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Estradas
Professor: Igor Lima
Curvas Horizontais 
Circulares 
ESTRADAS
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Traçado da curva horizontal
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Itens
• Definido pelo traçado
• AC = ângulo central – Deflexão (medido)
• PI – Ponto de inflexão
• Estipulado
• R – Raio
• Calculado
• PC – Ponto de Curva
• PT – Ponto de Tangente
• T – Tangente
• D – Desenvolvimento da Curva
• G – Grau da Curva 4
Traçado da curva horizontal
𝑇 = 𝑅. 𝑡𝑔(
𝐴𝐶
2
)
𝐷 =
π. 𝑅. 𝐴𝐶
1800
(0)
D = 𝐴𝐶. 𝑅(𝑟𝑎𝑑)
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Traçado da curva horizontal
𝑇 = 𝑅. 𝑡𝑔(
𝐴𝐶
2
)
D = 𝐴𝐶. 𝑅(𝑟𝑎𝑑)
20 = 𝐺. 𝑅(𝑟𝑎𝑑)
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Traçado da curva horizontal
𝑃𝐶 = 𝑃𝐼 − 𝑇
𝑃𝑇 = 𝑃𝐶 + 𝐷
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EXERCÍCIOS
ESTRADAS
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Exercícios
Queremos projetar um ramo de entroncamento com duas
curvas circulares reversas, conforme o esquema. A estaca zero
do ramo coincide com a estaca [820+0,00] e o PT2 coincide com
a estaca [837+1,42] da estrada tronco.
• Calcular os valores R1, R2, PI2 e PT2.
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Exercícios
Conhecendo-se os elementos indicados no croqui, calcular a 
estaca final do trecho.
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Exercícios
Em um traçado com curvas horizontais circulares, conforme o 
esquema a seguir, desejando-se que os dois raios sejam iguais, 
pergunta-se:
a) Qual o maior raio possível?
b) Qual o maior raio que conseguiremos usar, deixando um 
trecho reto de 80 metros entre as curvas?
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𝐴𝐶1 = 40°
𝐴𝐶2 = 28°
Curvas Circulares 
com Transição
ESTRADAS
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Curvas Circulares com Transição
• A descontinuidade da curva com a reta (tangente) em PC e PT 
não é aceitável.
• Transição no PC e no PT
• Permitir uma variação contínua da superelevação;
• Criar uma variação contínua de aceleração centrípeta na 
passagem do trecho reto para o trecho circular;
• Gerar um traçado que possibilite ao veículo manter-se no centro 
de sua faixa de rolamento;
• Proporcionar um trecho fluente, sem descontinuidade da 
curvatura e esteticamente agradável.
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Curvas Circulares com Transição
• Perspectiva de curva horizontal
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Curvas Circulares com Transição
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Curvas Circulares com Transição
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Curvas Circulares com Transição
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Curvas Circulares com Transição
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Tipos de Curva de Transição
• Clotóide ou Espiral
• 𝑅. 𝐿 = 𝐾
• Lemniscata
• 𝑅. 𝑃 = 𝐾
• Parábola Cúbica
• Y= 𝐴. 𝑋³
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Espiral
• Curva descrita por um veículo
• Velocidade constante
• Giro do volante constante
• G (proporcional a curvatura) varia constantemente com o 
comprimento percorrido
• 𝑅. 𝐿 = 𝐾  G = 𝐾. 𝐿
• Aceleração centrípeta
• Variação inversamente proporcional ao raio
• 𝐴𝐶 = 𝑉²/𝑅
• Variação linear ao grau da curva
• 𝐴𝐶 = 𝑉². 𝐺
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Características Geométricas - Espiral
• Valor da constante K  𝑅. 𝐿 = 𝐾
• Determina o comprimento do raio
• Ls  Comprimento a ser utilizado na espiral
• Ponto de concordância da espiral – circular  𝑅 = 𝑅𝑐
• Desta forma K = 𝐿𝑠. 𝑅𝑐  Espiral selecionada
• Cada K determina uma curva dentro da família das Clotóides
• Cada curva proporciona uma variação angular
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Características Geométricas - Espiral
22
Características Geométricas - Espiral
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Parâmetros da transição
Rc  Definido pelo projetista
Ls Obtido pelo projetista
θs =
𝐿𝑠
2 . 𝑅𝑐
Xs = 𝐿𝑠 . 1 −
𝜃s2
10
+
𝜃s4
216
Ys = 𝐿𝑠 .
𝜃𝑠
3
−
𝜃s3
42
+
𝜃s5
1320
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Curva com transição - Fórmulas
Rc  Definido
Ls Obtido
θs =
𝐿𝑠
2 . 𝑅𝑐
Xs = 𝐿𝑠 . 1 −
𝜃s2
10
+
𝜃s4
216
Ys = 𝐿𝑠 .
𝜃𝑠
3
−
𝜃s3
42
+
𝜃s5
1320
𝑄 = 𝑋𝑠 − 𝑅𝑐 . 𝑠𝑒𝑛(𝜃𝑠)
𝑝 = 𝑌𝑠 − 𝑅𝑐 . (1 − cos 𝜃𝑠 )
𝑇𝑇 = 𝑄 + 𝑅𝑐 + 𝑝 . tan
𝐴𝐶
2
𝐷𝑐 = 𝐴𝐶 − 2 . 𝜃𝑠 . 𝑅𝑐
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Comprimento da transição (ls)
• Força centrípeta
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Comprimento da transição (ls)
• Força centrípeta – Transição insuficiente 
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Comprimento da transição (ls)
• Força centrípeta – Transição mínima
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Critérios para transição mínima
• Dinâmico
𝐿𝑠𝑚í𝑛𝑖𝑚𝑜 =
0,036 . 𝑉𝑝³
𝑅𝑐
• Tempo
𝐿𝑠𝑚í𝑛𝑖𝑚𝑜 =
𝑉𝑝
1,8
• Estético
𝐿𝑠𝑚í𝑛𝑖𝑚𝑜 =
𝑒 . 𝑙𝑓
0,9 − 0,005 . 𝑉𝑝
→ para Vp ≤ 80 𝑘𝑚/ℎ
𝐿𝑠𝑚í𝑛𝑖𝑚𝑜 =
𝑒 . 𝑙𝑓
0,71 − 0,0026 . 𝑉𝑝
→ para Vp ≥ 80 𝑘𝑚/ℎ 30
Critérios para transição mínima
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Critérios para transição máxima
• SC e CS
𝐿𝑠𝑚á𝑥𝑖𝑚𝑜 =
π . 𝐴𝑐 . 𝑅𝑐
180
𝐿𝑠𝑚á𝑥𝑖𝑚𝑜 = 𝐴𝑐 . 𝑅𝑐
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Concordância da curva de transição
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Pontos notáveis da curva
• 𝑇𝑆 = 𝑃𝐼 − 𝑇𝑇
• 𝑆𝐶 = 𝑇𝑆 + 𝐿𝑠
• 𝐶𝑆 = 𝑆𝐶 + 𝐷𝑐
• 𝑆𝑇 = 𝐶𝑆 + 𝐿𝑠
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EXERCÍCIOS
ESTRADAS
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Exercícios
Um ramo que sai de uma rodovia, conforme croqui, tem duas curvas
com mesmo Rc. A primeira curva tem transição total; a segunda é
circular simples.
Calcular a extensão do trecho reto entre as duas curvas.
Dados: 𝐴𝐶1 = 45°
O 𝑃𝐼1 fica na estaca [238+0,00] da rodovia
O 𝑃𝑇2 fica na estaca [245+4,85] da rodovia
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Exercícios
Deseja-se fazer uma variante paralela a uma rodovia, ligada à primeira 
por meio de duas curvas com transição total conforme esquema. Qual 
a distância (d) entre os dois eixos?
Dados: Ls= 60,00m; Rc=80,00m; (para as duas curvas) 
Resp.: 84,63m
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𝑺𝑪𝟏 = 𝑪𝑺𝟏
𝑺𝑻𝟐 = 𝑻𝑺𝟐
𝑺𝑪𝟐 = 𝑪𝑺𝟐
𝑺𝑻𝟐
𝑷𝑰𝟐
𝑷𝑰𝟏𝑻𝑺𝟏
Exercícios
Calcular todos os pontos notáveis de 3 curvas horizontais reversas,
com a primeira começando para a direita e apresentar um croqui com
todos seus elementos. Considerando que a curva central não possui
transição e que a ultima curva possui transição total. Dados:
Após o cálculo de todos os pontos, identificar a diferença de cota
entre o eixo e as bordas da pista, esquerda e direita, nos pontos: PC,
PT, TS, SC, CS, ST e nos pontos centrais das curvas.
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Vp
Km/h
30 40 50 60 70 80 90 100 110 120
𝒇𝒎á𝒙 0,17 0,17 0,16 0,15 0,15 0,14 0,13 0,12 0,10 0,09
𝑉𝑝 = 110 𝑘𝑚/ℎ 𝐴𝐶1 = 45° 𝐿1 = 800 𝑚
𝑅𝑚í𝑛 = 300 𝑚 𝐴𝐶2 = 28° 𝐿2 = 1200 𝑚
𝑒 = 10%𝑚á𝑥𝑖𝑚𝑜 𝐴𝐶3 = 55° 𝐿3 = 900 𝑚
𝑙𝑓 = 3,6 𝑚 𝐿4 = 600 𝑚