CÁLCULO NUMÉRICO ZEROS DAS FUNÇÕES REFINAMENTO DOS INTERVALOS ENTRE AS RAÍZES SÉRIE 7

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CÁLCULO NUMÉRICO – ZEROS DAS FUNÇÕES – REFINAMENTO DOS 
INTERVALOS ENTRE AS RAÍZES – SÉRIE 7 
Prof. Cida Coelho 
 
Para obtermos as raízes reais de uma função qualquer algumas vezes temos de 
nos contentar em encontrar apenas aproximações. Podemos, por outro lado, encontrar 
essas raízes ou zeros com qualquer precisão prefixada. 
A ideia central dos métodos numéricos para resolução de equações é partir de 
uma aproximação inicial para a raiz e em seguida refinar essa aproximação através de 
um método iterativo (de repetições). 
O método consta de duas fases: 
• Localização ou isolamento das raízes, que consiste em obter um 
intervalo que contém a raiz. 
• Refinamento, que consiste em melhorar sucessivamente as 
aproximações até obter uma aproximação para a raiz dentro de uma 
precisão prefixada. 
Se considerarmos o exemplo da série anterior e a função f (x) = x3 – 9x + 3, 
sabemos que as raízes ou zeros pertencem aos intervalos [- 4,- 3], [0,1] e [2, 3], mas 
não sabemos quais são e muitas vezes não conseguimos calculá-las. Por outro lado, 
conseguimos descobrir um valor aceitável, dentro de uma aproximação. Entramos, 
então, na segunda parte do cálculo, que é a fase do refinamento, que é efetuada 
através de métodos iterativos. A execução de um ciclo recebe o nome de iteração. 
Os métodos iterativos para obter zeros das funções fornecem apenas uma 
aproximação para a solução exata. 
 Método da Bissecção: Seja a função f (x) = x3 – 9x + 3, contínua no 
intervalo [a, b] e tal que f (a) . f (b) < 0. Se escolhermos o intervalo [0,1], que é um 
dos que sabemos que contém uma das raízes (a = 0 e b =1), tentamos reduzir a 
amplitude desse intervalo que contém a raiz até atingir a precisão requerida. Se 
trabalharmos com a precisão 𝜀 = 10-1 devemos ter (b – a) < 𝜀. As iterações são 
realizadas da seguinte forma: 
X0 = 
!!!
!
 = 0,5  
𝑓 0 = 3   > 0
𝑓 0,5 =  −1,375   < 0
𝑓   1 =  −5     < 0
 𝜉 ∈ (0; 0,5) e b – a = 0,5 > 𝜀 
 
Calculando f (0,5), teremos f (0,5) = - 1,375. Comparando com a tabela acima, 
sabemos que a raiz se encontra no intervalo [0; 0,5]. 
Repetindo o processo, teremos: 
 
X1 = 
!!!,!
!
 = 0,25  
𝑓 0 = 3   > 0
𝑓   0,25 =  0,7656     >        0
𝑓   0,5 =  −  1,3756   <  0
 𝜉 ∈ (0,25; 0,5) e b – a = 
0, 25 > 𝜀 (Devemos repetir o processo até que b – a seja menor que 𝜀). 
 
X2 = 
!,!!!,!"
!
 = 0,375  
𝑓 0, 25 = 0,7656   > 0
𝑓   0, 375 =  −0,3222     < 0
𝑓   0,5 =  −  1,375 <  0
 𝜉 ∈ (0,25; 0,375) e 
b – a = 0,125 > 𝜀 
 
X3 = 
!,!"#!!,!"
!
 = 0,3125  
𝑓 0, 375 = −0,3222   < 0
𝑓   0,3125 =  0,2180   >  0
𝑓   0,25 =  0,7656   >  0
 𝜉 ∈ (0,3125; 0,375 ) 
e b – a = 0,0625 < 𝜀, com 4 iterações. 
 
Temos uma fórmula que nos dá o número mínimo de iterações (k) que 
devemos efetuar para encontrarmos um intervalo que contenha a raiz (ou zero) da 
função dentro de uma determinada precisão, no nosso caso, 𝜀 = 10-1: 
 
k  > !"# !!! !!"# !,
!"# !
 , onde [a, b]= [0, 1] – intervalo inicial e 𝜀 = 10-1. 
 No nosso caso, obteremos k  > 3,32, ou seja, k = 4 (4 iterações). 
 
EXERCÍCIOS 
 
1. Sabendo que a função f (x) = x3 – 5x + 3 possui ao menos um zero no 
intervalo [0,1]. Refinar esse intervalo para obter uma aproximação 𝜀 = 3x10-1 
2. Sabendo que a função f (x) = x3 – x - 1 possui ao menos um zero no intervalo 
[1,2], refinar esse intervalo para obter uma aproximação 𝜀 = 3x10-1 
3. Sabendo que a função f (x) = x5 – x2 – x + 1 possui ao menos um zero no 
intervalo [-3/2, 0], refinar esse intervalo pelo método de bissecção utilizando 
apenas uma iteração. 
4. Sabendo-se que a função f (x) = x2 – 15 possui um zero intervalo [3, 4]. 
Quantas iterações serão necessárias para obtermos esse intervalo, com 
precisão 𝜀 = 0,01? 
5. Sabendo-se que a função f (x) = x2 – 20 possui um zero intervalo [3, 5]. 
Quantas iterações serão necessárias para obtermos esse intervalo, com 
precisão 𝜀 = 0,02? 
6. Idem para f (x) = x3 – 9x + 3, intervalo [0, 1] e 𝜀 = 10-3 
7. Idem para f (x) = x3 – x - 1, intervalo [1, 2] e 𝜀 = 10-6 
 
RESPOSTAS 
 
1. [0,5; 0,75] 
2. [1,25; 1,5] 
3. [- 3/2, - 3/4] 
4. 7 
5. 15 
6. 11 
7. 20