Apostila de Mecânica dos Fluidos

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Apostila de 
Mecânica dos 
Fluidos 
Material de Apoio 
Profa. Nathalia K. Haro 
 nathalia.haro@uniritter.edu.br 
 
 
 
 
 
 
Apostila de Mecânica dos Fluidos 
Material de Apoio 
 
 
Escrito e desenvolvido por Luzala Bernardete Daniel Mayassi, orientada por Nathalia K. Haro em seu 
estágio acadêmico em 2021/01. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Sumário 
 
1. Palavra Ao Estudante .......................................................................................................................... 4 
2. Sobre a Disciplina ............................................................................................................................... 5 
3. Sistema de Unidades ........................................................................................................................... 6 
4. Propriedades Dos Fluidos ................................................................................................................. 14 
5. Lei De Newton Da Viscosidade ......................................................................................................... 21 
6. Estática dos Fluidos ........................................................................................................................... 29 
7. Regimes de Escoamento e Conservação da Massa.......................................................................... 45 
8. Balanço de Energia e Equação de Bernoulli.................................................................................... 55 
9. Equação de Bernoulli com Perda de Carga ..................................................................................... 69 
10. Referências bibliográficas ................................................................................................................. 87 
 
 
 
 
 
4 
 
 
 
Caro Estudante, este guia foi criado especialmente para você, para que você tenha 
um engajamento melhor na disciplina de Mecânica dos Fluidos. Nele você encontrará o 
material explicado de forma clara, didática e sistemática, com exemplos e exercícios 
práticos para o aprimoramento do seu aprendizado. 
 Faça desta apostila o teu caderno, onde você possa além de ler, também rabiscar, 
responder, grifar, fazer anotações, criando assim uma interação maior entre você e a 
disciplina por meio da escrita. Encontrarás por aqui espaços para escreveres o 
desenvolvimento e respostas de exercícios, não hesite, deixe sua mente florir e exponha os 
seus pensamentos. 
 Dica: Dentro de suas possibilidades, evite deixar de última hora o material para ser 
estudado, pois assim, não conseguirás estudar de forma profunda, fazer bom proveito dele 
e tirar as suas dúvidas com calma com o seu professor. 
 
 Vamos lá para a disciplina então?! 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1. PALAVRA AO ESTUDANTE 
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2. SOBRE A DISCIPLINA 
Bem-vindo(a) a disciplina de Mecânica dos Fluidos, que vai estudar a cinemática 
do movimento de fluidos, o trabalho, energia e quantidade de movimento de fluidos, e 
analisar o escoamento de fluidos em tubulações e canais abertos. A mesma utiliza 
experimentação para coleta de dados, análise e dimensionamento de dutos, redes e 
instalações que utilizam fluidos. 
A fim de criar um estudo sistemático, esta disciplina foi organizada nos seguintes 
capítulos: 
• Sistemas de Unidades 
• Propriedades dos Fluidos 
• Lei de Newton da Viscosidade 
• Estática dos Fluidos 
• Regimes de Escoamento 
• Conservação de Massa 
• Balanço de Energia 
• Equação de Bernoulli sem e com Perda de Carga 
Que serão estudados através de aulas expositivas, material escrito, trabalhos de 
pesquisa e resolução de listas de exercícios, contemplando aspectos teóricos e práticos. 
É desejável que ao final de cada capítulo, você seja capaz de compreender um 
pouco mais da disciplina e responder a determinadas questões a ti atribuídas concernente a 
cada capítulo. 
Esta disciplina tem várias aplicações, dentre elas: cálculo de máquinas hidráulicas 
- bombas e turbinas; ação de fluidos sobre superfícies submersas – barragens; projeto de 
tubulações; equilíbrio de corpos flutuantes – embarcações, etc. 
E por fim, as bibliografias básicas desta disciplina são: 
• Fox, Robert W.; Mcdonald, Alan T. Introdução à Mecânica dos Fluidos. 4a Ed. 
, LTC Editora, 1998. 
• Crane Co.; Flow of Fluids Through Valves, Fittings and Pipe. Metric Edition, 
SI Units, 1999 
• Telles, Pedro C. da Silva; Tubulações Industriais. 5ª Ed, LTC Editora, 1974 
 
Com isso, desejo-lhe bons estudos! 
 
 
 
 
6 
 
 
 
3. SISTEMA DE UNIDADES 
 
3.1 História 
Desde a antiguidade, os povos foram criando suas unidades de medida, baseadas 
em medidas imprecisas, normalmente baseadas no corpo humano (palmo, pé, polegada, 
etc). Com o desenvolvimento do comércio, ficavam cada vez mais difíceis a troca de 
informações e as negociações com tantas medidas diferentes, por isso, foi necessário 
utilizar um padrão de medida. 
Em 1791, época da revolução francesa, um grupo de representantes de vários países 
reuniu-se para discutir a adoção de um sistema único de medidas, daí surgiu o sistema 
métrico decimal. Três unidades básicas de medida: o metro, o litro e o quilograma. 
O sistema métrico decimal acabou sendo substituído pelo Sistema Internacional de 
Unidades (SI), mais complexo e sofisticado. No Brasil, o SI foi adotado em 1962 com uso 
obrigatório em todo o Território Nacional. Alguns países (EUA e Inglaterra) utilizam o 
sistema inglês. As medidas deste sistema são baseadas no corpo humano, mais 
precisamente no corpo do rei. 
Por exemplo: Uma jarda (yard) era a medida da distância entre o nariz e o polegar 
do rei estendido. 
 
3.2 Dimensões e Unidades 
Uma dimensão define alguma característica física, por exemplo, comprimento, 
massa, tempo, velocidade e força. Em termos de um sistema particular de dimensões, todas 
as quantidades mensuráveis podem ser subdivididas em dois grupos: quantidades primárias 
e quantidades secundárias. 
Quantidades primárias referem-se a um pequeno grupo de dimensões básicas, a 
partir do qual todos os outros podem ser formados, para as quais estabelecemos 
arbitrariamente escalas de medida. 
Quantidades secundárias são aquelas cujas dimensões são expressas em termos 
das dimensões das quantidades primárias. 
 Por exemplo: Área é uma dimensão secundária que pode ser expressa em 
termos da dimensão comprimento. Se a dimensão de comprimento é L, a dimensão de área 
é L2. 
Uma unidade é um padrão ou referência em que uma dimensão pode ser expressa 
numericamente. Então, o metro é uma unidade em que a dimensão comprimento pode ser 
7 
 
 
 
expressa, o quilograma é uma unidade em que a dimensão massa pode ser expressa e assim 
por diante. 
Por exemplo: O comprimento (dimensão) de uma escada pode ser 2 metros 
(unidade) e sua massa (dimensão), 10 quilogramas (unidade). 
A dimensão de comprimento pode ser medida em unidades de metros, pés, jardas 
ou milhas. Cada unidade de comprimento é relacionada com as outras unidades por fatores 
de conversão de unidades (1 milha = 5280 pés = 1609 metros). 
 Existem nove quantidades que são consideradas dimensões 
fundamentais/primárias: 
✓ Comprimento; 
✓ Massa; 
✓ Tempo; 
✓ Temperatura; 
✓ Quantidade molar de uma substância; 
✓ Corrente elétrica; 
✓ Intensidade luminosa; 
✓ Ângulo plano e 
✓ Ângulo sólido. 
Na tabela 3.1 estão apresentadas as dimensões fundamentais com suas unidades nos 
sistemas SI e Sistema Inglês: 
 
Tabela 3.1 – Dimensões fundamentais e suas unidades nos sistemas internacionais e sistema 
inglês. 
Quantidade Unidades Sistema Internacional Unidades Sistema Inglês 
Comprimento l Metro m Pé Ft 
Massa m Quilograma kg Slug Slug 
Tempo t Segundo s Segundo S 
Corrente elétrica I Ampére A Ampére A 
Temperatura T Kelvin k Rankine ºR 
Quantidade da 
substânciaQuilograma-Mol kg-mol Libra-Mol Lb-mol 
Intensidade Luminosa Candela cd Candela Cd 
Ângulo plano Radiano rad Radiano Rad 
Ângulo sólido Esfororradiano sr Esfororradiano Sr 
 
8 
 
 
 
Na tabela 3.2 estão as dimensões secundárias expressas em função das dimensões 
fundamentais: 
Tabela 3.2 – Dimensões secundárias e suas unidades no SI. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3.3 Homogeneidade Dimensional 
Qualquer equação válida relacionando quantidades físicas deve ser 
dimensionalmente homogênea; cada termo da equação deve ter as mesmas dimensões. 
Muitas vezes, a análise dimensional é usada para verificar relações matemáticas quanto à 
consistência das suas dimensões. Como podemos ver no exemplo a seguir: 
 
Movimento uniformemente variado: V = V0 + a*t 
𝑉 =
𝑚
𝑠
+
𝑚
𝑠2
∗ 𝑠 = 
𝑚
𝑠
+
𝑚
𝑠2
∗ 𝑠 => V [=] 
𝑚
𝑠
 
 
Exemplo 1: A energia cinética EK de uma partícula de massa m, com velocidade de módulo 
v, é expressa por: 
𝐸𝑘= 
1
2
𝑚𝑣2 (3.1) 
Escreva explicitamente em função das unidades fundamentais a unidade de energia. 
Resposta: 
 
 
 
 
 
 
GRANDEZAS DERIVADAS UNIDADES 
Área m² 
Volume m³ 
Aceleração m/s² 
Força N ou (kg.m)/s² 
Pressão Pa ou kg/(m.s²) 
Velocidade m/s 
Energia J ou (kg.m²)/s² 
Potência W ou J/s 
9 
 
 
 
Exemplo 2: A taxa metabólica R em animais, quando estes produzem uma quantidade de 
trabalho W no tempo t, pode ser escrita como R = W/Ɛt, onde a eficiência do animal, Ɛ, é 
uma quantidade sem unidades. Escreva explicitamente em função das unidades 
fundamentais a unidade de R. 
Resposta: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 3: A magnitude da força de empuxo E, exercida por um fluido de densidade ρ, 
sobre um corpo de volume V, é ρ. g. V, onde g é a aceleração devido à gravidade. Obtenha 
a unidade de ρ em função das unidades fundamentais. 
Resposta: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
10 
 
 
 
Exemplo 4: Verifique as seguintes equações quanto à consistência dimensional: 
 
 
Onde: 
x – distância 
v – velocidade 
a – Aceleração 
t – Tempo 
Resposta: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3.4 Conversão De Unidades 
Quando um problema apresenta diferentes unidades de medida é necessário que 
façamos algumas conversões para conseguir resolver esse problema. 
 Na tabela 3.3 veremos algumas taxas de conversões e das unidades no sistema SI: 
 
 
 
 
 
 
11 
 
 
 
Tabela 3.3 – Principais prefixos da Unidades SI 
Nome Símbolo Fator de multiplicação da unidade 
Tera T 1012 
Giga G 109 
Mega M 106 
Quilo k 103 
Hecto h 102 
Deca da 10 
Unidade 
Deci d 10-1 
Centi c 10-2 
Mili m 10-3 
Micro μ 10-6 
Nano n 10-9 
Pico p 10-12 
 
 
 
 
 
12 
 
 
 
Exemplo 5: Com auxílio das tabelas acima, faça as seguintes conversões: 
a) 10N em lbf 
b) 2 Btu em J 
c) 50 kg em lbm 
d) 350 K em ºC 
e) 200 m/s em km/h 
f) 1 J/kg em Btu/lbm 
g) 1 W/m² em Btu/(h.ft²) 
h) 1 km/h em ft/s 
Resposta: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Anotações 
 
14 
 
 
 
4. PROPRIEDADES DOS FLUIDOS 
 
4.1 Definição de um fluido 
Os fluidos são substâncias que não têm forma própria, adequando-se assim ao 
recipiente no qual estão contidos. Também podem ser definidos como substâncias que se 
deformam continuamente sob a aplicação de uma força tangencial (tensão de 
cisalhamento). 
Figura 4.1 – Definição de um fluido. 
 
Fonte: Brunetti, 2008. 
 
Os sólidos e os fluidos apresentam comportamentos diferentes quando submetidos 
a uma tensão cisalhante. Um sólido resiste à força externa sofrendo uma deformação 
definida de um ângulo , característico, desde que não seja excedido o limite de 
elasticidade do material. A partir da tensão crítica de cisalhamento os sólidos são 
deformados irreversivelmente. Já os fluidos são imediatamente deformados, mesmo para 
pequenos valores da tensão de cisalhamento. Se deformam contínua e indefinidamente 
enquanto existir essa tensão tangencial, pois o ângulo de deformação é função do tempo. 
 
Figura 4.2 – Diferença em comportamento de um sólido e um fluido devido à força de cisalhamento.
 
Fonte: Fox, 1998. 
 
Tensão de Cisalhamento (τ): Razão entre o módulo da componente tangencial da 
força e a área sobre a qual está aplicada. Resumidamente, tensão de cisalhamento é a força 
tangencial por unidade de área. 
15 
 
 
 
 𝝉 =
𝑭𝒕
𝑨
 [
𝑵
𝒎𝟐
] (4.1) 
Onde: 
τ: Tensão de cisalhamento; 
Ft: Força tangencial [N]; 
A: Área [m2]. 
 
Exemplo 1: São dispostas duas placas paralelas a uma determinada distância e o espaço 
entre as placas é preenchido com óleo. A placa superior move-se com velocidade constante 
devido à uma força tangencial de 2 N aplicada. Qual é a tensão de cisalhamento resultante, 
sabendo que a placa superior possui área A = 0,5 m²? 
 
 
 
 
4.2 Características de um fluído 
4.2.1 Compressibilidade 
É a capacidade que um fluido possui de variar o volume por ele ocupado em função 
da pressão. Os líquidos são menos compressíveis que os gases, assim é necessária uma 
elevada pressão para reduzir o volume a uma quantidade significativa. Já os gases são 
facilmente comprimidos. 
 
4.2.2 Resistência ao cisalhamento 
Os fluidos não resistem às forças de cisalhamento. Eles se deformam continuamente 
para minimizar forças de cisalhamento aplicadas. 
 
4.2.3 Resistência ao movimento 
Os líquidos apresentam uma resistência maior nas mudanças instantâneas na 
velocidade de escoamento: viscosidade. 
Os gases apresentam menor resistência ao movimento pois apresentam 
viscosidades muito baixas. 
 
4.2.4 Forma e volume 
Os fluidos assumem a forma dos recipientes onde estão contidos. Eles se deformam 
continuamente para minimizar forças de corte aplicadas. Só os líquidos podem apresentar 
16 
 
 
 
superfícies livres e volume definido, os gases ocupam todo o volume do recipiente. O 
volume do líquido não é afetado significativamente pela temperatura e pressão, já volume 
do gás muda com a variação da temperatura e da pressão. 
 
4.2.5 Pressão 
A pressão num ponto de um fluido é a mesma em todas as direções. A pressão 
exercida por um fluídos numa superfície sólida (p.ex. parede de um recipiente) é sempre 
normal aquela superfície. 
 
4.3 Hipótese do Contínuo 
A chamada “Hipótese do contínuo” é a suposição de que o fluido é contínuo e que 
as propriedades do fluido são equivalentes às propriedades médias das moléculas que 
constituem o fluido. Segundo esta hipótese, qualquer propriedade local do fluido 
permanece inalterada, não importando o tamanho da amostra examinada. 
Com essa hipótese, deixa-se de ter um enfoque microscópico (molecular) e passa-
se a ter um enfoque macroscópico no qual existe um número muito grande de partículas. 
Tem como consequência prática a possibilidade de utilização das ferramentas do cálculo 
diferencial e integral na modelagem matemática dos escoamentos. 
Esta teoria acredita que: 
• Qualquer fluido é um aglomerado de moléculas cujo comportamento conjunto 
é decorrente de forças de atração, que dependem do estado do fluido. Essas 
forças são mais fracas nos gases e mais fortes nos líquidos (as moléculas ficam 
mais próximas no líquido e mais afastadas no gás); 
• O número de moléculas existentes em um volume macroscópico é enorme: na 
CNTP existem cerca de 1019 moléculas em um volume de 1 cm³ de ar 
atmosférico. Nisto, seria muito difícil descrever o comportamento de cada 
molécula, individualmente. 
 
4.3.1 Limitações da Hipótese do Contínuo 
a) A validade do modelo contínuo depende das dimensões do sistema físico em 
estudo. 
Ex: Em um sistema físico com dimensões irregulares, e cantos distribuídos, digo 
sem um formato exato, não se aplica esta hipótese. 
 
17 
 
 
 
b) O modelode meio contínuo tem validade somente para um volume macroscópico 
no qual exista um número grande de moléculas. 
Ex: Recipiente fechado contendo um gás. 
 
Figura 4.4 – Antes e depois de um recipiente com aerossol. 
 
 
Fonte: Slide das aulas da professora Nathalia. 
 
a) Gás confinado em cilindro; b) Gás liberado do cilindro. 
 
Na situação inicial a), a pressão é a mesma em todos os pontos da parede, já na 
situação final b), o número de moléculas é muito pequeno, e ocorrem descontinuidades na 
pressão medida em diferentes pontos da parede. 
 
4.4 Propriedades dos fluidos 
Algumas propriedades são essenciais na análise de um fluido e representam a base 
para o estudo dos fenômenos dos transportes. Essas propriedades são especificas para cada 
tipo de substância em análise e são muito importantes para uma correta avaliação dos 
problemas comumente encontrados na indústria. E elas são: 
 
4.4.1 Densidade ou Massa Específica (ρ) 
Massa de substância contida numa unidade de volume. 
 ρ = 
𝑚𝑎𝑠𝑠𝑎
𝑣𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒
 (4.2) 
Dimensão: [ρ] = M.L-3 
Unidade no S.I.: Kg/m3 
Alguns valores de densidade: 
 
 
a) b) 
18 
 
 
 
 
Tabela 4.1 – Alguns fluidos e suas densidades. 
Fluido ρ (Kg/m3) 
Água destilada a 4ºC 1000 
Água do mar a 15ºC 1022 a 1030 
Ar atmosférico à pressão atmosférica e 0ºC 1,29 
Ar atmosférico à pressão atmosférica e 
15,6ºC 
1,22 
Mercúrio 13590 a 13650 
Petróleo 880 
 
Exemplo 2: Sabendo-se que 800 gramas de um líquido enchem um cubo de 0,08 m de 
aresta, obter a massa específica desse fluido. 
 
 
4.4.2 Volume Específico (υ) 
Volume de substância contida numa unidade de massa. 
 υ = 
𝑣𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒
𝑚𝑎𝑠𝑠𝑎
 ou υ = 
1
𝜌
 (4.3) 
Dimensão: [ʋ]=L³.M-1 
Unidade no S.I.: m³/kg 
 
4.4.3 Peso Específico (γ) 
Peso de substância contida numa unidade de volume. 
 γ = 
𝑊
𝑉𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒
 = 
𝑚.𝑔
𝑉𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒
 = ρ.g (4.4) 
 Dimensão: [γ] = M.L-2.T-2 
19 
 
 
 
 Unidade no S.I.: kg/m2.s2 = N/m3 
 
Exemplo 3: Um fluido tem massa específica ρ = 80 kg/m³. Qual é o seu peso específico? 
 
 
4.4.4 Densidade Relativa (δ) 
Razão entre a massa específica do fluido e a massa específica de um outro fluido (que 
normalmente é a água) de referência. 
 δ = 
𝜌
𝜌á𝑔𝑢𝑎
 (4.5) 
Unidade no S.I.: Adimensional 
 
Exemplo 4: Enche-se um frasco com 3,06 g de ácido sulfúrico. Repete-se a experiência, 
substituindo o ácido por 1,66 g de água. Obter a densidade relativa do ácido sulfúrico. 
 
 
20 
 
 
 
 Anotações 
 
21 
 
 
 
5. LEI DE NEWTON DA VISCOSIDADE 
 
5.1 Princípio da aderência completa 
“Partículas fluidas em contato com superfícies sólidas adquirem a mesma 
velocidade dos pontos da superfície com as quais estabelecem contato”. 
Ex: Fluido entre duas placas (placa inferior parada e placa superior se deslocando 
devido a uma força de cisalhamento). 
Figura 5.1 – Elemento fluido entre duas placas planas. 
 
Fonte: Slide das aulas da professora Nathalia. 
 
Considere o comportamento de um elemento fluido entre duas placas infinitas 
conforme mostrado na figura 5.2-a). 
 
 Figura 5.2 – Elemento fluido sendo deformado num tempo t. 
 
Fonte: Fox, 1998. 
 
 
 
 
 
 
 
 
22 
 
 
 
Dedução da Fórmula 
 
 
23 
 
 
 
𝝉𝒚𝒙 = −𝝁
𝒅𝒗𝒙
𝒅𝒚
 
A tensão de cisalhamento é igual ao gradiente de velocidade multiplicado por um 
coeficiente de proporcionalidade. Esse coeficiente de proporcionalidade é Viscosidade 
Dinâmica do fluido. Assim, a tensão de cisalhamento é dada por: 
 
(5.1) 
 
Onde, 
μ = viscosidade dinâmica [N.s/m² ou kg/(m·s) ou Pa.s] 
𝑑𝑣𝑥
𝑑𝑦
 = variação da velocidade no eixo y (m/s); 
 
Para um perfil de velocidade linear: 
𝛕𝒚𝒙 = −𝛍
𝒗𝒙
𝑯
 (5.2) 
 
Sendo 
H: a distância entre as placas (m); 
μ= viscosidade dinâmica [N.s/m² ou kg/(m·s) ou Pa.s] 
𝒗𝒙= velocidade do fluido (m/s); 
 
5.2 Viscosidade dinâmica (μ) 
É a propriedade associada à resistência que o fluido oferece à força de cisalhamento 
aplicada. 
A viscosidade dos fluidos é originada pela coesão entre as moléculas e pelo choque 
entre elas. É uma propriedade que sofre influência da temperatura. Nos líquidos, as forças 
de coesão predominam sobre os choques. Nesses fluidos, o aumento da temperatura reduz 
as forças de coesão, com consequente redução da viscosidade. Nos gases, os choques 
predominam sobre as forças de coesão. Nesses fluidos, o aumento da temperatura aumenta 
os choques, com consequente aumento da viscosidade. 
Em fluidos com pressões moderadas, a viscosidade é independente da pressão e 
depende somente da temperatura. Em fluidos com pressões muito altas, a viscosidade dos 
gases e da maioria dos líquidos não tem lei bem definida de variação com a pressão. 
Unidade SI da viscosidade dinâmica: μ [=] (Pa*s) = N*s/m² = kg/m*s 
 
 
24 
 
 
 
5.3 Viscosidade cinemática (υ) 
A viscosidade cinemática (υ) é a relação entre a viscosidade dinâmica (μ) pela massa 
específica (ρ). Na mecânica dos fluidos, esta relação surge com frequência: 
 𝜈 =
𝜇
𝜌
 (5.3) 
Unidade SI da viscosidade cinemática: ʋ [=] m²/s 
Na tabela 5.1 estão apresentadas a variação da viscosidade com a temperatura da água 
e do ar. 
 
Tabela 5.1 – Variação da viscosidade da água e do ar em função da temperatura. 
 Água Ar 
Temperatura 
(ºC) 
Viscosidade 
Dinâmica (μ) 
N.s/m2 
Viscosidade 
Cinemática (υ) 
m2/s 
Viscosidade 
Dinâmica (μ) 
N.s/m2 
Viscosidade 
Cinemática (υ) 
m2/s 
0 1,781x10-3 1,785x10-6 1,717x10-5 1,329x10-5 
5 1,518x10-3 1,519x10-6 1,741x10-5 1,371x10-5 
10 1,307x10-3 1,306x106 1,767x10-5 1,417x10-5 
15 1,139x10-3 1,139x10-6 1,793x10-5 1,463x10-5 
20 1,002x10-3 1,003x10-6 1,817x10-5 1,509x10-5 
25 0,890x10-3 0,893x10-6 1,840x10-5 1,555x10-5 
30 0,798x10-3 0,800x10-6 1,864x10-5 1,601x10-5 
40 0,653x10-3 0,658x10-6 1,910x10-5 1,695x10-5 
50 0,547x10-3 0,553x10-6 1,954x10-5 1,794x10-5 
60 0,466x10-3 0,474x10-6 2,001x10-5 1,886x10-5 
70 0,404x10-3 0,413x10-6 2,044x10-5 1,986x10-5 
80 0,354x10-3 0,364x10-6 2,088x10-5 2,087x10-5 
90 0,315x10-3 0,326x10-6 2,131x10-5 2,193x10-5 
100 0,282x10-3 0,294x10-6 2,174x10-5 2,302x10-5 
 
5.4 Classificação dos fluidos 
Com base na Lei da Viscosidade de Newton, os fluidos podem ser: Newtonianos e 
Não-Newtonianos. 
 
Fluido Newtoniano: É a classe de fluidos que obedecem a Lei de Viscosidade de 
Newton. Fluidos para os quais a tensão de cisalhamento é diretamente proporcional à taxa 
de deformação. 
25 
 
 
 
Ex: Água, ar, gasolina, óleo. 
 
Fluido Não-Newtoniano: É a classe de fluidos que não obedecem a lei de Newton da 
viscosidade. Fluidos para os quais a tensão de cisalhamento não é diretamente proporcional 
à taxa de deformação. Não existe uma relação linear entre o valor da tensão de cisalhamento 
e o gradiente de velocidade. 
Muitos fluidos comuns apresentam comportamento não newtoniano. 
Alguns exemplos de fluido não-newtoniano são: Tintas, soluções poliméricas, sangue, 
lama, etc. 
 
Exemplo 1: Considere duas placas planas paralelas à distância de 2 mm. A placa superior 
move-se com velocidade de 4 m/s, enquanto a inferior é fixa. Se o espaço entre as duas 
placas for preenchido com óleo (υ = 10-5 m²/s, ρ = 830 kg/m³), qual será a tensão de 
cisalhamento que agirá no óleo assumindo perfil de velocidade linear? 
 
Exemplo 2: O perfil de escoamento de um óleo em uma superfície sólida é dado por 
𝑣𝑥=2𝑦2 
Determine a viscosidade dinâmica do fluido sabendo que a tensão de cisalhamento a 20 cm 
da superfície sólida é igual a -0,0016 Pa. 
26 
 
 
 
 
Exemplo 3: Considere umatubulação com diâmetro D e com o perfil de velocidades 
parabólico abaixo: 
 
Determine: 
a) O perfil da tensão de cisalhamento 
b) τ𝑟𝑥 (r=D/2) e τ𝑟𝑥 (r=0) 
 
Exemplo 4: 
Considere uma tubulação com raio R e com o perfil de velocidades dado por: 






−= 2
2
44
)( r
D
rvx


27 
 
 
 
 
Onde: 
Vmáx é a velocidade máxima do perfil e R é o raio do duto 
Determine o perfil de Tensão de cisalhamento. 
 














−=
2
1)(
R
r
Vrv máxx
28 
 
 
 
Anotações 
 
29 
 
 
 
6. ESTÁTICA DOS FLUIDOS 
Um fluido é considerado estático quando as partículas não se deformam, isto é, estão 
em repouso. Como um fluido não suporta tensões cisalhantes sem se deformar, em um 
fluido estático só atuam tensões normais (pressão). Segundo a Lei de Pascal, a pressão 
exercida em um ponto é igual em todas as direções. 
 
A estática dos fluidos também é chamada de hidrostática. O seu estudo tem diversas 
aplicações, entre elas temos: manometria, propriedades da atmosfera, forças em sistemas 
hidráulicos, forças em corpos submersos. 
 
6.1 Equações Básicas da estática dos Fluidos: 
Quando um fluido está em repouso as forças que atuam nele são: 
➢ Força devido a gravidade (força peso): 
W = m. g = ρ.V.g (6.1) 
➢ Força de tensões normais (pressões): 
F = P.A (6.2) 
Quando um fluido está estático o somatório das forças que atuam sobre ele é igual a 
zero: ΣF=0 
Obs.1: A força peso pode ser classificada como uma forma de campo: age sem contato 
físico. 
Obs.2: A pressão pode ser classificada como uma força de superfície: necessita de 
contato direto para agir. 
 
6.2 Equação Geral da Estática: 
A equação geral da estatística é proveniente de um balanço de forças em um elemento 
fluido. 
Figura 6.1 – Elemento fluido sob forças de pressão.
 
 
 
30 
 
 
 
Dedução da Fórmula: 
 
 
31 
 
 
 
Montando equação da estática para a direção y, temos: 
𝑑𝑃
𝑑𝑦
= 𝜌𝑔 (6.3) 
 
6.3 Classificação dos fluidos quanto à compressibilidade: 
Fluidos Incompressíveis: são aqueles em que as variações da massa específica (ρ) com 
a pressão (P) são insignificantes. 
Exemplo: Líquidos. 
Fluidos Compressíveis: são aqueles em que as variações da massa específica (ρ) com 
a pressão (P) são significativas. 
Exemplo: Gases. 
(Espaço para dedução) 
 
6.4 Variação da Pressão para um Fluido Estático Incompressível 
 
∆P = ρgh (6.4) 
 
Onde: 
∆P: Variação da pressão (Pa); 
ρ: Massa específica do fluido (kg/m³); 
g: Gravidade (m/s²); 
ρg = γ: Peso específico (N/m³); 
h: Variação da altura (m). 
 
6.5 Teorema de Stevin 
“A diferença de pressões entre dois pontos da massa de um líquido em equilíbrio é igual 
a diferença de profundidade aplicada pelo peso específico do líquido.” 
Se considerarmos o fluido em uma superfície aberta, a pressão atmosférica deve ser 
considerada também. Neste caso: 
 
 
 
 
 
 
32 
 
 
 
Figura 6.2 – Fluido em um recipiente aberto. 
 
Fonte: Slide das aulas da professora Nathalia. 
 
𝑃𝐵 = 𝑃𝑎𝑡𝑚 + 𝜌𝑔∆ℎ (6.5) 
 
 
Em um fluido em repouso a pressão não varia na direção horizontal. Porém, na direção 
vertical, varia continuamente na presença de uma força (gravidade). 
A pressão de um fluido aumenta com o aumento da profundidade. Mais camadas 
de líquido se apoiam nas camadas inferiores e o efeito desse “peso extra” é equilibrado 
pelo aumento da pressão. 
 
 
Figura 6.3 – Análise da pressão num reservatório. 
 
Fonte: Slide das aulas da professora Nathalia. 
 
Considere um compartimento contendo um líquido e um gás (figura 6.3), de tal 
forma que a pressão na base do compartimento (P1) é conhecida. A pressão nos demais 
pontos (P2, P3 e P4) pode ser obtida da seguinte forma: 
 
 
 
 
 
33 
 
 
 
Figura 6.4-Compartimento com líquido. 
 
Fonte: Slide das aulas da professora Nathalia. 
 
No líquido: 
𝑃2 = 𝑃1 − 𝛾𝐿Í𝑄𝑈𝐼𝐷𝑂. 𝐻 
No gás: 
𝑃2 = 𝑃3 + 𝛾𝐺Á𝑆. ℎ = 𝑃3 + 𝜌𝐺Á𝑆. 𝑔. ℎ 
𝜌𝐺Á𝑆 ≅ 0 Logo, 𝑃2 = 𝑃3 = 𝑃4 
 
Conclusão: Pontos na mesma altura e no mesmo fluido têm a mesma pressão. 
 
Exemplo 1: 
Três vasos de formas diferentes contêm água a mesma altura. Compare e justifique o seu 
raciocínio: 
 
a) As pressões no fundo de cada vaso; 
b) As forças exercidas na base de cada vaso; 
c) Os pesos dos vasos quando colocados em uma balança. 
34 
 
 
 
 
 
6.6 Manometria 
A manometria é o método utilizado para medir pressões. Consiste em determinar o 
deslocamento produzido numa coluna contendo um ou mais fluidos. 
Manômetro é o dispositivo utilizado para medir diferença de pressão entre dois pontos. 
A pressão lida em manômetros é a pressão manométrica. 
Figura 6.5 –Níveis de referência das pressões absoluta e manométrica. 
 
Fonte: Fox, 1998. 
 
Pvácuo = 0 
PMAN = PABS – PATM 
 
Medindo a pressão de um manômetro em U: 
 
 
 
 
 
 
35 
 
 
 
Figura 6.6 – Manômetro em U. 
 
Fonte: Çengel, 2015. 
 
PGás = ? 
PGás = PA 
PA = PB 
PB = PATM + ρHG.g.H 
PGás = pATM + ρHG.g.H 
 
A pressão atmosférica é medida por um dispositivo chamado de barômetro. Dessa 
forma, a pressão atmosférica é com frequência chamada de pressão barométrica. 
Figura 6.7 – Barômetro comum. 
 
Fonte: Çengel, 2015. 
 
Exemplo 2: O recipiente mostrado na figura a seguir está pressurizado, de forma que a 
água sobe uma altura h = 2 m no tubo manométrico. Sendo Patm=101,3 kPa e ρágua = 1000 
kg/m³, determine a pressão no ponto A. 
36 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 3: Encontre a expressão para a diferença de pressão em A e B. 
 
37 
 
 
 
 
 
Exemplo 4: Água escoa no interior dos tubos A e B. Óleo lubrificante está na parte superior 
do tubo em U invertido. Mercúrio está na parte inferior dos dois tubos em U. Determine a 
diferença de pressão, PA – PB, em Pa: 
ρHg = 13600 kg/m³, ρóleo = 880 kg/m³ e ρÁgua = 1000 kg/m³ 
 
38 
 
 
 
 
 
6.6 Forças Sobre superfícies submersas 
A determinação das forças que atuam sobre superfícies planas submersas é um 
problema frequente de estática dos fluidos. Estas forças são devidas às distribuições de 
pressões sobre a superfície plana submersa. 
A pressão exercida pelo fluido sobre a parede submersa deve aumentar à medida 
que se desce na coluna de líquido. 
 
 
 
Figura 6.8 – A pressão de um fluido em repouso. 
 
Fonte: Çengel, 2015. 
 
39 
 
 
 
Pman = ρgh 
Pabs = Patm + ρgh 
Como a força exercida pelo fluido sobre uma parede de largura L é dada por F=P.A, 
e a pressã é uma função da coluna de líquido (h): 
𝐹 = ∬ 𝑃(ℎ)
 
𝐴
𝑑𝐴 = ∬ ρghL
𝐻
0
𝑑ℎ 
 F = ρgL
𝐻2
2
 (6.6) 
Onde: 
F: Força total exercida pela coluna de líquido sobre a parede (N); 
ρ: Massa específica do fluido (kg/m3); 
g: Aceleração da gravidade (m/s2); 
L: Largura da parede (m); 
H: Altura da parede (m). 
 
Exemplo 5: Considere um tanque com água aberto para a atmosfera. Uma das laterais deste 
tanque é construída com uma parede de vidro quadrada de lado L = 2m. Considerando 
ρágua = 1000 kg/m³, determine: 
a) A pressão manométrica da coluna de líquido na parte inferior da parede. 
b) A força resultante exercida pela água sobre a parede. 
 
 
 
 
 
 
6.7 Equação da estática dos gases compressíveis 
Ao observar o comportamento da pressão, supondo um gás confinado em um 
cilindro com pistão: 
 
6.7 Princípio de Pascal 
O Princípio de Pascal é uma lei da hidrostática (estática dos fluidos) que envolve a 
variação de pressão num fluido em equilíbrio. Este diz que: 
“O aumento da pressão exercida em um líquido em equilíbrio é transmitido integralmente 
a todos os pontos do líquido bem como às paredes do recipiente em que ele está contido.” 
40 
 
 
 
A pressão aplicada num pontode um fluido em repouso transmite-se integralmente 
a todos os pontos do fluido. 
Figura 6.9 – Prensa hidráulica. 
 
Fonte: Brunetti, 2008. 
𝑃1 = 𝑃2 
𝐹1
𝐴1
=
𝐹2
𝐴2
 
 
Aplicações do princípio de Pascal: 
• Os elevadores para veículos automotores, utilizados em postos de serviço e 
oficinas, por exemplo, baseiam-se nos princípios da prensa hidráulica. Ela é 
constituída de dois cilindros de seções diferentes. Em cada um, desliza um pistão. 
Um tubo comunica ambos os cilindros desde a base. 
Figura 6.10 – Elevador de veículo automotor. 
 
Fonte: Çengel, 2015. 
 
• Freio hidráulico de um automóvel, no qual a pressão exercida pelo pé do motorista 
no pedal é transmitida até as rodas por meio de um líquido (óleo). 
 
 
 
41 
 
 
 
 
Figura 6.11 – Freio hidráulico de um automóvel. 
 
Fonte: Slide das aulas da professora Nathalia. 
 
Exemplo 7: A figura abaixo mostra o princípio de funcionamento de um elevador 
hidráulico, formado por um sistema de vasos comunicantes contendo um fluído 
incompressível no seu interior. Sabendo-se que as áreas das seções transversais dos pistões 
1 e 2 são, respectivamente, A1 = 0,2 m2 e A2 = 1 m2, determine o módulo da força 
F1 necessária para erguer o peso equivalente de uma carga com massa igual a 100 kg. 
 
 
42 
 
 
 
6.7 Equação da estática para fluidos compressíveis 
Supondo um gás confinado em um cilindro com pistão, o que acontece com a 
pressão se: 
• Se a temperatura do gás aumenta, a pressão aumenta. 
• Se a quantidade de gás presente no cilindro aumenta, a pressão aumenta. 
• Se desloco o pistão, aumentando o volume do cilindro, a pressão diminui. 
Para um fluido compressível a massa específica não é constante, é necessário 
expressá-la através de outra variável. 
No caso de gases, utiliza-se a Lei dos Gases Ideais. 
Para os gases, a massa específica depende da pressão e da temperatura. 
Lembrando que: 
𝑑𝑃
𝑑𝑦
 = ρg 6.3) 
(Espaço para dedução) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
43 
 
 
 
P2 = P1 exp (
𝒈
𝑹𝑻
 (y2 – y1)) (6.7) 
Onde: 
P: Pressão; 
V: Volume; 
n: Número de mols; 
R: Constante dos gases (8,314 kJ/kmol.K); 
T: Temperatura. 
 
Na equação 6.8 o R (constantes dos gases) deve estar com unidades de J/kg.K. Para 
esta conversão, deve-se dividir o R pela massa molar do gás e multiplicar por 1000. 
 R = 8,314 x 
1000 
 𝑀𝑔á𝑠
 (6.8) 
Onde: 
Mgás – massa molar do gás (kg/kmol). 
 
Exemplo 6: O prédio Empire State Building de Nova York é uma das construções mais 
altas do mundo com uma altura de 381 m. Determine a relação de pressão entre a base e o 
topo do edifício. Considere uma temperatura uniforme e igual a 15ºC e a massa molar do 
ar igual a 28,8 kg/kgmol. Compare este resultado com o que é obtido considerando o ar 
como incompressível e com peso especifico igual a 12,01 N/m³. Obs. Considere que no 
topo do prédio a pressão atmosférica vale 101,3 kPa. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
44 
 
 
 
Anotações 
 
45 
 
 
 
7. REGIME DE ESCOAMENTO E CONSERVAÇÃO DE MASSA 
Todos os dias, estamos em contato com fluidos em movimento. O ar que 
respiramos, a água que chega em nossas casas por tubulações, a água que modifica e 
carrega os nutrientes do solo, as gotas de água que molham as plantas nas lavouras, o vapor 
que chega ao sistema de aquecimento do internato de nossa escola, o óleo dos sistemas de 
lubrificação dos motores dos tratores e automóveis, a água que flui por tubulações de um 
tanque de peixes para outro tanque de peixes e o próprio sangue que corre nas nossas veias 
e artérias são todos exemplos de fluidos em movimento. Agora, da próxima vez que 
observar o mundo, você vai lembrar que muitos dos sistemas ao seu redor são formados 
por fluidos em movimento. 
 
7.1 Tipos de escoamento 
O escoamento de um fluido pode ser classificado de acordo com o comportamento 
das propriedades do fluido durante o percurso. 
• Regime de escoamento permanente (ou estacionário): é aquele em que não há 
variação das propriedades do fluido em cada ponto do escoamento com o passar do 
tempo. Em reservatórios muito grandes pode-se sempre considerar o regime 
permanente, pois o nível não varia significativamente com o passar do tempo. 
 
 
Figura 7.1 - Escoamento saindo pela tubulação de um reservatório muito grande. 
 
Fonte: Brunetti, 2008. 
• Regime de escoamento transiente (ou variado): as propriedades variam ao longo 
do tempo em cada ponto. 
Figura 7.2 – Escoamento saindo pela tubulação de um tanque. 
 
Fonte: Brunetti, 2008. 
46 
 
 
 
 
Na figura 7.2, observa-se um reservatório cuja seção transversal é 
relativamente pequena em face da descarga do fluido. Isso faz com que o nível dele 
varie sensivelmente com o passar do tempo, havendo uma variação sensível da 
configuração do sistema, caracterizando um regime de escoamento transiente. 
 
• Escoamento uniforme: quando a velocidade é a mesma para todos os pontos do 
escoamento. 
Figura 7.3 – Escoamento uniforme 
 
Fonte: Slide das aulas da professora Nathalia. 
 
• Escoamento não uniforme: quando a velocidade varia entre dois pontos, 
aumentando ou diminuindo a velocidade do escoamento. 
Figura 7.4 – Escoamento não uniforme 
 
Fonte: Slide das aulas da professora Nathalia. 
 
 Quanto à trajetória das partículas do fluido ao longo do escoamento, este pode ser: 
• Laminar: quando o fluido escoa de forma suave ou em camadas, sem que haja 
mistura entre as camadas adjacentes. Ocorre normalmente a baixas velocidades 
e/ou com fluidos viscosos. 
• Turbulento: ocorre quando o fluido se movimenta de forma irregular, com 
movimentos tridimensionais e aleatórios, causando significativa mistura entre 
camadas adjacentes. 
 
Esta classificação surgiu em 1883, de uma experiência feita por Reynolds em um 
aparato experimental que consistia de um duto de vidro com entrada em contração 
gradual, imerso em um tanque de água com paredes laterais de vidro que permitiam a 
47 
 
 
 
visualização do escoamento através do duto, uma vez tendo sido injetado corante 
contido em um reservatório. Variando a velocidade do escoamento no duto, por meio 
de uma válvula acionada por uma alavanca (vista na extrema direita), Reynolds chegou 
a conclusão acerca dos tipos de escoamento pela que um fluido assume. 
Figura 7.5 – Aparato experimental de Reynolds. 
 
Fonte: Bistafa, 2018. 
A Figura 3.2 apresenta uma reprodução dos esquemas feitos por Reynolds dos 
movimentos por ele observados: laminar (a), turbulento (b) e (c) visualização da 
condição (b) com faísca elétrica. Essa última condição mostra que o movimento 
turbulento é, na realidade, composto por um conjunto de redemoinhos coerentes. 
Os estudos de visualização do escoamento com corante realizados por Reynolds 
mostraram que, para uma faixa de velocidades do escoamento, diâmetros de duto e 
viscosidade, a transição laminar-turbulenta ocorria aproximadamente para um mesmo 
valor do monômio adimensional que recebeu seu nome. 
Re = 
𝐹𝑜𝑟ç𝑎𝑠 𝑑𝑒 𝑖𝑛é𝑟𝑐𝑖𝑎
𝐹𝑜𝑟ç𝑎𝑠 𝑣𝑖𝑠𝑐𝑜𝑠𝑎𝑠
 
 
Onde Re é um número adimensional que reúne todos os fatores que influenciam no 
escoamento de um fluido. Também pode ser definido como: 
 𝑅𝑒 = 
𝜌𝑣𝐷
𝜇
 = 
𝑣𝐷
𝜐
 (7.1) 
Onde: 
ρ: Massa específica do fluido (kg/m3). 
v: Velocidade média do fluido (m/s). 
D: Diâmetro do tubo (m). 
48 
 
 
 
μ: Viscosidade dinâmica (kg/m.s). 
υ: Viscosidade cinemática (m2/s). 
 
Com números de Reynolds grandes, as forças inerciais, proporcionais a densidade 
do fluido e ao quadrado da velocidade do fluido, são grandes com relação as forças 
viscosas e, portanto, as forças viscosas não podem evitaras flutuações aleatórias e 
rápidas do fluido. Com números de Reynolds pequenos ou modernos, porém, as forças 
viscosas são suficientemente grandes para suprimir essas flutuações e manter o fluido 
“alinhado”. Assim, o escoamento é turbulento no primeiro caso é laminar no 
segundo.”(CENGEL & CIMBALA, 2007) 
 
Limites para escoamento interno: 
Escoamento Laminar – Re ≤ 2300 
Transição – 2300 < Re < 4000 
Escoamento Turbulento – Re ≥ 4000 
 
Limites para escoamento externo: 
Escoamento Laminar – Re < 5x105 
Escoamento Turbulento – Re > 5x105 
 
O escoamento de transição do escoamento laminar para turbulento não ocorre de 
maneira instantânea; ele ocorre em uma região na qual o escoamento flutua entre os 
escoamentos encontrados. Na prática, a maioria dos escoamentos é turbulento e o 
escoamento laminar é encontrado em fluidos altamente viscosos. 
 
Exemplo 1: Considere um escoamento de óleo a 20 °C em um oleoduto de 30 cm de 
diâmetro a uma velocidade média de 2 m/s. O escoamento é laminar ou turbulento? 
Justifique. Considere ν = 9,4 x 10-4 m2/s 
 
 
 
 
 
 
49 
 
 
 
7.2 Vazão 
A vazão de um fluido pode ser definida como a quantidade que escoa durante certo 
período de tempo. Pode ser expressa em massa ou volume, relacionada com as 
propriedades do fluido. 
Vazão Mássica: �̇� = 𝜌𝑣𝐴 [=]
𝑘𝑔
𝑠
 (7.2) 
Vazão Volumétrica: �̇�= 𝑣𝐴 [=] 
𝑚³
𝑠
 (7.3) 
 
 �̇� = �̇�𝝆 (7.4) 
 
Exemplo 2: Uma mangueira de diâmetro de 2cm é usada para encher um tanque com uma 
vazão de 1 m³/h. Qual é a velocidade com que a água passa pela mangueira? 
 
Exemplo 3: Um determinado líquido escoa por uma tubulação com uma vazão volumétrica 
de 5 m³/s. Calcule a vazão mássica sabendo-se que ρ = 1350 kg/m³ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
50 
 
 
 
7.3 Equação da Continuidade – Princípio da conservação de massa 
A lei da conservação da massa surgiu a partir dos experimentos de Lavoisier, onde 
demonstrou que a matéria poderia ser transformada, mas nunca criada ou destruída. O 
princípio da conservação de massa estipula que a massa de um sistema permanece 
constante. 
Pela conservação da massa tem-se: 
 
 
 Com isso, temos: 
𝑑𝑚
𝑑𝑡
= �̇� 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎 − �̇� 𝑠𝑎𝑖 (7.4) Equação da Continuidade 
 
Quando se trabalha na hipótese de regime permanente (estacionário), não há 
variação das propriedades com o tempo, o termo de acúmulo é nulo. Neste caso a lei da 
conservação da massa fica: 
 
Em estado estacionário: 
𝑑𝑚
𝑑𝑡
= �̇� 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎 − �̇� 𝑠𝑎𝑖 → �̇� 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎 − �̇� 𝑠𝑎𝑖 = 0 (7.5) 
 
1ª Situação: 
 
 
Para fluido incompressível (ρ é cte): 
�̇�1 − �̇�2 = 0 
�̇�1 = �̇�2 
𝜌1𝑣1𝐴1 = 𝜌2𝑣2𝐴2 
 𝑣1𝐴1 = 𝑣2𝐴2 (7.6) 
 
𝒅𝒎
𝒅𝒕
 
 
51 
 
 
 
 
2ª Situação: 
 
 
 
�̇�𝐴 + �̇�𝐵 = 𝑚𝐶̇ + �̇�𝐷 
 ∑ �̇� 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎 = ∑�̇� 𝑠𝑎𝑖 (7.7) 
 
Exemplo 4: Determine a velocidade do fluido nas seções (2) e (3) da tubulação circular 
mostrada na figura a seguir. Dados: v1 = 3 m/s, D1 = 0,5 m, D2 = 0,3 m e D3 = 0,2 m. 
Considere fluido incompressível. 
 
 
52 
 
 
 
Exemplo 5: Uma corrente de água, com velocidade de 0,9 m/s, escoa em uma tubulação 
com diâmetro de 0,6 m. A tubulação possui uma expansão brusca, para um diâmetro de 
0,9 m. Determine a velocidade do escoamento e a vazão volumétrica na seção após a 
expansão. 
 
 
7.4 Velocidade Média 
Definição: 
A partir de um perfil de velocidades é possível obter a velocidade média a partir 
da seguinte definição: 
 𝑣𝑚 =
1
𝐴
∬ 𝑣𝑥
 
𝐴
𝑑𝐴 (7.8) 
Onde: 
vm – velocidade média (m/s); 
A – área da seção transversal do escoamento (m2); 
vx – perfil de velocidades (m/s). 
 
Em uma seção de escoamento circular: 
Para uma tubulação circular com perfil de velocidades parabólico: 
 𝑣𝑥 = 𝑣𝑚á𝑥(1 −
𝑟2
𝑅2
), a velocidade média pode ser obtida por: 
 𝑣𝑚 =
𝑉𝑚á𝑥
2
 (7.9) 
 
Onde: 
53 
 
 
 
vm – velocidade média 
Vmáx – velocidade máxima do perfil de velocidades 
 
Exemplo 6: Água escoa através de um conduto circular com um perfil de velocidades 
conforme a figura abaixo. Qual é a sua velocidade média no tubo de 10 cm de diâmetro? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
54 
 
 
 
Anotações 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
55 
 
 
 
8. BALANÇO DE ENERGIA E EQUAÇÃO DE BERNOULLI 
 
8.1 Experimento de Joule 
O conceito moderno de calor foi desenvolvido a partir dos experimentos realizados 
por James Prescott Joule na década de 1840 na Inglaterra. Joule colocou quantidades 
conhecidas de água, óleo e mercúrio em um recipiente isolado e agitou o fluido com um 
agitador rotativo. Descobriu que: 
• Para cada fluido, uma quantidade fixa de trabalho era necessária para a elevação 
da temperatura em 1 grau; 
• A temperatura original do fluido é reestabelecida pelo contato com um corpo 
mais frio (transferência de calor). 
Assim, Joule demonstrou a existência de uma relação quantitativa entre trabalho e 
calor. Joule mostrou que a energia adicionada a um fluido como trabalho pode ser retirada 
posteriormente na forma de calor. 
Onde ficou armazenada esta energia entre sua adição e sua retirada? 
Racionalmente sugere-se que a energia ficou contida no interior do fluido em outra 
forma, chamada de energia interna. A Energia Interna (U) é a soma da Energia Cinética 
das partículas que constituem o sistema (translação, rotação e vibração dos elétrons, átomos 
e moléculas). 
 
8.2 Primeira Lei da Termodinâmica 
Com base em observações experimentais, a primeira lei da termodinâmica enuncia que 
energia não pode ser criada nem destruída durante um processo; ela pode apenas mudar de 
forma. Ou seja, quando energia em uma forma desaparece, ela reaparece simultaneamente 
em outras formas, porém quantidade total de energia é constante no sistema. 
 ∆𝐸𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚𝑎 = 𝐸𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎 − 𝐸𝑠𝑎𝑖 (8.1) 
 
A energia pode existir em inúmeras formas como interna (sensível, latente, química e 
nuclear), cinética, potencial, elétrica e magnética, e sua soma constitui a energia total (E) 
de um sistema. Na ausência de efeitos de natureza elétrica, magnética e de tensão 
superficial (por exemplo, nos sistemas compressíveis simples), a variação da energia total 
de um sistema durante um processo é a soma das variações de suas energias interna, 
cinética e potencial, e pode ser expressa como: 
 ∆𝐸 = ∆𝑈 + ∆𝐸𝑐 + ∆𝐸𝑝 (8.2) 
56 
 
 
 
• Energia cinética (Ec): está relacionada ao estado de movimento de um corpo. 
 𝐸𝑐 =
𝑚.𝑣2
2
 (8.3) 
Onde: 
Ec: energia cinética (kJ); 
m: massa (kg); 
v: velocidade (m/s). 
 
• Energia Potencial (Ep): está relacionada à posição do corpo do espaço. Quando 
elevamos um corpo de massa “m” a uma altura “z”, estamos transferindo energia 
potencial para o corpo. 
 𝐸𝑃 = 𝑚.𝑔. 𝑧 (8.4) 
Onde: 
Ep: energia potencial (kJ); 
m: massa (kg); 
g: aceleração da gravidade (aprox. 9,8 m/s²) 
z: altura (m). 
 
Em termodinâmica, normalmente é útil considerar as diversas formas de energia que 
constituem a energia total de um sistema em dois grupos: macroscópico e microscópico. 
As formas macroscópicasde energia são aquelas que um sistema possui como um todo, 
com relação a algum referencial externo, como as energias cinética e potencial. As formas 
microscópicas de energia são aquelas relacionadas à estrutura molecular de um sistema e 
ao grau de atividade molecular e são independentes de referenciais externos. A soma de 
todas as formas microscópicas de energia é chamada de energia interna de um sistema 
(∆𝑈). 
 ∆U = Q + W = U2 – U1 (8.3) 
Onde: 
∆U: Variação da energia interna; 
U: Energia interna; 
Q: Calor; 
W: Trabalho; 
 
Calor (Q) e trabalho (W) referem-se à energia em trânsito através da fronteira (essas 
formas de energia não são armazenadas). 
57 
 
 
 
Calor (Q): 
Sinal (+): quando o sistema absorve energia sob forma de calor; 
Sinal (–): quando o sistema perde energia sob forma de calor; 
 
Trabalho (W): 
Sinal (+): quando o sistema ganha energia sob forma de trabalho – compressão; 
Sinal (–): quando o sistema perde energia sob forma de trabalho – expansão; 
 
 Para um sistema fechado (que não permite a transferência de matéria entre o 
sistema e a sua vizinhança), nenhuma energia associada à matéria é transportada através da 
fronteira que separa o sistema de sua vizinhança. Deste modo, toda a troca de energia entre 
o sistema e a sua vizinhança é feita na forma de calor e trabalho, e a variação da energia 
total da vizinhança pode ser escrita como: 
 ∆𝐸 = ±𝑄 ±𝑊 (8.5) 
Assim, para um volume de controle, a equação completa da primeira lei pode ser 
descrita como: 
 ∆U + ∆Ec + ∆Ep = Q + W (8.6) 
(𝑈2 − 𝑈1) +
𝑚(𝑣2
2−𝑣1
2) 
2
+𝑚.𝑔. (𝑧2 − 𝑧1) = 𝑄 +𝑊 (8.7) 
 
Para um sistema aberto (que permite a transferência de energia e matéria entre o 
sistema e a sua vizinhança), a equação de balanço de energia para o volume de controle 
pode ser: 
Evc(t + ∆t) – Evc(t) ⏟ 
𝑉𝑎𝑟𝑖𝑎çã𝑜 𝑑𝑒 𝑒𝑛𝑒𝑟𝑔𝑖𝑎 𝑛𝑜 𝑣𝑐
= me (ue + 
𝑣𝑒
2
2
 + gze) ⏟ 
𝐸𝑛𝑒𝑟𝑔𝑖𝑎 𝑞𝑢𝑒 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎 𝑛𝑜 𝑣𝑐
– ms (us + 
𝑣𝑠
2
2
 + gzs)⏟ 
𝐸𝑛𝑒𝑟𝑔𝑖𝑎 𝑞𝑢𝑒 𝑠𝑎𝑖 𝑑𝑜 𝑣𝑐
+ 
𝑄⏟
𝑇𝑟𝑎𝑛𝑠𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑑𝑒 𝑒𝑛𝑒𝑟𝑔𝑖𝑎 𝑝𝑜𝑟 𝑐𝑎𝑙𝑜𝑟
 + 𝑊⏟
𝑇𝑟𝑎𝑛𝑠𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑑𝑒 𝑒𝑛𝑒𝑟𝑔𝑖𝑎 𝑝𝑜𝑟 𝑡𝑟𝑎𝑏𝑎𝑙ℎ𝑜
 
 
Figura 8.1 – Balanço de Energia aplicado a um volume de controle.
 
Fonte: Çengel, 2020. 
 
58 
 
 
 
8.3 Trabalho 
 O trabalho na unidade de tempo �̇� pode ser dividido em 2 parcelas: 
• Trabalho associado à pressão do fluido devido à entrada e saída de massa 
• Trabalho de eixo �̇�eixo realizado por bombas, compressores, agitadores,... 
 
Taxa de transferência de energia por trabalho associada à pressão do fluido = PAv [=] 
𝑁
𝑚2
𝑚2
𝑚
𝑠
=
𝑁𝑚
𝑠
=
𝑊
𝑡
= 𝑊 
�̇� = 𝑊𝑒𝑖𝑥𝑜̇ + (𝑃𝑒𝐴𝑒)𝑣𝑒 − (𝑃𝑠𝐴𝑠)𝑣𝑠 (8.9) 
𝐴𝑠𝑣𝑠 =
𝑚𝑠̇
𝜌𝑠
 (8.10) 
𝐴𝑒𝑣𝑒 =
𝑚𝑒̇
𝜌𝑒
 (8.11) 
�̇� = 𝑊𝑒𝑖𝑥𝑜̇ +
𝑚𝑒̇
𝜌𝑒
𝑃𝑒 −
𝑚𝑠̇
𝜌𝑠
𝑃𝑠
̇
 (8.12) Trabalho Associado à Pressão do Fluido 
 
8.4 Conservação de Energia para um Volume de Controle 
 
Considerando um fluido invíscido (sem viscosidade), sem perdas de carga devido ao 
atrito. 
 
𝑑𝐸𝑣𝑐
𝑑𝑡
= 𝑚𝑒̇ (𝑢𝑒 +
𝑃𝑒
𝜌𝑒
+
𝑣𝑒
2
2
+ 𝑔𝑧𝑒) − 𝑚𝑠̇ (𝑢𝑠 +
𝑃𝑠
𝜌𝑠
+
𝑣𝑠
2
2
+ 𝑔𝑧𝑠) + �̇� +𝑊𝑒𝑖𝑥𝑜̇ (8.13) 
 
Para n entradas e saídas: 
𝑑𝐸𝑣𝑐
𝑑𝑡
= 𝛴𝑚𝑒̇ (𝑢𝑒 +
𝑃𝑒
𝜌𝑒
+
𝑣𝑒
2
2
+ 𝑔𝑧𝑒) − 𝛴𝑚𝑠̇ (𝑢𝑠 +
𝑃𝑠
𝜌𝑠
+
𝑣𝑠
2
2
+ 𝑔𝑧𝑠) + �̇� +𝑊𝑒𝑖𝑥𝑜̇ (8.14) 
 
No estado estacionário: 
𝑑𝐸𝑣𝑐
𝑑𝑡
= 0 
0 = 𝛴𝑚𝑒̇ (𝑢𝑒 +
𝑃𝑒
𝜌𝑒
+
𝑣𝑒
2
2
+ 𝑔𝑧𝑒) − 𝛴𝑚𝑠̇ (𝑢𝑠 +
𝑃𝑠
𝜌𝑠
+
𝑣𝑠
2
2
+ 𝑔𝑧𝑠) + �̇� +𝑊𝑒𝑖𝑥𝑜̇ (8.15) 
 
Exemplo 1: Uma bomba transfere 0,153 ft³/s de uma solução com massa específica 114,8 
lbm/ft³ de um tanque de estocagem aberto com área superficial muito grande através de um 
tubo de 3 in de diâmetro. A bomba descarrega através de um tubo de 2 in de diâmetro num 
tanque onde o ponto de saída encontra-se acima da superfície de líquido (pressão 
atmosférica). O nível da saída da linha de descarga está 50 ft acima do nível de líquido do 
59 
 
 
 
tanque de alimentação. Considere que o aquecimento do fluido pela ação da bomba é 
desprezível (Q=0, ∆U=0), que o fluido é incompressível e que o processo encontra-se em 
estado estacionário. 
Determine: 
(Dados: 1 lbf = 32,2 lbm.ft/s²) 
a) A potência da bomba. 
b) A pressão manométrica na saída da bomba 
 
 
60 
 
 
 
 
8.5 Equação de Bernoulli 
É uma aplicação particular da equação geral da energia. 
É aplicada com as seguintes restrições: 
1. Fluido Inviscido: Nos fluidos inviscidos a viscosidade é nula (µ=0) e não existem 
gradientes de velocidade na direção perpendicular a mesma (dvx/dy=0). 
2. Fluido Incompressível: a massa específica é constante. 
3. Escoamento Estacionário: quando as propriedades em uma dada seção do 
escoamento não se alteram com o decorrer do tempo. 
4. Escoamento sem trabalho de eixo: não existem bombas, compressores, 
agitadores, turbinas,... no volume de controle. 
5. Escoamento sem troca de calor: como o fluido não possui viscosidade, não há 
perda de energia mecânica por atrito e dissipação por calor ou acúmulo como 
energia interna 
A energia presente em um fluido em escoamento estacionário, inviscido, sem troca de 
calor e sem trabalho de eixo pode ser separada em três parcelas: 
• Energia de pressão 
• Energia cinética 
• Energia potencial 
 
Com isso, da equação 8.13 temos: 
𝑑𝐸𝑣𝑐
𝑑𝑡
= 𝛴𝑚𝑒̇ (𝑢𝑒 +
𝑃𝑒
𝜌𝑒
+
𝑣𝑒
2
2
+ 𝑔𝑧𝑒) − 𝛴𝑚𝑠̇ (𝑢𝑠 +
𝑃𝑠
𝜌𝑠
+
𝑣𝑠
2
2
+ 𝑔𝑧𝑠) + �̇� +𝑊𝑒𝑖𝑥𝑜̇ 
𝑃𝑒
𝜌𝑒
+
𝑣𝑒
2
2
+ 𝑔𝑧𝑒 =
𝑃𝑠
𝜌𝑠
+
𝑣𝑠
2
2
+ 𝑔𝑧𝑠 (8.16) 
Resultando em: 
∆𝑃
𝜌
+
∆𝑣2
2
+ 𝑔∆𝑧 = 0 (8.17) Equação de Bernoulli 
Onde: 
∆P = Ps - Pe 
∆v² = vs² - ve² 
∆z = zs – ze 
 
Dividindo a equação de Bernoulli pela aceleração da gravidade: 
61 
 
 
 
 
∆𝑃
𝛾
+
∆𝑣2
2𝑔
+ ∆𝑧 = 0 (8.18) 
 
Onde: 
γ = peso específico (N/m³) 
Cada termo da equação 8.18 é denominado carga e tem como dimensão o 
comprimento. 
∆𝑃
𝛾
 : Carga de pressão; 
∆𝑣2
2𝑔
: Carga cinética; 
∆𝑧: Carga potencial. 
 
Exemplo 2: Água escoa em regime permanente através do tubo de Venturi mostrado. Um 
manômetro de mercúrio é instalado entre as seções (1) e (2) e indica o desnível mostrado 
(h = 10cm). Dados: ρH2O = 1000 kg/m³, ρHg = 13600 kg/m³ e 
g = 9,8 m/s². Determine a velocidade na seção 2, sabendo que a velocidade da seção 1 é 
igual a 1,5m/s 
62 
 
 
 
 
Exemplo 3: Ar (ρ = 1,2 kg/m3) escoa em regime permanente através de um bocal 
horizontal, descarregando-o para a atmosfera. A área da seção da entrada é de 0,1 m2 e na 
saída é de 0,02 m2. Determine a pressão na entrada para fazer com que o fluido saia do 
bocal a uma velocidade de 50 m/s e pressão na saída igual a 105 Pa. 
 
63 
 
 
 
 
 
8.6 Pressão estática 
A Pressão P usada na equação de Bernoulli é a pressão termodinâmica, também 
chamada de pressão estática 
É a pressão que seria medida por um instrumento movendo-se com o escoamento. 
Seria difícil executar esta medição na prática, então, mede-se esta pressão colocando 
um orifício transversal ao escoamento (o fluido se movimenta e o medidor fica parado, sem 
impedir o escoamento). Se o orifício for perpendicular à parede do duto e isento de 
rebarbas, medições precisas da pressão estática poderão ser feitas por um instrumento de 
medição adequadamente conectado à tomada de pressão. 
 
Figura 8.2 – Tomada de pressão na parede. 
 
Fonte: Fox, 1998. 
 
64 
 
 
 
Em uma corrente do fluido afastada da parede, ou onde as linhasde corrente são curvas, 
medições precisas da pressão estática podem ser feitas com o emprego criterioso de uma 
sonda de pressão estática. 
Tais sondas devem ser projetadas de modo que os pequenos orifícios de medição sejam 
posicionados corretamente com respeito à ponta e haste da sonda, de modo a evitar 
resultados errôneos. 
Figura 8.3 – Sonda de pressão estática. 
 
Fonte: Fox, 1998. 
A seção de medição deve estar alinhada com a direção do escoamento local. 
 
8.7 Pressão de Estagnação 
A pressão de estagnação é obtida quando o fluido é desacelerado até atingir velocidade 
nula através de um processo de livre fricção (atrito). 
Em laboratório, a pressão de estagnação pode ser medida usando-se um sensor com um 
orifício orientado diretamente contra o fluxo. 
 
Figura 8.4 – Instrumento de medição da pressão de estagnação. 
 
Fonte: Fox, 1998. 
Este instrumento pode ser chamado de sonda de pressão de estagnação ou tubo pitot. 
 
 
 
65 
 
 
 
8.8 Pressão dinâmica 
A pressão de dinâmica é a diferença entre a pressão de estagnação e a pressão estática. 
Ela é obtida, fazendo a medição das pressões de estagnação e estática do escoamento. 
 
Figura 8.5 – Instrumento de medição da pressão dinâmica. 
 
Fonte: Fox, 1998. 
Nas condições da figura 8.5 ∆z = V2 =0; 
Aplicando Bernoulli entre 1 e 2, temos: 
𝑃1−𝑃2
𝜌
+
𝑣1
2
2
= 0 (8.19) 
𝑃2 − 𝑃1 =
𝜌𝑣1
2
2⏟
𝑃𝑟𝑒𝑠𝑠ã𝑜 𝑑𝑖𝑛â𝑚𝑖𝑐𝑎
 (8.20) 
 
8.9 Tubo de Pitot 
O tubo de Pitot é um instrumento utilizado para medir valores de velocidade local 
através de leituras de diferenças de pressão. Este tem uma abertura muito pequena para 
medir a pressão de estagnação e uma série de outros pequenos furos (4 a 8) são perfurados 
na superfície do tubo para medir a pressão estática. 
A principal limitação do tubo de pitot é que ele deve estar alinhado com a direção 
principal do escoamento. Devido ao tempo de resposta alto, este medidor não deve ser 
utilizado em escoamentos transientes ou quando se tem velocidades baixas, que resultam 
em pequenas diferenças de pressão. 
 
 
 
 
 
 
66 
 
 
 
Figura 8.6 – Tubo de pitot 
 
Fonte: Fox, 1998. 
 
Se soubermos a pressão estática e de estagnação no mesmo ponto, a velocidade do 
escoamento pode ser calculada. 
𝑃1
𝜌1
+
𝑣1
2
2
+ 𝑔𝑧1 =
𝑃2
𝜌2
+
𝑣2
2
2
+ 𝑔𝑧2 
𝑃1 − 𝑃2
𝜌
+
𝑣1
2
2
= 0 
𝑣1 = √
2(𝑃2−𝑃1)
𝜌
 (8.21) 
Onde: 
P2 = pressão de estagnação 
P1 = pressão estática 
 
 
67 
 
 
 
Exemplo 4: Determine a velocidade de escoamento da água, dados os valores obtidos com 
um tubo de pitot, mostrados abaixo. 
 
 
 
68 
 
 
 
Anotações 
 
 
 
 
69 
 
 
 
9. EQUAÇÃO DE BERNOULLI COM PERDA DE CARGA 
O significado da equação de Bernoulli é que a energia mecânica total se conserva 
quando não existe fricção no escoamento. 
 
𝑃𝑒
𝜌𝑒
+
𝑣𝑒
2
2
+ 𝑔𝑧𝑒 =
𝑃𝑠
𝜌𝑠
+
𝑣𝑠
2
2
+ 𝑔𝑧𝑠 (8.16) 
 
9.1 Perda de carga (hLT) 
Quando o escoamento é viscoso, existe atrito, que gera perda de energia. Assim, 
definimos perda de carga (hLT), como perda de energia por atrito viscoso/turbulento que 
ocorre entre duas seções de escoamento de um tubo de corrente. 
Em grande parte dos projetos de sistemas hidráulicos é necessário determinar as 
variações de pressão em um escoamento incompressível que resultam de variações de 
elevação, velocidade e devido à fricção. 
O efeito do atrito é no sentido de diminuir a pressão, esta perda é denominada perda 
de carga (hLT). 
Assim, a equação de Bernoulli fica: 
𝛥𝑃
𝜌𝑔
+
𝛥𝑣2
2𝑔
+ 𝛥𝑧 = ℎ𝐿𝑇 (9.1) 
 
A perda de carga é dividida em: 
a) Perda de carga principal (hL): devido à fricção em partes do sistema com área 
constante; 
b) Perda de carga secundária (hAC): devido à presença de perturbações no 
escoamento (mudança de área, presença de válvulas, conexões...) 
 ℎ𝐿𝑇 = ℎ𝐿 + ℎ𝐴𝐶 (9.2) 
 
9.2 Perda de carga principal (hL) 
 A perda de carga principal ocorre nos trechos cilíndricos longos do tubo, devido à 
conversão de energia mecânica em térmica por efeitos de fricção. 
Consideremos um escoamento plenamente desenvolvido numa tubulação de 
comprimento L. Analisando uma tubulação com área constante A1=A2 e desta forma pela 
equação da continuidade v1=v2. 
 ℎ𝐿 =
(𝑝1−𝑝2)
𝜌𝑔
+(𝑧1 − 𝑧2) (9.3) 
 
 
70 
 
 
 
No caso de uma tubulação horizontal (z1 = z2). 
 ℎ𝐿 =
(𝑝1−𝑝2)
𝜌𝑔
=
∆𝑃
𝜌𝑔
 (9.4) 
O cálculo da perda de carga principal, requer que o escoamento esteja 
dinamicamente estabelecido no interior do duto. Pois dependendo do tipo de escoamento 
(se laminar ou turbulento), existe uma maneira de calcular a perda de carga principal. 
 
9.2. Escoamento Laminar 
Da equação de Hagen-Poussiulle, temos que: 
�̇� =
𝜋∆𝑃𝐷4
128𝜇𝐿
 (9.5) 
Rearranjando esta equação, tendo em conta a equação 9.4 e substituindo-a na 
expressão de número de Reynolds: 𝑅𝑒 =
𝜌𝑣𝐷
𝜇
 ; 
Obtemos a perda de carga principal em escoamentos laminares: 
 
ℎ𝐿 =
64
𝑅𝑒
𝐿
𝐷
𝑣2
2𝑔
 (9.6) 
 
Onde: 
D: Diâmetro do tubo (m); 
L: Comprimento do tubo (m); 
v: Velocidade média (m/s); 
64
𝑅𝑒
 = f: Fator de Darcy para escoamentos laminares; 
 
9.2.2 Escoamento Turbulento 
No caso de escoamento turbulento não existem expressões que permitam avaliar 
analiticamente a queda de pressão. Nisto, utiliza-se análise dimensional e correlações de 
dados experimentais. 
O fator de atrito é uma função do número de Reynolds (Re) e da rugosidade relativa 
da superfície de escoamento (ε/D). 
Para a natureza das paredes dos tubos, a rugosidade, deve-se considerar os seguintes 
itens: 
• o material empregado na fabricação dos tubos; 
• o processo de fabricação dos tubos; 
• o estado de conservação das paredes dos tubos; 
71 
 
 
 
• a existência de revestimentos especiais; 
• o emprego de medidas protetoras durante o funcionamento; 
 
 
Figura 9.1 – Estado interno de um tubo. 
 
Fonte: Slide das aulas da professora Nathalia. 
 
Com isso, neste tipo de escoamento o fator de atrito é determinado utilizando o 
Diagrama de Moody, e a perda de carga é medida utilizando a equação de Darcy-Weisbach. 
ℎ𝐿 = 𝑓
𝐿
𝐷
𝑣2
2𝑔
 [m] (9.8) 
 
9.2 Diagrama de Moody 
Como mencionado anteriormente, para determinar o fator de atrito se utiliza o 
Diagrama de Moody. Para tal deve-se ter o valor do número de Reynolds e a rugosidade 
relativa ε/D. 
A rugosidade absoluta ε depende do tipo de material da tubulação e do seu 
acabamento. Representa o valor médio das alturas da rugosidade da parede interna da 
tubulação. 
Figura 9.1 – Rugosidade absoluta em tubulações. 
 
Fonte: Slide das aulas da professora Nathalia. 
 
72 
 
 
 
A tabela 9.1 mostra os valores da rugosidade absoluta para os materiais típicos de 
tubulações industriais utilizadas para o escoamento de fluidos. 
 
Tabela 9.1 – Rugosidade absoluta (mm) de tubulações industriais. 
Material Rugosidade absoluta (mm) 
Aço, revestimento asfalto quente 0,3 a 0,9 
Aço, revestimento esmalte centrifugado 0,011 a 0,06 
Aço enferrujado ligeiramente 0,15 a 0,3 
Aço enferrujado 0,4 a 0,6 
Aço muito enferrujado 0,9 a 2,4 
Ferro galvanizado novo, com costura 0,15 a 0,2 
Ferro galvanizado novo, sem costura 0,06 a 0,15 
Ferro fundido revestido com asfalto 0,12 a 0,20 
Ferro fundido com crostas 1,5 a 3,0 
PVC e Cobre 0,015 
Cimento-amianto novo 0,05 a 0,10 
 
O diagrama de Moody(figura 9.2) apresenta 4 regiões onde o escoamento apresenta 
características peculiares: 
1. Zona laminar (até Re 2300): Se apresenta como uma reta independente de 
𝜀/D, pois as partículas fluidas se deslocando em trajetórias retas paralelas 
não são afetadas pela rugosidade da parede do duto. O f = 64/Re. 
2. Zona crítica (2300<Re<4000): transição entre laminar e turbulento. Deve-
se evitar projetos nesta faixa pela dificuldade de estimar f. 
3. Zona de transição: para uma determinada rugosidade relativa ε/D o fator 
de atrito f diminui ao aumentar o Re até alcançar a região inteiramente 
rugosa. 
4. Zona inteiramente rugosa: acima da linha tracejada - o fator de atrito f, 
se mantém praticamente como um valor constante independente do Re. 
Com isto, existem algumas expressões para o cálculo do fator de atrito: 
• Para escoamento laminar: 
𝑓 =
64
𝑅𝑒
 
Válido para Re < 2500 
 
• Para escoamento turbulento com tubos hidraulicamente semi-rugosos: 
1
√𝑓
= −2,0 log (
𝜀
𝐷⁄
3,7
+
2,51
𝑅𝑒√𝑓
) Equação de Colebrook 
73 
 
 
 
Válido para 5,0x103 < Re < 1,0x108 
 
𝑓 = 0,25 [log (
𝜀
𝐷⁄
3,7
+
5,74
𝑅𝑒0,9
)]
−2
Equação Explícita 
Válido para 5,0x103 < Re < 1,0x108 
 
• Para escoamento turbulento com tubos hidraulicamente rugosos: 
1
√𝑓
= −2,0log (
𝜀
𝐷⁄
3,7
) Equação de Von Karman 
 
Figura 9.2 - Diagrama de Moody. 
 
Fonte: Slide das aulas da professora Nathalia. 
 
 
74 
 
 
 
Exemplo 1: Deseja-se bombear 40 litros/s de água (20°C) de um deposito a outro distantes 
560 m. A tubulação é de ferro fundido revestido com cimento (aproximadamente 10 anos 
de uso) com rugosidade de 0,25 mm e diâmetro de 150 mm. Suponha que a tubulação não 
apresente nenhum acidente (possui apenas perdas distribuídas). Dados da água: 
ρ = 1000 kg/m³ e µ = 10-3 Pa.s 
a) Determine o fator de atrito por equação apropriada e compare o resultado utilizando 
o diagrama de Moody. 
b) Determinar com o fator de atrito obtido a perda de carga na tubulação em metros 
de coluna de fluido, utilizando a equação de Darcy-Weisbach. 
 
75 
 
 
 
Exemplo 2: Numa tubulação de 150 mm de diâmetro e 30 metros de comprimento escoa 
um fluido com velocidade média igual a 4 m/s. Determine a perda de carga da tubulação. 
Obs.: Considere a viscosidade cinemática igual a 7,6x10-4 Pa.s. 
Exemplo 3: A velocidade média de escoamento em um trecho de diâmetro 
constante de uma tubulação no Alasca é 2,5 m/s. Na entrada, a pressão é 8,25 MPa 
(manométrica) e a elevação é 45 m; na saída, a pressão é 350 kPa (manométrica) e a 
elevação é 115 m. Sabendo que a tubulação transporta óleo com ρ = 930 kg/m³, calcule a 
perda de carga nesse trecho da tubulação. 
 
76 
 
 
 
9.3 Perda de Carga Secundária (hLM ou hac) 
É a perda de energia por atrito devido à presença de perturbações no escoamento, 
ocorre nas descontinuidades dos trechos cilíndricos longos do tubo, como, por exemplo, 
mudanças de direção e de seção, presença de válvulas, captação e descarga em 
reservatórios. 
 Existem dois métodos para a determinação da perda de carga, são estes: 
• Método do comprimento equivalente 
• Método do coeficiente de perda de carga 
 
9.3.1 Método do comprimento equivalente 
Os acessórios são todos aqueles elementos que existem numa tubulação através dos 
quais o fluido escoa: curvas, bocais, registros e válvulas. A perda de carga secundária pode 
ser expressa em termos do chamado comprimento equivalente Leq, definido como o 
comprimento do duto que contém o acessório que gera uma perda de carga distribuída igual 
à perda de carga singular do acessório. Nisto, a perda de carga secundária (hac) pode ser 
definida como: 
 ℎ𝑎𝑐 = 𝑓
𝐿𝑒𝑞
𝐷
𝑉2
2𝑔
 [m] (9.9) 
Onde: 
f: Fator de atrito; 
D: Diâmetro do tubo (m); 
V: Velocidade média (m/s); 
g: Gravidade 9,8 (m/s2); 
 
Para tubulações com vários acessórios: 
 ℎ𝑎𝑐 = 𝑓 (𝛴
𝐿𝑒𝑞
𝐷
)
𝑉2
2𝑔
 [m] (9.10) 
O comprimento equivalente em metros de canalização retilínea (Leq) é tabelado 
(conforme a tabela 9.2) segundo o tipo de acessório, o material utilizado e o diâmetro da 
tubulação. Se substituirmos certo acessório por uma tubulação retilínea com o 
comprimento igual ao comprimento equivalente (com igual material e diâmetro) ambos 
originariam a mesma perda de carga. 
 
 
 
77 
 
 
 
Tabela 9.2 – Comprimento equivalente de diversos acessórios. 
Tipo de Acessório Comprimento Equivalente 
Dividido pelo diâmetro (Leq/D) 
Válvula de globo aberta 340 
Válvula de gaveta aberta 8 
¾ aberta 35 
½ aberta 160 
¼ aberta 900 
Válvula tipo borboleta aberta 45 
Válvula de esfera aberta 3 
Válvula de retenção tipo globo 600 
Válvula de retenção tipo em ângulo 55 
Válvula de pé com crivo: de disco móvel 75 
Cotovelo padronizado 90º 30 
Cotovelo padronizado 45º 16 
Te padronizada fluxo direto 20 
Te padronizada fluxo ramal 60 
 
9.3.2 Método do coeficiente de perda de carga (k) 
 Outra forma de representar a perda de carga nos acessórios (hac) é com base no 
coeficiente de perda de carga k, onde é definida como: 
 ℎ𝑎𝑐 = 𝑘
𝑉2
2𝑔
 [m] (9.11) 
Para uma tubulação de diversos acessórios: 
 ℎ𝑎𝑐 = (𝛴𝑘)
𝑉2
2𝑔
 [m] (9.12) 
 O coeficiente de perda de carga será maior quanto mais abrupto seja o elemento, 
originando zonas de recirculação de fluxo e altos níveis de turbulência, aumentando desta 
forma a energia dissipada. Também é um valor tabelado de acordo ao tipo de acessório 
(conforme a tabela 9.3). 
 
 
 
 
 
78 
 
 
 
Tabela 9.3 – Coeficiente de perda de carga em diversos acessórios. 
Tipo de Acessório K Tipo de Acessório K 
Ampliação gradual 0.20* Junção 0,40 
Bocais 2,75 Medidor de Venturi 2,5 
Comporta aberta 1,00 Redução gradual 0,15 
Controlador de 
vazão 
2,50 Registro de ângulo 
aberto 
5,0 
Cotovelo 90º 0,9 Registro de gaveta 
aberto 
0,20 
Cotovelo 45º 0,4 Registro de globo 
aberto 
10,0 
Crivo 0,75 Saída de 
canalização 
1,00 
Curva 90 0,4 Te passagem direta 0,6 
Curva 45 0,20 Te saída de lado 1,30 
Curva 22,5 0,10 Te saída bilateral 1,80 
Entrada normal em 
canalização 
0,50 Válvula de pé 1,75 
Entrada de borda 1,0 Válvula de 
retenção 
2,50 
Existência de 
pequena derivação 
0,03 Velocidade 1,0 
 
Igualando as equações de perda de carga por acessórios obtém-se: 
 𝑘 = 𝑓
𝐿𝑒𝑞
𝐷
 (9.13) 
 
9.3.2.1 Saída abrupta de um tubo para um reservatório: 
Quando o fluido escoa de um tubo para um reservatório sua velocidade cai 
bruscamente até próximo de zero. A perda de carga para este caso é igual à energia cinética 
dissipada. K=1. 
 
 
 
 
79 
 
 
 
Figura 9.4 – Saída do tubo. 
 
Fonte: Slides de aula da professora Nathalia. 
 
9.3.2.2 Entrada abrupta de um reservatório para um tubo: 
No escoamento dado entre um reservatório e uma tubulação, a velocidade passa de 
um valor muito baixo para um valor elevado. O coeficiente de perda de carga depende do 
tipo de união entre o tubo e o reservatório. 
Figura 9.5 – Entrada no tubo. 
 
Fonte: Slides de aula da professora Nathalia. 
Três casos típicos apresentam diferentes perdas de carga: 
1. Entrada com tubo para dentro K = 1,0 
Figura 9.6 – Tubo para dentro. 
 
Fonte: Bistafa, 2018. 
 
2. Entrada com cantos vivos K=0,5 
Figura 9.7 – Cantos vivos. 
80 
 
 
 
 
Fonte: Bistafa, 2018. 
 
3. Entrada com cantos arredondados K conforme os dados da tabela 9.4. 
Figura 9.8 – Cantos vivos. 
 
Fonte: Bistafa, 2018. 
Tabela 9.4 – Valor do K em função do r/D. 
r/D 0,02 0,06 ≥0,15 
K 0,280,15 0,04 
 
 
 
9.3.2.3 Expansão e contração abrupta 
Numa expansão abrupta o fluido escoa de um tubo de seção menor para um outro de 
seção maior. A velocidade cai abruptamente formando-se uma região de turbulência e 
recirculação de fluxo a qual provoca uma perda de carga proporcional à relação das seções 
dos tubos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
81 
 
 
 
Figura 9.9 – Expansão abrupta. 
 
Fonte: Bistafa, 2018. 
 
Numa contração abrupta a perda de carga é originada pela contração das linhas 
de corrente formando uma veia contrata e regiões de recirculação de fluxo. 
Figura 9.10 - Contração abrupta. 
 
Fonte: Bistafa, 2018. 
 
Para determinar a perda de carga com expansão ou contração abrupta se utiliza a 
velocidade correspondente a seção de menor diâmetro. E com os gráficos das figuras 9.11 
e 9.12, mede-se o coeficiente de perda de carga para expansão ou contração abrupta: 
 
Figura 9.11 – Para expansão abrupta. 
 
Fonte: Slides de aula da professora Nathalia. 
82 
 
 
 
 
Figura 9.12 – Para contração abrupta. 
 
Fonte: Slides de aula da professora Nathalia. 
 
9.3.2.4 Expansão e Contração Gradual 
A expansão gradual é obtida com uma peça de transição unindo um tubo de menor 
diâmetro com outro de maior diâmetro permite uma menor dissipação de energia do que 
uma transição abrupta direta entre dois tubos de diferente diâmetro. 
O coeficiente de perda de carga (K) depende da relação de diâmetros (D2/D1) e do 
ângulo do cone. 
Figura 9.13 – Expansão gradual. 
 
Fonte: Bistafa, 2018. 
 
Coeficiente de perda de carga para expansão gradual: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
83 
 
 
 
Figura 9.14 – K para expansão gradual. 
 
Fonte: Slides de aula da professora Nathalia. 
 
Para contração gradual, da mesma forma que numa contração brusca a perda de 
carga depende da relação de diâmetros e do ângulo da contração 
Figura 9.14 – Contração gradual. 
 
Fonte: Bistafa, 2018. 
 
Tabela 9.3 – K para contração gradual. 
 Ângulo da contração θ 
A2/A1 10º 15º a 40º 50º a 60º 90º 120º 150º 180º 
0,10 0,05 0,05 0,08 0,19 0,29 0,37 0,43 
0,25 0,05 0,04 0,07 0,17 0,27 0,35 0,41 
0,50 0,05 0,05 0,06 0,12 0,18 0,24 0,26 
Observação: Válido para tubos redondos e retangulares. 
 
Exemplo 1: Num trecho de tubulação existem uma válvula de gaveta aberta, uma válvula 
globo e um cotovelo de 90º. Sendo a tubulação de aço (ε = 0,046 mm) de diâmetro 50,8 
mm e sabendo que a vazão é 2L/s e que o comprimento da tubulação no trecho considerado 
84 
 
 
 
é 30 cm (n = 10-6 m²/s), determine a perda de carga entre o trecho que contém esses 
acessórios utilizando: 
a) Para a perda de carga localizada o método do comprimento equivalente. 
b) Para a perda de carga localizada o método do coeficiente de perda de carga. 
 
85 
 
 
 
Exemplo 2: Um tubo liso horizontal, de 100 m de comprimento, está conectado a um 
grande reservatório. Uma bomba é ligada ao tubo para bombear água para o reservatório a 
uma vazão volumétrica de 0,01 m3/s. Que pressão (manométrica) a bomba deve produzir 
para gerar essa vazão? O diâmetro interno do tubo liso é 75 mm. 
 
 
 
86 
 
 
 
ANOTAÇÕES 
87 
 
 
 
10. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS 
BISTAFA, Sylvio R. Mecânica dos fluidos: Noções e Aplicações. 2 ed. São Paulo: 
Blücher, 2018. 
BRUNETTI, Franco. Mecânica dos Fluidos. 2 ed. São Paulo: Pearson, 2008. 
ÇENGEL, Yunus A. Mecânica dos fluidos: fundamentos e aplicações. 3 ed. São 
Paulo: AMGH Ltda, 2015. 
ÇENGEL, Yunus A.; BOLES, Michael A. Termodinâmica. 7 ed. Porto Alegre: 
AMGH Ltda, 2013. 
FOX, Robert W.; Mcdonald, Alan T. Introdução à Mecânica dos Fluidos. 4 ed. Rio 
de Janeiro: LTC, 1998.