E X E R C Í C I O S Leis de Gauss

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E X E R C Í C I OS: Lei de Gauss 
 
1. Uma superfície fechada, na forma de um cilindro reto, encontra-se imerso em um 
campo elétrico uniforme. O eixo do cilindro é paralelo ao campo elétrico. Usando a 
forma integral para o fluxo do campo elétrico, mostre que o fluxo do campo elétrico 
através desta superfície é nulo. (sugestão: a área total da superfície cilíndrica pode ser 
dividida em três partes, as duas tampas e a área lateral do cilindro). 
 
R: Vamos dividir a área total da superfície do cilindro em três partes, as duas tampas 
(superior e inferior) e a área lateral do cilindro, pois, o ângulo entre 
E
e 
d A
 será o 
mesmo em todos os pontos de cada uma das partes. 
1 2 3
1 2 3
1 2 3
cos180 cos90 cos0
0
E
o o o
E
E E
E d A E d A E d A E d A
EdA EdA EdA
EA EA


 
       
  
   
   
   
 
2. A localização da carga, no interior de uma superfície gaussiana, influencia no valor do 
fluxo do campo elétrico através dessa superfície? 
 
R: Não, o fluxo do campo elétrico depende somente da carga total envolvida pela 
superfície. 
 
3. Uma carga puntiforme é colocada no centro de uma superfície gaussiana esférica. 
Responda se o fluxo do campo elétrico através da superfície mudará nos seguintes 
casos: (a) se mudarmos a forma da superfície gaussiana (para um cubo, por exemplo) 
sem alterar a carga no interior da superfície; (b) se a carga for afastada do centro da 
superfície gaussiana, permanecendo, entretanto, em seu interior; (c) a carga for 
deslocada para imediatamente fora da superfície gaussiana; (d) uma segunda carga for 
colocada próximo, e fora da superfície gaussiana; (e) uma segunda carga for colocada 
dentro da superfície gaussiana. 
 
R: O fluxo mudará somente se mudar a carga total envolvida pela superfície, portanto: 
a) Não mudará; b) não; c) Sim; d) não; e) sim. 
4. Uma superfície gaussiana envolve somente um dipolo elétrico. O que se pode concluir 
sobre o valor do fluxo elétrico total através desta superfície? 
R: Como a carga total envolvida pela superfície é nula, o fluxo também será. 
 
5. Responda os itens abaixo justificando suas respostas. 
a ) Suponha que a carga líquida contida no interior de uma superfície gaussiana seja 
nula . Podemos concluir da lei de Gauss que o campo elétrico é igual a zero em todos os 
pontos sobre esta superfície gaussiana? 
 
b ) Se o campo elétrico for nulo em todos as pontos sobre uma superfície gaussiana , a 
lei de Gauss exige que a carga líquida dentro desta superfície gaussiana seja nula? 
R: a) Não, se a carga total envolvida pela superfície for nula, podemos afirmar que o 
fluxo do campo elétrico através da superfície é nulo, mas o campo elétrico pode não ser 
nulo, mas o campo elétrico pode não ser nulo. Uma carga externa à superfície pode 
gerar um campo elétrico em pontos desta superfície. 
b) Sim. Na fórmula da lei de Gauss 
E envE d A q   
podemos perceber que se o 
campo for nulo em todos os pontos o fluxo através da superfície será nulo e a 
carga total envolvida pela superfície também será nula. 
6. Uma carga puntiforme de 1,8 μC está no centro de uma superfície gaussiana cúbica com 
55 cm de aresta. Determine o fluxo do campo elétrico através desta superfície. 
 
R: Pela lei de Gauss temos que: 
6
12
5 2
1,8 10
8,85 10
2,03 10 /
o E env E
E
q
Nm C
  




  

 
 
 
7. Uma esfera condutora uniformemente carregada, de 1,2 m de diâmetro, possui uma 
densidade superficial de carga de 8,1 μC /m2. (a) Determine o valor da carga sobre a 
esfera. (b) qual é o fluxo elétrico total que está sendo gerado pela esfera? 
 
 
2
22 6
5
5
12
6 2
1,2 0,6
8,1 /
) 4 8,1 10 4 3,14 0,6
3,66 10
3,66 10
) 
8,85 10
4,14 10 /
env
o E env E
o
E
D m R m
C m
a q A R
q C
q
b q
Nm C
 
  
  






  

       
 

   

 
 
 
8. Na figura abaixo uma carga puntiforme positiva q está a uma distância d/2 diretamente 
acima do centro de um quadrado de lado d. Aplicando a lei de Gauss determine o fluxo 
elétrico através do quadrado. (Sugestão: Pense no quadrado como uma das faces de um 
cubo de aresta d) 
 
 
 
 q 
 d/2 
 d 
 d 
 
R: Se pensarmos no quadrado como uma das faces de um cubo, no qual a carga ficará no 
centro, podemos perceber pela simetria da figura, que ao fluxo terá o mesmo valor para 
cada uma das seis faces desse cubo. Portanto basta calcular o fluxo total através do cubo e 
dividir o resultado por seis (número de faces do cubo). 
6 6
env total env
total face face
o o
q q       
 
 
9. A lei de Gauss e a de Coulomb podem ser equivalentes no cálculo do campo elétrico. 
Podemos confirmar esta equivalência deduzindo a lei de Coulomb, para calcular o 
campo elétrico de uma carga pontual, a partir da lei de Gauss. Ou seja, aplicando a lei 
de Gauss, mostre que o campo elétrico gerado por uma carga puntiforme a uma 
distância r, é dado por E = Q / (4o r
2
 ) (lei de Coulomb). 
 
R: vamos considerar que a carga é positiva e que está no centro de uma superfície 
gaussiana esférica de raio r. 
 
Aplicando a lei de Gauss na superfície gaussiana, temos que: 
o envE d A q  
. Para 
todos os pontos da superfície gaussiana o campo elétrico tem o mesmo valor e o 
ângulo entre 
E
 e 
d A
 é de 
0o
, portanto: 
2
2
cos0
4
4
o
o env o env
env
o env
o
EdA q E dA q
q
E R q E
R
 
 
 
  
  
 
 
 
10. A lei de Gauss nos permite demonstrar, com certa facilidade, uma importante 
propriedade em relação à distribuição de cargas em um condutor isolada. Mostre que, se 
um condutor eletrizado estiver isolado, as cargas elétricas em excesso estarão 
distribuídas em sua superfície externa. 
 
R: Consideremos um conduto carregado isolado e uma superfície gaussiana 
imediatamente no interior do conduto, ou seja, esta superfície está no interior do 
condutor, mas muito próxima da superfície real do condutor. 
0
0o env envE d A q q

   
 
O campo elétrico é nulo em todos os pontos no interior do condutor isolado, portanto, a 
lei de Gauss exige que a carga total envolvida pela superfície gaussiana seja nula. 
Como a carga do condutor não está no interior da superfície gaussiana ela não está no 
interior do condutor, portanto, a carga está na superfície externa do condutor. 
11. Num condutor esférico isolado, as cargas em excesso se distribuem uniformemente em 
sua superfície externa. Se o condutor não for esférico esta distribuição não é uniforme, o 
que gera dificuldades no cálculo do campo elétrico criado por estes condutores. No 
entanto, o campo elétrico imediatamente fora da superfície de um condutor isolado pode 
ser determinado, com certa facilidade, usando-se a lei de Gauss. Mostre que o módulo 
do campo elétrico num local imediatamente fora de um condutor isolado (ponto muito 
próximo da superfície) é proporcional à densidade superficial de carga σ, ou seja, que o 
valor deste campo é dado por: E = σ /ε0. 
 
R: em pontos externos e bem próximos da superfície de um condutor isolado, o campo 
elétrico é perpendicular à superfície deste condutor. O campo elétrico pode não ter o 
mesmovalor para todos os pontos próximos de um condutor qualquer, mas podemos 
considerar que uma seção de sua superfície seja tão pequena que possamos considerá-
la plana e, além disso, podemos desprezar variação do campo elétrico em pontos 
próximos desta seção. 
Consideremos uma superfície gaussiana cilíndrica, diminuta, embutida nesta pequena 
seção do condutor. Uma base da superfície gaussiana está no interior do condutor, a 
outra está fora e o eixo do cilindro é perpendicular à superfície do condutor, como 
pode ser visto em perspectiva na figura abaixo. 
 
Quando aplicamos a lei de Gauss na superfície gaussiana percebemos que somente a 
tampa que está em pontos externos ao condutor contribui para o fluxo do campo 
elétrico através dessa superfície, portanto: 
o env o envE d A q EA q    
 
A carga envolvida pela superfície gaussiana é a que está na superfície de área 
A
 do 
condutor, ou seja, 
envq A
 
o env
o
EA q A E
 

   
 
 
12. Um condutor isolado de forma arbitrária tem uma carga líquida nula. Dentro do 
condutor existe uma cavidade, no interior da qual está uma carga puntiforme 
63,0 10q C 
. Determine a carga: a) Sobre a parede da cavidade. b) Sobre a 
superfície externa do condutor. 
 
R: a) Consideremos uma superfície gaussiana que contorna a parede da cavidade, mas 
está no interior do condutor. 
 
Como o campo elétrico é nulo em todos os pontos desta superfície gaussiana, a lei de 
Gauss exige que a carga total envolvida por esta superfície também deve ser nula. 
6
0
6
3,0 10
0 3,0 10
o env i
i i
q C
E d A q q q
q q q q C




 
   
       
 
b) Como a carga total do condutor é nula, temos que: 
60 3,0 10i e e iq q q q C
      
 
 
13. Aplicando a lei de Gauss, mostre que o campo elétrico no ponto P, a uma distância r de 
uma barra fina de plástico, infinitamente longa e carregada uniformemente com uma 
densidade linear de carga , é dado por: E =  /(2  o r). 
 P 
 r 
 
 
barra 
 
 
Aplicando a lei de Gauss na superfície gaussiana percebemos que somente a superfície lateral 
do cilindro contribui para a o fluxo do campo elétrico através dessa superfície. 
o env o envE d A q EA q    
 
A área da superfície lateral do cilindro é 
2A rL
e a carga envolvida pela superfície 
gaussiana é a carga que está no comprimento 
L
da barra, ou seja, 
q L
, com isso temos: 
2
2 2
o
o o
E rL L
L
E E
rL r
  
 
  

  
 
 
14. O campo elétrico de uma barra fina e infinita é equivalente ao campo de uma linha 
infinita de carga. Uma linha infinita de carga produz um campo de 4,5 × 10
4
 N/C a uma 
distância de 2 m da linha. Determine o valor da densidade linear de carga, considerada 
constante. 
4
4 12
6
4,5 10 /
2
2
2
4,5 10 2 8,85 10 2
5 10 /
o
o
E N C
r m
E E r
r
C m

 

 



 

  
      
 
 
 
15. Duas cascas cilíndricas concêntricas e longas possuem raios a e b com a < b. Os 
cilindros possuem densidades lineares de carga de valores iguais e sinais opostos, sendo 
λa = - λ e λb = + λ. Usando a lei de Gauss, prove que (a) E = 0 para r < a (pontos no 
interior da casca interna e (b) entre as cascas cilíndricas, isto é, para a < r < b, o campo 
elétrico é dado por E =  /(2  o r). r é a distância radial ao eixo central dos cilindros. 
 
 
A superfície gaussiana é uma superfície cilíndrica de raio r e comprimento L, 
concêntrica com as duas cascas cilíndricas. 
Ao aplicarmos a lei de Gauss na superfície gaussiana percebemos que somente a 
superfície lateral do cilindro contribui para o fluxo do campo elétrico através da 
superfícies gaussiana: Portanto temos: 
 
16. Duas cascas cilíndricas de paredes finas, carregadas, longas e concêntricas, têm raios de 
3 cm e 6 cm. A carga por unidade de comprimento sobre o cilindro interno é 5 × 10 
– 6
 
C/m, e sobre o cilindro externo é de - 7 × 10 
– 6
 C/m. Determine o valor do campo 
elétrico e indique o sentido (para dentro ou para fora) em (a) r = 4 cm e (b) r = 8cm, 
onde r é a distância radial ao eixo central dos cilindros. 
 
6
6
3,0
6,0
5,0 10 /
7,0 10 /
a
b
a cm
b cm
C m
C m






 
  
 
Do exercício (15) temos que: 
2
env
o
q
E
rL

 
a) Em 
4,0r cm
(o ponto está entre as duas cascas cilíndricas). Com isso temos 
env aq L
 
2
env
o
q
E
rL

 
6
6
12 2
5,0 10
2,25 10 /
2 2 8,85 10 4,0 10
a
o
L
E N C
rL

 

 

   
    
 
Como a carga envolvida é positiva, o campo elétrico tem direção para dentro das 
cascas cilíndricas. 
 
b) Em 
8,0r cm
(o ponto é externo às duas cascas cilíndricas). Com isso temos 
 env a bq L  
 
2
env
o
q
E
rL

 
   6 6 5
12 2
5,0 10 7,0 10
4,50 10 /
2 2 8,85 10 8,0 10
a b
o
L
E N C
rL
 
 
 
 
  
   
    
 
Como a carga envolvida é negativa, o campo elétrico tem direção para dentro das 
cascas cilíndricas. 
 
17. Uma carga está uniformemente distribuída através do volume de um cilindro 
infinitamente longo de raio R. (a) Mostre que o campo elétrico a uma distância r do 
eixo do cilindro (r < R) é dado por E = ρ r/(2 εo), onde ρ é a densidade volumétrica de 
carga. (b) Escreva uma expressão para E a uma distância r > R e esboce 
qualitativamente o gráfico E × r. Observe que o cilindro não é condutor. 
 
 
A superfície gaussiana é uma superfície cilíndrica de raio r, concêntrica com o cilindro. 
Portanto, somente sua superfície lateral contribui para o fluxo de campo elétrico através 
dela (ver exercício 15). 
2o env o envE d A q E rL q     
 
a) Para r < R (os pontos estão no interior do cilindro)temos que: 
2
22 2
2
env
o env o
o
q V r L
r
E rL q E rL r L E
 
     
 
    
 
b) Para r > R (os pontos estão no exterior do cilindro) temos que: 
2
2
22 2
2
env
o env o
o
q V R L
R
E rL q E rL R L E
r
 
     
 
    
 
 
18. (lei de Gauss: simetria plana) Aplicando a lei de Gauss, mostre que o módulo do campo 
elétrico gerado por uma chapa fina, isolante e infinita, carregada uniformemente com 
uma densidade superficial de carga σ é dado por: E = σ /(2ε0). 
 
 
Quando aplicamos a lei de Gauss na superfície gaussiana percebemos que somente as 
duas bases da superfície contribui para o fluxo de campo elétrico através da superfície. 
Com isso temos: 
 
A carga envolvida pela superfície gaussiana é a que esta na superfície de área A da 
placa. 
 
19. Na figura abaixo duas placas finas, de grande extensão, são mantidas paralelas a uma 
pequena distancia uma da outra. Nas faces internas as placas possuem densidades 
superficiais de cargas de sinais opostos e valores absolutos iguais σ =
23 27,00 10 /C m
. Em termos dos vetores unitários, determine o campo elétrico (a) à 
esquerda das placas; (b) à direita das placas; (c) entre as placas. 
 
 
 
22 27 10 /C m   
 
20. Na figura abaixo uma pequena esfera não condutora de massa m = 10 g e carga q 
=2x10
-8
C (distribuída uniformemente em todo o volume) está pendurada em um fio não 
condutor que faz um ângulo de 30
o
 com uma placa vertical, não condutora, 
uniformemente carregada (vista de perfil). Considerando a força gravitacionalq que a 
esfera está submetida e supondo que a placa possui uma grande extensão, calcule a 
densidade superficial de cargas σ da placa. 
 
 
8
3
2 10
10 10 10
q C
m g kg


 
  
 
Devemos inicialmente representar as forças que atuam na esfera. Como a esfera está 
em equilíbrio, vemos pela figura abaixo que: 
 0 30
0 cos30
o
x x
o
y y
F F T F Tsen
F P T mg T
    
    


 
 
3 12
8
30
30
30
temos que:
 
2
30 2
30
2
10 10 9,8 30 2 8,85 10
2 10
o
o
o
o
o
o o
o
o
F Tsen
F mgtg
mg Tos
F q E E
mgtg
q mgtg
q
tg






 

  
 

    
     


 
 
21. (lei de Gauss: simetria esférica) Considere uma casca esférica fina de raio R e 
uniformemente carregada com uma carga total Q. Sendo r a distância do centro da 
esfera até certo ponto, aplicando a lei de Gauss, mostre que: 
a) Para r > R (pontos externos a casca esférica) o campo elétrico gerado pela casca 
esférica é equivalente ao de uma carga pontual situada no centro da casca 
esférica. Ou seja, o valor do campo é dado por E = Q / (4o r
2
). 
b) Para r < R (pontos no interior da casca esférica) o campo elétrico gerado pela 
casca esférica é nulo. Portanto, a casca esférica não exerce força eletrostática 
sobre uma partícula carregada que se localize no seu interior. 
 
 
Consideremos uma superfície gaussiana esférica de raio r concêntrica com a esfera de raio 
R. Se a esfera carregada com carga positiva, o ângulo entre 
E
e 
d A
 será 
0o 
para 
todos os pontos da superfície gaussiana. Além disso, o valor do campo elétrico será o 
mesmo em todos os pontos da superfície gaussiana. 
Aplicando a lei de Gauss, temos que: 
 
 
 
a) Para r>R (pontos externos à casca esférica) toda carga da esfera está no interior da 
superfície gaussiana, e com isso: 
 
b) Para r<R (pontos no interior da casca esférica), a carga no interior da superfície 
gaussiana é nula: 
 
 
22. Uma carga pontual produz um fluxo elétrico de – 750 N.m2/C através de uma superfície 
gaussiana esférica de 10 cm de raio com centro na carga. (a) Se o raio da superfície 
gaussiana é multiplicado por dois, qual é o novo valor do fluxo? (b) Qual é o valor da 
carga pontual? 
a) Seria o mesmo, pois a carga envolvida pela superfície gaussiana não muda: 
 
 
b) 
 
 
23. Uma esfera condutora com 10 cm de raio possui uma carga desconhecida. Se o campo 
elétrico a 15 cm do centro da esfera tem um módulo de 3 × 10 
3
 N/C e aponta para o 
centro da esfera, qual é a carga desta esfera? 
 
10,0
3000 / ( 15 )
r cm
E N C r cm

  
 Radialmente para dentro. 
 
 
22 9
2
9
4 3000 4 8,99 10 0,15
4
7,5 10
o
o
q
E q E r x
r
q x C
 

       

 
Como o campo aponta para dentro, a carga sobre a esfera é negativa. 
 
24. Uma esfera metálica de parede fina tem um raio de 25 cm e uma carga de 2×10 -7 C. 
Determine o valor do campo elétrico E para um ponto (a) dentro da esfera, (b) 
imediatamente fora da esfera e (c) a 3 m do centro da esfera. 
 
 
 
25. Uma casca esférica condutora de raio a e espessura insignificante possui uma carga qa. 
Uma segunda casca, concêntrica com a primeira, possui um raio b > a e uma carga qb. 
Mostre, utilizando a lei de Gauss, que o campo elétrico em pontos situados a uma 
distância r do centro das cascas para: (a) r < a é igual zero; (b) a < r < b é qa / (4o r
2
 
); e (c) r > b é igual a (qa + qb) / (4o r
2
 ) 
 
Consideremos uma superfície 
gaussiana esférica de raio r, 
concêncentrica com as duas cascas 
esféricas. Conforme figura ao lado. 
 
Aplicando a lei de Gauss, temos que: 
24o env o envE d A q E r q     
(Veja 
exercício 21) 
a) Para r < a (os pontos estão no interior da casca menor) temos que: 
2 2
0
4 4 0 0
env
o env o
q
E r q E r E   

    
 
b) Para a< r < R (os pontos estão entre as duas cascas esféricas) temos que: 
2 2
2
4 4
4
env a
a
o env o a
o
q q
q
E r q E r q E
r
    

    
 
c) Para r > b (os pontos estão fora da casca esférica maior) temos que: 
2 2
2
4 4
4
env a b
a b
o env o a b
o
q q q
q q
E r q E r q q E
r
    
 

     
 
 
26. Duas cascas esféricas concêntricas carregadas têm raios de 10 cm e 15 cm. A carga da 
casca menor é 4 × 10 
– 8 
C, e da casca maior é 2 × 10 
– 8 
C. Determine o módulo do 
campo elétrico em (a) r = 12 cm e (b) r = 20 cm. 
8
8
10 0,1
15 0,15
4 10
2 10
a
b
a cm m
b cm m
q C
q C


 
 
 
 
 
a) r = 12 cm (entre as duas cascas esféricas) 
 
8
4
22 12
4 10
2,5 10 /
4 4 8,85 10 0,12
a
o
q
E N C
r 



   

 
b) r = 20 cm (externo a esfera maior) 
 
8 8
4
22 12
4 10 2 10
1,35 10 /
4 4 8,85 10 0,2
a b
o
q q
E N C
r 
 

   
   
