1c17, 1c27 e 1c37 Geometria Plana-Liana-Primeiro Ano -EM-Vespertino-2015

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singular
Geometria Plana
1º EM - Vespertino
2015
Professora: Liana
ÍNDICE
Revisão – Área das Figuras Planas: Quadrado,Retângulo,Paralelogramo,Losango,Triângulo,Trapézio e Círculo
1 – Ângulos
1.1 – Definição
1.2 – Ângulo agudo
1.3 – Ângulo obtuso
1.4 – Ângulos opostos pelo vértice
1.5 – Ângulos suplementares
1.6 – Ângulos complementares
1.7 – Ângulos formados por duas retas paralelas interceptadas por uma transversal
2 – Triângulos
2.1 – Definição
2.2 – Elementos
2.3 – Classificação
2.4 – Soma dos ângulos de um triângulo
2.5 – Ângulo externo
2.6 – Teorema do ângulo externo
2.7 – Bissetriz de um ângulo
2.8 – Altura
3 – Congruência de triângulos
3.1 – Definição
3.2– Casos de congruência
4 – Polígonos
4.1 – Definição
4.2 – Nomenclatura
4.3 – Polígono Convexo
4.4 – Ângulos de um polígono convexo
4.5 – Ângulos internos
4.6 – Ângulos externos
4.7 – Polígono regular
4.8 – Ângulos num polígono regular
5 – Ângulos na circunferência
5.1 – Ângulo central
5.2 – Ângulo inscrito
5.3 – Ângulo de vértice interno
5.4 – Ângulo de vértice externo
5.5 – Ângulo de segmento
6 – Quadriláteros
6.1 – Definição e elementos
6.2 – Soma de ângulos interno
6.3 – Classificação
6.3.1– Paralelogramo
6.3.2– Trapézio
7 – Segmentos e Pontos Notáveis no Triângulo
7.1 – Mediana de um Triângulo
7.2 – Bissetriz
7.3 – Altura
7.4 – Mediatriz
7.5 – Teorema de Tales
7.6 – Teorema da bissetriz interna
7.7 – Teorema da bissetriz externa
8 – Semelhança de triângulos
 8.1 – Definição
 8.2 – Razão de semelhança
9 – Relações Métricas no Triângulo Retângulo
Revisão – Área das figuras planas
a) Quadrado
O
)
C
)
b) Retângulo
B
A
)
)
)
+
=
e
C
)
c) Círculo
º
180
C
B
A
=
+
+
)
)
)
º
d) Paralelogramo
ï
ï
þ
ï
ï
ý
ü
º
º
º
'
C
C
'
C
'
B
BC
'
B
B
)
)
)
)
Þ
ALA
e) Losango
'
C
'
B
'
A
ABC
D
º
D
Þ
f) Trapézio
ï
ï
î
ï
ï
í
ì
º
º
º
'
C
'
A
AC
'
A
A
'
B
'
A
AB
)
)
ï
ï
þ
ï
ï
ý
ü
º
º
º
'
C
'
A
AC
'
A
A
'
B
'
A
AB
)
)
g) Triângulo
Þ
LAL
'
C
'
B
'
A
ABC
D
º
D
R1) Determine a área dos polígonos nos casos abaixo, sendo o metro a unidade das medidas indicadas.
a) quadrado
b) retângulo
c) paralelogramo
Þ
ï
ï
î
ï
ï
í
ì
º
º
º
'
C
C
'
C
'
B
BC
'
B
B
)
)
)
)
'
'
'
C
B
A
ABC
D
º
D
Û
ï
ï
î
ï
ï
í
ì
º
º
º
'
'
'
'
'
'
C
B
BC
C
A
AC
B
A
AB
'
ˆ
ˆ
'
ˆ
ˆ
'
ˆ
ˆ
C
C
B
B
A
A
º
º
º
2
)
3
n
.(
n
-
n
º
360
a
e
=
n
S
i
Þ
n
º
180
)
2
n
(
a
i
×
-
=
º
d) losango
e) quadrado
f) losango
A
Microsoft Equation 
3.0
a
A
)
B
)
A
Microsoft Equation 
3.0
a
A
g) trapézio
h) paralelogramo
i) 
Microsoft Equation 
3.0
a
A
Microsoft Equation 
3.0
a
A
Microsoft Equation 
3.0
a
C
)
D
)
{
j)
k)
l)
BC
CD
DA
A
)
B
)
C
)
D
)
AC
BD
A
Microsoft Equation 
3.0
a
A
)
B
)
R2) A área de um retângulo é de 40cm2 e sua base excede em 6cm sua altura. Determine a altura do retângulo.
R3) Um retângulo tem 24cm2 de área e 20cm de perímetro. Determine suas dimensões.
R4) Abase de um retângulo é o dobro de sua altura. Determine suas dimensões, sendo 72cm2 sua área.
R5 ) As bases de um trapézio isósceles medem, respectivamente, 4cm e 12cm. Determine a área desse trapézio, sabendo-se que o semiperímetro do trapézio é igual a 13cm.
R6) Uma das bases de um trapézio excede a outra em 4cm. Determine as medidas dessas bases, sendo 40cm2 a área do trapézio e 5cm a altura.
R7) Determine o lado de um quadrado, sabendo-se que, se aumentarmos seu lado em 2cm sua área aumenta 36cm2.
R8) Determine a área do círculo e o comprimento da circunferência nos casos:
a)
b)
c)
A
Microsoft Equation 
3.0
a
A
Microsoft Equation 
3.0
1 – Ângulos
1.1 – Definição
Ângulo é o nome que se dá à abertura formada por duas semi-retas que partem de um mesmo ponto.
Em que:
OA
e
OB
 são os lados do ângulo
“O” é o vértice do ângulo.
Ângulos importantes:
	
	Medida
	Ângulo
	Figura
	Graus
	Radianos
	Reto
	a
	90º
	π/2 rad
	Raso
	
	180º
	π rad
	de uma volta
	
	360º
	2π rad
Observação: 
1º = 60’ (1 grau = 60 minutos)
1’ = 60” (1 minuto = 60 segundos)
1) Simplifique as seguintes medidas:
a) 30º70’=
b) 110º58’300” =
c) 45º150’ =
d) 30º56’240” =
e) 65º39’123” =
2) Determine as somas:
a) 30º40’ + 15º35’ =
b) 10º30’45” + 15º29’20” =
3) Determine as diferenças:
a) 20º50’45” – 5º45’30” =
b) 31º40’ – 20º45’ =
c) 90º15’20” – 45º30’50” =
d) 90º - 50º30’45” =
4) Determine os produtos:
a) 2 x (10º35’45”) =
b) 5 x (6º15’30”) =
5) Determine as divisões:
a) (46º48’54”) ÷ 2 =
b) (31º32’45”) ÷ 3 =
c) (52º63’45”) ÷ 5 =
1.2 – Ângulo agudo
É aquele cuja medida é menor que a de um ângulo reto.
1.3 – Ângulo obtuso
É aquele cuja medida é maior que a de um ângulo reto e menor que a de um raso.
1.4 – Ângulos opostos pelo vértice
São aqueles cujos lados de um são semi-retas opostas dos lados do outro.
1.5 – Ângulos suplementares
Dois ângulos são suplementares quando a soma de suas medidas é 180º.
1.6 – Ângulos complementares
Dois ângulos são complementares quando a soma de suas medidas é 90º.
6) Determine o valor de x nos casos:
a)
b)
c)
d)
A
e)
7) Determine o valor de x nos casos:
a)
Microsoft Equation 
3.0
b) 
8) Calcule o complemento dos seguintes ângulos:
a) 25°
b) 47°
9) Calcule o suplemento dos seguintes ângulos:
a) 72°
b) 141°
10) Dado um ângulo de medida x, indique:
a) Seu complemento;
f) A sétima parte do complemento;
b) Seu suplemento;
g) A quinta parte do suplemento;
c) O dobro do seu complemento;
h) O complemento da sua terça parte;
d) A metade do seu suplemento;
i) O triplo do suplemento da sua quinta parte.
e) O triplo do seu suplemento;
11) Dê a medida do ângulo que vale o dobro do seu complemento.
12) Determine a medida do ângulo igual ao triplo do seu complemento.
13) Calcule o ângulo que vale ao quádruplo do seu complemento.
14) Calcule um ângulo, sabendo que um quarto do seu suplemento vale 36°.
15) Qual é o ângulo que excede o seu complemento em 76°?
16) O triplo do complemento de um ângulo, aumentado em 50°, é igual ao suplemento do ângulo. Determine a medida do ângulo.
17) Determine as medidas de dois ângulos suplementares, sabendo que o dobro de um deles, somado com a sétima parte do outro, resulta em 100°.
18) A soma de um ângulo com a terça parte do seu complemento resulta em 46°. Determine o suplemento desse ângulo.
1.7 – Ângulos formados por duas retas paralelas interceptadas por uma transversal
Duas retas paralelas r e s, interceptadas por uma transversal, determinam oito ângulos, assim denominados:
· Propriedades
19) Determine o valor de x e y, sendo r // s.
a
20) Calcule o valor de x, sendo r // s.
21) Se r // s, calcule α.
C
)
22) Na figura abaixo, as retas r e s são paralelas. Calcule α.
D
)
23) Na figura, calcule a medida do ângulo α, sendo r // s.
A
)
24) Na figura, 
AB
 é paralelo a 
CD
. Sendo C
D
ˆ
B = 150º e A
B
ˆ
C = 25º, calcule C
B
ˆ
D.
B
)
2 – Triângulos
 2.1 – Definição
Dados três pontos A, B, C não colineares, a reunião dos segmentos, 
AC
e 
BC
chama-se triângulo ABC.
Indicação: Triângulo ABC = ΔABC = 
BC
AC
AB
U
U
2.2 – Elementos
Vértices: os pontos A, B e C são vértices do ΔABC.
Lados: os segmentos (de medida c), 
AC
 (de medida b) e 
BC
 (de medida a) são os lados do triângulo.
Ângulos: os ângulos 
C
A
B
)
ou 
A
)
, 
C
B
A
)
ou 
B
)
e 
B
C
A
)
ou 
C
)
 são os ângulos do ΔABC (ou ângulos internos do ΔABC).
Diz-se que os lados 
BC
, 
AC
 e e os ângulos 
A
)
, 
B
)
 e 
C
)
 são, respectivamente, opostos.
2.3 – Classificação
Quanto aos lados, os triângulos se classificam em:
Eqüiláteros se, e somente se, têm os três lados congruentes;
Isósceles se, e somente se, têm doislados congruentes;
Escalenos se, e somente se, dois quaisquer lados não são congruentes.
Um triângulo com dois lados congruentes é isósceles; o outro lado é chamado base e o ângulo oposto à base é o ângulo do vértice.
Notemos que todo triângulo eqüilátero é também triângulo isósceles.
Quanto os ângulos, os triângulos se classificam em:
Retângulos se, e somente se, têm um ângulo reto;
Acutângulos se, e somente se, têm os três ângulos agudos;
Obtusângulos se, e somente se, têm um ângulo obtuso.
O lado oposto ao ângulo reto de um triângulo retângulo é sua hipotenusa e os outros dois lados são os catetos do triângulo.
2.4 – Soma dos ângulos de um triângulo
A soma dos ângulos de qualquer triângulo é igual a dois ângulos retos.
2.5 – Ângulo externo
Dado um ΔABC e sendo 
CX
 a semi-reta oposta à semi-reta 
CB
, o ângulo 
X
C
A
)
)
=
e
é o ângulo externo do ΔABC adjacente a 
C
)
e não aos ângulos 
A
)
 e 
B
)
.
2.6 – Teorema do ângulo externo
Em todo triângulo, qualquer ângulo externo é igual à soma dos dois ângulos internos não adjacentes a ele.
25) No triângulo ABC, calcule a(s) incógnita(s):
C
)
D
)
a)
b) 
AC
AB
º
c) 
26) Calcule x no triângulo ABC da figura:
27) Na figura, o triângulo ABC é isósceles de base 
BC
. Calcule o valor de x.
28) Calcule x e y indicados na figura abaixo:
A
2.7 – Bissetriz de um ângulo
Bissetriz de um ângulo é uma semi-reta de origem no vértice do ângulo que o divide em dois ângulos congruentes.
2.8 – Altura
Altura de um triângulo é o segmento que liga um vértice a um ponto da reta suporte do lado oposto e é perpendicular a esse lado.
Na figura 
AH
é uma altura do ΔABC.
29) A figura mostra um triângulo ABC, isósceles, de base 
BC
. Sendo 
BD
bissetriz de A
B
ˆ
C e 
CD
 bissetriz de A
C
ˆ
B, calcule o valor de x.
Microsoft Equation 
3.0
30) Se 
AH
é a altura relativa ao lado 
BC
 do ΔABC, determine 
B
ˆ
e 
C
ˆ
.
31) No triângulo ABC da figura, se 
AH
 é altura e 
BS
 é bissetriz, determine B
S
ˆ
C.
Dados: B
A
ˆ
H = 30º e A
C
ˆ
B = 40º.
a
32) Da figura, sabemos que 
AH
 é a altura e 
AS
 é a bissetriz relativas a 
BC
 do triângulo ABC. Se 
B
ˆ
=70º e H
A
ˆ
S = 15º, determine 
C
ˆ
.
33) Na figura, calcule o valor de x.
34) Na figura, calcule o valor de x.
35) Na figura, determine o valor de x, β e γ.
36) No triângulo ABC da figura abaixo, 
B
ˆ
= 60º e 
C
ˆ
=20º. Qual o valor do ângulo H
A
ˆ
S formado pela altura 
AH
 e a bissetriz 
AS
?
A
3– Congruência de triângulos 
3.1 – Definição
Um triângulo é congruente (símbolo
º
) a outro se, e somente se, é possível estabelecer uma correspondência entre seus vértices de modo que:
· Seus lados são ordenadamente congruentes aos lados do outro e
· Seus ângulos são ordenadamente congruentes aos ângulos do outro.
A congruência entre triângulos é reflexiva, simétrica e transitiva.
Microsoft Equation 
3.0
3.2– Casos de congruência
A definição de congruência de triângulos dá todas as condições que devem ser satisfeitas para que dois triângulos sejam congruentes. Essas condições (seis congruências: três entre lados e três entre ângulos) são totais. Existem condições mínimas para que dois triângulos sejam congruentes. São os chamados casos ou critérios de congruência.
1º Caso – LAL – postulado
a
2º Caso – ALA
3º Caso – LLL 
4º Caso – LAAO
Caso especial:
37) Considere os triângulos T1, T2, ..., etc, abaixo. Assinale os pares de triângulos congruentes e indique o caso de congruência:
A
Microsoft Equation 
3.0
a
A
Microsoft Equation 
3.0
a
A
Microsoft Equation 
3.0
a
MC
AM
º
MB
DM
º
C
A
ˆ
ˆ
º
D
B
ˆ
ˆ
º
DC
AB
º
AD
BC
º
CD
//
AB
AB
CD
DH
ï
ï
î
ï
ï
í
ì
=
=
Þ
1
1
AM
3
1
GM
1
AM
3
2
AG
'
'
'
~
C
B
A
ABC
D
D
Û
'
ˆ
ˆ
'
ˆ
ˆ
'
ˆ
ˆ
C
C
B
B
A
A
º
º
º
'
C
'
B
BC
'
C
'
A
AC
'
B
'
A
AB
=
=
38) Nos casos a), b) e c) abaixo, selecione os triângulos congruentes e indique o caso de congruência:
a) 
39) Determine o valor da incógnita (segmentos com “marcas iguais” são congruentes).
a) 
b)
c)
b) AB = AC
e)
f)
4 – Polígonos
4.1 – Definição
Seja (P1, P2, ..., Pn) um conjunto ordenado de n pontos de um plano, 
3
n
³
, de modo que três pontos consecutivos quaisquer, P1P2P3, P2P3P4, ..., Pn-1PnP1 e PnP1P2 sejam não-colineares, e considere os segmentos 
2
1
P
P
, 
3
2
P
P
, ...
n
1
n
P
P
-
 e 
1
n
P
P
.
Chama-se polígono P1P2...Pn à união dos segmentos e 
2
1
P
P
, 
3
2
P
P
, ...
n
1
n
P
P
-
 e 
1
n
P
P
 os quais são chamados de lados do polígono, enquanto os pontos são os vértices do polígono.
Assim, cada figura abaixo representa um polígono, e cada um deles corresponde a um conjunto ordenado de cinco pontos (P1, P2, P3, P4, P5).
Um polígono é também chamado de contorno poligonal fechado.
Dois lados de um polígono são consecutivos quando têm uma extremidade comum. Por exemplo: P1 P2 e P2P3, ou P1P2 e PnP1.
Um polígono é simples, se quaisquer dos lados não-consecutivos não se interceptam.
Assim, as figuras 1 e 2 representam polígonos simples.
A figura 3 não representa um polígono simples. Esse tipo de polígono é chamado de polígono estrelado ou polígono entrelaçado.
O nosso estudo limita-se apenas aos polígonos simples, que serão daqui por diante chamados simplismente de polígonos.
Num polígono, o número de vértices é igual ao número de lados.
Perímetro é a soma das medidas dos lados do polígono.
4.2 – Nomenclatura
De acordo com o número de lados, alguns polígonos recebem nomes especiais.
	3
	Triângulo
	4
	Quadrilátero
	5
	Pentágono
	6
	Hexágono
	7
	Heptágono
	8
	Octógono
	9
	Eneágono
	10
	Decágono
	11
	Undecágono
	12
	Dodecágono
	13
	Tridecágono
	20
	Icoságono
4.3 – Polígono Convexo
Um polígono é convexo se sua região poligonal é um conjunto convexo de pontos, ou seja, o segmento que liga dois pontos quaisquer desse conjunto está contido nele.
Assim o polígono ABCDE da figura é um polígono convexo.
Caso contrário, é chamado de não-convexo. Assim, o polígono FGHLM é um polígono não-convexo.
4.4 – Ângulos de um polígono convexo
· Ângulo interno de um polígono é convexo é um ângulo formado por dois lados consecutivos do polígono.
· Ângulo externo de um polígono convexo é um ângulo adjacente a um ângulo interno desse polígono.
Na figura, o ângulo ADC é um ângulo interno, e o ângulo CDE é um ângulo externo do quadrilátero ABCD.
Decorre dessas definições que 
º
180
E
D
C
C
D
A
=
+
)
)
.
4.5 – Ângulos internos
A soma das medidas dos ângulos internos de um polígono convexo de n lados é 
(
)
º
180
2
n
×
-
.
Unindo um dos vértices aos outros n – 3, convenientemente escolhidos, obteremos n – 2 triângulos. A soma das medidas dos ângulos internos do polígono é igual a soma das medidas dso ângulos internos dos n – 2 triângulos.
Portanto:
Assim, um quadrilátero é decomposto em 2 triângulos, um pentágono, em três triângulos, e assim por diante.
4.6 – Ângulos externos
Em todo polígono convexo, tomando-se um ângulo externo para cada vértice, a soma de suas medidas é 360º.
Como cada ângulo externo é suplementar do ângulo interno adjacente, a soma dos ângulos internos com os ângulos externos dá 180º. n . Subtraindo a soma dos ângulos internos, que é (n – 2) . 180º , resulta que a soma dos ângulos externos é 2 . 180º, ou seja, 360º.
Conclusão: 
4.7 – Polígono regular
Um polígono é equilátero se possui os lados congruentes entre si, e equiângulo, se possui os ângulos congruentes entre si.
Assim, o quadrilátero da figura 1 é equilátero e o da figura 2 é equiângulo.
 
Um polígono convexo é regular se ele é equilátero e equiângulo.
Observação:
Num polígono regular existe um ponto que dista igualmente dos vértices; ele é chamado centro do polígono.
4.8 – Ângulos num polígono regular
· Ângulo interno
Um polígono regular é equiângulo. Sendo ai a medida de um ângulointerno, como ele é suplementar do ângulo externo, temos:
· Ângulo externo
Os ângulos externos têm medidas iguais. Sendo ae a medida de um ângulo externo, temos:
· Diagonal
A diagonal de um polígono é um segmento cujas extremidades são vértices não-consecutivos desse polígono.
Nas figuras abaixo, os segmentos 
AD
 e 
CE
são diagonais dos polígonos ABCDE.
· Número de diagonais
Na figura, tem-se um polígono de 7 lados e suas 14 diagonais.
Nota:
Nessa fórmula, o número (n-3) representa o número de diagonais que partem de um vértice.
40) Um polígono regular possui a partir de um de seus vértices tantas diagonais quantas são as diagonais de um hexágono. Ache:
a) O polígono;
b) O total de diagonais;
c) A soma dos ângulos internos;
d) A soma dos ângulos externos;
e) A medida de cada ângulo interno e de cada ângulo externo.
41) Calcule a soma dos ângulos internos de um eneágono.
42) Calcule a soma dos ângulos internos de um decágono.
43) Calcule a soma dos ângulos internos de um icoságono.
44) Qual é o polígono cuja soma dos ângulos internos vale 1800º?
45) Calcule o número de diagonais de um decágono.
46) Calcule o número de diagonais de um icoságono.
47) Determine o polígono cujo número de diagonais é o triplo do número de lados.
48) Determine o polígono cujo número de diagonais é o quádruplo do número de lados.
49) Determine o polígono que tem 9 diagonais distintas.
5 – Ângulos na circunferência
5.1 – Ângulo central
É todo ângulo cujo vértice coincide com o centro da circunferência. 
5.2 – Ângulo inscrito
É todo ângulo cujo vértice pertence à circunferência e os lados são cordas.
Observação:
Todo ângulo inscrito numa semicircunferência é reto.
5.3 – Ângulo de vértice interno
5.4 – Ângulo de vértice externo
5.5 – Ângulo de segmento
50) Nas figuras, calcule o valor de x:
a) 
b)
51) Determine o valor do ângulo x nos casos:
a) 
b)
c)
d) 
e)
f)
52) Calcule x nas figuras:
a) 
b)
c)
53) Na figura, o arco CMD é igual a 100° e o arco ANB mede 30°. Calcule o valor de x.
54) Na figura, sendo ABC = 260°, calcule o valor de α.
6 – Quadriláteros
6.1 – Definição e elementos
Quadrilátero é o polígono de quatro lados. 
6.2 – Soma de ângulos internos
A soma das medidas dos ângulos internos de um quadrilátero é 360º.
6.3 – Classificação
Os quadriláteros podem ser classificados como: paralelogramo, trapézio ou quadrilátero qualquer.
6.3.1 – Paralelogramo
É o quadrilátero cujos lados opostos são paralelos.
Valem as seguintes propriedades:
1ª) Os lados opostos de um paralelogramo são congruentes.
2ª) Os ângulos opostos são congruentes.
3ª) As diagonais cortam-se no ponto médio.
Paralelogramos notáveis
	
	Retângulo
	Losango
	Quadrado
	Figura
	
	B
A C
D
DA
CD
BC
AB
º
º
º
	
e
DA
CD
BC
AB
º
º
º
	Definição
	É o paralelogramo que tem os quatro ângulos congruentes e de medida igual a 90º.
	É o paralelogramo que tem os quatro lados congruentes entre si.
	É o paralelogramo que tem os quatro lados e os quatro ângulos congruentes entre si.
	Propriedade
	As diagonais são congruentes.
	As diagonais cortam-se perpendicularmente e são bissetrizes dos ângulos de seus vértices.
	As diagonais são congruentes, cortam-se perpendicularmente e são bissetrizes dos ângulos de seus vértices. 
6.3.2 – Trapézio
É o quadrilátero em que apenas dois lados são paralelos entre si.
Propriedade:
	
	Escaleno
	Isósceles
	Retângulo
	Figura
	
	
BC
AD
º
	
AB
AD
^
CD
AD
^
	Propriedade
	Possui o par de lados opostos não-paralelos não congruentes entre si.
	Os lados não-paralelos são congruentes entre si.
	Um doa lados opostos não-paralelos é perpendicular às bases.
55) Determine a base e a altura de um retângulo, sabendo que o perímetro vale 288 metros e que a base excede em 4m o triplo da altura.
56) Em um trapézio retângulo, a bissetriz de um ângulo reto forma com a bissetriz de ângulo agudo do trapézio um ângulo de 110°. Determine o maior ângulo do trapézio.
57) A soma de dois ângulos opostos de um paralelogramo é igual a 
13
5
 da soma dos outros dois ângulos opostos. Determine-os.
58) A diagonal de um losango forma com um dos seus lados um ângulo igual a terça parte de um reto. Determine os quatro ângulos do losango.
59) Calcule os lados de um paralelogramo, sabendo-se que o seu perímetro mede 84m e que a soma dos lados menores representa 
5
2
da soma dos lados maiores.
60) Determine as medidas dos ângulos de um paralelogramo, sabendo que a diferença entre dois consecutivos é igual a 
9
1
da soma dos seus ângulos.
61) A bissetriz de um ângulo obtuso do losango faz com um dos lados um ângulo de 55º. Determine o valor dos ângulos agudos.
62) A base maior de im trapézio isósceles mede 12cm e a base menor 8cm. Calcule o comprimento dos lados não paralelos, sabendo-se que o perimetro é de 40cm.
63) Calcule os lados de um retângulo cujo perímetro mede 40cm, sabendo-se que a base excede a altura em 4cm.
7-Segmentos e Pontos Notáveis no Triângulo
7.1 – Mediana de um triângulo
Mediana de um triângulo é um segmento de reta que liga um vértice ao ponto médio do lado oposto.
Na figura, 
AM
é uma mediana do ΔABC.
Um triângulo tem três medianas. 
As três medianas cruzam-se num ponto G, denominando baricentro do triângulo.
7.2 – Bissetriz
 A bissetriz do ângulo 
A
ˆ
 intercepta o lado oposto no ponto D. O segmento 
AD
 denomina-se bissetriz interna relativa ao vértice A.
As três bissetrizes de um ângulo cruzam-se num mesmo ponto I, denominado de centro do triângulo.
O ponto I é o centro da circunferência inscrita no triângulo.
7.3 – Altura
Altura de um triângulo é o segmento que liga um vértice a um ponto da reta suporte do lado oposto e é perpendicular a esse lado.
Na figura 
AH
é uma altura do ΔABC.
Um triângulo tem três alturas e o ponto de encontro das alturas é o ortocentro.
7.4 – Mediatriz
Mediatriz de um segmento de reta é a reta perpendicular a esse segmento pelo seu ponto médio.
Na figura, a reta m é a mediatriz de 
AB
.
Mediatriz de um triângulo é a reta perpendicular a um lado do triângulo, traçada pelo seu ponto médio.
Na figura, a reta m é a mediatriz do lado 
BC
 do ΔABC.
Um triângulo tem três mediatrizes.
O centro da circunferência circunscrita a um triângulo é o circuncentro, isto é, o ponto de encontro das mediatrizes.
64) Sendo G o baricentro do triângulo ABC, determine x, y, z.
65) Se o quadrilátero ABCD é um paralelogramo e M é o ponto médio de 
AB
, determine x.
D C
66) Sendo H o ortocentro de um triângulo ABC e B
H
ˆ
C = 150º, determine Â.
67) Sendo H o ortocentro de um triângulo isósceles ABC de base 
BC
 e B
H
ˆ
C = 50º, determine os ângulos do triângulo.
68) Se P é o incentro de um triângulo ABC e B
P
ˆ
C = 125º, determine Â.
69) Sendo o ΔABC retângulo em A e M o ponto médio de 
BC
, calcule x e y.
a) 
b)
c) 
d)
70) Na figura, Q é o ponto médio de 
AB
. 
QP
é paralelo a 
BC
. Sendo 
AC
= 30cm, determine 
PO
.
71) Na figura, ABCD é retângulo, M é o ponto mádio de
CD
e o triângulo ABM é equilátero. Sendo 
AB
= 15, calcule 
AP
.
7.5 – Teorema de Tales
Um feixe da paralelas determina, em duas transversais quaisquer, segmentos que são proporcionais.
Þ
72) Determine o valor de x em cada caso abaixo, sendo r, s, e t retas paralelas:
a) 
b)
c) 
d)
73) Nas figuras, as retas r, s, e t são paralelas. Determine os valores de x e y.
a)
b)
c)
74) Na figura, 
MN
é paralela à base 
BC
do triângulo ABC. Calcule o valor de x.
75) Um feixe de 4 paralelas determina sobre uma transversal três segmentos que medem 5cm, 6cm e 9cm, respectivamente. Determine os comprimentos dos seguimentos que esse mesmo feixe determina sobre uma outra transversal, sabendo que o seguimento compreendido entre a primeira e a quarta paralela mede 60cm.
7.6 – Teorema da bissetriz interna
Considereo ΔABC e a bissetriz interna ao vértice A.
Da figura, temos: 
A bissetriz do ângulo interno de um triângulo determina sobre o lado oposto dois segmentos proporcionais aos outros dois lados.
76) Se 
AS
é a bissetriz de Â, calcule x nos casos:
a)
b)
c)
 7.7-Teorema da bissetriz externa
77) Se 
AP
é bissetriz do ângulo externo em A, determine x.
a)
b)
78) Na figura, 
AD
é bissetriz externa do ângulo Â. Calcule x.
8-Semelhança de triângulos
8.1-Definição
Dois triângulos são semelhantes se, e somente se,possuem os três ângulos ordenadamente congruentes e os lados homólogos proporcionais. 
~:Semelhante
Dois lados homólogos (homo = mesmo,logos = lugar)são tais que um deles está em um dos triângulos e ambos são opostos a ângulos congruentes.
8.2 – Razão de semelhança
Sendo k a razão entre os lados homólogos, 
'
C
'
B
BC
'
C
'
A
AC
'
B
'
A
AB
=
=
= k, é chamado razão de semelhança de triângulos.
Se k = 1, os triângulos são congruentes.
79) Os triângulos ABC e PQR são semelhantes. Determine x e y.
80) Se o ΔKLM é semelhante as ΔFGH, determine x.
81) Se 
DE
é paralelo a 
BC
, determine x nos casos:
a)
b) x = 
AD
82) Se α = β, determine x e y nos casos:
a)
b)
83) Determine x e y nos casos:
a)
b)
84) Na figura abaixo, determine o valor de x.
85) Nas figuras, determine x.
a)
b)
86) Dada a figura, determine o valor de x.
87) Na figura abaixo, consideremos os quadrados de lados x, 6 e 9. Determine o perímetro do quadrado de lado x.
88) Determinar a medida do lado do quadrado da figura abaixo:
9-Relações Métricas no Triângulo Retângulo
89) Complete durante a aula:
a) x.y = 
b) u.v = 
c) y2 =
d) v.z =
e) x2+y2 =
90)Na figura, o triângulo ABC é retângulo em A. A alternativa correta é:
a) h = 36; x = 45 e y = 60
b) h = 1,2; x = 1,5 e y = 2
c) h = 12; x = 15 e y = 20
d) h = 3,6; x = 4,5 e y = 6
e) h = 10; x = 8 e y = 6
91)(MAUÁ) No ΔABC retângulo em A, o cateto 
AB
 vale 5m. Sua projeção 
BH
 sobre a hipotenusa vale 
13
25
m. Calcular o valor da hipotenusa 
BC
 e do cateto 
AC
.
92)(PUC) Na figura abaixo, os segmentos são medidos em m. O seguimento de x vale:
a) 11m
b) 105m
c) impossível, pois 43 não tem raiz exata
d) 7m
e) n.d.a.
93)(PUC) Sabendo-se que o triângulo ABC é retângulo e 
AH
= h é a medida da altura do triângulo, quais das relações são válidas:
a) x = b.c
b) x2 = h.c
c) x2 = b.d
d) x2 = b.c
e) n.d.a.
Geometria Plana – Gabarito
R1)
a) 36m2
b) 40m2
c) 18m2
d) 24m2
e) 32m2
f) 40m2
g) 40m2
h) 12m2
i) 18m2
j) 15m2
k) 21m2
l) 24m2
R2)
4cm
R3)
4cm, 6cm
R4)
12cm, 6cm
R5)
24m2
R6)
10cm, 6cm
R7)
8cm
R8)
a) 25π m2, 10π m
b) 36π m2, 12π m
c) 
4
d
2
p
, πd
1) 
a) 31º 10’
b) 111º3’
c) 47º30’
d) 31º
e)65º41’3’’
2)
a) 46º 15’
b) 26º 5’
3)
a) 15º 5’ 
b) 10º 55’
c) 44º 44’ 30”
d) 39º 29’ 15”
4)
a) 21º 11’ 30”
b) 31º 17’ 30”
5)
a) 23º 24’ 27”
b) 10º 30’ 55”
c) 10º 36’ 45”
6)
a) 20º
b) 55º
c) 60º
d) 23º
e) 25º
7)
a) 25º
b) 30º
8)
a) 65º
b) 43º
9)
a) 108º
b) 39º
10)
Em classe
11)
60º
12) 
67º 30’
13)
72º
14)
36º
15)
83º
16)
70º
17)
40º e 140º
18)
156º
19)
x = 10º e y = 150º
20)
72º
21)
100º
22)
52º
23)
100º
24)
5º
25)
a) 110º
b) 55º,70º
c) 70º
26)
15º
27)
65º
28)
x = 70º e y = 125º
29)
130º
30)
B
ˆ
 = 70º e 
C
ˆ
 = 40º
31)
110º
32)
40º
33)
80º
34)
70º
35)
x = 40º, β = 50º, γ = 40º
36)
20º
37)
Em classe
38)
a) Não há caso de congruência
b) I = III (ALA)
c) I = III (Caso especial)
39)
a) 30º
b) 55º
c) 80º
d) 36º
e) 105º
f) 25º
40)
Em classe
41)
1260º
42)
1440º
43)
3240º
44)
Dodecágono (12 lados)
45)
35
46)
170
47)
Eneágono (9 lados)
48)
Undecágono (11 lados)
49)
Hexágono (6 lados)
50)
a) 35º
b) 10º
51)
a) 35º
b) 100º
c) 60º
d) 25º
e) 50º
f) 20º
52)
a) 80º
b) 90º
c) 52º
53)
35º
54)
80º
55)
109cm e 35cm
56)
130º
57)
50º, 130º, 50º, 130º
58)
60º, 120º, 60º, 120º
59)
30m e 12m
60)
70º, 110º, 70º, 110º
61)
70º, 110º, 70º, 110º 
62)
10cm
63)
12cm e 8cm
64)
x = 7, y = 12, z = 5
65)
Trace a diagonal 
BD
e P é o baricentro do triângulo ABD, x = 8
66)
30º
67)
25º, 25º, 130º
68)
70º
69)
a) x = 40º e y = 20º
b) x = 4º e y = 36º
c) x = 30º e y = 15º
d) x=50º e y=70º
70)
Em classe
71)
10, note que P é baricentro do triângulo ACD
72)
a) 3
b) 12
c) 15
d) 6
73)
a) x = 10/3
b) x = 25/6
c) x = 10/3 e y = 18/5
74)
25
75)
x = 15cm, y = 18cm e z = 27cm
76)
a) 4
b) 15
c) 20/3
77)
a) 12
b) 4
78)
8
79)
16, 14
80)
28
81)
a) 12
b) 40
82)
a) 9, 32/3
b) 7, 10
83)
a) 6, 10/3
b) 15/2, 5
84)
4
85)
a) 8/3
b) 21
86)
45/4
87)
16
88)
12/5
89)
Em classe
90)
a) 12
b) 7
c) 2
11
91)
C
92)
BC = 13m
AC = 12m
93)
D
94)
D
Indica-se:
A� EMBED Equation.3 ���B ou α
O .
.
.
B
α
A
.
O
A
B
.
.
.
.
.
.
A
B
O
A
B
.
.
O
α
α
β
α
θ
γ
α e γ são opostos pelo vértice
β e θ são opostos pelo vértice
Dois ângulos opostos pelo vértice têm medidas iguais, ou seja, são congruentes.
β
α
α + β = 180º
α + β = 90º
β
α
.
r
s
t
a
b
c
d
β
α
θ
γ
Ângulos correspondentes: a e α , b e β , c e γ , d e θ ;
Ângulos alternos internos: c e α , d e β ;
Ângulos alternos externos: a e γ , b e θ ;
Ângulos colaterais internos: c e β , d e α ;
Ângulos colaterais externos: a e θ , b e γ .
Ângulos alternos internos são congruentes
Ângulos alternos externos são congruentes
Ângulos correspondentes são congruentes
Ângulos colaterais internos são suplementares
Ângulos colaterais externos são suplementares
x
80°
C
B
A
150°
y
125º
C
B
A
x
e
C
B
e é ângulo externo adjacente a� EMBED Equation.3 ��� � EMBED Equation.3 ���
A
.
X
e
C
B
A
O ângulo ê é o suplementar adjacente de � EMBED Equation.3 ���.
� EMBED Equation.3 ���
C
B
A
ΔRST obtusângulo
ΔABC retângulo em A
ΔDEF acutângulo
T
S
R
F
E
D
.
A
C
B
ΔMNP escaleno
ΔRST isósceles
ΔABC equilátero
P
M
N
T
S
R
C
B
A
B
a
c
b
C
A
α � EMBED Equation.3 ��� β
α
β
Bissetriz
S
H
C
B
A
40°
S
x
30°
H
C
x
20°
60°
S
H
C
B
A
.
F
β
D
.
.
γ
α
130°
.
.
H
.
C
B
A
H
.
C
B
A
.
40°
2x
.
.
40°
x
2
A
Se dois triângulos têm ordenadamente congruentes os três lados, então esses triângulos são congruentes.
C’
B’
A’
C
B
A
Esquemado 2º caso:
� EMBED Equation.3 ���� EMBED Equation.3 ���� EMBED Equation.3 ���� EMBED Equation.3 ���� EMBED Equation.3 ���
Se dois triângulos têm ordenadamente congruentes um lado e os dois ângulos a ele adjacentes, então esses triângulos são congruentes.
Esquemado 1º caso:
� EMBED Equation.3 ���� EMBED Equation.3 ���� EMBED Equation.3 ���� EMBED Equation.3 ���� EMBED Equation.3 ���
Se dois triângulos têm ordenadamente congruentes dois lados e o ângulo compreendido, então esses triângulos são congruentes.
C’
B’
A’
C
B
A
A
B
C
A’
B’
C’
 � EMBED Equation.3 ���� EMBED Equation.3 ���� EMBED Equation.3 ��� e � EMBED Equation.3 ��� 
6
2
T7
1
60°
T8
4
3
70°
T9
80°
20º
5
6
4
T10
3
25º
35º
T11
10
80º
T12
5
20º
P1
P2
P3
P4
P5
P1
P2
P3
P4
P5
P1P2
P3
P4
P5
figura 1
figura 2
figura 3
G
F
E
D
C
B
A
Se um polígono tem n lados, então ele possui � EMBED Equation.3 ��� diagonais
E
D
C
B
A
E
D
C
B
A
� EMBED Equation.3 ���
ai = � EMBED Equation.3 ��� � EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
D
C
B
A
B
A
C
figura 1
C
figura 2
D
A
D
C
B
A
B
Se = 360º
i7
i6
P7
P6
e7
e6
e5
e4
e3
e2
e1
i5
P5
i4
P4
i3
P3
i2
P2
i1
P1
i1
i7
i6
i5
i4
i3
i2
P7
P6
P5
P4
P3
P2
P1
Si = (n – 2) . 180º
D
E
C
B
A
M
L
H
G
F
E
D
C
B
A
A medida de um ângulo central é igual a medida do ângulo que ele enxerga.
α = AB
B
A
α
O .
A medida de um ângulo de segmento é igual a metade da medida do arco por ele determinado.
α = AB
 2
α
.
O
V� EMBED Equation.3 ���B
A
A medida de um ângulo de vértice externo a circunferência é igual a semidiferença das medidas dos arcos determinados pelos seus lados.
α = AB – CD
 2
α
.
V
B
D
C
A
A medida de um ângulo de vértice interno a circunferência é igual a semi-soma das medidas dos arcos determinados pelos seus lados.
α = AB + CD
 2
α
.
V
B
.
O
D
C
A
ΔABC é retângulo
.
.
O
B
A
C
A medida de um ângulo inscrito é igual a metade da medida do arco que ele enxerga.
α = AB
 2
B
A
α
V .
A � EMBED Equation.3 ���� EMBED Equation.3 ���� EMBED Equation.3 ���� EMBED Equation.3 ���� EMBED Equation.3 ���� EMBED Equation.3 ���� EMBED Equation.3 ���� EMBED Equation.3 ���
a
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
B � EMBED Equation.3 ���� EMBED Equation.3 ���� EMBED Equation.3 ���� EMBED Equation.3 ���� EMBED Equation.3 ���� EMBED Equation.3 ���� EMBED Equation.3 ���� EMBED Equation.3 ���
b � EMBED Equation.3 ���� EMBED Equation.3 ���� EMBED Equation.3 ���� EMBED Equation.3 ���� EMBED Equation.3 ���� EMBED Equation.3 ���� EMBED Equation.3 ���� EMBED Equation.3 ���
D � EMBED Equation.3 ���� EMBED Equation.3 ���� EMBED Equation.3 ���� EMBED Equation.3 ���� EMBED Equation.3 ���� EMBED Equation.3 ���� EMBED Equation.3 ���� EMBED Equation.3 ���
C � EMBED Equation.3 ���� EMBED Equation.3 ���� EMBED Equation.3 ���� EMBED Equation.3 ���� EMBED Equation.3 ���� EMBED Equation.3 ���� EMBED Equation.3 ���� EMBED Equation.3 ���
d
c
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
Elementos principais 
� EMBED Equation.3 ���
vértices: são os pontos A, B, C,e D;
 lados: são os segmentos�, � EMBED Equation.3 ���,� EMBED Equation.3 ��� e � EMBED Equation.3 ���;
ângulos internos: são os ângulos � EMBED Equation.3 ���,� EMBED Equation.3 ���,� EMBED Equation.3 ��� e � EMBED Equation.3 ���;
ângulos externos: são os ângulos a, b, c e d;
diagonais: são os segmentos� EMBED Equation.3 ��� e � EMBED Equation.3 ���.
A � EMBED Equation.3 ���� EMBED Equation.3 ���� EMBED Equation.3 ���� EMBED Equation.3 ���� EMBED Equation.3 ���� EMBED Equation.3 ���� EMBED Equation.3 ���� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
B � EMBED Equation.3 ���� EMBED Equation.3 ���� EMBED Equation.3 ���� EMBED Equation.3 ���� EMBED Equation.3 ���� EMBED Equation.3 ���� EMBED Equation.3 ���� EMBED Equation.3 ���
D � EMBED Equation.3 ���� EMBED Equation.3 ���� EMBED Equation.3 ���� EMBED Equation.3 ���� EMBED Equation.3 ���� EMBED Equation.3 ���� EMBED Equation.3 ���� EMBED Equation.3 ���
C � EMBED Equation.3 ���� EMBED Equation.3 ���� EMBED Equation.3 ���� EMBED Equation.3 ���� EMBED Equation.3 ���� EMBED Equation.3 ���� EMBED Equation.3 ���� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���+� EMBED Equation.3 ���+� EMBED Equation.3 ���+� EMBED Equation.3 ���= 360º
D � EMBED Equation.3 ���� EMBED Equation.3 ���� EMBED Equation.3 ���� EMBED Equation.3 ���� EMBED Equation.3 ���� EMBED Equation.3 ���� EMBED Equation.3 ���� EMBED Equation.3 ���
A � EMBED Equation.3 ���� EMBED Equation.3 ���� EMBED Equation.3 ���� EMBED Equation.3 ���� EMBED Equation.3 ���� EMBED Equation.3 ���� EMBED Equation.3 ���� EMBED Equation.3 ���
B � EMBED Equation.3 ���� EMBED Equation.3 ���� EMBED Equation.3 ���� EMBED Equation.3 ���� EMBED Equation.3 ���� EMBED Equation.3 ���� EMBED Equation.3 ���� EMBED Equation.3 ���
M � EMBED Equation.3 ���� EMBED Equation.3 ���� EMBED Equation.3 ���� EMBED Equation.3 ���� EMBED Equation.3 ���� EMBED Equation.3 ���� EMBED Equation.3 ���� EMBED Equation.3 ���
C � EMBED Equation.3 ���� EMBED Equation.3 ���� EMBED Equation.3 ���� EMBED Equation.3 ���� EMBED Equation.3 ���� EMBED Equation.3 ���� EMBED Equation.3 ���� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ��� e � EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ��� e � EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ��� e � EMBED Equation.3 ���
D
C
A
.
.
.
.
B
.
.
D
C
B
A
.
.
.
.
D
A
B
.
H
C
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���é denominado base maior
� EMBED Equation.3 ���é denominado base menor
� EMBED Equation.3 ���é denominado altura
D
A
B
C
N
M
ponto médio
ponto médio
MN = AB + CD
 2
D
A
B
C
D
A
B
C
D
A
B
C
.
.
x + 20°
2x – 10°
40°
2x – 10°
4x + 30°
2x
4x - 25°
x
.
x
30º
.
50º
x
30º
.
x
35°
r
s
70º
4x
3x
y
r
s
40°
112°
x
r
s
30°
110°
α
r
s
A
B
C
3α
100°
2α
r
s
30°
80°
α
50°
A
B
C
D
2x+10º
A
B
C
2x-30º
x+10º
3x
A
B
C
5x
4x
2x
A
B
C
80º
E
B
A
x
55º
y
40º
30º
C
B
A
50°
20°
H
C
B
A
D
80º
C
B
A
x
E
B
A
C
B
C
A’
B’
C’
Se dois triângulos têm ordenadamente congruentes um lado, um ângulo adjacente e o ângulo oposto a esse lado,então esses triângulos são congruentes.
Se dois triângulos retângulos têm ordenadamente congruentes um cateto e a hipotenusa,então esses triângulos são congruentes.
8
3
4
T6
T5
35°
3
T4
10
25°
35°
T3
T2
4
3
35°
8
T1
3
1
2
60°
70°
4
4
6
III
II
I
60º
6
60º
60º
4
6
C
x
B
x
x
A
65º
x
x
100º
25º
x
.
13
5
I
.
II
13
.
III
5
5
13
5
80º
I
45º
II
80º
45º
III
80º
45º
5
5
2x
3x
30º
A
B
D
C
2x
140º
C
B
A
120º
x
50º
x
x
70º
150º
x
110º
100º
165º
65ºx
x
50º
C
B
D
A
B
C
D
A
x
O
32º
x
P
B
136º
A
60º
140º
P
O
x
D
C
C
D
B
A
M
N
x
B
A
O
C
α
P
A
B
C
M
A
B
C
G
M1
M2
M3
AG = 2GM1� EMBED Equation.3 ��� 
A
B
C
D
A
I
B
E
F
D
C
A
B
C
.
H
A
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C
.
H
.
A
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C
O
.
.
.
.
A
B
M
m
A
B
C
M
.
m
A
B
C
O
M
P
N
A
AG = 10
BG = y
CG = 14
6
x
y
z
G
C
B
M
A
B
DP = 16
PM = x
x
P
M
B
C
D
A
P
P
A
Q
B
O
C
C
B
M
A
x
Altura
M
A
C
B
y
x
20º
y
60º
Bissetriz
y/3
C
M
C
B
12
20º
M
x
y
3x
B
A
A
t1
t2
A
B
C
F
E
D
r2
r1
r3
AB = DE
BC EF
r1 // r2 // r3
t1 e t2 são transversais
6
8
t
r
s
t
s
r
x
6
4
8
9
x
x
A
C
B
M
N
10
12
30
6
2x + 3
5x - 1
4
7
t
y
x
3
2
6
s
s
r
t
x
5
4
r
s
r
t
5
x
9
r
s
t
4
6
x
3
4
x
r
s
t
A
B
C
D
BD = AB
DC AC
B
C
A
5
3
4
S
B
x
6
A
x
3
x
8
12
A
C
S
8
6
S
B
C
12
8
6
6
12
12
x
x
P
P
C
C
A
B
B
A
y
 � EMBED Equation.3 ���� EMBED Equation.3 ��� � EMBED Equation.3 ��� e � EMBED Equation.3 ���
C’
B’
A’
C
B
A
4
3
x
D
C
B
A
2
8
10
R
Q
P
20
28
x
B
C
A
K
F
H
G
x
12
18
42
M
L
E
A
D
36
B
E
3
6
D
C
B
A
C
10
x
8
27
x
2
β
8
6
α
12
β
x
y
8
6
8
α
y
4
C
x
B
5
4
6
y
y
α
α
α
α
x
5
5
4
A
10
x
A
8
5
S
R
α
α
B
C
10
17
5
C
15
x
8
α
α
x
4
15
15
10
x
E
D
B
A
C
20
9
6
x
C
6
F
E
D
A
4
B
C
B
b
c
h
x
5
5m
d
12m
5
10
8
6
5
2
6
6
6
2
4
8
5
4
3
10
6
5
8
4
5
5
8
d
A
4
8
C
A
x
13
B
C
B
A
25
13
H
5
9
B
C
16
y
x
h
A
z
v
u
w
x
y
6
5
8
3
5
6
6
A = b.h
 2
h
.
b
A = (B + b) . h 
 2
h
.
B
b
A = D.d
 2
d
D
A = b.h
.
b
h
A = π.r2
r
a
b
A = a.b
a
a
A = a.a = a2
1
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