Método de Eliminação de Gauss para Sistemas Lineares

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CENTRO DE ENSINO SUPERIOR DO AMAPÁ
CURSO DE ENGENHARIA CIVIL
DISCIPLINA: 
CÁLCULO NUMÉRICO
PROFA. ESP. CAMILA JÉSSICA SAMPAIO DOS SANTOS
2. Sistemas de Equações Lineares
2.1- Introdução
2.2- Classificação de um Sistema Linear
2.3- Método de Eliminação de Gauss com 
estratégia de pivotamento
2.1 Introdução
2.1 Introdução
•Muitos problemas de matemática são modelados em
termos de um sistema de equações lineares
algébricas.
•Esta representação é bem vantajosa, pois alem de
separar o problema em partes menores, o sistema
apresenta vários métodos de solução já consagrados.
•O fato de poder exprimir um problema na forma de
um conjunto de expressões matemáticas já é em si um
grande conforto, pois se pode usar um formalismo que
esteja próximo tanto da matemática propriamente dita,
como da realidade subjacente
2.1 Introdução
•Neste capítulo será apresentado o
desenvolvimento de métodos numéricos
para determinar a solução de um
sistema de equações lineares, os quais
surgem nas diversas áreas do
conhecimento.
2.1 Introdução
Aplicação de sistemas lineares na 
Engenharia
*Análise de Vibrações em um sistema
mecânico
* Distribuição da força-peso na estrutura
de um edifício
2.1 Introdução
Definição
Estamos interessados em resolver equações 
lineares com M equações e m incógnitas.
Esse problema pode ser escrito na forma: 
2.1 Introdução
A – Corresponde a uma matriz quadrada, ou 
seja, uma matriz onde o numero de linhas é 
igual ao número de colunas.
X – Corresponde ao vetor das incógnitas
B – Corresponde ao vetor dos resultados
2.2 Classificação
Um sistema linear pode ser classificado
quanto ao número de soluções em
compatível, quando apresenta solução e,
incompatível, quando não apresenta
solução.
2.2 Classificação
Exemplo de sistema incompatível:
O sistema:
É incompatível. Geometricamente, pode-se interpretar o
sistema do seguinte modo: tomando coordenadas num
plano, a equação x1+x2 = 0, é a equação de uma reta,
o mesmo sucedendo para a equação x1+x2 = 1;
Logo, a solução do
sistema que seria o
ponto comum entre as
retas, não existe, pois
elas são paralelas.
2.2 Classificação
Exemplo de sistema compatível:
O sistema: X1 = 3-x2
2(3-x2) + x2 = 4
6 – 2x2 + x2 = 4
-x2 = 4-6
X2 = 2
X1 = 3-2
X1 = 1
2.2 Método de Eliminação de 
Gauss
O método de Gauss, com pivotamento,
consiste em transformar o sistema dado,
usando operações elementares sobre as
linhas, em um sistema equivalente
triangular superior, tomando em cada
passo, como pivô, os elementos da
diagonal da matriz,
2.2 Método de Eliminação de 
Gauss
Exemplo
1ª Etapa
Escreve-se matriz aumentada do sistema acima, isto é:
Fazendo e chamando de
as linhas 1, 2, 3, respectivamente, de , escolhe-se
como pivô e calculam-se os multiplicadores.
Fazem-se, agora, as seguintes transformações
elementares sobre as linhas de
2ª Etapa
Escolhe-se = -2 como pivô e calcula-se o
multiplicador
Efetuando-se as transformações acima indicadas, tem-se:
São feitas agora as seguintes transformações
elementares sobre as linhas B1
São as linhas da matriz
transformada, B2, que já esta na forma triangular, isto é:
A matriz B2 é a matriz aumentada do sistema triangular
superior
X1 = 1
X2 = 2
X3 = 3
Exercício 2.1:
Exercício 2.2:
ATIVIDADE
 Uma empresa produz 3 produtos P1, P2 e P3 usando 3 máquinas A, B e
C. Cada um deles requer algum tempo de uso de A, B e C. A máquina A
trabalha 80 minutos por semana; a maquina B trabalha 60 minutos por
semana e a maquina C trabalha 95 minutos por semana. Sabe-se que o
produto 1 precisa de 3 minutos na maquina A, 2 minutos na maquina B e
3 minutos na maquina C. O produto 2 precisa de 2 minutos na maquina
A, 2 minutos na maquina B e 3 minutos na maquina C. E o produto 3
precisa de 4 minutos na maquina A, 3 minutos na maquina B e 5
minutos na maquina C. Para calcular quantos produtos a empresa é
capaz de produzir semanalmente, primeiramente deve-se construir os
sistemas lineares. Agora encontre a solução deste problema pelo do
método da Gauss com estratégia de pivotamento.