Cap 02 - 2.5 e 2.6pptx aula 6

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DINÂMICA DOS FLUIDOS
Claus Wehmann
TENSÃO SUPERFICIAL
Na interface entre um liquido e um gás (ou entre 2 líquidos imiscíveis diferentes), existem forças superficiais. Óleo e água.
Estas forças fazem com que a superfície do liquido se comporte como uma membrana esticada sobre a massa fluida. 
TENSÃO SUPERFICIAL
Apesar desta membrana não existir, esta analogia conceitual nos permite explicar muitos fenômenos observados experimentalmente. 
Por exemplo, uma agulha de aço flutua na água se ela é colocada delicadamente na superfície livre do fluido (porque a tensão desenvolvida na membrana hipotética suporta a agulha). E quando pequenos insetos aquáticos são capazes de caminhar sobre a superfície da água. 
TENSÃO SUPERFICIAL
Estes vários tipos de fenômeno superficiais são provocados pelo balanço das forças coesivas que atuam nas moléculas de liquido que estão próximas à superfície do fluido. 
A conseqüência física aparente deste balanceamento assimétrico é a criação da membrana hipotética.
TENSÃO SUPERFICIAL
Isto é, no interior do fluido, do copo, por exemplo, as forças coesivas (forças entre as moléculas) se equilibram, para que o fluido fique em equilíbrio. 
Se não se equilibra, o fluido fica em movimento. Entretanto, na superfície do fluido, ou seja, onde a água está em contato com o ar, este equilíbrio existe de forma assimétrica, porque na parte exterior não existe moléculas do liquido para manter o equilíbrio, ou seja, tem moléculas do ar, que é um fluido diferente. 
TENSÃO SUPERFICIAL
Então esta falta de molécula do liquido no externo, causa o assimetria nas forças coesivas. 
É isso que gera a tensão superficial, ou seja, esta assimetria gera uma força resultante para dentro, que faz com que a superfície do liquido se comporte como uma membrana.
TENSÃO SUPERFICIAL
TENSÃO SUPERFICIAL
TENSÃO SUPERFICIAL
TENSÃO SUPERFICIAL
TENSÃO SUPERFICIAL
A pressão dentro de uma bolha de sabão pode ser calculada utilizando a expressão a seguir:
TENSÃO SUPERFICIAL
TENSÃO SUPERFICIAL
A pressão dentro de uma gota de um fluido pode ser calculada utilizando a expressão a seguir:
TENSÃO SUPERFICIAL
TENSÃO SUPERFICIAL
A tensão superficial também conduz aos fenômenos de ondas capilares (isto é, de comprimentos de onda muito pequenos) em uma superfície líquida e de ascensão ou depressão capilar discutidos a seguir.
TENSÃO SUPERFICIAL
A tensão superficial se origina das forças de atração inter-molcecularesque são denominadas forças de coesão. Quando um líquido está em contato com uma superfície sólida (vidro, por exemplo) outras forças de atração acontecem e são chamadas de forças de adesão.
Quando um tubo capilar, aberto em ambas extremidades, é inserido no líquido, o resultado da competição entre estas forças pode ser notado.
No caso da figura ao lado, as forças de adesão são maiores que as de coesão. Desta forma, as moléculas de água são atraídas mais fortemente pelo vidro do que entre si. O resultado é que a água vai molhando o vidro e a superfície assume a forma mostrada.
TENSÃO SUPERFICIAL
A tensão superficial proporciona uma força F atuando na fronteira circular entre a água e o vidro. Esta força é orientada pelo ângulo ϕ, que é determinado pela competição entre as forças de coesão e de adesão. A componente vertical de F puxa a água para cima no tubo até a altura h. A esta altura a componente vertical de F se contrapõe ao peso da coluna de água de comprimento h.
TENSÃO SUPERFICIAL
Se substituirmos a água por mercúrio, as forças de coesão serão maiores que as de adesão. Os átomos de mercúrio são atraídos mais fortemente entre si do que pelo vidro. Como consequência o mercúrio não molha o vidro.
Agora, ao contrário do caso anterior, a tensão superficial proporciona uma força F, cuja componente vertical puxa o mercúrio para baixo até uma distância h no tubo.
TENSÃO SUPERFICIAL
O valor da ascensão capilar num tubo circular é determinado pelo equilíbrio de forças na coluna cilíndrica de altura h no tubo. 
Esta equação também vale para encontrar a depressão capilar, neste caso ϕ> 90º, e o resultado de h será negativo.
Observe que h é inversamente proporcional a R. Quanto mais fino o tubo, maior será h.
Na prática, o feito capilar é desprezível para tubos com diâmetros acima de 1 cm.
Note que h também é inversamente proporcional à densidade (esperado?).
TENSÃO SUPERFICIAL
Nesta situação, nós temos uma interface sólido – liquido – gás. De modo que a altura da coluna é dada pela relação:
OBS: Existe uma tabela que apresenta o valor da tensão superficial de alguns líquidos em contato com o ar e outra tabela que apresenta o valor desta propriedade para a água em várias temperaturas. Observe que o valor da tensão superficial diminui com o aumento da temperatura.
DESCRIÇÃO E CLASSIFICAÇÃO DOS FLUIDOS
O movimento dos fluidos se classificam segundo vários aspectos. Do ponto de vista da viscosidade, o escoamento pode ser viscoso ou não viscoso. 
Os fluidos não viscosos chamados de fluidos ideais, possuem . Neste caso, eles também podem ser compressíveis e não compressíveis. 
Para o escoamento viscoso, ele pode ser laminar ou turbulento. 
Ele será laminar quando Re<2000, isto implica quase sempre em um escoamento com baixa velocidade e alta viscosidade. 
Quando o número de Reynolds cresce muito, você tem o que normalmente se chama de escoamento turbulento. 
Neste caso, ocorre que os escoamento tem alta velocidade e baixa viscosidade. 
Estes escoamentos ainda podem ser externo (ocorre a céu aberto) e interno (ocorre em um recinto fechado – tubulações).
Descrição e classificação dos movimentos de fluidos
1. Fluidos viscosos e Não-viscosos
2. Escoamentos Laminar e Turbulento
3. Escoamentos Compressível e Incompressível
4. Escoamento Interno e Externo
No campo de escoamento existem duas regiões. 
Região adjacente à fronteira (camada limite), as tensões de cisalhamento estão presentes, 
Escoamento livre, o gradiente de velocidade e tensões de cisalhamento nulos. Nesta região teoria do escoamento invíscido é valida. 
Os escoamentos onde se desprezam os efeitos da viscosidade são denominados de escoamentos invíscidos.
Fluidos viscosos e Não-viscosos
https://sites.google.com/site/scientiaestpotentiaplus/espessura-de-camada-limite
Consideremos um campo de escoamento permanente, incompressível, sobre um cilindro:
ponto de estagnação
A pressão cai continuamente entre os pontos A e B
quantidade de movimento do fluido na camada limite é insuficiente para transportar o elemento mais adiante
região de baixa pressão 
Para um escoamento separado, sobre um corpo, há um desequilíbrio líquido de forças de pressão no sentido do escoamento, isto resulta num arrasto de pressão sobre o corpo. 
↑ ARRASTO DE PRESSÃO
↑ ESTEIRA
Como reduzir o tamanho da esteira e assim reduzir o arrasto de pressão?
http://www.portalsaofrancisco.com.br/alfa/como-funciona-a-aerodinamica/como-funciona-a-aerodinamica.php
Escoamentos Laminar e Turbulento
Para definir estes dois tipos de movimentos iremos recorrer à experiência de Reynolds (1883):
http://www.ebah.com.br/content/ABAAAAWxYAJ/experimento-reynolds
Nota que ao abrir pouco a válvula, portanto para pequenas velocidades de descarga, forma-se um filete contínuo colorido no eixo do tubo (6)
Ao abrir mais a válvula (7) o filete começa a apresentar ondulações e finalmente desaparece a uma pequena distância do ponto de injeção. 
Estes fatos demonstram a existência de dois tipos de escoamento separados por um escoamento de transição.
Editado de www-mdp.eng.cam.ac.uk.
 No primeiro caso, no qual é observável o filete colorido, conclui-se que as partículas viajam sem agitações transversais, mantendo-se em lâminas concêntricas entre as quais não há troca macroscópica de partículas.
 No segundo caso, as partículas apresentam velocidades transversais importantes, já que o filete desaparece pela diluição de suas partículas no volume de água.
Escoamento Turbulento: 
É aquele no qualas partículas apresentam um movimento caótico macroscópico, isto é, a velocidade apresenta componentes transversais ao movimento geral do conjunto do fluido. 
Escoamento Laminar: 
É aquele no qual as partículas deslocam-se em lâminas individualizadas, sem troca de massa entre as mesmas.
Escoamentos Compressível e Incompressível
Escoamentos em que as variações na massa específica são desprezíveis denominam-se incompressíveis.
Quando as variações de massa específica não são desprezíveis, o escoamento é chamado de compressível.
Escoamento Interno e Externo
Escoamentos completamente envoltos por superfícies sólidas são chamados escoamentos internos ou em dutos.
Escoamentos sobre corpos imersos num fluido não-contido são denominados escoamentos externos.
TENSÃO SUPERFICIAL
EXEMPLO 01: A pressão pode ser determinada medindo-se a altura da coluna de líquido num tubo vertical. Qual é o diâmetro de um tubo limpo de vidro necessário para que o movimento de água promovido pela ação capilar (e que se opõe ao movimento provocado pela pressão no tubo) seja menor do que 1,0 mm? Admita que a temperatura é uniforme e igual a 20ºC.
TENSÃO SUPERFICIAL
Resolução
EXERCÍCIOS - FOX
RESOLUÇÃO EX. FOX
EXERCÍCIOS - extra
RESOLUÇÃO EX. extra 01
EXERCÍCIOS - FOX
RESOLUÇÃO EX. extra02
EXERCÍCIOS - FOX
RESOLUÇÃO EX. FOX
EXERCÍCIOS - FOX
RESOLUÇÃO EX. FOX
EXERCÍCIOS - FOX
RESOLUÇÃO EX. FOX
A intensidade da atração molecular por unidade de comprimento ao longo de qualquer linha de 
superfície é denominada tensão superficial (designada por 

). 
 
A tensão superficial é uma propriedade do liquido e depende da temperatura bem como do 
outro fluido que está em contanto com o liquido. 
 
A dimensão da tensão superficial é F/L (N/m) 
 
Este conceito é muito importante em mecânica dos fluidos, podendo explicar muitos 
fenômenos. 
A intensidade da atração molecular por unidade de comprimento ao longo de qualquer linha de superfície é denominada tensão superficial (designada por ). 
A tensão superficial é uma propriedade do liquido e depende da temperatura bem como do outro fluido que está em contanto com o liquido. 
A dimensão da tensão superficial é F/L (N/m)
Este conceito é muito importante em mecânica dos fluidos, podendo explicar muitos fenômenos. 
s
Isto é, sempre que um líquido está em contato com outros líquidos ou gases, ou com uma 
superfície gás/sólido como nesse caso, uma interface se desenvolve agindo como uma 
membrana elástica esticada e criando tensão superficial. 
 
Esta membrana exibe duas características: o ângulo de contato 

 e a magnitude da tensão 
superficial 

 (N/m ou lbf/ft). 
 
 Ambas dependem do tipo de fluido e do tipo da superfície sólida (ou do outro líquido ou gás) 
com a qual ele compartilha uma interface. 
Isto é, sempre que um líquido está em contato com outros líquidos ou gases, ou com uma superfície gás/sólido como nesse caso, uma interface se desenvolve agindo como uma membrana elástica esticada e criando tensão superficial. 
Esta membrana exibe duas características: o ângulo de contato e a magnitude da tensão superficial (N/m ou lbf/ft).
 Ambas dependem do tipo de fluido e do tipo da superfície sólida (ou do outro líquido ou gás) com a qual ele compartilha uma interface.
q
s
R
p
p
p
e
i
s
4
=
-
=
D
R
p
p
p
e
i
s
2
=
-
=
D
R
h
g
q
s
cos
.
2
=
0
=
m
Dados: Para a água a 20º , 
mN/0728,0
 e 
³/789,9 mkN
. Como 
0
0
. 
Dados: Para a água a 20º , e . Como .
m
N
/
0728
,
0
=
s
³
/
789
,
9
m
kN
=
g
0
0
=
q
m
xx
h
R 0149,0
)100,1³)(10789,9(
)0728,0(2cos.2
3




 
Assim, o diâmetro mínimo necessário é: D = 2R = 0,0298 m = 29,8 mm 
Assim, o diâmetro mínimo necessário é: D = 2R = 0,0298 m = 29,8 mm
m
x
x
h
R
0149
,
0
)
10
0
,
1
³)(
10
789
,
9
(
)
0728
,
0
(
2
cos
.
2
3
=
=
=
-
g
q
s
2.57) Pequenas bolhas de gás são formadas quando uma garrafa ou uma lata de refrigerante é 
aberta. O diâmetro médio de uma bolha é cerca de 0,1 mm. Estime a diferença de pressão entre o 
interior e o exterior de uma dessas bolhas. Dados: 
mmN/8,72
 
2.57) Pequenas bolhas de gás são formadas quando uma garrafa ou uma lata de refrigerante é aberta. O diâmetro médio de uma bolha é cerca de 0,1 mm. Estime a diferença de pressão entre o interior e o exterior de uma dessas bolhas. Dados: 
m
mN
/
8
,
72
=
s
²
/
³
10
91
,
2
10
05
,
0
)
10
8
,
72
(
2
2
3
3
m
N
x
x
x
R
p
=
=
=
D
-
-
s
01) Um tubo de vidro, aberto e com 3 mm de diâmetro interno é inserido num banho de 
mercúrio a 20ºC, Qual será a depressão do mercúrio no tubo? Considerar 
0
130
 
mNx /1066,4
1

, 
3
10133x
 
01) 
Um tubo de vidro, aberto e com 3 mm de diâmetro interno é inserido num banho de mercúrio a 20ºC, Qual será a depressão do mercúrio no tubo? Considerar 
0
130
=
q
, 
m
N
x
/
10
66
,
4
1
-
=
s
3
10
133
x
=
g
m
x
x
x
R
h
3
3
0
1
10
3
)
0015
,
0
)(
10
133
(
130
cos
)
10
66
,
4
(
2
cos
2
-
-
-
=
=
=
g
q
s
02) Estime o excesso de pressão numa gota de chuva que apresenta diâmetro igual a 3 mm. 
Dados: 
mNx /1034,7
2

 
02) Estime o excesso de pressão numa gota de chuva que apresenta diâmetro igual a 3 mm. Dados: 
m
N
x
/
10
34
,
7
2
-
=
s
Pa
x
R
p
9
,
97
0015
,
0
)
10
34
,
7
(
2
2
2
=
=
=
-
s
2.41) Considere um viscosímetro de cilindros concêntricos como o do Problema 2.40. Para pequenas 
folgas entre os cilindros, pode-se admitir um perfil de velocidade linear no líquido que preenche o 
espaço anular. O cilindro interno tem 75 mm de diâmetro e 150 mm de altura, e a folg a anular é de 
0,02 mm. Um torque de 0,021 N.m é necessário para girar o cilindro interno a 1 00 rpm. Determine a 
viscosidade do líquido no espaço anular desse viscosímetro. 
Equações básicas: 
A
F

, 
dy
du
yx

, 
RhA .2
, Torque=FR
 
Para o perfil linear: 
d
V
yx

 
Onde V é a velocidade tangencial do cilindro interno: 
RV
 
2.41) Considere um viscosímetro de cilindros concêntricos como o do Problema 2.40. Para pequenas folgas entre os cilindros, pode-se admitir um perfil de velocidade linear no líquido que preenche o espaço anular. O cilindro interno tem 75 mm de diâmetro e 150 mm de altura, e a folga anular é de 0,02 mm. Um torque de 0,021 N.m é necessário para girar o cilindro interno a 100 rpm. Determine a viscosidade do líquido no espaço anular desse viscosímetro.
Equações básicas: , , , Torque=FR
Para o perfil linear: 
Onde V é a velocidade tangencial do cilindro interno: 
d
V
yx
m
t
=
w
R
V
=
A
F
=
t
dy
du
yx
m
t
=
Rh
A
.
2
p
=
Assim, 
d
V
A
F


Rh
F
d
R



2


hR
dF
2
2
.


 
O torque é dado por: 
RFT

R
T
F
 
Substituindo na Equação anterior, tem -se: 
hR
Td
hR
d
R
T
32
22 
 
 
Sabendo-se que 
47,10
60
2
100 


 
msNx
xx
x
/.1007,8
)10150()105,37)(47,10(2
)1002,0(021,0
4
333
3






 
Assim, 
O torque é dado por: 
Substituindo na Equação anterior, tem-se:
Sabendo-se que 
®
h
R
d
F
2
2
.
pw
m
=
RF
T
=
R
T
F
=
h
R
Td
h
R
d
R
T
3
2
2
2
pw
pw
m
=
=
47
,
10
60
2
100
=
=
p
w
m
s
N
x
x
x
x
/
.
10
07
,
8
)
10
150
(
)
10
5
,
37
)(
47
,
10
(
2
)
10
02
,
0
(
021
,
0
4
3
3
3
3
-
-
-
-
=
=
p
m
d
V
A
F
m
=
®
Rh
F
d
R
p
w
m
2
=
2.34) Um bloco cúbico pesando 10 lbf e com arestas de 10 in é puxado para cima sobre uma 
superfície inclinada sobre a qual há uma fina película de óleo SAE 10W a 100°F. Se a velocidade do 
bloco é de 2 ft/s e a película de óleo tem 0, 001 in de espessura, determine a força requerida para 
puxar o bloco. Suponha que a distribuição de velocidade na película de óleo seja linear. A superfície 
está inclinada de 25 graus a partir da horizontal. Dados: 
²/.107,3
2
msNx


 
Transformar todas as unidades: 
NW 48,44)448,4(10 
 
minL 254,0)0254,0(1010 
 
smsftV /6096,0)3048,0(2/2 
 
mxinh
5
1054,2)0254,0(001,0001,0


 
Aplicando o somatório das forças: 
0

x
F
 
AF
yx

 
2.34) Um bloco cúbico pesando 10 lbf e com arestas de 10 in é puxado para cima sobre uma superfície inclinada sobre a qual há uma fina película de óleo SAE 10W a 100°F. Se a velocidade do blocoé de 2 ft/s e a película de óleo tem 0,001 in de espessura, determine a força requerida para puxar o bloco. Suponha que a distribuição de velocidade na película de óleo seja linear. A superfície está inclinada de 25 graus a partir da horizontal. Dados: 
²
/
.
10
7
,
3
2
m
s
N
x
-
=
m
Transformar todas as unidades:
Aplicando o somatório das forças: 
m
x
in
h
5
10
54
,
2
)
0254
,
0
(
001
,
0
001
,
0
-
=
=
=
0
=
å
x
F
(
)
A
F
yx
t
=
N
W
48
,
44
)
448
,
4
(
10
=
=
m
in
L
254
,
0
)
0254
,
0
(
10
10
=
=
=
s
m
s
ft
V
/
6096
,
0
)
3048
,
0
(
2
/
2
=
=
=
0  WsenAF
yx

0  WsenA
dy
du
F

0
25²Wsenl
h
V
F 
 
lbfNsen
x
xF 1,1709,762548,44)254,0(
1054,2
6096,0
107,3
02
5
2



 
®
0
25
²
Wsen
l
h
V
F
+
=
m
lbf
N
sen
x
x
F
1
,
17
09
,
76
25
48
,
44
)
254
,
0
(
10
54
,
2
6096
,
0
10
7
,
3
0
2
5
2
=
=
+
=
-
-
0
=
-
-
q
t
Wsen
A
F
yx
®
0
=
-
-
q
m
Wsen
A
dy
du
F
2.29) A distribuição de velocidade para o escoamento laminar desen volvido entre placas 
paralelas é dada por: 
2
max
2
1







h
y
u
u
onde h é a distância separando as placas; a origem está 
situada na linha mediana entre as placas. Considere um escoamento de água a 15°C, com 
smu /10,0
max

 e h = 0,25 mm. Calcule a tensão de cisalhamento na placa superior e dê o seu 
sentido. Esboce a variação da tensão de cisalhamento numa seção transversal do canal. Dados: 
²/.1014,1
3
msNx


 
2.29) A distribuição de velocidade para o escoamento laminar desenvolvido entre placas paralelas é dada por: onde h é a distância separando as placas; a origem está situada na linha mediana entre as placas. Considere um escoamento de água a 15°C, com e h = 0,25 mm. Calcule a tensão de cisalhamento na placa superior e dê o seu sentido. Esboce a variação da tensão de cisalhamento numa seção transversal do canal. Dados: 
2
max
2
1
÷
ø
ö
ç
è
æ
-
=
h
y
u
u
s
m
u
/
10
,
0
max
=
²
/
.
10
14
,
1
3
m
s
N
x
-
=
m
A equação da tensão de cisalhamento é dada por:
 
dy
du
yx

, 

























2
max
2
1
h
y
u
dy
d
dy
du
, 
2
max
2
max
8
2
4
h
yu
y
h
y
u
dy
du








 
Na placa superior: 
2
h
y
, então: 
h
u
h
h
u
dy
du
h
y
yx
max
2
max
2
4
2
8 
 













 
²/83,1
105,2
)10,0)(1014,1(4
4
4
3
max
mN
x
x
h
u
yx





 
A equação da tensão de cisalhamento é dada por:
, , 
Na placa superior: , então:
2
h
y
=
h
u
h
h
u
dy
du
h
y
yx
max
2
max
2
4
2
8
m
m
m
t
-
=
÷
ø
ö
ç
è
æ
-
=
÷
÷
ø
ö
=
=
²
/
83
,
1
10
5
,
2
)
10
,
0
)(
10
14
,
1
(
4
4
4
3
max
m
N
x
x
h
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