SD 2ª SÉRIE EM MATEMÁTICA (1)

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Caderno de recomendações de uso 
das 
SEQUÊNCIAS DIDÁTICAS 
2ª Série do Ensino Médio 
Matemática 
 
 
 
 
 
 
São Paulo 
2018 
Caro professor, 
 
A realização da Avaliação Diagnóstica neste início de ano tem o propósito de localizar os 
estudantes em seu momento de aprendizagem, reconhecendo o trajeto já percorrido. Ela foi 
constituída por uma sondagem de retrospecção da situação de desenvolvimento do aluno, de 
modo a fornecer elementos para o planejamento e projeção das atividades futuras. 
Todos os envolvidos no desenvolvimento das aprendizagens dos alunos têm muito a ganhar com 
as análises e reflexões oriundas dos resultados dessa avaliação, uma vez que a partir delas pode-
se produzir um melhor ajuste do processo ensino-aprendizagem considerando as características 
dos alunos reveladas nesse processo. 
Não há como fugir da necessidade de avaliação de conhecimentos, muito embora se possa, com 
efeito, torná-la eficaz naquilo a que se propõe: a melhora de todo o processo educativo. De fato, 
a avaliação representa um dos pontos vitais para o alcance de uma prática pedagógica 
competente. Ela é um desafio que exige mudanças por parte do professor. Mudança requer 
muito estudo, busca por inovação, reflexão e ação que provoquem mudanças na postura frente 
às ações a serem desencadeadas em sala de aula, possibilitando aos alunos maior autonomia no 
desenvolvimento de seu conhecimento. 
Partindo desses princípios é que vamos discutir as questões propostas na avaliação diagnóstica 
e, de acordo com as dificuldades apresentadas pelos alunos, vamos fazer indicações de trabalho 
com determinado grupo de atividades que possibilitarão a eles construir, modificar, enriquecer 
e diversificar seus esquemas de conhecimento, a partir do significado e do sentido que poderão 
atribuir aos conteúdos envolvidos e ao próprio fato de aprendê-los. 
Sabemos que o tempo destinado às semanas de apoio às aprendizagens é pouco para a aplicação 
de todas as sequências didáticas disponibilizadas, portanto sugerimos que você professor, no 
momento do planejamento, escolha a(s) mais adequada(s) a sua turma e reserve as demais para 
utilização no momento que achar mais adequado durante o ano letivo. 
Por esse motivo, elaboramos o roteiro de indicações de uso das sequências didáticas alinhado 
com o resultado da avaliação diagnóstica para que, com esse material, você tenha um apoio 
para a recuperação contínua. 
As atividades propostas apoiam-se em processos de investigação, contribuindo para um 
currículo mais dinâmico e coerente com o raciocinar, representar, comunicar e argumentar 
matematicamente, de modo a favorecer o estabelecimento de conjecturas, a formulação e a 
resolução de problemas em uma variedade de contextos. 
Uma atividade de investigação matemática se diferencia das demais por ser uma situação-
problema desafiadora e aberta, possibilitando aos alunos mobilizarem sua intuição e 
conhecimentos antigos em alternativas diversas de exploração. Esse tipo de atividade de ensino 
e aprendizagem 
ajuda a trazer para a sala de aula o espírito da atividade matemática genuína, 
constituindo, por isso, uma poderosa metáfora educativa. O aluno é chamado a agir 
como um matemático, não só na formulação de questões e conjecturas e na realização 
de provas e refutações, mas também na apresentação de resultados e na discussão e 
argumentação com os seus colegas e o professor (PONTE, BROCADO, OLIVEIRA, 2003, 
p. 23). 
ANÁLISES DAS QUESTÕES DA AVALIAÇÃO DIAGNÓSTICA E INDICAÇÃO DA SEQUÊNCIA 
DIDÁTICA. 
 
Nestas análises não vamos necessariamente seguir a ordem das questões apresentadas na 
avaliação, mas sim considerá-las pelas habilidades que nortearam a sua elaboração e que foram 
consideradas como essenciais para a continuidade dos estudos neste ano de escolaridade. 
Vamos iniciar pelas questões que abordaram as habilidades: determinar um termo qualquer 
de sequência numérica ou de figuras, realizar generalizações utilizando linguagem 
escrita e expressões matemáticas que envolvem o uso de letras, identificar se uma 
determinada sequência é PG e resolver problemas envolvendo PA ou PG. 
QUESTÃO 1 da Avaliação Diagnóstica 
Observe a sequência: 
 
Admitindo-se que a regra de formação das figuras continue a mesma, qual seria a 45ª figura? 
 
A 
 
B 
 
C 
 
D 
 
E 
 
 
O aluno que acertou essa questão reconheceu que a cada oito elementos a figura se repete, assim 
podemos afirmar que a figura irá se repetir nas posições 1ª, 9ª, 17ª, e assim por diante, 
chegamos então a expressão 8i+1 (i=0,1,2...) que identifica a posição da figura na sequência. A 
expressão 8i +2 identifica a segunda imagem e assim por diante. A oitava imagem tem para sua 
expressão 8i (i=1,2,3...). Dessa forma identificamos uma figura obtendo o resto da divisão do 
elemento por 8. Se o resto for zero a figura é . Assim o resto da divisão de 45 por 8 indica que 
a figura será a correspondente à 5ª posição. 
 
O aluno que indicou a alternativa A pode ter identificado a regularidade na formação, mas 
imaginou que a 45ª figura estaria numa posição correspondente ao resto da divisão de 45 por 8, 
descontando 1, daí a indicação da figura da 4ª posição. 
Ao indicar a alternativa C o aluno pode ter identificado a regularidade na formação, mas entendeu 
que a correspondência se daria ao somar 1 ao resto da divisão de 45 por 8. 
 
A escolha da alternativa D mostra que o aluno não identificou a regularidade da sequência e pode 
ter feito uma escolha aleatória. 
 
O aluno que indicou a alternativa E aluno pode ter considerado que como 45 é divisível por 9, então 
a 45ª figura seria a que antecederia a apresentada na 9ª posição. 
 
QUESTÃO 2 da Avaliação Diagnóstica 
Numa cerimônia comemorativa de uma cidade, os estudantes das escolas municipais foram 
dispostos em 18 filas. Vista de cima a formação lembra um triângulo, sendo que na primeira fila foi 
posicionado um estudante, na segunda fila foram posicionados três estudantes, na terceira fila 
cinco, e assim por diante. 
A quantidade de alunos da 15ª fila é: 
(A) 15 estudantes 
(B) 18 estudantes 
(C) 28 estudantes 
(D) 29 estudantes 
(E) 58 estudantes 
O aluno que indicou a alternativa D mostra que compreendeu o problema e soube reconhecer que 
o número de alunos em cada fila forma uma progressão aritmética, de primeiro termo 1 e razão 2. 
Dessa forma pode ter utilizado a fórmula 
𝑎𝑗 = 𝑎1 + 𝑟(𝑗 − 1), ou seja 𝑎15 = 𝑎1 + 2(15 − 1) = 29 
 
O aluno que escolheu a alternativa A pode não ter entendido a proposta e repetiu a informação 
relativa à pergunta 15ª fila. 
 
A indicação da B mostra que o estudante utilizou um número presente no texto, indicando a não 
compreensão do problema. 
 
Ao indicar a alternativa C o aluno identificou se tratar de uma sequência em que se soma 2 a cada 
novo termo, porém no cálculo da fórmula no j-ésimo elemento da PA, esqueceu de somar o 
primeiro termo. 
 
Indicar a resposta E o aluno parece ter calculado o número de estudantes na 15ª fila, mas ao final 
multiplicou o resultado pela razão e obteve 58, indicando não ter segurança na generalização de 
padrões. 
 
QUESTÃO 3 da Avaliação Diagnóstica 
Uma empresa trabalha com o fornecimento de cestas básicas. O cliente paga ao final o número 
de cestas básicas adquiridas mais o valor do frete (transporte) das cestas básicas. 
Sabendo que cada cesta básica custa R$ 45,00 e que o custo do km rodado para entrega é de 
R$5,15, a equação que determina o valor z a ser pago por um cliente que compra x cestas básicas 
e está distante y km do fornecedor é: 
(A) z = 45x 
(B) z = 5,15x 
(C) z = 45y + 5,15x 
(D) z = (45 + 5,15)x 
(E) z = 45x + 5,15y 
Ao dar a resposta E aluno decodificou que o valor total a ser pago é composto do valor das cestas 
+ valor do transporte, então, x cestas deverão implicar no preço 45x e cobrir uma distância de y 
Km ao valor de 5,15y. Somando-se esses dois valores temos que z = 45x+ 5,15y. 
 
Escolher a alternativa A mostra que o aluno reconheceu a representação do valor total das cestas, 
mas não considerou o valor do frete. Isso indica que o enunciado não foi totalmente 
compreendido. 
 
Ao optar pela B o aluno demonstra ter lido apenas a parte final do enunciado como se quisesse já 
ir direto à pergunta para responde-la. 
 
Ao escolher a alternativa C o aluno mostra que leu completamente o problema, porém apresentou 
dificuldade em estabelecer as relações entre as informações e o que se quer determinar. 
 
Ao indicar a resposta D o aluno mostra que não relaciona o texto com sua representação algébrica 
e pode ter escolhido essa resposta por ser a única que apresenta parênteses. 
 
 
QUESTÃO 4 da Avaliação Diagnóstica 
Observe a sequência: 
 ... 
A expressão algébrica que determina a quantidade de quadradinhos em branco na enésima figura 
da sequência é: 
(A) n + 2. 
(B) n2 - 2. 
(C) n2- n. 
(D) n(n - 2). 
(E) n(n + 2). 
Ao indicar a resposta C o aluno demonstra reconhecer um padrão presente em uma sequência, 
além de fazer uma conversão de uma representação geométrica para uma algébrica. 
 
A escolha da alternativa A indica que o aluno não reconhece o significado de análise de um padrão 
para ser representado algebricamente. 
 
O aluno que indicou a resposta B mostra que reconhece um modo de generalizar uma sequência 
envolvendo quadrados, porém para a representação total se fixou na figura 2. 
 
O aluno que indicou a alternativa D pode ter reconhecido a necessidade de excluir da contagem os 
quadradinhos da diagonal, mas pode ter se fixado na figura 2 para essa escrita. 
 
QUESTÃO 5 da Avaliação Diagnóstica 
Observe as sequências 
R: 4, 8, 12, 16, 20, 24, ... 
S: 9, 27, 81, 243, 729, ... 
T: 488; 244; 122; 61; ... 
U: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, ... 
Podemos afirmar que formam uma PG as sequências: 
(A) S, T e U 
(B) R, S e T 
(C) R, T e U 
(D) S e T 
(E) R e U 
 
O aluno que escolheu a alternativa D indica que sabe caracterizar uma PG reconhecendo a razão e 
usando-a. 
 
Na escolha da A o aluno identificou as duas PGs e incluiu na resposta a sequência de Fibonacci, 
talvez pelo crescimento rápido dos termos. 
 
A opção pela alternativa B indica que o aluno identificou as duas PGs e incluiu na resposta a PA 
apresentada em R, talvez influenciado pelos números pares serem múltiplos de 2. 
 
O aluno que escolheu a C identificou uma PG e deve ter apontado R por ser uma progressão de 
termos pares e, portanto, múltiplos de 2 e U por ter termos que crescem rapidamente. 
 
O aluno que indicou essa resposta E mostra não ter desenvolvido a aprendizagem sobre PG, pois 
apontou as sequências que não são PG. Pode, também, ter se confundido quanto á resposta a ser 
dada. 
 
QUESTÃO 6 da Avaliação Diagnóstica 
Um estacionamento no aeroporto, para viajantes, possui dois planos: Diário e Mensal. O mensal 
tem preço de R$ 300,00 e o diário, a cada 30 dias pratica o seguinte sistema de cobrança: R$ 
30,00 no primeiro dia e vai decrescendo de R$1,00 em R$ 1,00, em progressão aritmética, dia a 
dia, até que no último dia tem o preço de R$1,00. 
 A partir de que dia valerá a pena pagar pelo estacionamento mensal? 
(A) 11º dia 
(B) 12º dia 
(C) 13º dia 
(D) 14º dia 
(E) 15º dia 
O aluno que deu a resposta C indica ter compreendido o enunciado do problema e reconhecido as 
condições para a montagem da PA e determinação dos valores totais a serem pagos, de acordo 
com o número de dias, determinando que a partir do 13º termo da PA a soma total será maior que 
300, logo se o motorista for estacionar por mais de 12 dias vale a pena pagar o preço mensal. 
 
O aluno que indicou A pode não ter compreendido o enunciado do problema e fez uma escolha 
pelo menor tempo. 
 
Pode ter acontecido de o aluno que indicou a alternativa B tenha chegado ao valor próximo de 300 
e considerou que esse seria o dia limite. 
 
O aluno que respondeu D pode ter realizado o cálculo para obter o valor total a pagar, porém pode 
ter considerado que o resultado deveria superar os R$300,00. 
 
A escolha da alternativa E indica que o aluno pode ter respondido apenas por considerar que a 
metade dos 30 dias seria o tempo a ser considerado. 
 
QUESTÃO 7 da Avaliação Diagnóstica 
Um estoquista irá empilhar caixas. A primeira caixa tem altura de 2m. A seguinte, metade da 
altura da primeira, e assim por diante. Após empilhar 5 caixas qual a altura total das caixas 
empilhadas? 
(A) 3,250m 
(B) 3,335m 
(C) 3,500m 
(D) 3,750m 
(E) 3,875m 
Ao dar a resposta E o aluno mostra que compreendeu o problema e soube obter as medidas das 
alturas das caixas envolvidas desenhando a figura para calcular a altura total da pilha. 
 
 
O aluno que escolheu a alternativa A mostra não ter compreendido a proposta e provavelmente 
adicionou apenas as alturas da primeira, segunda e quarta caixas. 
 
O aluno que deu a resposta B pode ter apresentado dificuldade na obtenção da metade de 0,5 e 
de 0,25. 
 
A escolha da alternativa C indica que o aluno não completou a pilha de caixas e adicionou apenas 
as alturas das três primeiras caixas. 
 
A escolha da alternativa D pode ter ocorrido porque o aluno adicionou as alturas de 4 caixas e não 
de 5 como proposto. 
 
QUESTÃO 10 da Avaliação Diagnóstica 
Determine o valor de n de modo que a sequência (2 + 3n; -5n; 1 – 4n) seja uma PA. 
Resolução 
O procedimento mais econômico para resolver este problema é pelo 
reconhecimento de que ao tomarmos três termos em PA o termo médio será a 
média aritmética dos outros dois: 
 - 5n = 
2+3n+1−4n
2
 
 -10n = 3 – n 
 - 9n = 3 
 n = −
1
3
 
A PA será (1, 
5
3
, 
7
3
) 
Neste procedimento a presença do negativo pode ser fonte de dificuldade levando o 
aluno a erros. 
 
Outro procedimento pode ser usando a definição de PA: 
 a2 = a1 + r e a3 = a2 + r 
 - 5n = 2 + 3n + r e 1 – 4n = - 5n + r 
 - 8n – 2 = r e 1 + n = r 
 - 8n – 2 = 1 + n 
 - 9n = 3 
 n = −
1
3
 
Neste procedimento o aluno terá de perceber que montou um sistema de equações 
e resolvê-lo por substituição. Também aqui a presença do negativo pode ser causa 
de erro. 
Professor se seus alunos apresentaram dificuldades nesse grupo de questões proponha a eles, 
no momento que achar mais adequado durante o ano letivo, que realizem a sequência de 
atividades sobre Progressões. Nessa sequência há atividades que buscam desenvolver as 
seguintes habilidades: 
 Identificar se uma determinada sequência é uma PA ou uma PG. 
 Resolver problemas envolvendo PA ou PG. 
 
 
SEQUÊNCIA DIDÁTICA: PROGRESSÕES 
 
Professor, forme grupos para que os alunos possam conversar sobre as propostas, incentive-os 
a descobrirem o que está sendo pedido e promova a discussão entre os diferentes grupos de 
modo que eles próprios possam validar suas descobertas. Só ao final apresente uma síntese das 
discussões. 
ATIVIDADE 1: DE GRÃO EM GRÃO... 
Existe na internet, e também circulando pelas redes sociais, algumas sugestões para que as 
pessoas passem a fazer alguma poupança. Vamos aproveitar para conhecer uma delas e pensar 
sobre o assunto. 
a) Uma das ideias é a seguinte: Você deve poupar todos os dias, sem exceção, colocando o 
dinheiro poupado em uma conta só para isso. No primeiro dia guarda R$ 1,00, depois, a 
cada dia, deve guardar o equivalente ao dia anterior acrescido de R$ 1,00. 
 Escreva a sequência de valores a serem poupados durante a primeira semana. Como já 
sabemos tratar-se de dinheiro não precisa registrar o R$. 
 
__1_, __2_, __3__, __4__, __5__, __6___, __7___ 
 dia 1 dia 2 dia 3 dia 4 dia 5 dia 6 dia 7 
 
 Esta sequência você já conhece, é a sequência dos números naturais, então que valor 
deverá ser guardado no dia 30? 30. 
 Mantendo essa poupança, qual o valor a ser guardado no dia 365, isto é, ao final de 1 ano?365 
 Explique porque para essa sequência é fácil descobrir quanto se deve guardar por dia. 
Espera-se que o aluno faça a relação entre a posição de um termo e seu valor. 
 O que seria preciso fazer para descobrir o total poupado ao final de 1 ano? 
Espera-se que o aluno conclua pela adição de todos os valores. 
 Um cálculo como esse ficou famoso, pois conta a história da Matemática que Gauss, no 
século XVIII, por volta dos 7 anos descobriu um procedimento bem simples para isso. Ele 
descobriu algo muito interessante ao observar o esquema a seguir. Observe-o e faça sua 
descoberta. 
 
 O que observou sobre as somas? Elas são iguais 
 Quantas somas iguais a essa podem ser feitas? Espera-se que os alunos percebam que 
como serão somados aos pares o total de pares será 15. 
 Qual o valor acumulado nos 30 dias? 15 x 31 = 465 
 E se fossem 31 dias? Seria um número ímpar de dias e o elemento central não teria com 
quem formar par para somar. Encontre uma solução para essa questão e calcule o valor 
acumulado em 31 dias. Espera-se que o aluno perceba que basta acrescentar o valor do 
termo do meio ao final do cálculo com os pares. 
 Usando o que descobriu acima calcule o total acumulado em 1 ano de 365 dias. A soma 
de cada par será 366, serão formados 184 pares, portanto 
184 x 366 = 67.344 , acrescentando o termo do dia 183, será 67.527. 
 Agora responda: É viável esse tipo de proposta para poupança? não 
Mas, e se fosse assim pelo período de 1 mês e a cada mês recomeçar do 1 novamente. 
Seria viável? Sim, dependendo do salário. Procedendo assim, qual seria o total 
acumulado ao final de 1 ano? 5.580 
Será que se tivermos uma outra sequência, também formada pela adição de um mesmo 
número, para encontrar a soma de todos os termos o procedimento de cálculo usado 
também funcionaria? 
 Para responder a essa pergunta escreva uma sequência com 7 termos, de primeiro termo 
5 e acrescente 3 a cada novo termo. 
5, 8, 11, 14, 17, 20, 23 
 Quantos pares de mesma soma teremos? 3. Qual o valor de cada soma? 28 
 Qual o valor total? Não esqueça do termo do meio. 3 x 28 + 14 = 98 
 Valide esse procedimento calculando a soma dos sete termos da sequência. O 
procedimento é válido? sim 
 Use esse procedimento para calcular a soma dos 100 primeiros números pares. 
50 x 100 = 5.000 
 
ATIVIDADE 2: DANDO NOME AOS BOIS... 
a) Na atividade anterior estudamos algumas sequências cuja regra de formação era sempre a 
de, a partir de um termo inicial, somar sempre um mesmo número. Se representarmos o 
primeiro termo por a1 e chamarmos de r o número a ser somado, escreva uma 
representação para todas as sequências formadas desse modo. Essa resposta pode variar 
pois alguns alunos poderão escrever apenas a1, a2, a3, e outros poderão escrever 
a1, a1 + r, a1 + r + r, ... Apenas discuta as duas formas, um pouco mais adiante voltaremos a 
tratar dessa questão. 
Sequências formadas a partir de um termo inicial a1 e que cada novo termo é a soma do 
anterior com um número fixo r são chamadas de Progressão Aritmética (PA) e r é chamado 
de razão da PA. 
 
b) Uma sequência só pode ser chamada de PA se atender as condições dadas acima. Verifique 
quais das sequências podem ser chamadas de PA. 
 - 18, - 11, - 4, ... PA de razão 7 
 3, 12, 48, ... Não é PA 
 1, 
2
3
,
1
3
, 0, −
1
3,
… PA de razão – 1/3 
c) Voltando a falar da representação geral de uma PA de razão r. 
a1 , a2 , a3 , a4 , a5 , ..., an 
 O que você pode afirmar sobre como o a2 foi obtido? Somando r ao a1. 
Escreva uma expressão algébrica para representar como se obtém o a2. 
a2 = a1 + r 
Escreva uma expressão algébrica para representar como se obtém o a3. 
a3 = a2 + r 
A partir das expressões anteriores escreva como obter o a3 a partir do a1. 
a3 = a1 + r + r = a1 + 2r 
Escreva uma expressão para representar como obter o a4 a partir do a1. 
a4 = a1 + r + r + r = a1 + 3r 
Escreva uma expressão para representar como obter o an a partir do a1. 
an = a1 + (n – 1) r 
Professor, estimule-os a procurarem a relação entre a quantidade de vezes que o r é 
somado e a posição do termo na sequência. 
d) Usando o que descobriu resolva: 
 Descubra o sétimo termo de uma PA na qual a3 = 0 e r = 4. 
Professor, lembre-se de que o aluno poderá resolver por diferentes procedimentos: 
fazendo a listagem, adicionando 4 a partir do a3 até chegar no a7, aplicar a fórmula a 
partir do a3 ou ainda encontrar a1 e aplicar a fórmula. Discuta todas as possibilidades. 
 Determine o segundo termo de uma PA na qual a6 = 12 e r = 7. 
Do mesmo modo que no caso anterior, discuta os procedimentos usados pelos alunos e 
ao final questione-os sobre o mais curto. 
 Determine a razão de uma PA na qual a8 = - 2 e a12 =0 
Também aqui os procedimentos podem variar, eles podem escrever a fórmula de cada um 
e resolver o sistema ou encontrar quantas vezes a razão foi somada do a8 até o a12 e 
descobrir esse valor considerando a diferença entre os dois termos. 
 
ATIVIDADE 3: OUTRA PROGRESSÃO 
a) Descubra a regra de formação destas sequências: 
 2, 4, 8, 16, ... O aluno poderá apresentar uma expressão ou descrever a regra de 
formação. Cada termo é igual ao dobro do anterior. 
 3, 9, 27, ... idem ao anterior, a2 = 3a1 e a3 = 3a2 
 9, 3, 1, ... Professor os alunos poderão questionar que aqui se tem uma divisão e não 
uma multiplicação. Estimule-os a buscar uma multiplicação equivalente à divisão que 
perceberam. 
b) Sabendo que a sequência a1, a2, a3, a4, ... é do mesmo tipo que as anteriores, escreva como 
obter a2, a3 e a4. Professor é possível que o aluno use r para representar a razão, o que não 
é problema. Apenas ao final apresente que na PG é usual a razão é indicada por q 
(quociente). 
c) A partir do que escreveu descubra como obter an. Espera-se que do mesmo modo do que 
foi feito para a PA os alunos cheguem à fórmula do termo geral da PG: an = a1 . q (n-1). 
d) Numa PG o primeiro termo é 32 e a razão é 
1
2
, determine o valor do 8º termo. 
Professor, do mesmo modo que na PA, os alunos poderão resolver pela listagem dos termos 
ou aplicando a fórmula encontrada. Discuta o procedimento mais simples para a situação. 
e) A cada ano que passa o valor de um carro diminui em 30%. Se o valor do carro no primeiro 
ano for R$ 60.000,00, qual será seu valor ao final de 5 anos? Os alunos poderão ter dúvidas 
sobre como trabalhar com porcentagem. Aproveite para propor uma discussão sobre isso, 
buscando o que eles sabem sobre o cálculo de porcentagens. Lembre-os de que 30% = 
30/100. É provável que os alunos não se deem conta de que os 30% correspondem à 
diminuição do valor do carro e não ao valor que ele terá. Deixe que eles próprios percebam 
que a busca pelo valor final do carro fica mais econômica se trabalharem com o 70%, que 
corresponde ao valor do carro ao final de cada ano. Aqui também eles poderão optar pela 
listagem dos termos da sequência, chegando a R$ 14.406,00. 
f) Escreva uma PG, com pelo menos 4 termos, de acordo com cada situação proposta: 
 Com razão maior que 1. Resposta pessoal 
 Com razão entre 0 e 1. Resposta pessoal 
 Com razão 1. Resposta pessoal 
 Com razão menor que 1. Resposta pessoal 
g) Observando o exercício anterior, explique o que ocorre em cada caso. 
Espera-se que o aluno perceba as variações e classifique cada tipo de PG como crescente, 
decrescente, constante, alternada. 
 
 
 
 
Vamos analisar as questões que abordaram as habilidades: resolver problemas 
envolvendo função logarítmica e identificar os gráficos de funções exponenciais e 
logarítmicas. 
QUESTÃO 8 da Avaliação Diagnóstica 
Dentre os gráficos abaixo o único que pode ser associado a uma função exponencial é o: 
 
(A) I. 
(B) II. 
(C) III 
(D) IV 
(E) V 
 
A opção pela alternativa B indica que, ao identificar esse gráfico, o aluno conhece as 
características da função exponencial – ser umacurva, não cortar o eixo x e ter um crescimento 
rápido. 
 
O aluno que escolheu o gráfico I pode ter feito pela maior familiaridade com as representações 
de funções do primeiro grau. 
 
A indicação da resposta C mostra que o aluno reconhece que o gráfico da função exponencial 
seja uma curva, mas não identifica suas características. 
 
O aluno que escolheu a alternativa D indica que apenas reconhece que a função exponencial 
não passa pela origem do sistema. 
 
A escolha da resposta E mostra a confusão do aluno com o gráfico de uma função quadrática. 
 
 
 
QUESTÃO 9 da Avaliação Diagnóstica 
A fórmula para calcular a intensidade de um terremoto na escala Richter é 𝑀 = 
2
3
 𝑙𝑜𝑔10
𝐸
𝐸0
 , sendo 
E a energia liberada no terremoto em kW/h e 𝐸0 = 7. 10
−3𝑘𝑊/ℎ. Um terremoto no México no 
ano de 2017 atingiu a intensidade de 8,2 na escala Richter. Qual foi, aproximadamente, a energia 
liberada neste terremoto? 
Use log107 = 0,845 
Resolução: Para resolver essa questão o aluno precisa reconhecer como usar as informações dadas 
no enunciado para usar de modo correto a fórmula dada. 
 M = 
2
3
 log10
E
E0
 substituindo os dados do problema temos 
 8,2 = 
2
3
log10
E
7.10−3
 
Assim podemos escrever: 
8,2×3
2
= log10(
E
7.10−3
) 
 12,3 = log10(
E
7.10−3
) 
Aplicando a definição de log temos: 
 1012,3 = 
E
7.10−3
 
 E = 7.10-3.1012,3 
 E = 7.109,3 kW/h 
 
Ao chegar na equação 12,3 = log10(
E
7.10−3
) o aluno poderá também optar por aplicar as 
propriedades do logaritmo e desenvolver: 
 12,3 = log10E − (log107 + log1010
−3) 
 12,3 = log10E − (0,845 − 3) 
 12,3 - 2,155 = log10E 
10,145 = log10E → E = 10
10,145 
Professor, os valores 7.109,3 e 1010,145 são aproximadamente iguais a 13.966.834.917. 
Professor se seu grupo de alunos apresentou dificuldades com essas questões sugerimos que 
proponha a eles que realizem, no momento que achar mais adequado durante o ano letivo, as 
atividades propostas na Sequência sobre Funções-Exponencial e Logarítmica. 
 
 
SEQUÊNCIA DIDÁTICA: FUNÇÕES – EXPONENCIAL E LOGARÍTMICA 
 
ATIVIDADE 1: AUMENTAR E DIMINUIR AO MESMO TEMPO 
Nesta atividade, você vai decidir o que fazer para resolver as propostas. Pode recortar papel, 
pode desenhar, pode imaginar, mas analisar e refletir para fazer descobertas tem de acontecer. 
a) Uma folha de papel sulfite deve ser cortada ao meio, em seguida cada uma de suas partes 
deve ser novamente cortada ao meio e assim sucessivamente, até não ser mais possível 
realizar esse processo. A etapa 1 é considerada como ponto de partida. Vá preenchendo as 
tabelas. 
Tabela 1 Tabela 2 
Etapa Número de partes Etapa Área 
1 1 1 1 
2 2 2 
1
2
 
3 4 3 
1
4
 
4 8 4 
1
8
 
5 16 5 
1
16
 
6 32 6 
1
32
 
OBS: Considere que a área da folha corresponde a 1 u a (unidade de área). 
Professor, explique aos alunos que consideramos a folha como um inteiro, por isso a 
representação 1 u a. 
 O que você observa em relação ao número de partes obtidas? aumenta 
 Qual a regra de formação da sequência de números de partes? Espera-se que o aluno 
perceba que cada termo é igual ao anterior multiplicado por 2 
 Represente com uma expressão como obter o segundo termo dessa sequência. a2 = 2a1 
 Represente como obter o terceiro termo dessa sequência. a3 = 2a2 
 Que tipo de sequência é esta? É uma PG de razão 2 
 Complete: an = 1 . 2(n-1) = 2(n-1) 
 
b) Marque no plano cartesiano representado abaixo os pontos da tabela 1. 
 
Professor chame a atenção dos alunos para o fato de que nesta situação não devem 
ligar os pontos uma vez que o domínio da função representada é N. 
 Observando o gráfico que fez, reescreva a fórmula do an em termos de x e y, de acordo 
com os eixos usuais do plano cartesiano. y = 2x 
 Em que posição ficou x na reescrita que fez? No expoente 
Por isso que uma função com esse tipo de representação é chamada de função 
exponencial 
c) Agora vamos observar os dados da tabela 2. 
 O que você observa em relação ao valor das áreas? diminui 
 Qual a regra de formação da sequência de áreas? Cada termo é obtido do anterior 
dividindo-o por 2. 
 Represente com uma expressão como obter o segundo termo dessa sequência. 
a2 = a1/2 
 Represente como obter o terceiro termo dessa sequência. a3 = a2/2 
 Que tipo de sequência é esta? Uma PG de razão ½ 
 Complete: an = 1.(
𝟏
𝟐
)𝒏−𝟏 
 
d) Marque no plano cartesiano representado abaixo os pontos da tabela 2. 
 
Professor alerte os alunos para o fato de que o 1 já está posicionado, eles devem 
estabelecer a escala para a localização dos outros valores. 
 
 Observando o gráfico que fez, reescreva a fórmula do an em termos de x e y, de acordo 
com os eixos usuais do plano cartesiano. y = (
𝟏
𝟐
)𝒙 
 Esta também é uma função exponencial. O que as duas funções representadas têm de 
semelhanças? Espera-se que o aluno perceba estarem ambas com os valores acima do 
eixo x 
 O que essas funções têm de diferenças? Espera-se que o aluno perceba que em uma os 
valores crescem e na outra decrescem. 
 Quanto ao tipo de crescimento podemos dizer que a primeira é crescente e a segunda é 
decrescente 
e) Aplique o que aprendeu 
 Sob certas condições, o número de bactérias B de uma cultura, em função do tempo t, 
medido em horas, é dado por B(t) = 2t/12. Qual será o número de bactérias 6 dias após a 
hora zero? Chame a atenção dos alunos para o fato de que há necessidade de transformar 
o tempo de dias em horas: 
6 dias = 6 x 24 = 144 horas aplicando na fórmula dada tem-se: 
B(t) = 2t/12 B(144) = 2144/12 B(144) = 212 B(144) = 4096 bactérias 
 
 Observe o gráfico de uma função exponencial. 
Monte uma tabela com os valores dos pontos de A a G e, a partir deles, escreva a função 
exponencial que corresponde a esse gráfico. 
 y = 2x 
Professor discuta com os alunos que embora pelo gráfico não seja possível reconhecer os 
valores correspondentes dos pontos A, B e C, ao determinarem a lei da função eles 
poderão completar a tabela. 
Monte uma tabela com os valores dos pontos de B a F e, a partir deles, escreva a função 
exponencial que corresponde a esse gráfico 
 y = 
 
y = (1/2)x 
ATIVIDADE 2: OS LOGARÍTMOS E A FUNÇÃO LOGARÍTMICA 
A importância dos logaritmos é inegável, eles são usados em várias ciências como a Física e 
Geologia no estudo dos terremotos, na Química para análise de pH, na Medicina em 
tratamentos radioterápicos, na Geografia em cálculos de crescimento populacional, além da 
própria Matemática no estudo de investimentos e juros. Estes são alguns exemplos para que 
você perceba a utilidade prática desse conhecimento. Mas, para entender como ele se aplica no 
mundo real é preciso conhecer um pouco de suas operações básicas, que é o que vamos fazer 
nestas atividades 
a) Você já conhece algumas operações e suas inversas. Complete: 
 A operação inversa da adição é a subtração 
 A inversa da multiplicação é a divisão 
 A inversa da potenciação é a radiciação 
b) O logaritmo é a operação inversa da exponenciação. Ele é assim definido: 
Dado um número a, positivo e diferente de 1, e um número b, positivo, se ax = b, 
então x = loga b 
Observando a definição de log calcule: 
log3 9 = 2 porque 32 = 9 
log5 
1
5
 = -1 porque 5-1 = 1/5 
log1
2
8 = - 3 porque (1/2 )- 3 = 8 
log2 8 = 3 porque 23 = 8 
log10 √10 = ½ porque 101/2 = √𝟏𝟎 
loga 1 = 0 porque a0 = 1 
loga a = 1 porque a1 = a 
loga am = m porque am = am 
 
c) Como o logaritmo é a operação inversa da exponenciação, a função logarítmica é a inversa 
da função exponencial. Observe o gráfico de cada uma. 
 
f(x) = 2x 
f(x) = log2 x 
 
 Observe os pontos destacados de cada gráfico e compare-os considerando em um o valor 
no eixo x e no outro o valor no eixo y. Explique o que notou Espera-se que o aluno observe 
que os valores deum eixo passam a estar no outro, o que caracteriza as funções inversas._ 
 Observando o comportamento da curva da função y = 2x podemos afirmar que seu 
domínio é o conjunto dos números reais e seu conjunto imagem é o conjunto dos 
números reais positivos, sem o zero 
 O comportamento da curva da função y = log2 x permite concluir que seu domínio é o 
conjunto dos números reais positivos, sem o zero e seu conjunto imagem é o conjunto 
dos números reais 
 A partir dessas observações feitas, explique como diferenciar o gráfico de uma função 
exponencial de uma função logarítmica. Espera-se que o aluno perceba que a função 
exponencial apresenta seu gráfico sempre acima do eixo x e corta o eixo y em 1 e a 
logarítmica tem seu gráfico sempre na parte positiva do eixo x, cortando esse eixo em 1._ 
d) Em cada gráfico há a representação de uma função exponencial e de uma função 
logarítmica. Indique a função a que cada curva se refere.