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EAE 0327 - 2020
Prof. Rodrigo De Losso da Silveira Bueno
Entrega 02/04/2020
Exercício 1 Considere verdadeira a seguinte a�rmação: Seja fZtg uma sequência
de variáveis aleatórias i.i.d N (0; 1), então fZtg é (estritamente) estacionária.
1. Qual a hipótese básica do resultado acima? Por quê?
2. Pode-se a�rmar que estacionaridade é um reforço à hipótese de distribuição
idêntica?
3. Pode-se a�rmar que a hipótese de estacionaridade sobre uma série qualquer é
mais fraca do que a hipótese i.i.d.? Por quê?
Exercício 2 De�na Processo Estocástico e ilustre gra�camente. Explique o que é
a realização de um processo estocástico e por que as séries econômicas podem ser
entendidas como sendo geradas por processos estocásticos.
Exercício 3 Por que se impõem restrições sobre a heterogeneidade temporal e sobre
a memória de um processo estocástico?
Exercício 4 Qual a diferença entre estacionaridade forte (ou estrita) e estacionari-
dade (fraca)? Construa exemplos mostrando quando uma implica a outra, e quando
uma não implica a outra.
Exercício 5 Responda:
a. Mostre algebricamente como um processo AR(2), com raízes fora do círculo
unitário, é expresso como um MA(1).
b. Escreva um MA (1) sob a forma de um AR(1)
c. Por que as raízes do processo MA devem estar fora do círculo unitário?
1
Exercício 6 Considere o modelo MA(1)
yt = �+ "t + �"t�1; j�j > 1.
Inverta-o e mostre ser um AR (�1) do tipo:
yt � � = �
1X
j=1
(��)�j (yt+j � �) + �"t�1:
Interprete.
Exercício 7 Considere o seguinte modelo ARMA (1; 1):
yt = �yt�1 + "t � �"t�1;
"t � i:i:d:
�
0; �2
�
:
Determine as condições de estacionaridade e invertibilidade. De�na as condições
para obter um ruído branco temporalmente dependente.
Exercício 8 Considere o seguinte modelo ARMA (1; 1):
yt = �yt�1 + "t � �"t�1;
"t � i:i:d:
�
0; �2
�
:
Se � = � e j�j > 1, então yt é instável ou não estacionário. Explique. (Dica:
desenvolva o modelo recursivamente).
Exercício 9 Veri�que se os modelos abaixo são estacionários e/ou inversíveis, em
que L é o operador defasagem.
a. (1� L) yt = (1� 0; 5) "t
b. (1 + 0; 8L) yt = (1� 1; 2L) "t
c. (1� 0; 7L+ 0; 4L2) = (1� 0; 5L) "t
d. (1� 0; 7L� 0; 4L2) = (1� 1; 6L+ 0; 7L2) "t
e. (1 + 0; 9L) yt = (1 + 0; 5L+ 0; 4L2 + 0; 3L3) "t
Exercício 10 Calcule as autocorrelações dos modelosMA(2), AR(2) eARMA(1; 1).
2
Exercício 11 Considere o seguinte processo estocástico:
Yt = �Yt�1 + "t; "t � i:i:N (0; 1) ; Y0 = 0 (1)
onde � pode assumir os seguintes valores: 1; 0; 0; 9; 0; 5. Simule 1000 séries (com
100 observações cada) para cada um dos parâmetros teóricos de �, estime-os em
seguida por MQO. Comente as propriedades do estimador.
Solução 1 Exercício 12 Considere o seguinte modelo:
yt = c+ �yt�1 + "t; "t � WN
�
0; �2
�
,
Dada a série fytgTt=1 ;esse modelo pode ser estimado pelo E-views de duas formas
alternativas. Por exemplo, podem-se dar os seguintes comandos:
quick / estimate equation / y c y(�1) ou
quick / estimate equation / y c ar(1)
Embora o coe�ciente � seja igual em ambos os modelos, o coe�ciente c difere.
Por quê?
Exercício 13 (15 pontos) Considere o seguinte processo estocástico:
yt = 3 + "t + 0:8"t�1; "t � RB (0; 1) :
Suponha uma amostra com 50 observações. Qual a média e a variância de longo
prazo dessa média amostral, (�; �2), de�nida como sendo:
yT =
PT
t=1 yt
T
:
3