendicular  em  cada 
ponto da  superfície do condutor pois do contrário existiriam  cargas  se 
movendo  sobre  sua  superfície, o que violaria a  condição de equilíbrio. 
Outro teorema acerca de condutores, que pode ser provado com o uso 
da  lei de Gauss é: No equilíbrio eletrostático,  se um  condutor possui 
uma  cavidade  interna  e  se  nenhuma  carga  está  presente  dentro  do 
condutor,  então  não  pode  existir  carga  em  nenhum  ponto  dessa 
superfície interna desta cavidade. 
 
 
  72 
4.10 – Problemas Propostos 
Problema 1‐ No movimento de A para B  (figura 4.4) ao  longo de uma 
linha de campo elétrico, o campo realiza 3,94 x 10‐19 J de trabalho sobre 
um elétron. Quais são as diferenças de potencial elétrico: (a) VB ‐ VA; (b) 
VC –VA; (c) VC – VB? 
R.: 2,46 Volts; 2,46 Volts; zero 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Problema  2 ‐A densidade de carga de um plano infinito é σ=0,10 
mC/m2. Qual é a distância entre as superfícies eqüipotenciais cuja 
diferença de potencial é de 50 V? 
R.: 8,85 mm 
Problema  3‐    Duas  grandes  placas  condutoras,  paralelas  entre  si  e 
afastadas por uma distância de 12 cm, têm cargas iguais e sinais opostos 
nos faces que se confrontam. Um elétron colocado no meio da distância 
entre  as  duas  placas  experimenta  uma  força  de  3,9  x  10‐15  N.  (a) 
Determine o campo elétrico na posição do elétron; (b) qual é a diferença 
de potencial entre as placas? 
R.: 2,44 x 104 N/C; 2928 Volts 
 
 
Figura 4.9  
  73 
Problema 4 ‐ Um anel de raio R, carregado positiva e uniformemente, é 
colocado  no  plano  yz,  com  seu  centro  na  origem  do  sistema  de 
coordenadas. (a) Construa um gráfico do potencial V em pontos do eixo 
x,  em  função  de  x.  (b)  Construa,  no mesmo  diagrama,  um  gráfico  da 
intensidade do campo elétrico E. 
 
Problema  5  ‐    Uma  esfera  metálica  de  raio  Ra  apóia‐se  sobre  um 
pedestal isolante, no centro de uma esfera metálica oca de raio interno 
Rb. Existe uma carga +q sobre a esfera  interna e uma carga –q sobre a 
externa. (a) Mostre que a ddp entre as esferas é 
௔ܸ௕ ൌ
ݍ
4ߨߝ଴
൬
1
ܴ௔
െ
1
ܴ௕
൰ 
(c) Mostre que a intensidade do campo elétrico em qualquer ponto 
entre as esferas é 
ܴሺݎሻ ൌ ௔ܸ௕
ቀ 1ܴ௔
െ 1ܴ௕
ቁ
1
ݎଶ
 
 
Problema  6  ‐  (a) Mostre  que  1  N/C  =  1  V/m.  (b)  Estabelece‐se  uma 
diferença  de  potencial  de  2000  V  entre  duas  placas  paralelas  no  ar. 
Supondo  que  o  ar  se  torna  eletricamente  condutor  quando  a 
intensidade  do  campo  elétrico  ultrapassa  3  x  106 N/C,  qual  a menor 
separação possível entre as placas? 
Problema 7 – Um campo elétrico uniforme aponta na direção positiva do 
eixo y. Considere dois pontos no eixo y, A e B, nas posições y=2 m e y=6 
m,  respectivamente.  (a)  A  diferença  de  potencial    Vb‐Va  é  positiva  ou 
negativa? (b) Se Vb‐Va=2x104V qual é a intensidade do campo elétrico? 
 
4.11.‐Referências bibliográficas 
Livro Texto 
HALLIDAY, D.; RESNICK, R.; KRANE, K. S.  Física. V. 3, 4. ed. Rio de 
Janeiro: LTC, 1996. 
 
  74 
Bibliografia complementar 
HEWITT, Paul G. Física conceitual. 9. ed. Porto Alegre: Bookman, 2002. 
TIPLER, P. Física 3. 4. ed. Rio da Janeiro: Guanabara Dois, 1999. 
NUSSENZVEIG, H. M. Curso de Física Básica 3: mecânica. São Paulo: 
Edgard Blücher, 1996. 
SERWAY, R. A. Física para cientistas e engenheiros: com Física Moderna. 
V. 3. 3. ed. Rio de Janeiro: LTC, 1997. 
4.12‐Web‐bibliografia 
http://br.geocities.com/saladefisica3/labortório.htm  
http://www.adorofisica.com.br/comprove/mecanica/mec_cine_vetor.ht
ml 
   
  75 
UNIDADE 5 
CAPACITÂNCIA E CAPACITORES 
 
RESUMO 
 
Nesta  unidade  apresentaremos  o  conceito  de  capacitância  e  a 
importância  dos  capacitores  como  dispositivos  de  armazenamento  de 
energia. Discutiremos o processo de carga e suas associações. 
   
  76 
Sumário 
5 Capacitância e Capacitores 
Paulo Henrique Ribeiro Barbosa 
5.1  Definindo Capacitor  75 
5.2  Energia Armazenada em um Capacitor  78 
5.3  Associação de Capacitores  81 
5.4  Capacitores com Dielétricos  84 
5.5  Problemas Propostos  85 
5.6  Referências bibliográficas  87 
5.7  Web‐bibliografia  87 
 
   
  77 
 
Figura 5.1: Conjunto de duas placas condutoras formando um capacitor. 
5.1‐ Definindo Capacitor 
Um  capacitor  em  sua  forma  mais  simples  é  compreendido  de  dois 
condutores,  normalmente  chamados  de  “placas”;  quando  o  capacitor 
está  carregado, as placas  têm  carga de mesmo módulo, mas de  sinais 
opostos  como mostrado na  Fig. 5.1(a).  Esta  configuração  é  facilmente 
produzida  aterrando  uma  das  placas  (potencial  zero)  e  carregando  a 
outra;  isto  temo efeito de  induzir uma carga de  sinal oposto na placa 
aterrada (ver Fig. 5.1(b)). O processo de carregamento também pode ser 
realizado  ligando cada uma das placas aos  terminais de uma bateria e 
depois de carregada desconectando‐as, as placas ficarão carregadas com 
cargas  de  sinais  opostos,  mas  de  mesmo  módulo.  Em  diagramas  de 
circuitos representaremos um capacitor pelo símbolo  . 
Por  causa  da  interação mútua  entre  as  cargas  de  sinais  opostos  das 
placas,  as  cargas  se  distribuem  nas  superfícies  dos  condutores  de  tal 
forma que elas  ficam  confinadas  àquelas  regiões dos  condutores mais 
próximas entre si. Dessa forma o fluxo elétrico da placa positiva para a 
placa negativa fica confinado principalmente ao espaço entre as placas. 
O  campo  elétrico  entre  as  placas  deve  ser  tal  que  cada  uma  é  uma 
superfície  equipotencial  e,  portanto,  as  linhas  de  campo  próximas  às 
superfícies do condutor são perpendiculares à superfície. 
Suponha que as cargas nas placas do capacitor sejam +Q e –Q e que a 
correspondente diferença de potencial entre as placas seja V. Suponha 
que a magnitude das cargas nas placas está aumentando por um fator k, 
  78 
 
Figura 5.2: Processo de carga de um capacitor por uma bateria 
Istoé  +kQ  e  –kQ,  e  que  portanto    cada  elemento  de  superfície  do 
condutor tem sua carga aumentada de δq para k(δq). Como o potencial 
elétrico  em  qualquer  ponto  devido  a  um  elemento  de  carga  é 
diretamente proporcional a δq, o potencial elétrico em qualquer ponto 
deve aumentar por um fator k também. Isto mostra que a diferença de 
potencial entre as placas de um capacitor é diretamente proporcional á 
quantidade de carga em cada placa do capacitor, isto é, 
                                  ܳ ן ܸ       ou   ܳ ൌ ሺܿ݋݊ݏݐܽ݊ݐ݁ሻܸ 
A constante de proporcionalidade, que é uma propriedade do capacitor 
particular  envolvido,  é  chamada  de  capacitância  do  capacitor  e  é 
definida como 
ܥ ൌ ொ
௏
.                                                                           (5.1) 
A unidade de capacitância no Sistema Internacional é o coulomb por volt 
: 1C/V é chamado de 1 farad=1F. 
Vamos agora olhar com mais detalhe o processo de carregamento 
do  capacitor.  A  Fig.5.2  mostra  as  duas  placas  de  um  capacitor 
conectadas por meio de um fio condutor aos terminais de uma bateria. 
Como  acontece  o  processo  de  carregamento?  E  como  estão 
relacionadas a diferença de potencial da bateria, ΔVbat, com a diferença 
de  potencial,  ΔV,  entre  as  placas  do  condutor?  A  Fig.5.2(a) mostra  o 
  79 
capacitor pouco depois que este é ligado à bateria e antes que o mesmo 
esteja totalmente carregado. 
A “escada rolante de cargas” da bateria está movendo cargas de 
uma placa para outra, e é este trabalho feito pela bateria que carrega o 
capacitor. A diferença de potencial entre as placas do capacitor, ΔV, está 
constantemente  crescendo à medida que ocorre a  separação  contínua 
de cargas. 
Mas  este  processo  não  pode  continuar  para  sempre.  O 
crescimento de cargas positivas na placa superior exerce força repulsiva 
nas novas cargas positivas que estão chegando pela escada  rolante de 
cargas     e a carga na placa superior atinge um  limite e nenhuma carga 
será mais  aceita  na  placa. Neste  instante  a  diferença  de  potencial  na 
bateria se  iguala a diferença de potencial entre as placas do capacitor, 
ΔVbat= ΔV (ver Fig5.2b).  
 
5.2 ‐ Energia Armazenada em um Capacitor 
Se  as  placas  de  um  capacitor  são  ligadas  por  um  fio  de 
determinada  resistência,  uma  corrente  é  estabelecida  e  o  capacitor  é 
descarregado.  Obviamente,  a  energia  está  armazenada  no  capacitor 
carregado  –  a  energia  armazenada  é  liberada  e  aparece  na  forma  de 
calor no fio à medida que o capacitor vai sendo descarregado. A energia 
armazenada é igual ao trabalho realizado para carregá‐lo. 
Seja ߂ܹ o  trabalho para mudar a  carga do  capacitor de q para 
(q+dq), isto é, a energia no capacitor aumentará de ܷ݀ ൌ ܸ݀ݍ, onde V é 
a diferença de potencial entre as placas do capacitor quando as placas 
têm carga q. Assim a energia armazenada no capacitor, isto é, o trabalho 
feito para carregar o capacitor de zero a uma carga Q, é dada por  
ܷ ൌ ܹ ൌ ׬ ܸ݀ݍொ଴ ൌ ׬
௤
஼
ொ
଴ ݀ݍ ൌ
ଵ
஼ ׬ ݍ݀ݍ
ொ
଴ ൌ
ொమ
ଶ஼
,                          (5.2) 
ou, em termos da diferença de potencial entre as placas,  ܸ ൌ ொ
஼
,  
ܷ ൌ ଵ
ଶ
ܸܳ ൌ ଵ
ଶ
ܥܸଶ.                                                            (5.3) 
  80 
 
Figura 5.3: Capacitor de placas paralelas de área A e separação d 
         entre as placas. 
O valor de C para um capacitor particular depende da forma geométrica 
e  da  disposição  das  placas,  bem  como  das  propriedades  elétricas  do 
meio isolante em que as placas estão imersas. Quando a geometria das 
placas  exibe  um  grau  suficiente  de  simetria  é  relativamente  simples 
obter  uma  expressão  para  a  capacitância  do  sistema.  Vejamos  alguns 
exemplos. 
( a) Capacitor de Placas Paralelas 
Os  condutores  de  um  capacitor  de  placas  paralelas  são  placas 
planas uniformemente separadas como  indicado na Figura 5.3. Seja A a 
área de  cada placa e d a  separação entre elas. Se a área das placas é 
suficientemente  grande  (dimensões  da  placa  >>d),  a  carga  Q  será 
uniformemente distribuída  sobre as superfícies das placas e, portanto, o 
campo  elétrico  entre  as  mesmas  será  uniforme  (efeitos  de  bordas 
desprezíveis).  Se  o  campo  elétrico  (constante)  entre  as  placas  do 
capacitor é E, o módulo da diferença de potencial entre as placas é dado 
por  
ܸ ൌ නܧ݈݀ ൌ ܧ න݈݀ ൌ ܧ݀ 
e portanto  
ܧ ൌ ௏
ௗ
                                                   ሺ5.4ሻ 
Mas o campo elétrico entre as placas de um capacitor de placas 
paralelas é ܧ ൌ ఙ
ఌబ
ൌ ொ
ఌబಲ
. Substituindo este valor do  campo elétrico na 
Eq.(5.4) temos, 
ܳ
ߝ଴ܣ
ൌ
ܸ
݀
՜ ܥ ൌ
ܳ
ܸ
ൌ
ߝ଴ܣ
݀
                                       ሺ5.5ሻ 
  81 
O capacitor de placas é importante porque a sua análise é direta e 
porque este produz um campo elétrico uniforme. Entretanto capacitores 
e  capacitâncias  não  estão  restritos  a  condutores  planos  e  paralelos. 
Quaisquer  dois  eletrodos,  independente  da  sua  forma,  podem  formar 
um capacitor. 
 
(a) Capacitor Cilíndrico 
Capacitores são usados em qualquer circuito eletrônico e a forma 
mais comum é a cilíndrica. A Figura 5.4 mostra um capacitor cilíndrico 
que consiste de dois cilindros coaxiais, de raios a e b e comprimento L. 
Considere que o espaço entre os cilindros é vazio (ε0) e que os cilindros 
sejam  suficientemente  longos de  forma que o campo elétrico entre os 
mesmos é radial. Suponha que o cilindro interno tem uma carga +Q e o 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
externo uma carga –Q. Do capítulo anterior temos que o campo elétrico 
entre as placas de um capacitor cilíndrico é ܧሺݎሻ ൌ ொ
ଶగఌబ௅
ଵ
௥
. A diferença 
de potencial entre os cilindros é dada por 
ܸ ൌ ׬ܧሬԦ · ݀Ԧ݈ ൌ ׬ ொଶగఌబ௅
ଵ
௥
݀ݎ௕௔ ൌ
ொ
ଶగఌబ௅
lnሺ ௕
௔
ሻ . 
Portanto a capacitância é dada por  
ܥ ൌ ொ
௏
ൌ ଶగఌబ௅
୪୬ሺ್ೌሻ 
.                                                                (5.6). 
(b) Capacitor Esférico 
 
Figura 5.4: Capacitor cilíndrico. 
  82 
Uma esfera metálica de raio R1 que está dentro de uma esfera 
metálica  oca  de  raio  R2  e  concêntrica  a  esta,  constitui  um 
capacitor.  Para  calcular  a  capacitância  necessitamos  da 
diferença  de  potencial  entre  as  esferas,  que  pode  ser  obtida 
conhecendo‐se  o  campo  elétricoentre  as  esferas,  ܧሬԦሺݎሻ ൌ
െ ଵ
ସగఌబ
ொ
௥మ
̂ݎ e substituindo na expressão: 
 
߂ܸ ൌ െ׬ ቀെ ଵସగఌబ
ொ
௥మ
̂ݎቁோమோభ · ̂ݎ݀ݎ ൌ
ொ
ସగఌబ
׬ ௗ௥௥మ
ோమ
ோభ
ൌ ொ
ସగఌబ
ቀ ଵ
ோభ
െ ଵ
ோమ
ቁ        
(5.7) 
A capacitância é então dada por  
ܥ ൌ ொ
௱௏
ൌ 4ߨߝ଴
ோభோమ
ோమିோభ
,                                (5.8) 
mostrando mais uma vez que a capacitância independe da carga 
armazenada no capacitor. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5.3–Associação de Capacitores 
Em muitas aplicações práticas em  virtude da não disponibilidade, dois 
ou mais capacitores precisam ser associados (combinados) para produzir 
uma  determinada  capacitância  com  o  fim  de  atender  a  uma 
determinada  especificação  ou  necessidade.  Muitas  combinações  são 
possíveis, mas as combinações mais básicas são a associação em série e 
a  associação  em  paralelo,  que  descreveremos  abaixo.  Antes  disso  é 
Figura 5.5: Capacitor esférico 
  83 
importante não confundir os termos distintos “capacitores paralelos” e 
“capacitor  de  placas  paralelas”. O  primeiro  se  refere  a  como  dois  ou 
mais  capacitores  podem  se  conectar,  enquanto  o  último  se  refere  a 
como um capacito é construído. 
 
(a) Associação em Paralelo 
Na Figura 5.6 mostramos um arranjo de dois capacitores em paralelo ( as 
duas  placas  positivas  estão  conectadas  entre  si  formando  uma 
equipotencial  e  as  placas  negativas  formando  outra  equipotencial). 
Dessa  forma  observa‐se  que  todos  capacitores  (ou  elementos  de  um 
circuito)  estão  submetidos  a  uma  mesma  diferença  de  potencial,  V, 
estes  estão  associados  em paralelo. As  cargas Q1  e Q2 nas placas não 
precisam  ter  o  mesmo  valor  e  devem  seguir  para  os  respectivos 
capacitores independentemente umas das outras “bombeadas” por uma 
bateria,  cujos  valores  são:  ܳଵ ൌ ܥଵܸ ݁ ܳଶ ൌ ܥଶܸ.  A  carga  total  da 
combinação ou a carga equivalente do capacitor é dada por  
ܳ ൌ ܳଵ ൅ ܳଶ ൌ ሺܥଵ ൅ ܥଶሻܸ. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Daí  extrai‐se  a  capacitância  equivalente,  C,  da  associação  de  dois 
capacitores em paralelo 
ܥ ൌ
ܳ
ܸ
ൌ ܥଵ ൅ ܥଶ.                                              ሺ5.9ሻ 
Estendendo  este  raciocínio  para  uma  associação  de N  capacitores  em 
paralelo têm‐se 
Figura 5.6: Associação de capacitores paralelos 
  84 
ܥ ൌ෍ܥ௜
ே
௜ୀଵ
.                                               ሺ5.10ሻ 
 
(b) Associação em Série 
A Figura 5.7 mostra dois capacitores combinados em  série  (um após o 
outro).Se  os  capacitores  estão  inicialmente  descarregados,  observa‐se 
que  após  a  aplicação  de  uma  diferença  de  potencial  entre  as 
extremidades da associação as placas dos mesmos adquirem a carga de 
mesmo  módulo(ver  Fig.5.7).  Resumindo:  “Capacitores  associados  em 
série têm suas placas carregadas com cargas de mesmo módulo”. Assim 
ao atravessar cada par de placas identifica‐se as seguintes diferenças de 
potencial:  ଵܸ ൌ
ொ
஼భ
   ݁    ଶܸ ൌ
ொ
஼మ
 .  A  diferença  de  potencial  total,  na 
travessia  dos  dois  capacitores  é  ܸ ൌ ଵܸ ൅ ଶܸ.    Substituindo  as 
expressões de V1 e V2 tem‐se 
ܸ ൌ
ܳ
ܥଵ
൅
ܳ
ܥଶ
ൌ ܳ ൬
1
ܥଵ
൅
1
ܥଶ
൰. 
Como ܸ ൌ ܳ/ܥ , onde C é a capacitância equivalente temos 
1
ܥ
ൌ
1
ܥଵ
൅
1
ܥଶ
.                                         ሺ5.11ሻ 
 
 
 
 
 
 
Estendendo esta relação para um número N qualquer de capacitores em 
série temos, 
1
ܥ
ൌ෍
1
ܥ௜
ே
௜ୀଵ
.                                    ሺ5.12ሻ 
Foi visto então que para uma associação de capacitores em série todas 
as placas dos capacitores da associação têm o mesmo módulo de carga, 
Figura 5.7: Associação de capacitores em série 
  85 
porém, a diferença de potencial em cada unidade capacitiva é diferente. 
A  soma  das  diferenças  de  potencial  em  cada  capacitor  equivale  a 
diferença de potencial total, V. 
Exemplo:  
5.4 – Capacitores com Dielétricos 
Materiais  não  condutores  como  o  ar,  vidro,  papel  ou  a madeira,  são 
chamados  de  dielétricos  ou  isolantes.  Se  o  espaço  entre  as  placas  de 
capacitor  é  preenchido  por  um  dielétrico,  a  capacitância  do  capacitor 
aumenta por um fator k, conforme observação de Michael Faraday em 
1837. A justificativa para este fenômeno é que o campo elétrico entre as 
placas  do  capacitor  é  enfraquecido  pelo  dielétrico,  bem  como  sua 
voltagem.  Como  conseqüência,  a  capacitância  do  capacitor,  Q/V,  é 
aumentada  pelo  fator  k.  O  fator  adimensional  k  é  característico  do 
material dielétrico e é denominada constante dielétrica 
A energia armazenada em um capacitor de placas paralelas preenchido 
com dielétrico é  
ܷ ൌ ଵ
ଶ
ܸܳ ൌ ଵ
ଶ
ܥܸଶ.                                             (5.12) 
Podemos expressar a capacitância C em termos da área e separação das 
placas,  e  a  diferença  de  potencial  V  em  termos  do  campo  elétrico  e 
separação  entre as placas, para obter 
ܷ ൌ ଵ
ଶ
ቀఢ஺
ௗ
ቁ ሺܧ݀ሻଶ ൌ ଵ
ଶ
߳ܧଶሺܣ݀ሻ. 
A quantidade Ad é o volume entre as placas do capacitor que contém o 
campo elétrico. Assim, a energia por unidade de volume entre as placas 
do capacitor é  
ݑா ൌ
ଵ
ଶ
߳ܧଶ ൌ ଵ
ଶ
ߝ଴ߢܧଶ.                                               (5.13) 
Exemplo:  Dois  capacitores  de  placas  paralelas,  cada  um  tendo  uma 
capacitância  C1=C2=2  μF,  estão  conectados  a  uma  bateria  de  12  v. 
Encontre  (a) a cada em cada capacitor e  (b) a energia armazenada em 
cada capacitor. 
  Os  dois  capacitores  são  então  desconectados  da  bateria  e  um 
dielétrico de constante κ=2.5 é introduzido entre as placas do capacitor 
C2. Nesta nova situação, encontre  (c) a diferença de potencial entre as 
placas do capacitor, e a energia total entre as placas do capacitor. 
  86 
A carga Q e a energia U podem ser encontradas da capacitância de cada 
capacitor C e da voltagem V. Depois que os capacitores são removidos 
da bateria, a carga total deve permanecer a mesma. Quando o dielétrico 
é  introduzido entre as placas sua capacitância deve mudar. O potencial 
da  combinação  deve  ser  encontrado  da  carga  total  e  da  capacitância 
equivalente. 
(a) A carga em  cada capacitor é encontrada de  sua capacitância e 
de sua voltagem: Q=CV=(2μF)(12V)=24 μC. 
(b) Energia  armazenada  em  cada  capacitor:  U=ଵ
ଶ
CV2=144  μJ.  Nos 
dois capacitores é 288 μJ. 
(c) O potencial da combinação é : V=୕౪౥౪
େ౛౧
. A capacitância equivalente 
a  pós  a  introdução  do  dielétrico  é  Ceq=C1+κC2=7μF.  Dessa  a 
voltagem total é  V=୕౪౥౪
େ౛౧
=
ସ଼µେ
଻µ୊
ൌ 6.86 V. 
(d) A carga em cada capacitor é Q1=C1V=13.7 μC e Q2=C2V=34.3 μC. 
A energia armazenada em cada capacitor é  
U1=
ଵ
ଶ
CଵVଶ ൌ 47.1µJ  e  ܷଶ ൌ
ଵ
ଶ
CଶVଶ ൌ 118µJ.  A  soma  das 
energia é U=U1+U2=165μJ. 
 
5.5 – Problemas Propostos 
Problema 5.1 – Uma esfera condutora de raio r=10 cm é carregada a 2 
kV. (a) Qual é a quantidade de carga que tem o condutor? (b) Qual é a 
capacitância  da  esfera?  (c)  Como  a  capacitância muda  se  a  esfera  é 
carregada a 6 kV? 
Problema  5.2  –Um  capacitor  tem uma  carga de  30μC. A diferença de 
potencial  entre  os  condutores  é  de  400  V.  Qual  é  a  capacitância 
equivalente? 
Problema 5.3 –  (a) Se a  separação entre as placas de um capacitor de 
placas paralelas é d=0.15 mm, qual deve ser a área das placas de forma a 
ter  uma  capacitância  de  1F?  (b)  Se  as  placas  são  quadradas  qual  é  o 
comprimento do lado? 
Problema  5.4  –  Metade  da  carga  de  um  capacitor  é  removida  sem 
mudar sua capacitância. Que  fração da energia armazenadatambém é 
removida junto com a carga? 
  87 
 
Figura 5.8 
 
Figura 5.9  
Problema 5.5 – Três  capacitores  são  conectados numa  rede  triangular 
como  mostrado  na  figura  5.8  abaixo.  Encontre  a  capacitância 
equivalente entre os pontos a e c. 
Problema  5.6  –  Um  capacitor  a  ar, 
consistindo  de  duas  placas  paralelas 
bastante próximas, tem uma capacitância de 
1000 pF. A carga em cada placa é de 1 mC. 
(a) Qual  é  a  ddp  entre  as  placas?  (b)  Se  a 
carga  for mantida  constante,  qual  é  a  ddp 
entre  as  placas  se  a  separação  for 
duplicada? 
Problema  5.7  – Um  capacitor  de  1 mF  e 
outro de 2 mF são ligados em série a uma fonte de tensão de 1200 V. (a) 
Determine a carga de cada um deles e a diferença de potencial através 
de cada um. (b) Os capacitores carregados são desligados da fonte e um 
do outro e religados com os terminais de mesmo sinal juntos. Determine 
a  carga  final  em  cada  capacitor  e  a diferença  de  potencial  através de 
cada um. 
Problema 5.8 – Um capacitor esférico consiste de uma esfera metálica 
interna, de raio Ra, apoiada num pedestal  isolante situado no centro de 
uma esfera metálica oca de raio  interno Rb. Há uma carga +Q na esfera 
interna e outra –Q na externa. (a) Qual é a ddp Vab entre as esferas? (b) 
Prove que a capacitância é 
ܸ ൌ 4ߨߝ଴
ோೌோ್
ோ್ିோೌ
. 
Problema 5.9 – Na Figura 5.9 C1=2 μF, C2= 6 μF e C3=3.5 μF. (a) Encontre 
a  capacitância  equivalente  desta  combinação.  (b)  se  as  voltagens  em 
cada  capacitores  são  respectivamente 
Vq=100  V,  V2=50  V  e  V2=400  V,  qual  é  a 
máxima voltagem entre os pontos a e b. 
Problema  5.10  ‐ Um  cabo  coaxial  consiste 
de um cilindro condutor, sólido, interno, de 
raio Ra,  suportado por discos  isolantes,  ao 
longo do eixo de um tubo condutor de raio 
interno Rb. Os dois cilindros são carregados 
com cargas opostas, com densidade  linear  l.  (a) Qual é a ddp entre os 
  88 
dois  cilindros?  (b)  Prove que  a  capacitância de um  comprimento  L do 
cabo é 
ܥ ൌ ଶగఌబ௅
୪୬ቀೃ್ೃೌቁ
. 
 
4.11.‐Referências bibliográficas 
Livro Texto 
HALLIDAY, D.; RESNICK, R.; KRANE, K. S.  Física. V. 3, 4. ed. Rio de 
Janeiro: LTC, 1996. 
 
Bibliografia complementar 
HEWITT, Paul G. Física conceitual. 9. ed. Porto Alegre: Bookman, 2002. 
TIPLER, P. Física 3. 4. ed. Rio da Janeiro: Guanabara Dois, 1999. 
NUSSENZVEIG, H. M. Curso de Física Básica 3: mecânica. São Paulo: 
Edgard Blücher, 1996. 
SERWAY, R. A. Física para cientistas e engenheiros: com Física Moderna. 
V. 3. 3. ed. Rio de Janeiro: LTC, 1997. 
4.12‐Web‐bibliografia 
http://br.geocities.com/saladefisica3/labortório.htm  
http://www.adorofisica.com.br/comprove/mecanica/mec_cine_vetor.ht
ml 
 
 
 
  89 
CAPÍTULO 6: CORRENTE E RESISTÊNCIA ELÉTRICA 
 
 
RESUMO 
 
  Nesta  unidade  apresentaremos  conceitos  e  princípios  que 
permitem o cálculo e entendimento de correntes elétricas e resistências 
elétricas.  A  visão  microscópica  dos  condutores  permite  interpretar  a 
mudança de comportamento do regime de condução com a mudança de 
materiais  e  de  temperatura.  Regras  práticas  como  a  lei  de Ohm,  que 
permitem  cálculos  fáceis  da  resistência  de  um  material,  são 
apresentadas.  
 
   
  90 
 
6 CORRENTE E RESISTÊNCIA ELÉTRICA 
 
6.1  A corrente elétrica  90 
6.2  Corrente e velocidade de deriva  92 
6.3  Densidade  de  corrente,  lei  de  Ohm,  condutividade, 
resistência e resistividade 
 
96 
6.4  Resistência e temperatura  102
6.5  Avanços na área: supercondutividade  104
6.6  Potencia elétrica  105
  Questões  109
  Problemas  110
  Bibliografia  111
 
 
  
  91 
 
Figura 6.1 Movimento de cargas através da área A. A taxa temporal de fluxo de 
carga através da área é definida como a corrente  I. A direção da corrente é a 
direção do fluxo de cargas positivas 
Nos  capítulos  anteriores  foram  estudadas  situações  em  que  as 
cargas  elétricas  estavam  em  repouso.  Neste  capítulo  estudaremos 
situações em que as cargas estão em movimento. Por exemplo, quando 
ligamos  o  interruptor  de  uma  lâmpada,  conectamos  o  filamento  da 
lâmpada  a uma diferença de potencial que  leva  a um  fluxo de  cargas 
através do mesmo. Esta  situação é  semelhante ao que  se observa em 
uma mangueira de jardim: a diferença de pressão entre as extremidades 
da mesma faz a água fluir través da mangueira. O fluxo de carga elétrica 
constitui uma corrente elétrica.  
 
6.1 A corrente elétrica 
Na Figura 6.1 observa‐se o movimento de cargas em uma direção 
perpendicular  à  superfície  ܣ,  que  poderia  ser  a  área  seccional  reta 
transversal  de  um  fio.  A  corrente  é  a  taxa  com  que  as  cargas  fluem 
através desta superfície. Suponha que ∆ܳ é a quantidade de carga que 
flui  através da  área de  seção  reta ܣ no  tempo ∆ݐ e que  a direção de 
fluxo é perpendicular à área. Então a corrente média ܫ é definida como 
ܫ௠௘ௗ௜௔ ൌ
∆ܳ
∆ݐ
                                          ሺ6.1ሻ 
a quantidade de carga dividido pelo intervalo de tempo. 
Se a taxa com que a carga flui varia no tempo, a corrente varia no 
tempo.  Definimos,  então,  a  corrente  instantânea  ܫ  como  o  limite 
diferencial da corrente média 
  92 
EXEMPLO RESOLVIDO 6.1 
ܫ ؠ
݀ܳ
݀ݐ
                                        ሺ6.2ሻ 
A unidade de corrente no Sistema  Internacional de Unidades é o 
ampere (A) 
1ܣ ൌ 1ܥ ݏ⁄  
Está convencionado que a direção da corrente é a direção do fluxo 
de  cargas  positivas.  Experimentalmente,  desde  o  início  do  século 
passado, que está comprovado que os elétrons é que são responsáveis 
pelas propriedades de  condução de eletricidade e energia  térmica nos 
metais1. Assim, os  elétrons movem‐se na direção  oposta  à direção da 
corrente. 
Em  eletrostática,  onde  as  cargas  são  estacionárias,  o  potencial 
elétrico  é o mesmo  em  toda parte,  em um  condutor.  Isto não  é mais 
verdade para condutores portando corrente: quando as cargas movem‐
se  ao  longo  de  um  fio,  o  potencial  elétrico  está  continuamente 
decrescendo. 
 
A  quantidade  de  carga  que  passa  através  do  filamento  de  uma 
lâmpada em 2,00 s é 1,67 C. Determine  (a) a corrente no  filamento da 
lâmpada e  (b) o número de elétrons que passam através do  filamento 
em 5,00 s. 
SOLUÇÃO 
(a) Para  calcular  a  corrente  através  do  filamento  da  lâmpada 
substituímos  o  valor  da  carga  que  passa  no  intervalo  de  tempo,  de 
acordo com a Eq. (6.1). Assim, teremos 
ܫ ൌ
∆ܳ
∆ݐ
ൌ
1,67 ܥ
2,00 ݏ
ൌ 0,835 ܣ 
(b) Para  determinar  o  número  de  elétrons  que  passa  através  do 
filamento  no  intervalo  de  5,00  s  tomamos  o  número  de  elétrons 
                                                            
1 Para mais detalhes  consulte  referencias  sobre  física do estado  solido,  como 
por  exemplo,  C  Kittel,  Introduction  to  Solid  State  Physics,  8ª  edition, Wiley, 
2004. 
  93 
 
Figura 6.2 Exercício 6.2 
multiplicado  pela  carga  eletrônica  elementar,  que  é  a  carga  total,  e 
igualamos a corrente vezes o tempo, de acordo com a Eq. 6.1, isto é, 
∆ܳ ൌ ܰݍ ൌ ܫ∆ݐ ൌ ሺ0,835 ܣሻሺ5,00 ݏሻ 
Resolvendo para ܰ obtemos 
ܰ ൌ
ሺ0,835 ܥ/ݏሻሺ5,00 ݏሻ
1,60 ൈ 10ିଵଽܥ
ൌ 2,61 ൈ 10ଵଽ ݈݁éݐݎ݋݊ݏ 
Observe que o número de elétrons, passando através de um ponto de 
um circuito típico, é muito grande 
 
Exercício 6.1 Suponha que 6,40 ൈ 10ଶଵelétrons passam através de um 
fio em 2,00 min. Determine a corrente. 
Exercício  6.2  Considere  cargas  positivas  e  negativas  movendo‐se 
horizontalmente  atravésde  quatro  regiões,  como mostrado  na  Figura 
6.2. Ordene  os módulos  das  correntes  nestas  quatro  regiões  da mais 
baixa para a mais alta. (ܫ௔ é a corrente na Figura 6.2a, ܫ௕  é a corrente na 
Figura 6.2b, etc.). 
6.2 Corrente e velocidade de deriva 
Em  um  fio  condutor,  o  movimento  de  elétrons  livres 
negativamente carregados é muito complexo. Quando não existe campo 
elétrico no fio, os elétrons  livres movem‐se em direções aleatórias com 
velocidades,  relativamente  grandes,  da  ordem  de  10଺ ݉/ݏ.  Dada  a 
orientação aleatória dos vetores velocidade, a velocidade média é nula. 
Quando  um  campo  elétrico  é  aplicado,  um  elétron  livre  experimenta 
uma aceleração devido à força െ݁ܧሬԦ, e adquire uma velocidade adicional 
na  direção  oposta  ao  campo.  Contudo  a  energia  cinética  adquirida  é 
  94 
 
Figura 6.3 Uma seção de um condutor uniforme de área seccional reta A. 
Os portadores de  carga movem‐se  com uma  velocidade ݒௗ e  a distância 
que  eles  percorrem  no  tempo ∆ݐ  é  dado  por ∆ݔ ൌ ݒௗ∆ݐ. O  número  de 
portadores  de  carga móveis  na  secção  de  comprimento  ∆ݔ  é  dado  por 
݊ܣݒௗ∆ݐ, onde ݊ é o número de portadores móveis por unidade de volume 
rapidamente  dissipada  pelas  colisões  com  os  íons  da  rede  do  fio.  O 
elétron  é  então  acelerado  novamente  pelo  campo.  O  resultado  final 
destas  repetidas  acelerações  e  dissipação  de  energia  é  que  o  elétron 
adquire  uma  velocidade  média  pequena  chamada  de  velocidade  de 
deriva oposta ao campo elétrico. 
O  movimento  dos  elétrons  livres  em  um  metal  é  semelhante 
aquele  das moléculas  de  um  gás,  tal  como  o  ar.  Também  no  ar,  as 
moléculas de ar movem com velocidades instantâneas grandes (devido a 
sua  energia  térmica)  entre  colisões, mas  a  velocidade média  é  zero. 
Quando  se estabelece uma brisa, as moléculas do ar apresentam uma 
velocidade  de  deriva  na  direção  da  brisa  superposta  às  velocidades 
instantâneas muito maiores. De  forma  semelhante, quando não existe 
campo  elétrico  aplicado,  o  “gás  de  elétrons”  em  um  metal  tem 
velocidade média nula, mas quando existe um campo aplicado, o gás de 
elétrons adquire uma pequena velocidade de deriva. 
 
Considere  partículas  identicamente  carregadas  movendo‐se 
através de um condutor de  seção  reta A, veja  figura 6.3. O volume de 
um elemento de comprimento ∆ݔ do condutor é ܣ∆ݔ. Se ݊ representa o 
número  de  cargas  móveis  por  unidade  de  volume,  então  o  número 
médio de portadores no elemento de volume é ݊ܣ∆ݔ  . A carga móvel 
∆ܳ neste elemento é portanto 
  95 
 
Figura 6.4 Uma  representação esquemática do movimento em ziguezague 
de um portador de carga dentro de um condutor. As mudanças abruptas de 
direção se devem as colisões com os átomos do condutor. Observe que a 
direção de movimento é contrária ao campo elétrico. 
                   ∆ܳ ൌ ݊ú݉݁ݎ݋ ݀݁ ݌݋ݎݐܽ݀݋ݎ݁ݏ ൈ ܿܽݎ݃ܽ ݌݋ݎ ݌݋ݎݐܽ݀݋ݎ     
ൌ ሺ݊ܣ∆ݔሻݍ                                                                         ሺ6.3ሻ 
onde ݍ é a  carga em  cada portador. Se os portadores movem‐se  com 
velocidade  média  constante,  chamada  velocidade  de  deriva,  ݒௗ,  a 
distância  que  eles  se movem  no  intervalo  de  tempo  ∆ݐ  é  ∆ݔ ൌ ݒௗ∆ݐ. 
Podemos portanto escrever 
∆ܳ ൌ ሺ݊ܣݒ݀∆ݐሻݍ                                                                     ሺ6.4ሻ 
Se  dividirmos  ambos  os  lados  desta  equação  por  ∆ݐ,  veremos  que  a 
corrente média no condutor é 
ܫ௠௘ௗ௜௔ ൌ
∆ொ
∆௧
ൌ ݊ݍݒ݀ܣ.                                                  ሺ6.5ሻ 
 
Para entender o significado da velocidade de deriva, considere um 
condutor  no  qual  os  portadores  de  carga  são  elétrons  livres.  Se  o 
condutor  está  isolado,  estes  elétrons  sofrem  movimento  aleatório 
semelhantes ao movimento de moléculas em um gás. A velocidade de 
deriva  é  normalmente  muito  menor  que  a  velocidade  média  dos 
elétrons  livres  entre  as  colisões  com  os  átomos  fixos  do  condutor. 
Quando uma diferença de potencial é aplicada entre as extremidades do 
condutor (diagmos, com uma bateria), um campoo elétrico é criado no 
condutor,  criando  uma  força  elétrica  sobre  os  elétrons  e  daí  uma 
corrente. Na verdade, os elétrons não se movem simplesmente em linha 
reta ao longo do condutor. Em vez disso, eles sofrem repetidas colisões 
com os átomos do metal, e o resultado é um movimento de ziguezague 
  96 
Exemplo Resolvido 6.2 
complicado com apenas uma velocidade média de deriva muito pequena 
ao  longo do fio, conforme  ilustrado na Figura 6.4. A energia transferida 
dos elétrons para os átomos do metal durante uma colisão aumenta a 
energia vibracional dos átomos e provoca um correspondente aumento 
na  temperatura  do  condutor.  A  despeito  das  colisões,  contudo,  os 
elétrons se movem  lentamente ao  longo do condutor em uma direção 
oposta a ࡱሬሬԦ com uma velocidade de deriva vሬԦௗ. 
 
Um fio de cobre de calibre 12, usado em construções residenciais típicas, 
possui uma seção reta de área com 3,31 ൈ 10ି଺݉ଶ. Ele transporta uma 
corrente de 10,0 ܣ. Qual é a velocidade de deriva dos elétrons no  fio? 
Suponha que cada átomo de cobre contribua com um elétron livre para 
a corrente. A densidade do cobre é de 8,92 ݃/ܿ݉ଷ. 
Solução 
Como a corrente é constante, a corrente média durante qualquer 
intervalo de tempo é a mesma que a corrente constante: ܫ௠௘ௗ௜௔ ൌ ܫ. 
Da tabela periódica dos elementos sabemos que a massa molar do 
cobre  é  63,5 ݃/݉݋݈.  Assim  um mol  de  átomos  de  cobre  (1  mol  de 
qualquer  substância  contém  6,02 ൈ 10ଶଷ  átomos).  Assim  o  volume 
ocupado por 1 mol de átomos de cobre é 
ܸ ൌ
݉
ߩ
ൌ
63,5 ݃
8,92 ݃/ܿ݉ଷ
ൌ 7,12 ܿ݉ଷ 
Da suposição que cada átomo de cobre contribui com um elétron  livre 
para a corrente, determinamos a densidade eletrônica no cobre: 
݊ ൌ
6,02 ൈ 10ଶଷ ݈݁éݐݎ݋݊ݏ
7,12 ܿ݉ଷ
ቆ
1,00 ൈ 10଺ ܿ݉ଷ
1 ݉ଷ
ቇ 
ൌ 8,46 ൈ 10ଶ଼݈݁݁ݐݎ݋݊ݏ/݉ଷ                           
Da equação (6.4) determinamos que a velocidade de deriva é 
ݒௗ ൌ
ܫ௠௘ௗ௜௔
݊ݍܣ
ൌ
ܫ
݊ݍܣ
 
  97 
Usando os valores numéricos dados no problema teremos 
ݒௗ ൌ
ܫ
݊ݍܣ
ൌ
10,0 ܣ
ሺ8,46 ൈ 10ଶ଼݉ିଷሻሺ1,60 ൈ 10ିଵଽܥሻሺ3,31 ൈ 10ି଺ ݉ଶ
 
ൌ 2,23 ൈ 10ିସ݉/ݏ                                                                            
 
Este  resultado  mostra  que  velocidade  de  deriva  típicas  são  muito 
pequenas. Por exemplo, eletrons se deslocando com uma velocidade de 
2,23 ൈ 10ିସ ݉ ݏ⁄  tomaria aproximadamente 75 min para percorrer um 
metro! Pode  causar  surpresa o  fato de  ligarmos o  interruptor e quase 
imediamente  a  luz  acende.  Em  um  condutor,  mudanças  no  campo 
elétrico que direcionam os  elétrons  livres, percorrem o  condutor  com 
velocidade  próxima  à  da  luz.  Assim,  quando  ligamos  o  interruptor  de 
uma  lâmpada,  os  elétrons  que  já  estão  no  filamento  da  mesma 
experimentam  forças  elétricas  e  começam  a  se movimentar  após  um 
intervalo de tempo da ordem de nanosegundos. 
 
6.3 Densidade  de  corrente,  lei  de Ohm,  condutividade,  resistência  e 
resistividade 
Em  um  condutor  em  equilíbrio  estático  o  campo  elétrico  no 
interior do mesmo é  zero. Quando o  condutor não está em equilíbrio 
passa a existir um campo elétrico não nulo no inteior do condutor. 
Considere,  novamente,  o  condutor  da  Figura  6.1,  com  área  de 
seção reta ܣ e transportando uma corrente ܫ. A densidade de corrente ࡶ 
no condutor é definida como a corrente por unidade de área. Como a 
corrente ܫ௠௘ௗ௜௔ ൌ ݊ݍݒ݀ܣ, Eq. (6.5), a densidade de corrente é 
ࡶ ൌ
ܫ
ܣ
ൌ ݊ݍݒ݀ሺ6.6ሻ 
onde  ࡶ é expresso em unidades SI de amperes por metro quadrado. A 
expressão (6.6) é válida apenas se a densidade de corrente é uniforme e 
apenas  se  a  superfície  com  área  de  secção  reta  A  é  perpendicular  à 
direção da corrente. 
  98 
 
Figura 6.5 Um condutor com secção reta uniforme. A densidade de corrente é 
uniforme através de qualquer seção reta, e o campo elétrico é constante ao 
longo do comprimento. 
A densidade de corrente e um  campo elétrico  são estabelecidos 
em um  condutor  se uma diferença de potencial é mantida  através do 
condutor. Em alguns materiais, a densidade de corrente é proporcional 
ao campo elétrico 
ࡶԦ ൌ ߪࡱሬሬԦ                                                                                ሺ6.7ሻ 
A  constante  de  proporcionalidade  ߪ  é  chamada  a  condutividade  do 
condutor. Materiais que obedecem a Eq.  (6.7) são ditos obedecer a  lei 
de Ohm: 
Para muitos materiais (incluindo a maioria dos metais), a razão 
da densidade de corrente para o campo elétrico é uma constante 
࣌ que é independente do campo elétrico que produz a corrente. 
Materiais que obedecem  a  lei de Ohm  e,  portanto,  apresentam 
esta relação simples entre E e J são ditos ôhmicos. Experimentalmente, 
contudo,  determina‐se  que  nem  todos  materiais  possuem  esta 
propriedade. Materiais e dispositivos que não obedecem a  lei de Ohm 
são  ditos  não‐ôhmicos.  A  lei  de  Ohm  é  uma  relação  empírica,  válida 
apenas para certos materiais. 
É  interessante  determinarmos  uma  equação  que  seja  útil  em 
aplicações práticas da lei de Ohm. Considere um segmento de fio reto de 
área  seccional  reta A  e  comprimento  ݈  como mostrado  na  figura  6.5. 
Uma  diferença  de  potencial  ܸ ൌ ஺ܸ െ ஻ܸ  é  mantida  através  do  fio, 
  99 
Exemplo Resolvido 6.3 
criando  no mesmo  campo  elétrico  e  corrente.  Se  o  campo  é  suposto 
uniforme, a diferença de potencial está relacionada ao campo através da 
equação 
∆ܸ ൌ ܧ݈                                                                ሺ6.8ሻ 
Portanto, podemos expressar a densidade de corrente no fio como 
ܬ ൌ ߪܧ ൌ ߪ
∆ܸ
݈
                                                        ሺ6.9ሻ 
Como ܬ ൌ ܫ ܣ⁄ , a diferença de potencial através do fio é 
∆ܸ ൌ
݈
ߪ
ܬ ൌ ൬
݈
ߪܣ
൰ ܫ ൌ ܴܫ                                         ሺ6.10ሻ 
A quantidade ܴ ൌ ݈ ߪܣ⁄  é chamada a resistência do condutor. Podemos 
definir a resistência como a razão da diferença de potencial, através de 
um condutor, e a corrente no condutor: 
ܴ ؠ
∆ܸ
ܫ
                                                             ሺ6.11ሻ 
A  unidade  no  sistema  internacional  SI  para  resistência  é  volt  por 
ampere. Um volt por ampere é definido como um ohm  
1Ω ൌ
1 ܸ
1ܣ
 
O inverso da condutividade é a resistividade ߩ: 
ߩ ൌ
1
ߪ
                                                                  ሺ6.12ሻ 
onde  ߩ  é  expresso  nas  unidade  ohm‐metro  (Ω · ݉).  Como ܴ ൌ ݈ ߪܣ⁄ , 
podemos expressar a  resistência de um bloco de material uniforme ao 
longo do comprimento ݈ como 
ܴ ൌ ߩ
݈
ܣ
                                                                               ሺ6.13ሻ 
Calcule a resistência de um cilindro de alumínio que tem comprimento 
de  10,0  cm  e  área  seccional  reta  de 2,00 ൈ 10ିସ݉ଶ. Repita o  cálculo 
para  um  cilindro  com  as  mesmas  dimensões  e  feita  de  vidro  tendo 
resistividade de 3,0 ൈ 10ଵ଴Ω · ݉. 
  100
Solução 
Fazendo  uso  da  Equação  (6.12)  e  da  tabela  6.1,  podemos  calcular  a 
resistência do cilindro de alumínio da seguinte forma: 
ܴ ൌ ߩ
݈
ܣ
ൌ 2,82 ൈ 10ି଼Ω · ݉ሻ ൬
0,100 ݉
2,00 ൈ 10ିସ݉ଶ
൰ ൌ 1,41 ൈ 10ିହΩ 
De forma análoga para o vidro determinamos que 
ܴ ൌ ߩ
݈
ܣ
ൌ 3,0 ൈ 10ଵ଴Ω · ݉ሻ ൬
0,100 ݉
2,00 ൈ 10ିସ݉ଶ
൰ ൌ 1,5 ൈ 10ଵଷΩ 
Como podemos observar a grande diferença entre estes cálculos se deve 
a  resistividade. As  resistências de  cilindros  identicamente definidos de 
alumínio  e  vidro  diferem muito:  a  resistência  do  cilindro  vítreo  é  18 
ordens  de  grandeza maior  em magnitude  que  aquela  do  cilindro  de 
alumínio. 
 
Tabela 6.1 resistividade de alguns materiais 
Resistividades  e  coeficientes  de  temperatura  da  resistividade  para 
vários materiais 
Material  Resistividade(a) 
(ષ · ࢓ 
Coeficiente de resistividade(b) 
com a temperatura ࢻ ቂ൫ ࡯૙ ൯
ି૚
ቃ  
Prata  1,59 ൈ 10ି଼ 3,8 ൈ 10ିଷ
Cobre  1,7 ൈ 10ି଼ 3,9 ൈ 10ିଷ
Ouro  2,44 ൈ 10ି଼ 3,4 ൈ 10ିଷ
Alumínio  2,82 ൈ 10ି଼ 3,9 ൈ 10ିଷ
Tungstênio  5,6 ൈ 10ି଼ 4,5 ൈ 10ିଷ
Ferro  10 ൈ 10ି଼ 5,0 ൈ 10ିଷ
Platina  11 ൈ 10ି଼ 3,92 ൈ 10ିଷ
chumbo  22 ൈ 10ି଼ 3,9 ൈ 10ିଷ
Níquel‐cromo  1,50 ൈ 10ି଺ 0,4 ൈ 10ିଷ
Carbono  3,5 ൈ 10ିହ െ0,5 ൈ 10ିଷ
Germânio  0,46 െ48 ൈ 10ିଷ
Silicio  640 െ75 ൈ 10ିଷ
Vidro  1,59 ൈ 10ି଼  
Ebonite  1,59 ൈ 10ି଼  
Enxofre  1,59 ൈ 10ି଼  
Quartzo (fundido)  1,59 ൈ 10ି଼  
a Todos os valores a 200C 
b Veja seção 6.4 
c  Liga  de  níquel‐cromo,  comumente  usada  em  dispositivos  de 
aquecimento 
 
  101
Exemplo Resolvido 6.4 
(a)  Calcule  a  resistência  por  unidade  de  comprimento  de  um  fio  de 
níquel‐cromo de calibre 22, que possui um raio de 0,321 ݉݉. 
(b)  Se  uma  diferença  de  potencial  de  10 ܸ  é  mantida  através  do 
comprimento de 1,0 ݉ do fio de níquel‐cromo, qual é a corrente no fio? 
Solução 
A área seccional reta deste fio é 
ܣ ൌ ߨݎଶ ൌ ߨሺ0,321 ൈ 10ିଷ݉ሻଶ ൌ 3,24 ൈ 10ି଻݉ଶ 
A resistividade do níquel‐cromo (veja tabela 6.1) é de 1,5 ൈ 10ି଺Ω · m. 
Assim, podemos usar a Equação (6.13) para determinar a resistência por 
unidade de comprimento 
ܴ
݈
ൌ
ߩ
ܣ
ൌ
1,5 ൈ 10ି଺Ω · m
3,24 ൈ 10ି଻݉ଶ
ൌ 4,6  Ω m⁄  
Como o comprimento de 1,0 m deste fio possui uma resistência 
de 4,6 Ω, a Equação (6.11) resulta em 
ܫ ൌ
∆ܸ
ܴ
ൌ
10 ܸ
4,6 Ω
ൌ 2,2 ܣ 
Observe  da  tabela  6.1  que  a  resistividade  do  fio  de  níquel‐cromo  é 
aproximadamente 100 vezes aquela do  cobre. Um  fio de  cobre  com o 
mesmo  raio  teria  uma  resistência  por  unidade  de  comprimento  de 
apenas 0,052  Ω m⁄ . 
  Devido a sua alta resistividade e sua resistência à oxidação, a liga 
níquel‐cromo  é  freqüentemente  usada  como  dispositivo  de 
aquecimento em torradeira, ferro de engomar e aquecedores elétricos. 
 
 
Cabos  coaxiais  são  usados  extensivamente  para  televisão  a  cabo  e 
outras  aplicações  eletrônicas.  Um  cabo  coaxial  consiste  de  dois 
condutores  cilíndricos  concêntricos.  A  região  entre  os  condutores  é 
completamente preenchida com silício, como mostrado na Figura 6.6, e 
Exemplo Resolvido 6.5 
  102
 
Figura 6.6 Cabo  coaxial  (a) Com o espaço entre os dois  condutores 
preenchido  com  silício  (b)  Visão  das  extremidades,  mostrando  o 
vazamento de corrente. 
 
 
o  vazamento  de  corrente  através  do  silício,  na  direção  radial,  é  algo 
indesejado. (O cabo é projetado para conduzir corrente ao longo do seu 
comprimento – esta não é a corrente que estamos considerando aqui.) 
O  raio  interno  do  condutor  é  ܽ ൌ 0,500 ܿ݉,  o  raio  externo  é  ܾ ൌ
1,75 ܿ݉ e o comprimento é ܮ ൌ 15,0 ܿ݉. Calcule a resistência do silício 
entre os dois condutores. 
Solução 
  Neste  tipo  de  problema  devemos  dividir  o  objeto,  cuja 
resistência  está  sendo  calculada,  em  elementos  concêntricos  de 
espessura infinitesimal ݀ݎ, veja Figura 6.6 (b). Iniciamos usando a forma 
diferencial da Equação (6.13), trocando o comprimento  ݈ por ݎ como a  
distância  variável:  ܴ݀ ൌ ߩ݀ݎ ܣ⁄ ,  onde  ܴ݀  é  a  resistência  de  um 
elemento de silício de espessura ݀ݎ e área superficial ܣ. Neste exemplo, 
consideraremos  como  nosso  elemento  concêntrico  representativo  um  
cilindro oco de silício de  raio ݎ, espessura ݀ݎ, e comprimento ܮ,como 
mostrado  na  Figura  6.6.  Qualquer  corrente  que  passe  do  condutor 
interno para o externo deve passar radialmente através deste elemento 
concêntrico, e a área através do qual esta corrente passa é ܣ ൌ 2ߨݎܮ. 
(Esta  é  área  superficial  curvada  –  circunferência  multiplicada  pelo 
comprimento – do nosso  cilindro oco de  silício de  espessura ݀ݎ.) Daí, 
podemos escrever a resistência do cilindro oco de silício como  
  103
ܴ݀ ൌ
ߩ
2ߨݎܮ
݀ݎ 
Como desejamos  saber a  resistência  total através da espessura  inteira 
do silício, devemos integrar esta expressão de ݎ ൌ ܽ a ݎ ൌ ܾ: 
ܴ ൌ න ܴ݀
௕
௔
ൌ
ߩ
2ߨܮ
න
݀ݎ
ݎ
௕
௔
ൌ
ߩ
2ߨܮ
ln ൬
b
a
൰ 
Substituindo nos valores dados, e usando ߩ ൌ 640 Ω · m para o  silício, 
obtemos 
ܴ ൌ
640 Ω · m
2ߨሺ0,150 ݉ሻ
ln ൬
1,75 cm
0,500 cm
൰ ൌ 851 Ω 
 
Exercício 6.3 Se a diferença de potencial de 12,0 V é aplicada entre os 
condutores  internos  e  externos,  qual  é  o  valor  da  corrente  total  que 
passa entre eles? 
Resposta 14,1 mA 
 
6.4 Resistência e temperatura 
  A resistividade elétrica depende da temperatura. A resistividade 
de muitos metais aumenta quando a  temperatura aumenta. Sobre um 
intervalo  limitado  de  temperatura,  a  resistividade  varia  de  forma 
aproximadamente linear com a temperatura de acordo com a expressão 
ߩ ൌ ߩ଴ሾ1 ൅ ߙሺܶ െ ଴ܶሻሿ                             ሺ6.14ሻ 
onde ߩ é a resistividade para alguma temperatura ܶ (em graus Celsius), 
ߩ଴  é  a  resistividade  em  para  alguma  temperatura  de  referência  ଴ܶ 
(usualmente tomada como 20௢ ܥ), e ߙ é coeficiente de resistividade de 
temperatura.  Segue  da  equação  (6.14)  que  o  coeficiente  ߙ  pode  ser 
expresso como 
ߙ ൌ
1
ߩ଴
∆ߩ
∆ܶ
                                                  ሺ6.15ሻ 
onde  ∆ߩ ൌ ߩ െ ߩ଴  é  a  variação  na  resistividade  para  o  intervalo  de 
temperatura ∆ܶ ൌ ܶ െ ଴ܶ. 
  104
 
 
Figura  6.7  Curva  resistência  versus  temperatura  para  (a)  materiais 
condutores;  (b)  detalhe  para  baixas  temperaturas  e  (c)  materiais 
semicondutores (c). 
Exemplo resolvido 6.6 
A  Figura  6.7  mostra  a  dependência  da  resistividade  com  a 
temperatura.  Para  materiais  condutores  (Figura  6.7a)  a  resistividade 
mostra  uma  dependência  linear  com  a  temperatura  para  a  região  de 
altas temperaturas e não  linear para baixas temperaturas  (Fig. 6.7  (b)). 
Já  para  semicondutores  a  resistividade  tende  a  diminuir  com  a 
temperatura de uma forma não constante. 
 
Os coeficientes de resistividade com a temperatura são dados na 
Tabela  6.1  para  vários  materiais.  Observe  que  a  unidade  para  ߙ  é 
݃ݎܽݑ ܥ݈݁ݏ݅ݑݏିଵሾሺԨሻିଵሿ.  
Por  que  a  resistência  é  proporcional  a  resistividade  (Eq.  6.13), 
pode‐se escrever a variação da resistência como 
ܴ ൌ ܴ଴ሾ1 ൅ ߙሺܶ െ ଴ܶሻሿ                             ሺ6.16ሻ 
O  uso  desta  propriedade  nos  permite  fazer  medidas  precisas,  como 
ilustrado no exemplo abaixo. 
Um  termômetro  de  resistência,  que mede  a  temperatura  através  da 
medida da variação da resistência de um condutor, é feito de platina e 
possui resistência de 50,0 Ω a 20,0 Ԩ. Quando imerso em um vasilhame 
contendo indio fundido, sua resistência aumenta para 76,8 Ω. Calcule o 
ponto de fusão do indio. 
Solução 
Resolvendo a Eq.  (6.15) para ∆ܶ e usando o valor de ߙ para a platina 
dada na tabela 6.1, obtemos 
  105
 
Figura 6.8: Gráfico da resistência em função da temperatura para um 
material supercondutor. 
∆ܶ ൌ
ܴ െ ܴ଴
ߙܴ଴
ൌ
76,8 Ω െ 50,0 Ω
ሾ3,92 ൈ 10ିଷሺԨሻିଵሿሺ50,0 Ωሻ
ൌ 137Ԩ 
Como  ଴ܶ ൌ 20,0 Ԩ,  determinamos  que ܶ,  a  temperatura  de  fusão  da 
amostra de índio, é 157 Ԩ. 
 
6.5 Avanços na área: supercondutividade 
Existe  uma  classe  de metais  e  compostos  cuja  resistência  cai  a 
zero quando estão abaixo de certa  temperatura  ௖ܶ,  conhecida como a 
temperatura  crítica.  Estes  materiais  são  conhecidos  como 
supercondutores.  O  gráfico  resistênciaൈtemperatura,  para 
supercondutores, é semelhante aquele para um metal normal abaixo de 
௖ܶ,  como mostrado  na  Figura  6.8. Quando  a  temperatura  está  em  ou 
abaixo de  ௖ܶ, a resistividade cai subitamente a zero. Este fenômeno foi 
descoberto em 1911 pelo físico alemão Heike Kamerlingh‐Onnes (1853‐
1926)  quando  trabalhava  com mercúrio,  que  se  torna  supercondutor 
abaixo de 4,2 ܭ. Medidas recentes mostraram que as resistividades de 
supercondutores abaixo de valores  ௖ܶ são menores que 4 ൈ 10ିଶହΩ · ݉ 
‐ aproximadamente 10ଵ଻ vezes menores que a resistividade do cobre e 
na prática considerado zero. 
Atualmente  milhares  de  supercondutores  são  conhecidos.  A 
temperatura crítica de supercondutores recentemente descobertos são 
  106
 
 
Figura 6.9 Circuito simples 
substancialmente mais  altas  do  que  as  que  inicialmente  se  imaginava 
possível.  Dois  tipos  de  supercondutores  são  reconhecidos.  Os  mais 
recentemente  identificados  são  essencialmente  materiais  cerâmicos 
com  temperaturas  críticas  altas,  enquanto materiais  supercondutores 
tais  como  os  observados  por  Kamerlingh‐Onnes  são  metais.  Se  um 
supercondutor  a  temperatura  ambiente  for  identificado,  seu  impacto 
tecnológico pode ser enorme. 
  O  valor  de  ௖ܶ  é  sensível  a  composição  química,  pressão,  e 
estrutura molecular. É interessante observar que o cobre, prata, e ouro, 
que são excelentes condutores, não exibem supercondutividade. 
 
6.6 Potência elétrica 
Se uma bateria é usada para estabelecer uma corrente elétrica 
em  um  condutor,  existe  uma  transformação  contínua  de  energia 
química na bateria em energia cinética dos elétrons e, então, em energia 
interna  no  condutor,  resultando  em  um  aumento  na  temperatura  do 
condutor. 
Em circuitos elétricos típicos, energia é transferida de uma fonte 
tal como a bateria, para algum dispositivo, tal como uma lâmpada ou um 
receptor  de  rádio.  Determinaremos  uma  expressão  que  permita‐nos 
calcular  a  taxa desta  transferência de  energia. Primeiro,  considere um 
circuito simples como aquele mostrado na Figura 6.9 onde  imaginamos 
que energia esteja sendo  fornecida a um  resistor. Uma vez que os  fios 
  107
que  fazem a conexão  também possuem  resistência, parte da energia é 
fornecida aos fios e parte ao resistor. A menos que observado de outra 
forma, suponha que a  resistência dos  fios é  tão pequena comparada à 
resistência do elemento de circuito que  ignoramos a energia  fornecida 
aos fios. 
Imagine  que  uma  quantidade  positiva  de  carga  ܳ  que  está  se 
movendo no sentido horário em torno do circuito da Figura 6.9 desde o 
ponto  ܽ  através  da  bateria  e  do  resistor  e  de  volta  ao  ponto  ܽ. 
Identificamos  o  circuito  inteiro  como  nosso  sistema.  Quando  a  carga 
move‐se de ܽ para ܾ através da bateria, a energia potencial elétrica do 
sistema  aumenta  por  uma  quantidade  ܳ∆ܸ  enquanto  a  energia 
potencial química na bateria diminui pela mesma quantidade. Contudo, 
quando a carga move‐se de ܿ para ݀ através do resistor, o sistema perde 
esta energia potencial elétrica durante colisões de elétrons com átomos 
no  resistor.  Neste  processo,  a  energia  é  transformada  para  energia 
interna  correspondendo a um aumento no movimento vibracional dos 
átomos  no  resistor.  Uma  vez  que  desprezamos  a  resistência  dos  fios 
interconectores,  nenhuma  transformação  de  energia  corre  para  os 
caminhos  ܾܿ  e  ݀ܽ. Quando  a  carga  retorna  ao  ponto  ܽ,  o  resultado 
líquido  é  que  parte  da  energia  química  na  bateria  foi  fornecida  ao 
resistor  e permanece no  resistorcomo  energia  interna  associada  com 
vibração molecular. 
O  resistor  está  normalmente  em  contato  com  o  ar,  assim  sua 
temperatura aumentada resultará em transferência de energia na forma 
de  calor  para  o  ar.  Além  disso,  o  resistor  emite  radiação  térmica, 
representando outro meio de escape para a energia. Após decorrido um 
intervalo  de  tempo,  o  resistor  alcança  uma  temperatura  constante, 
naquele  instante o  fornecimento de energia pela bateria é equilibrado 
pela saída de energia na  forma de calor e radiação. Alguns dispositivos 
elétricos  incluem dissipadores de calor conectados às partes do circuito 
para evitar que as mesmas atinjam  temperaturas perigosamente altas. 
Estes  são  pedaços  de  metais  com  muitas  barbatanas.  A  alta 
condutividade  térmica  do metal  fornece  uma  rápida  transferência  de 
energia  na  forma  de  calor  que  sai  do  componente  quente. O  grande 
  108
número de barbatanas fornece uma grande superfície em contato com o 
ar, de modo que se pode transferir energia através da radiação de calor 
para o ar, em altas taxas. 
A taxa com que a carga ∆ܳ perde energia potencial ao percorrer 
o resistor é dada por 
∆ܷ
∆ݐ
ൌ
∆ܳ
∆ݐ
∆ܸ ൌ ܫ∆ܸ                                    ሺ6.17ሻ 
onde ܫ é a corrente no circuito. Em contraste, a carga ganha novamente 
esta energia quando passa através da bateria. Por que a taxa com que a 
carga  perde  energia  é  igual  à  potência  ܲ  fornecida  ao  resistor  (que 
aparece como energia interna), temos 
ܲ ൌ ܫ∆ܸ                                                     ሺ6.18ሻ 
Neste caso, a potência é fornecida ao resistor por uma bateria. Contudo, 
podemos usar a Equação  (6.18) para determinar a potência transferida 
para  qualquer  dispositivo  portando  uma  corrente  I  e  tendo  uma 
diferença de potencial ∆ܸ entre seus terminais. 
Usando a Equação (6.18) e o fato que ∆ܸ ൌ ܫܴ para um resistor, 
podemos  expressar  a  potência  fornecida  para  o  resistor  nas  formas 
alternativas 
ܲ ൌ ܫଶܴ ൌ
ሺ∆ܸሻଶ
ܴ
                                                     ሺ6.19ሻ 
Quando ܫ é expresso em amperes, ∆ܸ em volts, e ܴ em ohms, a unidade 
SI de potência é o watt. A potência perdida como energia interna em um 
condutor  de  resistência  ܴ  é  chamada  aquecimento  joule;  esta 
transformação  é  também  freqüentemente  referida  como  uma  perda 
ܫଶܴ. 
Uma  bateria,  um  dispositivo  que  fornece  energia  elétrica,  é 
chamada ou uma fonte de força eletromotriz ou, mais comumente, uma 
fonte  fem.  Quando  a  resistência  interna  da  bateria  é  desprezada,  a 
diferença de potencial entre os pontos a e b na Fig.6.9 é igual à fem ߝ da 
bateria, isto é, Δܸ ൌ ௕ܸ െ ௔ܸ ൌ ߝ. Isto sendo verdadeiro pode‐se afirmar 
que  a  corrente  é  ܫ ൌ Δܸ ܴ⁄ ൌ ߝ ܴ⁄ .  Por  que  Δܸ ൌ ߝ,  a  potência 
  109
Exemplo Resolvido 6.7 
Exemplo resolvido 6.8 
fornecida pela fonte fem pode ser expressa como ܲ ൌ ܫߝ, que é  igual a 
potência liberada para o resistor, ܫଶܴ. 
Um  aquecedor  elétrico  é  construído  aplicando  uma  diferença  de 
potencial de 120 ܸ a um fio de Nicromo que possui uma resistência total 
de 8,00 Ω.  (a) Determine a corrente transportada pelo fio e a potencia 
do  aquecedor.  (b)  Como  ficariam  os  resultados  do  item  (a)  se  o 
aquecedor fosse conectado acidentalmente a uma fonte de 240 V? 
Solução 
(a) Como ∆ܸ ൌ ܫܴ, temos 
ܫ ൌ
∆ܸ
ܴ
ൌ
120 ܸ
8,00 Ω 
ൌ 15,0 ܣ 
Determinamos a potência usando a expressão ܲ ൌ ܫଶܴ: 
ܲ ൌ ܫଶܴ ൌ ሺ15,0ሻଶሺ8,00 Ωሻ ൌ 1,80 ൈ 10ଷ ܹ ൌ 1,80 ܹ݇ 
(b) Como a diferença de potencial aplicada será duas vezes maior que a 
diferença  de  potencial  do  item  (a)  a  Equação  (6.18)  nos  diz  que  a 
corrente  no  aquecedor  será  duas  vezes  maior  e  da  Equação  (6.19) 
tiramos que  a potência  será quatro  vezes maior  já que  temos o  fator 
quadrático na diferença de potencial. 
 
Calcule  aproximadamente  o  custo  do  cozimento  de  um  peru  durante 
quatro horas em um forno que opera continuamente com uma corrente 
de 20,0 ܣ e sob tensão de 240 ܸ. 
Solução 
A potência usada pelo forno é 
ܲ ൌ ܫ∆ܸ ൌ ሺ20,0 ܣሻሺ240 ܸሻ ൌ 4800 ܹ ൌ 4,80 ܹ݇ 
Como a energia consumida é igual ݌݋ݐê݊ܿ݅ܽ ൈ ݐ݁݉݌݋, a quantidade de 
energia pela qual devemos pagar é 
  110
ܧ݊݁ݎ݃݅ܽ ൌ ܲ ൈ ݐ ൌ ሺ4,80 ܹ݇ሻሺ4 ݄ሻ ൌ 19,2 ܹ݄݇ 
Se a energia é comprada ao preço estimado de 50 centavos por kilowatt 
hora, o custo do cozimento será 
ܥݑݏݐ݋ ൌ ሺ19,2 ܹ݄݇ሻ ቆ
ܴ$ 0,50
ܹ݄݇
ቇ ൌ ܴ$ 9,60 
 
Exercício Quanto custa manter uma lampada de 100 ܹ ligada por 24 
horas se a companhia de eletricidade (CEPISA) cobra ܴ$ 0,50/ܹ݄݇?  
 
Questões 
Q1 Fazendo uma analogia entre corrente elétrica e o fluxo do trafego de 
automóveis,  o  que  corresponderia  à  carga?  E  o  que  corresponderia  a 
corrente? 
Q2 Que fatores afetam a resistência de um condutor? 
Q3 Qual a diferença entre resistência e resistividade? 
Q4  Todos  os  condutores  obedecem  à  lei  de  Ohm?  Dê  exemplos  que 
justifiquem suas respostas. 
Q5 Vimos que um  campo elétrico deve existir dentro de um  condutor 
através  do  qual  flui  uma  corrente.  Como  isto  é  possível,  se  em 
eletrostática, havíamos concluído que o campo elétrico deve ser nulo no 
interior de um condutor? 
Q6  Quando  a  voltagem  através  de  um  condutor  é  duplicada,  é 
observado que a corrente é aumentada por um  fator  três. O que você 
pode concluir a respeito deste condutor? 
Q7 Explique como a corrente pode persistir em um supercondutor sem a 
necessidade de aplicarmos uma voltagem. 
Q8 Se as cargas fluem muito  lentamente através de um metal, por que 
não  são  exigidas  várias  horas  para  que  a  lâmpada  comece  a  iluminar 
após acionar o interruptor? 
  111
Q9 Duas  lâmpadas,  ambas operando  com  tensão de 120 ܸ. Uma  tem 
potência de 25 W e a outra de 100 W. Que  filamento  tem  resistência 
mais alta? Através de que filamento flui maior corrente? 
Q10  Baterias  de  automóveis  são  freqüentemente  classificadas  em 
ampere‐horas.  Isto  designa  corrente,  potência,  energia  ou  carga  que 
pode ser retirada da bateria? 
 
Problemas 
P1  Um  fio  de  raio  1,6 ݉݉  porta  uma  corrente  de  0,092 ܣ.  Quantos 
elétrons cruzam um ponto fixo no fio em 1 ݏ? 
P2  Portadores  de  cargas  em  um  semicondutor  possui  densidade  de 
número ݊௤ ൌ 3,5 ൈ 10ଶସ ݌݋ݎݐܽ݀݋ݎ݁ݏ/ܿ݉ଷ. Cada portador possui uma 
carga cuja magnitude é aquela da carga de um elétron. Se a densidade 
de  corrente  é 7,2 ൈ 10ଶܣ/݉ଶ, qual  é  a  velocidade dos portadores de 
carga? 
P3  A  densidade  de  elétrons  portadores  de  carga  no  cobre  é  8,5 ൈ
10ଶ଼ ݈݁݁ݐݎ݋݊ݏ/݉ଷ. Se a corrente de 1,2 ܣ  flui em um  fio com  raio de 
1,8 ݉݉, qual é a velocidade dos elétrons? Como esta velocidade muda 
em um segundo fio, de diâmetro igual a 2,4 ݉݉, conectado ponta com 
ponta com o primeiro fio? 
P4 Um fio de alumínio de área igual 50 ݉݉ଶ colocado ao longo do eixo 
ݔ passa 10.000 ܥ em 1 ݄. Suponha que existe um elétron livre por cada 
átomo de alumínio. Determine a corrente, a densidade de corrente, e a 
velocidade  de  deriva. A  densidade  de massa  do  alumínio  é  de  2,7 ݃/
ܿ݉ଷ. 
P5 Ouro possui um elétron por átomo disponível para transportar carga. 
Dado que a densidade de massa do ouro é 1,93 ൈ 10ଷ ݇݃/݉ଷ e que seu 
peso molecular é igual a 197 ݃/݉݋݈, calcule a velocidade de deriva dos 
elétrons  em  um  fio  de  ouro  que  porta  0,3 ܣ  e  tem  uma  secção  reta 
circular de raio igual a 0,5 ݉݉. 
  112
P6 Você dispõe de dois cilindros feitos do mesmo material. O pedaço 2 
possui metade  do  comprimento  e metade  do  diâmetro  do  pedaço  1. 
Qual é a razão das resistências dos dois pedaços.P7 A condutividade da prata é 1,5 vezes aquela do ouro. Qual é a razão 
do  diâmetro  de  um  fio  de  prata  para  aquele  de  um  fio  de  ouro  do 
mesmo comprimento se ambos os fios são projetados para ter a mesma 
resistência? 
P8 Um fio aterrado feito de alumínio tem comprimento de 528 ݉ e área 
de 0,12 ܿ݉ଶ. (a) Qual é a sua resistência? (b) Qual é o raio de um fio de 
cobre do mesmo comprimento e resistência? 
P9 Qual é a voltagem máxima que pode  ser aplicada a um  resistor de 
1000 Ω com potencia de dissipação de 1,5 ܹ? 
P10  Seu  irmão  menor  deixa  uma  lâmpada  de  100 ܹ  ligada 
desnecessariamente  por  uma  hora.  Supondo  que  potencia  elétrica 
custam 50 centavos por kilowatt‐hora, qual é o custo por seu mau uso? 
P11 Um estudante de pós‐graduação em engenharia possui uma coleção 
de  resistores de 100 Ω  com diferentes  taxas de dissipação de  energia 
iguais a 1/8, ¼, ½, 1 e 2W. Qual é a corrente máxima que o estudante 
deveria usar em cada resistor? 
P12 Qual é a corrente máxima permitida para (a) um resistor de 160 Ω, 
5 ܹ? (b) Um resistor de 2,5 ݇Ω, 3 ܹ? 
 
BIBLIOGRAFIA 
 
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edition, Freeman, New York, 2008. 
HALLIDAY  D.,  Resnick  R., Walker  J.,  Física  Fundamental,  vol  3,  Livros 
Técnicos Científicos S. A., Rio de Janeiro, 2004 
HALLIDAY D., RESNICK R.,  KRANE  S.,  Física  vol.  3,  LTC, Rio de  Janeiro, 
2000 
HEWITT  P,  Física  Conceitual,  Longman,  9ª  edição,  Rio Grande  do  Sul, 
200x 
  113
NUSSENZVEIG, H. M., Física Básica vol. 3, Edgard Blucher, x Ed., Rio de 
Janeiro, 200X 
CUMMINGS K., LAWS P., REDISH E., COONEY P., Understanding Physics, 
John Wiley, New York, 2004. 
YOUNG H. D.,  FREEDMAN,  R. A.  Física  3:  Eletromagnetismo,  Pearson, 
São Paulo, 2008. 
 
   
  114
CAPÍTULO 7: CIRCUITOS ELÉTRICOS 
 
RESUMO 
 
  Neste  capítulo apresentaremos a noção de  circuitos elétricos e 
diagramas  de  circuitos,  bem  como,  regras  de  calculo  para  a 
determinação de correntes e resistências em elementos do circuito.  
 
  115
7 CIRCUITOS ELÉTRICOS 
 
7.1  Elementos e diagramas de circuitos  115
7.2  Força eletromotriz  117
7.3  Associação de resistores  119
7.3.1  Resistores em série  119
7.3.2  Resistores em paralelo  120
7.4  Leis de Kirchoff e circuito básico  122
7.5  Circuitos RC  129
  Questões  136
  Problemas  137
  Bibliografia  139
   
  116
 
Figura 7.1 Um circuito elétrico 
No interior de aparelhos de TV, de computadores, de aparelhos de 
som  ou  mesmo  do  teclado  de  um  microcomputador  encontramos 
circuitos que apresentam grau de  complexidade bem maior do que os 
circuitos simples que foram mostrados no capítulo anterior. Todos estes 
circuitos  incluem  diversas  fontes,  resistores  e  outros  elementos,  tais 
como capacitores, transformadores e motores, interconectados em uma 
rede. 
Neste  capitulo  estudaremos método  para  analisar  essas  redes, 
incluindo  como  calcular  correntes,  voltagens  e  outras  propriedades 
desconhecidas dos elementos do circuito. Assim ao final deste capítulo o 
leitor  deve  apresentar  habilidades  (a)  para  compreender  e  usar 
diagramas  básicos  de  circuitos,  (b)  analisar  circuitos  que  contenham 
resistores em série e em paralelo,  (c) calcular a potência dissipada nos 
elementos  de  circuito  e  (d)  compreender  o  aumento  e  diminuição  de 
corrente em circuitos RC. 
 
7.1. Elementos e diagramas de circuitos 
A Figura 7.1 mostra um circuito elétrico no qual um resistor e um 
capacitor  estão  conectados  por  meios  de  fios  a  uma  bateria.  Para 
entender o  funcionamento deste circuito precisamos de uma descrição 
gráfica mais  abstrata  chamada  diagrama  do  circuito.  O  diagrama  do 
circuito  é  uma  descrição  lógica  dos  elementos  que  estão  conectados 
entre  i.  O  circuito  real,  uma  vez  construído,  pode  aparentar 
completamente diferente do diagrama do  circuito, mas  terá  a mesma 
lógica e conexões. 
  117
 
Figura 7.2 Uma mostra de símbolos básicos usados para desenhar circuitos 
eletrônicos 
 
 
Figura 7.3 O diagrama de circuito 
para o circuito da Figura 7.1 
 
Figura 7.4 
Num diagrama de circuitos as imagens dos elementos de circuitos 
são  trocadas  por  símbolos.  A  figura  7.2  mostra  os  símbolos  básicos 
necessários  para  tal  descrição.  Nesta  Figura  estão  mostradas  as 
representações para bateria, fios, resistores, filamentos, junções, chaves 
e  capacitores.  No  curso  Física  IV  será  visto  circuitos  com  elementos 
relacionados às propriedades magnéticas do meio, como o indutor. 
A  Figura  7.3  é  o  diagrama  de  circuito  para  o 
circuito da Figura 7.1. A fem da bateria ߝ é mostrada 
ao lado da bateria, e os símbolos ൅ e െ para ressaltar 
os  terminais  da  mesma.  Além  disso,  é  mostrada  a 
resistência R do resistor e capacitância C do capacitor. 
Os fios, que na prática podem ser tortos e curvos, são 
mostrados  como  conexões  em  linha  reta  entre  os 
elementos do circuito. 
Exercício: Quais dos diagramas mostrados na Figura 7.4 representam o 
mesmo circuito? 
 
  118
 
Figura  7.5  Circuito  elétrico  consistindo  de  um  resistor  conectado  aos 
terminais de uma bateria 
 
Figura 7.6 (a) Diagrama de circuito de uma fonte de fem ߝ (neste caso, uma 
bateria), de resistência ݎ, conectada a um resistor externo de resistência ܴ. 
(b)  Representação  gráfica  mostrando  como  o  potencial  elétrico  muda 
quando o circuito na parte (a) é percorrido no sentido horário. 
7.2 Força Eletromotriz 
Anteriormente  foi mencionado  que  corrente  constante  poderia 
ser  mantida  em  circuitos  fechados  usando  fonte  de  fem,  que  é  um 
dispositivo  (tal  como  uma  bateria  ou  gerador)  que  produz  um  campo 
elétrico e assim pode  levar as cargas a se moverem através do circuito. 
Podemos imaginar uma fonte de fem como um “dispositivo bombeador 
de  cargas”. Quando a diferença de potencial elétrico existe entre dois 
pontos,  a  fonte move  cargas  “morro  acima”  do  potencial mais  baixo 
para o mais alto. A fem ߝ descreve o trabalho feito por unidade de carga, 
e, portanto a unidade SI de fem é o volt.  
Considere o circuito mostrado na Figura 7.5, consistindo de uma 
bateria conectada a um  resistor. Supomos que os  fios de conexão não 
possuem  resistência.  O  terminal  positivo  da  bateria  está  em  um 
potencial  mais  alto  que  o  terminal  negativo.  Se  desprezarmos  a 
resistência  interna  da  bateria,  a  diferença  de  potencial  através  dela 
(chamada de voltagem entre os terminais) iguala a sua fem 
  119
Contudo, porque uma bateria real sempre tem alguma resistência 
interna  ݎ,  a  voltagem  entre  os  terminais  não  é  igual  a  fem  para  uma 
bateria  em  um  circuito  no  qual  existe  uma  corrente.  Para  entender 
porque  isto  acontece,  considere  o  diagrama  de  circuito mostrado  na 
Figura  7.6  (a),  onde  a  bateria  da  Figura  7.5  é  representada  pelo 
retângulo tracejado contendo uma fem ߝ em série com uma resistência 
interna ݎ. Agora  imagine um movimento através da bateria no sentido 
horário  de  ܽ  para  ܾ  e medindo  o  potencial  elétrico  em  vários  locais. 
Quando  passamos  do  terminal  negativo  para  o  terminal  positivo,  o 
potencial  aumenta pela quantidade  ߝ. Contudo quando nos movemos 
através da resistência ݎ o potencial decresce da quantidade ܫݎ, onde ܫ é 
a corrente no circuito. Assim, a voltagem entre os  terminais da bateria 
∆ܸ ൌ ௕ܸ െ ௔ܸ é 
∆ܸ ൌ ߝ െ ܫݎ                                         ሺ7.1ሻ 
A  Figura7.6  (b)  é  uma  representação  gráfica  das mudanças  em 
potenciais elétricos quando o  circuito é percorrido na direção horária. 
Por  inspeção,  vemos  que  a  diferença  de  potencial  entre  os  terminais 
deve  ser  igual  à  diferença  de  potencial  através  dos  extremos  da 
resistência  externa ܴ,  freqüentemente  chamada  de  carga  resistiva.  A 
carga  resistiva deve  ser um elemento de circuito  resistivo único, como 
na Figura 7.5, ou poderia ser a resistência de algum dispositivo elétrico 
(tal como uma torradeira, um aquecedor elétrico, ou o filamento de uma 
lâmpada) conectado à bateria. O resistor representa uma carga resistiva 
sobre  a bateria porque  a bateria deve  fornecer energia para operar o 
dispositivo.  A  diferença  de  potencial  através  da  carga  resistiva  é 
∆ܸ ൌ ܫܴ. Combinando esta expressão com a Equação (7.1), vemos que 
ߝ ൌ ܫܴ ൅ ܫݎ                                               ሺ7.2ሻ 
Resolvendo para a corrente resulta em 
ܫ ൌ
ߝ
ܴ ൅ ݎ
                                                                    ሺ7.3ሻ 
Esta  equação mostra  que  a  corrente  neste  circuito  simples  depende 
tanto da carga resistiva externa ܴ à bateria como da resistência interna 
  120
 
Figura 7.7 (a) Conexão em série de dois resistores ܴଵ e ܴଶ. A corrente em ܴଵ 
é  a mesma  que  em  ܴଶ.  (b)  Diagrama  de  circuito  para  o  circuito  de  dois 
resistores.  (c)  Os  resistores  trocados  por  um  único  resistor  tendo  a 
resistência equivalente ܴ௘௤ ൌ ܴଵ ൅ ܴଶ 
ݎ. Se ܴ é muito maior que ݎ, como é em muitos circuitos do mundo real, 
obtemos 
ܫߝ ൌ ܫଶܴ ൅ ܫଶݎ                                       ሺ7.4ሻ 
Indicando  que  a  potencia  externa  total  fornecida  ܫߝ  pela  bateria  é 
consumida pela carga externa na forma de calor (efeito Joule) como ܫଶܴ 
e de forma semelhante na resistência interna ܫଶݎ. 
7.3 Associação de resistores 
A  análise de um  circuito pode  ser  simplificada  trocando dois ou 
mais  resistores  por  um  único  resistor  equivalente  que  transporta  a 
mesma corrente quando é aplicada a mesma diferença de potencial que 
é aplicada aos resistores originais. A troca de um conjunto de resistores 
por um  resistor  equivalente  é  semelhante  a  troca  de um  conjunto de 
capacitores por um capacitor equivalente, discutido no capítulo 5. 
7.3.1 Resistores em série 
Quando dois ou mais resistores estão como ܴଵ e ܴଶ na Figura 7.7 
de modo que eles  transportem  a mesma  corrente  ܫ, os  resistores  são 
ditos estarem conectados em série. A diferença de potencial através do 
resistor ܴଵ é ܫܴଵ e a diferença de potencial através do resistor ܴଶ é ܫܴଶ 
A diferença de potencial através dos dois resistores é  igual a soma das 
diferenças de potencial individuais: 
  121
 
 
Figura 7.8 Conexão em paralelo de dois resistores ܴଵ e ܴଶ. A diferença de potencial através 
de ܴଵ é a mesma que aquela através de ܴଶ. (b) Diagrama de circuito para o circuito de dois 
resistores.  (c)  Os  resistores  trocados  por  um  único  resistor  equivalente  tendo  resistência 
equivalente ܴ௘௤ ൌ ሺܴଵିଵ ൅ ܴଶିଵሻିଵ. 
ܸ ൌ ܫܴଵ ൅ ܫܴଶ ൌ ܫሺܴଵ ൅ ܴଶሻ ൌ ܴ௘௤ܫ            ሺ7.5ሻ 
A resistência equivalente 
ܴ௘௤ ൌ ܴଵ ൅ ܴଶ                          ሺ7.6ሻ 
é  a  resitência  que  resulta  na mesma  queda  de  potencial ܸ  quando  o 
circuito é percorrido pela corrente ܫ. 
Quando existem mais que dois  resistores em  série,  a  resistencia 
equivalente é 
ܴ௘௤ ൌ ܴଵ ൅ ܴଶ ൅ ܴଷ ൅ ڮ                           ሺ7.7ሻ 
7.3.2 Resistores em paralelo 
Dois resistores que estão conectados como na Figura 7.8, tal que 
estejam  com  a  mesma  diferença  de  potencial  através  de  suas 
extremidades, estão associados em paralelo. Seja ܫ a corrente a corrente 
que vai do ponto ܽ ao ponto ܾ. No ponto ܽ a corrente ܫ divide‐se em 
duas partes, ܫଵ flui através do resistor ܴଵ e ܫଶ através do resistor ܴଶ. A 
corrente total é a soma das correntes individuais: 
ܫ ൌ ܫଵ ൅ ܫଶ                                            ሺ7.8ሻ 
A queda de potencial através de qualquer dos  resistores, ܸ ൌ ௔ܸ െ ௕ܸ, 
está relacionada às correntes por 
ܸ ൌ ܫଵܴଵ ൌ ܫଶܴଶ                                        ሺ7.9ሻ 
  122
 
Figura 7.7
Exercício Resolvido 
 
A  resistência  equivalente  para  resistores  associados  em  paralelo  é  a 
resistência equivalente para a qual a mesma corrente  total  ܫ produz a 
mesma queda de potencial ܸ: 
ܴ௘௤ ൌ
ܸ
ܫ
                                           ሺ7.10ሻ 
Resolvendo esta equação para ܫ e usando o resultado (7.4), obtemos 
ܫ ൌ
ܸ
ܴ
ൌ ܫଵ ൅ ܫଶ ൌ
ܸ
ܴଵ
൅
ܸ
ܴଶ
                              ሺ7.11ሻ 
A  resistência  equivalente  para  dois  resistores  em  paralelo  é,  portanto 
dada por  
1
ܴ௘௤
ൌ
1
ܴଵ
൅
1
ܴଶ
                                          ሺ7.12ሻ 
Este resultado pode ser generalizado para combinações, de mais de dois 
resistores associados em paralelo: 
1
ܴ௘௤
ൌ
1
ܴଵ
൅
1
ܴଶ
൅
1
ܴଷ
൅ ڮ                         ሺ7.13ሻ 
 
Quatro resistores estão conectados como mostrado na Figura 7.7.  
(a)  Determine  a  resistência  equivalente  entre  os 
pontos ܽ e ܿ. 
(b) Qual é a corrente em cada resistor se a diferença 
de potencial de 42 ܸ é mantida entre ܽ e ܿ? 
Solução 
(a) A combinação de resistores pode ser reduzida em 
passos, como mostrado na Figura 7.7. Os resistores de 
8,0 Ω  e  4,0 Ω  estão  em  série;  assim  a  resistência 
equivalente entre ܽ e ܾ é de 12,0 Ω. Os resistores de 
6,0 Ω e  3,0 Ω  estão  em  paralelo,  de  forma  que  da 
Equação  (7.8)  calculamos  que  a  resistência 
equivalente de ܾ para ܿ é de 2,0 Ω Assim a resistência 
  123
 
Figura  7.8  Um  exemplo  de  circuito  simples  que  não  pode  ser  analisado 
trocando  combinação  de  resistores  em  série  ou  paralelo  por  suas 
resistências equivalentes. A queda de potencial através de ܴଵ e ܴଶ não são 
iguais devido a  fonte  fem ߝଶ, assim estes resistores não estão em paralelo. 
(resistores  em  paralelo  deveriam  está  conectados  aos  mesmos  pontos  – 
mesma  diferença  de  potencial.)  Os  resistores  não  transportam  a  mesma 
corrente, de modo que não estão em série. 
equivalente entre ܽ e ܿ é ૚૝, ૙ ષ. 
(b) As  correntes nos  resistores 8,0 Ω   e 4,0 Ω  são  as mesmas por que 
eles  estão  em  série. Além  disso,  é  a mesma  corrente  que  existiria  no 
resistor  equivalente  submetido  à  diferença  de  potencial  de  42 ܸ. 
Portanto, usando que ܴ ൌ ܸ/ܫ e o resultado da parte (a), obtemos 
ܫ ൌ ௔ܸ௖
ܴ௘௤
ൌ
42,0 ܸ
14,0 Ω 
ൌ 3,0 ܣ 
Esta é a corrente nos resistores de 8,0 Ω e 4,0 Ω. Quando esta corrente 
entra  na  junção  em  ܾ,  contudo,  ela  divide‐se,  com  uma  parte  fluindo 
através do resistor de 6,0 Ω   (ܫଵ) e a outra parte através do resistor de 
3,0 Ω (ܫଶ). Como a diferença de potencial é  ௕ܸ௖ através destes resistores 
(uma  vez  que  eles  estão  associados  em  paralelo),  vemos  que 
ሺ6,0 Ωሻܫଵ ൌ ሺ3,0 Ωሻܫଶ, ou seja, ܫଶ ൌ 2ܫଵ. Usando este resultado e o fato 
que ܫଵ ൅ ܫଶ ൌ 3,0 ܣ, determinamos que ܫଵ ൌ 1.0 ܣ e ܫଶ ൌ 2,0 ܣ 
Como  uma  verificação  final  dos  nossos  resultados,  observe  que 
௕ܸ௖ ൌ ሺ6,0 Ωሻܫଵ ൌ ሺ3,0 Ωሻܫଶ ൌ 6,0 ܸ  e  ௔ܸ௕ ൌ ሺ12,0 Ωሻܫ ൌ 36,0 ܸ; 
portanto,  ௔ܸ௖ ൌ ௔ܸ௕ ൅ ௕ܸ௖ ൌ 42 ܸ, como deve ser. 
 
7.4 Leis de Kirchoff e circuito básico  
Existem muitos circuitos simples, tais como o mostrado na Figura 
7.8, que não podem  ser analisados meramente  trocando  combinações 
  124
 
Figura 7.9 (a) Regra do nó de kirchoff. Conservação da carga exige que toda 
corrente  entrando  em  uma  junção  deve  deixar  esta  junção.  Portanto 
ܫଵ ൌ ܫଶ ൅ ܫଷ. (b) O análogo mecânico da regra do nó: a quantidade de água 
fluindo para  fora através dos  ramos à direita deve  ser  igual a quantidade 
fluindo para dentroatravés do único ramo à esquerda. 
de resistores por uma resistência equivalente. As duas resistências ܴଵ e 
ܴଶ neste circuito parecem estar em paralelo, mas não estão. A diferença 
de potencial não  é  a mesma  através de  ambos os  resistores devido  a 
presença da  fem  ߝଶ  em  série  com ܴଶ. Nem ܴଵ  e ܴଶ  estão  em  série  , 
porque eles não transportam a mesma corrente. 
Duas  regras,  chamadas  regras de Kirchoff, aplicam‐se a este e a 
qualquer outro circuito: 
1. Quando qualquer circulação em circuito fechado é executada, 
a soma algébrica das variações no potencial deve ser  igual a 
zero. 
2. Em qualquer  junção (nó) de um circuito onde a corrente pode 
ser dividida, a  soma das  correntes  entrando na  junção deve 
ser igual a soma das correntes saindo da junção. 
A primeira regra de Kirchoff, chamada de regra das malhas, segue 
diretamente da  conservação da  energia.  Se  tivermos uma  carga ݍ  em 
algum ponto onde o potencial é ܸ, a energia potencial da carga é ݍܸ. 
Quando a carga percorre uma malha em um circuito, ele perde ou ganha 
energia ao passar através de resistores, baterias, ou outros dispositivos, 
mas quando chega de volta ao ponto de onde partiu, sua energia deve 
ser novamente ݍܸ. Isto é, a variação total no potencial deve zero. 
A  segunda  regra  de  Kirchoff,  chamada  regra  do  nó,  segue  da 
conservação  da  carga.  A  Figura  7.9  (a) mostra  a  junção  de  três  fios 
portando correntes ܫଵ, ܫଶ e ܫଷ. Como cargas não estão sendo criadas e, 
  125
Figura 7.10 Circuito contendo duas baterias e três resistores externos. Os 
sinais  mais  e  menos  sobre  os  resistores  existem  para  nos  ajudar  a 
relembrar que lado de cada resistor está no potencial mais alto em relação 
a direção de corrente que nos convencionamos. 
Exemplo Resolvido 
tampouco,  sendo  acumuladas  neste  ponto,  a  conservação  implica  a 
regra da junção, que para este caso resulta em 
ܫଵ ൌ ܫଶ ൅ ܫଷ                                            ሺ7.14ሻ 
Existem  exemplos  análogos  em  mecânica  dos  fluidos.  Em  uma 
tubulação, na ausência de fontes ou sumidouros, a quantidade de fluido 
incompressível  entrando  através  dos  ramos  de  um  lado  de  um 
determinado ponto deve  ser  igual à quantidade de  fluido  saindo pelos 
ramos do outro deste ponto, conforme ilustra a Figura 7.9 (b). 
 
Como  um  exemplo  do  uso  da  regra  da  malha  de  Kirchoff, 
considere  o  circuito mostrado  na  Figura  7.10  contendo  duas  baterias 
com  resistências  internas ݎଵ e ݎଶ e  três  resistores externos. Desejamos 
determinar a corrente em função das forças eletromotrizes (fem’s). 
Solução 
Suponha  que  a  circulação  de  corrente  ܫ  é  no  sentido  horário, 
conforme  indicado na Figura 7.10, e apliquemos a regra das malhas de 
Kirchoff  quando  percorremos  o  circuito  na  direção  convencionada, 
partindo do ponto ܽ. O decréscimo e aumento do potencial são dados 
  126
 
Figura 7.11 Circuito dom duas malhas 
Exemplo Resolvido 
na  figura.  Observe  que  encontramos  queda  de  potencial  quando 
atravessamos  a  fonte  de  fem  entre  os  pontos  ܿ  e  ݀  e  um  aumento 
quando atravessamos a fonte de fem entre os pontos ݂ e ݃. Iniciando no 
ponto ܽ, obtemos da regra das malhas de Kirchoff que 
െܫܴଵ െ ܫܴଶ െ ߝଶ െ ܫݎଶ െ ܫܴଷ ൅ ߝଵ െ ܫݎଵ ൌ 0                     ሺ7.15ሻ 
Resolvendo para a corrente ܫ, obtemos 
ܫ ൌ
ߝଵ െ ߝଶ
ܴଵ ൅ ܴଶ ൅ ܴଷ ൅ ݎଵ ൅ ݎଶ
                                ሺ7.16ሻ 
Se ߝଶ é maior que ߝଵ, teremos um valor negativo para a corrente ܫ, 
indicando que convencionamos uma direção errada para ܫ. 
 
Para analisar circuitos contendo mais de uma malha, precisamos usar as 
duas regras de Kirchoff, com a regra dos nós (junção) aplicada a pontos 
onde corre divisão de corrente em duas ou mais partes. 
(a) Determine a corrente em cada parte do circuito mostrado na Figura 
7.11 
(b) Determine a energia dissipada no resistor de 4 Ω em 3 ݏ. 
Solução 
Como  existem  três  correntes,  ܫ,  ܫଵ,  e  ܫଶ  a  serem  determinadas, 
assim necessitamos de  três  condições. Uma  condição pode  ser obtida 
aplicando a regra do nó (junção) ao ponto ܾ. Podemos também aplicar a 
regra  do  nó  ao  aponto  ݁,  o  único  outro  nó  no  circuito, mas  fornece 
  127
exatamente a mesma informação. As outras duas condições são obtidas 
aplicando  a  regra  da malha.  Existem  três malhas  no  circuito:  as  duas 
malhas  interiores,  ܾ݂ܽ݁ܽ  e  ܾܾܿ݀݁,  e  a  malha  externa  ܾ݂ܽܿ݀݁ܽ. 
Podemos  usar  quaisquer  duas  destas  malhas  –  a  terceira  dará 
informação  redundante.  A  direção  da  corrente  ܫଵ  de  ܾ  para  ݁  não  é 
conhecida  antes  de  o  circuito  ser  analisado.  Os  sinais mais  e menos 
sobre o resistor 4 Ω são para a direção convencionada de ܫଵ de ܾ para ݁. 
(a) Para determinar as correntes em cada malha seguiremos os passos 
abaixo. 
Aplicando a regra dos nós ao ponto ܾ: 
ܫ ൌ ܫଵ ൅ ܫଶ.                                            ሺ7.17ሻ 
Aplicando a regra das malhas a malha mais externa, ܾ݂ܽܿ݀݁ܽ 
12ܸ െ ሺ2 ߗሻܫଶ െ 5ܸ െ ሺ3 Ωሻሺܫଵ ൅ ܫଶሻ ൌ 0               ሺ7.18ሻ 
Dividindo a equação acima por 1 Ω, relembrando que ሺ1ܸሻ/ሺ1ߗሻ ൌ 1ܣ, 
então simplificando 
7 ܣ െ 3ܫଵ െ 5ܫଶ ൌ 0                                    ሺ7.19ሻ 
Para obter a terceira condição, aplicamos a regra das malhas à malha da 
esquerda, ܾ݂ܽ݁ܽ, obtemos 
12ܸ െ ሺ4Ωሻܫଵ െ ሺ3Ωሻሺܫଵ ൅ ܫଶሻ ൌ 0                              ሺ7.20ሻ 
Ou após a simplificação ao dividir por 1ߗ ficamos com 
12 ܣ െ 7ܫଵ െ 3ܫଶ ൌ 0                                    ሺ7.21ሻ 
Combinando  as  Equações  (7.19)  e  (7.21)  para  resolver  para  ܫଵ  e  ܫଶ. 
Multiplicando (7.22) por 3 e (7.23) por 5 obtemos 
21 ܣ െ 9ܫଵ െ 15ܫଶ ൌ 0                                    ሺ7.22ሻ 
60 ܣ െ 35ܫଵ െ 15ܫଶ ൌ 0                                    ሺ7.23ሻ 
Subtraindo (7.22) de (7.23) ficamos então com 
39 ܣ െ 26 ܫଵ ൌ 0      ֜        ܫଵ ൌ ሺ39/26ሻܣ ൌ 1,5 ܣ 
Substituindo o valor de ܫଵ na (7.15) obtemos 
ܫଶ ൌ
7
5
ܣ െ ൬
3
5
൰ ሺ1,5ܣሻ ൌ 0,5 ܣ 
  128
 
Figura 7.12 
Exemplo resolvido 
Determinado ܫଵ e ܫଶ, usando a Equação (7.17) pode‐se calcular ܫ 
ܫ ൌ ܫଵ ൅ ܫଶ ൌ 1,5 ܣ ൅ 0,5 ܣ ൌ 2,0 ܣ 
(b) A potencia dissipada no resistor de 4Ω é 
ܲ ൌ ܫଵଶܴ ൌ ሺ1,5 ܣሻଶሺ4Ωሻ ൌ 9 W 
A energia total dissipada no intervalo de tempo ݐ é 
ܧ ൌ ܲݐ ൌ ሺ9 ܹሻሺ3 ݏሻ  ൌ 27 ܬ 
 
Determine  a  corrente  em  cada  parte  do  circuito mostrado  na  Figura 
7.12. Desenhe o diagrama circuito com os módulos e direções corretas 
da  corrente  em  cada  parte.  (b)  Atribua  ܸ ൌ 0  ao  ponto  ܿ  e  então 
determine o potencial nos outros pontos de a até ݂. 
Solução 
Primeiro,  troque  os  resistores  em  paralelo  por  uma  resistência 
equivalente. Seja ܫ a corrente que flui através da bateria de 18 ܸ, e ܫଵ a 
corrente  de  ܾ  para  ݁.  As  correntes  podem  então  ser  determinadas 
aplicando a regra dos nós aos pontos ܾ e ܿ e a regra das malhas a cada 
das malhas. Veja a Figura (7.13). 
Assim vamos seguir por etapas na solução deste problema. 
  129
 
Figura  7.13  o  mesmo  circuito  que  na  Figura  7.12  indicando  as 
correntes circulando que circulam em cada malha do circuito. 
Vamos  inicialmente determinar a  resistência equivalente para os 
resistores em paralelo de 3 Ω e 6 Ω mostrados na Figura 7.12 entre os 
pontos ݀ e ݁. Usando a Equação 7.13 obtemos que 
ܴ௘௤ ൌ 2 Ω                                                    ሺ7.24ሻ 
Aplicando a  regra dos nós nas  junções ܾ e ݁ determinamos que 
existe uma corrente 
ܫଶ ൌ ܫ െ ܫଵ                                                  ሺ7.25ሻ 
fluindo do ponto ܾ ao ponto ܿ, passando através da fem de 21 ܸ até o 
ponto ݀ e depois ate o ponto ݁. 
Aplicando  a  regra  de  Kirchoff  à  malha  ܾ݂ܽ݁ܽ,  encontramosa 
relação 
18 ܸ െ ሺ12 Ωሻܫ െ ሺ6 Ωሻܫଶ ൌ 0                         ሺ7.26ሻ 
Usando a expressão para a corrente ܫଶ dada pela Equação  (7.25) 
na expressão (7.26), após simplificações, obtemos 
2ܫ ൅ ܫଵ ൌ 3ܣ                                           ሺ7.27ሻ 
Aplicando a regra das malhas a malha ܾܾܿ݀݁, obteremos 
െሺ3 ߗሻܫଶ ൅ 21 ܸ െ ሺ2 ߗሻܫଶ ൅ 6ܫଵ ൌ 0              ሺ7.28ሻ 
que após aplicarmos o resultado (7.25) e fazer as simplificações devidas 
resulta em 
5ܫ െ 11ܫଵ ൌ 21 ܣ                                  ሺ7.29ሻ 
  130
Resolvendo  as  equações  (7.27)  e  (7.29)  para  as  correntes  ܫ  e  ܫଵ 
obteremos  que  ܫ ൌ 2ܣ  e  ܫଵ ൌ െ1 ܣ.  Assim  da  (7.25)  tiramos  que 
ܫଶ ൌ 3 ܣ. 
Observamos  que  o  valor  ܫଵ ൌ െ1 ܣ  informa  que  o  sentido  da 
corrente ܫଵ na Figura 7.13 aponta em sentido contrario ao desenhado na 
mesma. 
Assim poderemos fazer um mapa do circuito indicando o valor do 
potencial em cada um dos pontos  indicados no circuito da Figura 7.12, 
tomando o ponto ܿ como tendo potencial nulo. 
ௗܸ ൌ ௖ܸ ൅ 21 ܸ ൌ 21 ܸ 
௘ܸ ൌ ௗܸ െ ሺ3ܣሻሺ2 ߗሻ ൌ 21 ܸ െ 6 ܸ ൌ 15 ܸ 
௙ܸ ൌ ௘ܸ ൌ 15 ܸ 
௔ܸ ൌ ௙ܸ ൅ 18 ܸ ൌ 15 ܸ ൅ 18 ܸ ൌ 33 ܸ 
௕ܸ ൌ ௔ܸ െ ሺ12 ܣሻሺ12 ߗሻ ൌ 33 ܸ െ 24 ܸ ൌ 9 ܸ 
Agora o  leitor pode fazer diversos testes. Por exemplo, entre os pontos 
ܾ  e  ܿ,  circula  a  corrente  ܫଶ ൌ 3 ܣ  atraves do  resistor de 3 ߗ. Assim  a 
queda  de  potencial  ou  diferença  de  potencial  Δܸ ൌ ௕ܸ െ ௖ܸ ൌ 9 ܸ. 
Portanto o potencial no ponto ܾ é de 9 ܸ. 
 
7.6 Circuitos RC 
Um circuito contendo resistor e capacitor é chamado um circuito RC. A 
corrente em um circuito RC flui em uma unida direção, como em todos 
os circuitos de corrente contínua, mas o valor da corrente varia com o 
tempo.  Um  exemplo  prático  de  um  circuito  RC  é  o  circuito  no  flash 
acoplado a uma câmera. Antes que um flash fotográfico seja disparado, 
uma  bateria  acoplada  ao  flash  carrega  o  capacitor  através  de  um 
resistor. Quando o processo de carga está completo, o flash está pronto. 
Quando  a  imagem  é  capturada,  o  capacitor  descarrega  atravavés  do 
filamento da  lâmpada. O capacitor é então  recarregado pela bateria, e 
num  curto  intervalo  de  tempo  o  flash  está  pronto  para  uma  outra 
fotografia. Usando as regras de Kirchoff, podemos obter equações para 
  131
 
Figura 7.14 (a) Um capacitor em série com um resistor, chave e bateria. (b) 
Diagrama de circuito representando este sistema no instante ݐ ൏ 0, antes a 
chave seja fechada. (c) Diagrama de circuito num instante ݐ ൐ 0, após a 
chave ter sido fechada. 
carga ܳ e a corrente ܫ como funções do tempo para ambos os processos 
de carga e descarga do capacitor através do resistor. 
Suponha  que  o  capacitor  na  Figura  7.14  esteja  inicialmente 
descarregado. Não existirá corrente enquanto a chave ܵ estiver aberta 
(Figura  7.14  (b)).  Se  a  chave  é  fechada  no  instante  ݐ ൌ 0,  contudo,  a 
carga  começa  a  fluir,  estabelecendo  uma  corrente  no  circuito,  e  o 
capacitor começa a ser carregado. Observe que durante o processo de 
carregamento,  as  cargas  não  pulam  de  uma  placa  para  outra  no 
capacitor porque a lacuna entre as placas representa um circuito aberto. 
Em  vez  disso,  carga  é  transferida  entre  as  placas  através  dos  fios 
conectores,  devido  a  ação    do  campo  eletrico  criado  nos  fios  pela 
bateria,  até  que  o  capacitor  esteja  totalmente  carregado.  Quando  as 
placas  tornam‐se  carregadas,  a  diferença  de  potencial  através  do 
capacitor aumenta. O valor da carga máxima depende da voltagem da 
bateria. Uma vez que a carga máxima foi atingida, a corrente no circuito 
é  nula  porque  a  diferença  de  potencial  através  do  capacitor  iguala‐se 
aquela fornecida pela bateria. 
Para  analisar  o  circuito  quantitativamente,  aplica‐se  a  regra  das 
malhas  de  Kirchoff  ao  circuito  após  a  chave  ter  sido  fechada. 
Percorrendo a malha no sentido horário obtém‐se 
ߝ െ
ݍ
ܥ
െ ܫܴ ൌ 0                                   ሺ7.30ሻ 
  132
onde  ݍ/ܥ  é  a  diferença  de  potencial  através  do  capacitor  e  ܫܴ  é  a 
diferença de potencial através do resistor. Observe que ݍ e ܫ são valores 
instantâneos  que  dependem  do  tempo  (contrario  aos  valores 
estacionários) enquanto o capacitor está sendo carregado. 
Da  Equação  (7.30)  podemos  determinar  a  corrente  inicial  no 
circuito e a carga máxima no capacitor. No  instante em que a chave é 
fechada  (ݐ ൌ 0),  a  carga  no  capacitor  é  zero,  e  portanto  da  (7.30) 
determinamos que a corrente inicial no circuito ܫ଴ é máxima e igual a 
ܫ଴ ൌ
ߝ
ܴ
                                               ሺ7.31ሻ 
Neste  instante  a  diferença  de  potencial  entre  os  terminais  da  bateria 
aparece  inteiramente através do  resistor. Mais  tarde quando capacitor 
está  carregado  com  seu  valor  máximo  ܳ,  a  carga  deixa  de  fluir,  a 
corrente no circuito é zero, e a diferença de potencial entre os terminais 
da bateria aparece totalmente através do capacitor. Dessa forma ܫ ൌ 0 e 
carga no capacitor, usando a Equação (7.30) será  
ܳ ൌ ܥߝ                                                ሺ7.32ሻ 
A  expressão  analítica  da  dependência  temporal  da  carga  ݍሺݐሻ  e 
corrente  ܫሺݐሻ  é  obtida  fazendo  a  substituição  ܫ ൌ ݀ݍ/݀ݐ  na  Equação 
(7.30), ficando com a equação para variável ݍ 
݀ݍ
݀ݐ
ൌ
ߝ
ܴ
െ
ݍ
ܴܥ
ൌ െ
ݍ െ ܥߝ
ܴܥ
                            ሺ7.33ሻ 
Após a separação de variáveis a Equação (7.33) pode ser escrita como 
݀ݍ
ݍ െ ܥߝ
ൌ െ
1
ܴܥ
݀ݐ                                     ሺ7.34ሻ 
Integrando (7.34) e observando que ݍሺ0ሻ ൌ 0, obtemos 
න
݀ݍ
ݍ െ ܥߝ
௤
଴
ൌ െ
1
ܴܥ
න ݀ݐ
௧
଴
 
ou ainda, 
ln ൬
ݍ െ ܥߝ
െܥߝ
൰ ൌ െ
1
RC
 
Daí segue que 
  133
 
Figura 7.15  (a). Gráfico da  carga do  capacitor em  função do  tempo para o 
circuito exibido na Figura 7.14. A carga aproxima‐se do seu valor máximo ܥߝ 
quando t՜ ∞. Atinge o valor de 63,2 % da carga máxima quando ݐ ൌ ߬. (b) 
Gráfico da  corrente em  função do  tempo para o  circuito da  Figura 7.14. A 
corrente  é máxima  em  ݐ ൌ 0,  ܫ଴ ൌ ߝ/ܴ  e  decai  para  zero  quando  t՜ ∞. 
Atinge o valor 36,8 % do valor inicial quando ݐ ൌ ߬. 
 
Figura 7.16 Um capacitor carregado conectado a um resistor e uma chave, 
que está aberta em ݐ ൏ 0. (b) Após a chave ser fechada, uma corrente que 
decresce em modulo com o tempo é estabelecida na direção mostrada, e a 
carga no capacitor decresce exponencialmente com o tempo. 
ݍሺݐሻ ൌ ܥߝ൫1 െ ݁ି௧/ோ஼൯ ൌ ܳ൫1 െ ݁ି௧/ோ஼൯           ሺ7.35ሻ 
Usando a definição de corrente ܫ ൌ ݀ݍ/݀ݐ, determinamos que  
ܫሺݐሻ ൌ
ߝ
ܴ
݁ି
௧
ோ஼                                                 ሺ7.36ሻ 
Os  gráficos  da  carga  e  da  corrente  no  capacitor  em  função  do 
tempo estão mostrados nas Figuras 7.15(a) e 7.15(b). Observe da Figura 
7.15  (a)  que  a  carga  é  zero  no  instante  ݐ ൌ 0  e  aproxima‐se  do  valor 
máximo  ܥߝ  quando  ݐ ՜ ∞.  A  quantidade  ܴܥ,  que  aparece  nos 
expoentes  das  Equações  (7.35)  e  (7.36),  é  chamada  a  constante  do 
tempo de  relaxação ߬ do circuito. Representa o  tempo que a corrente 
leva  para  atingir  o  valor  ܫ ൌ ܫ଴/݁ ൌ 0,368 ܫ଴. De  forma  semelhante  ߬ 
representa o tempo para a carga passar do valor zero em ݐ ൌ 0 para o 
valor ܥߝሺ1 െ 1/݁ሻ ൌ 0,632ܥߝ. 
Agora  vamos  analisar  o  que  acontece  quando  o  capacitor  está 
carregado, com carga máxima, e fechamos a chave de forma que passa a 
circular,  inicialmente, uma corrente máxima. Aos poucos está corrente 
vai  diminuindo  devido  a  dissipação  no  resistor. O  capacitor  e  resistor 
  134
 
Figura 7.17 
Exemplo resolvido 
pertencem ao circuito mostrado na Figura 7.16, que consistetambém de 
uma  chave.  A  carga  inicial  é ܳ  e  a  diferença  de  potencial  através  do 
capacitor é  igual a ܳ/ܥ e  zero através do  resistor uma vez que  ܫ ൌ 0. 
Quando a chave é fechada em ݐ ൌ 0, o capacitor começa a descarregar 
através do resistor. Em algum instante ݐ durante a descarga, a corrente 
no circuito é ܫ e carga no capacitor é ݍ. 
A aplicação das regras de Kirchoff ao circuito da Figura 7.16, após 
fechar a chave, fornece a seguinte relação 
െ
ݍ
ܥ
െ ܫܴ ൌ 0                                     ሺ7.37ሻ 
Substituindo a expressão de definição de  corrente  ܫ ൌ ݀ݍ/݀ݐ na 
expressão  (7.37), separando variáveis, considerando ݍ ൌ ܳ em ݐ ൌ 0 e 
integrando de  ݐ’ ൌ 0 até  ݐ’ ൌ ݐ, obtém‐se a expressão para a carga no 
capacitor em função do tempo 
ݍሺݐሻ ൌ ܳ݁௧/ோ஼                                         ሺ7.38ሻ 
Diferenciando a expressão (7.38) com respeito ao tempo obtemos 
a corrente instantânea como função do tempo 
ܫሺݐሻ ൌ
݀ݍ
݀ݐ
ൌ െ
ܳ
ܴܥ
݁௧/ோ஼                                 ሺ7.39ሻ 
ܳ଴/ܴܥ ൌ ܫ଴ é a corrente inicial. O sinal negativo indica que a direção da 
corrente agora que o capacitor está descarregando é oposta a direção 
de quando o capacitor está sendo carregado. Tanto a carga no capacitor 
quanto  a  corrente  no  circuito  decai  exponencialmente  a  uma  taxa 
caracterizada pela constante de tempo ߬ ൌ ܴܥ. 
 
Um capacitor descarregado e um  resistor 
estão conectados em série a uma bateria, 
como  mostrado  na  Figura  7.17.  Se 
ߝ ൌ 12,0 ܸ,  ܥ ൌ 5,00 ߤܨ,  e  ܴ ൌ 8,00 ൈ
10ହ Ω,  determine  a  constante  de  tempo 
do circuito, a carga máxima no capacitor, 
a corrente máxima no circuito, e a carga e 
  135
 
Figura 7.18 
Exemplo resolvido 
corrente como função do tempo. 
Solução 
A  constante  de  tempo  do  circuito  é  ߬ ൌ ܴܥ ൌ ሺ8,00 ൈ
10ହ Ωሻሺ5,00 ൈ 10ି଺ܨሻ ൌ 4,00 ݏ.  A  carga  máxima  no  capacitor  é 
ܳ ൌ ܥߝ ൌ ሺ5,00ߤܨሻሺ12,0 ܸሻ ൌ 60,0ߤܥ. A  corrente máxima no  circuito 
é ܫ଴ ൌ ߝ/ܴ ൌ ሺ12,0Vሻ/ሺ8,00 ൈ 10ହ Ωሻ ൌ 15,0 µA. Usando estes valores 
nas Equações (7.35) 3 (7.36), determinamos que 
ݍሺݐሻ ൌ ሺ60,0ߤܥሻሺ1 െ ݁ି௧/ସ,଴଴ ௦ሻ 
ܫሺݐሻ ൌ ሺ15,0 ߤܣሻ݁ି௧/ସ,଴଴ ௦ሻ 
Graficos destas funções são mostrados nas Figuras 7.18 
 
Exercício Calcule a carga no capacitor e a corrente no circuito após ter 
decorrido um tempo superior a constante de tempo 
Resposta: 37,9 ߤܥ e 5,52ߤܣ 
Considere o  capacitor  de  capacitância  C que  está  sendo descarregado 
através de um resistor de resistência R, como mostrado na Figura 7.19(a)  
(a)  Após  quantas  constantes  de  tempo  ߬  a  carga  no  capacitor  estará 
reduzida a 1/4 do seu valor inicial? 
  136
 
Figura 7.19 
(b) A energia armazenada no capacitor decresce com o tempo quando o 
capacitor descarrega. Após quantas constantes de tempo ߬ esta energia 
armazenada será um quarto do seu valor inicial? 
Solução 
(a)  A  carga  sobre  o  capacitor  varia  com  o  tempo  de  acordo  com  a 
Equação  (7.38).  Para  determinar  o  tempo  que  ela  toma  para  ser 
reduzida a um quarto do seu valor  inicial,  isto é, ݍሺݐሻ ൌ ܳ/4 pode ser 
obtido resolvendo (7.38) para ݐ: 
ܳ
4
ൌ ܳ݁ି௧/ோ஼  
O que resulta, após simplificações em 
1
4
ൌ ݁ି௧/ோ஼  ฺ െ lnሺ4ሻ ൌ െ
ݐ
ܴܥ
ฺ ݐ ൌ ܴܥ݈݊ሺ4ሻ ൌ 1,39 ߬ 
(b)  Usando  a  expressão  que  fornece  a  energia  armazenada  em  um 
capacitor  cuja  carga  é  ܳ, ܷ ൌ ܳଶ/2ܥ  e  a  Equação  (7.38)  obtemos  a 
expressão da energia armazenada no capacitor para qualquer tempo ݐ: 
ܷ ൌ
ݍଶ
2ܥ
ൌ
൫ܳ݁௧/ோ஼൯ଶ
2ܥ
ൌ
ܳଶ
2ܥ
݁ିଶ௧/ோ஼ ൌ ܷ଴݁ିଶ௧/ோ஼ 
Onde  ܷ଴ ൌ ܳଶ/2ܥ  é  a  energia  inicial  armazenada  no  capacitor. 
Queremos saber quanto  tempo decorre até que a energia armazenada 
no capacitor seja reduzida a um quarto do seu valor inicial: 
௎బ
ସ
ൌ ܷ଴݁ିଶ௧/ோ஼ ฺ
ଵ
ସ
ൌ ݁ିଶ௧/ோ஼ ฺ ݐ ൌ ଵ
ଶ
ܴܥ lnሺ4ሻ ൌ 0,693߬ 
 
  137
Exercício Após  quantas  constangte  de  tempo  ߬  a  corrente  no  circuito 
estará reduzida a metade do seu valor inicial 
Resposta:0,693 ܴܥ ൌ 0,693߬ 
QUESTÕES 
Q1  Explique  a  diferença  entre  carga  resistiva  em  um  circuito  e 
resistência interna em uma bateria. 
Q2 Sob que condições a diferença de potencial através dos terminais de 
uma bateria é  igual a sua fem? Pode a voltagem entre os terminais 
exceder a fem? Explique. 
Q3 A direção da corrente através dos terminais de uma bateria é sempre 
do terminal negativo para o terminal positivo? Explique. 
Q4  Como  você  conectaria  resistores  de  modo  que  a  resistência 
equivalente seja maior que a maior das resistências  individuais? Dê 
um exemplo envolvendo três resistores. 
Q5  Como  você  conectaria  resistores  de  modo  que  a  resistência 
equivalente seja menor que a menor das resistências individuais? Dê 
um exemplo envolvendo três resistores. 
Q6  Dadas  três  lâmpadas  incandescentes  e  uma  bateria.  Esquematize 
quantos circuitos elétricos diferentes você pode montar. 
Q7 Qual a vantagem que pode existir em usar dois resistores  idênticos 
em  paralelo  conectados  em  série  com  outro  par  idêntico  em 
paralelo, em vez de usar exatamente um único resistor? 
Q8 Uma  lâmpada  incandescente conectada a uma  fonte de 120 V com 
um  fio  de  extensão  curto  fornece mais  iluminação  que  a mesma 
lâmpada  conectada  a mesma  fonte  com  um  fio  de  extensão mais 
longo. Explique por que. 
Q9 Quando  a  diferença  de  potencial  através  de  um  resistor  pode  ser 
positiva? 
Q10 Qual a vantagem que a operação em 120 ܸ oferece em  relação a 
240 ܸ? 
  138
 
Figura 7.20 
Figura 7.21 
Q11 Quando eletricistas trabalham com fios que estão energizados (fio 
fase), freqüentemente eles usam as costas das suas mãos ou dedos 
para mover os fios. Por que será que eles empregam esta técnica? 
Q12 Que procedimento você usaria para tentar salvar uma pessoa que 
está “grudado” a um  fio energizado de alta voltagem sem colocar 
em risco sua própria vida? 
 
PROBLEMAS  
P1  (a) Qual  é  a  corrente  em  um  resistor  de  5,60 Ω  conectado  a  uma 
bateria que possui uma  resistência  interna de 0,200 Ω  se a  voltag em 
entre os terminais da bateria é 10,0 ܸ? (b) Qual é a fem da bateria? 
P2 Duas baterias de 1,50 ܸ   – com seus  terminais positivos na mesma 
direção – estão  inseridas em série no tambor de uma  luz de flash. Uma 
bateria  tem  resistência  interna  de  0,255  Ω,  a  outra  uma  resistência 
interna de 0,153 Ω. Quando a chave é fechada, uma corrente de 600 mA 
aparece na  lâmpada.  (a) Qual é a  resistência da  lâmpada?  (b) Qual é a 
porcentagem  da  potencia  das  baterias  que  é 
consumida  nas  próprias  baterias,  quando 
observamos um aumento de temperatura? 
P3  A  corrente  em  um  circuito  fechado  que 
possui uma resistência ܴଵ é 2,00 ܣ. A corrente 
é  reduzida  para  1,60 ܣ  quando  um  resistor 
adicional ܴଶ ൌ 3,00 Ω é adicionado em série com ܴଵ. Qual é o valor de 
ܴଵ? 
P4  (a) Determine  a  resistência  equivalente  entre  os  pontos  ܽ  e  ܾ  na 
Figura 7.20. (b) Calcule a corrente em cada resistor se uma diferença de 
potencial de 34,0 ܸ é aplicada entre os pontos 
ܽ e ܾ? 
P5  Considere  o  circuito  mostrado  na  Figura 
7.21. Determine  (a)  a  corrente  no  resistor  de 
20,0 Ω e  (b) a diferença de potencial entre os 
pontos ܽ e ܾ. 
  139
 
Figura 7.22 
 
Figura 7.23 
P6 Usando as regras de Kirchhoff determine a corrente em cada resistor 
mostrado na Figura 7.22 e (b) determine a diferença de potencial entre 
os pontos ܿ e ݂. Que ponto está no potencial 
mais alto? 
P7  Um  capacitor  de  2,00 ݊ܨ  com  uma  carga 
inicial  de  5,10 ߤܥ  é  descarregado  através  de 
um  resistor de 1,30 ݇Ω.  (a) Calcule a corrente 
através do  resistor 9,00 ߤݏ após o  resistorser 
conectado através dos terminais do capacitor,. 
(b)  Que  carga  permanece  no  capacitor  após 
8,00 ߤݏ? (c) Qual é a corrente máxima no resistor? 
P8  Um  capacitor  completamente  carregado  armazena  energia  ܷ଴. 
Quanta energia permanece quando sua carga decresce para metade do 
seu valor original? 
P9 No  circuito da  Figura  7.23  ,  a  chave  S  foi 
aberta  por  um  longo  tempo.  Ela  é  então 
subitamente  fechada. Determine  a  constante 
de tempo (a) antes da chave ser fechada e (b) 
após  a  chave  ser  fechada.  (c)  Se  a  chave  é 
fechada  em  ݐ ൌ 0,  determine  a  corrente 
através dele como função do tempo. 
 
   
  140
BIBLIOGRAFIA 
 
TIPLER  P.  A.,  MOSCA  G.  Physics  for  scientists  and  Engineers,  sixth 
edition, Freeman, New York, 2008. 
HALLIDAY  D.,  Resnick  R., Walker  J.,  Física  Fundamental,  vol  3,  Livros 
Técnicos Científicos S. A., Rio de Janeiro, 2004 
HALLIDAY D., RESNICK R.,  KRANE  S.,  Física  vol.  3,  LTC, Rio de  Janeiro, 
2000 
HEWITT  P,  Física  Conceitual,  Longman,  9ª  edição,  Rio Grande  do  Sul, 
200x 
NUSSENZVEIG, H. M., Física Básica vol. 3, Edgard Blucher, x Ed., Rio de 
Janeiro, 200X 
CUMMINGS K., LAWS P., REDISH E., COONEY P., Understanding Physics, 
John Wiley, New York, 2004. 
YOUNG H. D.,  FREEDMAN,  R. A.  Física  3:  Eletromagnetismo,  Pearson, 
São Paulo, 2008. 
 
   
  141
CAPÍTULO 8: O CAMPO MAGNÉTICO 
 
RESUMO 
 
  Neste  capítulo  apresentaremos  os  conceitos  de  campo 
magnético  e  sua  detecção.  Para  entender  a  dinâmica  de  cargas  e 
correntes  colocados  na  presença  de  campo  magnético  discutiremos 
conceitos como o de torque, energia potencial magnética e de momento 
magnético. O conceito de momento magnético  tem um papel especial 
dada sua relação com o conceito de spin em mecânica quântica. 
 
  142
8 O CAMPO MAGNÉTICO 
 
8.1  Magnetismo  142
8.2  O campo magnético e suas fontes  145
8.3  Movimento  de  uma  partícula  carregada  em  um  campo 
magnético 
 
148
8.4  Aplicações envolvendo movimento de partículas carregadas 
na presença de campo magnético 
 
150
8.5  A  força  magnética  agindo  sobre  um  condutor  portando 
corrente elétrica 
 
152
8.6  Torque  157
  Questões  161
  Problemas  163
  Bibliografia  165
 
   
  143
 
Fenômenos  magnéticos  já  eram  conhecidos,  segundo 
historiadores  da  ciência,  desde  o  século  13  antes  de  Cristo  para  a 
confecção  de  agulhas  de  bussolas  usadas  na  navegação. Os  gregos  já 
estavam  familiarizados  antes  de  800  antes  de  Cristo,  quando 
descobriram que a rocha magnetita  (ܨ݁ଷ ସܱ) atraia pedaços de  ferro. A 
lenda atribui o nome magnetita ao pastor de ovelhas Magnes, que teve 
os pregos do  seu  calçado atraído pela  rocha enquanto pastoreava  seu 
rebanho. 
Hoje  o  magnetismo  está  presente  na  confecção  de  diversos 
dispositivos  elétricos,  desde  o  computador  com  seu  disco  rígido  (HD), 
passando pelos motores elétricos,  fornos de microondas, aparelhos de 
TV, a alto‐falantes presentes em muitos dos aparelhos de vídeo e som 
das nossas residências. 
Este  capítulo  tem  como  objetivos  levar  o  estudante  a  (a) 
reconhecer  os  fenômenos  magnéticos;  (b)  adquirir  habilidades  em 
calcular  o  campo  magnético  produzido  por  partículas  carregadas  e 
correntes;  (c)  saber  relacionar  carga,  força  magnética  e  campo 
magnético e (d) saber calcular forças e torques sobre correntes. 
 
8.1 Magnetismo 
Relataremos alguns pontos  interessantes  relativos a evolução da 
compreensão do magnetismo. 
O Frances Pierre de Maricourt observou que as direções que uma 
agulha colocada em vários pontos sobre a superfície de uma esfera feita 
de material magnético formava  linhas que se  iniciavam em um ponto e 
finalizavam em outro ponto diametralmente oposto ao primeiro. A estes 
pontos  ele  chamou  de  pólos  do  magneto.  Estudos  posteriores 
mostraram  que  qualquer material magnético  independente  da  forma 
possui  estes  dois  pólos,  que  exercem  forças  sobre  outros  pólos 
magnéticos,  de  forma  análoga  as  cargas  elétricas  que  exercem  forças 
umas sobre as outras. 
  144
 
Figura 8.1 Linhas do campo magnético da Terra desenhadas por limalha de 
ferro em  torno de uma esfera uniformemente magnetizada. As  linhas de 
campo  saem  do  pólo  magnético  norte,  que  está  próximo  ao  pólo  sul 
geográfico,  e  entram  no  pólo  sul magnético,  que  está  próximo  ao  pólo 
norte geográfico. 
Os nomes dados aos pólos, pólo sul e pólo norte, receberam estes 
nomes  devido  ao modo  como  se  comportam  na  presença  do  campo 
magnético terrestre. Se uma barra magnética é suspensa pelo seu ponto 
médio  e  pode  oscilar  livremente  em  um  plano  horizontal,  ele  sofrerá 
uma rotação até que seu pólo norte aponte para o Pólo Norte geográfico 
da Terra e o seu pólo sul aponte para o Pólo sul da Terra. Esta é a idéia 
básica usada na construção das bússolas. 
Em 1600 William Gilbert (1540 – 1603) estendeu os experimentos 
de Maricourt a uma variedade de materiais. Usando o fato que a agulha 
da bussola orienta‐se em direções privilegiadas, ele sugeriu que a Terra 
em si é uma grande magneto permanente. Em 1750 experiencias usando 
uma  balança  de  torção mostraram  que  os  polos magneticos  exercem 
forças,  atrativas ou  repulsivas, uns  sobre os outros e que estas  forças 
variam com o inverso do quadrado da distância. A Figura 8.2 ilustra estes 
resultados. 
  145
 
Figura 8.2 Dois pólos iguais se repelem, mas dois pólos 
diferentes são atraídos. 
Embora a força entre dois polos magneticos tenha caráter similar 
a  força entre cargas elétricas, existe uma diferença  importante. Cargas 
elétricas podem  ser  isoladas  (exemplo do elétron e proton), enquanto 
um  único  polo  magnetico  isolado  nunca  foi  observado.  Isto  é,  polos 
magnéticos são sempre encontrado em pares.  
A relação entre magnetismo e eletricidade foi descoberta em 1819 
pelo  cientista Hans Christian Oersted, que durante uma demonstração 
para seus alunos observou que a passagem de corrente através de um 
fio era capaz de desviar a agulha de uma bussola que estava proxima ao 
fio.  Em  pouco  tempo  André  Ampère  (1755  ‐1836)  formulou  leis 
quantitativas que permitiam o calculo da  força magnética exercida por 
um  condutor  portando  corrente  eletrica  sobre  um  outro  condutor  no 
qual flui uma corrente. 
No  final  dos  anos  1820  outras  conexões  entre  eletricidade  e 
magnetismo  foram  demonstradas  independentemente  por  Faraday 
(1791 – 1867) e  Joseph Henry  (1797 – 1878). Eles mostraram que uma 
corrente  pode  ser  produzida  em  circuito  ou  movendo  um  magneto 
proximo a um circuito ou variando a corrente em um circuito proximo. 
Estas  observações  demonstravam  que  um  campo magnetico  variavel 
cria um campo eletrico. Anos mais tarde Maxwell (1831 – 1879) em um 
trabalho  puramente  teorico,  mostrou  que  o  inverso  também  era 
verdadeiro: um campo elétrico variável dava origem ao aparecimento de 
um  campo  magnético.  Esta  descoberta  reuniu  os  fenomenos 
  146
 
 
Figura  8.3  A  regra  da  mão  direita  para  determinar  a  direção  de  uma  força 
exercida  sobre uma  carga movendo‐se  em  um  campo magnético  (a) A  força  é 
perpendicular  a  ambas ݒԦ e ܤሬԦ e na direção de  avanço da  rosca do parafuso  se 
girado na mesma direção que giramos ݒԦ para ܤሬԦ. (b) Se os dedos da mão direita 
estão na direção de ݒԦ tal que eles podem entrar em ܤሬԦ então o dedão aponta na 
direção da força 
eletromagnéticos  e  a  óticasob  um  mesmo  corpo  teórico.  Luz  e 
fenômenos  eletromagnético  são  aspectos  diferentes  de  um  mesmo 
fenomeno. A Luz é uma onda eletromagnética. 
 
8.2 O Campo magnético 
A  existência  de  um  campo  magnético  ܤሬԦ  em  algum  ponto  do 
espaço pode ser demonstrada com a agulha de uma bussola. Se existe 
um campo magnético, a agulha ficará alinhada na direção do campo. 
Experimentalmente  é  observado  que,  quando  uma  carga  ݍ 
possuindo  velocidade  ݒԦ  penetra  numa  região  onde  existe  um  campo 
magnético ܤሬԦ, existirá uma força ܨԦ sobre a mesma que é proporcional a 
ݍ e a ݒ e ao seno do ângulo entre ݒԦ e ܤሬԦ. Observa experimentalmente 
que  esta  força  é  perpendicular  ao  campo  e  a  velocidade.  Estes 
resultados experimentais são resumidos na expressão 
ܨԦ ൌ ݍݒԦ ൈ ܤሬԦ                                           ሺ8.1ሻ 
A Figura 8.3 ilustra estas determinações. 
A expressão escalar da Equação 8.1 é 
ܨ ൌ ݍݒܤ sen ߠ                                       ሺ8.2ሻ 
Onde ܨ é o modulo da força ܨԦ, ݒ é o modulo da velocidade ݒԦ e ܤ é o 
modulo do campo magnético ܤሬԦ. 
  147
EXERCÍCIO RESOLVIDO 
A Equação (8.1) define o campo magnético ܤሬԦ em termos da força 
exercida  sobre  a  carga  em  movimento.  A  unidade  SI  de  campo 
magnético  é  o  tesla  (T). Uma  carga  de  um  coulomb movendo‐se  com 
uma velocidade de um metro por  segundo perpendicular a um campo 
magnetico de um tesla experimenta uma força de um mewton: 
1ܶ ൌ 1
ܰ/ܥ
݉/ݏ
ൌ 1ܰ/ܣ · ݉                                        ሺ8.3ሻ 
Esta unidade é grande. O campo magnético terrestre possui um modulo 
de  10ିସܶ.  Campos  normalmente  trabalhados  em  laboratorio  variam 
netre 0,1 e 0,5 ܶ. Assim é comum usar uma outra unidade, derivada do 
sistema cgs, que é o gauss (G), e está relacionada ao tesla como segue: 
1 ܩ ൌ  10ିସ ܶ                                              ሺ8.4ሻ 
Como os campos costumam ser dados em gauss, que não é uma unidade 
SI,  devemos  lembrar  para  converter  de  gauss  para  teslas  quando 
fazemos os calculos. 
Um  elétron  em  tubo de  imagem  de  televisão move‐se para  frente do 
tubo com velocidade de 8,0 ൈ 10଺ ݉/ݏ ao longo do eixo ݔ. Rodeando o 
pescoço do tubo estão fios enrolados como espiras que criam um campo 
magnético de modulo 0,025 ܶ, dirigido fazendo um ângulo de 60଴ com 
o eixo ݔ, estando no plano ݔݕ. Calcule a força magnética sobre o elétron 
e calcule a sua aceleração decorrente da ação desta força. 
SOLUÇÃO 
Usando  a  Equação  (8.2),  podemos  determinar  o  modulo  da  força 
magnética sobre o elétron: 
ܨ ൌ |ݍ|ݒܤ sen ߠ 
Substituindo valores numéricos para as quantidades à direita teremos 
          ܨ஻ ൌ ሺ1,6 ൈ 10ିଵଽܥሻሺ8,0 ൈ 10଺ ݉/ݏሻሺ0,025 ܶሻሺsen 60௢ሻ 
ൌ 2,8 ൈ 10ିଵସܰ                                                        
  148
 
Figura 8.4  Linhas de  campo magnético de uma barra  imantada, uma 
forma  de  dipolo  magnético,  como  revelado  pelo  alinhamento  dos 
pequenos pedaços de ferro 
Como ݒԦ ൈ ܤሬԦ é a direção de ݖ positivo (seguindo a regra da mão direita) e 
a carga é negativa, ܨԦ஻ aponta na direção de ݖ negativo. 
A massa do elétron é 9,11 ൈ 10ିଷଵ݇݃, e assim sua aceleração é 
ܽ ൌ
ܨ஻
݉௘
ൌ
2,8 ൈ 10ିଵସ ܰ
9,11 ൈ 10ିଷଵ ݇݃
ൌ 3,1 ൈ 10ଵ଺ ݉/ݏଶ 
na direção de ݖ negativo 
 
Linhas do campo magnético 
As  linhas  de  campo  enétrico  dão  uma  descrição  visual  de  um 
campo  elétrico.  Os  padroões  formados  em  torno  de  uma  barra 
imantada,  como  mostra  a  Figura  sugerem  que  a  ideia  de  linhas  de 
campo pode ser estendida para o magnetismo. A direção de uma  linha 
de  campo  magnético  em  qualquer  ponto  é  a  direção  de  ܤሬԦ  naquele 
ponto. O espaçamento das linhas de campo inidica o módulo de ܤሬԦ – isto 
é, quanto mais unidas estão as  linhas, mais forte é o campo magnético 
naquela  região.  A  Figura  8.4  mostra  as  linhas  de  campo  magnetico 
desenhadas usando  limalhas de  ferro, colocadas próximas a uma barra 
imantada. Diferente das linhas de campo elétrico que iniciam em cargas 
positivas e terminam em cargas negativas, as linhas de campo magnético 
formam caminhos fechados. 
  149
Fluxo Magnético 
O  fato das  linhas de campo magnetico se  iniciarem ou sairem do 
polo norte e entrarem   no polo sul do magneto, e dentro do magneto, 
seguirem do polo sul para o polo norte, formando um caminho fechado, 
resultará em fluxo de campo magnético nulo através de uma superfície 
fechada que envolva o magneto. Formalmente podemos anunciar este 
resultado como 
߶௠,௧௢௧௔௟ ൌ ඾ܤሬԦ · ݀ Ԧܵ ൌ 0                                 ሺ8.5ሻ 
Esta é a lei de Gauss para o magnetismo. É o enunciado matemático que 
não  existem  pontos  no  espaço  dos  quais  linhas  de  campo magnético 
divergem ou saem, ou para os quais convergem ou entram.  Isto é, não 
existem  polos  magnéticos  isolados.  A  unidade  fundamental  do 
magnetismo é o dipolo magnético. 
 
8.3 Movimento de uma partícula carregada em um campo magnético 
uniforme 
A  força  magnética  sobre  uma  partícula  carregada  movendo 
através de um  campo magnético é  sempre perpendicular à velocidade 
da  partícula.  A  força  magnética  dessa  forma  muda  a  direção  da 
velocidade,  mas  não  seu  módulo.  Portanto,  campos  magnéticos  não 
realizam  trabalho  sobre  as  partículas  e  não  alteram  suas  energias 
cinéticas. 
No caso especial onde a velocidade da partícula é perpendicular a 
um campo uniforme, como mostra a Figura 8.5, a partícula move‐se em 
uma  orbita  circular.  A  força  magnética  fornece  a  força  centripeta 
necessária  para  a  aceleração  centripeta  ݒଶ/ݎ  no movimento  circular. 
Podemos usar a segunda lei de Newton para relacionar o raio do circulo 
ao  campo  magnético  e  o  módulo  da  velocidade  da  partícula.  Se  a 
velocidade é ݒԦ, o modulo da força resultante é ݍݒܤ, uva vez que ݒԦ e ܤሬԦ 
são perpendiculares. Da segunda lei de Newton segue que 
  150
 
 
Figura  8.5  Quando  a  velocidade  de  uma  partícula  carregada  é 
perpendicular a um campo magnético uniforme, a partícula move‐se 
em  um  caminho  circular  em  um  plano  perpendicular  a ܤሬԦ. A  força 
magnética ܨԦ஻ agindo sobre a carga é sempre dirigida para o centro 
do circulo. 
 
Exemplo resolvido 
ܨ ൌ ݉ܽ ൌ ݉ ௩
మ
௥
                                     ሺ8.6ሻ 
ݍݒܾ ൌ
݉ݒଶ
ݎ
                                         ሺ8.7ሻ 
ou 
ݎ ൌ
݉ݒ
ݍܤ
                                              ሺ8.8ሻ 
O período do movimento circular é o tempo que a partícula toma 
percorrer uma única vez a trajetoria circular. O período está relacionado 
à velocidade pela expressão 
ܶ ൌ
2ߨݎ
ݒ
                                             ሺ8.9ሻ 
Um  proton  de  massa  ݉ ൌ 1,67 ൈ 10ିଶ଻ ݇݃  e  carga  ݍ ൌ ݁ ൌ 1,6 ൈ
10ିଵଽ ܥ move‐se em um circulo de  raio de 21 cm peprendicular a um 
campo magnético ܤ ൌ 4000 ܩ. Determine (a) o período do movimento 
e (b) a velocidade do proton. 
 
 
  151
Solução 
(a) Das Equações (8.8) e (8.9) segue que o período do movimento é dado 
por 
ܶ ൌ
2ߨ݉
ݍܤ
 
Com ܤ ൌ 0,4 ܶ obtem‐se o valor numerico 
ܶ ൌ
2ߨሺ1,67 ൈ 10ିଶ଻ ݇݃ሻ
ሺ1,6 ൈ 10ିଵଽ ܥሻሺ0,4 ܶሻ
ൌ 1,64 ൈ 10ି଻ݏ 
(b) Calculamos a velocidade da Equação (8.8) 
ݒ ൌ
ݎݍܤ
݉
ൌ
ሺ0,21 ݉ሻሺ1,6 ൈ 10ିଵଽ ܥሻሺ0,4 ܶሻ
1,67 ൈ 10ିଶ଻ ݇݃
 
ൌ 8,05 ൈ 10଺   ݉/ݏ                                     
O  raio do movimento  circular é proporcional ao modulo da  velcidade, 
mas o período é independente de ambos a velocidade e raio. 
 
8.4  Aplicações  envolvendo  movimento  de  particulas  carregadas  na 
presença de campo magnético. 
Uma  carga movendo‐se  com  uma  velocidade  ݒԦ  na  presença  de 
ambos, o campo elétrico ܧሬԦ e o campomagnetico ܤሬԦ, experimenta tanto a 
força  elétrica  ݍܧሬԦ  quanto  a  força  magnetica  ݍݒԦ ൈ ܤሬԦ.  A  força  total 
(chamada força de Lorentz) agindo sobre a carga é 
෍ܨԦ ൌ ݍܧሬԦ ൅ ݍݒԦ ൈ ܤሬԦ                                   ሺ8.10ሻ 
 
Em muitos experimentos envolvendo o movimento de particulas 
carregadas,  é  importante  que  as  particulas  se movam  com  a mesma 
velocidade.  Isto  pode  ser  obtido  aplicando  uma  comibinação  de  um 
campo elétrico e um  campo magnético  como mostrado na  Figura 8.6. 
Um acmpo elétrico uniforme dirigido verticalmente para baixo (no plano 
da  página),  e  um  campo  magético  uniforme  é  aplicado  na  direção 
perpendicular  ao  campo  elétrico  (entrando  na  pagina  da  Figura  8.6). 
Para uma  carga ݍ positiva,  a  força magnética ݍݒԦ ൈ ܤሬԦ  apontando para 
  152
 
Figura 8.6  (a) Um seletor de velocidades. Quando uma partícula carregada 
positivamente está presença de um campo magnético dirigido para dentro 
da  página  e  um  campo  elétrico  dirigido  para  baixo,  ela  experimenta  uma 
força elétrica para baixo ݍܧሬԦ e uma  força magnética para cima ݍݒԦ ൈ ܤሬԦ.  (b) 
Quando  estas  forças  se  igualam,  a  partícula move‐se  em  uma  linha  reta 
horizontal através dos campos. 
 
cima  e  a  força  elétrica  ݍܧሬԦ  está  apontando  para  baixo.  Quando  os 
modulos  dos  dois  campos  são  escolhidos  de modo  que  ݍܧ ൌ ݍݒܤ,  a 
partícula  move‐se  em  linha  reta  horizontal  através  das  região  dos 
campos. Da expressão ݍܧ ൌ ݍݒܤ segue que 
ݒ ൌ ா
஻
                                            ሺ8.11ሻ 
Apenas  aquelas  partículas  tendo  velocidade  ݒ  passam  sem  sofrer 
deflexão  através  dos  campos  elétrico  e magnético. A  força magnética 
exercida sobre as partículas movendo com velocidades maiores que esta 
é maior que  a  força  elétrica,  e  as partículas  são defletidas para  cima. 
Aquelas movendo‐se  com  velocidades menores  serão  defletidas  para 
baixo. 
Um espectrometro de massa separa os íons de acordo com as suas 
razões  massa‐carga.  A  partícula  entra  numa  região  onde  ocorre  a 
seleção  da  velocidade  da  partícula,  onde  se move  em  linha  reta.  Em 
seguida,  passando  através  de  uma  fenda  escavada  num  anteparo, 
penetra numa  região com a presença apenas de um campo magnético 
ܤሬԦ଴, passando a descrever uma orbita circular. Da Equação (8.8) tiramos 
que 
݉
ݍ
ൌ
ݎܤ଴
ݒ
                                        ሺ8.12ሻ 
Usando (8.11) tiramos que 
  153
 
Figura 8.7 Um  segmento de  fio portando  corrente está  localizado em 
um campo magnético ܤሬԦ. A  força magnética exercida sobre cada carga 
formando a corrente é ݍݒԦௗ ൈ ܤሬԦ, e a  força  total  sobre o  segmento de 
comprimento ܮ será ܫܮሬԦ ൈ ܤሬԦ. 
݉
ݍ
ൌ
ݎܤ଴ܤ
ܧ
                                    ሺ8.13ሻ 
Portanto podemos medir a razão ݉/ݍ medindo o raio da curvatura da 
trajetoria da partícula e conhecendo os módulos dos campos ܤ଴, ܤ e ܧ. 
 
8.5 A  Força magnética  agindo  sobre  um  condutor portando  corrente 
elétrica 
Quando um  fio porta uma corrente  ܫ na presença de um campo 
magnético, existe uma  força sobre o  fio que é  igual à soma das  forças 
magnéticas  sobre  as  partículas  carregadas  cujo movimento  produz  a 
corrente. A Figura 8.7 mostra um curto segmento do fio de secção reta ܣ 
e comprimento ܮ portando uma corrente ܫ. Se o fio está em um campo 
magnético ܤሬԦ, a força magnética sobre cada carga é ݍݒԦௗ ൈ ܤሬԦ, onde ݒԦௗ é 
a velocidade de arraste dos portadores de  carga, que é o mesmo que 
suas velocidades médias. O número de cargas no  segmento de  fio é o 
número ݊ por unidade de  volume  vezes o  volume ܣܮ. Assim,  a  força 
total sobre o segmento de fio de comprimento ܮ é 
ܨԦ஻ ൌ ൫ݍݒԦௗ ൈ ܤሬԦ൯݊ܣܮ                      ሺ8.14ሻ 
Podemos  escrever  a  Equação  (8.14)  em  uma  forma mais  conveniente 
observando que, ܫ ൌ ݊ݍݒௗܣ (veja Equação 6.6). Portanto 
ܨ ൌ ܫܮሬԦ ൈ ܤሬԦ                                         ሺ8.15ሻ 
  154
 
Figura  8.8  Um  segmento  de  fio  de  forma  arbitraria  portando  uma 
corrente  I  em  um  campo  magnético  ܤሬԦ  experimenta  uma  força 
magnética.  A  força  sobre  qualquer  segmento  ݀ݏԦ  é  ܫ݀ݏԦ ൈ ܤሬԦ  e  está 
direcionado  para  fora  da  página.  Use  a  regra  da mão  direita  para 
confirmar esta direção de força. 
onde ܮሬԦ é um vetor que aponta na direção da corrente ܫ e possui módulo 
igual  ao  comprimento  ܮ  do  segmento.  Observe  que  esta  expressão 
aplica‐se apenas a um  segmento  reto de  fio em um  campo magnético 
uniforme. 
Agora considere um segmento de  fio de  forma arbitrária e seção 
reta  uniforme  estando  na  presença  de  um  campo  magnético,  como 
mostrado na Figura 8.8. Segue da Equação (8.15) que a força magnética 
exercida sobre um pequeno segmento de fio ݀ݏԦ na presença do campo 
ܤሬԦ é 
݀ܨԦ஻ ൌ ܫ݀ݏԦ ൈ ܤሬԦ                                     ሺ8.16ሻ 
onde  ݀ܨԦ஻  está  dirigida  para  fora  da  página  considerando  as  direções 
assumidas  na  Figura  8.8.  Podemos  considerar  a  Equação  (8.16)  como 
uma equação alternativa para definir ܤሬԦ. 
Para  calcular  a  força  total  ܨԦ஻  agindo  sobre  o  fio  mostrado  na 
Figura 8.8, integramos a Equação (8.16) sobre o comprimento do fio: 
ܨԦ஻ ൌ ܫ න ݀ݏԦ
௕
௔
ൈ ܤሬԦ                             ሺ8.17ሻ 
onde  a  e  b  representam  os  pontos  extremos  do  fio.Quando  esta 
integração é executada o modulo do campo magnético e a direção que o 
campo  faz  com  o  vetor ݀ݏԦ  (em  outras  palavras,  com  a  orientação  do 
elemento de fio) pode diferir em pontos diferentes. 
  155
 
Figura 8.9 (a) Um fio curvo portando corrente ܫ em campo magnético uniforme. A 
força magnética  total  sobre  o  fio  é  equivalente  à  força  sobre  um  fio  reto  de 
comprimento ܮԢ  ligando as extremidades do  fio.  (b) Uma espira de  corrente de 
forma  arbitrária  em  um  campo  magnético  uniforme.  A  força  magnética  total 
sobre a espira é zero. 
Agora  considere  dois  casos  importantes  em  que  o  campo 
magnético ܤሬԦ na Equação (8.17) é constante.  
No primeiro caso temos um fio curvo portando uma corrente ܫ e 
localizado em um campo ܤሬԦ, como mostrado na Figura 8.9 (a). Neste caso 
a Equação (8.17) pode ser escrita como 
ܨԦ஻ ൌ ܫ ቆන ݀ݏԦ
௕
௔
ቇ ൈ ܤሬԦ                             ሺ8.18ሻ 
uma vez que o campo ܤሬԦ é constante. A quantidade ׬ ݀ݏԦ௕௔  representa a 
soma  vetorial  de  todos  os  segmentos  ݀ݏԦ  entre  o  extremo  ܽ  até  o 
extremo ܾ, equivalendo ao vetor ܮሬԦԢ. Portanto a Equação (8.18) reduz‐se 
a  
ܨԦ஻ ൌ ܫܮሬԦԢ ൈ ܤሬԦ                             ሺ8.19ሻ 
 
No segundo caso temos uma espira  fechada, de  forma arbitrária, 
portando uma corrente  ܫ, colocada em um campo magnético ܤሬԦ, como 
mostrado  na  Figura  8.9  (b).  Novamente  podemos  proceder  como  no 
primeiro caso, reescrevendo a Equação (8.17) como 
ܨԦ஻ ൌ ܫ ൬ර݀ݏԦ൰ ൈ ܤሬԦ                             ሺ8.20ሻ 
Como os elementos de comprimento que compõem a espira formam um 
polígono fechado a soma vetorial destes na Equação (8.20) é nula. Assim 
  156
EXEMPLO RESOLVIDO 
 
Figura 8.10 A força total agindo sobre uma espira de corrente fechada 
em  um  campo magnético  uniforme  é  zero.  Na montagem mostrada 
acima, a força sobre a porção reta da espira é 2ܫܴܤ e dirigida para fora 
da página, e a força sobre a porção curva é 2ܫܴܤ dirigida para dentro 
da página 
ܨԦ஻ ൌ 0.  A  força  magnética  total  agindo  sobre  qualquer  espira  de 
corrente fechada em um campo uniforme é zero. 
Um  fio  curvado  como  um  semicírculo  de  raio  ܴ  forma  um  circuito 
fechado e porta uma  corrente  ܫ. O  fio está no plano ݔݕ, e um  campo 
magnético  está  dirigido  ao  longo  do  eixo  positivo  ݔ,  como mostra  a 
Figura8.10. Determine o modulo e direção da  força magnética agindo 
sobre uma porção reta do fio e sobre a porção curva. 
SOLUÇÃO 
A  força  ܨԦଵ  agindo  sobre  a  porção  reta  tem  uma  magnitude 
ܨଵ ൌ ܫܮܤ ൌ 2ܫܴܤ porque ܮ ൌ 2ܴ e o fio está orientado perpendicular a 
ܤሬԦ. A direção de ܨԦଵ é para fora da página porque ܮሬԦ ൈ ܤሬԦ está ao longo do 
eixo ݖ positivo.  (Isto é, ܮሬԦ está apontando para a direita, na direção da 
corrente;  assim,  de  acordo  com  a  regra  do  produto  vetorial,  ܮሬԦ ൈ ܤሬԦ 
aponta para fora da pagina na Figura 8.10). 
Para determinar a  força ܨԦଶ agindo  sobre a parte  curva, primeiro 
escrevemos  uma  expressão  para  a  força  ݀ܨԦଶ  sobre  o  elemento  de 
  157
 
Figura 8.11 Qual dos fios experimenta a maior força magnética? 
comprimento ݀ݏԦ mostrado na Figura 8.10. Se ߠ é o ângulo entre ܤሬԦ e ݀ݏԦ, 
então o módulo de ݀ܨԦଶ é 
ห݀ܨԦଶห ൌ ܫห݀ݏԦ ൈ ܤሬԦห ൌ ܫܤ sen ߠ ݀ݏ 
Para integrar esta expressão, devemos expressar ݀ݏ em termos de 
ߠ. Porque ݏ ൌ ܴߠ, temos ݀ݏ ൌ ܴ݀ߠ, e podemos fazer esta substituição 
para ݀ܨԦଶ: 
ห݀ܨԦଶห ൌ ܫܴܤ sen ߠ ݀ߠ 
Para obter a força total ܨԦଶ agindo sobre a porção curva, podemos 
integrar esta expressão para  levar em consideração as contribuições de 
todos os elementos ݀ݏԦ. A direção da força sobre qualquer elemento é a 
mesma:  entrando  na  página.  Portanto,  a  força  resultante  ܨԦଶ  sobre  a 
porção curva do fio deve também estar entrando na pagina. Integrando 
nossa  expressão  para  ݀ܨԦଶ  sobre  os  limites  ߠ ൌ 0  a  ߠ ൌ ߨ  (isto  é, 
semicírculo inteiro) fornece 
ܨଶ ൌ ܫܴܤන sen ߠ ݀ߠ
గ
଴
ൌ ܫܴܤ ሺ– cos ߠሻ଴గ 
ൌ െܫܴܤሺcos ߨ െ cos 0ሻ ൌ 2ܫܴܤ   
Porque ܨԦଶ, com o módulo de 2ܫܴܤ, está dirigido para dentro da pagina e 
porque ܨԦଵ,  com modulo  de  2IRB,  está  dirigido  para  fora  da  pagina,  a 
força  resultante  sobre  a  espira  fechada  é  zero.  Este  resultado  está 
consistente com o caso discutido anteriormente. 
 
Exercício  Os  quatro  fios  mostrados  na  Figura  8.11  todos  portam  a 
mesma  corrente  do  ponto  ܣ  ao  ponto  ܤ  através  do mesmo  campo 
magnético. Ordene os fios de acordo com o modulo da força magnética 
exercida sobre eles, do maior para o menor. 
  158
Figura 8.12 (a) A orientação de uma espira é descrita pelo vetor unitário  ො݊ 
perpendicular ao plano da espira (b) A regra da mão direita para determinar 
o sentido de  ො݊. Quando os dedos da mão direita são encurvados em torno 
da  espira  na  direção  da  corrente,  o  polegar  aponta  na  direção  de  ො݊.  (c) 
Espira de corrente retangular cujo vetor unitário normal  ො݊ faz um ângulo ߠ 
com um campo magnético uniforme ܤሬԦ. O torque sobre a espira tem módulo 
ܫܣܤ sen ߠ e está na direção tal que  ො݊ tende a rotacionar em direção a ܤሬԦ. 
 
 
8.5  Torque  sobre  uma  espira  de  corrente  em  um  campo magnético 
uniforme 
Uma  espira  fechada  portando  corrente  está  sujeita  a  uma  força 
resultante nula quando na presença de um campo uniforme, mas está 
sujeita  a  um  torque  que  tende  a  oscilar  em  torno  de  um  eixo.  A 
orientação da espira pode ser descrita convenientemente por um vetor 
unitário  ො݊ que é perpendicular ao plano da espira,  como mostrado na 
Figura 8.12. 
A  Figura  12(c)  mostra  as  forças  exercidas  por  um  campo 
magnético  uniforme  sobre  uma  espira  retangular  cujo  vetor  unitário 
normal  ො݊ faz um ângulo ߠ com o campo magnético ܤሬԦ. A força total sobre 
a espira é nula. As forças ܨԦଵ e ܨԦଶ têm modulo 
ܨଵ ൌ ܨଶ ൌ ܫܽܤ                                  ሺ8.21ሻ 
Estas forças formam um binário de modo que o torque é o mesmo em 
torno  de  qualquer  ponto.  O  ponto  P  na  Figura  12  (c)  é  um  ponto 
conveniente em torno do qual calcular o torque. O modulo do torque é 
߬ ൌ ܨଶܾ sen ߠ ൌ ܫܽܤܾ sen ߠ ൌ ܫܣܤ sen ߠ                  ሺ8.22ሻ 
  159
Exemplo resolvido 
onde ܣ ൌ ܾܽ é a área da espira. Para uma espira com ܰ voltas o torque 
tem modulo igual a  
߬ ൌ ܰܫܣܤ sen ߠ                                     ሺ8.23ሻ 
Este  torque  tende  a  girar  a  espira  desde  que  seu  plano  esteja 
perpendicular a ܤሬԦ 
Definindo 
ߤԦ ൌ ܰܫܣ ො݊                                                   ሺ8.24ሻ 
como o momento de dipolo magnético (também referido simplesmente 
como momento magnético)o torque pode ser escrito como 
Ԧ߬ ൌ ߤԦ ൈ ܤሬԦ                                                      ሺ8.25ሻ 
A unidade SI de momento magnético é o ܽ݉݌݁ݎ݁ െ ݉݁ݐݎ݋ଶ (ܣ݉ଶ). 
A  Equação  (8.25), deduzida para uma  espira  fechada  retangular, 
vale em geral para uma espira plana de forma qualquer. O torque sobre 
qualquer espira é o produto vetorial do momento magnético ߤԦ da espira 
e o campo magnético ܤሬԦ, onde o momento magnético é definido para ser 
um  vetor que  é  perpendicular  à  área  da  espira  e  tem modulo  igual  a 
ܰܫܣ. 
 
Um bobina circular com raio de 2 ܿ݉ possui 10 ݒ݋݈ݐܽݏ de fio e porta um 
corrente de 3 ܣ; O eixo da bobina faz um ângulo de 30௢ com um campo 
magnético de 8000 ܩ. Determine o modulo do torque sobre a bobina. 
Solução 
O modulo do torque é dado pela Equação (8.25) 
߬ ൌ หߤԦ ൈ ܤሬԦห ൌ ߤܤ sen ߠ ൌ ߤܤ sen 30௢ 
Agora o módulo do momento magnético da bobina é  
ߤ ൌ ܰܫܣ ൌ ሺ10ሻሺ3 ܣሻߨሺ0,02 ݉ሻଶ ൌ 3,77 ൈ 10ିଶ ܣ ݉ଶ 
Assim o modulo do torque é 
߬ ൌ ߤܤ sen ߠ ൌ ሺ3,77 ൈ 10ିଶ ܣ · ݉ଶሻሺ0,8 ܶሻሺsin 30௢ሻ 
  160
 
Figura 8.13 
Exemplo resolvido 
ൌ 1,51 ൈ 10ିଶ ܰ · ݉                                                       
 
Uma  espira  circular  de  raio ܴ, massa ݉  e  corrente  ܫ  está  sobre  uma 
superfície  rugosa.  Veja  a  Figura  8.13  (a).  Existe  um  campo magnético 
horizontal ܤሬԦ. Quão grande pode ser a corrente ܫ antes que uma borda 
da espira levante da superfície? 
Solução 
A  espira  começa  a  levantar  quando  o  torque magnético  iguala‐se  ao 
torque gravitacional (Figura 8.13 (b). 
O torque magnético agindo sobre a espira: 
߬௠ ൌ ߤܤ ൌ ܫߨܴଶܤ 
O torque gravitacional exercido sobre a espira é 
߬ ൌ ܴ݉݃ 
Igualando os torques e resolvendo para ܫ, a corrente, obtemos 
ܫ ൌ
݉݃
ߨܴܤ
 
 
Quando um  torque é exercido através de um ângulo,  trabalho é 
realizado.  Quando  um  dipolo  é  girado  através  de  um  ângulo  ݀ߠ,  o 
trabalho realizado é 
ܹ݀ ൌ െ߬݀ߠ ൌ െߤܤ sen ߠ ݀ߠ                                    ሺ8.26ሻ 
  161
 
Figura 8.14 
Exemplo Resolvido 
O sinal menos aparece porque o  torque  tende a diminuir ߠ.  Igualando 
este trabalho ao decrescimo da energia potencial, teremos 
ܷ݀ ൌ െܹ݀ ൌ ൅ߤܤ sen ߠ ݀ߠ                                  ሺ8.27ሻ 
Integrando, obtemos 
ܷ ൌ െߤܤ cos ߠ ൌ െߤԦ · ܤሬԦ                                   ሺ8.28ሻ 
Esta é a expressão da energia potencial de um dipolo magnético fazendo 
um ângulo ߠ com um campo magnético ܤሬԦ. 
 
Um  espira  quadrada  com  12 ݒ݋݈ݐܽݏ  com  lados  de  40 ܿ݉  porta 
uma  corrente de 3 ܣ. Ela está no plano ݔݕ,  como mostrado na Figura 
8.14,  imerso em um campo uniforme ܤሬԦ ൌ 0,3 ܶ ଓ̂ ൅ 0,4 ܶ  ෠݇ . Determine 
(a) O momento magnético das  espira  e  (b) o  torque  exercido  sobre  a 
espira. (c) Determine a energia potencial da espira. 
Solução 
Da Figura 8.14 vemos que o momento magnetico da espira está 
apontando na direção de ݖ positivo. 
(a) O cálculo do momento magnéticoda espira, usando a Equação (8.24), 
fornece 
ߤԦ ൌ ܰܫܣ ሬ݇Ԧ ൌ ሺ12ሻሺ3ܣሻሺ0,40 ݉ሻଶ ሬ݇Ԧ 
ൌ 5,76 ܣ · ݉ଶ ሬ݇Ԧ                              
  162
(b) O  calculo do  torque  sobre a espira de  corrente, usando a Equação 
(8.25) fornece 
Ԧ߬ ൌ ߤԦ ൈ ܤሬԦ ൌ ൫5,76 ܣ · ݉ଶ ሬ݇Ԧ൯ · ൫0,3 ܶ ଓԦ ൅ 0,4 ܶ ሬ݇Ԧ൯ ൌ 1.73 ܰ · ݉ ଔԦ 
(c) A energia potencial, de acordo com a Equação (8.28) é o negativo do 
produto interno de ߤԦ e ܤሬԦ: 
ܷ ൌ െߤԦ · ܤሬԦ ൌ ൫5,76 ܣ · ݉ଶ ෠݇൯ · ൫0,3 ܶ ଓ̂ ൅ 0,4 ܶ  ෠݇൯ ൌ െ2,30 ଔ̂ 
Nos  cálculos  acimausamos  que  ෠݇ ൈ ෠݇ ൌ 0  e  ෠݇ ൈ ଓ̂ ൌ ଔ,̂  ෠݇ · ଓ̂ ൌ 0  e 
෠݇ · ෠݇ ൌ 1 
 
Exercício Calcule ܷ se a espira gira de modo que ߤԦ esteja alinhado 
com ܤሬԦ.  
Quando um pequeno magneto permanente  tal como a agulha de uma 
bussola  é  colocado  em  um  campo magnético ܤሬԦ,  o  campo  exerce  um 
torque  sobre  o magneto  que  tende  a  girar  o magneto  de modo  que 
alinhe com o campo. Este efeito também ocorre com  limalhas de ferro 
não magnetizadas previamente, que torna‐se magnetizada na presença 
de um campo ܤሬԦ. A barra do magneto é caracterizada por um momento 
magnético  ߤԦ  que  aponta  do  polo  sul  para  o  polo  norte.  Uma  barra 
magnetica pequena assim comporta‐se como uma espira de corrente. A 
origem  do momento magnético  de  uma  barra magnética  é,  de  fato, 
espiras  microscópicas  de  correntes  que  resultam  do  movimento  de 
elétrons nos átomos do magneto. 
 
QUESTÕES 
Q1 Em um dado  instante, um próton move‐se na direção ݔ positiva em 
uma  região  onde  um  campo magnético  está  dirigido  na  direção  de  ݖ 
negativo. Qual é a direção da força magnética? O próton continua a se 
mover na direção de ݔ positivo? Explique. 
Q2 Duas partículas carregadas são projetadas em uma região onde um 
campo magnético  é  dirigido  perpendicular  às  suas  velocidades.  Se  as 
  163
cargas  são defletidas  em  direções opostas, o que pode  ser dito  sobre 
elas? 
Q3 Se uma partícula carregada move‐se em linha reta através de alguma 
região  do  espaço,  podemos  dizer  que  o  campo  magnético  naquela 
região é zero? 
Q4  Suponha  que  um  elétron  está  perseguindo  um  próton  acima  da 
pagina  quando  subitamente  um  campo  magnético  perpendicular 
entrando na pagina é ligado. O que acontece às partículas? 
Q5 Como pode o movimento de uma partícula carregada em movimento 
ser  usado  para  distinguir  entre  um  campo  magnético  e  um  campo 
elétrico? Dê um exemplo específico para justificar seu argumento. 
Q6  Liste  várias  similaridades  e  diferenças  entre  forças  magnéticas  e 
elétricas. 
Q7  Justifique  a  seguinte  declaração:  ”É  impossível  para  um  campo 
magnético  constante  (em  outras  palavras,  independente  do  tempo) 
alterar a velocidade de uma partícula carregada”. 
Q8 Em vista da afirmativa anterior  (Q7), qual é o papel de um  campo 
magnético em um cíclotron? 
Q9  Um  condutor  portando  corrente  experimenta  nenhuma  força 
magnética quando colocado de certa maneira em um campo magnético 
uniforme. Explique. 
Q10  É  possível  orientar  uma  espira  de  corrente  em  um  campo 
magnético  uniforme  tal  que  a  espira  não  tenha  a  tendencia  de  girar? 
Explique. 
Q11 Como pode uma  espira de  corrente  ser usada para determinar  a 
presença de um campo magnético em uma dada região do espaço? 
Q12 Qual é a força resultante agindo sobre a agulha de uma bussola em 
um campo magnetico uniforme? 
Q13 Que  tipo  de  campo magnético  é  exigido  para  exercer  uma  força 
resultante  sobre  um  dipolo  magnético?  Qual  é  a  direção  da  força 
resultante? 
  164
 
Figura 8.15 
 
Figura 8.16 
Q14  Um  proton  movendo‐se 
horizontalmente entra em uma região 
onde  um  campo magnético  uniforme 
está  dirigido  perpendicularmente  à 
velocidade do proton, como mostrado 
na Figura 8.15. Descreva o movimento 
subsequente  do  proton.  Como  um 
elétron se comportaria sob as mesmas 
circunstancias? 
Q15 Em uma garrafa magnética, o que leva a direção da velocidade das 
partículas confinadas a inverterem‐se (Sugestão: Determine a direção da 
força  magnética  agindo  sobre  as  partículas  em  uma  região  onde  as 
linhas de campo convergem.) 
 
PROBLEMAS 
P1  Compare  as  direções  do  campo  elétrico  e 
forças magnéticas  entre  duas  cargas  positivas, 
que se movem ao  longo de caminhos paralelos 
(a)  na  mesma  direção,  e  (b)  em  direções 
opostas. 
P2 Determine  a  direção  inicial  da  deflexão  de 
partículas  carregadas  quando  elas  entram  em 
campos magnéticos,  como mostrado na Figura 
8.16 
P3 Considere um elétron próximo a superfície do equador Terrestre. Em 
que direção ele tende a ser defletido se sua velocidade está dirigida (a) 
para baixo, (b) para o norte, (c) para o oeste, ou (d) para o sudeste? 
P4 Um elétron movendo‐se ao longo do eixo ݔ positivo perpendicular a 
um campo magnético experimenta uma deflexão magnética na direção 
de ݕ negativo. Qual é a direção do campo magnético? 
P5  Um  próton  desloca‐se  com  uma  velocidade  de  3,00 ൈ 10଺ ݉/ݏ 
fazendo um ângulo de 37,0଴ com a direção de um campo magnético de 
  165
0,300 ܶ na direção ൅ݕ. Quais são (a) o modulo da força magnética sobre 
o próton e (b) sua aceleração? 
P6  Um  próton move‐se  em  uma  direção  perpendicular  a  um  campo 
magnético uniforme ܤሬԦ a 1,00 ൈ 10଻ ݉/ݏ e experimenta uma aceleração 
de 2,00 ൈ 10ଵଷ݉/ݏଶ na direção ൅ݔ. Determine o modulo e direção do 
campo. 
P7 Um próton move‐se com uma velocidade ݒԦ ൌ ൫2ଓ̂ െ 4ଔ̂ ൅ ෠݇൯݉/ݏ em 
uma região em que o campo magnético é ܤሬԦ ൌ ൫ଓ̂ ൅ 2ଔ̂ െ 3෠݇൯ ܶ. Qual é o 
modulo da força magnética que esta carga experimenta? 
P8  Um  elétron  é  projetado  em  um  campo  magnético  uniforme 
ܤሬԦ ൌ ሺ1,40ଓ̂ ൅ 2,10ଔ̂ሻܶ. Determine a expressão vetorial para aforça sobre 
o elétron quando sua velocidade é ݒԦ ൌ 3,70 ൈ 10ହଔ̂ ݉/ݏ. 
P9 Um fio tendo uma massa por unidade de comprimento de 0,500 ݃/
ܿ݉ porta uma corrente de 2,00 ܣ horizontalmente para o sul. Quais são 
a  direção  e  módulo  do  campo  magnético  minimo  necessario  para 
levantar este fio verticalmente para cima? 
P10 Um fio porta uma corrente estacionária de 2,40 ܣ. Uma porção reta 
do fio tem comprimento de 0,750 ݉ e está ao longo do eixo ݔ dentro de 
um campo magnetico uniforme ܤ ൌ 1,60 ܶ na direção ݖ positiva. Se a 
corrente está na direção ൅ݔ, qual é a força magnética sobre esta porção 
do fio? 
P11 Um  fio de 2,80 ݉ de comprimento porta uma corrente de 5,00 ܣ 
em uma região onde um campo magnético uniforme possui módulo de 
0,390 ܶ. Calcule o modulo da  força magnética  sobre o  fio  se o ângulo 
entre o campo magnético e a corrente é (a) é 60,0଴, (b) 90,0଴, (c) 120଴. 
P12  Uma  pequena  barra  magnética  está  suspensa  em  um  campo 
magnético uniforme de 0,250 ܶ. O torque máximo experimentado pela 
barra magnética é 4,60 ൈ 10ିଷ ܰ · ݉. Calcule o momento magnético da 
barra. 
  166
 
Figura 8.17 
P13  Uma  espira  retangular  consiste  de  ܰ ൌ 100 
voltas  densamente  empacotadas  com  dimensões 
ܽ ൌ 0,400 ݉  e  ܾ ൌ 0,300 ݉.  A  espira  está 
alinhada  ao  longo  do  eixo  ݕ,  e  seu  plano  faz  um 
ângulo ߠ ൌ 30௢ com o eixo ݔ, como mostrado na 
Figura  8.17. Qual  é  o modulo  do  torque  exercido 
sobre a espira por um campo magnético uniforme 
ܤ ൌ 0,800 ܶ dirigido ao  longo do eixo ݔ quando a 
corrente é ܫ ൌ 1,20 ܣ na direção mostrada? Qual é 
a direção esperada de rotação da espira? 
P14  Um  elétron  colide  elasticamente  com  um  segundo  elétron 
inicialmente em  repouso. Após a colisão, o  raio de suas  trajetórias são 
1,00 ܿ݉  e  2,40 ܿ݉.  As  trajetórias  são  perpendiculares  a  um  campo 
magnético uniforme de modulo 0,044 ܶ. Determine a energia (em ܸ݇݁) 
do elétron incidente. 
P15 Um  próton movendo‐se  em  um  caminho  circular  perpendicular  a 
um  campo  magnético  toma  1,00 ߤݏ  para  completar  uma  revolução. 
Determine o modulo do campo magnético. 
BIBLIOGRAFIA 
 
TIPLER  P.  A.,  MOSCA  G.  Physics  for  scientists  and  Engineers,  sixth 
edition, Freeman, New York, 2008. 
HALLIDAY  D.,  Resnick  R., Walker  J.,  Física  Fundamental,  vol  3,  Livros 
Técnicos Científicos S. A., Rio de Janeiro,2004 
HALLIDAY D., RESNICK R.,  KRANE  S.,  Física  vol.  3,  LTC, Rio de  Janeiro, 
2000 
HEWITT  P,  Física  Conceitual,  Longman,  9ª  edição,  Rio Grande  do  Sul, 
200x 
NUSSENZVEIG, H. M., Física Básica vol. 3, Edgard Blucher, x Ed., Rio de 
Janeiro, 200X 
CUMMINGS K., LAWS P., REDISH E., COONEY P., Understanding Physics, 
John Wiley, New York, 2004. 
YOUNG H. D.,  FREEDMAN,  R. A.  Física  3:  Eletromagnetismo,  Pearson, 
São Paulo, 2008. 
   
  167
CAPÍTULO 9­ A LEI DE AMPÈRE 
 
RESUMO 
 
  Nesta unidade apresentaremos o análogo do  lei de Coulomb e 
da lei de Gauss para o magnetismo que são as leis de Biot – Savart e Leis 
de  Ampère,  enfatizando  as  dificuldades  e  facilidades  de  cálculo  do 
campo  magnético  quando  o  sistema  apresenta  um  maior  ou  menor 
simetria na sua geometria.  
 
  168
9 A LEI DE AMPÈRE 
 
9.1  Lei de Biot – Savart  168
9.2  Lei de Ampère  173
9.3  A lei de Ampère e os solenóides  176
  Questões  178
  Problemas  179
  Bibliografia  181
 
   
  169
 
Em  situações  em  que  as  distribuições  de  carga  são  altamente 
simétricas, o calculo do campo elétrico torna‐se muito mais facil usando 
a  lei de Gauss do que a  lei de Coulomb. Uma situação similar existe em 
magnetismo. Vamos calcular o campo magnetico ܤሬԦ gerado na vizinhança 
de um  fio  condutor  longo e  reto portando uma corrente  ܫ, através de 
integração  direta  (lei  de  Biot  –  Savart)  e  explorando  a  simetria  da 
distribuição de corrente (lei de Ampère) 
 
9.1 Lei de Biot – Savart 
Quando  uma  carga  puntual  ݍ  move‐se  com  velocidade  ݒԦ,  ela 
produz um campo magnético ܤሬԦ no espaço dado por 
ܤ ൌ
ߤ଴
4ߨ
ݍݒԦ ൈ ̂ݎ
ݎଶ
                                                 ሺ9.1ሻ 
̂ݎ  é  um  vetor  unitário  que  aponta  da  carga  ݍ  para  o  ponto  P  onde 
estamos medindo o campo e ߤ଴ é uma constante de poporcionalidade 
chamada a permeabilidade do espaço livre2, que tem o valor  
ߤ଴ ൌ 4ߨ ൈ 10ି଻ܶ݉/ܣ ൌ 4ߨ ൈ 10ି଻ܰ/ܣଶ                       ሺ9.2ሻ 
As  unidades  de  ߤ଴  são  tais  que  ܤሬԦ  está  em  Tesla  quando  ݍ  está  em 
Coulombs, ݒ em metros por  segundo, e  ݎ está em metros. A unidade 
ܰ/ܣଶ  vem  do  fato  que  1ܶ ൌ 1 ܰ/ܣ · ݉.  A  constante  1/4ߨ  é 
arbitrariamente  incluida na Equação  (9.2) de modo que o fator 4ߨ não 
aparecerá na lei de Ampère, a ser discutida na próxima seção. 
Na  Equação  (9.1)  trocando  ݍݒԦ  por  ܫ݀Ԧ݈,  obtemos  o  campo 
magnético ݀ܤሬԦ gerado pelo elemento de corrente no ponto ݎԦ é dado pela 
expressão 
݀ܤሬԦ ൌ
ߤ଴
4ߨ
ܫ݀Ԧ݈ൈ ̂ݎ
ݎଶ
                                           ሺ9.3ሻ 
                                                            
2 Devemos tomar cuidado para não confundir a constante ߤ଴ com o momento 
magnético ߤ. 
  170
 
Figura 9.1  (a) O  campo magnético ݀ܤሬԦ no ponto ܲ devido  a  corrente  ܫ  fluindo 
através  do  elemento  de  comprimento  ݀ݏԦ  é  dado  pela  lei  de  Biot  –  Savart.  A 
direção do campo está saindo da página em ܲ e entrando na página em ܲ’. (b) O 
produto vetorial ݀ݏԦ ൈ ̂ݎ aponta para fora da página quando ̂ݎ aponta em direção 
a ܲ. (c) O produto vetorial ݀ݏԦ ൈ ̂ݎ aponta para dentro da página quando ̂ݎ aponta 
em direção ܲԢ. 
Exemplo resolvido 
Veja Figura 9.1 para detalhes  sobre a geometria do problema. A 
Equação  (9.3)  é  conhecida  como  a  lei  de  Biot  –  Savart  que  é  para  o 
magnetismo, o  mesmo que a lei de Coulomb é para a eletrostática. 
O  campo  magnético  total  ܤሬԦ,  criada  em  algum  ponto  por  uma 
corrente de  tamanho  finito, é determinado somando as constribuições 
de  todos  os  elementos  de  corrente  ܫ݀ݏԦ  que  formam  a  corrente. 
Integrando a Equação (9.3) obtemos 
ܤሬԦ ൌ
ߤ଴ܫ
4ߨ
න
݀Ԧ݈ൈ ̂ݎ
ݎଶ
                                     ሺ9.4ሻ 
com a integração sendo realizada sobre toda a distribuição de corrente. 
Para  ilustrar  os  cuidados  no  manuseio  da  integral  na  Equação 
(9.4), uma vez que o seu integrando envolve um produto vetorial, vamos 
apresentar o Exemplo resolvido abaixo. 
 
Considere um fio fino, reto portando uma corrente constante ܫ e 
colocado ao longo do eixo ݔ como mostrado na Figura 9.2. Determine o 
módulo  e  direção  do  campo  magnético  no  ponto  ܲ  devido  a  esta 
corrente. 
 
  171
 
Figura  9.2  (a)  Fio  fino,  reto,  transportando  uma  corrente  ܫ.  O  campo 
magnético no ponto ܲ devido à corrente em cada elemento ݀Ԧ݈ do fio aponta 
para  fora da pagina, de modo que o campo  total no ponto ܲ está  também 
apontando  para  fora  da  pagina.  (b)  Os  angulos  ߠଵ  e  ߠଶ,  são  usados  para 
determinar  o  campo  total. Quando  o  fio  é  infinitamente  longo,  ߠଵ ൌ 0  e 
ߠଶ ൌ 180௢. 
Solução 
A  direção  do  campo  magnético  no  ponto  P  devido  a  corrente  no 
elemento  de  comprimento  ݀Ԧ݈  está  apontando  para  fora  da  página 
porque ݀Ԧ݈ൈ ̂ݎ aponta para fora da página. De fato, uma vez que todos 
os  elementos  de  corrente  ܫ݀Ԧ݈  estão  no  plano  da  página,  eles  todos 
produzem um campo magnético dirigido para fora da pagina no ponto P. 
Assim,  temos  a direção  do  campo magnético no ponto ܲ, precisamos 
agora apenas determinar o módulo do campo. 
Tomando a origem em ܱ e  fazendo o ponto P está ao  longo do 
eixo ݕ positivo,  com  ෠݇   sendo o vetor unitario apontando para  fora da 
pagina, vemos que  
݀Ԧ݈ൈ ̂ݎ ൌ ෠݇ห݀Ԧ݈ൈ ̂ݎห ൌ ෠݇ሺ݀ݔ sen ߠሻ 
onde  ห݀Ԧ݈ൈ ̂ݎห  representa  o  módulo  de  ݀Ԧ݈ൈ ̂ݎ.  Como  ̂ݎ  é  um  vetor 
unitario, a unidade do produto vetorial é simplesmente a unidade de ݀Ԧ݈, 
que  é o  comprimento. A  substituição da  expressão  acima na  Equação 
(9.4) resulta em 
ܤሬԦ ൌ
ߤ଴ܫ
4ߨ
න
݀ݔ sen ߠ
ݎଶ
෠݇                                   ሺ9.5ሻ 
Para resolver esta  integral devemos relacionar as variáveis ߠ, ݔ e ݎ. Da 
geometria do problema tiramos que 
  172
 
Figura  9.3  O  campo  magnético  em  ܱ  devido  a 
corrente no  segmento curvo ܣܥ está entrando na 
pagina. A contribuição para o campo em ܱ devido à 
corrente nos dois segmentos retos é zero. 
ݎ ൌ
ܽ
sen ߠ
ൌ ܽ csc ߠ                                         ሺ9.6ሻ 
Porque  tan ߠ ൌ ܽ/ሺെݔሻ para o  triangulo da direita na Figura 9.2  (a)  (o 
sinal  neativo  é  necessário  porque  ݀Ԧ݈  está  localizada  em  um  valor 
negativo de ݔ), temos 
ݔ ൌ െܽ cot ߠ                                                     ሺ9.7ሻ 
Tomando a derivada desta expressão obtemos 
݀ݔ ൌ െܽ cscଶ ߠ ݀ߠ                                     ሺ9.8ሻ 
Substituindo os resultados (9.6) e (9.8) na Equação (9.5) ficamos com 
ܤ ൌ
ߤ଴ܫ
4ߨ
න
ܽ cscଶ ߠ sin ߠ ݀ߠ
ܽଶ cscଶ ߠ
ൌ
ߤ଴ܫ
4ߨܽ
න sin ߠ ݀ߠ
ఏమ
ఏభ
                     
ൌ
ߤ଴ܫ
4ߨܽ
ሺcos ߠଵ െ cos ߠଶሻ                                                 ሺ9.9ሻ 
Para o caso especial em que tomamos um fio infinitamente longo (veja a 
Figura  9.2  (b)  para  um  melhor  entendimento),  temos  que  ߠଵ ൌ 0  e 
ߠଶ ൌ ߨ para  a  soma de elementos de  comprimento entre  as posições 
ݔ ൌ െ∞  e  ݔ ൌ ൅∞.  Como  ሺcos ߠଵ െ cos ߠଶሻ ൌ ሺcos 0 െ cos ߨሻ ൌ 2,  a 
Equação (9.9) torna‐se 
ܤ ൌ
ߤ଴ܫ
2ߨܽ
                                                   ሺ9.10ሻ 
Vemos deste resultado que o módulo de ܤ é proporcional ao módulo da 
corrente e decresce com o aumento da distância ao fio 
 
Exercício Calcule o módulo do 
campo  magnético  a  4,0 ܿ݉ 
de  um  fio  infinitamente 
longo,  reto  e  portando  uma 
corrente de 4,0 ܣ. 
Resposta  2,5 ൈ 10ିହ ܶ 
Exercício  Calcule  o  campo 
magnético no ponto ܱ para o 
segmento  de  fio  portando 
  173
 
Figura  9.4  Geometria  para  calcular  o  campo  magnético  em  ܲ 
estando  sobre  o  eixo  de  uma  espira  de  corrente.  Por  simetria,  o 
campo total ܤሬԦ está ao longodo eixo. 
corrente mostrado na Figura 9.3. O fio coniste de duas porções retas e 
um arco circular de raio ܴ, que subtende um ângulo ߠ. As setas sobre o 
fio indicam a direção da corrente 
 Resposta   ܤ ൌ ሺߤ଴ܫߠሻ/ሺ4ߨܴሻ ܤ é entra na página 
Exercício  Uma  espira  circular  de  raio  formada  por  um  fio  porta  uma 
corrente ܫ. Qual é o módulo do campo magnético no seu centro? 
Resposta  ߤ଴ܫ/2ܴ 
Exercício  Considere  um  espira  circular  de  raio ܴ  formada  por  um  fio, 
localizada no plano ݕݖ  e portando uma  corrente  estacionária  ܫ,  como 
mostrado na Figura 9.4. Calcule o campo magnético em um ponto axial P 
a uma distância x do centro da espira 
Resposta ܤ ൌ ఓబூ
ଶோ
        ሺem   ݔ ൌ 0ሻ 
Do  Exemplo  resolvido  vemos  que  o  campo  magnético,  na 
vizinhança  de  um  fio  infinitamente  longo  e  portando  uma  corrente  ܫ, 
possui o mesmo valor para pontos equidistantes do fio e com a direção 
sempre tagente ao circulo que envolve o fio, como mostra a Figura 9.5.  
O  sentido do  campo em  torno do  fio é  indicado pela direção da 
ponta  dos  dedos  da  mão  direita  envolvendo  o  fio,  com  o  polegar 
  174
 
Figura  9.5  A  regra  da mão  direita  para  determinar  a  direção  do  campo 
magnético em  torno de um  fio  longo,  reto e portando uma corrente ܫ. As 
linhas do campo magnético formam círculos em torno do fio. 
apontado no sentido da corrente. Vamos agora apresentar um método 
que explora a simetria apresentada na Figura 9.5. 
9.2 Lei de Ampère 
A  lei  de  Ampère,  que  relaciona  a  componente  tangencial  de  ܤሬԦ 
somada  em  torno  de  uma  curva  fechada  ܥ,  à  corrente  ܫ஼   que  passa 
através  da  curva,  pode  ser  usada  para  obter  uma  expressão  para  o 
campo magnético em situações que tenha um alto grau de simetria. Na 
forma matemática, o enunciado da lei de Ampère é 
ර ܤሬԦ
஼
· ݀Ԧ݈ ൌ ߤ଴ܫ஼,         ܥ é ݍݑ݈ܽݍݑ݁ݎ ܿݑݎݒܽ ݂݄݁ܿܽ݀ܽ            ሺ9.11ሻ 
onde ܫ஼  é a corrente total que atravessa a área limitada pela curva ܥ. A 
lei  de  Ampère  vale  para  qualquer  curva  fechada  ܥ  desde  que  as 
correntes  sejam  continuas,  isto  é,  elas  não  iniciem  ou  finalizem  em 
algum  ponto  finito.  A  lei  de  Gauss  e  a  lei  de  Ampère  são  ambas  de 
considerável  importancia  teorica,  e  ambas  valem  se  existe  ou  não 
simetria, mas  se não existe  simetria, nem é util para calcular o campo 
elétrico ou o campo magnetico. 
A  aplicação mais  simples da  lei de Ampère  é para determinar o 
campo  magnético  produzido  por  um  fio  infinitamente  longo,  reto, 
portando  uma  corrente,  como mostrado  na  Figura  9.5. Na  Figura  9.5 
observamos  uma  curva  circular  em  torno  de  um  ponto  sobre  um  fio 
  175
 
Figura 9.6 Um  fio  longo de  raio ܴ portando uma  corrente  estacionária  ܫ଴ 
distribuída uniformemente através da seção reta do fio. O campo magnético 
em qualquer ponto pode ser calculado usando a lei de Ampère traçando um 
caminho circular de raio ݎ, concêntrico com o fio. 
Exemplo Resolvido 
longo  com  seu  centro  no  fio.  Considerando  que  estamos  longe  das 
extremidades  do  fio,  podemos  usar  a  simetria  para  rejeitar  a 
possibilidade de qualquer  componente de ܤሬԦ paralela  ao  fio. Podemos 
então supor que o campo magnético é tangente a este circulo e possui o 
mesmo modulo ܤ em qualquer ponto sobre o circulo. A  lei de Ampère 
então dá 
ර ܤሬԦ
஼
· ݀Ԧ݈ ൌ ܤර ݈݀
஼
ൌ ߤ଴ܫ஼  
Colocamos  ܤ  fora  da  integral  porque  ele  possui  o mesmo  valor  em 
qualquer  ponto  sobre  o  circulo. A  integral  de  ݈݀  em  torno  do  circulo 
iguala a 2ߨݎ, a circunferencia do circulo. A corrente ܫ஼  é a corrente ܫ no 
fio. Assim obtem‐se, fazendo ݎ ൌ ܽ, 
ܤሺ2ߨݎሻ ൌ ߤ଴ܫ                                             
Ou seja, resolvendo para ܤ 
ܤ ൌ
ߤ଴ܫ
2ߨܽ
ൌ
ߤ଴
4ߨ
2ܫ
ܽ
                                            ሺ9.12ሻ 
Este  é  o  mesmo  resultado  da  Equação  (9.10),  obtido  através  da 
integração direta da  lei de Biot – Savart, sem  recorrer as propriedades 
de simetria do problema. 
Um  fio  longo,  reto  de  raio  ܴ  portando  uma  corrente  ܫ  que  está 
uniformemente distribuída sobre a área seccional reta do fio. Determine 
o campo tanto fora (ݎ ൐ ܴ) quanto dentro (ݎ ൏ ܴ) do fio. 
  176
Solução 
Podemos  usar  a  lei  de Ampère  para  calcular ܤሬԦ  devido  o  alto  grau  de 
simetria. A uma distância ݎ, veja Figura 9.6, sabemos que ܤሬԦ é tangente 
ao  circulo de  raio ݎ em  torno do  fio e  constante em modulo em  toda 
parte a mesma distância em  torno do circulo. A corrente através de ܥ 
depende se ݎ é menor que ou maior que o raio do fio ܴ. 
Aplicando a lei de Ampère a um circulo de raio ݎ obtemos 
ර ܤሬԦ · ݀Ԧ݈
஼
ൌ ܤර ݈݀
஼
ൌ ܤሺ2ߨݎሻ ൌ ߤ଴ܫ஼  
Resolvendo para ܤ obtemos 
ܤ ൌ
ߤ଴
2ߨ
ܫ஼
ݎ
                                             ሺ9.13ሻ 
Fora  do  fio,  ݎ ൐ ܴ,  a  corrente  que  flui  através  da  área  seccional  do 
circulo ܥ é a corrente total, isto é, ܫ ൌ ܫ஼ . Assim o valor do campo é  
ܤ ൌ
ߤ଴
2ߨ
ܫ
ݎ
                                               ሺ9.14ሻ 
Dentro do fio, ݎ ൏ ܴ, a corrente fluindo através de ܥ é (ߨݎଶ/ߨܴଶ) vezes 
a corrente total ܫ, isto é, 
ܫ஼ ൌ
ߨݎଶ
ߨܴଶ
ܫ ൌ
ݎଶ
ܴଶ
ܫ                                      ሺ9.15ሻ 
Assim o campo magnético de (9.15) e (.13) possui módulo igual a 
ܤ ൌ
ߤ଴
2ߨ
ܫ஼
ݎ
ൌ
ߤ଴
2ߨ
1
ݎ
ݎଶ
ܴଶ
ܫ ൌ
ߤ଴ܫ
2ߨܴଶ
ݎ                              ሺ9.16ሻ 
Vemos deste Exemplo resolvido que o campo magnético devido a uma 
corrente uniformemente distribuída sobre um fio de raio ܴ é dado por 
ܤ ൌ
ە
ۖ
۔
ۖ
ۓ
ߤ଴
2ߨܴଶ
ܫݎ,           ݎ ൑ ܴ
ߤ଴
2ߨ
ܫ
ݎ
,                   ݎ ൐ ܴ
                                   ሺ9.17ሻ 
 
Observamos da Equação (9.17) que dentro do fio o campo aumenta com 
a distância ao centro do  fio e que  fora do mesmo, como  já observado 
  177
 
Figura 9.7. Módulo do Campo magnético em  função do  raio ݎ para o  fio 
mostrado na Figura 9.6. O campo é proporcional a ݎ dentro do fio e varia 
como 1/ݎ fora do fio. 
 
Figura  9.8  Desenho  esquemático  de  um  solenóide  formado  por  espira 
densamente  empacotadas  em  torno de um núcleo, mostrando  as  linhas de 
campo magnético  
anteriormente,  decresce  com  a  distância  ao  centro  do  fio.  Estas 
conclusões estão ilustradas graficamente na Figura 9.7. 
 
9.3 A lei de Ampère e os solenóides 
Vamos aplicar a  lei de Ampère para calcular o campo magnético 
em um  solenóide. Um  solenóide  consiste de espiras de  fios enroladas 
muito próximo uma das outras em torno de um núcleo como mostrado 
na Figura 9.8. Vamos supor que existam ܰ voltas de fio, cada portando 
uma  corrente  ܫ. Queremos determinar o módulo do  campo ܤሬԦ  gerado 
por esta distribuição de corrente. 
Para  calcular o  campo ܤ,  calculamos  a  integral de  linha ׯܤሬԦ · ݀Ԧ݈ 
em  torno  de  um  caminho  circular  de  raio  ݎ  centrado  na metade  do 
  178
 
Figura  9.9  Visão  da  seção  reta  de  um  solenóide  ideal,  onde  o 
campo magnético no seu interior é uniforme e o campo magnético 
externo  é  nulo.  A  lei  de  Ampère  aplicada  ao  caminho  tracejado 
1234 pode ser usada para calcular o módulo do campo no interior. 
toróide. Por simetria, ܤሬԦ é tangente a este circulo e constante em módulo 
em  qualquer  ponto  sobre  o  circulo. Observamos  da  Figura  9.8  que  o 
campo,  devido  a  cada  volta,  é  reforçado  no  interior  do  solenóide  à 
medida que aumenta o número de espiras e estas vão se tornando cada 
vez mais unidas. Os campos apontam cada vez mais na mesma direção. 
No exterior acontece o  inverso, o  campo vai enfraquecendo à medida 
que  aumenta  o  número  de  voltas  e  as  espiras  vãose  adensando.  O 
campo  devido  a  uma  espira  aponta  em  sentido  contrário  ao  campo 
produzido  pela  espira  vizinha.  No  solenóide  ideal,  cuja  porção  é 
mostrada na Figura 9.9, o campo no  interior do solenóide, para pontos 
longe  das  extremidades  do mesmo,  é  uniforme  e  paralelo  ao  eixo  do 
solenóide e é zero para pontos fora do solenóide. 
Vamos então aplicar a  lei de Ampère ao caminho tracejado 1234 
mostrado na Figura 9.9.  
ර ܤሬԦ · ݀Ԧ݈
஼
ൌ න ܤሬԦ · ݀Ԧ݈
ଵ
൅ න ܤሬԦ · ݀Ԧ݈
ଶ
൅ න ܤሬԦ · ݀Ԧ݈
ଷ
൅ න ܤሬԦ · ݀Ԧ݈
ସ
 
                             ൌ ܤ݈ ൅ 0 ൅ 0 · ݈ ൅ 0 ൌ ܤ݈ ൌ ߤ଴ܫ஼                             ሺ9.18ሻ 
onde ܫ஼  é a corrente atravessando a seção reta de área ݓ݈, percorrendo 
as ܰ voltas do fio portando a corrente ܫ. A corrente total atravessando 
esta seção reta é portanto  
ܫ஼ ൌ ܰܫ                                                    ሺ9.19ሻ 
  179
 
Figura 9.10 A lei de Ampère vale para a curva fechada ܥ 
englobando a corrente na espira circular, mas não é útil 
para determinar ܤሬԦ, uma vez que ܤሬԦ não é constante ao 
longo da curva e também não é tangente. 
Assim de (9.18) e (9.19) segue que o campo produzido pelo solenóide é 
nulo para pontos fora do solenoide e igual a 
ܤ ൌ ߤ଴
ܰ
݈
ܫ ൌ ߤ଴݊ܫ 
݊ é a densidade de espira por unidade de comprimento. 
A  lei de Ampère  é útil para  calcular o  campo magnético  apenas 
quando existe um alto grau de simetria. Considere a espira de corrente 
mostrada na figura 9.10. De acordo com a  lei de Ampère, a  integral de 
linha ao  longo do caminho ܥ, ׯ ܤሬԦ · ݀Ԧ݈஼  é  igual a ߤ0ܫ. Embora a  lei de 
Ampère seja válida para esta 
curva, o campo magnético ܤሬԦ 
não é constante ao  longo de 
qualquer curva que circunde 
a corrente, nem é tangente a 
quaisquer  de  tais  curvas. 
Assim,  não  existe  simetria 
suficiente nesta situação que 
permita‐nos  calcular  ܤሬԦ 
usando a lei de Ampère. 
 
Questões 
Q1 O Campo magnético é criado por uma espira de corrente uniforme? 
Explique. 
Q2 Uma  corrente  em  um  condutor  produz  um  campo magnético  que 
pode  ser  calculado  usando  a  lei  de  Biot  –  Savart.  Porque  corrente  é 
definida  como  a  taxa  de  fluxo  de  carga,  o  que  você  pode  concluir  a 
respeito do campo magnético produzido por cargas estacionárias?  
Q3 Dois fios paralelos portam correntes em direções opostas. Descreva a 
natureza do campo magnético criado pelos dois fios em pontos (a) entre 
os fios e (b) foras dos fios, em um plano contendo‐os. 
  180
Q4 A lei de Ampère é valida para todos os caminhos fechados rodeando 
um  condutor?  Por  que  não  é  util  para  calcular  ܤሬԦ  para  todos  de  tais 
caminhos? 
Q5 Compare a lei de Ampère com a lei de Biot‐Savart. Qual é, de forma 
geral,  a  mais  util  para  cálculo  de  ܤሬԦ  para  um  condutor  portando 
corrente? 
Q6 Descreva as semelhanças entre a lei de Ampère em magnetismo e a 
lei de Gaus em eletrostática. 
Q7  Um  tubo  de  cobre  oco  porta  uma  corrente  ao  longo  do  seu 
comprimento.  Porque  ܤሬԦ ൌ 0  dentro  do  tubo?  ܤሬԦ  é  não  nulo  fora  do 
tubo? 
Q8 Por que ܤሬԦ é não nulo fora de um solenóide? Por que ܤሬԦ ൌ 0 fora de 
um  toroide?  (Lembre‐se  que  as  linhas  de  ܤሬԦ  devem  formar  caminhos 
fechados.) 
Q9  Descreva  a  variação  no  campo  magnético  no  interior  de  um 
solenóide portando uma  corrente estacionaria  ܫ  (a)  se o  comprimento 
do solenóide é duplicado, mas o número de voltas permanece o mesmo 
e (b) se o numero de voltas é duplicado, mas o comprimento permanece 
o mesmo. 
Q10  Uma  espira  condutora  chata  é  posicionada  em  um  campo 
magnetico uniforme dirigido ao longo do eixo ݔ. Para que orientação da 
espira é o fluxo, através dela, máximo? Mínimo? 
 
Problemas 
P1  Uma  curva  fechada  abarca  vários  condutores.  A  integral  de  linha 
ׯܤሬԦ · ݀Ԧ݈ em torno desta curva é 3,83 ൈ 10ିସ ܶ · ݉. (a) Qual é a corrente 
total nos condutores?  (b) Se você  fosse  integrar em  torno da curva na 
direção oposta, qual seria o valor da integral de linha? Explique. 
  181
 
Figura 9.11 
P2 Um condutor  solido com  raio ܽ é  suportado 
por  discos  isolantes  sobre  o  eixo  de  um  tubo 
condutor  com  raio  interno  ܾ  e  raio  externo  ܿ, 
como  mostrado  na  Figura  9.11.  O  condutor 
central  e  tubo  portam  correntes  iguais  ܫ  em 
direções  opostas.  As  correntes  são  distribuídas 
uniformemente  sobre  as  seções  retas  de  cada 
condutor. Deduza a expressão para o modulo do 
campo  magnético  (a)  em  pontos  fora  do 
condutor  solido  central,  mas  dentro  do  tubo  (ܽ ൏ ݎ ൏ ܾ)  e  (b)  em 
pontos fora do tubo (ݎ ൐ ܿ) 
P3  Um  fio  longo,  reto,  cilíndrico  de  raio  ܴ  porta  uma  corrente 
uniformemente  distribuída  sobre  sua  seção  reta.  Em  que  local  é  o 
campo magnético produzido por estas correntes  igual a metade do seu 
maior valor? Considere pontos dentro e fora do fio. 
P4 A lei de Biot – Savart é semelhantes a lei de Coulomb em que ambas 
(a) São leis do inverso do quadrado. 
(b) Tratam com forças sobre partículas carregadas. 
(c) Tratam com excesso de cargas. 
(d) Incluem a permeabilidade do espaço livre. 
(e) Não são de natureza elétrica. 
P5 Um pequeno elemento de corrente ܫ݀Ԧ݈, com ݀Ԧ݈ ൌ 2 ݉݉  ෠݇  e ܫ ൌ 2 ܣ, 
está  centrado  na  origem.  Determine  o  campo  magnético  ݀ܤሬԦ  nos 
seguintes pontos: (a) sobre o eixo ݔ em ݔ ൌ 3 ݉, (b) sobre o eixo ݔ em 
ݔ ൌ െ6 ݉,  (c)  sobre  o  eixo  ݖ  em  ݖ ൌ 3 ݉,  e  (d)  sobre  o  eixo  ݕ  em 
ݕ ൌ 3 ݉ 
P6 Para o elemento de corrente no problema P5 determine o modulo e 
direção de ݀ܤሬԦ em ݔ ൌ 0, ݕ ൌ 3 ݉, ݖ ൌ 4 ݉. 
P7 Uma espira de corrente circular de  raio ܴ portando corrente ܫ está 
centrada na origem com seu eixo ao longo do eixo ݔ. Sua corrente é tal 
que  ela  produz  um  campo  magnético  na  direção  ݔ  positivo.  (a) 
Esquematize o gráfico de ܤ௫ versus ݔ para pontos sobre o eixo ݔ. Inclua 
tanto  valores  positivos  quanto  negativos  de  ݔ.  Compare  este  Gráfico 
  182
Figura 9.12 
 
Figura 9.13 
com aquele para ܧ௫  devido a um anel carregado do mesmo tamanho. (b) 
Uma segunda espira de corrente  idêntica portando uma corrente  igual 
no mesmo  sentido,  está  em  um  plano  paralelo  ao  plano  ݕݖ  com  seu 
centro  em  ݔ ൌ ݀.  Esquematize  gráficos  do  campo magnético  sobre  o 
eixo ݔ devido a cada espira separadamente e o campo resultante devido 
as  duas  espirar.  Mostre  de  seus  esquemas  que  ݀ܤ௫/݀ݔ  é  zero  na 
metade entre as duas espiras. 
P8 Calcule o modulo do campo magnético em um ponto a 100 ܿ݉ de 
um condutor longo, fino portando uma corrente de 1,00 ܣ. 
P8 Um  condutor  consiste  de  uma  espira  circular 
de raio ܴ ൌ 0,100 ݉ e duas seções retas,  longas, 
como mostrado na Figura 9.12. O fio está no plano 
do  papel  e  porta  uma  corrente  ܫ ൌ 7,00 ܣ. 
Determine  o  modulo  e  direção  do  campo 
magnético no centro da espira. 
P9 Quatro  condutores  longos, paralelos portam 
correntes  iguais ܫ ൌ 5,00 ܣ. A figura 9.13 é uma 
visão da extremidade dos condutores. A direção 
da corrente é entrando na página nos pontos ܣ e 
ܤ (indicados por cruzes) e saindo da pagina em ܥ 
e ܦ  (indicados por pontos). Calcule o modulo e 
direção  do  campo  magnético  no  ponto  ܲ, 
localizado  no  centro  do  quadrado  com  um 
comprimento de aresta de 0,200 ݉. 
P10 Um  fio  longo,  reto  está  sobre  uma mesa  horizontal  e  porta  uma 
corrente  de  1,20 ߤܣ.  No  vácuo,  um  próton  move‐se  paralelo  ao  fio 
(oposto à corrente) com velocidade constante de 2,30 ൈ 10ସ m/s a uma 
distancia ݀ acima do  fio. Determine o valor de ݀. Você pode  ignorar o 
campo magnético devido a Terra.BIBLIOGRAFIA 
 
  183
TIPLER  P.  A.,  MOSCA  G.  Physics  for  scientists  and  Engineers,  sixth 
edition, Freeman, New York, 2008. 
HALLIDAY  D.,  Resnick  R., Walker  J.,  Física  Fundamental,  vol  3,  Livros 
Técnicos Científicos S. A., Rio de Janeiro, 2004 
HALLIDAY D., RESNICK R.,  KRANE  S.,  Física  vol.  3,  LTC, Rio de  Janeiro, 
2000 
HEWITT  P,  Física  Conceitual,  Longman,  9ª  edição,  Rio Grande  do  Sul, 
200x 
NUSSENZVEIG, H. M., Física Básica vol. 3, Edgard Blucher, x Ed., Rio de 
Janeiro, 200X 
CUMMINGS K., LAWS P., REDISH E., COONEY P., Understanding Physics, 
John Wiley, New York, 2004. 
YOUNG H. D.,  FREEDMAN,  R. A.  Física  3:  Eletromagnetismo,  Pearson, 
São Paulo, 2008. 
   
  184
 
CAPÍTULO 10­ A LEI DE FARADAY 
 
 
RESUMO 
 
  Nesta unidade apresentaremos um resultado importante para o 
estudo do eletromagnetismo, que é a  lei de Faraday. Esta  lei explica o 
funcionamento de diversos dispositivos eletrônicos do nosso uso diário, 
tais como os motores elétricos, disco  rígido de micro‐computadores. O 
funcionamento  de  uma  usina  de  geração  de  eletricidade,  algo muito 
fundamental na nossa sociedade, é baseado na lei de Faraday.  
 
  185
10 A LEI DE FARADAY 
 
10.1  Introdução  185
10.2  O fluxo magnético  185
10.3  A lei de Lenz  188
  Questões  194
  Problemas  196
  Bibliografia  200
   
  186
9.1 Introdução 
O  que  cata‐ventos,  detectores  de  metal,  gravadores  de  vídeo, 
discos  rígidos  para  computadores  e  os  telefones  celulares  têm  em 
comum?  Surpreendentemente,  todas  essas  diferentes  tecnologias 
provêm de um único princípio científico: a  indução eletromagnética. A 
indução  eletromagnética  é  o  processo  de  geração  de  uma  corrente 
elétrica  por  meio  da  variação  do  campo  magnético  que  atravessa  o 
circuito. 
As muitas aplicações da  indução eletromagnética  fazem dela um 
importante  tópico  de  estudo.  Mais  fundamentalmente,  a  indução 
eletromagnética estabelece um vínculo  importante entre a eletricidade 
e  o  magnetismo,  uma  ligação  com  implicações  importantes  para  a 
compreensão da luz como onda eletromagnética. 
A  indução eletromagnética é um tópico sofisticado, de modo que 
vamos  desenvolvê‐lo  gradualmente.  Primeiro,  examinaremos  os 
diferentes  aspectos  da  indução  e  nos  familiarizaremos  com  suas 
características básicas. 
Os  objetivos  deste  capítulo  são  adquirir  habilidades  (i)  para 
calcular  o  fluxo  magnético  e  a  corrente  induzida  por  um  campo 
magnético variável e (ii) para usar a  lei de Lenz e a  lei de Faraday para 
determinar o sentido a intensidade de correntes induzidas. 
No  final  dos  anos  1830, Michael  Faraday  na  Inglaterra  e  Joseph 
Henry  na  América  descobriram  independentemente  que  um  campo 
magnético  variável  induz uma  corrente  em um  fio. A  fem  e  correntes 
criadas  com  a  variação  do  campo  magnético  são  chamadas  fem’s 
induzidas  e  correntes  induzidas. O  processo  em  si  é  conhecido  como 
indução magnética. 
10.2 O fluxo magnético 
O fluxo do campo magnético através de uma superfície é definido 
de  forma  semelhante  ao  fluxo  de  um  campo  elétrico.  Seja  ݀ܣ  um 
elemento de área sobre a superfície e  ො݊ o vetor unitário perpendicular 
  187
 
Figura 10.1 
 
 
Figura 10.1 Uma espira condutora que engloba uma área A na presença 
de um  campo magnético uniforme ܤሬԦ. O ângulo entre ܤሬԦ e a normal à 
espira é ߠ. 
ao elemento. Veja Figura 10.1 para detalhes da geometria do problema. 
O fluxo magnético ߶௠ é definido como 
߶௠ ൌ න ܤሬԦ · ො݊݀ܣ
ௌ
ൌ න ܤ௡݀ܣ
ௌ
                                         ሺ10.1ሻ 
A unidade de  fluxo magnético é a unidade de campo magnético  (ܶ no 
sistema SI) vezes a unidade de área (݉ଶ no sistema SI), que chamado de 
weber (ܹܾ): 
1 ܹܾ ൌ ሺ1 ܶሻሺ1 ݉ଶሻ                                         ሺ10.2ሻ 
Como ܤ é proporcional ao número de  linhas de campo por unidade de 
área, o fluxo magnético é proporcional ao numero de  linhas através da 
área. 
Exercício Mostre que um weber por segundo é um volt. 
Se  a  superfície  é  um  plano  com  área  ܣ,  e  ܤሬԦ  é  constante  em 
módulo  e  direção  sobre  a  superfície  e  faz  um  ângulo  ߠ  com  o  vetor 
unitário normal, o fluxo é 
߶௠ ൌ ܤܣ cos ߠ                                                 ሺ10.3ሻ 
  188
Exercício resolvido 
O fluxo através de uma bobina contendo várias voltas de fio, digamos ܰ 
voltas, é N vezes o fluxo através de cada volta, isto é, 
߶௠ ൌ ܰܤܣ cos ߠ                                                 ሺ10.4ሻ 
Determine o  fluxo magnético  através de um  solenóide  com 40 ܿ݉ de 
comprimento, de  raio  igual a 2,5 ܿ݉,  tendo 600 voltas, portando uma 
corrente de 7,5 ܣ. 
Solução 
O campo magnético dentro do solenóide é uniforme e está ao longo do 
eixo do solenóide. É, portanto, perpendicular ao plano da bobina. Assim 
precisamos  determinar  o  campo  dentro  do  solenóide  e  então 
multiplicado por ܰܣ. 
O  fluxo magnético  é  o  produto  do  número  de  voltas,  o  campo 
magnético, e a área da bobina 
߶௠ ൌ ܰܤܣ                                               ሺ10.5ሻ 
O  campo magnético  dentro  do  solenóide  é  dado  por ܤ ൌ ߤ଴݊ܫ, 
onde ݊ ൌ ܰ/݈ é o número de voltas por unidade de comprimento 
߶௠ ൌ ܰߤ଴ ൬
ܰ
݈
൰ ܫܣ ൌ
ߤ଴ܰଶܫܣ
݈
                                 ሺ10.6ሻ 
A área de uma bobina de raio ݎ é 
ܣ ൌ ߨݎଶ                                          ሺ10.7ሻ 
Substituindo (10.7) em (10.6) obtemos que o fluxo magnético através do 
solenóide é  
߶௠ ൌ
ߤ଴ܰଶܫߨݎଶ
݈
                                                                                                        
ൌ  ሺ4ߨ ൈ 10ି଻ ܶ · ݉/ܣሻሺ600 ݒ݋݈ݐܽݏሻଶሺ7,5 ܣሻߨሺ0,025 ݉ሻଶ/0,40 ݉ 
ൌ 1,6610ିଶ ܹܾ                                                                                          
 
 
  189
 
Figura 10.2 (a) Quando um magneto é aproximado de uma espira de fio conectado a 
um  galvanômetro,  o  galvanômetro  deflete  como  mostrado,  indicando  que  uma 
corrente é induzida na espira. (b) Quando o magneto está parado, não existe corrente 
induzida na espira, mesmo quando o magneto está dentro da espira.  (c) Quando o 
magneto é afastado da espira, o galvanômetro deflete na direção oposta,  indicando 
que a corrente induzida é oposta aquela mostrada na parte (a). Mudando a direção do 
movimento do magneto muda a direção da corrente induzida por aquele movimento. 
10.3 Correntes induzidas e lei de Faraday 
Os  experimentos  realizados  por  Faraday,  Henry,  e  outros 
mostraram que se o fluxo magnético, através de uma área  limitada por 
um circuito, é alterado de alguma  forma, uma  fem,  igual em modulo a 
taxa  de  variação  do  fluxo,  é  induzida  no  circuito.  Usualmente 
detectamos  a  fem observando uma  corrente no  circuito, mas ela está 
presente mesmo quando o circuito está incompleto (aberto) e não existe 
corrente.  Anteriormente  havíamos  considerado  fem  que  estavam 
localizadas  em  uma  parte  especifica  do  circuito,  tal  como  entre  os 
terminais da bateria. Contudo, fem’s  induzidas podem ser consideradas 
distribuídas através do circuito. 
O  fluxo magnético  através  de  um  circuito  pode  ser  alterado  de 
muitos modos  diferentes.  A  corrente  produzindo  o  campo magnético 
pode  ser aumentada ou diminuída, magnetos permanentes podem  ser 
movidos em direção ao circuito ou afastados dele, o circuito em si pode 
ser movido para perto ou para longe da fonte do fluxo, a orientação do 
circuito pode alterada, ou a área do circuito em um campo magnético 
  190
Exemplo resolvido 
fixo podeser aumentada ou diminuída. Em qualquer  caso, uma  fem é 
induzida no circuito que é  igual em modulo a taxa de variação do fluxo 
magnético. 
A  Figura  10.2 mostra  uma  bobina  simples  de  uma  volta  em  um 
campo magnético gerado por um magneto que ora é aproximado (Figura 
10.2  (a)), ora permanece constante  (Figura 10.2  (b)), ou ora é afastado 
(Figura 10.2 (c)). Como mencionado acima, se o fluxo está variando, uma 
fem  é  induzida  na  espira. Uma  vez  que  a  fem  é  o  trabalho  feito  por 
unidade  de  carga,  deve  existir  uma  força  exercida  sobre  a  carga 
associada com a fem. A força por unidade de carga é o campo elétrico ܧሬԦ, 
que neste caso é  induzida pela variação do fluxo. A  integral de  linha do 
campo elétrico em torno do circuito completo é  igual ao trabalho feito 
por unidade de carga, que, por definição, é a fem no circuito 
ߝ ൌ න ܧሬԦ · ݀Ԧ݈
஼
                                                ሺ10.8ሻ 
O  campo  elétrico  que  estudamos  anteriormente  resultou  de 
cargas eletrostáticas. Estes campos são conservativos, significando que o 
trabalho  realizado pelo  campo  eletrostático  em  torno de um  caminho 
fechado  é  zero.  O  campo  elétrico  resultando  da  variação  do  fluxo 
magnético não é  conservativo. Sua  integral de  linha em  torno de uma 
curva fechada  é igual a fem induzida, que é igual a taxa de variação do 
fluxo magnético: 
ߝ ൌ න ܧሬԦ · ݀Ԧ݈
஼
ൌ െ
݀߶௠
݀ݐ
                                                ሺ10.8ሻ 
Este resultado é conhecido como a lei de Faraday. O sinal negativo 
na  lei  de  Faraday  tem  a  ver  com  a  direção  da  fem  induzida,  a  ser 
discutida mais a frente. 
Um  campo magnetico uniforme  faz um  angulo de 30௢  com o  eixo de 
uma espira circular de 300 voltas e um raio de 4 ܿ݉. O campo varia a 
uma taxa de 85 ܶ/ݏ. Determine o modulo da fem induzida na espira. 
  191
Exemplo resolvido 
Solução A  fem  induzida é  igual a ܰ  vezes a  taxa de  variação do  fluxo 
através  de  cada  volta. Uma  vez  que  B  é  uniforme,  o  fluxo  através  de 
cada volta é  simplesmente ߶௠ ൌ ܤܣ cos ߠ, onde ܣ ൌ ߨݎଶ é a área da 
bobina. 
O modulo da fem induzida é dada pela lei de Faraday 
|ߝ| ൌ
݀߶௠
݀ݐ
 
Para um campo uniforme, o fluxo é 
߶݉ ൌ ܰܤܣ cos ߠ 
Substituindo a expressão para o fluxo ߶݉ na expressão para 
|ߝ| obtemos 
|ߝ| ൌ
݀߶௠
݀ݐ
ൌ
݀
݀ݐ
ሺܰܤܣ cos ߠሻ ൌ ܰܣܤ cos ߠ
݀ܤ
݀ݐ
               ሺ10.9ሻ 
              ൌ ሺ300ሻሺ3.14ሻሺ0,04 ݉ሻଶ cos 30௢ ሺ85ܶ/ݏሻ ൌ 111 ܸ 
 
Exercício  Se  a  resistencia  da  bobina  é  de  200 Ω,  qual  é  a  corrente 
induzida? 
Resposta 0.555 ܣ 
Uma bobina com 80 voltas possui um raio de 5,0 cm e uma resistência 
de  30 Ω.  A  que  taxa  deve  um  campo magnético  perpendicular  variar 
para produzir uma corrente de 4,0 A na bobina? 
Solução 
A  taxa  de  variação  do  campo magnético  está  relacionada  à  taxa  de 
variação  do  fluxo,  que  está  relacionada  à  fem  induzida  pela  lei  de 
Faraday. A fem na bobina é igual a ܫܴ. 
O fluxo magnético é dado em termos de ܤ ܰ e o raio ݎ pela expressão 
߶௠ ൌ ܰߨݎଶܤ 
Que resolvendo para B fornece o seguinte resultado 
  192
 
Figura  10.3  Uma  espira  condutora  de  raio  ݎ  colocada  em  um  campo 
magnético uniforme perpendicular ao plano da espira. Se ܤሬԦ varia no tempo, 
um campo elétrico é  induzido em uma direção tangente à circunferência da 
espira. 
Exemplo resolvido 
ܤ ൌ
߶௠
ܰߨݎଶ
 
Tomando  a  derivada  temporal  de  ܤ  podemos  relacionar  a  taxa  de 
variação temporal do campo com a taxa de variação do fluxo e daí com a 
corrente e resistência do circuito 
ฬ
݀ܤ
݀ݐ
ฬ ൌ
1
ܰߨݎଶ
݀߶௠
݀ݐ
ൌ
ߝ
ܰߨݎଶ
 
Mas como ߝ ൌ ܫܴ ൌ 120 ܸ segue que 
ฬ
݀ܤ
݀ݐ
ฬ ൌ
120 ܸ
ሺ80 ݒ݋݈ݐܽݏሻሺ3,14ሻሺ5,0 ൈ 10ିଶ ݉ሻଶ
ൌ 191 ܶ/ݏ 
 
Um campo magnético B é perpendicular ao plano da página e uniforme 
em uma região circular de raio R como mostrado na Figura 10.3. Fora da 
região circular, ܤሬԦ ൌ 0. A taxa de variação da magnitude de ܤሬԦ é ݀ܤ/݀ݐ. 
Qual é o módulo do  campo elétrico  induzido no plano da página  (a) a 
uma distância  ݎ ൏ ܴ do  centro da  região  circular,  (b)  a  uma distância 
ݎ ൐ ܴ, onde ܤ ൌ 0. 
  193
Solução 
O  campo magnético  ܤሬԦ  entrando  na  página  é  uniforme  sobre  a 
região circular de raio ܴ. Quando ܤ varia, o fluxo magnético varia e uma 
fem ߝ ൌ ׯ ܧሬԦ · ݀Ԧ݈஼  é  induzida em  torno de alguma curva englobando o 
fluxo.  
O  campo  elétrico  induzido  é  determinado  aplicando  a  lei  de 
Faraday.  Uma  vez  que  estamos  interessados  apenas  em  módulos, 
desprezaremos o sinal menos e usaremos ׯ ܧሬԦ · ݀Ԧ݈஼ ൌ ݀߶௠/݀ݐ.  
Para  tirar  vantagem  da  simetria  do  sistema  escolheremos  uma 
curva circular de raio ݎ para calcular a integral de linha. Por simetria, ܧሬԦ é 
tangente a esta curva e tem o mesmo modulo em qualquer ponto sobre 
ela.  Então  calculamos  o  fluxo  magnético  e  tomamos  sua  derivada 
temporal. Fazendo a  integral e a derivada temporal  iguais, otemos uma 
expressão para ܧ. 
(a) Aplicando  a  integral  de  linha  para  um  circulo  de  raio  ݎ ൏ ܴ, 
considerando  que  ܧሬԦ  é  tangente  ao  circulo  e  tem módulo  constante, 
obtemos 
ර ܧሬԦ · ݀Ԧ݈
஼
ൌ ܧሺ2ߨݎሻ                                        ሺ10.10ሻ 
Por outro da  lei de Faraday sabemos que a  integral de  linha está 
relacionada à variação do fluxo magnético como 
ර ܧሬԦ · ݀Ԧ݈
஼
ൌ
݀߶௠
݀ݐ
                                       ሺ10.11ሻ 
Para  ݎ ൏ ܴ,  ܤ  é  constante  sobre  o  circulo.  Uma  vez  que  ܤሬԦ  é 
perpendicular ao plano do circulo, o fluxo é simplesmente ܤܣ. Assim 
߶௠ ൌ ܤܣ ൌ ܤሺߨݎଶሻ 
De onde segue que 
݀߶௠
݀ݐ
ൌ ߨݎଶ
݀ܤ
݀ݐ
                                           ሺ10.12ሻ 
De (10.10), (10.11) e (10.12) segue que 
  194
ܧሺ2ߨݎሻ ൌ ߨݎଶ
݀ܤ
݀ݐ
 
A expressão do campo elétrico em função de r e da variação do fluxo do 
campo magnético é 
ܧ ൌ
ݎ
2
݀ܤ
݀ݐ
,        ݎ ൏ ܴ                                   ሺ10.13ሻ 
( b ) Para o circulo de raio ݎ ൐ ܴ, onde o campo magnético é nulo, 
a integral de linha é a mesma que antes: 
ර ܧሬԦ · ݀Ԧ݈
஼
ൌ ܧሺ2ߨݎሻ 
Uma vez que ܤ ൌ 0 para ݎ ൐ ܴ, o fluxo magnético é ߨܴଶܤ, isto é, 
߶௠ ൌ ߨܴଶܤ 
Aplicando a  lei de Faraday determinamos o campo elétrico  induzido ܧሬԦ 
como 
ܧሺ2ߨݎሻ ൌ ߨܴଶ
݀ܤ
݀ݐ
 
Resolvendo para ܧ teremos 
ܧ ൌ
ܴଶ
2ݎ
݀ܤ
݀ݐ
,        ݎ ൐ ܴ                           ሺ10.14ሻ 
 
Observe  que  o  campo  elétrico,  no  exemplo  acima  (Equações 
(10.13) e  (10.14)), é produzido por uma variação do campo magnético 
em  vez  de  ser  produzido  por  cargas  elétricas.  Se  cargas  tivessem 
produzido o campo ܧሬԦ, teriamos de partir de cargas positivas e finalizar 
em cargas negativas. Uma vez que cargas não estão presentes, contudo, 
ܧሬԦ forma circulos que não tem inicio e não tem fim. Observe também que 
a fem existe em qualquer curva fechada limitando a área através da qual 
o  fluxo  magnético  está  variando  na  presença  ou  não  de  um  fio  ou 
circuito ao longo da curva. 
Exercício  Uma  bobina  de  40  voltas  move‐se  de  forma  brusca.  Esta 
bobina possui raio de 3 ܿ݉ e resistência de 16 Ω. Se a bobina é girada 
  195
 
Figura 10.4 Quando a o magneto em  forma de barra está se movendo 
em direção a espira, a  fem  induzida na espira produz uma corrente na 
direção mostrada. O  campo magnético  devido  a  corrente  induzida  na 
espira (indicada por linhas pontilhadas) produz um fluxo que se opõe ao 
aumento  no  fluxo  através  da  espira  devido  ao  movimento  da  barra 
magnética. 
por um  ângulo de 180௢  em um  campo magnético de 5000 ܩ, quanta 
carga passa através dela? 
Resposta  7,07 ݉ܥ 
 
10.4 A lei de Lenz  
O  sinalnegativo  na  lei  de  Faraday  tem  a  ver  com  a  direção  da  fem 
induzida,  que  pode  ser  determinada  de  um  princípio  físico  geral 
conhecido como lei de Lenz: 
A  fem  induzida  e  corrente  induzida  estão  em  uma 
direção tal que se oponham à variação que as produzem 
Observe que não foi especificado que tipo de variação provoca a fem e 
corrente  induzida.  Propositalmente  deixamos  a  afirmativa  vaga  para 
cobrir uma variedade de condições, que ilustraremos a seguir. 
A  Figura  10.4  mostra  uma  barra  magnética  movendo‐se  em 
direção a uma espira que possui  resistência ܴ. Uma  vez que o  campo 
magnético ܤሬԦ da barra magnética é para a direita, saindo do pólo norte 
do magneto,  o movimento  do magneto  em  direção  à  espira  tende  a 
aumentar o fluxo através da espira para a direita. (O campo magnético 
na espira é mais forte quando o magneto está mais próximo.) A corrente 
induzida na espira produz um campo magnético próprio. Esta corrente 
  196
 
Figura 10.5 
Exemplo resolvido 
induzida está na direção mostrada, de forma que o fluxo magnético que 
ela produz é oposto aquele do magneto. O campo magnético  induzido 
tende a diminuir o fluxo através da espira. Se o magneto fosse movido 
para longe da espira, isto decresceria o fluxo através da espira devido ao 
magneto,  a  corrente  induzida  estaria  na  direção  oposta  daquela 
mostrada na  Figura  10.4. Neste  caso,  a  corrente produzirá um  campo 
magnético  para  a  direita,  que  tenderá  a  aumentar  o  fluxo  através  da 
espira.  Podemos  esperar,  portanto,  que  o  movimento  da  espira  se 
aproximando ou  se afastado magneto  tenha o mesmo efeito que o de 
mover o magneto. Apenas o movimento relativo é importante. 
 
Uma  bobina  retangular  de  80 ݒ݋݈ݐܽݏ,  20 ܿ݉  de  largura  e  30 ܿ݉  de 
comprimento,  está  localizada  em  um  campo  magnético  ܤ ൌ 0,8 ܶ 
dirigido  para  dentro  da  página,  como mostrado  na  Figura  10.5,  com 
apenas metade da bobina na região do campo magnético. A resistência 
da  bobina  é  de  30 Ω.  Determine  o  modulo  e  direção  da  corrente 
induzida se a bobina é movida com uma velocidade de 2 ݉/ݏ (a) para a 
direita, (b) para cima, e (c) para baixo. 
Solução 
A  corrente  é  igual  a  fem  induzida 
dividida pela resistência. Podemos calcular a 
fem induzida no circuito quando a bobina se 
movimenta calculando a taxa de variação do 
fluxo  através  da  bobina.  O  fluxo  é 
proporcional  à  distância  ݔ.  A  direção  da 
corrente é determinada da lei de Lenz. 
(a) O modulo da corrente  induzida é  igual a 
fem dividida pela resistência 
ܫ ൌ
ߝ
ܴ
                                                   
O modulo da fem induzida é dado pela lei de Faraday 
  197
 
Figura 10.6 
ߝ ൌ
݀߶௠
݀ݐ
                                               
Quando a bobina está se movendo para a direita (ou para a esquerda), o 
fluxo não varia (até que a bobina deixe a região do campo magnético). A 
corrente é, portanto nula, ܫ ൌ 0. 
( b) O fluxo é o produto de B e a área, que é dada por ሺ20 ܿ݉ሻݔ, ou seja 
߶݉ ൌ ܰܤሺ20 ܿ݉ሻݔ                                        
Calculando a taxa de variação do fluxo magnético quando a bobina está 
movendo‐se para cima obtemos a expressão 
݀߶௠
݀ݐ
ൌ ܰܤሺ20 ܿ݉ሻ
݀ݔ
݀ݐ
ൌ ሺ80ሻሺ0,8 ܶሻሺ0,20 ݉ሻሺ2 ݉/ݏሻ ൌ 25,6 ܸ 
Daí é possível calcular a corrente na bobina 
ܫ ൌ
ߝ
ܴ
ൌ
25,6 ܸ
30  Ω
ൌ 0,853 ܣ 
Como o  fluxo para dentro está aumentando, a corrente  induzida 
será no sentido de modo a produzir um fluxo para fora, compatível com 
uma corrente circulando no sentido anti‐horário. 
Quando a bobina se move para baixo a 2 ݉/ݏ, a corrente  tem o 
mesmo modulo de quando  se move para  cima, mas  é direcionada de 
forma oposta, sendo portanto ܫ ൌ 0,853 ܣ no sentido horário. 
 
QUESTÕES 
Q1 Uma chapa de cobre é colocada entre os pólos de 
um  eletromagneto  com  o  campo  magnético 
perpendicular  à  chapa. Quando  a  chapa  é  retirada, 
uma  força  considerável  é  exigida,  e  a  força  exigida 
aumenta com a velocidade. Explique. 
Q2  Na  Figura  10.6,  se  a  velocidade  angular  ߱  da 
espira é duplicada, então a  freqüência com a qual a 
corrente  induzida muda de direção duplica, e a  fem 
máxima também duplica. Por quê? O torque exigido 
para girar a espira muda? Explique. 
  198
 
Figura 10.7 
 
Figura 10.8 
Q3 Duas espiras circulares estão lado a lado no mesmo plano. Uma está 
conectada a uma  fonte que alimenta uma corrente em crescimento; a 
outra é um anel  simples  fechado. A  corrente  induzida no anel está na 
mesma direção que a corrente na espira conectada a fonte ou oposta? O 
que acontece se na primeira espira a corrente é diminuída? Explique. 
Q4  Um  condutor  reto,  longo  passa  através  do  centro  de  um  anel 
metálico,  perpendicular  ao  seu  plano.  Se  a  corrente  no  condutor 
aumenta, é induzido corrente no anel? Explique. 
Q5 Um retangulo metalico esta proximo a um fio  longo, reto, portando 
corrente, com dois de deus  lados paralelos ao  fio. Se a corrente no  fio 
longo está diminuindo, o retangulo será repelido por ou atraido para o 
fio? Explique por que este resultado é consistente com a lei de Lenz. 
Q6  Uma  espira  condutora  quadrada  esta  na 
região  de  um  campo  magnético  uniforme, 
constante. Pode  a  espira  ser  girada  em  torno 
de um  eixo  ao  longo de  um  lado  e  nenhuma 
fem ser induzida na espira? Discuta, em termos 
da  orientação  do  eixo  de  rotação  relativo  a 
direção do campo magnético. 
Q7  Um  anel  metálico  está  orientado  com  o 
plano de  sua área perpendicular a um  campo 
magnético espacialmente uniforme que aumenta a uma taxa constante. 
Se o raio do anel é duplicado, por que fator (a) a fem  induzida no anel 
será e (b) o campo elétrico induzido no anel muda? 
 
PROBLEMAS 
P1  Um  cubo  de  aresta  de  comprimento 
݈ ൌ 2,50 ܿ݉  está  posicionado  como 
mostrado  na  Figura  10.7.  Um  campo 
magnético  uniforme  dado  por  ܤሬԦ ൌ
൫5,00ଓ̂ ൅ 4,00ଔ̂ ൅ 3,00 ෠݇൯ܶ  existe  através 
da  região.  (a)  Calcule  o  fluxo  através  da 
  199
 
Figura 10.9 
face sombreada. (b) Qual é o fluxo total através das seis faces? 
P2 Um campo magnético uniforme de modulo 2000 ܩ está paralelo ao 
eixo ݔ. Uma bobina quadrada de lado 5 ܿ݉ tem uma volta simples e faz 
um ângulo ߠ com o eixo z como mostrado na Figura 10.8. Determine o 
fluxo magnético através da bobina quando  (a) ߠ ൌ 0଴,  (b) ߠ ൌ 30଴,  (c) 
ߠ ൌ 60଴, e (d) ߠ ൌ 90଴. 
P3 Uma bobina  circular  possui 25 ݒ݋݈ݐܽݏ  e  um  raio de 5 ܿ݉.  Está no 
equador, onde o campo magnético da Terra é 0,7 G apontando para o 
norte. Determine o fluxo magnetico através da bobina quando seu plano 
está  (a)  na  horizontal,  (b)  na  vertical  com  seu  eixo  apontando  para  o 
norte, (c) vertical com seu eixo apontando para leste, e (d) vertical com 
seu eixo afzendo um ângulo de 30௢ com o norte. 
P4 Um campo magnético de 1,2 ܶ é perpendicular a bobina quadrada de 
14 ݒ݋݈ݐܽݏ.  O  comprimento  de  cada  lado  da  bobina  é  5 ܿ݉.  (a) 
Determine o  fluxo magnético através da bobina.  (b) Determine o  fluxo 
magnético através da bobina se o campo magnético forma um ângulo de 
60௢ com a normal ao plano da bobina. 
P5 Um campo magnético uniforme ܤሬԦ é perpendicular a 
base  de  um  hemisfério  de  raio  ܴ.  Calcule  o  fluxo 
magnético através da superfície esférica do hemisfério. 
P6  Um  fio  longo,  reto  porta  uma  corrente  ܫ.  Uma 
espira  retangular com dois  lados paralelos ao  fio  reto 
possui dois  lados ܽ e ܾ com seu  lado mais próximo a 
uma distancia ݀ do fio reto, como mostrado na Figura 
10.9.  (a)  Calcule  o  fluxomagnético  através  da  espira 
retangular.  (Sugestão: Calcule o  fluxo através de uma 
faixa  de  área  ݀ܣ ൌ ܾ݀ݔ  e  integre  de  ݔ ൌ ݀  a 
ݔ ൌ ݀ ൅ ܽ)  (b)  Avalie  suas  resposta  para  ܽ ൌ  5 ܿ݉,  ܾ ൌ 10 ܿ݉, 
݀ ൌ  2 ܿ݉ e ܫ ൌ 20 ܣ. 
P7  Uma  espira  condutora  está  no  plano  desta  pagina  e  porta  uma 
corrente  induzida  circulando  no  sentido  horário.  Quais  das  seguintes 
afirmativas podem ser verdadeiras? 
  200
 
Figura 10.10 
 
Figura 10.11 
a ) Um campo magnético constante está dirigido para dentro da pagina. 
b) Um campo magnético constante está dirigido para fora da pagina. 
c) campo magnético crescente está dirigido para dentro da pagina. 
d) campo magnético decrescente está dirigido para dentro da pagina. 
e) campo magnético decrescente está dirigido para fora da pagina. 
P8  O  fluxo  através  de  uma  espira  é  dado  por  ߶݉ ൌ ሺݐ
ଶ െ 4ݐሻ ൈ
10ିଵ ܹܾ, onde ݐ está em segundos. (a) Determine a fem induzida 
ߝ como uma  função do  tempo.  (b) Determine ambos ߶݉ e ߝ em 
ݐ ൌ 0, ݐ ൌ 2ݏ, ݐ ൌ 4ݏ e ݐ ൌ 6ݏ. 
P9 Um  solenóide de  comprimento 
igual  a  25 ܿ݉  e  raio  0,8 ܿ݉  com 
400 ݒ݋݈ݐܽݏ  em  um  campo 
magnético  externo  de  600 ܩ  que 
forma  um  ângulo  de  50௢  com  o 
eixo  do  solenóide.  (a)  Determine  o  fluxo magnético  através  do 
solenóide. (b) Determine o modulo da fem  induzida no solenóide 
se  o  campo  magnético  externo  é 
reduzido a zero em 1,4 ݏ. 
P10  Forneça  a  direção  da  corrente 
induzida no circuito da direita na Figura 
10.10  quando  a  resistência  no  circuito 
da  esquerda  é  subitamente  (a) 
aumentado e (b) diminuído. 
P11 As duas espiras circulares na Figura 
10.11  possuem  seus  planos  paralelos  entre  si. Quando  visto  de ܣ  em 
direção a ܤ, existe uma corrente circulando no sentido anti‐horário na 
espira ܣ. Forneça a direção da corrente na espira B e afirme se as espiras 
atraem‐se ou se repelem se a corrente na espira A está (a) aumentando 
e (b) decrecendo. 
P12 Uma espira circular de fio com um raio de 12,0 cm e orientado no 
plano ݔݕ horizontal está localizado em uma região de campo magnético 
  201
uniforme.  Um  campo  de  1,5 ܶ  está  dirigido  ao  longo  da  direção  ݖ 
positivo, que aponta para cima  (a) Se a espira é removida da região de 
campo no  intervalo de  tempo de 2,0 ݉ݏ, determine a  fem media que 
será  induzida na espira de  fio durante o processo de extração.  (b) Se a 
bobina é vista olhando para baixo de cima, a corrente induzida na espira 
no sentido horário ou anti‐horario? 
 
BIBLIOGRAFIA 
 
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200x 
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