LIVRO ELEMENTOS DE MÁQUINAS 1-Ernani Sales Palma

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- ELEMENTOS DE MÁQUINAS I - 
Notas de Aula 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Engenharia Mecânica 
Prof. Dr. –Ing. Ernani Sales Palma 
 
PUC Minas PPUUCC MMiinnaass 
2. Edição - Agosto 2005 
 
 
 
Fatores de Segurança 
 
2
 
ÍNDICE 
 
 
 Assunto Página 
1. Fatores de Segurança................................................................................01 
 
2. Concentrações de Tensões .........................................................................06 
 
3. Carregamento Cíclico - Fadiga.....................................................................08 
 
4. Eixos e Árvores ..........................................................................................16 
 
5. Engrenagens – Conceitos Básicos................................................................34 
 
6. Engrenagens - Dimensionamento ................................................................55 
 
7. Mancais de Rolamento ...............................................................................81 
 
8. Mancais de Deslizamento............................................................................91 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fatores de Segurança 
 
3
1. FATORES DE SEGURANÇA 
 
No dimensionamento de componentes mecânicos e peças a tensão atuante (σ) deve 
ser inferior à tensão admissível (σADM), ou seja: 
ADMσσ ≤ (1.1) 
A tensão atuante deve ser determinada em cada caso, baseando-se nos cálculos de 
resistência dos materiais (Disciplinas: Mecânica dos Sólidos I e II). 
 
A tensão admissível é o máximo valor de tensão que o componente suporta sem que 
haja a falha, considerando-se uma certa margem de segurança. A tensão admissível 
é definida dividindo-se a tensão limite de falha pelo fator de segurança (FS): 
FS
Falha
ADM
σ
σ = (1.2) 
Sabe-se que a tensão limite de falha em materiais dúcteis submetidos a esforços 
constantes é o limite de escoamento (σ0,2). Em materiais frágeis como ferro fundido, 
cerâmicos e concretos, a tensão limite de falha é o limite de resistência à tração ou 
tensão última (σR). Em componentes mecânicos submetidos a esforços cíclicos, ou 
fadiga, a tensão limite de falha é o limite de resistência à fadiga (SN), para a vida (N) 
desejada. 
 
O Fator de Segurança (FS) deve ser determinado através de normas, com base em 
projetos existentes, em indicações tabeladas em livros e/ou revistas especializadas e, 
principalmente, na experiência do projetista. Os seguintes fatores têm grande 
influência no valor do FS: 
• Material da Peça – Dúctil, frágil, homogêneo, especificações bem conhecidas, etc. 
• Esforços atuantes na peça – Constante, variável, modo de aplicação, bem 
conhecida, sobrecargas possíveis, etc. 
• Perigo de vida. 
• Risco de dano do equipamento 
 
O fator de segurança expressa a incerteza existente no projeto. Ele deve refletir as 
incertezas dos modelos utilizados, das teorias de falhas usadas, das propriedades 
Fatores de Segurança 
 
4
mecânicas dos materiais, etc....O Fator de segurança é expresso como uma razão 
entre grandezas de mesma natureza, sendo portanto adimensional. O fator de 
segurança será sempre maior ou igual à unidade. Fator de segurança inferior a um 
significa a existência da falha! 
 
A determinação do FS pode ser auxiliada através da utilização de sub-fatores a, b,c d, 
ou seja: 
abcdFS = (1.3) 
a: Relação de elasticidade - a ≈ σR/σ0,2 .......... a ≈ 1,5 a 2,0 para aços; 
b: Fator que considera o esforço atuante: 
b = 1,0 – Carga constante; 
b = 1,5 a 2,0 – Carga variável sem reversão; 
b = 2,0 a 3,0 – Carga variável com reversão. 
c: Fator que considera o modo de aplicação da carga: 
 c = 1,0 – Carga constante, gradualmente aplicada; 
 c = 2,0 – Carga constante, subitamente aplicada; 
 c > 2,0 – Choque. 
d: Margem de segurança 
d ≈1,5 a 2,0 - Materiais dúcteis; 
d ≈2,0 a 3,0 - Materiais frágeis. 
 
Exemplos de Fatores de Segurança: 
CORRENTES:...................FS ≈ 1,1 a 1,5 
CORREIAS:.......................FS ≈ 1,1 a 1,8 
CABOS DE AÇO 
Pás, Guindastes, Escavadeiras e Guinchos:.............. FS ≈ 5,0 
Pontes Rolantes:......................................................... FS ≈ 6,0 a 8,0 
Elevadores de baixas velocidades (Carga):................ FS ≈ 8,0 a 10,0 
Elevadores de altas velocidades (Passageiros):......... FS ≈ 10,0 a 12,0 
AVIAÇÃO COMERCIAL:... FS ≈ 1,1 a 1,3. 
AVIAÇÃO MILITAR:.......... FS ≈ 1,1 
Fatores de Segurança 
 
5
Pode-se usar o Fator de Segurança de duas maneiras distintas no dimensionamento 
de componentes: 
a) Estimar o FS no início e determinar a tensão ou força admissível. 
Exemplo: Um cabo de aço 6x37 (plow steel), diâmetro ½”, tem uma carga de 
ruptura mínima efetiva igual a 104100 N. Este cabo será usado em uma ponte 
rolante. Será usado FS = 7,0. A força admissível será: Fadm = 104100/7,0 = 
14871,4 N. 
b) Determinar o FS no final e verificar se está adequado. 
Exemplo: A tensão atuante em um cabo de aço de um elevador de 
passageiros é de 1550 MPa. O limite de resistência do cabo de aço (retirado 
de catálogo do fabricante) é igual a 3880 MPa. FS = 3880/1550 = 2,50. Um 
FS=2,50 é adequado para esta aplicação? 
 
EXEMPLO FINAL DE DETERMINAÇÃO DO FS: Uma barra cilíndrica de uma 
roldana que atuará em uma ponte rolante deve ser fabricada com aço ABNT 1055 (σR 
= 725 MPa; σ0,2=485 MPa). A roldana eleva uma carga de aproximadamente 20 kN, 
gradualmente aplicada. Estimativa do fator de segurança: FS=a.b.c.d 
a ≈ σR/σ0,2 = 725/485 = 1,49 
b ≈ 2,0 – Carga variando de zero até um máximo. 
c ≈ 1,5 – Carga gradualmente aplicada. 
d ≈ 1,5 – Condições de funcionamento conhecidas; material dúctil. 
 
FS = 1,49.2,0.1,5.1,5 = 6,7 
 
Códigos de Projetos e Associações técnicas: Algumas associações de engenharia 
e/ou agências governamentais desenvolveram códigos de projetos e/ou normas de 
aplicações específicas. Alguns destes códigos são recomendações, outras têm valor 
legal. Exemplos destes organismos: 
• Associação Brasileira de Normas Técnicas - ABNT 
• American Gear Manufacturers Association – AGMA – Normaliza dimensionamento 
de engrenagens. 
• American Iron and Steel Institut – AISI – Normaliza aços. 
• American Society of Testing and Materials – ASTM – Normaliza propriedades 
mecânicas e ensaios de materiais. 
• American Welding Society – AWS – Normaliza procedimentos e propriedades de 
juntas soldadas. 
 • International Standard Organization – ISO – Normas técnicas variadas. 
• American Society of Mechanical Engineers – ASME – Vários códigos de projetos, 
principalmente vasos de pressão. 
 
Elementos de Máquinas I – Concentração de Tensões 6
2. CONCENTRAÇÕES DE TENSÕES 
 
Através da resistência dos materiais pode-se calcular as tensões atuantes em um 
determinado componente mecânico. A tensão atuante na peça da Figura (2.1) é 
σ=F÷A, onde F é a força atuante na seção transversal de área A. Pode-se considerar 
que a tensão atuante é a mesma em toda a secção transversal. 
 
 F 
 
 
Fig. 2.1: Tensão atuante em uma barra de secção quadrada 
 
Normalmente as peças e componentes mecânicos possuem descontinuidades ou 
mudanças na sua forma. Em conseqüência surgem picos de tensões com valores 
superiores à tensão média calculada anteriormente. Nestes casos diz-se que houve 
concentração de tensões. Qualquer tipo de descontinuidade provoca esta 
concentração de tensões: Furos, rasgos de chavetas, montagens com interferência, 
rugosidade superficial, rebaixos, mudança de forma, etc...Na Figura (2.2) aparece 
uma concentração de tensões devido à mudança da forma da peça. A tensão nominal 
(σNOM) continua tendo o mesmo valor da força calculada na Fig. (2.1), já que a menor 
área continua sendo A. Entretanto, devido à descontinuidade provocada pela 
mudança de forma, aparece nesta região picos de tensões com um valor (σMÁX), 
cujo valor é bem maior que o valor calculado anteriormente. 
 
F 
 
 
 
 
Fig. 2.2: Concentração de tensão em uma barra de secção quadradaA tensão máxima é calculada usando-se o fator de concentrações de tensões Kt, 
ou seja: 
Elementos de Máquinas I – Concentração de Tensões 7
nomtMÁX K σσ = (2.1) 
 
O fator de concentrações de tensões Kt é determinado usando-se figuras e/ou 
equações. Hoje em dia os valores dos fatores de concentração de tensões estão 
disponíveis em vários livros. Recomenda-se especialmente o livro Stress 
Concentration Design Factors, R. E. Peterson, Editora John Wiley. 
 
Os fatores de concentração de tensões dependem apenas da geometria da peça e do 
tipo de carregamento. A Figura 2.3 mostra um exemplo de determinação do fator Kt 
para uma peça submetida ao momento fletor M (Figura A) e força axial P (Figura B). 
 
 
 
Fig. 2.3 A 
 
 
 
 
 
 
Fig. 2.3 B 
 
 
 
Fig. 2.3: Exemplo de figuras para determinação do fatores de concentração de tensão 
 
Existem vários livros que têm figuras para determinação dos fatores de concentração 
de tensões. Os livros indicados na bibliografia da disciplina têm ótimas figuras: 
Shigley e Norton. 
 
 
 
Elementos de Máquinas I – Carregamento Cíclcio - FADIGA 8
3. CARREGAMENTO CÍCLICO - FADIGA 
 
3.1 Introdução 
 
Em geral, os componentes mecânicos estão submetidos a esforços que variam com o 
tempo. Estes esforços podem provocar a falha através da fadiga no material. A falha 
por fadiga consiste na nucleação e posterior propagação de trincas. Geralmente esta 
falha ocorre com tensões atuantes inferiores ao limite de resistência ao escoamento 
do material. 
 
Existem basicamente três metodologias distintas para o dimensionamento à fadiga de 
um componente: Fadiga controlada por tensão (ou fadiga de alto ciclo), fadiga 
controlada por deformação (ou fadiga de baixo ciclo) e mecânica de fratura aplicada à 
fadiga. Neste curso será visto apenas a primeira metodologia. 
 
A metodologia de fadiga controlada por tensão baseia-se nas curvas S-N (ou curvas 
de Wöhler) do componente. Esta metodologia é bastante adequada quando as 
seguintes condições são verificadas: 
• A tensão atuante é inferior ao limite de resistência ao escoamento do material, ou 
seja, σEXT < σ0,2. 
• A vida prevista é longa. Em geral N>103 ciclos; 
• A amplitude dos Esforços é previsível; 
Exemplos de componentes onde se aplica esta metodologia: Eixos, engrenagens, 
molas; 
 
A vida necessária ao componente deve ser calculada ou avaliada. Segue abaixo um 
exemplo de determinação de vida de um virabrequim de automóvel: 
Vida esperada do carro ≈ 150.000 km; 
Raio do Pneu ≈ 290 mm; 
Comprimento =π.580= 1822,12mm = 1822X10-6 km; 
1 Rotação pneu 1822X10-6 km 
n Rotações pneu 1 km 
n = 549 rpm/km. Para N=150.000 km n= 549 x150.000 = 8,2x107 Rotações 
Relação típica: nENT/nSAIDA=3x1 nVIRABREQUIM= 2,5x108 Rotações 
 
A vida necessária ao virabrequim será de aproximadamente 250 milhões de 
ciclos. Isto significa vida infinita. 
 
Elementos de Máquinas I – Carregamento Cíclcio - FADIGA 9
Mecanismo de falhas por fadiga: As trincas de fadiga iniciam na grande maioria dos 
casos na superfície do componente. Estas trincas podem ser nucleadas durante o 
serviço ou podem estar presentes no material usado na fabricação. 
 
As trincas iniciam em imperfeições ou descontinuidades do material, ou seja, em 
locais onde haja concentrações de tensões. Existem três estágios básicos: 
nucleação, propagação estável da trinca e fratura brusca devido à propagação 
instável da trinca. Um eixo que falhou por fadiga está mostrado na Fig. 3.1. A trinca 
foi nucleada no rasgo da chaveta. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fig. 3.1: Eixo rompido por fadiga 
 
3.2 Forças e Tensões Cíclicas 
 
A fadiga é causada por forças atuantes em componentes mecânicos que variam com 
o tempo. Existem várias possibilidades distintas de variação da força ou tensão 
atuante com o tempo, como está mostrado na Fig. 3.2. 
 
σa
Te
ns
ão
 (M
Pa
) 
σMÍN 
σMÁX 
∆σ
t (s) 
t (s) σMÍN = 0 
σa
Te
ns
ão
 (M
Pa
) 
σMÁX 
∆σ
Fig. 3.2: Tensões variáveis com o tempo: Tensão média nula e tensão média distinta 
de zero. 
Elementos de Máquinas I – Carregamento Cíclcio - FADIGA 10
Equações Básicas: 
2
MÍNMÁX
a
σσσ −= 2
MÍNMÁX
m
σσσ += (3.1) 
σm = Tensão média; σa = Tensão alternada; 
 
3.3 Curva S-N 
 
Esta curva relaciona a tensão alternada aplicada com a vida co componente em 
números de ciclos. Geralmente estas curvas são produzidas para tensões médias 
nulas. A curva S-N de um aço AISI 8620 está mostrada na Fig. 3.3 
 
1E+3 1E+4 1E+5 1E+6 1E+7
Number of Cycles (N)
100
150
200
250
300
350
400
Al
te
rn
at
in
g 
St
re
ss
 (M
Pa
) P = 1% 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fig. 3.3: Curva S-N de uma aço AISI 8620 (Dissertação de Mestrado PUC Minas – 
Álvaro Alvarenga Jr. e Ernani S. Palma) 
 
A resistência à fadiga diminui com o aumento da vida ou do número de ciclos. Em 
alguns materiais como aços e ferro fundidos ocorre a formação de um cotovelo entre 
aproximadamente 106 e 107 ciclos. Este ponto define o limite de resistência à fadiga 
do material para vida infinita. Tensões alternadas inferiores a este limite não provoca 
dano por fadiga e o material poderá ser submetido a um número infinito de ciclos sem 
que ocorra a falha. 
 
Porém, nem todos os materiais apresentam um limite de resistência à fadiga bem 
definido. Alumínio e suas ligas são exemplos deste grupo de materiais. Neste caso 
Elementos de Máquinas I – Carregamento Cíclcio - FADIGA 11
define-se a resistência à fadiga como sendo o valor de tensão alternada 
correspondente à vida de 108 ciclos. 
A curva S-N pode ser modelada pela equação: 
b
n aNS = (3.2) 
bSa m 3−= )log()log( 





−=
e
m
S
Sb log
3
1
 Sm = 0,9σR ou Sm = 0,75σR 
A resistência à fadiga torcional (SfS) será aproximadamente 58% do valor da 
resistência à fadiga à flexão (Sf), ou seja, SfS = 0,577Sf. 
 
3.4 Influência da Tensão média na Resistência à Fadiga 
 
A influência da tensão média na resistência à fadiga está mostrada na Fig. 3.4. 
Tensões médias positivas (de tração) diminuem a resistência à fadiga. Ao contrário, 
tensões médias de compressão tendem a aumentar a resistência à fadiga. Existem 
vários modelos que determinam a influência da tensão média. Os mais usados são: 
Goodman: FSSS ut
m
n
a 1=+
σσ
 (3.3a) 
 
Gerber: FSSS ut
m
n
a 1
22
=





+




 σσ
 (3.3b) 
 
Nesta disciplina será usado apenas o modelo de Goodman, mostrado na Fig. 3.5. 
 
Goodman
Gerber
σa 
σm 
Sn 
σR 
σa 
σm 
 
Para σm = 0 σa = Sn 
Para σm > 0 σa ≤ Sn 
 
 
 
 
 
Elementos de Máquinas I – Carregamento Cíclcio - FADIGA 12
Fig. 3.5: Diagrama de vida constante 
 
Exemplo: Um aço tem um limite de resistência à fadiga Se=400 MPa, Limite de 
resistência à tração = 1200 MPa. Qual o maior valor da tensão alternada que ele 
suportaria, para ter a mesma vida e com FS=1, se estivesse atuando a tensão σm= 
80 MPa? 
FSSS ut
m
n
a 1=+
σσ
 
1
1
1200
80
400
=+a
σ
 σa ≤ 133,33 MPa 
 
Limite de Resistência à Fadiga Teórico (S’e) 
 
O limite de resistência à fadiga teórico (S’e) pode ser aproximado através dos 
seguintes valores: 
 
AÇOS: 
S’e ≈ 0,5σR ⇒ σR < 1400 Mpa 
S’e ≈ 700 MPa ⇒ σR ≥ 1400 Mpa 
 
FERRO FUNDIDO: 
S’e ≈ 0,4σR ⇒ σR < 400 Mpa 
S’e ≈ 160 MPa ⇒ σR ≥ 400 Mpa 
 
O limite de resistência à fadiga teórico (S’e) deve ser corrigido por diversos fatores de 
correção, obtendo-se o limite de resistência à fadiga (Se). 
RTSGLe CCCCCSSe ...
'= (3.4) 
Fator de carregamento (CL) 
Flexão alternada e Torção CL = 1,0 
Forças Axiais CL= 0,7 
 
Fator de Tamanho (CG) 
d ≤ 8 mm - CG = 1,0 
8 ≤ d ≤ 250 mm - CG = 1,189.(d-0,097) (d) em milímetros (mm). 
d > 250 mm - CG = 0,6 
 
Secções distintas da circular: Calcular o diâmetro equivalente - dequiv 
07660
95
,
A
dequiv = A95 = tabelada para várias secções transversais 
Exemplo: Retângulo com lado (b) e altura (h) - A95 = 0,005.b.h 
 
 
Elementos de MáquinasI – Carregamento Cíclcio - FADIGA 13
Fator de Acabamento Superficial (CS) 
Determinado pelo processo de fabricação 
( )bRS AC σ= σR = Limite de resistência à tração (3.5) 
 
Acabamento superficial: Esmerilhado Usinado ou Laminado Forjado 
 Estampado a Quente 
A (MPa) 1,58 4,51 57,7 272 
b -0,085 -0,265 -0,718 -0,995 
 
Fator de Correção da Temperatura (CT) 
CT = 1,0 Para T ≤ 450 0C 
CT = 1 – 0,0058(T-450) Para 450 ≤ T ≤ 550 0C 
 
Fator de Correção da Confiabilidade (CR) 
Confiabilidade (%) 50 90 99 99,9 99,99 
CR 1,0 0,897 0,814 0,753 0,702 
 
3.5 Efeito de Entalhes 
1
1
−
−
=
t
f
K
Kq Kf = Fator de concentração de tensões em fadiga 
 Kt = Fator de concentração de tensões geométrico 
r
a
q
+
=
1
1
 r = raio do entalhe (mm) 
Parâmetro (a): 
 
σR (MPa) 345 380 414 483 552 620 685 
a (mm) 0,655 0,595 0,544 0,469 0,403 0,352 0,312 
σR (MPa) 758 896 1103 1379 1655 
a (mm) 0,277 0,222 0,156 0,091 0,045 
 
 
 
Elementos de Máquinas I – Carregamento Cíclcio - FADIGA 14
3.6 Tensões multiaxiais 
 
Calcular as tensões equivalentes alternadas (σeqa) e médias (σeqm) através da 
equação de von Mises: 
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) 







 +++++=








 +++++=
−−−
−−−
τττσσσσσσσ
τττσσσσσσσ
222222
222222
6
2
1
6
2
1
yzmxzmxymeqm
yzaxzaxyaeqa
zmymzmxmymxm
zayazaxayaxa
 
PROPRIEDADES MECÂNICAS DE ALGUNS MATERIAIS 
 
SAE/AISI Condição σ0,2 [Mpa] σR [Mpa] 
AÇOS (E = 206,8 GPa, ρ = 7,8 Mg/m3) 
1020 Laminado a quente 207 379 
 Laminado a Frio 393 469 
1040 Laminado a quente 290 524 
 Normalizado (900 0C) 372 593 
 Laminado a Frio 490 586 
 Temper. e Reven. (650 0C) 434 634 
 Temper. E Reven. (200 0C) 593 779 
4130 Normalizado (900 0C) 434 669 
 Temper. e Reven. (650 0C) 703 814 
 Temper. e Reven. (450 0C 1193 1282 
4340 Temper. e Reven. (650 0C) 855 965 
 Temper. e Reven. (450 0C) 1365 1469 
 Temper. e Reven. (320 0C) 1586 1724 
ALUMÍNIO (E = 71,7 GPa, ρ = 2,8 Mg/m3) 
2024 Chapa recozida 76 179 
 Tratada Termicamente 290 441 
6061 Chapa recozida 55 124 
 Tratada Termicamente 276 310 
7075 Barra recozida 103 228 
 Tratada Termicamente 503 572 
A132 Fundido–Tratatamento 
Térmico -(170 0C) 
296 324 
 
 
 
 
 
 
 
 
Elementos de Máquinas I – Carregamento Cíclcio - FADIGA 15
EXERCÍCIOS 
1 Considere uma peça de secção transversal quadrada de lado = a. Esta peça está 
submetida às forças axiais que variam de –2 kN até 12 kN. O material desta peça 
foi fabricado com um aço com: 
Limite de escoamento σ0,2 = 600 MPa; 
Limite de resistência à tração σR = 920 MPa; 
Estime o valor da resistência à fadiga desta peça. Explique o valor de cada fator 
de correção utilizado para esta estimativa. 
1.1) Determine o lado (a) desta peça para que ela tenha vida infinita. 
Considere fator de segurança S = 1,5. 
 1.2) Considere o lado (a) igual a 90% do valor calculado no item anterior. 
Determine a vida da peça com este novo lado. Considere fator de segurança S 
= 1,5. 
 
2. Considere o eixo da Figura abaixo, o qual está submetido a uma força de 6.800 N. 
Este eixo terá uma rotação de 850 rpm. 
- Selecione um material para este eixo. Estime o limite de resistência à fadiga para 
vida infinita (Se). 
- Determine os esforços atuantes. Faça o diagrama de momentos fletores. 
- Determine os valores dos momentos atuantes nos pontos: B – C – E; 
- Determine as tensões atuantes nestes pontos. Determine o ponto crítico, ou seja, 
aquele em que atua o valor máximo da tensão. 
- Determine se o eixo terá vida infinita. Justifique! Se não tiver, determine a vida do 
eixo. 
 
φ38
φ35 φ32 
100 75 125 mm250 mm 
6,8 kN 
D 
C E B 
A 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3. Considere a viga de secção transversal quadrada ou retangular da figura abaixo. 
Sobre a extremidade desta viga atuará uma massa (M). Esta massa poderá variar 
ciclicamente entre zero e 100 kg. Selecione um material para esta viga. Estime o 
limite de resistência à fadiga para vida infinita (Se).Determine as dimensões desta 
viga para que ela tenha vida infinita. Quais seriam as dimensões, se a vida fosse 
igual a 4x104 ciclos? 
 
0,7 m
M 2,0 m 
 
 
 
 
 
Elementos de Máquinas I – Eixos, Árvores e Acessórios 16
4. EIXOS, ÁRVORES E ACESSÓRIOS 
 
4.1 Introdução 
 
Eixos são elementos de máquinas que têm função de suporte de outros componentes 
mecânicos e não transmitem potência. As árvores, além de suporte, transmitem 
potência. Geralmente, na prática, usa-se apenas o termo eixo para denominar estes 
componentes. 
 
Os materiais mais utilizados na fabricação de eixos e árvores são (DIN 1611 e 
DIN17210): 
Aços-carbono: ABNT 1025 (St42,11) – 1035 (St50,11) 
ABNT 1045 (St60,11) – 1060 (St70,11) 
Aço-liga: ABNT 4120 (20 Mn Cr4) – 4130 (25 Mo Cr4) – 6150 (50 Cr V4) 
 
Os esforços atuantes em eixos e árvores são: Momento fletor, momento torçor, força 
cortante e força axial (estáticos e/ou cíclicos). 
Caso mais comum: Árvore transmitindo potência em regime. 
Torque constante: Tensão cisalhante média (τm) 
Flexão alternada: Tensão normal alternada (σa) com σm = 0. 
Caso mais geral: Árvore transmitindo potência com esforços variáveis. 
 Momento fletor: Tensão normal - σa e σm ≠ 0. 
 Momento torçor (T): Tensão cisalhante - τa e τm ≠ 0. 
 Força axial: Tensão normal - σa e σm ≠ 0. 
 
Os critérios de dimensionamento dos eixos e árvores são: 
Resistência - Deflexão lateral e angular - velocidade crítica 
 
4.2 Análise de tensões atuantes em eixos e árvores 
 
Potência (P) transmitida pela árvore: P = T.w [W] = [N.m][rad/s] 
 P = F.v [W] = [N]. [m/s] 
w = velocidade angular - v = Velocidade tangencial 
Elementos de Máquinas I – Eixos, Árvores e Acessórios 17
Conversão de unidades de potência: 
1 HP = 745,7 W = 0,745 kW 
1 CV = 735,5 W = 0,7355 kW 
 
Tensões atuantes em eixos e árvores com seção transversal circular e com diâmetro 
(d). 
Flexão – Momento fletor (Ma e Mm) – Provocam tensão normal σa e σm 
3
32
d
Mk afa
π
σ =
 (4.1) 
3
32
d
Mk mtm
π
σ =
 
 
Torção - Momento torçor (Ta e Tm) – Provocam tensão cisalhante τa e τm 
3
16
d
Tk afa S π
τ =
 (4.2) 
3
16
d
Tk mfm m π
τ =
 
 
Força Axial 
2
4
d
FK
mfm π
σ =
 (4.3) 
4.3 Dimensionamento de árvores baseando-se na resistência 
 
O objetivo deste dimensionamento consiste em determinar o diâmetro mínimo 
necessário à árvore para que ela suporte os esforços atuantes. 
 
4.3.1) Caso I: Flexão alternada simétrica e torção constante 
Árvore transmitindo potência em regime: 
Elementos de Máquinas I – Eixos, Árvores e Acessórios 18
Torque constante - Tm≠0 - Tensão cisalhante média distinta de zero (τm ≠ 0 e τa = 0). 
Flexão alternada - Ma≠0 -Tensão normal alternada distinta de zero (σa ≠ 0 e σm = 0). 
 
Cálculo do diâmetro (d) da árvore: 
3
1
2
1
2
20
2
4
332




























+





=
,
.
σπ
m
mF
e
a
F
TK
S
MKFSd (4.4) 
 
4.3.2) Caso II: Flexão e torção flutuantes 
 
Árvore transmitindo potência com variações no momento fletor e no torque, além da 
presença de forças axiais: 
Torque variável - Tensões cisalhantes distintas de zero (τm ≠ 0 e τa ≠ 0). 
Flexão alternada - Tensões normais distintas de zero (σa ≠ 0 e σm ≠ 0). 
Força Axial – Tensões normais distintas de zero (caso mais comum somente a 
componente média é distinta de zero). 
 
Determinação do diâmetro (d) da árvore: 
i) Determinar separadamente todos os valores de tensões médias e de 
tensões alternadas. 
ii) Calcular as tensões equivalentes de von Mises (σ’a e σ’m). 
 
222 3 xyayaxayaxaa τσσσσσ +−+=′ (4.5) 
222 3 xymymxmymxmm τσσσσσ +−+=′ 
iii) Usar as tensões as tensões equivalentes de von Mises (σ’a e σ’m) no 
diagrama de Goodman (Equação 3.5a – página 18). 
iv) Para os casos onde a força axial é nula e relação entre tensão alternada 
e tensão média for constante (σ’a÷σ’m = CTE), o diâmetro (d) pode ser 
deduzido da Equação de Goodman: 
Elementos de Máquinas I – Eixos,Árvores e Acessórios 19
( ) ( ) ( ) ( )
3
1
2222
4
3
4
3
32


























+
+
+
=
R
mfsmmfm
e
afsaf TKMK
S
TKMKFSd
σπ
.
 Eq. (4.6) 
4.4 Dimensionamento de árvores baseando-se na deflexão 
 
A árvore é uma viga de secção transversal circular que sofre deflexão transversal. 
A árvore também é uma barra de torção que sofre deflexão angular. 
Ambos os modos de deflexão devem ser analisados! 
 
4.4.1) Deflexão Transversal de Árvores (δ) 
 
Deve-se determinar a equação da linha elástica do eixo/árvore: I = Momento de 
inércia da seção transversal, C1 e C2 são constantes de integração. Estas constantes 
são determinadas em função das condições de contorno do problema. θd é a 
declividade. 
EI
M
dx
yd
=
2
2
 
21 CxCdxEI
M
++= ∫∫δ (4.7) 
 
1CdxEI
M
d += ∫θ 
 
Em livros de resistência dos materiais existem vários casos resolvidos, com os 
valores da deflexão transversal (δ) e da declividade (θd) calculados. Exemplo: 
Resistência dos Materiais, F. P. Beer, E. Russel and Johston, Editora Makron, 3. 
Edição – Pág 1198, apêndice D: 
Elementos de Máquinas I – Eixos, Árvores e Acessórios 20
 
 
Elementos de Máquinas I – Eixos, Árvores e Acessórios 21
4.4.2) Deflexão Angular de Árvores (θ) 
 
A deflexão angular em árvores ocorre devido ao torque aplicado (T). L é o 
comprimento da árvore, G é o módulo de elasticidade transversal e J é o momento 
polar de inércia da seção transversal 
 
GJ
TL
=θ
 (4.8) 
A constante elástica torsional (Kt) pode ser obtida através da Eq. (4.8): 
L
GJTKt == θ (4.9) 
Em árvores escalonadas com várias seções transversais, tem-se: 






++=++=
n
n
n J
L
J
L
J
L
G
T
2
2
1
1
21 θθθθ (4.10) 
 
4.5 Dimensionamento de árvores baseando-se na velocidade crítica 
 
Todos os sistemas mecânicos apresentam uma série de freqüências naturais, nas 
quais eles vibram com amplitudes elevadas. Os eixos e árvores rotativos giram com 
velocidades angulares e em conseqüência apresentam deflexões laterais e 
angulares, como visto anteriormente. 
 
Os eixos e árvores submetidos a carregamentos externos irão vibrar nesta freqüência 
externa de excitação. Ao contrário, se um eixo for submetido a uma pancada 
(carregamento transiente) ele irá vibrar em sua freqüência natural, caracterizando 
uma vibração livre. Esta vibração livre tende a se anular com o tempo devido ao 
amortecimento do sistema. Se a excitação externa (carregamento externo, rotações, 
etc) for mantido, o eixo e/ou árvores vibrarão nesta freqüência forçada. 
 
Elementos de Máquinas I – Eixos, Árvores e Acessórios 22
Se a freqüência forçada coincidir com uma das freqüências naturais do sistema (ou 
do eixo), a amplitude de vibração poderá atingir valores muito elevados e poderá 
provocar a sua falha. Diz-se que o sistema entrou em ressonância. 
 
As freqüências naturais (ωn, fn ou nc) podem ser calculadas pelas expressões: 
máx
n
g
m
k
δ
ω == [rad/s] 
 
máx
n
g
m
kf
δππ 2
1
2
1
== [Hz] (4.11) 
 
máx
c
g
m
kn
δππ
3030
== [rpm] 
K = Constante de elasticidade ou de rigidez do sistema; (K = W/ δmáx); W = m.g; 
m = massa; 
g = Aceleração da gravidade (9,81 m/s2); 
δmáx = flecha provocada pelo peso (W). Veja figura abaixo 
 
 
δmáx 
 
 
Peso W 
 
 
As freqüências naturais são propriedades físicas do sistema mecânico (eixo, árvore), 
que uma vez construído, manterá sempre as mesmas, a não ser que sua massa ou 
sua constante de elasticidade mude ao longo de sua vida útil. As equações (4.11) 
definem as freqüências naturais de sistemas não amortecidos. Os amortecimentos 
reduzem estes valores de freqüências naturais. Eixos, árvores, engrenagens 
Elementos de Máquinas I – Eixos, Árvores e Acessórios 23
possuem amortecimentos característicos. Porém, os valores de freqüências naturais 
não amortecidas podem ser usados com uma pequena margem de erro. 
 
As freqüências das excitações externas de eixos e árvores devem ser mantidas 
abaixo da primeira freqüência natural, com uma margem de segurança. Em outras 
palavras, a rotação máxima de uma árvore deve ser de 3 a 4 vezes inferior à sua 
freqüência natural 
 
Vibração Lateral de Eixos e Árvores – Método de Rayleigh: Este método permite uma 
determinação aproximada do valor real das freqüências naturais de eixos e árvores. 
Como exemplo considere uma árvore com várias massas (mi - engrenagens, polias, 
etc.), cada uma provocando uma deflexão (δi), como mostrado na figura abaixo. 
 
 
W3 W1 
δ3 δ1 
W2 
δ2 
 
 
 
 
As freqüências naturais podem ser calculadas pelas Equações (4.12) 
 
∑
∑
∑
∑
=
=
=
= == n
i ii
n
i ii
n
i ii
n
i ii
n
W
W
g
m
m
g
1
2
1
1
2
1
δ
δ
δ
δ
ω 
 (4.12) 
∑
∑
∑
∑
=
=
=
= == n
i ii
n
i ii
n
i ii
n
i ii
c
W
W
g
m
m
gn
1
2
1
1
2
130
δ
δ
δ
δ
π 
 
Velocidade Crítica para eixos e árvores somente com peso próprio: 
 
δmáx 
 
Elementos de Máquinas I – Eixos, Árvores e Acessórios 24
máx
c
gn
δ4
5
= (4.13) 
4.6 Chavetas 
 
As normas ASME e DIN definem chavetas como uma peça desmontável, que quando 
assentada a um rasgo produz a transmissão de potência (ou torque) entre a árvore e 
o elemento associado por esta conexão. As chavetas são normalizadas para diversos 
perfis e tamanhos. 
 
Tipos de Chavetas: 
Retas ou Planas: São as mais comuns. Possuem secção transversal retangular. 
 Dimensões são constantes ao longo do perfil. 
 Mais usual em aplicações com torque em um sentido único. 
 
 
Norma DIN 6885 
 
Inclinadas: Possuem secção transversal retangular. 
 Largura é constante ao longo do perfil. 
 Altura varia linearmente com o comprimento 
 Mais usual em aplicações com torque em um sentido único. 
 
 Norma DIN 6886 
 
Inclinada com cabeça: 
 
 
Norma DIN 6887 
 
 
 
Woodruff Apresentam secção transversal circular. 
ou Meia lua: Tem menores fatores de concentração de tensões. 
Usadas em máquinas ferramentas e indústria automotiva. 
 Usadas em árvores com d ≤ 60 mm (2 ½”). 
 Podem ser retas ou inclinadas. 
Normalização ANSI – XXYY – YY=Diâmetro nominal em 1/8”; 
XX= Largura nominal em 1/32”. Exemplos: Chaveta 806: 
Diâmetro nominal = 6/8”; Largura= 8/32”. Chaveta No 1208 – 
diâmetro nominal = 8/8”; Larg. Nominal = 12/32”. 
 
 
 
 
Norma DIN 6888 – Reta 
 
Elementos de Máquinas I – Eixos, Árvores e Acessórios 25
 
Chaveta Woodruff na árvore: 
 
 
 
 
 
 
Tr 
FT 
FT 
b 
h 
 
4.6.1) Dimensionamento de chavetas 
 
A força externa atuante é a força tangencial (FT). 
Esta força provoca uma tensão de cisalhamento 
na superfície (b.l) da chaveta. 
bl
F
A
F T
cis
T ==τ
 (4.14) l
rFT T .= 
blr
T
=τ 
 
Torque (T) que a chaveta suporta: 
blrT τ= 
A pressão de contato entre o cubo e a chaveta provoca uma tensão de 
esmagamento– Eq. (4.15): 
 
( )11 thlr
T
thl
F
A
F T
esm
T
d −
=
−
==
)(
σ
 
l 
 
(4.15) 
 
Elementos de Máquinas I – Eixos, Árvores e Acessórios 26
O dimensionamento consiste em determinar o comprimento (l) ou o número 
necessário de chavetas. 
 
- Materiais usados em chavetas: Aços ABNT 1050 e ABNT 1060 ( st60 ou st80). 
Tensão de esmagamento ≈ 100 MPa; 
Tensão admissível ao cisalhamento ≈ 60 MPa; 
 
- Os comprimentos das chavetas devem ser inferiores a 1,5 vezes o diâmetro da 
árvore (l ≤ 1,5d). Caso o comprimento necessário seja superior a este limite: Usar 
duas ou mais chavetas, defasadas de 900 entre si. 
 
As tabelas abaixo servem como referência para determinação das dimensões das 
secções transversais de chavetas: 
 
Tab. 4.1: Chavetas com secções quadradas ou retangulares (órgão de Máquinas, 
Carvalho e Moraes, LTC) 
Diâmetro da árvore (mm) Secção (bxh) (mm) Torque (kg.cm/mm) 
10-12 4x4 10-12 
12-17 5x5 13-22 
17-22 6x6 26-33 
22-30 8x7 38-52 
30-38 10x8 60-76 
38-44 12x8 76-88 
44-50 14x9 100-115 
50-58 16x10 130-150 
58-65 18x11 160-180 
65-75 20x12 200-230 
75-85 22x14 260-300 
85-95 25x14300-330 
95-110 28x16 380-440 
 
 
 
 
Elementos de Máquinas I – Eixos, Árvores e Acessórios 27
Tab. 4.2: Chavetas Woodruff (órgão de Máquinas, Carvalho e Moraes, LTC) 
 
 
 
Elementos de Máquinas I – Eixos, Árvores e Acessórios 28
CONCLUSÃO 
 
REGRAS GERAIS PARA PROJETO DE EIXOS E ÁRVORES 
• Dimensionar a árvore baseando-se na sua resistência. Determinar o diâmetro (d). 
• Determinar a deflexão transversal. Existem limites máximos para os valores de 
deflexões transversais. Fixação de Engrenagens - δ ≤ 0,13mm. 
• Determinar a deflexão angular. Existem limites máximos para os valores de 
deflexões angulares. Exemplos: Fixação de Engrenagens - θ ≤ 0,030. Mancais 
de Rolamentos NÃO auto-compensadores - θ ≤ 0,040. 
• Determinar a freqüência natural da árvore. fNAT > 3-4 fMAX EXCITAÇÃO. 
• Se possível, evitar colocar concentradores de tensões (rasgos de chavetas, 
mudanças de seções, etc.) próximo dos locais onde o momento fletor é máximo. 
• Se a deflexão transversal é essencial, ou seja, é o critério de dimensionamento da 
árvore, devem ser usados aços de baixo carbono. Eles são mais baratos que os 
aços ligados e possuem módulo de elasticidade (E) de valores semelhantes. 
• Dimensionar as chavetas e acoplamentos necessários. 
• Selecionar o Acoplamento necessário. 
 
Exercício 
Dimensionamento de uma árvore 
 
A árvore da figura abaixo é para ser dimensionada levando-se em 
consideração a resistência, rigidez e velocidade crítica. A potência é 
transmitida a árvore através de correias chatas na Polia P. A engrenagem G é 
acoplada a um sistema de levantamento de carga (não mostrado na figura). A 
árvore é sustentada por dois mancais de rolamentos . Os seguintes dados são 
conhecidos: 
Potência: 7,5 kW (condição de carga constante, choques moderados); 
Velocidade da árvore: 900 rpm. 
Diâmetro da polia P = 250 mm. 
Diâmetro primitivo da Engrenagem G = 250 mm. 
Peso próprio da polia P = 120 N. 
Peso próprio da engrenagem G = 120 N. 
Relação das forças atuantes na polia P: T1=2,5T2. As forças são 
perpendiculares ao papel. 
As forças atuantes na engrenagem são a força tangencial (FT) e Força Radial 
(FR). 
Elementos de Máquinas I – Eixos, Árvores e Acessórios 29
Ângulo de ação da Engrenagem G: 200. 
Dimensões A=B=C=150mm. 
 
Dimensione a chaveta usada na engrenagem. 
 
As seguintes restrições devem ser obedecidas na determinação do diâmetro D: 
a) A flecha da árvore na engrenagem deve ser menor que 0,025mm. 
b) A declividade (inclinação) da árvore nos dois mancais não pode exceder 
10 (UM GRAU). 
c) A rotação máxima não pode exceder 60% da primeira velocidade crítica 
da árvore. 
 
Ft
T1 PG
T1 
Fr
CBA
D
2D
D
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Considerações: 
1. Os fatores de segurança e fatores de concentração de tensões na árvore 
devem ser determinados. 
2. Especifique o material a ser utilizado na árvore e suas propriedades 
mecânicas. Mostre claramente os fatores utilizados no cálculo da 
resistência à fadiga 
 
 
Na Página seguinte tem um exemplo completo de dimensionamento de eixos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Elementos de Máquinas I – Eixos, Árvores e Acessórios 30
Plano Vertical: Forças Atuantes e diagramas de 
forças cortantes e Momentos Fletores 
DIMENSIONAMENTO DE ÁRVORES E 
EIXOS 
A força resultante na engrenagem FA = 
2700 N, atua fazendo um ângulo de 200 com o 
eixo Y da árvore mostrada na Figura abaixo. A 
árvore é uma barra de seção circular, de aço 
trabalhado a frio SAE1040. O fator de segurança 
deve ser 2,60. Determine o diâmetro desta 
árvore para vida infinita. Determine os valores 
da velocidade crítica, da rigidez lateral e 
torcional. 
CÁLCULO DO TORQUE T 
TA = Fa.cos200.rA = 2700.cos 200.300 
TA = 761151,02 N.mm. 
CÁLCULO DE Fc: 
Fc.Cos200.rc = TA Fc = 6480 N 
CÁLCULO DOS ESFORÇOS 
FORÇAS VERTICAIS (Plano xy) 
FAV = FA.cos20 = 2537,17N 
FCV = FC.sen20 = 221,63N 
ΣMO = 0 RBV = 1126,35 N 
ΣV = 0 ROV = 1189,15 N 
FORÇAS HORIZONTAIS (Plano xz) 
FAH = FA.sen20 = 923,45N 
FCH = FC.cos20 =6089,21N 
ΣMO = 0 RBH = 7267,63 N 
ΣV = 0 ROH = 2101,87 N 
MOMENTOS RESULTANTES: 
MAR = [594597,52+10509352]1/2 = 1207,481,1 N.mm 
MBR = [55407,52+15223022]1/2 = 1523310,01 N.mm 
DIÂMETRO d baseado na resistência: 
3
1
2
1
2
2,0
2
4
3.32




























+




=
σπ
ma
F
F T
Se
M
KNd
 
 
Tm=TA = 761151,02 N.mm; Ma = 1523310,01 N.mm 
Se = 156,57 MPa; σR = 586 MPa; σ0,2 = 489,2 MPa 
 
Assim: d = 63,8 mm 
 
 
MBV = 55407,5N.mm 
MAV = 594597,5N.mm 
A= 55047,5
A= 539190,0 
A= 594597,5
221,63 
1347,98
CB 
A
O
1189,19
FCV=221,63 
FAV=2537,17 
RBV =1126,35
CB A
O
RoV =1189,19 
Plano Horizontal: Forças Atuantes e diagramas: 
Forças cortantes e Mom. Fletores 
 
A= 471366,8 
A= 1050,945
2101,87
A
B C
6089,20
A=1522302
MBV =1522302N.mm 
MAV = 1050935.mm 
O
1178,42 
FCH=6089,21 
FAH = 923,45 
RBH =7267,63
CB A
O
RoH =2101,87 
 
 
Elementos de Máquinas I – Eixos, Árvores e Acessórios 31
Dimensionamento baseado na Rigidez 
δ2VEI = Z4EI - Z2EI = 65,23-24,8 = 40,43 Nm3 Plano vertical (xy) 
δ2V = 40,43/(EI) = 40,43/ (170,1x103 Nm2); 
A1 = 146,65 m2; A2 = 22,16 m2; 
A3 = 107,84 m2; A4 = 6,93 m2 
a) Z1EI = Q1 + Q2+ Q3 (em relação ao eixo que 
passa pelo ponto B) 
Z1EI=[148,65(0,5/3+0,4)]+[22,16.0,2]+[107,84.
2/3.0,4] 
Z1EI = 84,2 + 4,43 + 28,76; Z1EI = 117,42 Nm3 
b) Z2EI = Q1 (em relação ao eixo que passa pelo 
pto. A) 
Z2EI=[148,65.(0,5/3)] Z2EI = 24,8 Nm3 
c) Z3EI = Q1 + Q2+ Q3+ Q4 (eixo que passa 
pelo pto C) 
Z3EI=[148,65(0,5/3+0,65)]+[22,16.0,45]+ 
+[107,84.(2/3.0,4+0,25)] + [6,93.2/3.0,25)} 
Z3EI = 121,4 + 9,97 + 55,7 + 1,16; Z3EI = 
188,24 Nm3 
d) Semelhança de triângulo: 
Z4/Z1 = 0,5/0,9 ; Z4EI = 65,23 Nm3 
Z5/Z1 = 1,15/0,9 ; Z5EI = 150,04 Nm3 
Aço AISI 1040 – E = 210 GPa 
I=(πd4)/64 = 0,81x10-6 m4; 
EI = 170,1x103 Nm2; 
δ1VEI = Z3EI - Z5EI = 188,24-150,04 = 38,20 
Nm3 
δ1V = 38,20/(EI) = 38,20/ (170,1x103 Nm2); 
δ1V = 0,22 mm 
δ2V = 0,24 mm 
 
Plano horizontal (xz) 
 
A1 = 262,74 m2; A2 = 100,27 m2; 
A3 = 420,38 m2; A4 = 190,29 m2 
a) Z1EI = Q1 + Q2+ Q3 (em relação ao eixo 
que passa pelo ponto B) 
Z1EI=[262,74(0,5/3+0,4)]+[100,27.0,4/3]+[42
0,4.0,24] 
Z4 
θ2V 
θ1V 
Z6 
Z4 
Z2 
δ2 
Z1 
δ1 
Z3 
MBV = 55,4Nm 
MAV = 594,6Nm 
B A O 
A4 
A3 
A1 A2 
C 
O
Z2 
δ2 
Z4 
θ1H
θ2H 
Z6 Z1 
Z3 
δ1 
Z5 
A4 A3 
A2 
A1 
B CA
Z1EI = 148,9 + 13,4 +84,08; Z1EI = 246,34 Nm3 
b) Z2EI = Q1 (em relação ao eixo que passa pelo 
pto. A) 
Z2EI=[262,74.(0,5/3)} Z2EI =434,8 Nm3 
c) Z3EI = Q1 + Q2+ Q3+ Q4 (eixo que passa 
pelo pto C) 
Z3EI=[262,74(0,5/3+0,65)]+[100,27.(0,4/3+0,25)]+ 
[420,38.0,45] + [190,29.2/3.0,25)] 
Z3EI = 214,6 + 38,4 + 189,2 + 31,7; Z3EI = 
473,89 Nm3 
d) Semelhança de triângulo: 
Z4/Z1 = 0,5/0,9 ; Z4EI = 136,86 Nm3 
Z5/Z1 = 1,15/0,9 ; Z5EI = 314,87 Nm3 
δ1HEI = Z3EI - Z5EI =473,89-314,77=159,1Nm3 
δ1H = 159,12/(EI) = 159,12/ (170,1x103 Nm2); 
δ1H = 0,94 mm 
δ2HEI = Z4EI - Z2EI = 136,86-43,79= 93,07Nm3 
δ2H= 93,07 /(EI) = 93,07 / (170,1x103 Nm2); 
δ2H= 0,55 mm 
Flechas Resultantes 
δ1 = (0,222+0,942)1/2 δ1 = 0,97 mm 
δ2= (0,242+0,552)1/2 δ2 = 0,60 mm 
Flecha Máxima δ2 = 0,97 mm 
Elementos de Máquinas I – Eixos, Árvores e Acessórios 32
DECLIVIDADE – ÂNGULOS NOS 
MANCAIS 
Calcular as flechas δ1 e δ2: De maneira 
semelhante aos cálculos realizados na 
determinação de δ1H e δ2H na figura da direita da 
página 15. 
Plano Vertical (Fig. Pág. 15 – esquerda) 
Z6EI = Q1 + Q2+Q3 (eixo que passa pelo pto O) 
Z6EI=[148,7(0,5.2/3)]+[22,16.0,7]+[107,8.(0,4/3 
+0,5)] 
a) Z1EI = Q1 + Q2+ Q3 (eixo que passa pelo pto B) 
Z1EI =10,04 Nm3 
Z6EI = 49,55 + 15,51 + 68,29; Z6EI =133,36 
Nm3 
b) Z2EI = Q1 (eixo que passa pelo pto. A) 
 Z2EI =2,0 Nm3 
Z6 =0,78x10-3 m c) Z3EI = Q1 + Q2+ Q3+ Q4(eixo passa pelo pto C) 
Z3EI =17,22 Nm3 θ1V = Z1/ (EI.0,9) = 117,42/(170,1x103.0,9) 
d) Semelhança de triângulo: θ1V = 0,00077 rad = 0,0440 
 Z4EI = 5,58 Nm3 θ2V = Z6/0,9 = 0,00078/0,9 
Z5EI = 12,83 Nm3 θ2V = 0,00087 rad = 0,0490 
δ1 = 0,0258 mmδ2 = 0,021 mm Plano Horizontal (Fig. Pág.15 – direita) 
 Z6EI = Q1 + Q2+ Q3 (eixo que passa pelo pto O) 
( )
( ) ( )2323
33
10025010010020150
100250100100210150819
−−
−−
+
+
=
xx
xxWC
,,
,.,., Z6EI=[262,7(0,5.2/3)]+[100,3.(2.0,4/3+0,5)]+[420,4.0,7 
Z6EI = 87,58 + 76,9 + 299,3 Z6EI =458,72 Nm3 
Z6 =2,7x10-3 m 
srad
x
WC /,
,
, 4656
10291
0550
7
==
−
 
θ1H= Z1/ (EI.0,9) = 246,34/(170,1x103.0,9) 
θ1H = 0,0016 rad = 0,090 W=2πn nC = 656,4/2π = 104,5 Hz; θ2H = Z6/ 0,9 = 0,0027/0,9 nC = 6267,9 rpm θ2H = 0,0029 rad = 0,170 nMáx ≈ 60% nC = 3760 rpm Declividades Resultantes DEFLEXÃO ANGULAR 
θ1 = (0,0442+0,092)1/2 θ1 = 0,100 
θ2 = (0,0492+0,172)1/2 θ2 = 0,180 T = 761.15 Nm 
0,25m 0,4m 
0,50m 
CBA
O
 
VELOCIDADE CRÍTICA 
Deve ser determinado devido às flechas 
provocadas pelos pesos próprios: 
G=80 GPa; 46
44
10631
32
0640
32
mxd −=== ,,.ππJ Engrenagem A Peso próprio Ppa = 150N; 
Engrenagem B Peso próprio Ppb = 100 N; 
orad
xxGJ
TL 2200040
106311080
65015761
69
,,
,
,.,
====
−
φ Cálculos de Reações, Diagramas de forças 
cortantes e momentos fletores: 
 
Z4 
δ2 
Z2 Z1 
Z5
Z3
MB = 25.Nm 
MA = 48,06.Nm 
RB =153,89 
B
C
FC=100 
A 
FA= 150 
O 
Ro =96,11 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
δ1 
Elementos de Máquinas I – Eixos, Árvores e Acessórios 33
RESUMO 
 
Critério Valor 
Resistência d ≥ 63,8 mm 
Rigidez transversal - 
Flecha 
δMáx = 0,60 mm 
Declividade nos 
Mancais 
θ1 = 0,100 (Mancal O) 
θ2 = 0,180 (Mancal B) 
Velocidade Máxima nC = 6267,9 rpm 
nMáx = 3760 rpm 
Rigidez Torcional φ = 0,220 
 
 
Elementos de Máquinas I – Engrenagens – Conceitos Básicos 34
5. ENGRENAGENS – Conceitos Básicos 
5.1 Tipos de Engrenagens 
Engrenagens Cilíndricas Retas: Possuem dentes paralelos ao eixo de rotação da 
engrenagem. Transmitem rotação entre eixos paralelos. Um exemplo é mostrado na 
Fig. 5.1. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fig. 5.1: Engrenagens Cilíndricas Retas 
 
Engrenagens Cilíndricas Helicoidais: Possuem dentes inclinados em relação ao eixo 
de rotação da engrenagem. Podem transmitir rotação entre eixos paralelos e eixos 
concorrentes (dentes hipoidais). Podem ser utilizadas nas mesmas aplicações das 
E.C.R.. Neste caso são mais silenciosas. A inclinação dos dentes induz o 
aparecimento de forças axiais. Um exemplo é mostrado na fig. 5.2. 
 
 
(a) (b) 
Fig. 5.2: Engrenagens Cilíndricas Helicioidais – a: Eixos paralelos; b: Eixos 
concorrentes 
 
Elementos de Máquinas I – Engrenagens – Conceitos Básicos 35
Engrenagens Cônicas: Possuem a forma de tronco de cones. São utilizadas 
principalmente em aplicações que exigem eixos que se cruzam (concorrentes). Os 
dentes podem ser retos ou inclinados em relação ao eixo de rotação da engrenagem. 
Exemplos deste tipo de engrenagens estão mostrados na Fig. 5.3. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fig. 5.3: Engrenagens Cilíndricas Cônicas 
 
Parafuso sem fim – Engrenagem coroa (Sem fim-coroa): O sem fim é um parafuso 
acoplado com uma engrenagem coroa, geralmente do tipo helicoidal. Este tipo de 
engrenagem é bastante usado quando a relação de transmissão de velocidades é 
bastante elevada (Fig. 5.4). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fig. 5.4: Parafuso Sem fim - Coroa 
 
Pinhão-Cremalheira: Neste sistema, a coroa tem um diâmetro infinito, tornando-se 
reta. Os dentes podem ser retos ou inclinados. O dimensionamento é semelhante às 
engrenagens cilíndricas retas ou helicoidais. Na Fig. 5.5 está mostrado um exemplo 
Elementos de Máquinas I – Engrenagens – Conceitos Básicos 36
destas engrenagens. Consegue-se através deste sistema transformar movimento de 
rotação em translação. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fig. 5.5: Engrenagens Pinhão-cremalheira 
 
5.1 Nomenclatura 
A nomenclatura de engrenagens está mostrada na fig. 5.6. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fig. 5.6: Nomenclatura – Engrenagens Cilíndricas Retas 
 
Circunferência Primitiva: É uma circunferência teórica sobre a qual todos os cálculos 
são realizados. As circunferências primitivas de duas engrenagens acopladas são 
tangentes. O diâmetro da circunferência primitiva é o diâmetro primitivo (d). 
Elementos de Máquinas I – Engrenagens – Conceitos Básicos 37
Passo frontal (p): É a distância entre dois pontos homólogos medida ao longo da 
circunferência primitiva. 
Módulo (m): É a relação entre o diâmetro primitivo e o número de dentes de uma 
engrenagem. O módulo é a base do dimensionamento de engrenagens no sistema 
internacional. Duas engrenagens acopladas possuem o mesmo módulo. A figura 5.7 
mostra a relação entre o módulo e o tamanho do dente. O módulo deve ser expresso 
em milímetros. 
Passo Diametral (P): É a grandeza correspondente ao módulo no sistema inglês. É o 
número de dentes por polegada. 
 
2,75 
2,5
6,0
5,0
4,03,5
3,0 
2,25
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fig. 5.7: Relação entre Módulo (mm) e tamanho de dente 
 
Altura da Cabeça do Dente ou Saliência (a): É a distância radial entre a circunferência 
primitiva e a circunferência da cabeça. 
Altura do pé ou Profundidade (b): É a distância radial entre a circunferência primitiva e 
a circunferência do pé. 
Altura total do dente (ht): É a soma da altura do pé com a altura da cabeça, ou seja, 
ht=a+ b. 
Ângulo de ação ou de pressão (φ): É o ângulo que define a direção da força que a 
engrenagem motora exerce sobre a engrenagem movida. A figura 5.8 mostra que o 
Elementos de Máquinas I – Engrenagens – Conceitos Básicos 38
pinhão exerce uma força na coroa, formando um ângulo (φ) com a tangente comum 
às circunferências primitivas (tracejadas na figura). 
 
Circunferência de 
Base do Pinhão
Circunferência de 
Base da Coroa 
φ 
 
 
 
 
 
 
Fig. 5.8: Ângulo de ação de duas engrenagens acopladas 
 
Circunferência de base: É a circunferência em torno da qual são gerados os dentes. 
 
Equações Básicas: 
N
dm = (5.1) 
N é o número de dentes da engrenagem. 
m
N
dp ππ == (5.2) 
md
NP 425,== (5.3) 
O diâmetro da circunferência de base (db) é calculado pela Equação: 
φcosddb = (5.4) 
 
Um par de engrenagens onde o pinhão gira com rotação de np rpm e a coroa com 
rotação de nc rpm apresenta a seguinte relação cinemática: 
Elementos de Máquinas I – Engrenagens – Conceitos Básicos 39
p
c
p
c
c
p
d
d
N
N
n
n
==
 (5.5) 
 
5.2 Sistemas de Dentes 
 
Um sistema de dentes é um padrão, normalizado, onde todas as dimensões de uma 
engrenagem são fixadas em função do módulo. A Tab. 5.1 mostra as dimensões 
para ângulos de ação de 20, 22½ e 250. 
Tab. 5.1: Padrões de dentes – E.C.R – m = módulo 
Sistema Ângulo de ação 
(0) 
Altura da cabeça 
do dente 
Altura do pé do 
dente 
20 1.m 1,25.m 
22½ 1.m 1,25.m Normal 
25 1.m 1,25.m 
Rebaixado 20 0,8.m 1.m 
 
Módulos padronizados (mm): 
0,2 ≤ m ≤ 1,0 Variação: 0,1 mm 16,0 ≤ m ≤ 24,0 Variação: 2,0 mm 
1,0 ≤ m ≤ 4,0 Variação : 0,25 mm 24,0 ≤ m ≤ 45,0 Variação: 3,0 mm 
4,0 ≤ m ≤ 7,0 Variação: 0,5 mm 45,0 ≤ m ≤ 75,0 Variação: 5,0 mm 
7,0 ≤ m ≤ 16,0 Variação : 1,0 mm 
 
Módulos mais usados: 1 – 1,25 – 1,5 – 2 – 2,5 – 3 – 4 –5 –6 –7 – 8 – 10 – 12 
16 – 20 – 25 – 32 - 40 – 50 mm. 
Segunda Escolha: 1,125 – 1,375 – 1,75 – 2,25 – 2,75 – 3,5 – 4,5 – 5,5 – 7 –9 – 11 – 
14 - 18 – 22 – 28 – 36 –45 mm. 
 
5.3 Análise de Forças 
Nomenclatura a ser utilizada: 
• Eixos e árvores: a, b, c,... Engrenagens: 1, 2, 3.... 
Exemplos: F23= Força que a engrenagem 2 exerce sobre a engrenagem 3. 
 F4a = Força que a engrenagem 4 exerce sobre a árvore (a). 
• A direção e tipo de forças atuantes serão indicados pelas letras em 
superescritos: x, y, z = Direção; t = tangencial; r = radial; a = axial. 
Exemplo: Ft23 = Força tangencial que a engrenagem 2 exerce sobre a engrenagem 3. 
 
Elementos de Máquinas I – Engrenagens – Conceitos Básicos 40
5.3.1 Engrenagens Cilíndricas Retas 
 
As forças atuantes em um par de engrenagens cilíndricas retas estão mostradas na 
Fig. 5.9. As engrenagens transmitem força ao longo da linhade ação, que forma o 
ângulo (φ) mostrado. 
 
Ta2 
φ 
F32 
φ 
F23
Fa2
Tb3 
φ 
Fb3 
φ 
n3 
n2 
a 
b 
2 
Pinhão
3 
Coroa 
φ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fig 5.9: Forças em Engrenagens Cilíndricas Retas 
 
As forças atuantes nas engrenagens podem ser decompostas nas direções radiais 
(Fr32) e tangenciais (Ft32), como mostrado na Fig. 5.9a. 
 
 
φ 
Ft32 
Fr32 F32 
 
 
 
 
 
 
Fig 5.9a: Forças tangencial e radial em Engrenagens Cilíndricas Retas 
 
Elementos de Máquinas I – Engrenagens – Conceitos Básicos 41
Somente a componente tangencial transmite potência (Força útil). A componente 
radial tende a separar as árvores. Fazendo Ft = Wt, o torque transmitido (T) pelas 
engrenagens pode ser calculado por: 
2
dWT t .= (5.6) 
A potência transmitida (H) pode ser calculada pela equação: 
ω.. TVWH t == (5.7) 
 v = velocidade tangencial da engrenagem – v = πdn 
ω = Velocidade angular da engrenagem 
 
Interferência entre engrenagens cilíndricas retas 
 
Interferência entre duas engrenagens existe quando o contato entre os dentes ocorre 
fora do perfil gerado. A interferência deve ser evitada no dimensionamento de 
engrenagens. Para evitar interferência devem ser determinados os números mínimos 
de dentes: 
 
O número mínimo de dentes que um pinhão pode ter (NP) para evitar interferência é: 
( ) 




 +++
+
= φ
φ
22
2 2121
2 sen
sen)(
GGG
G
p mmm
m
kN (5.8) 
k = 1 para engrenagens normais e k = 0,8 para engrenagens rebaixadas; 
mG = NC/NP = Relação do número de dentes do pinhão e da coroa. 
 
Exemplo: mG = 4; k = 1; φ = 200. O número mínimo de dentes NP = 15,4 = 16 dentes. 
Assim, um pinhão de 16 dentes poderá se acoplar com uma coroa de 64 dentes sem 
que haja interferência. 
 
O número máximo de dentes (NC) que uma coroa pode se acoplar com um pinhão 
com número de dentes igual a NP sem que haja interferência é: 
φ
φ
2
222
24
4
sen
sen
P
P
C
Nk
kN
N
−
−
= (5.9) 
Elementos de Máquinas I – Engrenagens – Conceitos Básicos 42
Exemplo: Para um pinhão com 13 dentes, k=1 e ângulo de ação φ = 200: NC = 16,45 
= 16 dentes. Para este pinhão, o número máximo de dentes que a coroa pode ter 
sem que haja interferência são 16 dentes. 
 
5.3.2 Engrenagens Helicoidais 
 
As engrenagens helicoidais possuem os dentes inclinados com um ângulo (ψ) em 
relação ao seu eixo de rotação. A fig. 5.10 mostra uma comparação esquemática 
entre engrenagens cilíndricas retas e engrenagens cilíndricas helicoidais. Pode-se 
considerar que o ângulo da hélice é zero nas engrenagens cilíndricas retas. 
 
ψ 
ψ = ângulo de Inclinação 
da Hélice 
 
 
 
 E.C.R E.H 
 
Fig 5.10: Engrenagens cilíndricas: reta e helicoidal 
 
A nomenclatura das engrenagens helicoidais está mostrada na Fig. 5.11: 
• As linhas ab e cd são as linhas de centro de dois dentes adjacentes. 
• A distância ac é o passo frontal (p). 
• A distância ae é o passo normal (pn). Este passo é medido em uma direção 
perpendicular ao dente. pn = p.cos(ψ). 
• A distância ad é o passo axial (px). ψtg
pPx = 
• Usa-se nas engrenagens helicoidais o módulo normal (mn). Tem-se: 
π
ψψ cos.cos. pmmn == (5.10) 
• O ângulo de pressão (φn) medido na direção perpendicular aos dentes (secção 
BB) na figura é diferente do ângulo de ação medido na direção de rotação (φ): 
Elementos de Máquinas I – Engrenagens – Conceitos Básicos 43
φψφ tgtg n .cos= (5.11) 
 
φ 
φn 
 
 
 
 
 
Fig 5.11: Nomenclatura e definições em 
engrenagens cilíndricas helicoidais 
 
 
 
 
 
 
 
Uma outra maneira de mostrar os cortes dos dentes de uma engrenagem helicoidal 
está mostrada na Fig. 5.12. 
 
 
 
 
 
Fig 5.12: corte em engrenagens 
cilíndricas helicoidais 
 
 
 
 
 
 
 
 
Elementos de Máquinas I – Engrenagens – Conceitos Básicos 44
Interferência entre engrenagens helicoidais 
 
Semelhante à equação (5.8), usada para E.C.R., o número mínimo de dentes que um 
pinhão com dentes helicoidais pode ter (NP) para evitar interferência é: 
( ) 




 +++
+
= φ
φ
ψ 22
2 2121
2 sen
sen)(
cos.
GGG
G
p mmm
m
kN (5.12) 
 
O número máximo de dentes (NC) que uma coroa pode se acoplar com um pinhão 
com número de dentes igual a NP sem que haja interferência é: 
φψ
ψφ
2
222
24
4
sencos
cossen
P
P
C
Nk
kN
N
−
−
= (5.13) 
 
 As forças atuantes em um par de engrenagens helicoidais estão mostradas na Fig. 
5.13. 
 
Cilindro 
Primitivo
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fig 5.13: Forças atuantes em engrenagens cilíndricas helicoidais 
 
As forças radiais (Wr), tangenciais (Wt) e axiais (Wa) são calculadas através das 
equações: 
 
 
Elementos de Máquinas I – Engrenagens – Conceitos Básicos 45
 
φφ tgWWW tnr == sen 
ψφ coscos nt WW = (5.14) 
ψψφ tgWWW tna == sencos 
ψφ coscos n
tWW = 
 
5.3.3 Engrenagens Cônicas 
 
A terminologia das engrenagens cônicas está mostrada na Fig. 5.14. O passo e o 
módulo são medidos no diâmetro primitivo da engrenagem. 
 
Cone 
Complementar
Diâmetro Primitivo DC
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fig. 5.14: Nomenclatura de engrenagens cônicas 
 
γ - ângulo primitivo do pinhão; dp = Diâmetro primitivo do pinhão; 
Γ - ângulo primitivo da coroa; DC = Diâmetro primitivo da coroa; 
Elementos de Máquinas I – Engrenagens – Conceitos Básicos 46
C
p
N
N
tg =γ 
p
C
N
Ntg =Γ (5.15) 
 
O número virtual de dentes de uma engrenagem cônica (N’) é: 
p
rN bπ2=' (5.16) 
rb é o raio do cone complementar. 
 
As forças atuantes em uma engrenagem cônica estão mostradas na Fig. 5.15. 
Considera-se que as forças estão atuando no ponto central do dente. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fig 5.15: Forças atuantes em engrenagens cônicas 
 
s forças radiais (Wr), tangenciais (Wt) e axiais (Wa) são calculadas através das A
equações: 
 
Elementos de Máquinas I – Engrenagens – Conceitos Básicos 47
av
t r
TW = 
γφ costgWW tr = (5.17) 
γφ sentgWW ta = 
 
rav é o raio primitivo (metade do diâmetro primitivo). 
 
5.3.4 Parafuso Sem fim - Coroa 
 
O par sem fim coroa consiste do acoplamento de um parafuso com uma engrenagem 
(a coroa). Consegue-se através deste par grandes reduções (i ≤≈ 100:1). Na Fig. 5.16 
está mostrada uma representação esquemática de um sem fim – coroa. 
 
dc 
dS 
px 
Px = Passo axial do sem fim 
dS = Diâmetro primitivo do sem fim 
dc = Diâmetro primitivo da coroa 
Fig. 5.16: Representação esquemática de um par sem fim - coroa 
 
Para que haja engrenamento, o passo axial do sem fim deve ser igual ao passo 
normal da coroa (engrenagem helicoidal), ou seja: px = pN. O ângulo de avanço do 
parafuso (λ) é dado por 
Sd
Ltg
π
λ =
 e SxNpL = (5.18) 
L é o avanço do parafuso. NS é o número de entradas do parafuso. 
Elementos de Máquinas I – Engrenagens – Conceitos Básicos 48
 
A fig. 5.17 mostra o ângulo de avanço do parafuso. 
 
Fig. 5.17
 
 
 
 
λ 
: Ângulo de avanço do parafuso sem fim 
parafuso sem fim (dS), deve obedecer à relação, onde C é a distância 
entre centros: 
 
O diâmetro do 
87508750 ,, CdC s ≤≤ 613 , (5.19) 
 nomenclatura do par sem fim-coroa está mostrada na Fig. 5.18. 
 
Fig. 5.18
A
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
: Nomenclatura de um par sem fim - coroa 
 
 
 
Elementos de Máquinas I – Engrenagens – Conceitos Básicos 49
As forças atuantes em um par sem fim coroa estão mostradas na Fig. 5.19. 
 
Fig. 5.19a
 
Z 
X 
Y 
WSt
aWSWSr
WCrWCt WCa
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
WY
WX
WZ
W
φn
: Forças atuantes no par sem fim – coroa 
 
Fig. 5.19b
 
 
 
 
 
 
 
 
 
: Forças atuantes no sem fim – coroa 
rças atuantes em par sem fim – coroa podem ser 
determinadas pelas equações: 
 
Desprezando-se o atrito, as fo
Elementos de Máquinas I – Engrenagens – Conceitos Básicos 50
λSen 
n
y WSenW φ=
φWCosW n
x =
 (5.20) 
A forças nas direções X, Y e Z são: 
 (5.21)Em um par sem fim – coroa existe uma força de atrito que NÃO
λφ CosWCosW n= 
z
x
CaSt WWW =−= 
y
CrSr WWW =−= 
WWW =−= zCtSa 
 pode ser desprezada. 
Considerando-se o atrito, com coeficiente atrito (f), as forças atuantes são: 
 (5.22) 
 
A relação entre as forças tangenciais no parafuso (WSt) e na coroa (WCt) pode ser 
determinada pela equação: 
de
( φCosWW nx = )λλ fCosSen + 
n
y WSenW φ=
( )λλφ fSenCosCosWW z −= n
λφλ
λλφ
CosCosfSen
fCosSenCosW
n
n
CtSt −
+
=W (5.23) 
 
O rendimento do par sem fim η – coroa ( ) é: 
λφ
λφη
CotgfCos
tgfCos
n
n
.
.
+
−
= (5.24) 
 
O coeficiente de atrito (f) em um par sem fim – coroa depende da velocidade de 
escorregamento (Vd) e do parafuso sem fim (VS). A Fig. 20 mostra as velocidades 
atuantes. 
Elementos de Máquinas I – Engrenagens – Conceitos Básicos 51
 
λVC 
Vd
VS 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fig. 5.20: Velocidades atuantes no par sem fim – coroa 
 
A equação abaixo mostra a relação entre as velocidades de escorregamento e do 
parafuso sem fim. 
λCos
V
V Sd = (5.25) 
 
Uma estimativa do valor do coeficiente de atrito (f) pode ser feita utilizando-se a Fig. 
5.21. A curva B deve ser usada quando os materiais usados forem de excelente 
qualidade. 
Velocidade de escorregamento (Vd ) [m/min] 
610 488 366 244 122 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fig. 5.21: Coeficiente de atrito no par sem fim – coroa 
Elementos de Máquinas I – Engrenagens – Conceitos Básicos 52
5.4 Considerações Finais 
 
Razão de contato: Define o número de pares de dentes que estão simultaneamente 
em contato. Em geral as engrenagens possuem uma razão de contato maior que um. 
Uma razão de contato igual à unidade significa que haverá apenas um par de dentes 
em contato. Somente quando o contato deste par termina, inicia-se o seguinte. Isto 
provoca choques nas engrenagens. Para evitar estes choques utiliza-se um maior 
número de pares de engrenagens em contato simultâneo. 
 
EXERCÍCIOS 
 
1. A engrenagem A, com 25 dentes, está acoplada a um motor que 
transmite 3 kW a 600 rpm no sentido horário. As engrenagens B e C 
têm 65 e 55 dentes, respectivamente. O módulo destas engrenagens é 
igual a 6 mm. Todas as engrenagens são cilíndricas retas. Determine: 
- O torque que cada árvore transmite. 
- As forças atuantes em cada engrenagem. Faça um desenho 
esquemático mostrando estas forças. 
- Qual a influência existente nos cálculos acima, se a engrenagem 
B fosse retirada? 
 
C 
B 
A 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1.1) Determine o número mínimo de dentes que o pinhão A da 
figura acima poderá ter para que não haja interferência. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Elementos de Máquinas I – Engrenagens – Conceitos Básicos 53
 
2. Uma engrenagem cilíndrica helicoidal tem 85 dentes, ângulo de ação 
normal de 200, ângulo de inclinação da hélice de 300 e módulo normal 
de 5 mm. Esta engrenagem deverá ser acoplada a um pinhão que 
transmite 5 kW a 1150 rpm. O número de dentes do pinhão é o mínimo 
necessário par que não haja interferência. Determine: 
- O número de dentes do pinhão. 
- As forças atuantes nas engrenagens. 
- Faça um desenho esquemático destas forças atuantes no dente. 
- Se esta engrenagem fosse transformada em uma engrenagem 
cilíndrica reta, com todas as características idênticas à 
engrenagem helicoidal anterior, exceto o ângulo da hélice, quais 
seriam as forças atuantes? Faça uma comparação entre estas 
engrenagens. 
 
3. Uma par de engrenagens cônicas tem relação de transmissão de 4/3. O 
diâmetro primitivo do pinhão é de 150 mm. O pinhão gira com 240 
rpm. O módulo das engrenagens é de 5 mm, ângulo de ação de 200. 
Determine as forças atuantes nos dentes das engrenagens, se uma 
potência de 6 kW é transmitida. 
 
 
4. Um parafuso sem fim transmite 6 kW a 1200 rpm a uma engrenagem 
helicoidal de módulo normal igual a 20 mm. O diâmetro primitivo do 
parafuso sem fim é de 71,26 mm e tem três entradas. A engrenagem 
helicoidal tem 60 dentes e ângulo de ação normal de 200. O coeficiente 
de atrito f = 0,10. Determine as forças atuantes no sem fim e na 
engrenagem. Faça um desenho mostrando estas forças. 
 nM = 1200 rpm
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5. A figura abaixo mostra um trem de engrenagens constituído por um par 
de engrenagens cônicas com 16 dentes cada uma, um parafuso sem fim 
com 4 entradas, coeficiente de atrito f = 0,12 e uma engrenagem 
helicoidal com 40 dentes. Um motor acoplado ao eixo da engrenagem 2 
transmite 5,5 kW com 250 rpm (sentido horário). 
São conhecidos: ângulo de ação = 250. Ângulo de inclinação da hélice=300. 
Módulos=3,0 mm. Determine: 
- As forças atuantes em todas as engrenagens. 
- A velocidade de saída (na engrenagem 5). 
- O sentido de rotação na engrenagem 5. 
- A potência disponível na árvore da engrenagem 5 
Elementos de Máquinas I – Engrenagens – Conceitos Básicos 54
 N2 = 16 
N3 = 16 
N4 = 4 
N5 = 40
5 
4 
3 
2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
6. Uma máquina necessita de uma potência de no mínimo 7,8 kW e 
velocidade de 210 rpm. Proponha um redutor constituído por engrenagens 
cilíndricas retas que serão acopladas entre a máquina e um motor. O 
rendimento de cada par de engrenagens é de 99%. O motor a ser acoplado 
gira com 1200 rpm. Determine a potência do motor. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Elementos de Máquinas I – Engrenagens – Dimensionamento 55
6. ENGRENAGENS – DIMENSIONAMENTO 
 
As engrenagens podem falhar por duas maneiras distintas: Fadiga por flexão e 
desgaste (fadiga de contato). Ambos os modos de falhas devem ser verificados!! 
 
Dimensionamento de 
Engrenagens 
- Fadiga por Flexão 
 
- Desgaste 
 
 
 
O dimensionamento sempre consiste em comparar a tensão atuante 
com a resistência, ou seja: 
σATUANTE ≤ σADMISSÍVEL 
 
O dimensionamento pode ser feito de várias maneiras distintas, como: 
a) Determinar o módulo (m) e a largura do dente (F) necessário para transmitir 
uma certa potência: Determinar o módulo e a largura pela fadiga por flexão. 
Posteriormente verificar se estes valores calculados são suficientes para 
resistir ao desgaste. (Pode também iniciar pelo desgaste e verificar à flexão). 
b) Determinar a máxima potência que um par de engrenagens conhecido pode 
transmitir, ou seja, sua capacidade de transmissão. Neste caso o módulo e a 
largura são conhecidos previamente. Determinar a capacidade de transmissão 
para a fadiga por flexão e para a o desgaste. O menor valor será a capacidade 
do par de engrenagens. 
c) Se o material do pinhão for idêntico ao da coroa, dimensionar apenas o pinhão 
(já que tem um número menor de dentes). Se as engrenagens forem 
fabricadas com materiais distintos (com durezas distintas), dimensionar ambos: 
pinhão e coroa. 
d) Critério de aceite: 3p ≤ F ≤ 5p p = passo da engrenagem. 
 
 
 
 
 
 
 
Elementos de Máquinas I – Engrenagens – Dimensionamento 56
6.1 ENGRENAGENS CILÍNDRICAS RETAS E HELICOIDAIS 
 
6.1.1 Dimensionamento de Engrenagens Baseando-se na Flexão 
 
Tensão atuante na Flexão (σ): 
A tensão atuante nas engrenagens cilíndricas retas e helicoidais provocada pela 
flexão é calculada usando-se a Eq. (6.1): 
J
KK
Fm
KKKW BHsVO
t 1'=σ
 (6.1) 
Wt = Força tangencial; KO = Fator de sobrecarga; 
K’V = Fator dinâmico (velocidade); KS = Efeito do tamanho 
m = módulo da engrenagem F = Largura do dente; 
KH = Fator de distribuição de carga; KB = Fator de correção da espessura; 
J = Fator geométrico 
 
Tensão Admissível - Resistência à Flexão (σadm): 
 
A resistência à fadiga por flexão pode ser determinada usando-se as equações 
fornecidas pela AGMA. Existem inúmeras equações como estas, para inúmeros 
materiais, que possibilitam a determinação da resistência à fadiga por flexão de 
maneira detalhada e precisa. 
 
Para determinação da tensão máxima que o material suporta, ou seja, a tensão de 
resistência à flexão (σFP), serão usadas nesta disciplina apenas as equações (6.2) e 
(6.3). 
 
AÇOS TOTALMENTE ENDURECIDOS (Comumao Carbono): 
 MPaHBFP 3885330 ,, +=σ Grau 1 
ou (6.2) 
MPaHBFP 1137030 += ,σ Grau 2 
 
Elementos de Máquinas I – Engrenagens – Dimensionamento 57
AÇOS LIGADOS E/OU ENDURECÍVEIS POR TRATAMENTOS 
TERMOQUÍMICOS (AISI 4140, 4340, 8620, etc..) 
 MPaHBFP 8835680 ,, +=σ Grau 1 
ou (6.3) 
MPaHBFP 1107490 += ,σ Grau 2 
 
A tensão admissível à flexão (σadm) pode ser determinada usando-se a equação 
(6.4). Além da tensão máxima que o material suporta, vários fatores de correção são 
usados no cálculo da tensão admissível: 
RT
N
F
FP
adm KK
Y
S
σσ =
 (6.4) 
SF = Fator de Segurança da AGMA; 
YN = Fator de correção de tensões vida distinta de 107 ciclos; 
KT = Fator de Temperatura; 
KR = Fator de Confiabilidade. 
 
DIMENSIONAMENTO: 
Tensão atuante ≤ Tensão Admissível σ ≤ σadm 
 
6.1.2 Dimensionamento de Engrenagens Baseando-se no Desgaste 
 
Tensão atuante no Desgaste (σc): 
A tensão atuante nas engrenagens cilíndricas retas e helicoidais provocada pelo 
desgaste é calculada usando-se a Eq. (6.5): 
I
RH
sVO
t
pc Z
Z
dF
KKKKWC '=σ
 (6.5) 
CP = Coeficiente Elástico [MPa]1/2. d = Diâmetro primitivo da engrenagem; 
ZR = Coeficiente de acabamento superficial; ZI = Fator de Geometria. 
Os demais fatores têm o mesmo significado da Eq. (6.1). 
 
Elementos de Máquinas I – Engrenagens – Dimensionamento 58
Tensão Admissível - Resistência ao Desgaste (σC,adm): 
 
A resistência à fadiga por contato superficial (ou desgaste) pode ser determinada 
usando-se equações baseadas na dureza do material. Estas equações são retiradas 
das normas ANSI/AGMA. Existem inúmeras equações como estas, para inúmeros 
materiais, que possibilitam a determinação da resistência à fadiga por flexão. 
Para determinação da tensão máxima que o material suporta, ou seja, a tensão de 
resistência ao desgaste (σHP), serão usadas nesta disciplina apenas as equações 
(6.6). Estas equações foram desenvolvidas para: 
- Vida de 107 ciclos 
- Força externa unidirecional (FM ≠ 0) – Engrenagens em extremidades; 
- Se FM = 0 (Caso de engrenagens intermediárias), o valor da tensão 
(σHP) calculado deve ser multiplicado por 0,7; 
- Confiabilidade de 99%. 
 
 MPaHBHP 200222 += ,σ Grau 1 
ou (6.6) 
MPaHBHP 237412 += ,σ Grau 2 
 
A tensão admissível ao desgaste (σC,adm) pode ser determinada usando-se a 
equação: 
RT
HN
H
HP
admC KK
CZ
S
σσ =, (6.7) 
SH = Fator de Segurança da AGMA; CH = Fator de razão de dureza; 
KT = Fator de Temperatura; KR = Fator de Confiabilidade 
ZN =YN = Fator de correção de tensões vida distinta de 107 ciclos; 
 
 
σC ≤ σC,admDIMENSIONAMENTO: Tensão atuante ≤ Tensão Admissível 
 
Elementos de Máquinas I – Engrenagens – Dimensionamento 59
6.1.3 Fatores de Correção 
 
Os fatores de correção utilizados nas Equações (6.1), (6.4), (6.5) e (6.7) São 
determinados através de tabelas e gráficos, retirados da AGMA. 
 
FLEXÃO 
Fator Geométrico – (J) 
Engrenagens Cilíndricas Retas 
 
Fig. 6.1: Fator geométrico (J) - Engrenagens Cilíndricas Retas - ângulo de ação 
φ=200 
 
 
 
 
 
 
Elementos de Máquinas I – Engrenagens – Dimensionamento 60
Tab. 6.1: Fator geométrico (J) - Engrenagens Cilíndricas Retas com ângulo de ação 
φ = 250 
Número de Dentes do Pinhão - NP NC 
12 14 17 21 26 35 55 135 
 P C P C P C P C P C P C P C P C 
12 
14 0,28 0,28 
17 0,28 0,30 0,30 0,30 
21 0,28 0,31 0,30 0,31 0,31 0,31 
26 0,28 0,33 0,30 0,33 0,31 0,33 0,33 0,33 
35 0,28 0,34 0,30 0,34 0,31 0,34 0,31 0,34 0,34 0,34 
55 0,28 0,36 0,30 0,36 0,31 0,36 0,31 0,36 0,34 0,36 0,36 0,36 
135 0,28 0,38 0,30 0,38 0,31 0,38 0,31 0,38 0,34 0,38 0,36 0,38 0,38 0,38
- Machine Design – R.L. Norton – pg. 737 
 
Engrenagens Cilíndricas Helicoidais 
Coroa com N = 75 dentes 
Fig. 6.2: Fator geométrico (J) - Engrenagens Cilíndricas Helicoidais - ângulo de ação 
normal φN = 200 e N = 75 Dentes 
 
Correção do Fator Geométrico (J) para Coroa com Número de dentes N ≠ 
75 dentes. J = J (Fig. 6.2) X Correção (Fig. 6.3). 
 
 
Elementos de Máquinas I – Engrenagens – Dimensionamento 61
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fig. 6.3: Correção do Fator geométrico (J) para N ≠ 75 dentes - Engrenagens 
Cilíndricas Helicoidais - ângulo de ação normal φN = 200 
 
Fator de correção da espessura - KB 
 
Algumas vezes a espessura do aro da engrenagem não é suficientemente grande 
para suportar o esforço aplicado. Em conseqüência pode ocorrer a falha por fadiga no 
aro e não no dente. Este fator é usado para corrigir esta distorção. O cálculo do fator 
de correção da espessura (KB) pode ser feito através da Equação (6.8) ou Fig. 6.4. 
 





≥⇒⇒⇒⇒⇒
<⇒
=
2101
21242261
,,
,,ln,
B
B
BB
m
m
mK
 (6.8) 
 
t
R
B h
tm = Veja a Figura 6.4. 
 
 
 
 
Elementos de Máquinas I – Engrenagens – Dimensionamento 62
 
tg 
ht
mB=tg/ht
 
 
 
 
 
 
 
 
Fig. 6.4: fator de correção da espessura (KB) 
 
 
FLEXÃO E DESGASTE 
 
Fator dinâmico - velocidade (K’V) 
 
O fator de correção de velocidades, ou fator dinâmico, procura considerar os efeitos 
dinâmicos atuantes nas engrenagens, os quais podem provocar erros de 
transmissão. Vibrações, desalinhamento, desbalanceamento, atrito, entre outros 
fatores, provocam estes erros. Assim, as tensões atuantes devem ser corrigidas pelo 
fator dinâmico (K’V). 
 
B
V A
VAK 




 +
=
200'
 (6.9) 
( )
( ) 3212250
15650
VQB
BA
−=
−+=
,
 
V = Velocidade tangencial em (m/s); 
QV define a qualidade da engrenagem. QV = 3,4,5,6...11. As engrenagens comerciais 
mais usadas possuem QV variando de 3 até 9. Os cálculos das constantes A e B da 
Eq. (6.9) são limitados pelo valor máximo da velocidade para cada qualidade da 
engrenagem (número QV). A velocidade máxima pode ser calculada pela Equação 
Elementos de Máquinas I – Engrenagens – Dimensionamento 63
 
( ) ( )[ ]
2
200
3−+
= Vmáxt
QAV (6.9a) 
Fator de sobrecarga – KO 
Os valores de sobrecarga estão mostrados na Tab. 6.2. 
Tab. 6.2: Fatores de Sobrecarga 
Máquina Conduzida Motor 
Uniforme Choque Médio Choque Pesado 
Uniforme 1,00 1,25 1,75 
Choque Leve 1,25 1,50 2,00 
Choque médio 1,50 1,75 2,25 
 
Efeito do tamanho - KS 
 
m < 5,0mm KS = 1,0 
m ≥ 5,0mm KS = 1,25 
 
Fator de distribuição de carga - KH 
 
Este fator procura corrigir o fato da força tangencial não se distribuir uniformemente 
ao longo da largura (F) do dente. Esta distribuição não uniforme da força pode ser 
provocada por desalinhamento da árvore e/ou imperfeições da forma do dente. Os 
valores de KH estão mostrados na Tab. 6.3. 
 
Tab. 6.3: Fator de distribuição de carga - KH 
Largura da 
Face – F (mm)
KH 
< 50 1,6 
<150 1,7 
<250 1,8 
<500 2,0 
Recomenda-se que a razão entre a largura do dente (F)e o diâmetro primitivo seja 
inferior a 2, ou seja, 2≤d
F
 
 
Elementos de Máquinas I – Engrenagens – Dimensionamento 64
Fator de correção de tensões para vida distinta de 107 ciclos – (ZN = 
YN) 
 
Todos os cálculos da AGMA são realizados para uma vida de 10 milhões de ciclos 
(107). Se a vida desejada for diferente deste valor, as tensões calculadas deverão ser 
corrigidas através dos fatores de correção de tensões para vida distinta de 107 ciclos 
(ZN = YN). Estes valores podem ser determinados através das Figuras 6.5 e 6.6. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fig. 6.5: Fator de correção de vida YN 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fig. 6.6: Fator de correção de vida ZN 
 
 
Elementos de Máquinas I – Engrenagens – Dimensionamento 65
Fator de Confiabilidade - KR 
 
Tab. 6.4: Fator de Confiabilidade - KR 
Confiabilidade KR 
0,9999 1,50 
0,999 1,25 
0,99 1,00 
0,90 0,85 
0,50 0,70 
 
Fator de Temperatura - KT 
 
Para T ≤ 120 oC KT = 1,0 
Para T > 120 oC KT > 1,0 
 
DESGASTE 
 
Fator Geométrico – (ZI) 
12 ±
=
G
G
N
tt
I m
m
m
SenCos
Z
φφ
 (6.10)mG = razão de velocidades - 
P
C
P
C
G d
d
N
N
==m 
mG+1 = Engrenagens externas; mG-1 = Engrenagens internas. 
mN = 1,0 para Engrenagens Cilíndricas Retas; 
 
Engrenagens cilíndricas Helicoidais: 
( )[ ] ( )[ ] ( ) tCPbCCbPPNN rrrarrarZZ
p
m φsen
,
+−−++−+=⇒= 2
1
222
1
22
950
 
rP; rC = Raios das circunferências primitivas do Pinhão e da Coroa; 
rbP; rC = Raios das circunferências de base do Pinhão e da coroa. 
Elementos de Máquinas I – Engrenagens – Dimensionamento 66
rb = r.cosφ 
a = altura da cabeça do dente 
 
Coeficiente Elástico CP [MPa]1/2 
 
O coeficiente elástico depende dos materiais em contato. Ele pode ser determinado 
pela equação (6.11) ou através da Tab. (6.5). 
2
1
22 11
1

























 −
+
−
=
C
C
P
P
P
EE
C
νν
π
 (6.11) 
 
νP, νC = Coeficientes de Poisson do Pinhão e da Coroa 
EP, EC = Módulos de Elasticidade do Pinhão e da Coroa. 
 
Tab. 6.5: Valores do coeficiente elástico CP (MPa)1/2 
Material da Coroa Material Pinhão 
Aço Ferro 
fundido 
Bronze com 
alumínio 
Bronze com 
Estanho 
Aço 191 181 162 158 
Ferro fundido 181 174 158 154 
Bronze com alumínio 162 158 145 141 
Bronze com Estanho 158 154 141 137 
 
Coeficiente de acabamento superficial - ZR 
O uso do coeficiente de acabamento superficial (ZR) procura quantificar o efeito do 
acabamento superficial das engrenagens. Os valores de ZR ainda não foram definidos 
pela AGMA. 
USAR ZR = 1,0 
Engrenagens extremamente grosseiras - USAR ZR > 1,0 
 
Elementos de Máquinas I – Engrenagens – Dimensionamento 67
Fator de razão de dureza - CH 
 
O pinhão tem um número de dentes menor que a coroa. Em conseqüência, os dentes 
do pinhão serão submetidos a um número de ciclos maior que a coroa. Para que haja 
um desgaste uniforme entre ambas as engrenagens, o pinhão deve ter uma dureza 
maior que a coroa. O fator de dureza (CH) procura ajustar as resistências superficiais 
para que haja um desgaste uniforme. Ele deve ser calculado para a coroa, usando-se 
a equação 
( 11 −+= GH mAC ' ) (6.12) 
( ) ( )
71006980
210
71211029810988 33
,,
,
,,,,
'
'
'
>⇒=
<⇒=
≤≤⇔−





= −−
BC
BP
BC
BP
BC
BP
BC
BP
H
HA
H
HA
H
H
H
HA
 (6.12a) 
Resumo: 
Especificação de engrenagens: 
• Sistema de dente: módulo, φ, a, b. 
• Largura do dente, Número de dentes 
• Material do pinhão e coroa: Dureza, resistência, etc.. 
• Qualidade de fabricação. 
Especificação do Serviço: 
• Potência, velocidade. Sobrecarga 
• Confiabilidade, vida. 
• Montagem. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Elementos de Máquinas I – Engrenagens – Dimensionamento 68
EXERCÍCIOS 
 
1. Um par de engrenagens cilíndricas retas deve transmitir 15 CV a 1150 rpm. 
Especifique tudo que for necessário (necessidades do projeto) e dimensione as 
engrenagens. Explique detalhadamente cada decisão tomada. 
 
2. A engrenagem A, com 25 dentes, está acoplada a um motor que transmite 3 
kW a 600 rpm no sentido horário. As engrenagens B e C têm 65 e 55 dentes, 
respectivamente. Todas as engrenagens são cilíndricas retas. Utilize 
coeficiente de segurança igual a 1,6. O material do pinhão é um aço comum ao 
carbono, Grau 1. Determine: 
- O módulo e a largura do dente destas engrenagens baseado na flexão. 
- Especifique as durezas necessárias às engrenagens para que os 
valores calculados anteriormente sejam adequados ao desgaste. 
- Faça todas as análises necessárias à especificação das engrenagens. 
 
C 
B 
A 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3. Uma engrenagem cilíndrica helicoidal tem 85 dentes, ângulo de ação normal 
de 200, ângulo de inclinação da hélice de 300. Esta engrenagem deverá ser 
acoplada a um pinhão que transmite 5 kW a 1150 rpm. O número de dentes do 
pinhão é o mínimo necessário par que não haja interferência. Especifique os 
materiais para ambas engrenagens. Especifique e Determine todas as 
dimensões destas engrenagens. Tome as decisões que forem necessárias ao 
dimensionamento. 
 
4. Considere o sistema de elevação de cargas abaixo. O motor está acoplado ao 
redutor. Deseja-se uma redução de 10:1 na velocidade de rotação do motor. 
Deseja-se que uma massa M = 150 kg suba (ou desça) com uma velocidade 
máxima de 0,8 m/s. A massa está presa em um cabo de aço que se enrola em 
uma polia com diâmetro dPOLIA. Proponha o trem de engrenagens para o 
redutor. 
Determine a rotação e a potência do motor. 
Considere o efeito da inércia. 
 
Dimensione árvore AB. Proponha comprimentos para esta árvore. 
Especifique um material para esta árvore. Explique detalhadamente todo o 
dimensionamento. dPOLIA. = 12 a 16 vezes o diâmetro da árvore AB. 
Elementos de Máquinas I – Engrenagens – Dimensionamento 69
Faça um dimensionamento completo das engrenagens do redutor. Explique as 
decisões tomadas. Selecione um dos seguintes parâmetros, em cada opção: 
Confiabilidade:95% ou 90,0% de confiabilidade. 
Sobrecarga: O motor trabalha com Choques moderados; 
Montagem: Precisão 
Vida - Deseja-se que este redutor trabalhe durante: 7 anos, funcionando 18 horas por 
dia, 26 dias/mês ou 10 anos funcionando 8 horas/dia, 20 dias/mês. 
Selecione o material e as demais condições de trabalho, se necessário. 
 
Faça uma tabela, mostrando claramente os parâmetros acima selecionados. 
 
 
 
 
 
 
 
M 
PO
LI
A
 
A B 
R
ED
U
TO
R
 
 
MOTOR 
Elementos de Máquinas I – Engrenagens - Dimensionamento 70
6.2 ENGRENAGENS CÔNICAS 
 
Classificação: 
• Engrenagens Cônicas de Dentes Retos (Fig. 5.3, pág. 55); Velocidades v ≤ 5 m/s. 
• Engrenagens Cônicas Espirais (Fig. 5.3, pág. 55); Velocidades v ≤ 40 m/s. 
• Engrenagens Cônicas Zerol. Possuem dentes espiralados com inclinação zero. 
• Engrenagens Hipóides – Possuem os dentes espiralados. Usada em diferenciais 
de automóveis. Há um deslocamento entre os eixos. 
 
Na figura 6.7 é mostrada a classificação do engrenamento cônico tipo espiral. Pode-
se observar que a engrenagem hipóide tem um deslocamento do eixo relativamente 
pequeno. Para maiores deslocamentos, o pinhão começa a assumir a forma de um 
sem fim. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fig. 6.7: Comparação de intersecção e deslocamentos de engrenagens cônicas 
 
6.2.1 Dimensionamento de Engrenagens Baseando-se na Flexão 
 
Tensão atuante na Flexão (σ): 
A tensão atuante nas engrenagens cônicas, provocada pela flexão é calculada 
usando-se a Eq. (6.13): 
Elementos de Máquinas I – Engrenagens - Dimensionamento 71
x
H
ee
sVO
t
JK
K
dFm
KKKW 11000 '=σ
 (6.13) 
Wt = Força tangencial; KO = Fator de sobrecarga; 
K’V = Fator dinâmico (velocidade); KS = Fator de tamanho 
me = módulo externo F = Largura do dente; 
de = Diâmetro externo J = Fator geométrico 
KH = Fator de distribuição de carga; KX = Fator de correção da curvatura; 
 
Tensão Admissível - Resistência à Flexão (σadm): 
 
A resistência à flexão (σFP) das engrenagens cônicas pode ser determinada pelas 
equações (6.14). 
AÇOS TOTALMENTE ENDURECIDOS (Comum ao Carbono): 
 MPaHBFP 4814300 ,, +=σ Grau 1 
 ou (6.14) 
MPaHBFP 2441330 ,, +=σ Grau 2 
 
A tensão admissível à flexão (σadm) pode ser determinada usando-se a equação 
(6.15): 
RT
N
F
FP
adm KK
Y
S
σσ =
 (6.15) 
SF = Fator de Segurança da AGMA; 
YN = Fator de correção de vida; 
KT = Fator de Temperatura; 
KR = Fator de Confiabilidade. 
 
 
σ ≤ σadm DIMENSIONAMENTO: Tensão atuante ≤ Tensão Admissível 
 
 
 
 
Elementos de Máquinas I – Engrenagens - Dimensionamento 72
6.2.2 Dimensionamento de Engrenagens Baseando-se no Desgaste 
 
Tensão atuante no Desgaste (σc): 
A tensão atuante nas engrenagens cilíndricas retas e helicoidais provocada pelo 
desgaste é calculada usando-se a Eq. (6.16): 
 
I
XCX
HVO
t
pc Z
Z
dF
ZKKKWC '100=σ
 (6.16) 
CP = Coeficiente Elástico [MPa]1/2. d = Diâmetro primitivo da engrenagem 
ZX= Fator de Tamanho; ZXC= Fator de Correção do tamanho; 
ZI = Fator Geométrico; KH = Fator de distribuição de carga 
Os demais fatores têm o mesmo