4 Medidas de tendência central

Prévia do material em texto

Estatística
Medidas de tendência central
Prof. Hugo Nunes
hugonunes.ifal@gmail.com
Instituto Federal de Alagoas
Campus Maceió
2020.1
Medidas de tendência central
Medidas de tendência central
Dados não-agrupados
Na maior parte das vezes em que os dados estatísticos são anali-
sados, procuramos obter um valor para representar um conjunto
de dados.
Este valor deve sintetizar, da melhor maneira possível, o compor-
tamento do conjunto do qual ele é originário.
Definição (Medida de tendência central)
Uma medida de tendência central é um valor que representa uma
observação típica ou central de um conjunto de dados. As três
medidas da tendência central mais comumente usadas são a mé-
dia aritmética, a mediana e a moda.
1 35
Na maior parte das vezes em que os dados estatísticos são anali-
sados, procuramos obter um valor para representar um conjunto
de dados.
Este valor deve sintetizar, da melhor maneira possível, o compor-
tamento do conjunto do qual ele é originário.
Definição (Medida de tendência central)
Uma medida de tendência central é um valor que representa uma
observação típica ou central de um conjunto de dados. As três
medidas da tendência central mais comumente usadas são a mé-
dia aritmética, a mediana e a moda.
1 35
Na maior parte das vezes em que os dados estatísticos são anali-
sados, procuramos obter um valor para representar um conjunto
de dados.
Este valor deve sintetizar, da melhor maneira possível, o compor-
tamento do conjunto do qual ele é originário.
Definição (Medida de tendência central)
Uma medida de tendência central é um valor que representa uma
observação típica ou central de um conjunto de dados. As três
medidas da tendência central mais comumente usadas são a mé-
dia aritmética, a mediana e a moda.
1 35
Definição (Média aritmética)
A média de um conjunto de dados é a soma dos valores dos dados
dividida pelo número de observações.
X =
x1 + x2 + · · ·+ xn
n
ou X =
Σxi
n
2 35
Exemplo
Os pesos (em libras) de uma amostra de adultos antes de iniciarem um estudo
sobre perda de peso estão listados.
274 235 223 268 290 285 235
Qual é o peso médio dos adultos?
Solução.
A soma dos pesos é:
Σxi = 274 + 235 + 223 + 268 + 290 + 285 + 235 = 1.810
Há 7 adultos na amostra, logo n = 7.
Para encontrar o peso médio, divida a soma dos pesos pelo número de adultos na
amostra:
X =
Σxi
n
⇒ X = 1.810
7
= 258, 6.
Então, o peso médio dos adultos é aproximadamente 258, 6 libras.
3 35
Exemplo
Os pesos (em libras) de uma amostra de adultos antes de iniciarem um estudo
sobre perda de peso estão listados.
274 235 223 268 290 285 235
Qual é o peso médio dos adultos?
Solução.
A soma dos pesos é:
Σxi = 274 + 235 + 223 + 268 + 290 + 285 + 235 = 1.810
Há 7 adultos na amostra, logo n = 7.
Para encontrar o peso médio, divida a soma dos pesos pelo número de adultos na
amostra:
X =
Σxi
n
⇒ X = 1.810
7
= 258, 6.
Então, o peso médio dos adultos é aproximadamente 258, 6 libras.
3 35
Exemplo
Os pesos (em libras) de uma amostra de adultos antes de iniciarem um estudo
sobre perda de peso estão listados.
274 235 223 268 290 285 235
Qual é o peso médio dos adultos?
Solução.
A soma dos pesos é:
Σxi = 274 + 235 + 223 + 268 + 290 + 285 + 235 = 1.810
Há 7 adultos na amostra, logo n = 7.
Para encontrar o peso médio, divida a soma dos pesos pelo número de adultos na
amostra:
X =
Σxi
n
⇒ X = 1.810
7
= 258, 6.
Então, o peso médio dos adultos é aproximadamente 258, 6 libras.
3 35
Exemplo
Os pesos (em libras) de uma amostra de adultos antes de iniciarem um estudo
sobre perda de peso estão listados.
274 235 223 268 290 285 235
Qual é o peso médio dos adultos?
Solução.
A soma dos pesos é:
Σxi = 274 + 235 + 223 + 268 + 290 + 285 + 235 = 1.810
Há 7 adultos na amostra, logo n = 7.
Para encontrar o peso médio, divida a soma dos pesos pelo número de adultos na
amostra:
X =
Σxi
n
⇒ X = 1.810
7
= 258, 6.
Então, o peso médio dos adultos é aproximadamente 258, 6 libras.
3 35
Exemplo
Os pesos (em libras) de uma amostra de adultos antes de iniciarem um estudo
sobre perda de peso estão listados.
274 235 223 268 290 285 235
Qual é o peso médio dos adultos?
Solução.
A soma dos pesos é:
Σxi = 274 + 235 + 223 + 268 + 290 + 285 + 235 = 1.810
Há 7 adultos na amostra, logo n = 7.
Para encontrar o peso médio, divida a soma dos pesos pelo número de adultos na
amostra:
X =
Σxi
n
⇒ X = 1.810
7
= 258, 6.
Então, o peso médio dos adultos é aproximadamente 258, 6 libras.
3 35
Exemplo
Os pesos (em libras) de uma amostra de adultos antes de iniciarem um estudo
sobre perda de peso estão listados.
274 235 223 268 290 285 235
Qual é o peso médio dos adultos?
Solução.
A soma dos pesos é:
Σxi = 274 + 235 + 223 + 268 + 290 + 285 + 235 = 1.810
Há 7 adultos na amostra, logo n = 7.
Para encontrar o peso médio, divida a soma dos pesos pelo número de adultos na
amostra:
X =
Σxi
n
⇒ X = 1.810
7
= 258, 6.
Então, o peso médio dos adultos é aproximadamente 258, 6 libras.
3 35
Definição (Média Aritmética Ponderada)
Média ponderada é uma média aritmética na qual será atribuído
um peso a cada valor da série.
Xp =
x1p1 + x2p2 + · · ·+ xnpn
p1 + p2 + · · ·+ pn
ou Xp =
Σxipi
Σpi
4 35
Exemplo
João, ao prestar um concurso público, realizou três provas para testar seus conhe-
cimentos. A primeira prova, a de Português, possuía peso 1, a segunda, de Conhe-
cimentos Gerais, possuía peso 2 e a de Matemática possuía peso 3. Sabendo que
as notas de João foram, respectivamente, 65, 78 e 82, calcule a média final de suas
notas.
Solução.
Temos 3 notas e 3 pesos, assim:
Xp =
x1p1 + x2p2 + x3p3
p1 + p2 + p3
=
(65× 1) + (78× 2) + (82× 3)
1 + 2 + 3
=
467
6
= 77, 83
5 35
Exemplo
João, ao prestar um concurso público, realizou três provas para testar seus conhe-
cimentos. A primeira prova, a de Português, possuía peso 1, a segunda, de Conhe-
cimentos Gerais, possuía peso 2 e a de Matemática possuía peso 3. Sabendo que
as notas de João foram, respectivamente, 65, 78 e 82, calcule a média final de suas
notas.
Solução.
Temos 3 notas e 3 pesos, assim:
Xp =
x1p1 + x2p2 + x3p3
p1 + p2 + p3
=
(65× 1) + (78× 2) + (82× 3)
1 + 2 + 3
=
467
6
= 77, 83
5 35
Exemplo
João, ao prestar um concurso público, realizou três provas para testar seus conhe-
cimentos. A primeira prova, a de Português, possuía peso 1, a segunda, de Conhe-
cimentos Gerais, possuía peso 2 e a de Matemática possuía peso 3. Sabendo que
as notas de João foram, respectivamente, 65, 78 e 82, calcule a média final de suas
notas.
Solução.
Temos 3 notas e 3 pesos, assim:
Xp =
x1p1 + x2p2 + x3p3
p1 + p2 + p3
=
(65× 1) + (78× 2) + (82× 3)
1 + 2 + 3
=
467
6
= 77, 83
5 35
Exemplo
João, ao prestar um concurso público, realizou três provas para testar seus conhe-
cimentos. A primeira prova, a de Português, possuía peso 1, a segunda, de Conhe-
cimentos Gerais, possuía peso 2 e a de Matemática possuía peso 3. Sabendo que
as notas de João foram, respectivamente, 65, 78 e 82, calcule a média final de suas
notas.
Solução.
Temos 3 notas e 3 pesos, assim:
Xp =
x1p1 + x2p2 + x3p3
p1 + p2 + p3
=
(65× 1) + (78× 2) + (82× 3)
1 + 2 + 3
=
467
6
= 77, 83
5 35
Exemplo
João, ao prestar um concurso público, realizou três provas para testar seus conhe-
cimentos. A primeira prova, a de Português, possuía peso 1, a segunda, de Conhe-
cimentos Gerais, possuía peso 2 e a de Matemática possuía peso 3. Sabendo que
as notas de João foram, respectivamente, 65, 78 e 82, calcule a média final de suas
notas.
Solução.
Temos 3 notas e 3 pesos, assim:
Xp =
x1p1 + x2p2 + x3p3
p1 + p2 + p3
=
(65× 1) + (78× 2) + (82× 3)
1 + 2 + 3
=
467
6
= 77, 83
5 35
Observação
Se os valores de uma observação se repetem, podemos usa-los
como peso.
6 35
Definição (Moda)
Define-se a moda como o valor que ocorre com maior freqüência
em um conjunto de dados.
(a) Distribuição unimodal - é aquela que possui uma só moda.
(b) Distribuição bimodal ou plurimodal - a série possui dois ou
mais valores modais.
(c) Distribuição amodal- ocorre quando nenhum valor é repe-
tido, isto é, não possui moda.
7 35
Definição (Moda)
Define-se a moda como o valor que ocorre com maior freqüência
em um conjunto de dados.
(a) Distribuição unimodal - é aquela que possui uma só moda.
(b) Distribuição bimodal ou plurimodal - a série possui dois ou
mais valores modais.
(c) Distribuição amodal - ocorre quando nenhum valor é repe-
tido, isto é, não possui moda.
7 35
Definição (Moda)
Define-se a moda como o valor que ocorre com maior freqüência
em um conjunto de dados.
(a) Distribuição unimodal - é aquela que possui uma só moda.
(b) Distribuição bimodal ou plurimodal - a série possui dois ou
mais valores modais.
(c) Distribuição amodal - ocorre quando nenhum valor é repe-
tido, isto é, não possui moda.
7 35
Definição (Moda)
Define-se a moda como o valor que ocorre com maior freqüência
em um conjunto de dados.
(a) Distribuição unimodal - é aquela que possui uma só moda.
(b) Distribuição bimodal ou plurimodal - a série possui dois ou
mais valores modais.
(c) Distribuição amodal - ocorre quando nenhum valor é repe-
tido, isto é, não possui moda.
7 35
Exemplo
(a) Distribuição unimodal
xi = {100, 90, 110, 100, 100, 2500} e Mo = 100.
(b) Distribuição bimodal ou plurimodal
xi = {100, 200, 100, 100, 150, 210, 200, 120, 200} e Mo1 =
100 e Mo2 = 200.
(c) Distribuição amodal
xi = {1, 2, 3, 6, 7, 22, 300} e não existe Moda.
8 35
Exemplo
(a) Distribuição unimodal
xi = {100, 90, 110, 100, 100, 2500} e Mo = 100.
(b) Distribuição bimodal ou plurimodal
xi = {100, 200, 100, 100, 150, 210, 200, 120, 200} e Mo1 =
100 e Mo2 = 200.
(c) Distribuição amodal
xi = {1, 2, 3, 6, 7, 22, 300} e não existe Moda.
8 35
Exemplo
(a) Distribuição unimodal
xi = {100, 90, 110, 100, 100, 2500} e Mo = 100.
(b) Distribuição bimodal ou plurimodal
xi = {100, 200, 100, 100, 150, 210, 200, 120, 200} e Mo1 =
100 e Mo2 = 200.
(c) Distribuição amodal
xi = {1, 2, 3, 6, 7, 22, 300} e não existe Moda.
8 35
Definição (Mediana)
A mediana ou valor mediano é o valor que ocupa a posição central,
quando todos os itens do grupo estão dispostos em termos de valor em
ordem crescente ou decrescente. Ela divide a série ordenada em dois
conjuntos com o mesmo número de valores.
(a) Se a série tem um número ímpar de valores, a mediana é o termo de
ordem:
P =
n + 1
2
(b) Se a série tem um número par de valores, a mediana é a média arit-
mética dos termos de ordem:
P1 =
n
2
e P2 =
n
2
+ 1
9 35
Definição (Mediana)
A mediana ou valor mediano é o valor que ocupa a posição central,
quando todos os itens do grupo estão dispostos em termos de valor em
ordem crescente ou decrescente. Ela divide a série ordenada em dois
conjuntos com o mesmo número de valores.
(a) Se a série tem um número ímpar de valores, a mediana é o termo de
ordem:
P =
n + 1
2
(b) Se a série tem um número par de valores, a mediana é a média arit-
mética dos termos de ordem:
P1 =
n
2
e P2 =
n
2
+ 1
9 35
Definição (Mediana)
A mediana ou valor mediano é o valor que ocupa a posição central,
quando todos os itens do grupo estão dispostos em termos de valor em
ordem crescente ou decrescente. Ela divide a série ordenada em dois
conjuntos com o mesmo número de valores.
(a) Se a série tem um número ímpar de valores, a mediana é o termo de
ordem:
P =
n + 1
2
(b) Se a série tem um número par de valores, a mediana é a média arit-
mética dos termos de ordem:
P1 =
n
2
e P2 =
n
2
+ 1
9 35
Exemplo
(a) Determine o valor da mediana da série que é composta dos
seguintes elementos: 56, 58, 62, 65 e 90.
Solução.
Como temos n = 5, temos que:
P =
n + 1
2
⇒ P = 5 + 1
2
= 3
Logo, a mediana está na posição 3. Portanto Md = 62.
10 35
Exemplo
(a) Determine o valor da mediana da série que é composta dos
seguintes elementos: 56, 58, 62, 65 e 90.
Solução.
Como temos n = 5, temos que:
P =
n + 1
2
⇒ P = 5 + 1
2
= 3
Logo, a mediana está na posição 3. Portanto Md = 62.
10 35
Exemplo
(a) Determine o valor da mediana da série que é composta dos
seguintes elementos: 56, 58, 62, 65 e 90.
Solução.
Como temos n = 5, temos que:
P =
n + 1
2
⇒ P = 5 + 1
2
= 3
Logo, a mediana está na posição 3. Portanto Md = 62.
10 35
Exemplo
(b) Em uma pesquisa realizada a respeito de erros por folha, cometidos por
digitadores, revelou as seguintes quantidades:
12, 12, 13, 13, 15, 16, 18 e 20.
Determine a quantidade mediana de falhas.
Solução.
Temos um número par de observações, n = 8, assim:
P1 =
n
2
=
8
2
= 4
P2 =
n
2
+ 1 =
8
2
+ 1 = 5
Faremos a média dos valores que estão na posição 4 e 5:
Md =
13 + 15
2
= 14.
11 35
Exemplo
(b) Em uma pesquisa realizada a respeito de erros por folha, cometidos por
digitadores, revelou as seguintes quantidades:
12, 12, 13, 13, 15, 16, 18 e 20.
Determine a quantidade mediana de falhas.
Solução.
Temos um número par de observações, n = 8, assim:
P1 =
n
2
=
8
2
= 4
P2 =
n
2
+ 1 =
8
2
+ 1 = 5
Faremos a média dos valores que estão na posição 4 e 5:
Md =
13 + 15
2
= 14.
11 35
Exemplo
(b) Em uma pesquisa realizada a respeito de erros por folha, cometidos por
digitadores, revelou as seguintes quantidades:
12, 12, 13, 13, 15, 16, 18 e 20.
Determine a quantidade mediana de falhas.
Solução.
Temos um número par de observações, n = 8, assim:
P1 =
n
2
=
8
2
= 4
P2 =
n
2
+ 1 =
8
2
+ 1 = 5
Faremos a média dos valores que estão na posição 4 e 5:
Md =
13 + 15
2
= 14.
11 35
Exemplo
(b) Em uma pesquisa realizada a respeito de erros por folha, cometidos por
digitadores, revelou as seguintes quantidades:
12, 12, 13, 13, 15, 16, 18 e 20.
Determine a quantidade mediana de falhas.
Solução.
Temos um número par de observações, n = 8, assim:
P1 =
n
2
=
8
2
= 4
P2 =
n
2
+ 1 =
8
2
+ 1 = 5
Faremos a média dos valores que estão na posição 4 e 5:
Md =
13 + 15
2
= 14.
11 35
Exemplo
(b) Em uma pesquisa realizada a respeito de erros por folha, cometidos por
digitadores, revelou as seguintes quantidades:
12, 12, 13, 13, 15, 16, 18 e 20.
Determine a quantidade mediana de falhas.
Solução.
Temos um número par de observações, n = 8, assim:
P1 =
n
2
=
8
2
= 4
P2 =
n
2
+ 1 =
8
2
+ 1 = 5
Faremos a média dos valores que estão na posição 4 e 5:
Md =
13 + 15
2
= 14.
11 35
Definição (Outlier)
Um outlier é um valor que está muito afastado dos demais valores
do conjunto de dados.
Observação
Enquanto alguns outliers são dados válidos, outros podem ocor-
rer por causa de erros no registro dos dados. Um conjunto de
dados pode ter um ou mais outliers, causando lacunas em uma
distribuição. As conclusões que são tomadas de um conjunto de
dados que contém outliers podem ser falhas.
12 35
Definição (Outlier)
Um outlier é um valor que está muito afastado dos demais valores
do conjunto de dados.
Observação
Enquanto alguns outliers são dados válidos, outros podem ocor-
rer por causa de erros no registro dos dados. Um conjunto de
dados pode ter um ou mais outliers, causando lacunas em uma
distribuição. As conclusões que são tomadas de um conjunto de
dados que contém outliers podem ser falhas.
12 35
Comparando a média, a mediana e a moda
Exemplo
Encontre a média, a mediana e a moda da amostra das idades
dos alunos de uma turma mostradas na tabela abaixo. Há
outliers?
20 20 20 20 20 20 21
21 21 21 22 22 22 23
23 23 23 24 24 65
13 35
Solução.
• Média:
X =
(20× 6) + (21× 4) + (22× 3) + (23× 4) + (24× 2) + (65× 1)
20
=
475
20
≈ 23, 8
• Mediana: temos n = 20, logo:
P1 =
n
2
=
20
2
= 10
P2 =
n
2
+ 1 =
20
2
+ 1 = 11
Pegando os números da posição 10 e 11, temos:
Md =
21 + 221
2
⇒ Md = 21, 5
14 35
Solução.
• Média:
X =
(20× 6) + (21× 4) + (22× 3) + (23× 4) + (24× 2) + (65× 1)
20
=
475
20
≈ 23, 8
• Mediana: temos n = 20, logo:
P1 =
n
2
=
20
2
= 10
P2 =
n
2
+ 1 =
20
2
+ 1 = 11
Pegando os números da posição 10 e 11, temos:
Md =
21 + 221
2
⇒ Md = 21, 5
14 35
Solução.
• Média:
X =
(20× 6) + (21× 4) + (22× 3) + (23× 4) + (24× 2) + (65× 1)
20
=
475
20
≈ 23, 8
• Mediana: temosn = 20, logo:
P1 =
n
2
=
20
2
= 10
P2 =
n
2
+ 1 =
20
2
+ 1 = 11
Pegando os números da posição 10 e 11, temos:
Md =
21 + 221
2
⇒ Md = 21, 5
14 35
Solução.
• Média:
X =
(20× 6) + (21× 4) + (22× 3) + (23× 4) + (24× 2) + (65× 1)
20
=
475
20
≈ 23, 8
• Mediana: temos n = 20, logo:
P1 =
n
2
=
20
2
= 10
P2 =
n
2
+ 1 =
20
2
+ 1 = 11
Pegando os números da posição 10 e 11, temos:
Md =
21 + 221
2
⇒ Md = 21, 5
14 35
Solução.
• Média:
X =
(20× 6) + (21× 4) + (22× 3) + (23× 4) + (24× 2) + (65× 1)
20
=
475
20
≈ 23, 8
• Mediana: temos n = 20, logo:
P1 =
n
2
=
20
2
= 10
P2 =
n
2
+ 1 =
20
2
+ 1 = 11
Pegando os números da posição 10 e 11, temos:
Md =
21 + 221
2
⇒ Md = 21, 5
14 35
continuação.
• Moda: o valor que ocorre com maior frequência é 20 anos.
• Outlier: 65
15 35
continuação.
• Moda: o valor que ocorre com maior frequência é 20 anos.
• Outlier: 65
15 35
Motivação
Em uma turma de Estatística, os resultados de uma prova ficaram
abaixo do que o professor esperava. Como todos os alunos vi-
nham participando ativamente de todas as atividades, mostrando
um interesse especial pela matéria, o professor resolveu dar 1
ponto na prova para todos os alunos.
Além disso, ele deu os resultados com as notas variando de 0 a
10, mas a Secretaria da Faculdade exige que as notas sejam da-
das em uma escala de 0 a 100. Sendo assim, o professor precisa
multiplicar todas as notas por 10.
O que acontece com a média, a moda e a mediana depois dessas
alterações?
16 35
Motivação
Em uma turma de Estatística, os resultados de uma prova ficaram
abaixo do que o professor esperava. Como todos os alunos vi-
nham participando ativamente de todas as atividades, mostrando
um interesse especial pela matéria, o professor resolveu dar 1
ponto na prova para todos os alunos.
Além disso, ele deu os resultados com as notas variando de 0 a
10, mas a Secretaria da Faculdade exige que as notas sejam da-
das em uma escala de 0 a 100. Sendo assim, o professor precisa
multiplicar todas as notas por 10.
O que acontece com a média, a moda e a mediana depois dessas
alterações?
16 35
Motivação
Em uma turma de Estatística, os resultados de uma prova ficaram
abaixo do que o professor esperava. Como todos os alunos vi-
nham participando ativamente de todas as atividades, mostrando
um interesse especial pela matéria, o professor resolveu dar 1
ponto na prova para todos os alunos.
Além disso, ele deu os resultados com as notas variando de 0 a
10, mas a Secretaria da Faculdade exige que as notas sejam da-
das em uma escala de 0 a 100. Sendo assim, o professor precisa
multiplicar todas as notas por 10.
O que acontece com a média, a moda e a mediana depois dessas
alterações?
16 35
Solução
Vamos ver isso com um conjunto de 5 notas:
5, 4, 2, 3, 4.
As notas ordenadas são:
2, 3, 4, 4, 5.
Temos as seguintes medidas de posição:
X =
5 + 4 + 2 + 3 + 4
5
=
18
5
= 3, 6
Md = 4
Mo = 4
17 35
Solução
Vamos ver isso com um conjunto de 5 notas:
5, 4, 2, 3, 4.
As notas ordenadas são:
2, 3, 4, 4, 5.
Temos as seguintes medidas de posição:
X =
5 + 4 + 2 + 3 + 4
5
=
18
5
= 3, 6
Md = 4
Mo = 4
17 35
Solução
Vamos ver isso com um conjunto de 5 notas:
5, 4, 2, 3, 4.
As notas ordenadas são:
2, 3, 4, 4, 5.
Temos as seguintes medidas de posição:
X =
5 + 4 + 2 + 3 + 4
5
=
18
5
= 3, 6
Md = 4
Mo = 4
17 35
Solução
Somando 1 ponto, as notas passam a ser:
3, 4, 5, 5, 6.
As medidas de posição são agora:
X =
6 + 5 + 3 + 4 + 5
5
=
23
5
= 4, 6
Md = 5
Mo = 5
Ou seja, todas as medidas de posição ficam adicionadas por 1.
18 35
Solução
Somando 1 ponto, as notas passam a ser:
3, 4, 5, 5, 6.
As medidas de posição são agora:
X =
6 + 5 + 3 + 4 + 5
5
=
23
5
= 4, 6
Md = 5
Mo = 5
Ou seja, todas as medidas de posição ficam adicionadas por 1.
18 35
Solução
Somando 1 ponto, as notas passam a ser:
3, 4, 5, 5, 6.
As medidas de posição são agora:
X =
6 + 5 + 3 + 4 + 5
5
=
23
5
= 4, 6
Md = 5
Mo = 5
Ou seja, todas as medidas de posição ficam adicionadas por 1.
18 35
Solução
Multiplicando as novas notas por 10, obtemos
30, 40, 50, 50, 60
As medidas de posição são agora:
X =
60 + 50 + 30 + 40 + 50
5
=
230
5
= 46
Md = 50
Mo = 50
Ou seja, todas as medidas de posição ficam multiplicadas por 10.
19 35
Solução
Multiplicando as novas notas por 10, obtemos
30, 40, 50, 50, 60
As medidas de posição são agora:
X =
60 + 50 + 30 + 40 + 50
5
=
230
5
= 46
Md = 50
Mo = 50
Ou seja, todas as medidas de posição ficam multiplicadas por 10.
19 35
Solução
Multiplicando as novas notas por 10, obtemos
30, 40, 50, 50, 60
As medidas de posição são agora:
X =
60 + 50 + 30 + 40 + 50
5
=
230
5
= 46
Md = 50
Mo = 50
Ou seja, todas as medidas de posição ficam multiplicadas por 10.
19 35
Propriedades
1. Somando-se um mesmo valor a cada observação xi, obtemos
um novo conjunto de dados yi = xi + k para o qual temos as
seguintes medidas de posição:
yi = xi + k ⇒

X2 = X1 + k
Md2 = Md1 + k
Mo2 = Mo1 + k
20 35
Propriedades
2. Multiplicando cada observação xi por uma mesma constante
não nula k, obtemos um novo conjunto de dados yi = kxi
para o qual temos as seguintes medidas de posição:
yi = xik ⇒

X2 = X1k
Md2 = Md1k
Mo2 = Mo1k
21 35
Separatrizes
As medidas de posição denominadas quartis, decis e percentis
são, juntamente com a mediana, conhecidas pelo nome genérico
de separatrizes.
Enquanto a mediana separa a distribuição em duas partes iguais,
a característica principal de cada uma dessas medidas é que:
• Quartis (Qi): dividem a distribuição em quatro partes iguais;
• Decis (Di): dividem em dez partes iguais;
• Percentis (Pi): dividem em cem partes iguais.
22 35
As medidas de posição denominadas quartis, decis e percentis
são, juntamente com a mediana, conhecidas pelo nome genérico
de separatrizes.
Enquanto a mediana separa a distribuição em duas partes iguais,
a característica principal de cada uma dessas medidas é que:
• Quartis (Qi): dividem a distribuição em quatro partes iguais;
• Decis (Di): dividem em dez partes iguais;
• Percentis (Pi): dividem em cem partes iguais.
22 35
As medidas de posição denominadas quartis, decis e percentis
são, juntamente com a mediana, conhecidas pelo nome genérico
de separatrizes.
Enquanto a mediana separa a distribuição em duas partes iguais,
a característica principal de cada uma dessas medidas é que:
• Quartis (Qi): dividem a distribuição em quatro partes iguais;
• Decis (Di): dividem em dez partes iguais;
• Percentis (Pi): dividem em cem partes iguais.
22 35
Definição (Quartis)
Os quartis dividem um conjunto de dados em 4 partes iguais. As-
sim, para o cálculo das posições usaremos:
• Primeiro quartil (Q1): é o número da série tal que um quarto
(25%) dos dados está abaixo dele e as três quartas partes
restantes (75%) estão acima dele. Para encontrar a posição
do Q1 emprega-se:
Q1 → P =
n + 1
4
23 35
Definição (Quartis)
Os quartis dividem um conjunto de dados em 4 partes iguais. As-
sim, para o cálculo das posições usaremos:
• Primeiro quartil (Q1): é o número da série tal que um quarto
(25%) dos dados está abaixo dele e as três quartas partes
restantes (75%) estão acima dele. Para encontrar a posição
do Q1 emprega-se:
Q1 → P =
n + 1
4
23 35
Definição (Quartis)
• Segundo quartil (Q2): é com evidência, coincidente com a
mediana (Q2 = Md). A posição do Q2 é obtida por:
Q2 → P =
2(n + 1)
4
=
n + 1
2
• Terceiro quartil (Q3): é o número da série tal que três quartos
(75%) dos dados estão abaixo dele e um quarto (25%), está
acima dele. Calcula-se a posição do Q3 como:
Q3 → P =
3(n + 1)
4
24 35
Definição (Quartis)
• Segundo quartil (Q2): é com evidência, coincidente com a
mediana (Q2 = Md). A posição do Q2 é obtida por:
Q2 → P =
2(n + 1)
4
=
n + 1
2
• Terceiro quartil (Q3): é o número da série tal que três quartos
(75%) dos dados estão abaixo dele e um quarto (25%), está
acima dele. Calcula-se a posição do Q3 como:Q3 → P =
3(n + 1)
4
24 35
25 35
Exemplo
O número de usinas nucleares nos 15 maiores produtores de energia nuclear
no mundo está listado a seguir.
7 20 16 6 58 9 20 50 23 33 8 10 15 16 104
Encontre o primeiro, o segundo e o terceiro quartis do conjunto de dados. O
que você observa?
Solução.
Primeiro, ordene o conjunto de dados:
6 7 8 9 10 15 16 16 20 20 23 33 50 58 104
• Primeiro quartil:
P =
n + 1
4
⇒ P = 15 + 1
4
= 4
O número que está na posição 4 é o primeiro quartil, logo Q1 = 9.
26 35
Exemplo
O número de usinas nucleares nos 15 maiores produtores de energia nuclear
no mundo está listado a seguir.
7 20 16 6 58 9 20 50 23 33 8 10 15 16 104
Encontre o primeiro, o segundo e o terceiro quartis do conjunto de dados. O
que você observa?
Solução.
Primeiro, ordene o conjunto de dados:
6 7 8 9 10 15 16 16 20 20 23 33 50 58 104
• Primeiro quartil:
P =
n + 1
4
⇒ P = 15 + 1
4
= 4
O número que está na posição 4 é o primeiro quartil, logo Q1 = 9.
26 35
Exemplo
O número de usinas nucleares nos 15 maiores produtores de energia nuclear
no mundo está listado a seguir.
7 20 16 6 58 9 20 50 23 33 8 10 15 16 104
Encontre o primeiro, o segundo e o terceiro quartis do conjunto de dados. O
que você observa?
Solução.
Primeiro, ordene o conjunto de dados:
6 7 8 9 10 15 16 16 20 20 23 33 50 58 104
• Primeiro quartil:
P =
n + 1
4
⇒ P = 15 + 1
4
= 4
O número que está na posição 4 é o primeiro quartil, logo Q1 = 9.
26 35
Exemplo
O número de usinas nucleares nos 15 maiores produtores de energia nuclear
no mundo está listado a seguir.
7 20 16 6 58 9 20 50 23 33 8 10 15 16 104
Encontre o primeiro, o segundo e o terceiro quartis do conjunto de dados. O
que você observa?
Solução.
Primeiro, ordene o conjunto de dados:
6 7 8 9 10 15 16 16 20 20 23 33 50 58 104
• Primeiro quartil:
P =
n + 1
4
⇒ P = 15 + 1
4
= 4
O número que está na posição 4 é o primeiro quartil, logo Q1 = 9.
26 35
Solução.
• Segundo quartil:
P =
n + 1
2
⇒ P = 15 + 1
2
= 8
O número que está na posição 8 é o segundo quartil, logo
Q2 = 16.
• Terceiro quartil:
P =
3(n + 1)
4
⇒ P = 3(15 + 1)
4
= 12
O número que está na posição 12 é o terceiro quartil, logo
Q3 = 33.
27 35
Solução.
• Segundo quartil:
P =
n + 1
2
⇒ P = 15 + 1
2
= 8
O número que está na posição 8 é o segundo quartil, logo
Q2 = 16.
• Terceiro quartil:
P =
3(n + 1)
4
⇒ P = 3(15 + 1)
4
= 12
O número que está na posição 12 é o terceiro quartil, logo
Q3 = 33.
27 35
Solução.
• Segundo quartil:
P =
n + 1
2
⇒ P = 15 + 1
2
= 8
O número que está na posição 8 é o segundo quartil, logo
Q2 = 16.
• Terceiro quartil:
P =
3(n + 1)
4
⇒ P = 3(15 + 1)
4
= 12
O número que está na posição 12 é o terceiro quartil, logo
Q3 = 33.
27 35
Solução.
• Segundo quartil:
P =
n + 1
2
⇒ P = 15 + 1
2
= 8
O número que está na posição 8 é o segundo quartil, logo
Q2 = 16.
• Terceiro quartil:
P =
3(n + 1)
4
⇒ P = 3(15 + 1)
4
= 12
O número que está na posição 12 é o terceiro quartil, logo
Q3 = 33.
27 35
Interpretação: Aproximadamente 1/4 dos países tem 9 usinas nu-
cleares ou menos; aproximadamente metade tem 16 ou menos; e
cerca de 3/4 têm 33 ou menos.
28 35
Definição (Decis)
são valores que dividem a série em 10 partes iguais de tal forma
que cada intervalo do decil contenha 10% dos elementos cole-
tados. Assim, para dados não agrupados o cálculo das posições
(decis) usaremos:
Di → pi =
k(n+ 1)
10
onde k vai de 1 a 9, dependendo do decil.
29 35
Assim:
• D1 → p1 =
(n + 1)
10
• D2 → p2 =
2(n + 1)
10
• D3 → p3 =
3(n + 1)
10
• D4 → p4 =
4(n + 1)
10
• D5 → p5 =
5(n + 1)
10
• D6 → p6 =
6(n + 1)
10
• D7 → p7 =
7(n + 1)
10
• D8 → p8 =
8(n + 1)
10
• D9 → p9 =
9(n + 1)
10
30 35
31 35
Definição (Percentis)
São os valores que delimitam proporções dentro de uma série se-
gundo o percentil escolhido, de tal forma que cada intervalo do
percentil contenha 1% dos elementos coletados. Assim, para o
cálculo das posições (percentis) usaremos:
Pi → pi =
k(n+ 1)
100
onde k vai de 1 a 99, dependendo do percentil.
32 35
Assim:
• P1 → p1 =
(n + 1)
100
• P2 → p2 =
2(n + 1)
100
• P3 → p3 =
3(n + 1)
100
• P4 → p4 =
4(n + 1)
100
• D5 → p5 =
5(n + 1)
100
• P6 → p6 =
6(n + 1)
100
• P7 → p7 =
7(n + 1)
100
• P8 → p8 =
8(n + 1)
100
• P90 → p90 =
90(n + 1)
100
• P99 → p99 =
99(n + 1)
100
33 35
34 35
Observação
Temos:
Md = Q2 = D5 = P50
35 / 35
	Medidas de tendência central
	Dados não-agrupados
	Separatrizes