MATFIN_CAP 2

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MATEMÁTICA FINANCEIRA – Capítulo 2
CAP. 2 – CAPITALIZAÇÃO COMPOSTA
2.1 – CONCEITO:
Capitalização composta é aquela em que a taxa de juros incide sempre sobre o capital inicial, acrescido dos juros acumulados até o período anterior. Nesse regime de capitalização a taxa de juros varia exponencialmente em função do tempo.
2.2 – DEDUÇÃO DAS FÓRMULAS DE MONTANTE, PRINCIPAL E JUROS
Ex.: Uma pessoa entregou ao Banco X a quantia de $100,00 para serem aplicados a juros compostos de 10% ao ano, durante 3 anos. Qual o montante no final desse prazo ã disposição do investidor?
( MONTANTE = PRINCIPAL + JUROS
( Final do 1º ano:
J1 = PV*i
100,00 * 0,10 = 10,00
FV1 = PV + J1 
100,00 + 10,00 = 110,00
FV1 = PV + PV * i
FV1 = PV (1+i)
( Final do 2º ano:
J2 = FV1 * i
110,00 * 0,10 = 11,00
FV2 = FV1 + J2 
110,00 + 11,00 = 121,00
FV2 = PV (1+i) + PV (1+i) * i colocando P(1+i) em evidência
FV2 = PV (1+i) * (1+i)
FV2 = PV (1+i)2
( Final do 3º ano:
J3 = FV2 * i
121,00 * 0,10 = 12,10
FV3 = FV2 + J3
121,00 = 12,10 = 133,10
FV3 = PV (1+i)2 + P (1+i)2 * i
colocando P (1+i)2 em evidência
FV3 = PV (1+i)2 * (1+i)
FV2 = PV (1+i)3
( Final de “n” anos:
Jn = FVn-1 * i
Jn = PV(1+i)n-1 * i
FVn = FVn-1 + Jn
FVn = PV(1+i)n-1 + PV (1+i)n-1 * i
Colocando (1+i)n-1 em evidência
FVn = PV(1+i)n-1 * (1+i)
FVn = PV(1+i)n
Fazendo FVn = FV temos:
FV = PV(1+i)n
OBS:
A expressão (1+i)n é chamada Fator de Capitalização ou Fator de Acumulação de Capital – FAC(i,n) – para pagamentos simples ou único e se encontra tabelada.
( PRINCIPAL, VALOR ATUAL OU VALOR PRESENTE
O valor atual ou presente de um pagamento simples ou único tem sua fórmula deduzida a partir da fórmula do montante como a seguir:
 FV
 
 1
FV = PV(1+i)n ( P = ---------- ou PV = FV * ---------- 
 (1+i)
 (1+i)n
OBS:
A expressão 1/ (1+i)n é chamada de Fator de Valor Atual - FVA(i,n) – para pagamentos simples e também se encontra tabelada.
( JUROS
Como FV = PV + J onde FV = PV(1+i)n , temos que:
PV + J = PV(1+i)n 
J = PV(1+i)n – PV
J = PV((1+i)n – 1(
EXEMPLO:
Determinar o montante no final de l0 meses, resultante de uma aplicação de um capital de $10.000,00, a uma taxa de juros compostos de 3,75% ao mês.
PV= $10.000,00
n = 10 meses 
r = 3,75% a.m.
FV =?
FV = 10.000,00 * (1+0,0375)10 ou FV = 10.000 * FAC(3,75%,10)
FV = 10.000,00 * 1,44504 ( FV = 14.450,40
EXEMPLO:
Quanto devo aplicar hoje, à taxa de juros compostos de 3,5% ao mês, para obter $10.000,00 ao final de 19 meses?
PV = ?
n = 19 meses 
r = 3,5% ao mês
FV = 10.000,00
 1
PV = 10.000,00 * FVA(3,5%,19) ou PV = 10.000,00 * ------------
 (1+0,035)19
PV = 10.000,00 * 0,52016 ( PV = $5.201,60
2.3 – DIFERENÇAS ENTRE OS REGIMES DE CAPITALIZAÇÃO
Vamos admitir que dois capitais de $1.000,00 cada um, sejam aplicados à taxa de 3% ao mês, um a juros simples e outro a juros compostos, nos prazos da tabela abaixo:
	Prazo
(meses)
	Montante a juros simples.
FV = PV * i * n
	Montante a juros compostos.
FV = PV(1+i)n
	Taxa mensal de juros simples p/ obter o mesmo montante a juros compostos.
	6
	1.180,00
	1.194,05
	3,234%
	24
	1.720,00
	2.032,79
	4,303%
	48
	2.440,00
	4.132,25
	6,526%
	60
	2.800,00
	5.891,60
	8,153%
OBS:
a) As diferenças entre os montantes produzidos a juros simples e juros compostos acentuam-se em função do aumento dos prazos,
b) Apenas para o prazo de um único intervalo de tempo, montantes de mesmo valor são produzidos por iguais taxas de juros simples e compostos, a partir de um mesmo capital.
Graficamente temos:
JUROS SIMPLES X JUROS COMPOSTOS
0,00
1.000,00
2.000,00
3.000,00
4.000,00
5.000,00
6.000,00
7.000,00
6
24
48
60
MESES
MONTANTES
Montante a juros Simples
Montante a Juros Compostos
2.4 – EQUIVALÊNCIA DE CAPITAIS A JUROS COMPOSTOS
Sejam P1, P2, ..., Pn, os valores de capitais resgatáveis nos prazos n1, n1, ..., nn, respectivamente. Pode se dizer que os capitais são equivalentes em determinada época “E”, se apresentarem valores iguais quando avaliados nesta mesma época a uma mesma taxa de juros.
Os capitais P1, P2, ..., Pn, serão equivalentes se na época “E”:
 P2
P3
P1 (1+i)n –n1 = ---------------- = -----------------
 (1+i)n2– n 
 (1+i)n3– n
OBS:
A juros compostos, capitais ou conjuntos de capitais equivalentes em determinada época, chamada data focal ou época de avaliação, serão também equivalentes em quaisquer outras épocas, desde que em períodos fracionados operemos com taxas equivalentes à taxa do período inteiro.
2.5 – TAXAS EQUIVALENTES
Pode se dizer que a taxa mensal im é equivalente à taxa anual ia quando:
PV(1+ ia)1 = PV(1+ im)12 
Ou seja, quando duas taxas relativas a períodos diferentes de capitalização produzem um mesmo montante ao final de determinado período, a partir de um mesmo capital inicial, estas taxas são ditas equivalentes.
Desenvolvendo vem:
(1+ ia)1 = (1+ im)12 ( ia = (1+ im)12 - 1 ( para determinar a taxa anual dada a taxa mensal
Calculando a taxa mensal
JUROS SIMPLES X JUROS COMPOSTOS
0,00
1.000,00
2.000,00
3.000,00
4.000,00
5.000,00
6.000,00
7.000,00
6
24
48
60
MESES
MONTANTES
Montante a juros Simples
Montante a Juros Compostos
 12 12 
 (1+ ia) = (1+ im)12 ( (1+ ia) = (1+ im)12 ( (1 + ia)1/12 = (1+ im)
im = (1+ ia)1/12 - 1 ( para determinar a taxa mensal dada a taxa anual
Como os períodos a que se referem as taxas que se tem e as taxas que se quer são muito variáveis, pode-se generalizar a fórmula apresentada da seguinte maneira:
iq = ( 1 + it )q/t – 1
onde: 
iq = taxa que eu quero
q = prazo que eu quero
t = prazo que eu tenho
Obs: os prazos devem ser compatíveis.
EXERCÍCIOS DE JUROS COMPOSTOS
1) Para fazer um investimento em sua empresa, uma pessoa precisa obter, daqui a um ano, $300.000,00. Para tanto pretende vender hoje o seu carro no valor de $30.000,00 e, daqui a 6 meses, seu apartamento que estará valendo $250.000,00. Considerando que a taxa disponível para aplicações é de 40% ao ano (taxa líquida), quanto essa pessoa poderá deixar aplicado após fazer o investimento desejado?
2) Quanto devo aplicar hoje, à taxa de 51,107% ao ano, para obter $1.000.000,00 no final de 19 meses?
3) Um terreno está sendo oferecido por $450.000,00 à vista ou $150.000,00 de entrada e mais uma parcela de $350.000,00 daqui a seis meses. Sabendo-se que no mercado a taxa média para aplicações é de 3,5% ao mês, determinar a melhor opção para uma pessoa que possua recursos para comprar o terreno.
4) A que taxa de juros compostos um capital aplicado pode ser resgato pelo dobro do seu valor, no final de 17 meses?
5) Em quanto tempo um capital pode produzir juros iguais a 50% do seu valor, se for aplicado à taxa de juros compostos de 3,755% ao mês?
6) A aplicação de certo capital, à taxa de juros compostos de 69,588% ao ano gerou um montante de $80.000,00 no fim de um ano e três meses. Calcular o valor dos juros.
7) Qual é mais vantajoso, aplicar $10.000,00 por três anos a juros compostos de 3% ao mês, ou aplicar esse mesmo valor, pelo mesmo prazo, a juros simples de 5% ao mês?
8) Em quanto tempo um capital, aplicado à taxa de juros de 4% ao mês, quadruplica seu valor, no regime de capitalização simples e no regime de capitalização composta?
9) Qual o montante produzido pela aplicação de $580.000,00, à taxa de juros compostos de 175% ao ano, pelo prazo de 213 dias?
10) Qual o valor do capital que aplicado à taxa de juros compostos de 18% ao trimestre, durante 181 dias, produziu um montante de $5.000.000,00?
11) A aplicação de $400.000,00 em Letras de Câmbio proporcionou um resgate de $610.461,56 no final de seis meses. Determinar as taxas mensal e anual dessa operação.
12) Certa aplicação rende 0,225% ao dia. Em que prazo uminvestidor poderá receber o dobro do valor de sua aplicação?
13) A aplicação de $380.000,00 proporcionou um rendimento de $240.000,00 no final de 208 dias. Determinar as taxas diária, mensal, trimestral e anual de juros compostos obtida na aplicação.
14) Em 154 dias uma aplicação rendeu 41,23%. Calcular as taxas anual e mensal equivalentes.
15) Um banco cobra 20% ao ano de juros numa aplicação de capital de giro. Quanto cobrará para uma operação em 182 dias?
16) Quanto uma pessoa resgatará no final de 93 dias se aplicar $2.000.000,00à taxa de juros compostos de 150% ao ano? Qual a taxa mensal equivalente?
17) Um CDB equivalente a 500 UFIR rende juros de 15% ao ano. Sendo seu prazo de 243 dias, calcular o valor do resgate.
18) Uma pessoa empresta $80.000,00 hoje para receber $ 507.294,46 no final de 2 anos. Calcular as taxas mensal e anual desse empréstimo.
19) Sabendo-se que a taxa trimestral de juros compostos cobrada por uma instituição financeira é de 12,486% ao ano, determinar qual o prazo em que um empréstimo de $20.000,00 será resgatado por $36.018,23.
20) Uma empresa obtém um financiamento de $700.000,00 que será liquidado de uma só vez no final de 2 anos. Sabendo-se que a taxa de juros compostos cobrada é de 25% ao semestre, calcular o valor a ser pago.
21) Em que prazo uma aplicação de $272.307,03 em Letras de Câmbio, à taxa de juros compostos de 3,25% ao mês gera um resgate de $500.000,00?
22) No fim de quanto tempo um capital, aplicado à taxa de 4% ao mês, quadruplica seu valor a juros simples e a juros compostos?
23) Um indivíduo recebe a proposta de investir hoje uma quantia de $1.000,00 para receber 1.343,92 daqui a 10 meses. Qual a taxa de rentabilidade do anual do investimento proposto, no regime de juros compostos?
24) Determinar o prazo necessário para que um capital de $10.000,00 aplicado à taxa de 40% ao ano, de juros compostos, se transforme em $120.000,00.
25) A que taxa mensal de juros compostos um capital de $40.000,00 se transforma em $65.000,00 no fim de 10 meses?
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1
1
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Gráfico1
		6		6
		24		24
		48		48
		60		60
Montante a juros Simples
Montante a Juros Compostos
MESES
MONTANTES
JUROS SIMPLES X JUROS COMPOSTOS
1180
1194.05
1720
2032.79
2440
4132.25
2800
5891.6
Plan1
		6		1,180.00		1,194.05
		24		1,720.00		2,032.79
		48		2,440.00		4,132.25
		60		2,800.00		5,891.60
Plan2
		
Plan3