Sistemas-de-Potência-II-Aula-03

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Graduação em Engenharia Elétrica 
ANÁLISE DE SISTEMAS DE POTÊNCIA II 
CÓDIGO DA DISCIPLINA: ENE006 
PROF. JOÃO ALBERTO PASSOS FILHO 
 
 
Aula Número: 03 
UNIVERSIDADE FEDERAL 
DE JUIZ DE FORA 
2014/01 
Disciplina “Análise de Sistemas de Potência II - ENE006” – Aula Número: 03 – PROF. JOÃO A. PASSOS FILHO – Período: 2014/02 
Ementa da Disciplina 
1.  Considerações Gerais sobre a Disciplina 
2.  Fluxo de Potência: Aspectos Básicos 
3.  Fluxo de Potência Linearizado 
4.  Fluxo de Potência Não-Linear 
5.  Representação de Dispositivos de Controle e Limites 
6.  Fluxo de Potência Continuado 
7.  Fluxo de Potência Ótimo (FPO) 
2 
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Revisão de Circuitos Monofásicos 
•  Equações de potência 
3 
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Revisão de Circuitos Monofásicos 
•  Equações de potência (cont.) 
4 
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Revisão de Circuitos Monofásicos 
•  Equações de potência (cont.) 
5 
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Revisão de Circuitos Monofásicos 
•  Equações de potência (cont.) 
6 
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Revisão de Circuitos Monofásicos 
•  Equações de potência (cont.) 
7 
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Revisão de Circuitos Monofásicos 
•  Uma LT de 230 kV / 225 km parte de uma estação geradora, onde a 
tensão é mantida fixa em 220 kV para atender uma carga de 80 MW em 
200 kV. Nestas condições determine: 
a)  Ângulo de potência 
b)  Potência e f.p. na carga 
c)  Rendimento e fluxo de potência 
ü  Dados da LT: 
8 
kmmHL
kmR
/18,2
/172,0
=
Ω=
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Revisão de Circuitos Monofásicos 
•  Solução letra (a) 
9 
kVV
kVV
eb
eg
Z
LwjRZ
m
k
km
km
L
L
200
220
318101,5
308426,1
18,7892,188
)1018,2602172,0(225 3
=
=
−−=
−=
°∠=
⋅⋅⋅⋅+⋅=⋅⋅+= −π
°=
∴=+
⋅−⋅⋅−⋅=
2,20
1)()(
))()((
2
2
δ
δδ
δδ
2
kmkmmkmkmmk
cossen
senbcosgVVVgP
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Revisão de Circuitos Monofásicos 
•  Solução letra (b) 
10 
adiantado-cosf.p.
MVAjS
Q
cosbsengVVVbbQ
km
mk
kmkmmkm
sh
kmkmmk
99,0)92,6(
92,658,8078,980
78,9
))()(()( 2
==
°−∠=⋅−=−=
−=
⋅+⋅⋅+⋅+−=
RS
Mvar
δδ
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Revisão de Circuitos Monofásicos 
•  Solução letra (c) 
11 
MvarQ
MWP
cosbsengVVVbbQ
senbcosgVVVgP
km
km
kmkmmkk
sh
kmkmkm
kmkmmkkkmkm
33,20
28,86
))()(()(
))()((
2
2
=
=
⋅−⋅⋅−⋅+−=
⋅+⋅⋅−⋅=
δδ
δδ
%72,92100
28,86
80100% =⋅=⋅=
S
R
P
P
η
MvarQQQ RS 11,30=−=Δ
kVV S 220
.
=
LZ
33,2028,86 ⋅+= jSS
kVV R 200
.
=
72,980 ⋅−= jSR
Consumo de potência reativa 
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Revisão de Circuitos Monofásicos 
•  E agora, como resolver? 
12 
Barra 1 Barra 2 Barra 3
1059 + j15 MVA1,0Ð0	
   p.u.
500 + j7 MVA
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Revisão de Circuitos Monofásicos 
•  E agora, como resolver? 
13 
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Fluxo de Potência: Aspectos Básicos 
•  A análise de fluxo de potência é a ferramenta mais frequentemente 
utilizada nos vários estudos feitos atualmente em SEP 
•  Consiste basicamente no cálculo das tensões nodais, em módulo e fase e 
dos fluxos de potência em sistemas de transmissão (+ perdas) 
ü  Nível de carregamento (carga ou “mercado” do sistema) 
ü  Despacho de geração ativa (que considera a otimização energética) 
ü  Topologia do sistema 
ü  Parâmetros da rede 
14 
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Fluxo de Potência: Aspectos Básicos 
•  Modelo do SEP 
ü  Estático 
§  Equações algébricas não-lineares e Inequações 
ü  Componentes do sistema 
§  Componentes ligados entre um nó e terra (geradores, cargas, capacitores) 
§  Componentes ligados entre dois nós (linhas e transformadores) 
ü  Sistema balanceado e simétrico: circuito de sequencia positiva 
15 
012ZZabc =
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Fluxo de Potência: Aspectos Básicos 
•  Formulação básica 
ü  Representação por injeções de potência 
16 
≡
∑
∈
⋅=→⋅=
Km
mkmk VYIVYI Ωk → conjunto de nós diretamente ligados ao nó k 
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
⋅=⋅+ ∑
∈Km
*
m
*
kmkkk VYVQjP
. . 
. . . . 
kGkG QjP ⋅+
kDkD QjP ⋅+
kk QjP ⋅+
*
kkkk
kDkGk
kDkGk
IVQjP
QQQ
PPP
⋅=⋅+
−=
−=
. . 
kk θV ∠
k k 
K→ conjunto de nós diretamente ligados a 
barra k, incluindo a própria barra k 
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Fluxo de Potência: Aspectos Básicos 
•  Definido: 
•  Separando as partes real e imaginária 
•  Onde: 
17 
kkk
kmkmkm
θVV
BjGY
∠=
⋅+=
. 
∑
∑
∈
∈
⋅−⋅⋅=
⋅+⋅⋅⋅=
Km
kmkmkmkmmkk
Km
kmkmkmkmmkk
)cosθBsenθ(GVVQ
)senθBθcos(GVVP
mkkm θθθ −=
kk QjP ⋅+
kk θV ∠
k 
K→ conjunto de nós diretamente ligados a barra k, incluindo a própria barra k 
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Fluxo de Potência: Aspectos Básicos 
•  Dimensão das Equações 
ü  2n equações 
ü  n é o número de barras do sistema 
•  Número de variáveis do problema 
ü  4n variáveis (P, Q, V, θ) 
•  Conclusão 
ü  Devemos especificar 2 variáveis em cada barra para ter um sistema de 
equações possível e determinado 
•  Analisamos o SEP para identificar os diferentes tipos de barra 
ü  Carga 
§  Qual a sua principal característica? 
ü  Gerador 
§  Qual a sua principal característica? 18 
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Fluxo de Potência: Aspectos Básicos 
•  Classificação das barras do sistema 
ü  Barras de carga → Barras PQ 
§  São dados Pk e Qk 
§  São calculados Vk e θk 
ü  Barras de geração → Barras PV 
§  São dados Pk e Vk 
§  São calculados Qk e θk 
q  A potência reativa é calculada após a convergência 
ü  Barras de referência → Barras Vθ (barras de geração) 
§  São dados Vk e θk 
§  São calculados Pk e Qk 
§  Pk e Qk são calculados após a convergência 
§  Têm dupla função 
q  Referência angular 
q  Fechamento do balanço de potência 
19 ∑∑ ⋅++⋅+=⋅+ PerdasPerdasDDGG QjPQjPQjP
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Fluxo de Potência: Aspectos Básicos 
•  Matriz de admitância nodal (Ybus) 
ü  Na análise nodal de um circuito linear procura-se calcular as tensões de nó do 
circuito (com relação a um certo nó de referência), sendo conhecidas as 
correntes injetadas no nós e as admitâncias dos ramos 
20 
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Fluxo de Potência: Aspectos Básicos 
ü  Matriz de admitância nodal 
21⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
⋅
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
n
k
nnnknnn
knkkkkk
nk
nk
nk
n
k
V
V
V
V
V
YYYYY
YYYYY
YYYYY
YYYYY
YYYYY
I
I
I
I
I
!
!
""
!#!#!!!
""
!#!#!!!
""
""
""
!
!
3
2
1
321
321
33333231
22232221
11131211
3
2
1
knkn
kkkk
kk
kk
kk
VYI
VYI
VYI
VYI
VYI
⋅=
⋅=
⋅=
⋅=
⋅=
!
!
33
22
11
n
k
1
2
In
Ik
I1
I2
Vk
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Fluxo de Potência: Aspectos Básicos 
•  Matriz de admitância nodal (Ybus) continuação 
•  Elemento diagonal 
•  Elemento fora da diagonal 
22 
k
i
j
Yki
Ykj
kkkkkjkikjjkkiikk VYVYYYVVYVVI ⋅=⋅+=⋅−+⋅−= )()()(
kkikikii VYYVVI ⋅−=⋅−= )(
Disciplina “Análise de Sistemas de Potência II - ENE006” – Aula Número: 03 – PROF. JOÃO A. PASSOS FILHO – Período: 2014/02 
Fluxo de Potência: Aspectos Básicos 
•  A matriz Ybus pode ser construída por simples inspeção 
ü  Elementos da diagonal principal 
§  O elemento de índice ii é dado pela soma de todas as admitâncias 
conectadas ao nó i do circuito 
ü  Elementos fora da diagonal 
§  O elemento de índice ij é dados pela admitância (ou pela admitância 
equivalente, no caso de existir mais de uma) conectada entre os nós i e j, 
com sinal negativo 
23 
Disciplina “Análise de Sistemas de Potência II - ENE006” – Aula Número: 03 – PROF. JOÃO A. PASSOS FILHO – Período: 2014/02 
Fluxo de Potência: Aspectos Básicos 
•  Determinar os elementos da matriz Ybus pela definição: 
•  Por inspeção: 
24 
y1 y2 y3
y4 y5
y6
1 2 3
I1 I2 I3
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
++−−
−++−
−−++
=
65356
55424
64641
yyyyy
yyyyy
yyyyy
Y
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Fluxo de Potência: Aspectos Básicos 
•  Coluna 1: 
25 
0;0 321 ==≠ VVV
1111 VYI ⋅=
1212 VYI ⋅=
1313 VYI ⋅=
( ) ( ) 631421111 yVVyVVyVI ⋅−+⋅−+⋅=
6411164111 )( yyyYyyyVI ++=∴++⋅=
( ) ( ) 552412222 yVVyVVyVI ⋅−+⋅−+⋅=
421412 yYyVI −=∴−⋅=
( ) ( ) 523613333 yVVyVVyVI ⋅−+⋅−+⋅=
631613 yYyVI −=∴−⋅=
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
⋅
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
=
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
3
2
1
333231
232221
131211
3
2
1
V
V
V
YYY
YYY
YYY
I
I
I
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Fluxo de Potência: Aspectos Básicos 
•  Coluna 2: 
•  Coluna 3: 
26 
0;0 312 ==≠ VVV
0;0 213 ==≠ VVV
2121 VYI ⋅=
2222 VYI ⋅=
2323 VYI ⋅=
3131 VYI ⋅=
3232 VYI ⋅=
3333 VYI ⋅=
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Fluxo de Potência: Aspectos Básicos 
•  Algoritmo básico 
ü  Estrutura de dados 
27 
k m ykm 
1 2 y4 
1 3 y6 
1 1 y1 
2 2 y2 
3 3 y3 
2 3 y5 
y1 y2 y3
y4 y5
y6
1 2 3
I1 I2 I3
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Fluxo de Potência: Aspectos Básicos 
•  Algoritmo 
28 
for i = 1 : nbus 
 for j = 1: nbus 
 Y(i,j) = 0.0; 
 end 
end 
% 
for i = 1 : nlin 
 p = k(i); 
 q = m(i); 
 r = ykm(i); 
 y(p,p) = y(p,p) + r 
 if ( p ~= q ) 
 y(q,q) = y(q,q) + r 
 y(p,q) = y(p,q) - r 
 y(q,p) = y(p,q) 
 end 
end 
 
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Fluxo de Potência: Aspectos Básicos 
•  Lista de Exercícios 
ü  Dado o circuito abaixo obter a matriz Ybus 
§  Pela definição da matriz 
§  Pelo algoritmo 
29 
y1 y2 y3
y5 y6
y8
1 2 3 4
y7
y9
I1 I2 I3 I4
ijiyi ⋅+⋅= 1,0
y4 
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Fluxo de Potência: Aspectos Básicos 
•  Desenvolver um programa em MatLab para a modelagem da matriz Ybus e 
utilizar para os dados do exercício anterior para testar o algoritmo 
30 
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Linhas Aéreas de Transmissão (LTs) 
•  Objetivo primeira parte 
ü  Exame de suas características físicas e dos elementos que a compõem 
31 
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Parâmetros das Linhas de Transmissão 
•  Com base nestes parâmetros que representam fenômenos físicos que 
ocorrem na operação das LTs, pode-se obter um circuito equivalente 
(modelo) para a mesma, como por exemplo: 
32 
0≈ 0≈
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Fluxo de Potência: Aspectos Básicos 
•  Modelagem de Linhas de Transmissão 
ü  Modelo π da LT 
§  LT curta 
§  LT média 
§  LT longa 
33 
Barra k Barra m
kmZ
sh
kmbj ⋅
sh
kmbj ⋅
kmI mkI
kmkmkm xjrZ ⋅+=
2222
1
kmkm
km
kmkm
km
kmkm
km
km xr
xj
xr
rbjg
Z
Y
+
⋅−
+
=⋅+==
( ) ( ) kmmkshkmkkm yVVbjVI ⋅−+⋅⋅=
( ) ( ) kmkmshkmmmk yVVbjVI ⋅−+⋅⋅=
⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡⋅⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⋅+−
−⋅+
=⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡
m
k
sh
kmkmkm
km
sh
kmkm
mk
km
V
V
bjyy
ybjy
I
I
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Fluxo de Potência: Aspectos Básicos 
•  Em termos de matriz admitância nodal 
•  Dados: k m Zkm Sh 
34 
sh
kmkmkkkk bjyYY ⋅++=
⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡=
mmmk
kmkk
YY
YYY
sh
kmkmmmmm bjyYY ⋅++=
kmkmkm yYY −=
kmmkmk yYY −=
⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡⋅⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⋅+−
−⋅+
=⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡
m
k
sh
kmkmkm
km
sh
kmkm
mk
km
V
V
bjyy
ybjy
I
I
Disciplina “Análise de Sistemas de Potência II - ENE006” – Aula Número: 03 – PROF. JOÃO A. PASSOS FILHO – Período: 2014/02 
Fluxo de Potência: Aspectos Básicos 
•  Transformadores em fase com tap variável 
•  De onde vem que: 
35 
1:t
k m
ykm
p
Ikm Imk
kθj
kk eVE
⋅⋅= mθjmm eVE
⋅⋅=
pθj
pp eVE
⋅⋅=
φ⋅⋅= jeat
a
I
I
I
I
mk
km
mk
km −=−=
0** =⋅+⋅ mkpkmk IEIE
Transformador Ideal 
at =
↓
a
eV
eV
E
E
k
p
θj
k
θj
p
k
p =
⋅
⋅
= ⋅
⋅
a
V
V
k
p =
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Fluxo de Potência: Aspectos Básicos 
•  O transformador em fase pode ser representado por um circuito do tipo π 
•  A determinação das adimitâncias A, B e C do circuito equivalente é feita 
identificando-se as correntes Ikm e Imk com as correntes correspondentes do 
circuito equivalente 
36 
k m
AIkm Imk
B C
Ek Em
mkmkkmpmkmkm EyaEyaEEyaI ⋅⋅−+⋅⋅=−⋅⋅−= )()()(
2
mkmkkmpmkmmk EyEyaEEyI ⋅+⋅⋅−=−⋅= )()()(
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Fluxo de Potência: Aspectos Básicos 
•  Para o modelo π equivalente tem-se que: 
•  Logo tem-se que: 
37 
mkkm EAEBAI ⋅−+⋅+= )()(
mkmk ECAEAI ⋅++⋅−= )()(
mkmkkmpmkmkm EyaEyaEEyaI ⋅⋅−+⋅⋅=−⋅⋅−= )()()(
2
mkmkkmpmkmmk EyEyaEEyI ⋅+⋅⋅−=−⋅= )()()(
kmyaA ⋅=
( ) kmyaaB ⋅−⋅= 1
( ) kmyaC ⋅−= 1
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Fluxo de Potência: Aspectos Básicos 
•  Análise de sensibilidade 
•  Efeito da variação de taps 
ü  akm > 1,0 → Vm ↑ Vk ↓ 
ü  akm < 1,0 → Vm ↓ Vk ↑ 
38 
k m
Ikm Imk
Ek Em
kmya ⋅
( ) kmyaa ⋅−⋅ 1 ( ) kmya ⋅−1