Juros Simples e Compostos

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Fundamentos da Economia 
UNIVERSIDADE FEDERAL FLUMINENSE - EEIMVR 
• 1 - Juros Simples 
• 1.1 - Conceitos Básicos: juros, remuneração do capital e taxa de juros. 
• Juro é a remuneração do capital empregado. Se aplicarmos um capital durante 
determinado período de tempo, ao fim do prazo obteremos um valor (Montante) 
que será igual ao capital aplicado acrescido da remuneração obtida durante o 
período de aplicação. 
 
 
• A diferença entre o montante (S) e a aplicação (P) é denominada remuneração, 
rendimento do capital: 
 
 
Rendimento = Montante - Aplicação 
• O rendimento em uma aplicação financeira é o produto da taxa de juros(i) vezes o principal: 
• Igualando as duas expressões p/ cálculo do rendimento, pode-se obter uma relação para o 
montante: 
• O mercado financeiro trabalha com taxa de juros em base percentual, porem é necessário colocá-
la na forma fracionária para realizar os cálculos financeiros. 
• Ex: 
Forma percentual Forma fracionária 
20% 0,2 
4% 0,04 
0,7% 0,007 
S  P  P i  S  P1 i 
 rendimento  P  i 
Paplicação 
i  
J (rendimento) 
• Quando o prazo da operação é dado, considerando-se anos com meses de 30 dias, 
os juros são chamados de comerciais; 
• Quando o n° de dias corresponde àquele do ano civil (365 dias) são chamados de 
juros exatos. 
 
 
Nomenclaturas e convenções: 
 
 
• $ - Moeda nacional e US$ - moeda estrangeira (dólar) 
• a.a = tx ao ano 
• a.s = tx ao semestre 
• a.t = tx ao trimestre 
• a.m = tx ao mês 
• a.d = tx ao dia 
• Ex1: Calcule os juros obtidos em uma aplicação de $3000 durante um ano à juros 
simples de 25% a.a. 
• Dados: P = $3000; i = 25% a.a, J = ? 
 
 
• Ex2: Qual é o montante de $1600 aplicados por um ano à taxa simples de 50%? 
• Dados: P = $1600, i = 50% a.a, S = ? 
• 1.2 Regime de Juros Simples 
• Juros simples: 
•  Os juros de cada período são calculados sempre sobre o mesmo principal. 
•  Não existe capitalização de jrs, ou seja, esta soma não serve de base de cálculo 
para o período seguinte. 
•  A Taxa de juros tem um comportamento linear ao longo do tempo. 
base em •  A tx de jrs pode ser convertida p/outro
 prazo qualquer com multiplicação e divisão. 
•  Aplicação limitada, tem algum sentido apenas no curtíssimo prazo. 
• 1.2.1 Cálculo do rendimento com jrs simples 
 
J  Pi 
 
• Como seu comportamento é linear, então p/ n períodos, temos: 
 
J  P i  n 
n = 3 anos 
• Exemplo: 
• Capital = $100; JS = 15% a.a; 
• J1= P . i = 100 . 0,15 = $ 15 
• J2= P . i = 100 . 0,15 = $ 15 
• J3= P . i = 100 . 0,15 = $ 15 
• Total = $45 
• Os juros não são incorporados ao principal p/ servirem de base de cálculo do 
período seguinte, então: 
• 
• J  Pi  n = 100 . 0,15 . 3 = $ 45 
• A expressão p/o cálculo dos juros em função do montante: 
• Exercício 1: Qual o valor do rendimento de um capital de $1250,00 a tx simples de 
14% a.m durante 6 meses? 
J  Pi  n 
J  
S  i  n 
1 i  n 
• 1.2.2 Períodos de não inteiros 
• As vezes o período de investimento é só uma fração do período expresso na tx de jrs, ou 
seja, as unidades de tempo dos juros são diferentes do período de investimento. Logo, 
necessita-se homogeneizá-las. Ex: 
 
A) tx de jrs mensal e o prazo da aplicação em dias: 
(juro comercial) 
B) Tx jrs anual e prazo da aplicação em meses: 
• Entre parênteses as txs proporcionais, isto é, homogêneas em relação ao prazo da 
aplicação. 
  
C) Tx de jrs anual e prazo da aplicação em dias: 
 i  J  P. .n 
12 
  
 i  J  P. .n 
30 
i .n (juro comercial)  
3 6 0
 J  P.
 i 
.n(juro exato)  
3 6 5
 
    
J  P.
 
• Ex 1.4: Qual o rendimento de $10.000 aplicados por um mês à tx simples de 36% a.a? 
• Dados: P = $10.000, n = 1 mês, i = 36% a.a, J = ? 
• Ex 1.5: Determinar a tx simples p/ 22 dias de aplicação, equivalente a tx de 3,05% 
a.m. 
• Dados: n = 22 dias, i = 3,05% a.m, i 22dias = ? 
• i 22dias = (0.0305 / 30) . 22 = 0.0224 = 2.24% em 22 dias. 
 
12 
 
  
J  P  i  n  10000.
 0.36 
.1  $300 
• Ex 1.6: Em 7 meses $18.000 renderam $4000 de juros. Qual é a tx anual simples 
obtida? 
• Dados: P = $18000, J = $ 4000, n = 7, i =? 
• J = P . i . n 
 
• Ex 1.7: Um título foi resgatado por $3000. Se a tx de jrs simples aplicada foi de 
180% a.a e os jrs obtidos totalizaram $1636,36, quantos meses durou esta 
aplicação? 
• Dados: S = $3000, i = 180% a.a, J = $1636,36 
• Para o Principal: 
1.2.3 Capitalização e desconto a jrs simples: cálculo do principal e do montante (valor 
de resgate) 
 
 
Montante = principal + juros 
S  P  P i  n 
S  P  (1 in) 
S 
(1 in) 
P  
• Diagrama: 
• 
• 0 Capitalização  
•  Desconto n 
• Capitalização  Cálculo do montante ou valor futuro de um capital. 
• Desconto  Cálculo do valor atual ou presente de um montante futuro. 
P  S1 in1 
S  P1 in 
• Equivalência de capitais a JS 
• Dois capitais são equivalentes quando tem o mesmo valor em determinada data 
de avaliação (data focal). 
• Ex: O diagrama de fluxo ilustra a equivalência ( na data focal 2) a JS de 10% de dois 
capitais: Um de $3.636,35 que ocorre na data 1 e outro de $5.600 na data 6. 
• 
5600 / (1+0,1.4) = 4000 5600 
3.636,53 4.000 = 3.636,35 . (1+0,1. 1) 
• 
• 
• 
• 0 1 2 3 4 5 6 
• Se mudarmos a data focal, a equivalência dos capitais não será mantida. 
Consequentemente, a JS, capitais equivalentes em determinada época não o serão 
em outra. 
• Esse resultado é produto do processo de cálculo adotado no regime linear ou de 
JS, em que não se pode fracionar o prazo da aplicação. 
 
 
• Ex 1.8: 
• Qual o valor de resgate de $500 aplicados por 16 meses à taxa simples de 12% a.t? 
• Dados: P = $500, n = 16 meses, i = 12% a.t, S = ? 
 
 
• S = P (1+ in)  S = 500 ( 1 + 0,12 / 3 . 16) = $820. 
• Ex 1.9: Em qtos meses um capital dobra a juros simples de 200%a.a.? 
• Dados i = 200%a.a, S = 2P e n=? 
6 
  
  
    
 200   1 
 n  6 P  
Pn 
2P  P  
1 
Pn 
6 
2P  
 
    n  2P  P 1 n 
1 12   6  
S  P1 in 
• Ex 1.10: Uma pessoa tem os seguintes compromissos a pagar: 
• $2000 daqui a 3 meses e $2500 daqui a 8 meses. 
• Ela quer trocar esses débitos por 2 pgtos iguais, um p/dez meses e outro para 15 
meses. Calcular o valor desses pgtos se a tx de jrs simples for de 10% am. Dados: i 
= 10% am, S1= 2000 e S2= 2500 e X = ? 
X/(1+0,1.15) 
X/(1+0,1.10) 
2500/(1+0,1.8) 
2000/(1+0,1. 3) 
• 
• 
• 
• 
• 0 3 8 10 15 Mês 
• Dois esquemas de pgto são financeiramente equivalentes em determinada data de avaliação. 
Definindo a data zero como focal e colocando todos os valores nessa data, temos a seguinte 
equação de valor: 
2000 2500 
   
X X 
1 0,1.3 1 0,1.8 1 0,1.10 1 0,1.15 
2000 
 
2500 
 
X 
 
X 
1,3 1,8 2 2,5 
 
2,5  
1   
1338 ,46 1388 ,88  
2927 ,35  0,9 X  X  3252 ,61 
X  0,5  
 
• Mudando a data de avaliação p/o 10º mês e colocando todos os valores nessa data, temos a 
seguinte equação de valor: 
  2000 
1 0,1 5 
1 0,1 7 2500 
X  $3840 
 
• Exercício: Fazer data focal para o 15º mês. 
X 
1 0,1 2  X  
• Ex 1.11: Uma pessoa deve pagar $200 daqui a 2 meses e $400 daqui a 5 meses a 
jrs simples de 5% a.m. Determinar o valor de um pgto único a ser efetuado daqui a 
3 meses que liquide a dívida. 
• 400 
200 X=? 
 0 1 2 3 4 5 
• 
• 
• Como o pgto único será efetuado no 3º mês, definimos esse mês como data focal. 
Por equivalência de capitais, os 2 planos de pgto devem ser financeiramente 
equivalentes naquela data. Logo, temos: 
• X 
• Valor no 3º mês do plano 
= 200(1+0,05. 1) + 400/ (1+0,05. 2) = $573,64 
Valor no 3º mês do plano 
com pgto único. c/os dois pgtos 
• 2 - Juros Compostos 
2.1 Regime de capitalização composta ou exponencial. 
 Regime mais comum no sistema financeiro e do cálculo econômico. 
 Os jrs gerados
a cada período são incorporados ao principal p/o cálculo dos jrs do 
período seguinte. 
 
 
• O exemplo a seguir esclarecerá mais este fato. 
• Ex: P = $1000, n = 3 anos, i = 20%a.a. 
• SJS = $1600 
• SJC = $1728 
• A JC o dinheiro cresce exponencialmente em P.G ao longo de t(tempo). 
• A JS o dinheiro cresce linearmente. 
JS JC 
n Rendimento 
(J) 
Montante 
(S) 
Rendimento 
(J) 
Montante 
(S) 
1 1000. 0,2= 200 1200 1000. 0,2= 200 1200 
2 1000. 0,2= 200 1400 1200. 0,2= 240 1440 
3 1000. 0,2= 200 1600 1440. 0,2= 288 1728 
• 2.2 Capitalização e desconto a jrs compostos, cálculo do montante e do principal. 
• Vejamos o que acontece com o montante de um capital aplicado a uma taxa i durante 
3 períodos: 
• Término do 1º período: S  P1 i 
• Término do 2º período: S  P 1  i 1  i   S  P 1  i 2 
• Término do 3º período: S  P 1  i 1  i 1  i   S  P 1  i 3 
• Generalizando: 
S  P1  in 
• Na fórmula, a taxa de juros deve sempre referir-se à mesma unid. de tempo do período 
financeiro. 
• O fator (1+i)n  é fator de capitalização. É o nº pelo qual devemos multiplicar o valor da 
aplicação(capital) inicial p/obter seu valor futuro (VF) ou resgate. 
• 
• Esquematicamente, os fatores de valor futuro (1+i)n e de valor presente (1+i)-n permitem 
efetuar as seguintes operações: 
(1+i)-n S 
• P (1+i)n n 
• O fator (1+i)n empurra as grandezas pra frente; permite encontrar o montante de uma 
aplicação. 
• O fator (1+i)-n puxa grandezas pra trás; permite encontrar o principal de determinado 
montante. 
n 
• O cálculo do valor presente de um montante ou pgto único é simplesmente o inverso do 
cálculo do montante: 
S 
P  
 1  i 
• Ex: 2.1 – Uma pessoa deposita $2000 em uma poupança. Dois meses depois, 
deposita mais $2500 e, dois meses depois desse último depósito, realiza uma 
retirada de $1300. Qual será o saldo da poupança ao final do quinto mês, 
considerando q a taxa de jrs compostos é de 15% am? 
 
(1,15)5 S 
(1,15)3 
2000 2500 
0 1 2 3 4 5 
• 
• 
• 
• 
• 1300 (1,15) 
• $2000x (1,15)5 = $4022,71 
• $2500x (1,15)3 = $3802,19 
• -$1300x (1,15) = -$ 1495,00 
• S = $ 6329,90 
• Ex: 2.2: A que taxa de juros composta um capital de $13.200 pode se transformar em 
$35.112,26 considerando um período de aplicação de sete meses? 
• Dados: P = 13200; S = 35.112,26; n = 7; i=?? 
• 
S  P1 in 
• 
13.200 
35.112,26 
1 
7 
1 n 
1  0,15  15%am  
 
 
 
 
 
1   
P 
 
  
i  
 S  
• Ex 2.3: A que taxa de jrs efetiva um capital de $2000 obtém um rendimento de $280 em dois 
meses? 
• Dados: n = 2 meses, P = $2000, rendimento = $280, S= $2280, i=?? 
 
 
S  P1 in 
2 1  6,77%am  
 2000 
 2280
2 
 i   2280  20001 i 
Ex 2.4: À tx de jrs composta de 5% a.m, em que prazo $5000 rendem jrs de $1700, 48? 
• Dados: P= $5000, jrs = 1700,48, i = 5%a.m, n = ?? 
• Juros = montante – aplicação 
log1,05 
n  6 meses 
1700,48  5000 1,05n  5000 
1,05n  1,340096 
n  log1,05  log1,340096  n  log1,340096 
• 2.4 Equivalência de capitais a juros compostos 
• O princípio de equivalência de capitais é fundamental na resolução dos problemas 
de cálculo financeiro. Diz-se que dois capitais, com datas de vencimento 
determinadas, são equivalentes quando, levados p/uma mesma data à taxa de 
juros, tiverem valores iguais. 
 
 
• Importante: ressalta-se que, no regime de jrs compostos, dois conjuntos de 
obrigações que sejam equivalentes em determinada data também o serão em 
qualquer outra, 
• Ex 2.5: Calcular o valor presente do conjunto de capitais apresentado a seguir e verificar se, a jrs 
compostos de 10% a.m, eles são equivalentes. 
2662 
2420 
2200 
2000 
• 1.818,18= 2.662x (1.1)-4 
• 1.818,18= 2.420x (1.1)-3 
• 1.818,18= 2.200x (1.1)-2 
• 1.818,18= 2.000x (1.1)-1 
• $7.272,72( V.presente) 
• 0 1 2 3 4 
Capital N 
$2000 1 
$2200 2 
$2420 3 
$2662 4 
• Continuação: 
• Os capitais são equivalentes na data focal inicial (data zero), tendo em vista que seus valores 
atualizados naquela data são iguais. Mudando a data p/o 2º mês: 
2662 x (1,1)-2 = 2200 
2420 x (1,1)-1 = 2200 
• 
• 
• 2200 = 2000 x (1,1) 
• 
• 0 1 2 3 4 
• 2200 = 2000 x (1,1) = 2420 x (1,1)-1 + 2662 x (1,1)-2 
• Constata-se que a equivalência de capitais é mantida. 
1,10 1,102 1,103 1,104 
2000 
 
2200 
 
2420 
 
2662 
 $1818,18 
• Ex 2.6: Verificar se os conjuntos de capitais A e B são equivalentes, considerando-se uma tx de jrs 
de 10%. 
• Dois conjuntos de capitais são equivalentes em determinada data focal quando a soma de seus 
valores atualizados p/aquela data é igual. 
Conjunto A Conjunto B 
Capital Mês de 
Vencimento 
Capital Mês de 
Vencimento 
$2000 1 $2100 1 
$2200 2 $2000 2 
$2420 3 $2300 3 
$2662 4 $2920 4 
• Escolhendo como data focal a data zero, tem-se: 
• $ 7.272,72 $ 7.272,72 
• Verifica-se que os valores presentes dos dois conjuntos de capitais são iguais e, portanto, 
equivalentes. Essa equivalência permanecerá p/qualquer outra data focal. 
1,1 0 1,1 02 1,1 03 1,1 04 1,1 02 1,1 03 1,1 04 1,1 0 
$ 2 0 0 0 
 
$ 2 2 0 0 
 
$ 2 4 2 0 
 
$ 2 6 6 2 
 
$ 2 1 0 0 
 
$ 2 0 0 0 
 
$ 2 3 0 0 
 
$ 2 9 0 2 
• Ex 2.7: Em vendas à vista, uma loja oferece 5% de desconto; pagando-se com cheque pré- 
datado p/um mês, não há cobrança de juros; em cheques pré-datados para dois meses, há um 
acréscimo de 3%. Qual a melhor forma de pgto, se o rendimento do dinheiro for de 3,5% am? 
Dados: d= 5%, valor à vista= 0,95P, valor a um mês= P, valor a dois meses= 1,03P 
• Cálculo da tx de jrs embutida 
• Pgto- um mês: por equivalência de capitais, o valor presente do pgto a um mês deve ser igual ao valor do 
pgto à vista: 
• A melhor forma de pgto é à vista, já que o rendimento do dinheiro é menor que a tx cobrada 
pela loja nas outras duas formas de pgto possíveis 
• Pgto- dois meses: por equivalência de capitais, o valor presente do pgto a 2 meses deve ser igual ao valor do 
pgto à vista: 
1/ 2 
  1  0,041254 4,1254%am 
0,95   
(1,03)P 
 0,95P  i  
 1,03  
1 i2 
P 1 
 0,95P  i  1  0,052632 5,2632%am 
1 i 0,95 
• Uma pessoa tem uma dívida de $3000 com vencimento em dois anos e uma dívida de $4500 
com vencimento em seis anos. Pretende quitar seus débitos por meio de um pgto único a ser 
realizado ao final de 4 anos. Considerando uma tx de jrs de 10%a.a, determinar o valor do 
pgto único que liquida a dívida. 
• Por equivalência de capitais, o valor do pgto único deve ser igual ao valor atualizado – no 4º 
ano – do fluxo de caixa da 1ª forma de pgto.: 
• 0 2 4 6 
• 3000 
• (1,10)2 4500 
• X (1,10)-2 
• X = 3000 x (1,10)2 + 4500 x (1,10)-2 = $7349,00