Operações envolvendo números complexos

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MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS
Ensino Médio, 3º ano
Operações envolvendo números complexos
Matemática, 3º ano, Operações envolvendo números complexos
Para iniciarmos os nossos estudos a respeito de Operações envolvendo números complexos, vamos começar com uma breve revisão sobre:
Igualdade de complexos;
Oposto de um número complexo;
Conjugado de um número complexo.
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IGUALDADE DE COMPLEXOS 
Dois números complexos são iguais se, e somente se, apresentam simultaneamente iguais a parte real e a parte imaginária. 
Assim, se z1= a + bi e z2 = c + di, temos que:
z1 = z2 ⇔ a = c e b = c 
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EXEMPLO 1 
Se x e y são números reais, sob que condições os complexos (x – 1) + (y + 2)i e 3 – 5i são iguais?
Igualando os complexos, temos:
(x – 1) + (y + 2)i = 3 – 5i
⇒ x – 1 = 3
⇒ x = 4
⇒ y + 2 = –5
⇒ y = –7
Resolução:
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EXEMPLO 2 
Determine os valores reais de m e n para que os complexos (m – 5) + ni e (n + 3) + (2m + 1)i sejam iguais?
Igualando os complexos, temos:
(m – 5) + ni = (n + 3) + (2m + 1)i
m – 5 = n + 3
n = 2m + 1
⇒ m – 5 = 2m + 1 + 3
⇒ – m = 9
⇒ m = – 9
⇒ n = 2(–9) + 1
⇒ n = – 17
Resolução:
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OPOSTO DE UM NÚMERO COMPLEXO 
Chama-se oposto ou simétrico de um complexo z o complexo indicado por –z, assim definido.
z = a + bi ⇒ –z = – (a + bi) = – a – bi 
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Escreva os simétricos dos seguintes números complexos: (o número é multiplicado por -1)
a) 3 + 4i =
b) –3 + i = 
c) 1 – i = 
d) –2 + 5i = 
EXEMPLO
 – 3 – 4i
 3 – i
– 1 + i
 
 2 – 5i
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CONJUGADO DE UM NÚMERO COMPLEXO
Dado um número complexo z = (a, b), consideremos o par ordenado simétrico a z em relação ao eixo x. 
Tal par é chamado conjugado de z, e é indicado por z. 
z = a + bi ⇒ z = a + bi = a – bi 
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Escreva os conjugados dos seguintes números complexos: (troca-se o sinal da parte imaginária)
a) 3 + 4i =
b) 1 – i =
c) –2 – 5i =
d) 2i =
e) – 8 =
EXEMPLO
 3 – 4i
 1 + i
 – 2+5i
– 2i
 – 8
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ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO ENTRE COMPLEXOS 
Para adicionar ou subtrair dois números complexos devemos adicionar ou subtrair as suas partes reais e imaginárias, separadamente. 
Se z1 = a +bi e z2 = c +di são dois números complexos, então a sua soma é um outro número complexo dado por z1 + z2 = (a + c) + (b + d)i e sua diferença é um outro número complexo dado por z1 - z2 = (a - c) + (b - d)i. 
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EXEMPLO
Calcule: (somam-se/subtraem-se as partes reais e as partes imaginárias separadamente)
a) (2 + 5i) + (3 + 4i) =       
 (2 + 3) + (5i + 4i) = 5 + 9i 
b) i + (2 – 5i) = 
i + 2 – 5i = 2 – 4i 
c) (2 + 5i) – (3 + 4i) =        
2 + 5i – 3 – 4i = – 1 + i 
d) (1 + i) – (1 – i) =
1 + i – 1 + i = 2i 
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Para as potências do tipo in da unidade imaginária i, n natural, valem as definições. Para n > 2, valem as propriedades usuais da potenciação em ℝ.
POTÊNCIAS DE I
 i0 = 1
 i1 = i
 i2 = –1
 i3 
= i2. i
= (–1). i
= – i
 i4 
= i2. i2
= (–1).(–1) 
= 1
 i5 
= i4. i
= (1). i
= i
 i6 
= i4. i2
= 1.(–1)
= –1
 i7 
= i4. i3
= 1.(–i)
= – i
.......
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Qualquer potência de in, n natural, pode ser calculada a partir das quatro primeiras. 
i0 = 1 
i1 = i 
i2 = –1 
i3 = –i 
POTÊNCIAS DE I
O valor de in é o mesmo de ir, sendo r o resto da divisão de n por 4.
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EXEMPLOS 
1º) Calcular i42 + i37.
1
37
9
10
2
4
4
42
i42 = i2 = –1
i37 = i1 = i
i42 + i 37 = –1 + i
2º) Calcular i4n – 2.
i4n – 2 =
i4n
i2 
=
(i4)n
–1 
=
1n
–1 
= –1
i4n – 2 = –1 
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Dados dois números complexos, z1 e z2, para obter z3= z1. z2 , aplicamos a propriedade distributiva, as potências de i e depois reduzirmos os “termos semelhantes”.
MULTIPLICAÇÃO ENTRE COMPLEXOS 
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Calcule os seguintes produtos: (aplica-se a distributividade e a soma ou subtração) 
a) (2 + 3i) (3 – 2i)         
= (2)(3) – (2)(2i) + (3i)(3) – (3i)(2i) 
= 6 – 4i + 9i – 6i2 = 6 + 5i + 6 = 12 + 5i 
b) (1 + 3i) (1 + i) 
= (1)(1) + (1)(i) + (3i)(1) + (3i)(i)
= 1 + i +3i + 3i2 = 1 + 4i – 3 = – 2 + 4i
EXEMPLO 1
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EXEMPLO 2 
Determinar o complexo z que satisfaz a igualdade seguinte 2z + 5z = 7 + 6i.
Fazendo z = a + bi, com a e b reais, temos
2z + 5z = 7 + 6i
⇒
2(a + bi) + 5(a – bi) = 7 + 6i
⇒
2a + 2bi + 5a – 5bi = 7 + 6i
⇒
7a – 3bi = 7 + 6i
7a = 7
–3b = 6
⇒
⇒
a = 1 e b = –2
z = 1 – 2i
⇒
Resolução:
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EXEMPLO 3 
Obter o complexo z que, multiplicado por 2 – i, resulta 8 + i.
z.(2 – i) = 8 + i
Fazendo z = a + bi, com a e b reais, temos
(a + bi).(2 – i) = 8 + i
2a – ai + 2bi – bi2
⇒
= 8 + i
2a – ai + 2bi + b
⇒
= 8 + i
2a + b + (2b – a)i
⇒
= 8 + i
2a + b = 8
2b – a = 1
⇒
Resolução:
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Resolvendo o sistema, chegamos a:
2a + b = 8
2b – a = 1
x (2)
⇒
2a + b = 8
4b – 2a = 2
+
5b = 10
⇒
b = 2
⇒
2a + 2 = 8
⇒
a = 3
⇒
z = a + bi
⇒
z = 3 + 2i
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Sejam dois números complexos, z1 e z2, com z2 ≠ 0, definimos a divisão multiplicando ambos os números pelo conjugado do complexo do denominador.
DIVISÃO ENTRE COMPLEXOS 
z1
z2
. z2
. z2
z1
z2
=
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EXEMPLO 
Efetue as divisões indicadas abaixo.
8 + i
2 – i 
a)
(8 + i).(2 + i)
(2 – i).(2 + i) 
16 + 8i + 2i + i2
22 – i2 
16 + 8i + 2i – 1
4 – (–1) 
15 + 10i
5
= 3 + 2i
8 + i
3 + 2i 
b)
(8 + i).(3 – 2i)
(3 + 2i).(3 – 2i) 
24 – 16i + 3i – 2i2
32 – 4i2 
24 – 16i + 3i + 2
9 + 4 
26 – 13i
13
= 2 – i
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Se z é um complexo não-nulo, chamamos de inverso de z o complexo representado por z–1 e assim definido.
1
z
z–1 =
INVERSO DE UM COMPLEXO
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EXEMPLO
Determine o inverso do número complexo z = i.
z–1 =
1
i
(1) . (–i)
(i) . (–i) 
–i
–i2 
–i
1 
 – i 
z–1 =
z–1 =
z–1 =
z–1 =
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POTENCIAÇÃO DE COMPLEXOS (EXPOENTE NATURAL) 
Se n é um número natural e z é um complexo qualquer, a potência zn é, por definição, o produto de n fatores iguais a z.
z0 = 1 (z ≠ 0) 
z1 = z 
zn = z. z.z ... .z 
n fatores 
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EXEMPLO 1 
 (3 + i)0 
= 1
 (–5 + 2i)1 
= –5 + 2i
 (2 – 3i)2 
= 4 – 12i + 9i2
= 4 – 12i – 9
= –5 – 12i
 (1 + i)3 
= 1 + 3i + 3i2 + i3
= 1 + 3i – 3 – i 
= –3 + 2i 
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EXEMPLO 2 
Calcular o valor da constante real k, para que o complexo z = (k + 2i)2 seja imaginário puro.
z = (k + 2i)2 
= k2 + 4ki + 4i2
= k2 – 4 + 4ki
 z imaginário puro, devemos ter:
Re(z) = 0
Im(z) ≠ 0
⇒ 
k2 – 4 = 0
4k ≠ 0
⇒ 
k = ± 2
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POTENCIAÇÃO DE COMPLEXOS (EXPOENTE INTEIRO NEGATIVO)
A partir do conceito de inverso de um número complexo, podemos calcular uma potência com expoente inteiro negativo. Sendo z um complexo, z ≠ 0 e n um número natural, define-se:
1
z
z–n =
n
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EXEMPLO 
Sendo z = 1 – i, calcular z–2.
z–1 =
1
z 
=
1
1 – i 
=
Primeiro vamos calcular z–1; depois z–2.
1 + i
12 – i2 
=
1 + i
2 
z–2 = (z–1)2
=
1 + i
2 
2
=
1 + 2i + i2
4 
=
1 + 2i – 1
4 
=
2i
4 
=
i
2 
1 + i
(1 – i).(1 + i) 
=
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EXERCÍCIOS
http://www.eurooscar.com/gifs1/escola1.htm
1º) (UCSal) - Para que o produto (a + i).(3 - 2i) seja real qual deve ser o valor de “a”?
2º) (UFBA) - Sendo a = -4 + 3i , b = 5 - 6i e c = 4 - 3i , calcule o valor de a.c + b.
3º) (Mackenzie-SP) – Calcule o valor da expressão y = i + i2 + i3 + ... + i1001. 
4º) Calcule o número complexo i126 + i-126 + i31 - i180.
5º) (UEFS-93.2) - Se m - 1 + ni = (3 + i).(1 + 3i), calcule os valores de m e n.
6º) Efetue as seguintes divisões de números complexos: 
 
 a) b)
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EXTRAS
GEOGEBRA 
Utilizar o software geogebra para trabalhar as operações entre números complexos.
Este programa é de uso livre e pode ser obtido no endereço: http://www.baixaki.com.br/download/geogebra.htm.
SHOW DO MILHÃO
Um jogo com perguntas somente de números complexos e pode ser obtido no endereço: https://sites.google.com/site/matematicacomplexa/iniciodoprojeto/show-do-milhao/Show%20do%20Milh%C3%A3o.rar?attredirects=0&d=1
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REFERÊNCIAS
Sites:
http://www.alunosonline.com.br/matematica/operacoes-com-numeros-complexos-na-forma-algebrica.html
http://www.matematicadidatica.com.br/OperacoesNumerosComplexos.aspx
http://www.brasilescola.com/matematica/operacoes-numeros-complexos-na-forma-trigonometrica.htm
Livros:
I. Silva, Cláudio Xavier da. II. Filho, Benigno Barreto. Matemática aula por aula, 3 : ensino médio – São Paulo : FTD, 2009. 
Dante, Luiz Roberto. Matemática : volume único - Ática. São Paulo : Ática, 2005.
I. Iezzi,Gelson. II. Dolce, Osvaldo. III. Degenszajn, David. IV. Périgo, Roberto. Matemática : volume único – São Paulo : Atual, 2002.
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