Lista 03 - Equações e Sistemas Não Lineares

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Lista de Exerćıcios 3 Equações e Sistemas Não Lineares
1. Seja a função f(x) = 15 sin(x) − x2 + 4. Determinar o intervalo que contém a maior raiz
negativa de f(x). Partindo deste intervalo, determinar manualmente o valor aproximado
desta raiz após 6 iterações dos métodos da bisseção e da falsa posição.
2. Seja a função f(x) = −2x6 − 1.6x4 + 12x + 1. Use o método da bisseção para determinar
manualmente o ponto de máximo desta função. Assuma como critério de exatidão um erro
relativo menor do que 5%.
3. A partir do método da falsa posição, determinar manualmente pelo menos uma raiz real para
as funções a seguir, utilizando como critério de convergência uma tolerância de 0.1%:
a) f(x) = ex − 5
b) f(x) = cos(x)− x3 + 1
c) f(x) = e−x − sin(x)
4. A velocidade v de um paraquedista em queda é dada por:
v =
gm
c
(
1− e−(c/m)t
)
,
onde g = 9.8m/s2. Para um paraquedista com um coeficiente de arrasto c = 15kg/s, deter-
mine a massa m tal que a velocidade seja de v = 35m/s no tempo t = 9s. Utilize o método
da falsa-posição para determinar m com um erro relativo menor que 0.1%.
5. Utilize o método da bisseção para determinar o coeficiente de arrasto necessário para que
um paraquedista de 80kg tenha uma velocidade de 36m/s após 4 segundos de queda livre.
Considere que a aceleração da gravidade é de 9.81m/s2 e utilize como critério de exatidão
um erro relativo menor que 2%.
6. Determine a raiz de f(x) = x5 − ex/2 manualmente através do método de Newton-Raphson,
utilizando como critério de convergência |f(x)| < 10−6.
7. Verifique se o polinômio p(x) = x5 − 5x3 + 2x2 − 10 possui zeros reais. Em caso afirmativo,
faça a separação das ráızes, obtendo subintervalos que contém apenas uma raiz, e encontre a
as ráızes pelo método de Newton-Raphson, com 5 d́ıgitos significativos exatos.
8. Empregar o método das secantes para determinar uma aproximação para a menor raiz positiva
das seguintes equações, com pelo menos 4 d́ıgitos significativos exatos:
a) x3 − 2x2 − 5 = 0
b) x− cos(x) = 0
c) x− sin(x)5 −
4
5 = 0
9. Uma bola é arremessada para cima com velocidade inicial v0 = 20m/s a partir de uma altura
x0 = 2m em um local onde a aceleração da gravidade é g = −9.81m/s2. Sabendo que
h(t) = x0 + v0t +
1
2gt
2, verifique se a bola alcança a altura de 20m. Em caso afirmativo,
calcule pelo método de Newton-Raphson o tempo que a bola leva para atingir esta altura,
com precisão de 1 milissegundo.
10. Encontre a primeira raiz positiva da função f(x) = sinx+ cos(1 + x2)− 1 através do método
das secantes. Utilize como critério de exatidão |f(x)| < 10−10.
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11. Determine a maior raiz real do polinômio f(x) = 0.0074x4− 0.284x3 + 3.355x2− 12.183x+ 5
utilizando o método de Newton-Raphson, utilizando |f(x)| < 10−10 como critério de exatidão.
12. Determine as ráızes reais e complexas do polinômio p(x) = x5+3x4−2x3+8x+16, utilizando
como critério de exatidão |f(x)| < 10−10.
13. Utilize o método das secantes para determinar a raiz real positiva da circunferência (x+1)2 +
(y − 2)2 = 16. Explique o seu resultado.
14. Água flui em um canal trapezoidal a uma taxa de Q = 20m3/s. A profundidade cŕıtica y
para este canal deve satisfazer a equação:
0 = 1− Q
2
gA3c
B,
onde g = 9.81m/s2, Ac é a área da seção transversal (m
2), e B é a largura do canal na
superf́ıcie (m). Para este caso (canal trapezoidal), a largura e a área da seção transversal
estão relacionadas à profundidade y por:
B = 3 + y e Ac = 3y +
y2
2
.
Determine a profundidade cŕıtica, de forma que o erro relativo seja menor que 1%.
15. Você deve projetar um tanque esférico para armazenar água. O volume de ĺıquido que um
tanque esférico armazena pode ser calculado por:
V = πh2
3R− h
3
,
onde V é o volume (m3), h é a profundidade de água no tanque (m), e R é o raio do tanque
(m). Se R = 3, qual será a profundidade de água no tanque de forma que ele armazene 30m3?
16. Diversos campos da Engenharia requerem estimativas precisas de populações. Por exemplo,
engenheiros de transporte podem considerar necessário determinar separadamente tendências
de crescimento da poupulação de uma cidade e dos subúrbios adjacentes. Supondo que a
população de uma área urbana está descrescendo com o tempo de acordo com:
Pu(t) = Pu,maxe
−kut + Pu,min,
enquanto a população suburbana está crescendo de acordo com:
Ps(t) =
Ps,max
1 + (Ps,max/P0 − 1)e−kst
,
onde Pu,max, ku, Ps,max, P0 e ks são parâmetros determinados empiricamente. Determine o
tempo e os valores correspondentes de Pu(t) e Ps(t) que leva para o subúrbio atingir uma
população 20% maior que a da cidade. Assuma os valores dos parâmetros Pu,max = 75000
pessoas, ku = 0.045/ano, Pu,min = 100000 pessoas, Ps,max = 300000 pessoas, P0 = 10000
pessoas, ks = 0.08/ano.
17. Considere dois números: a e b. Sabendo que:
• a soma dos dois números é 20;
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• se a cada número é somada a sua raiz quadrada, o produto das duas somas é 155.55.
Determine uma aproximação desses números a e b, com pelo menos 6 d́ıgitos significativos
exatos.
18. Determine a solução do sistema abaixo, com 5 d́ıgitos significativos exatos:
3x− 4y + 5z = 22
x+ 4y + 5z = 10
(x− 2)2 + (y + 2)2 = z + 5
.
RESPOSTAS: 1) I = [−1, 0], Bisseção: x = −0.265625, Falsa Posição: x = −0.2650757; 2)
x = 0.90625; 3) a. para I = [1, 2], x = 1.6093, em 5 iterações; b. para I = [1, 2], x = 1.1261, em 7
iterações; c. para I = [0, 1], x = 0.58864, em 5 iterações. 4) m = 59.8521kg. 5) c = 3.4375kg/s.
6) para I = [1, 2]: g1(x) = (e
x/2)/x4 (não garante convergência); g2(x) = 10 ln(x) (não garante
convergência); g3(x) =
√
(ex/2)/x3 (não garante convergência); g4(x) = [(e
x/2)/x2]1/3 (garante
convergência); usando g4(x): x = 1.118324. 7) x
′ = −2.236068, x′′ = −1.259921 e x′′′ = 2.236068.
8) a. x = 2.690647; b. x = 0.739085; c. x = 0.964334. 9) A bola alcança 20m de altura em
1.341s. 10) x = 1.9446084. 11) x = 18.894766. 12) x1 = −3.49241, x2 = 1.20998 + 1.09615i,
x3 = 1.20998− 1.09615i, x4 = −0.96377 + 0.88873i e x5 = −0.96377− 0.88873i. 14) y = 1.78699.
15) y = 2.02689. 16) t = 39.6 anos. 17) 6.512849 e 13.487151. 18) (−0.91409,−1.72852, 3.56564)
e (4.06703,−0.48324, 1.57319).
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