TEM_Modulo_2

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Teoria das Estruturas
Mecânicas
Módulo 2
Tensões de cisalhamento na
flexão
Professor Me. Leonardo G. F. Andrade TEM Módulo 2 1
Professor Me. Leonardo G. F. Andrade TEM Módulo 2 2
Tensões de cisalhamento na flexão
Aula passada, calculamos a
força de cisalhamento na
horizontal ΔH causada por
forças cortantes.
Nesta aula, estudaremos as tensões. Como se calcula tensão?
Tensão = Força / área 𝝈 =
𝑭
𝑨
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Tensões de cisalhamento na flexão
Aula passada, calculamos a
força de cisalhamento na
horizontal ΔH causada por
forças cortantes.
Tensão = Força / área
Professor Me. Leonardo G. F. Andrade TEM Módulo 2 4
Tensões de cisalhamento na flexão
Tensão = Força / área
• Força cortante
• Módulo estático de área
• Momento estático
• Comprimento
FORÇA:
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Tensões de cisalhamento na flexão
Tensão = Força / área
• Espessura
• Comprimento
ÁREA:
∆𝐴 = 𝑡. ∆𝑥
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Tensões de cisalhamento na flexão
Tensão = Força / área
TENSÃO:
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Tensões de cisalhamento na flexão
Note que as tensões
calculadas são tensões
de cisalhamento médias!
Por equilíbrio, perceba que as
tensões horizontais devem ser
iguais as verticais:
𝜏𝑦𝑥 = 𝜏𝑥𝑦
Horizontal Vertical
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Tensões de cisalhamento na flexão
Note que as tensões
calculadas são tensões
de cisalhamento médias!
Por equilíbrio, perceba que as
tensões horizontais devem ser
iguais as verticais:
𝜏𝑦𝑥 = 𝜏𝑥𝑦
Horizontal Vertical
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Tensões de cisalhamento na flexão
Observe que as tensões
de cisalhamento são
igual a zero nas
extremidades superiores
e inferiores!
Nesta situação, o momento estático de área Q é igual a zero.
Revisar aula 1!
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Tensões de cisalhamento na flexão
Força cortante horizontal Tensão de cisalhamento
Depende de Q, que
é máximo na linha
neutra.
Depende de Q, que é máximo na
linha neutra.
Depende da espessura! Cuidado que
se a espessura variar, não
necessariamente a linha neutra terá
a maior tensão de cisalhamento
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Tensões de cisalhamento na flexão
Assumir que a tensão de cisalhamento é uniforme ao longo da
espessura não é uma simplificação ruim:
Estudos mais avançados mostram
que se a relação for
respeitada, a variação da tensão
de cisalhamento entre borda e
centro é menor do que 0,8%.
𝑏/ℎ ≤ 4
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Tensões de cisalhamento na flexão
Assumir que a tensão de cisalhamento é uniforme ao longo da
espessura não é uma simplificação ruim:
Estudos mais avançados mostram
que se a relação for
respeitada, a variação da tensão
de cisalhamento entre borda e
centro é menor do que 0,8%.
𝑏/ℎ ≤ 4
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Tensões de cisalhamento na flexão
Tensões de cisalhamento em perfis comuns: viga com seção
transversal retangular
Supondo válido, a
equação que deduzimos
também é valida:
𝑏/ℎ ≤ 4
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Tensões de cisalhamento na flexão
Tensões de cisalhamento em perfis comuns: viga com seção 
transversal retangular
Supondo válido, a
equação que deduzimos
também é valida:
𝑏/ℎ ≤ 4
t é a espessura da viga: b
Q é o momento estático da
área em azul escuro.
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Tensões de cisalhamento na flexão
Tensões de cisalhamento em perfis comuns: viga com seção 
transversal retangular
Cálculo de Q:
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Tensões de cisalhamento na flexão
Tensões de cisalhamento em perfis comuns: viga com seção 
transversal retangular
Momento de inércia I:
Tensão de cisalhamento:
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Tensões de cisalhamento na flexão
Tensões de cisalhamento em perfis comuns: viga com seção 
transversal retangular
Sabendo que a área da seção transversal: A=2bc, temos que:
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Tensões de cisalhamento na flexão
Tensões de cisalhamento em perfis comuns: viga com seção 
transversal retangular
A equação acima mostra uma
distribuição parabólica, sendo que
a tensão de cisalhamento mínima
é zero nas extremidades (como
esperado) e máxima no centro
(espessura não varia).
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Tensões de cisalhamento na flexão
Tensões de cisalhamento em perfis comuns: viga com seção 
transversal retangular
A tensão máxima para essa viga
ocorre quando y=0, ou seja:
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Tensões de cisalhamento na flexão
Tensões de cisalhamento em perfis comuns: viga com seção 
transversal retangular
Qual seria o resultado se este problema fosse calculado por
cisalhamento puro?
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Tensões de cisalhamento na flexão
Tensões de cisalhamento em perfis comuns: perfil I
Alma
Mesa superior
Mesa inferior
Repare que neste caso, a
espessura da viga na região da
alma é pequena e na região das
mesas é consideravelmente
maior. Isso mostra que, para a
alma:
Ou seja, a tensão de
cisalhamento se aproxima
muito da média τave.
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Tensões de cisalhamento na flexão
Tensões de cisalhamento em perfis comuns: perfil I
Alma
Mesa superior
Mesa inferior
Para as mesas, a tensão de
cisalhamento vai variar
consideravelmente entre as
laterais e centro.
τave é diferente de τxy ao longo
da espessura inteira.
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Tensões de cisalhamento na flexão
Tensões de cisalhamento em perfis comuns: perfil I
Se calculada a tensão de cisalhamento média no perfil,
repare no resultado:
Existe uma 
variação 
abrupta de 
espessura.
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Tensões de cisalhamento na flexão
Tensões de cisalhamento em perfis comuns: perfil I
Se calculada a tensão de cisalhamento média no perfil,
repare no resultado:
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Tensões de cisalhamento na flexão
Tensões de cisalhamento em perfis comuns: perfil I
A distribuição é 
muito uniforme na 
alma!
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Tensões de cisalhamento na flexão
Tensões de cisalhamento em perfis comuns: perfil I
Na prática, consideramos que a alma
suporta toda tensão de cisalhamento,
e considerar a tensão máxima de
cisalhamento como força vertical
dividida pela área transversal da alma
(web) é uma aproximação muito boa:
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Tensões de cisalhamento na flexão
Tensões de cisalhamento em perfis comuns: perfil I
Na prática, consideramos que a alma
suporta toda tensão de cisalhamento,
e considerar a tensão máxima de
cisalhamento como força vertical
dividida pela área transversal da alma
(web) é uma aproximação muito boa:
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Tensões de cisalhamento na flexão
Exemplo 1: A viga abaixo é formada por 3 placas soldadas e é
solicitada ao carregamento mostrado. Sabendo que a
espessura da alma é de 20mm, determine a tensão de
cisalhamento média em cada uma das juntas (a e b) na seção
n-n. A localização do centroide é dada e o momento de inércia
é conhecido: I=8,63.10-6 m4.
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Tensões de cisalhamentona flexão
Exemplo 1
1 – Diagrama de força cortante. Na seção n-n, a força vertical
vale V=1,5kN.
2 – Para a solda a-a, temos:
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Tensões de cisalhamento na flexão
Exemplo 1
2 – Para a solda a-a, temos:
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Tensões de cisalhamento na flexão
Exemplo 1
2 – Para a solda b-b, temos:
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Tensões de cisalhamento na flexão
Exercício 1 – para as vigas abaixo, considere a seção n-n e
calcule a) a máxima tensão de cisalhamento na seção e b) a
tensão de cisalhamento no ponto a.
1.1
5 kN5 kN5 kN
1 m 1 m 1 m 1 m
0,5 m
1 m10 mm
10 mm
20 mm
5 mm
250 mm
250 mm
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Tensões de cisalhamento na flexão
1.2
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Tensões de cisalhamento na flexão
1.3
10 kN 10 kN
0,4 m 0,4 m0,2 m
0,2 m
100 mm
100 mm
10 mm
10 mm
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Tensões de cisalhamento na flexão
Exercício 2 – Para a viga de madeira abaixo, sabe-se que a
tensão normal admissível vale 12 MPa e a tensão de
cisalhamento admissível vale 825 kPa. Determine a mínima
espessura b.
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Tensões de cisalhamento na flexão
Exercício 3 – Para a viga abaixo, calcule a máxima carga P.
Sabe-se que a tensão normal admissível é de 160 MPa e a
aproximação τmax=V/Aweb = 100 MPa (cisalhamento máximo
admissível).
W610 x 155
2 m 3 m
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Tensões de cisalhamento na flexão