Lista IV - Variáveis Contínuas

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José Gracioli Estatística II 
Lista IV – Engenharia de Produção UCAM – Rio – Noit e e Manhã 
 
1) Em uma determina localidade, a distribuição de renda em salários mínimos (s.m.) é uma variável 
aleatória X com f.d.p.: 
f(x) =
���
�	 110 x + 110 se 0 ≤ x ≤ 2 −340 x + 920 se 2 < � ≤ 60 se c. c.
 
a) Qual a renda média da localidade? 
b) Escolhida uma pessoa ao acaso, qual a probabilidade de sua renda ser superior a 3 s.m.? 
 �) 2,47 s. m. b) 33,75% 
 
2) Os depósitos efetuados no Banco do Brasil da Rocinha (em s. m.) são representados por uma 
v.a continuada X com f.d.p. dada a seguir. Um depósito é selecionado, ao acaso, dos depósitos 
referentes de um mês. 
a) Calcule a probabilidade de que o depósito seja de 1 s.m. ou menos. 
b) Qual o valor médio dos depósitos? 
f(x) = " 13 se 0 ≤ x ≤ 30 se c. c. 
 a) ≅ 33,33% b) 1,5 s. m. 
 
3) Seja f(x,y) uma função densidade de probabilidade . Calcule f(x) e f(y). 
 f(x, y) = &9x'y' se 0 ≤ x ≤ 1 e 0 ≤ y ≤ 10 se c. c. 
 f(x) = 3x' f(y) = 3y' 
 
4) A demanda diária de feijão em um supermercado, em quilos, é uma v.a. X com f(x): 
f(x) =
���
�	 2x3 se 0 ≤ x < 1− x3 + 1 se 1 ≤ x ≤ 3 0 se x < 0 () � > 3
 
 
a) f(x) é uma fdp 
b) Qual a probabilidade de, em um dia escolhido ao acaso, se vender mais do que 1,5 Kg? 
c) Em 30 dias, quanto o gerente espera vender? 
 a) sim b) 37,5% c) 40 Kg 
 
5) Seja (X,Y) uma v.a. bidimensional contínua com f.d.p. conjunta dada por: f(x, y) = &e.(/01) se x ≥ 0 e y ≥ 00 se c. c. 
a) Calcule f(x/y) 
b) X e Y são independentes? 
 a) e./ 
 
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23) 456 7ã( 59:;<;9:;9=;7 
 
6) Seja (X,Y) uma variável aleatória continua com f(x, y) = >4xy se 0 ≤ x ≤ 1 e 0 ≤ y ≤ 10 se c. c. 
a) Verifique se X e Y são independentes? 
b) Calcule a Cov(X,Y) 
 a) sim são independentes b) Cov(X, Y) = 0 
 
7) Seja (X,Y) uma variável aleatória continua com f(x, y) = >2xy se 0 ≤ x ≤ 1 e 1 ≤ y ≤ 20 se c. c. . Calcule 
cov(x,y). 
 H(I(�, J) = −79 
 
8) Seja f(x) = "KL x + k se 0 ≤ x ≤ 30 se c. c. 
a) Calcule o valor de k 
b) Calcule a P(1 ≤ X ≤ 2) 
 �) k = 112 b) ≅ 33,33% 
 
9) Seja f(x) = O6x( 1 − x) se 0 ≤ x ≤ 10 se c. c. . Calcule a P(X<1/2) 50% 
 
10) Seja f(x, y) = & 3x'y + 3y'x se 0 ≤ x ≤ 1 e 0 ≤ y ≤ 1 0 se c. c. . Determine: 
 
a) f(x) e f(y) 
b) E(X) e E(Y) 
c) Var(X) e Var(Y) 
d) P(0,5 < X < 0,75) 
 a) f(x) 3x'2 + x e f(y) = 3y'2 + y b) 1724 ; 1724 c) Var(X) = Var(Y) = 1392880 d) ≅ 0,3 
 
11) Seja f(x, y) = > x + y se 0 ≤ x ≤ 1 e 0 ≤ y ≤ 1 0 se c. c. . Determine 
a) f(x) e f(y) 
b) E(Y) e E(X) 
c) cov(x,y) 
 a) x + 12 ; J + 12 b) 712 e 712 
 
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3
c) −1144 
 
12) (ESAF/Analista do Banco Central/2001) A variável aleatória X tem distribuição de probabilidades 
do tipo absolutamente contínuo com densidade de probabilidades 
f(x) = S 12 ∝ se −∝ ≤ x ≤∝0 se |x| ≥ ∝ 
onde ∝ é uma constante positiva maior do que um. Assinale a opção que dá o valor de ∝ para que 
se tenha P(X>1)= 0,25 
a) 4 b) 0 c) 3 d) 1 e) 2 
 
Letra E 
 
13) (ESAF/Analista do Banco Central/2002) – Uma variável aleatória do tipo absolutamente contínua 
tem a função densidade de probabilidade seguinte: 
f(x) = O1,2 − 0,08x se 10 ≤ x ≤ 150 se em outros casos 
Assinale a opção que dá a probabilidade de que a variável aleatória assuma valores entre 10 e 12. 
a) 0,160 b) 0,640 c) 0,500 d) 0,200 e) 0,825 
 
Letra B 
 
14) (Auditor-Fiscal da Receita Federal do Brasil - 2009) A função densidades de probabilidade de 
uma variável aleatória contínua x é dada por 
f(x) = O 3x' se − 1 ≤ x ≤ 0 0 se caso contrário 
 Para esta função, a média de x, também denominada expectância de x é denotada por E(x), 
é igual a: 
a) 4/3 b) 3/4 c) -3/4 d) -3x/4 e) -4x/3 
 
Letra C 
 
15) (FCC/ MPU -2007) O tempo em minutos, X, para a digitação de um texto, é considerado uma 
variável aleatória contínua com função de densidade de probabilidade dada por: 
f(x) =
���
�	14 se 0 ≤ x < 218 se 2 ≤ x ≤ 60 se c. c. 
 
 O valor esperado de X é: 
a) 5,0 b) 4,0 c) 3,5 d) 2,5 e) 1,0 
 
Letra D 
 
16) (FCC – TRT – 9ª Região – Analista Judiciário – 2010) A demanda diária por um produto é uma 
variável aleatória X, contínua, com função de densidade de probabilidade dada por: 
f(x) = O0,08x se 0 < x < 50 se c. c. 
 A média e a mediana de X são dadas, respectivamente, por: 
a) 
KWX e 5√2 b) KWX e 2,5 c) KWX e Z√'' d) 2,5 e 2,5 e) 3 e 5√2 
 
 
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4
Letra C 
 
17) (FCC – TRT – 9ª Região – Analista Judiciário – 2010) A variável aleatória contínua X tem função 
densidade de probabilidade dada por: 
f(x) = O 6(x − x') se 0 < x ≤ 1 0 se x ≤ 0 ou x > 1 
 A variância de X é igual a 
a) 0,01 b) 0,02 c) 0,03 d) 0,04 e) 0,05 
 
Letra E 
 
18) (TRE – SP – 2012) A função de densidade de probabilidade da variável aleatória X é dada 
por: 
f(x) = OKxX se 0 ≤ x ≤ 20 se c. c. 
 A probabilidade condicional dada por P(1 ≤ X ≤ 1,5/ X < 1,5) é igual a 
a) 
'\ b) Z\ c) KZX] d) ]X^K e) LZ^K 
 
Letra E 
 
19) Seja X a duração (em horas) de um certo tipo de lâmpada. Admitindo que X seja uma variável 
aleatória contínua com f.d.p. de X dada por: 
f(x) = " ax' se 150 < � < 2500 se c. c. 
Calcule: 
a) O valor de a 
b) E(X) e Var(X) 
 a) 375 b) 191,56 e 804,76 
 
20) O tempo de vida do aparelho elétrico 1 é uma variável aleatória contínua X dada por f(x). E o 
tempo de vida do aparelho elétrico 2 é uma variável aleatória contínua Y dada por f(y). O tempo de 
vida é medido em horas. Se o aparelho é para ser usado por um período de 2 horas, qual aparelho 
deve ser preferido? f(y) = O_'.à se x ≥ 00 se x < 0 f(y) = &e
.1 se y ≥ 00 se y < 0 
 
É o aparelho 2, pois tem a maior probabilidade de durar pelo período de 2 horas. 
 
21) O tempo que um determinado veículo atinge 100Km/h(em segundos) é uma variável aleatória 
X com função de densidade de probabilidade dada por: 
f(x) = O2 ∙ 4,5'xX se x ≥ 4,50 se c. c. 
a) Caso o veículo atinja 100 km/h em mais de 7,0 segundos precisara de um ajuste. Determine a 
probabilidade de que um determinado veículo escolhido atinge 100 km/h acima de 7 segundos. 
b) Determinar qual a probabilidade de pelo menos três veículos, num lote de 10 veículos escolhidos 
aleatoriamente precise de tal ajuste. Admitindo que os veículos são produzidos de forma 
independente 
 a) ≅ 0,4133 
 
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53) 90,82% 
 
22) Sabendo que X e Y são variáveis aleatórias continuas com f.d.p. dada por: 
f(x, y) = O K cx + 1y'd se 0 ≤ x ≤ 3 e 1 ≤ y ≤ 2 0 se c. c. 
Com estas informações, calcule: 
a) O valor de K 
b) f(x) 
c) P(0<X<1) 
 a) 16 b) x6 + 112 c) ≅ 16,67% 
 
23) Considere a seguinte f.d.p 
 
f(x) = S kx se 0 ≤ x < 2k(4 − x) se 2 ≤ x < 4 0 se c. c. 
a) Encontre k 
b) E(x) 
b) Ache a F(x) 
 �) 14 b) 2 
c) F(x) =
��
��
	 0 se � < 0x28 se 0 ≤ � < 2−1 + x − x28 se 2 ≤ � < 4 1se x ≥ 4
 
 
24) A temperatura T de destilação do petróleo é crucial na determinação da qualidade final do 
produto. Suponha que f~h(150 ; 300). Suponha que o custo para produzir um galão de petróleo 
seja C1 reais. Se o óleo for destilado a uma temperatura inferior a 200º, o produto obtido é vendido 
a C2 reais; Se a temperatura for superior a 200º, o produto é vendido a C3 reais. 
a) Fazer o gráfico da f.d.p de T 
b) Qual o lucro médio por galão? 
c) Determine a mediana da temperatura de destilação do petróleo, cuja a função de distribuição F 
é o valor real de m tal que F(m)=1/2 
 3) j(k) = 13 . H' + 23 . HX − 1. HK l) 6 = 225° 
 
25) Em média, um navio atraca em certo porto a cada 2 dias. Qual a probabilidade de que, a partir 
da partida de certo navio, se passem mais de 4 dias antes da chegada do próximo navio? 
 ≅ 13,53% 
 
 
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26) Suponha que o tempo médio de atendimento em um caixa de um banco é de 6 minutos. 
Admitindo-se que o tempo para o atendimento tenha distribuição exponencial, determine a 
probabilidade de um cliente: 
a) Esperar mais de 8 minutos 
b) Esperar menos de 3 minutos 
 �) ≅ 26,36% 3) ≅ 39,35% 
 
27) A função densidade de probabilidade do tempo requerido para completar uma operação de 
montagem, em t segundos, é dada por 
 f(t) = >0,1 se 30 < = < 400 se c. c. 
 
a) Determine a proporção de montagem que requerem mais de 30 segundos para serem 
completadas 
b) Que tempo é excedido por 90% das montagens 
c) Determine a média e a variância do tempo de montagem. 
 a) 1 segundo b) t = 31 s c) 35 segs e ≅ 8,33 seg 
 
28) Ônibus chegam a um determinado ponto em intervalos de 15 minutos a partir das 7:00 h. Se a 
chegada de um passageiro ao ponto é uniformemente distribuída entre 7:00 h e 7:30 h. Determine 
a probabilidade de: 
a) De que espere menos de 5 minutos até a chegada de um ônibus 
b) De que espere mais de 10 minutos até a chegada de um ônibus 
 a) ≅ 33,33% b) ≅ 33,33% 
 
29) O tempo entre as chamadas para uma loja de suprimento de encanamentos é distribuído 
exponencialmente, com o tempo médio de 15 minutos entre as chamadas. 
a) Qual é a probabilidade de não haver chamadas dentro de um intervalo de 30 minutos? 
b) Qual é a probabilidade de que no mínimo uma chamada chegue dentro do intervalo de 10 
minutos? 
c) Qual a probabilidade de que a primeira chamada chegue dentro de 5 a 10 minutos depois da loja 
aberta? 
d) Determine o comprimento de um intervalo de tempo, tal que exista uma probabilidade igual a 
0,90 de haver no mínimo uma chamada no intervalo. 
 a) ≅ 13,53% b) ≅ 48,66% c) ≅ 20,31% :) = ≅ 34,54 659 
 
30) Determinar as seguintes probabilidades, onde Z~N(0,1). a) P(Z ≤ 1,5) b) P(Z ≥ 1,3) c) P(Z ≤ −0,5) d) P(0 ≤ Z ≤ 0,9) e) P(−1 ≤ Z ≤ 1) f) P(Z ≤ −1,96) g) P(Z ≤ 0,23) h) P(Z ≥ −1,33) i) P(−1,68 ≤ Z ≤ −0,5) j) P(−0,18 ≤ Z ≤ 0,59) k) P(−1,24 ≤ Z ≤ 1,5) l) P(Z ≤ −3,96) 
 a) 0,9332 b) 0,0968 c) 0,3085 :) 0,3159 
 
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7e) 0,6826 f) 0,0250 r) 0,5910 h) 0,9082 i) 0,2620 j) 0,2938 k) 0,8257 l) 0,0002 
 
31) Calcule P(2 ≤ X ≤ 3) onde X∼N(2,1). 
 0,3413 
 
32) Calcule P(-3 ≤ X ≤ 3) onde X∼N(2,2). 
 ≅ 0,76 
 
33) Suponha que X tenha distribuição N(3,4). Desejamos achar um número c, tal que 
P(X>c)=2.P(X≤c). 
 c = 2,14 
 
34) X é uma v.a. contínua tal que 
 f(x) = &kx2 − Kx3 se 0 ≤ x ≤ 10 se c. c. . Determine 
a) K 
b) E(X) 
c) Var(X) 
 a) K = 12 b) 35 c) 125 
 
35) Seja z uma variável com distribuição normal padrão. Calcule: a) P(0 < s < 1,44) b) P(−0,85 < s < 0) c) P(−1,48 < s < 2,05) d) P(0,72 < s < 1,89) e) P(Z > 1,08) f) P(Z > −0,66) 
 a) 0,4251 b) 0,3023 c) 0,9104 d) 0,2064 e) 0,1401 f) 0,7454 
 
36) Uma fábrica de pneumáticos fez um teste para medir o desgaste de seus pneus e verificou que 
ele obedecia a uma distribuição normal, de média 48.000 km e desvio-padrão 2.000 km. Calcule a 
probabilidade de um pneu escolhido ao acaso dure: 
a) mais que 46.000 Km 
b) dure entre 45.000 e 50.000 km 
 a) 0,8413 b) 0,7745 
 
37) Seja X uma variável aleatória tal que X~N(12 , 25). Qual a probabilidade de que uma das 
observações, ao acaso, 
a) seja menor do que -3 
b) cair entre –1 e 15 
 a) 0,0013 
 
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8b) 0,721 
 
38) O salário semanal dos operários de uma indústria é distribuído normalmente, em torno de uma 
média de R$ 180,00 com um desvio-padrão de R$ 25,00. Qual a probabilidade de um operário ter 
salário semanal situado entre R$ 150 e R$ 178? 
 0,3530 
 
39) Em uma distribuição normal, 28% dos elementos são superiores a 34 e 12% inferiores a 19. 
Encontre a média e a variância da distribuição. 
 X~N(29,06 ; 72,64) 
 
40) Seja Y uma função tal que Y =X1 + X2 + X3 e as variáveis Xi são independentes com as seguintes 
distribuições: X1~N(10,9), X2~N(-2,4) e X3~N(5,25). Qual é a distribuição de Y? 
 Y~N(13 , 38) 
 
41) Suponha que a duração de vida de dois equipamentos E1 e E2 tenham respectivamente 
distribuições N(45,9) e N(40,36). Se o equipamento tiver que ser usado por um período de 45 horas, 
qual deve ser preferido? 
 
Logo é preferido o E1, pois a probabilidade de duração de vida é maior. 
 
42) Considere o tempo, em minutos, que um mergulhador consegue ficar submerso sem 
equipamento de respiração. Um levantamento feito com um grupo de mergulhadores encontrou a 
média de 4,4 minutos, com um desvio padrão de 3 minutos. Qual é nesse grupo a probabilidade de 
um mergulhador ficar submerso entre 6,8 e 8,09 minutos? 
 10,26% 
 
43) Os gastos mensais de um restaurante com bebidas, segundo uma distribuição normal, são 
expressos por NB~(12.400 , 4.440.000) e os gastos com comida, segundo uma distribuição normal, 
são expressos por NC ~ (32.200 , 2.110.000). Qual é a probabilidade da despesa total com esses 
itens ser 
a) menor do que 37.000 reais? 
b) compreendida entre 35.000 e 38.000 reais? 
c) superior a 42.000 reais? 
 a) 0,15% b) 0,47% c) 84,61% 
 
44) O tempo de recarga, sob as condições normais, de uma bateria de um laptop é distribuído 
normalmente, com média de 260 minutos e um desvio-padrão de 50 minutos. 
a) Qual é a probabilidade de a bateria durar mais de 4 horas? 
b) Qual é o primeiro e o terceiro quartil da vida da bateria? 
c) Qual é o valor da vida, em minutos, que é excedido com 95% de probabilidade? 
 a) 65,46% b) QK = 226,50 minutos QX = 293,50 minutos c) 177,50 minutos