UN 6 - CAMINHO DO CONHECIMENTO MECÂNICA DOS SÓLIDOS II

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CONCEITOS DE MECÂNICA DAS 
ESTRUTURAS
Gleysson Morais Andrade
INTRODUÇÃO
Alguns conceitos fundamentais relacionados a mecânica das estruturas
são a flexão obliqua, fluxo de cisalhamento e centro de cisalhamento.
Nesta unidade trabalharemos esses temas para compreender melhor
como são identificados e calculados.
FLEXÃO OBLÍQUA
A flexão oblíqua se trata de um caso particular de flexão no qual ocorre
uma combinação de momentos em um mesmo elemento estrutural (viga),
ou seja, acontecem dois eventos ao mesmo tempo, neste caso um
momento de flexão e um cisalhamento. Em outras palavras, a flexão
obliqua vai envolver a deformação da seção transversal do elemento
devido às forças aplicadas, esse processo vai resultar em tensões de
flexão e cisalhamento atuando em diferentes direções em uma mesma
viga.
DEFINIÇÃO
A flexão oblíqua pode ocorrer em diferentes situações, dependendo da
geometria e do sistema de forças aplicado. A seguir podemos observar
alguns exemplos:
• Carregamento não perpendicular à viga;
• Carregamento assimétrico;
• Combinação de forças e momentos.
FLEXÃO OBLÍQUA
Podemos ver a seguir algumas das características principais e aplicações
que a flexão oblíqua pode ter:
• Combinação de momentos de flexão e esforços de cisalhamento;
• Deformação da seção transversal;
• Distribuição de tensões complexa;
• Influência na resistência e rigidez da estrutura;
• Necessidade de análise adequada.
FLEXÃO OBLÍQUA
Flexão simples Flexão Oblíqua
FLEXÃO OBLÍQUA
Na Flexão oblíqua, o momento interno na viga age em qualquer direção
arbitrária.
MOMENTO FLETOR
𝜽 (+) do eixo z para o eixo y
O momento fletor oblíquo pode ser decomposto em suas componentes
ortogonais.
FLEXÃO OBLÍQUA
DECOMPOSIÇÃO DO MOMENTO FLETOR INTERNO
FLEXÃO OBLÍQUA
SUPERPOSIÇÃO DOS MOMENTOS FLETORES
Considerou-se 𝝈𝒙 𝒎á𝒙 > 𝝈′𝒙 𝒎á𝒙
Por inspeção, as tensões de
tração e compressão
máximas 𝝈𝒙 𝒎á𝒙 + 𝝈′𝒙 𝒎á𝒙 ,
ocorrem em dois cantos
opostos da seção
transversal.
FLEXÃO OBLÍQUA
APLICAÇÃO PRÁTICA
A tensão normal em qualquer ponto da seção transversal, pode ser expressa
pelo somatório das tensões oriundas dos componentes ortogonais do
momento interno de direção arbitrária (duas flexões simples).
𝝈 = −
𝑴𝒛𝒚
𝑰𝒛
+
𝑴𝒚𝒁
𝑰𝒚
FLEXÃO OBLÍQUA
TENSÃO NORMAL NA FLEXÃO OBLÍQUA
Sendo:
𝝈 – Tensão normal em qualquer ponto.
y, z – Coordenadas do ponto medidas em relação a
x, y e z.
𝑴𝒚 , 𝑴𝒛 - componentes do momento interno
resultante direcionados ao longo dos eixos y e z.
𝑰𝒚, 𝑰𝒛 - Momentos principais de inércia calculados
em torno dos eixos y e z.
𝝈 = −
𝑴𝒛𝒚
𝑰𝒛
+
𝑴𝒚𝒁
𝑰𝒚
FLEXÃO OBLÍQUA
TENSÃO NORMAL NA FLEXÃO OBLÍQUA
FLEXÃO OBLÍQUA
DETERMINAÇÃO DA LINHA NEUTRA
O Plano neutro é caracterizado pelas tensões normais nulas em sua
extensão. O plano neutro corta a secção transversal, produzindo a linha
neutra.
𝟎 = −
𝑴𝒛𝒚
𝑰𝒛
+
𝑴𝒚𝒁
𝑰𝒚
𝑴𝒛𝒚
𝑰𝒛
=
𝑴𝒚𝒁
𝑰𝒚
𝒚 =
𝑴𝒚𝑰𝒛𝒁
𝑴𝒛𝑰𝒚
𝒚
𝒁
=
𝑰𝒛𝑴𝐬𝐢𝐧𝜽
𝑰𝒚𝑴𝐜𝐨𝐬𝜽
𝒚 = 𝒁
𝑰𝒛
𝑰𝒚
tan𝜽 𝐭𝐚𝐧𝜶 =
𝑰𝒛
𝑰𝒚
tan𝜽
Equação da reta que define o 
eixo neutro.
Inclinação da reta que define o 
eixo neutro.
𝒚 = 𝒁
𝑰𝒛
𝑰𝒚
tan 𝜽
𝐭𝐚𝐧𝜶 =
𝑰𝒛
𝑰𝒚
tan𝜽
Equação da reta que define o eixo neutro.
Inclinação da reta que define o eixo neutro.
FLEXÃO OBLÍQUA
DETERMINAÇÃO DA LINHA NEUTRA
O ângulo 𝜶 não é igual ao ângulo 𝜽 a
menos que 𝑰𝒛 = 𝑰𝒚
EXEMPLO
A seção transversal retangular mostrada na Figura abaixo está sujeita a
um momento fletor 𝑴 = 𝟏𝟐 𝒌𝑵 ∙ 𝒎 . Determine a tensão normal
desenvolvida em cada canto da seção e especifique a orientação do eixo
neutro.
Componentes do momento interno: Por
inspeção, vemos que os eixos y e z
representam os eixos principais de inércia,
uma vez que são eixos de simetria para a
seção transversal. Como exigido, definimos o
eixo z como o eixo principal para momento
de inércia máximo. O momento é
decomposto em seus componentes y e z,
onde:
𝑴𝒚 = −
𝟒
𝟓
𝟏𝟐𝒌𝑵 ∙ 𝒎 = −𝟗, 𝟔𝟎 𝒌𝑵 ∙ 𝒎
𝑴𝒛 =
𝟑
𝟓
𝟏𝟐𝒌𝑵 ∙ 𝒎 = 𝟕, 𝟐𝟎 𝒌𝑵 ∙ 𝒎
EXEMPLO
Propriedades da seção: Os momentos de inércia em torno dos eixos y e z 
são:
𝑰𝒚 =
𝟏
𝟏𝟐
𝟎, 𝟒𝒎 𝟎, 𝟐𝒎 𝟑 = 𝟎, 𝟐𝟔𝟔𝟕 × 𝟏𝟎−𝟑𝒎𝟒
𝑰𝒛 =
𝟏
𝟏𝟐
𝟎, 𝟐𝒎 𝟎, 𝟒𝒎 𝟑 = 𝟏, 𝟎𝟔𝟕 × 𝟏𝟎−𝟑𝒎𝟒
EXEMPLO
𝝈 = −
𝑴𝒛𝒚
𝑰𝒛
+
𝑴𝒚𝒁
𝑰𝒚
𝝈𝑩 = −
𝟕, 𝟐 𝟏𝟎𝟑 𝑵 ∙ 𝒎 𝟎, 𝟐 𝒎
𝟏, 𝟎𝟔𝟕 × 𝟏𝟎−𝟑𝒎𝟒
+
−𝟗, 𝟔 𝟏𝟎𝟑 𝑵 ∙ 𝒎 −𝟎, 𝟏 𝒎
𝟎, 𝟐𝟔𝟔𝟕 × 𝟏𝟎−𝟑𝒎𝟒
= 𝟐, 𝟐𝟓 𝑴𝑷𝒂
𝝈𝑪 = −
𝟕, 𝟐 𝟏𝟎𝟑 𝑵 ∙ 𝒎 𝟎, 𝟐 𝒎
𝟏, 𝟎𝟔𝟕 × 𝟏𝟎−𝟑𝒎𝟒
+
−𝟗, 𝟔 𝟏𝟎𝟑 𝑵 ∙ 𝒎 𝟎, 𝟏 𝒎
𝟎, 𝟐𝟔𝟔𝟕 × 𝟏𝟎−𝟑𝒎𝟒
= −𝟒, 𝟗𝟓 𝑴𝑷𝒂
𝝈𝑫 = −
𝟕, 𝟐 𝟏𝟎𝟑 𝑵 ∙ 𝒎 −𝟎, 𝟐 𝒎
𝟏, 𝟎𝟔𝟕 × 𝟏𝟎−𝟑𝒎𝟒
+
−𝟗, 𝟔 𝟏𝟎𝟑 𝑵 ∙ 𝒎 𝟎, 𝟏 𝒎
𝟎, 𝟐𝟔𝟔𝟕 × 𝟏𝟎−𝟑𝒎𝟒
= −𝟐, 𝟐𝟓𝑴𝑷𝒂
𝝈𝑬 = −
𝟕, 𝟐 𝟏𝟎𝟑 𝑵 ∙ 𝒎 −𝟎, 𝟐 𝒎
𝟏, 𝟎𝟔𝟕 × 𝟏𝟎−𝟑𝒎𝟒
+
−𝟗, 𝟔 𝟏𝟎𝟑 𝑵 ∙ 𝒎 −𝟎, 𝟏 𝒎
𝟎, 𝟐𝟔𝟔𝟕 × 𝟏𝟎−𝟑𝒎𝟒
= 𝟒, 𝟗𝟓𝑴𝑷𝒂
EXEMPLO
A distribuição da tensão normal resultante foi traçada usando esses valores.
Visto que a superposição se aplica e a distribuição de tensão é linear.
EXEMPLO
Orientação do eixo neutro: A localização z do eixo neutro (NA) (figura abaixo)
pode ser determinada por semelhança de triângulo. Ao longo da borda BC,
exige-se:
EXEMPLO
𝟐, 𝟐𝟓 𝑴𝑷𝒂
𝒛
=
𝟒, 𝟗𝟓 𝑴𝑷𝒂
𝟎, 𝟐 𝒎 − 𝒛
𝒛 = 𝟎, 𝟎𝟔𝟐𝟓𝒎
Da mesma maneira, essa é também a distância de
D ao eixo neutro.
Também podemos determinar a orientação
de NA pela Equação (𝐭𝐚𝐧𝜶 =
𝑰𝒛
𝑰𝒚
tan𝜽), que é
usada para especificar o ângulo 𝜶 que o
eixo faz com o eixo 𝒛 ou eixo principal
máximo. De acordo com a convenção de
sinal que adotamos, deve ser medido do
eixo + 𝒛 em direção ao eixo +𝒚.
tan𝜽 = −
𝟒
𝟑
𝜽 = −𝟓𝟑, 𝟏𝟑° 𝒐𝒖 + 𝟑𝟎𝟔, 𝟗°
EXEMPLO
EXEMPLO
Assim,
𝐭𝐚𝐧𝜶 =
𝑰𝒛
𝑰𝒚
𝐭𝐚𝐧𝜽
𝐭𝐚𝐧𝜶 =
𝟏, 𝟎𝟔𝟕 𝟏𝟎−𝟑 𝒎𝟒
𝟎, 𝟐𝟔𝟔𝟕 𝟏𝟎−𝟑 𝒎𝟒
𝐭𝐚𝐧 −𝟓𝟑, 𝟏°
𝐭𝐚𝐧𝜶 = −𝟕𝟗, 𝟒°
FLEXÃO OBLÍQUA COMPOSTA
FLEXÃO + CARGA AXIAL
Força de compressão 𝑷 é excêntrica e
provoca reação axial 𝑵 = −𝑷 e momentos ao
longo das secções transversais da
estrutura.
FLEXÃO + CARGA AXIAL
FLEXÃO OBLÍQUA COMPOSTA
𝝈𝒙 = −
𝑷
𝑨
−
𝑴𝒛𝒚
𝑰𝒛
+
𝑴𝒚𝒁
𝑰𝒚
EXEMPLO
O bloco retangular de peso desprezível está sujeito a uma fora vertical de
𝟒𝟎 𝒌𝑵 aplicada em seu canto. Determine a distribuição de tensão normal
que age sobre uma secção que passa por ABCD.
𝑴𝒛 = 𝟒𝟎𝒌 𝑵 × 𝟎, 𝟒 𝒎 = −𝟏𝟔𝒌𝑵𝒎
𝑴𝒚 = 𝟒𝟎𝒌 𝑵 × 𝟎, 𝟐 𝒎 = 𝟖𝒌𝑵𝒎
EXEMPLO
Calculando o momento de inércia em relação aos eixos z e y respectivamente.
𝑰𝒛 =
𝟏
𝟏𝟐
𝟎, 𝟒𝒎 𝟎, 𝟖𝒎 𝟑 = 𝟏𝟕, 𝟎𝟕 × 𝟏𝟎−𝟑𝒎𝟒
𝑰𝒚 =
𝟏
𝟏𝟐
𝟎, 𝟖𝒎 𝟎, 𝟒𝒎 𝟑 = 𝟒, 𝟐𝟕 × 𝟏𝟎−𝟑𝒎𝟒
EXEMPLO
𝝈𝒙 = −
𝑷
𝑨
−
𝑴𝒛𝒚
𝑰𝒛
+
𝑴𝒚𝒁
𝑰𝒚
𝑨 = 𝟎, 𝟑𝟐𝒎𝟐
𝑴𝒁 = −𝟏𝟔 𝒌𝑵 ∙ 𝒎
𝑴𝒚 = 𝟖 𝒌𝑵 ∙ 𝒎
𝑰𝒁 = −𝟏𝟕, 𝟎𝟕 × 𝟏𝟎
−𝟑𝒎𝟒
𝑰𝒚 = 𝟒, 𝟐𝟕 × 𝟏𝟎
−𝟑𝒎𝟒
Equação geral:
𝝈 = −
−𝟒𝟎 𝒌𝑵
𝟎, 𝟑𝟐𝒎𝟐
−
−𝟏𝟔𝒌𝑵𝒎 𝒚
𝟏𝟕, 𝟎𝟕 × 𝟏𝟎−𝟑𝒎𝟒
+
𝟖𝒌𝑵𝒎 𝒁
𝟒, 𝟐𝟕 × 𝟏𝟎−𝟑𝒎𝟒
𝝈 = −𝟏𝟐𝟓 + 𝟗𝟑𝟕, 𝟑𝟐𝒚 + 𝟏𝟖𝟕𝟑, 𝟓𝟒𝒛
Y Z
-0,4 0,2
-0,4 -0,2
0,4 -0,2
0,4 0,2
EXEMPLO
𝝈𝒙 = −
𝑷
𝑨
−
𝑴𝒛𝒚
𝑰𝒛
+
𝑴𝒚𝒁
𝑰𝒚
𝝈𝑨 = −
𝟒𝟎 𝒌𝑵
𝟎, 𝟖𝒎 𝟎, 𝟒𝒎
−
−𝟏𝟔𝒌𝑵𝒎
𝟎, 𝟖𝒎 𝟎, 𝟒𝒎 𝟑
𝟏𝟐
−𝟎, 𝟒𝒎 +
𝟖𝒌𝑵𝒎
𝟎, 𝟒 𝒎 𝟎, 𝟖𝒎 𝟑
𝟏𝟐
𝟎, 𝟐𝒎
𝝈𝑨 = −𝟏𝟐𝟓 𝒌𝑷𝒂 + 𝟑𝟕𝟓𝒌𝑷𝒂 − 𝟑𝟕𝟓𝒌𝑷𝒂 = −𝟏𝟐𝟓𝒌𝑷𝒂
𝝈𝑩 = −𝟏𝟐𝟓𝒌𝑷𝒂 − 𝟑𝟕𝟓𝒌𝑷𝒂 − 𝟑𝟕𝟓𝒌𝑷𝒂 = −𝟖𝟕𝟓𝒌𝑷𝒂
𝝈𝑪 = −𝟏𝟐𝟓𝒌𝑷𝒂 + 𝟑𝟕𝟓𝒌𝑷𝒂 − 𝟑𝟕𝟓𝒌𝑷𝒂 = −𝟏𝟐𝟓𝒌𝑷𝒂
𝝈𝑫 = −𝟏𝟐𝟓𝒌𝑷𝒂 + 𝟑𝟕𝟓𝒌𝑷𝒂 + 𝟑𝟕𝟓𝒌𝑷𝒂 = 𝟔𝟐𝟓𝒌𝑷𝒂
EXEMPLO
EXEMPLO
CISALHAMENTO TRANSVERSAL
Cisalhamento em 
elementos retos
Devido à propriedade complementar de
cisalhamento, observe que tensões de
cisalhamento longitudinais associadas,
também agirão ao longo dos planos
transversais da viga.
CISALHAMENTO TRANSVERSAL
Forças de cisalhamento em vigas provocam distribuição não linear da deformação por
cisalhamento na seção transversalgerando uma distorção na viga.
CISALHAMENTO TRANSVERSAL
A fórmula do cisalhamento é
deduzida considerando equilíbrio
da força horizontal da tensão de
cisalhamento longitudinal e
distribuições de tensão de flexão,
que agem sobre uma porção de
um segmento diferencial da viga.
𝝉 =
𝑽𝑸
𝑰𝒕
TENSÃO DE CISALHAMENTO
𝝉 = tensão de cisalhamento no elemento no ponto localizado à distância y'do eixo neutro.
Consideramos que essa tensão é constante e, portanto, média, por toda a largura t do
elemento.
𝑽 =força de cisalhamento interna resultante, determinada pelo método das seções e pelas
equações de equilíbrio.
𝑰 = momento de inércia da área da seção transversal inteira, calculada em torno do eixo
neutro.
𝒕= largura da área da seção transversal do elemento, medida no ponto onde
𝝉 deve ser determinada.
𝑸=𝒚^′ 𝑨′ , onde 𝑨′ é a porção superior (ou inferior) da área da seção
transversal do elemento, definido pela seção onde 𝝉 é medida e 𝒚′ é a
distância até o centroide de 𝑨′, medida em relação ao eixo neutro.
𝝉𝑴á𝒙 =
𝟑
𝟐
𝑽
𝑨
A tensão de cisalhamento máxima é atuante
em uma viga maciça de secção transversal
retangular.
A tensão de cisalhamento máxima se distribui
de maneira parabólica, com seu máximo
ocorrendo para 𝒚 = 𝟎 ou seja, sob a linha
neutra da secção transversal.
TENSÃO DE CISALHAMENTO
TENSÃO DE CISALHAMENTO
PONTO IMPORTANTE
A fórmula do cisalhamento 𝝉 =
𝑽𝑸
𝑰𝒕
não deve ser usada para determinar a
tensão de cisalhamento em seções transversais curtas ou achatadas, ou em
pontos onde ocorrem mudanças repentinas.
Determine as variações da tensão de cisalhamento ao longo da altura da
secção abaixo, sendo 𝑽 = 𝟓, 𝟎 𝒌𝑵
EXEMPLO
𝑰𝒁 =
𝟏𝟓 × 𝟓𝟎
𝟏𝟐
= 𝟏, 𝟓𝟔𝟐𝟓 × 𝟏𝟎−𝟑𝒎𝟒
Momento de inércia de toda a secção em relação
ao eixo Z.
A Tensão de cisalhamento no ponto A será nula,
pois o momento estático da área acima deste
ponto vale zero.
Tensão de cisalhamento no ponto B
𝝉𝒙𝒚
𝑩 =
𝟓, 𝟎 ∙ 𝟎, 𝟏𝟓 × 𝟎, 𝟏𝟐𝟓 ∙ 𝟎, 𝟐𝟓 −
𝟎, 𝟏𝟐𝟓
𝟐
𝟎, 𝟏𝟓 ∙ 𝟏, 𝟓𝟔𝟐𝟓 × 𝟏𝟎−𝟑
= 𝟕𝟓, 𝟎
𝒌𝑵
𝒎𝟐
Tensão de cisalhamento no ponto C
𝝉𝒙𝒚
𝑪 =
𝟓, 𝟎 ∙ 𝟎, 𝟐𝟓 × 𝟎, 𝟏𝟓 ∙
𝟎, 𝟐𝟓
𝟐
𝟎, 𝟏𝟓 ∙ 𝟏, 𝟓𝟔𝟐𝟓 × 𝟏𝟎−𝟑
= 𝟏𝟎𝟎, 𝟎
𝒌𝑵
𝒎𝟐
EXEMPLO
𝝉𝒎é𝒅 =
𝑽
𝑨
=
𝟓, 𝟎
𝟎, 𝟏𝟓 × 𝟎, 𝟓𝟎
= 𝟔𝟔, 𝟔𝟔𝟕
𝒌𝑵
𝒎𝟐
EXEMPLO
FLUXO DE CISALHAMENTO
𝝉𝒙𝒚 =
𝑽𝒚𝑸𝒛
𝑰𝒛𝒕
𝒒 = 𝝉𝒙𝒚 ∙ 𝒕 =
𝑽𝒚𝑸𝒛
𝑰𝒛
Na direção do eixo da viga
FLUXO DE CISALHAMENTO
Fluxo de cisalhamento promovido pela força
cortante no material:
𝒒 = 𝝉𝒙𝒚 ∙ 𝒕 =
𝑽𝒚𝑸𝒛
𝑰𝒛
Fluxo de cisalhamento resistivo dos elementos de
fixação:
𝒒𝒓𝒆𝒔𝒊𝒔𝒕𝒆𝒏𝒕𝒆 =
𝒏𝑭
𝒆𝒔𝒑𝒂ç𝒂𝒎𝒆𝒏𝒕𝒐
O conceito de fluxo de cisalhamento será útil para análise de regiões onde
ocorre descontinuidade e variações abruptas do valor de t. Por meio da
análise de do fluxo de cisalhamento de cisalhamento, é possível dimensionar
elementos de fixação como pregos, cola, rebites, parafusos, etc.
Na direção do eixo do elemento esbelto
EXEMPLO
Determinar o valor da força cortante 𝑽𝒚 que a secção
transversal suporta, sabendo-se que a tensão de ruptura
do material da viga é de 400 PSI. Qual o espaçamento
máximo possível entre os pregos, na união mesa/alma,
uma vez que estes suportam um carregamento
transversal máximo de 400 lb.
EXEMPLO
Determinando o centróide da secção transversal:
ഥ𝒚 =
𝟔 ∙ 𝟏, 𝟓 ∙
𝟏, 𝟓
𝟐
+ 𝟏, 𝟎 ∙ 𝟏𝟐 ∙ 𝟕, 𝟓 + 𝟏𝟎 ∙ 𝟏, 𝟓 ∙ 𝟏𝟒, 𝟐𝟓
𝟔 ∙ 𝟏, 𝟓 + 𝟏, 𝟎 ∙ 𝟏𝟐 + 𝟏𝟎 ∙ 𝟏, 𝟓
ഥ𝒚 = 𝟖, 𝟔𝟐𝟓 𝒊𝒏
Determinando o momento de inércia total da secção pelo teorema dos eixos
paralelos:
𝑰𝒛
=
𝟏𝟎 ∙ 𝟏, 𝟓𝟑
𝟏𝟐
+ 𝟏𝟎 ∙ 𝟏, 𝟓 ∙ 𝟏𝟒, 𝟐𝟓 − 𝟖, 𝟔𝟐𝟓 𝟐 +
𝟏 ∙ 𝟏𝟐𝟑
𝟏𝟐
+ 𝟏 ∙ 𝟏𝟐 ∙ 𝟕, 𝟓 − 𝟖, 𝟔𝟐𝟓 𝟐 +
𝟔 ∙ 𝟏, 𝟓𝟑
𝟏𝟐
+ 𝟔 ∙ 𝟏, 𝟓
∙ 𝟎, 𝟕𝟓 − 𝟖, 𝟔𝟐𝟓 𝟐
𝑰𝒛 = 𝟏𝟏𝟗𝟔, 𝟒𝟑𝟕𝟓 𝒊𝒏
𝟒
EXEMPLO
𝑸𝒁
𝑴á𝒙 = 𝟏𝟎 ∙ 𝟏, 𝟓 ∙ 𝟏𝟒, 𝟐𝟓 − 𝟖, 𝟔𝟐𝟓 + 𝟏, 𝟎 ∙ 𝟏𝟐 + 𝟏, 𝟓 − 𝟖, 𝟔𝟐𝟓
𝟏𝟐 + 𝟏, 𝟓 − 𝟖, 𝟔𝟐𝟓
𝟐
𝑸𝒁
𝑴á𝒙 = 𝟗𝟔, 𝟐𝟓𝟕𝟖 𝒊𝒏𝟑
Determinando o momento estático da secção acima da
linha neutra em relação a base (eixo z);
EXEMPLO
A tensão de cisalhamento máxima que ocorrerá na linha
neutra. Neste ponto, a força cortante será:
𝝉𝒙𝒚 =
𝑽𝒚𝑸𝒛
𝑰𝒛𝒕
𝑽𝒚 =
𝝉𝒙𝒚𝑰𝒛𝒕
𝑸𝒛
𝑽𝒚 =
𝟒𝟎𝟎
𝒍𝒃
𝒊𝒏𝟐
∙ 𝟏𝟏𝟗𝟔, 𝟒𝟑𝟕𝟓 𝒊𝒏𝟒 ∙ 𝟏, 𝟎 𝒊𝒏
𝟗𝟔, 𝟐𝟓𝟕𝟖 𝒊𝒏𝟑
= 𝟒𝟗𝟕𝟏, 𝟖𝟎𝟒 𝒍𝒃
Calculando fluxo de cisalhamento na junção mesa/alma superior:
𝒒𝒙
𝑺𝒖𝒑
=
𝑽𝒚𝑸𝒛
𝑰𝒛
=
𝟒𝟗𝟕𝟏, 𝟖𝟎𝟒 ∙ 𝟏𝟎 ∙ 𝟏, 𝟓 ∙ 𝟏𝟒, 𝟐𝟓 − 𝟖, 𝟔𝟐𝟓
𝟏𝟏𝟗𝟔, 𝟒𝟑𝟕𝟓
𝒒𝒙
𝑺𝒖𝒑
= 𝟑𝟓𝟎, 𝟔𝟐𝟎
𝒍𝒃
𝒊𝒏
EXEMPLO
Igualando o fluxo de cisalhamento resistente do prego superior com o
fluxo de cisalhamento atuante devido a força cortante 𝑽𝒚, temos:
𝒒𝒓𝒆𝒔 = 𝒒𝒙
𝑺𝒖𝒑
𝑭𝒑𝒓𝒆𝒈𝒐
𝒆𝒔𝒑
= 𝒒𝒙
𝑺𝒖𝒑
𝒆𝒔𝒑 =
𝑭𝒑𝒓𝒆𝒈𝒐
𝒒𝒙
𝑺𝒖𝒑 =
𝟒𝟎𝟎 𝒍𝒃
𝟑𝟓𝟎, 𝟔𝟐𝟎
= 𝟏, 𝟏𝟒 𝒊𝒏
Refaça o cálculo do espaçamento para os pregos da mesa/ama inferior.
Paralela a secção transversal do elemento esbelto
FLUXO DE CISALHAMENTO
FLUXO DE CISALHAMENTO
Paralela: secção transversal do elemento esbelto
FLUXO DE CISALHAMENTO
Paralela a secção transversal do elemento esbelto
• O fluxo de cisalhamento aumenta da extremidade para o centro.
O cisalhamento “flui”, ao longo do esqueleto da secção
transversal, na direção do maior subelemento.
• Atribuímos a direção do fluxo de cisalhamento a mesma direção
da força cortante ao longo da maior secção material do elemento.
A partir da definição do fluxo de cisalhamento neste elemento de
maior porção material, podemos definir o sentido do fluxo de
cisalhamento nos demais sub elementos que compõe o elemento
como um todo.
Maior secção material. 
O fluxo de cisalhamento é na mesma direção da força cortante 
nesta secção.
A força total desenvolvida nas porções esquerda e direita de uma aba pode ser
determinada por integração.
Para a mesa, o fluxo de cisalhamento varia de maneira linear ao longo de b.
𝑭𝒂𝒃𝒂 =
𝑽𝒕𝒅𝒃𝟐
𝟏𝟔𝑰
FLUXO DE CISALHAMENTO
Força na mesa
Para a alma, o fluxo de cisalhamento varia de maneira parabólica.
FLUXO DE CISALHAMENTO
Força na alma
𝑭𝒂𝒍𝒎𝒂 =
𝑽𝒕𝒅𝟐
𝟒𝑰
𝟐𝒃 +
𝟏
𝟑
𝒅
• Haverá o equilíbrio de forças na
mesa superior e inferior.
• A força na alma será a própria força
cortante.
FLUXO DE CISALHAMENTO
FLUXO DE CISALHAMENTO
Perfil 𝑻
Perfil 𝑪
Secção fechada 
triangular vazada
Secção tubular 
vazada
Determinação do centroide da secção:
ഥ𝒚 =
𝟐 ∙ 𝟒𝟎 ∙ 𝟏𝟎 ∙ 𝟓 + 𝟐 𝟏𝟎 ∙ 𝟒𝟎 ∙ 𝟑𝟎 + 𝟔𝟎 ∙ 𝟏𝟎 ∙ 𝟓𝟓
𝟐 ∙ 𝟒𝟎𝟏𝟎 + 𝟐 ∙ 𝟏𝟎 ∙ 𝟒𝟎 + 𝟔𝟎 ∙ 𝟏𝟎
= 𝟐𝟕, 𝟕𝟐𝟕𝟐𝒎𝒎
Determinação do momento de inércia da secção transversal aplicando o teorema dos eixos paralelos:
𝑰𝒛 = 𝟐 ∙
𝟒𝟎 ∙ 𝟏𝟎𝟑
𝟏𝟐
+ 𝟒𝟎 ∙ 𝟏𝟎 ∙ 𝟐𝟕, 𝟕𝟐𝟕𝟐 − 𝟓 𝟐 + 𝟐 ∙
𝟒𝟎 ∙ 𝟏𝟎𝟑
𝟏𝟐
+ 𝟏𝟎 ∙ 𝟒𝟎 ∙ 𝟐𝟕, 𝟕𝟐𝟕𝟐 − 𝟑𝟎 𝟐 +
𝟔𝟎 ∙ 𝟏𝟎𝟑
𝟏𝟐
+ 𝟔𝟎 ∙ 𝟏𝟎 ∙ 𝟐𝟕, 𝟕𝟐𝟕𝟐 − 𝟓𝟓 𝟐
𝑰𝒛 = 𝟗, 𝟖𝟏𝟗𝟔𝟗 × 𝟏𝟎
𝟓𝒎𝒎𝟒
FLUXO DE CISALHAMENTO
𝑸𝒁
𝑩 = 𝟒𝟎 ∙ 𝟏𝟎 ∙ 𝟐𝟕, 𝟕𝟐𝟕𝟐 − 𝟓 + 𝟏𝟕, 𝟕𝟐𝟕𝟐 ∙ 𝟏𝟎 ∙
𝟏𝟕, 𝟕𝟐𝟕𝟐
𝟐
− 𝟒𝟎 − 𝟏𝟕, 𝟕𝟐𝟕𝟐 ∙ 𝟏𝟎 ∙
𝟒𝟎 − 𝟏𝟕, 𝟕𝟐𝟕𝟐
𝟐
𝑸𝒁
𝑩 = 𝟖𝟏𝟖𝟏, 𝟕𝟔 𝒎𝒎𝟑
𝑸𝒁
𝒄𝒈
= 𝟒𝟎 ∙ 𝟏𝟎 ∙ 𝟐𝟕, 𝟕𝟐𝟕𝟐 − 𝟓 + 𝟏𝟕, 𝟕𝟐𝟕𝟐 ∙ 𝟏𝟎 ∙
𝟏𝟕, 𝟕𝟐𝟕𝟐
𝟐
𝑸𝒁
𝒄𝒈
= 𝟏𝟎𝟔𝟔𝟐, 𝟏𝟓 𝒎𝒎𝟑
𝑸𝒁
𝑨 = 𝟒𝟎 ∙ 𝟏𝟎 ∙ 𝟐𝟕, 𝟕𝟐𝟕𝟐 − 𝟓
𝑸𝒁
𝑨 = 𝟗𝟎𝟗𝟎, 𝟖𝟖 𝒎𝒎𝟑
EXEMPLO
𝑞𝐴 =
𝑉𝑗𝑄𝑘
𝐼𝑘
⇒ 𝑞𝐴 =
150 ∙ 9090,88
9,81969 × 105
⇒ 𝑞𝐴 = 1,389
𝑁
𝑚𝑚
𝑞𝐵 =
𝑉𝑗𝑄𝑘
𝐼𝑘
⇒ 𝑞𝐵 =
150 ∙ 8181,76
9,81969 × 105
⇒ 𝑞𝐵 = 1,250
𝑁
𝑚𝑚
𝑞𝑐𝑔 =
𝑉𝑗𝑄𝑘
𝐼𝑘
⇒ 𝑞𝑐𝑔 =
150 ∙ 10662,15
9,81969 × 105
⇒ 𝑞𝑐𝑔 = 1,629
𝑁
𝑚𝑚
EXEMPLO
𝐹𝑚𝑒𝑠𝑎 = න
𝑠
𝑞𝑑𝑠 ⇒ 𝐹𝑚𝑒𝑠𝑎 = න
0
35
150
9,81969 × 105
𝑠 ∙ 10 27,7272 − 5 𝑑𝑠
𝐹𝑚𝑒𝑠𝑎 = න
0
35
3,472 × 10−2 𝑠 ∙ 𝑑𝑠
𝐹𝑚𝑒𝑠𝑎 = 21,266 𝑘𝑁
𝐹𝑎𝑙𝑚𝑎
1 = න
𝑠
𝑞𝑑𝑠 ⇒ 𝐹𝑎𝑙𝑚𝑎
1 = න
0
22,7272
150
9,81969 × 105
35 ∙ 10 27,7272 − 5 + 10 ∙ 𝑠 27,7272 − 5 −
𝑠
2
𝑑𝑠
𝐹𝑎𝑙𝑚𝑎
1= 33,593 𝑘𝑁
𝐹𝑎𝑙𝑚𝑎
2 = න
𝑠
𝑞𝑑𝑠 ⇒ 𝐹𝑎𝑙𝑚𝑎
2 = න
0
27,2728
150
9,81969 × 105
10 ∙ 𝑠
𝑠
2
𝐹𝑎𝑙𝑚𝑎
2 = 5,164 𝑘𝑁
EXEMPLO
• Uma força cortante atuante na direção vertical, de cima para
baixo.
• O fluxo de cisalhamento no elemento paralelo a força
cortante, seguirá o mesmo sentido da força cortante.
• O fluxo de cisalhamento dos demais subcomponentes são
apresentados de modo a configurar a lógica do fluxo.
CENTRO DE CISALHAMENTO
𝒒 = 𝝉𝒙𝒚 ∙ 𝒕 =
𝑽𝒚𝑸𝒛
𝑰𝒛
𝑭𝒆𝒒𝒖𝒊 = න
𝒔
𝒒𝒅𝒔
CENTRO DE CISALHAMENTO
Aplicação de carregamento em uma direção diferente das direções de simetria do elemento.
O ponto O na figura acima, representa um ponto onde um carregamento externo P é aplicado,
de modo a garantir que a estrutura sofra apenas flexão, eliminando o momento torçor. Este
ponto O é denominado de centro de cisalhamento.
CENTRO DE CISALHAMENTO
CENTRO DE CISALHAMENTO
Determinando o centro de cisalhamento
𝑰𝒛 = 𝟐 ∙
𝒃𝒕𝟑
𝟏𝟐
+ 𝒃𝒕
𝒉
𝟐
𝟐
+
𝒕𝒉𝟑
𝟏𝟐
⇒ 𝑰𝒛 =
𝒕𝒉𝟐
𝟐
𝒃 +
𝒉
𝟔
Momento de inércia de toda a secção transversal.
Força equivalente na mesa inferior:
𝑭𝒎𝒆𝒔𝒂 = න
𝒔
𝒒𝒅𝒔 ⇒ 𝑭𝒎𝒆𝒔𝒂 = න
𝟎
𝒃
𝑷
𝑰𝒛
𝒕𝒔
𝒉
𝟐
𝒅𝒔 ⇒ 𝑭𝒎𝒆𝒔𝒂 =
𝑷𝒃𝟐
𝟐𝒉 𝒃 +
𝒉
𝟔
Pelo equilíbrio de momento torçor em relação ao ponto A:
−𝑭𝒎𝒆𝒔𝒂𝒉 + 𝑷𝒆 = 𝟎
𝒆 =
𝒃𝟐
𝟐 𝒃 +
𝒉
𝟔
O centro de cisalhamento não depende do carregamento externo, apenas da
geometria da secção do elemento.
REFERÊNCIAS
HIBBELER, R. C. Resistência dos Materiais. 10 ed. São Paulo: Pearson Education 
do Brasil, 2018. 
BEER, F. P.; E. JOHNSTON, R. Jr. Resistência dos Materiais. 3. ed. McGraw-Hill, 
2015.
OBRIGADO!