Questão 10. Definimos uma série de potência centrada em a como o somatório ∞∑ cn(x− a)n = c0 + c1(x− a) + c2(x− a)2 + c3(x− a)3 + · · · em que ...

a) Para determinar a série de Maclaurin das funções f(x) = ex, g(x) = cos x e h(x) = sin x, podemos usar a fórmula geral da série de Maclaurin: f(x) = f(0) + f'(0)x + f''(0)/2!x^2 + f'''(0)/3!x^3 + ... Para f(x) = ex, temos: f(0) = e^0 = 1 f'(x) = e^x f'(0) = e^0 = 1 f''(x) = e^x f''(0) = e^0 = 1 f'''(x) = e^x f'''(0) = e^0 = 1 Substituindo na fórmula da série de Maclaurin, temos: f(x) = 1 + x + x^2/2! + x^3/3! + ... Portanto, a série de Maclaurin da função f(x) = ex é 1 + x + x^2/2! + x^3/3! + ... Para g(x) = cos x, temos: g(0) = cos(0) = 1 g'(x) = -sin(x) g'(0) = -sin(0) = 0 g''(x) = -cos(x) g''(0) = -cos(0) = -1 g'''(x) = sin(x) g'''(0) = sin(0) = 0 Substituindo na fórmula da série de Maclaurin, temos: g(x) = 1 - x^2/2! - x^4/4! + ... Portanto, a série de Maclaurin da função g(x) = cos x é 1 - x^2/2! - x^4/4! + ... Para h(x) = sin x, temos: h(0) = sin(0) = 0 h'(x) = cos(x) h'(0) = cos(0) = 1 h''(x) = -sin(x) h''(0) = -sin(0) = 0 h'''(x) = -cos(x) h'''(0) = -cos(0) = -1 Substituindo na fórmula da série de Maclaurin, temos: h(x) = x - x^3/3! + x^5/5! - ... Portanto, a série de Maclaurin da função h(x) = sin x é x - x^3/3! + x^5/5! - ... b) Para provar que e^(iθ) = cos θ + i sin θ, podemos usar a série de Maclaurin das funções ex, cos x e sin x: e^(ix) = 1 + ix + (ix)^2/2! + (ix)^3/3! + ... = 1 + ix - x^2/2! - ix^3/3! + ... = (1 - x^2/2! + ...) + i(x - x^3/3! + ...) = cos x + i sin x Substituindo x = θ, temos: e^(iθ) = cos θ + i sin θ Portanto, e^(iθ) = cos θ + i sin θ. c) Para calcular ii, podemos usar a fórmula de Euler: e^(iπ/2) = cos(π/2) + i sin(π/2) = 0 + i = i Portanto, ii = e^(iπ/2) = i.