AULA 2 - Introdução a Função

Prévia do material em texto

AULA 2 – INTRODUÇÃO AO ESTUDO DE FUNÇÕES.
Prof. Renata Souza.
1. Relações entre conjuntos:
Muitas vezes precisamos estabelecer relações entre dois conjuntos. O diagrama de flechas é uma maneira de
representarmos essas relações. Veja os diagramas abaixo: 
Exemplo1: Sejam os conjuntos A={-2,-1,0,1,2} e B={-3,-2,-1,1,2,3,4} e a relação x+y=2:
a) Enumere os pares ordenados que obedecem a essa relação:
b) Represente pelo diagrama de flechas;
2. Domínio, Contradomínio e Imagem.
2.1) Domínio: Conjunto dos elementos de A que possuem um correspondente em B dado pela relação.
2.2) Contradomínio: O conjunto B é chamado de contradomínio.
2.3) Imagem: Conjunto dos elementos que estão em B que foram associados aos elementos de A pela 
relação, formando um par ordenado. A Imagem é sempre um subconjunto de B.
Exemplo2: Considere os conjuntos do Exemplo1 e determine: 
a) Domínio b) Contradomínio c) Imagem 
3. Introdução às Funções:
3.1) Noção Intuitiva de Função
Função: São regras que busca modelar a relação entre duas grandezas variáveis e obedecem certas 
características.
Exemplo 3) Numa rodovia, um carro mantém uma velocidade constante de 90 km/h. Veja a tabela que 
relaciona o tempo (em horas) com a distância (em quilômetros)
Tempo (h) 0,5 1 1,5 2 3 4
Distância (km) 45 90 135 180 270 360
Observe que a distância percorrida é dada em função do tempo. Neste caso:
a) Qual é a variável dependente?
b) Qual é a variável independente?
c) Qual a lei que associa as duas variáveis?
e) Qual a distância percorrida em 4,5 horas?
PUC – Cá� lculo I-1º/2019 Pá�giná 1
ABAB BA
 Ana
 Dani
 Pedro
 João
 1
 2
 3
 4
 1
 2
 3
 4
 Ana
 Dani
 Pedro
 João
 1
 2
 3
 4
 Ana
 Dani
 Pedro
 João
A B
3.2) Noção de função por meio de conjuntos
 Toda função é uma relação entre dois conjuntos. Entretanto, apenas algumas relações são função.
Exemplo 4) Identifique entre quais das relações abaixo são funções:
3.1) Definição: Uma função de um conjunto A para um conjunto B é uma regra que associa todo elemento 
xϵ A a um único elemento y ϵ B. 
 Notação: f : A→B ou x→f (x) ou A f→
B ou f : A→B tal que y=f (x)
 Função real de variável real é aquela cujo domínio e contradomínio são os reais.
Exemplo 5) Expressa por meio de uma fórmula matemática a função f :R→R que a cada real x associa: 
a) o seu quadrado b) a sua terça parte c) a sua metade somada com três
3.2) Domínio e Imagem de uma função.
OBS.: Em uma função o domínio é o próprio conjunto A. 
Exemplo 6) Se A = { -2, -1, 0, 1 } e f : A→Z definida por f(x) = x² – 1 calcula Im(f).
3.2.1) Estudo do domínio da função
Quando não é dado explicitamente o domínio da função, deve-se subentender que o domínio é formado por 
todos os números reais que tenha como imagem um número também real. Nestes casos, devemos estar 
atentos a restrições no conjunto do domínio.
Exemplo 7) Determina o domínio e a imagem das seguintes funções de uma variável real:
a) y=x ² b) y=1
x
 c)y=√x d) y=√1−x
3.3) Representação de funções.
 Realizada através de diagramas ou, mais comumente no plano cartesiano. 
PUC – Cá� lculo I-1º/2019 Pá�giná 2
c)b)a)
e)d)
F(X)FUNÇÃ� Ox
Saída
(Imagem)
Entrada
(Domínio))
Exemplo 8) Represente no plano cartesiano as seguintes funções
a) f(x) = 2x+1, sendo o domínio {0,1,2,3}
x f(x)=2x+1 
 
0
1
2
3
4
b) f(x) = 2x+1 sendo o domínio x ϵ R
x f(x) = 2x+1
-2
-
1/2
0
1/2
2
 
Exemplo 9) Identifique as funções.
3.4) Operações com funções.
Dadas duas funções f e g, definem-se as operações:
a) Soma: f ( x )+g (x) Ex.: Se f ( x )=2x+4 e g (x )=−3 x+12 então f ( x )+g ( x)=¿
b) Diferença: f ( x )−g (x ) Ex.: Se f ( x )=2x+4 e g (x )=−3 x+12 então f ( x )−g ( x )=¿
c) Produto: f ( x ).g (x) Ex.: Se f ( x )=2x+4 e g (x )=−3 x+12 então f ( x ) . g ( x )=¿
d) Divisão: f ( x )/ g (x ) Ex.: Se f ( x )=2x+4 e g (x )=−4 x+12 então f ( x )/ g (x )=¿
e) Constante: k. f ( x) Ex.: Se k=5 e f ( x )=2x+4 então k. f ( x )=¿
3.4) Função Composta:
Dadas as funções f : A→B e g :B→C definimos a operação de composição como g( x) ° f ( x )=g( f (x)) . 
PUC – Cá� lculo I-1º/2019 Pá�giná 3
x
0 
 
 
 2
 
 
 
y 2
 -2 0 2 
 
 -2 
 
 
x
x
y
x
y
 -2 0 2
b)a) c)
Exemplo 10) Se f ( x )=2x+4 e g (x )=−4 x+12 , determine:
a) g (x )° f ( x)=¿ 
b) f ( x )° g ( x)=¿ 
 Exemplo 11) Sejam as funções g (x )=3 x−5 e g (x )° f ( x)=x2−3 . Determine a lei da função f(x). 
3.5) Tipo de Função:
 Injetora: Dada da função f : A→B, todo elemento de A se transforma em um único elemento de B.
 Sobrejetora: Dada da função f : A→B, todo elemento em B tem um elemento correspondente em A. 
 Bijetora: São funções ao mesmo tempo injetoras e sobrejetoras, ou seja, todo elemento de A tem um
único correspondente em B, sendo que não existem em B elementos sem correspondência em A. 
Neste caso dizemos que a correspondência é biunívoca.
 
3.5) Função Inversa:
Exemplo 12) Dados os conjuntos A={1,2,3,4 } e B={1,3,5,7}:
a) Determine a lei da função f :A→B e represente a função com diagramas. Qual é o tipo de função?
b) Determine a lei da função f−1 :B→A e represente a função com diagramas. Qual é o tipo de função?
Observe que os pares ordenados do tipo (x , y )∈ f , enquanto os pares ordenados do tipo ( y , x)∈ f−1. Neste caso 
dizemos que f−1(x ) é a função inversa de f (x ).
Exemplo 13) Dadas as funções f ( x )=3x−2 e g (x )=2 x+5 determine a função inversa de g (x )° f ( x).
PUC – Cá� lculo I-1º/2019 Pá�giná 4