Baixe o app para aproveitar ainda mais
Prévia do material em texto
Disciplina: Matemática Computacional Aula 1: Teoria dos Conjuntos Apresentação Seja bem-vindo(a) ao curso de Matemática Computacional! Tempo de novidades, desa�os, expectativas e transformações em sua vida. Certamente, isto não é simples e você já está percebendo o tamanho do desa�o… Será que é motivo de pânico? Claro que não, mas é hora de muito estudo e dedicação para obtenção, compreensão e aplicação de uma série de nossos fundamentos e conceitos. Nesta primeira aula, você compreenderá a importância da Teoria dos Conjuntos para investigação e modelagem das leis que regem a natureza. Serão apresentados diversos conceitos associados a esta teoria, como notação, propriedades, tipos especiais, operações elementares, conjuntos e intervalos numéricos, princípios da inclusão e da exclusão e valor absoluto de um número. Cada um destes temas será intercalado com exemplos e exercícios, para que você possa compreender ainda melhor a importância deles na área tecnológica. Objetivos Reconhecer a importância da Teoria dos Conjuntos; Reconhecer os tipos e operações mais relevantes em conjuntos numéricos; Identi�car os conceitos fundamentais e as propriedades associadas a intervalos numéricos e ao valor absoluto de um número. Introdução à Teoria dos Conjuntos - notação e propriedades Vamos começar com uma de�nição que pode soar muito vaga. A�nal: O que é um conjunto? Pode ser de�nido como uma coleção não ordenada de entidades relacionadas porque obedecem a uma determinada regra. O que é uma entidade? Entidade pode ser, literalmente, qualquer coisa: números, pessoas, formas, cidades, pedaços de texto, dentre outras — a lista é bem ampla mesmo. O mais importante na de�nição apresentada é que a “regra” deve estar bem de�nida. Em outras palavras, a regra deve descrever claramente o que as entidades obedecem. Exemplo Vamos ver alguns exemplos de regras? Se as entidades sobre as quais estamos falando são esportes, por exemplo, uma regra bem de�nida é: X é arte marcial. No entanto, existem também regras que não são bem de�nidas e que, portanto, não podem ser usada para de�nir um conjunto, como X é difícil de aprender, onde X é qualquer idioma. Uma entidade que pertence a um determinado conjunto é chamada de elemento desse conjunto. Por exemplo, judô é um elemento do conjunto das artes marciais. Como representar os elementos de um conjunto? Conjuntos Geralmente são representados usando letras maiúsculas: A, B, C etc. Elementos Geralmente são representados por meio de letras minúsculas: a, b, c etc. Saiba mais Para listar os elementos de um conjunto, os colocamos entre chaves, separados por vírgulas: S = {-2, -1, 0, 1, 2} Os elementos de um conjunto também podem ser descritos explicitamente por meio de uma regra, como: S = {inteiros entre -3 e 3} A notação do construtor do conjunto pode ser usada para descrever conjuntos que são muito tediosos para listar explicitamente. Para denotar qualquer conjunto particular, usamos alguma letra como variável. Veja o caso a seguir: S = {x | x é inteiro e |x| < 3}, que é equivalente a {x | x Î Z e |x| < 3}. Diagrama de Venn Outra maneira de se apresentar os elementos de um conjunto é por meio do Diagrama de Venn. Segundo Brochi (2016), trata-se de uma forma grá�ca de representação de conjuntos, facilitando a resolução de problemas e representações de operações entre conjuntos. Desta forma, o conjunto S apresentado anteriormente pode ser representado da seguinte forma: Figura 1 – Representação de conjuntos com o Diagrama de Venn. Conjuntos especiais Para entender melhor os exemplos que serão apresentados, é necessário que você saiba alguns conceitos preliminares. Em primeiro lugar, destacamos o conceito de subconjunto de um conjunto. Segundo Brochi (2016), trata-se do conjunto formado somente por elementos que pertencem ao conjunto original. Por exemplo, considere o conjunto D composto dos dias da semana, de modo que: D = {domingo, segunda, terça, quarta, quinta, sexta, sábado} Assim, um subconjunto Q, composto pelos dias da semana que começam com a letra “q”, seria composto da seguinte forma: Q = {quarta, quinta} Também podemos perceber com os exemplos apresentados que existem relações entre conjuntos, bem como entre elementos e conjuntos. Por exemplo, os elementos de Q também fazem parte de D, mas o contrário nem sempre é verdade. Por sua vez, percebe-se que o elemento “sexta” não faz parte do conjunto Q, mas faz parte do conjunto D. Como descrever tais relações? Clique nos botões para ver as informações. A relação entre um elemento e um conjunto é a dita relação de pertinência. Deste modo, diz-se que um determinado elemento pertence (Î) ou não pertence (Ï) a determinado conjunto. Aproveitando o elemento do caso anterior, vemos que “sexta” Î D, mas “sexta” Ï Q. Relação entre um elemento e um conjunto A relação entre dois conjuntos é a dita relação de inclusão. Deste modo, diz-se que um determinado conjunto está contido (Ì) ou não está contido (Ë) a outro conjunto. Relação entre dois conjuntos Além das relações de pertinência e inclusão, há outras de�nições importantes relacionadas à Teoria dos Conjuntos. A Tabela 1 apresentada a seguir descreve algumas destas de�nições: Conceito Definição Exemplo Conjunto universo Conjunto de todos os elementos no contexto atual. Denotado por U U = {…, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...} Conjunto vazio ou nulo Conjunto que não contém elementos. Denotado por {} ou Æ T = {conjunto de todas as palavras em português com mais de 100 letras} = { } Conjunto unitário Conjunto que possui apenas um elemento A = {redes} Conjunto finito Conjunto que possui uma quantidade limitada de elementos S = {-2, -1, 0, 1, 2} Conjunto infinito Conjunto que possui uma quantidade ilimitada de elementos P = conjunto dos números pares = {0, 2, 4, 6, ...} Tabela 1 – Definições importantes da Teoria dos Conjuntos. Por �m, é importante destacar a existência do conjunto das partes de um conjunto, que é o conjunto de todos os seus subconjuntos. Por exemplo, o conjunto B = {1, 2, 3} apresenta o conjunto de suas partes, representado como P(B), dado por: P(B) = {�, {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {1, 2, 3}} Repare que: 1 O conjunto vazio é um dos elementos do conjunto das partes de B. 2 Os elementos do conjunto das partes de B também são conjuntos. 3 O conjunto B é um dos elementos do conjunto das partes do próprio conjunto B. Operações elementares em conjuntos Podemos realizar algumas operações com conjuntos. Dica É importante que você guarde bem estes conceitos, pois eles serão bastante importantes na resolução de algumas situações- problema que você vai encarar pela frente. A Tabela 2 apresenta estas operações, cada uma delas com seu signi�cado e uma ilustração empregando o Diagrama de Venn: Operação Definição Ilustração União Dados dois conjuntos A e B, a sua união é um conjunto formado por todo elemento que pertence a A ou a B ou a ambos. É denotada por “A ∪ B” Interseção Dados dois conjuntos A e B, a sua interseção é um conjunto formado por todo elemento de A que também pertence a B. É denotada por “A ∩ B” Diferença Dados dois conjuntos A e B, a diferença entre eles é um conjunto formado por todo elemento de A que não pertence a B. É denotada por “A – B” Complementar Dados dois conjuntos A e B que A ⊂ B, definimos o complementar de A em relação a B como o conjunto formado por todo elemento de B que não pertence a A. É denotada por C ou ¯𝐴A Tabela 2 – Operações Elementares em Conjuntos. É importante notar que a diferença não apresenta a propriedade comutativa, diferentemente das operações de união e interseção. Isto signi�ca que, se alterarmos a ordem dos conjuntos que estão operando, temos um novo resultado. Logo, A - B não é equivalente a B – A. Exemplo Estas operações são relevantes, mas, ainda assim, há situações que demandam operações um pouco mais complexas. Vamos vê-las no exemplo a seguir: Um conjunto A tem 25 elementos e um conjunto B tem 15 elementos.Sabendo-se que a interseção de ambos tem 10 elementos, qual é a quantidade de elementos da união de A com B? Situações como esta são resolvidas com apoio do Princípio da Inclusão e Exclusão. Trata-se de um princípio bastante simples, indicando que: n(A ∪ B) = n(A) + n(B) – n(A ∩ B) Desta forma, neste exemplo, temos que n(A ∪ B) = 25 + 15 – 10 = 30 elementos. Conjuntos e intervalos numéricos Nesta aula, já estudamos alguns tipos de conjuntos, bem como os principais tipos de operações. No entanto, há alguns conjuntos que recebem nomes especiais, em função de sua utilidade e emprego em diversas situações do dia a dia. Clique nos botões para ver as informações. Em primeiro lugar, destacamos o conjunto dos números naturais, muito útil para efetuar contagens. O conjunto dos números naturais é representado como ℕ, de tal maneira que ℕ={0,1,2,3,4,5,...}. conjunto dos números naturais Já para situações como a representação de temperaturas muito baixas ou do saldo devedor em uma conta corrente, utiliza- se o conjunto dos números inteiros, representado por ℤ, de tal maneira que ℤ={...,−3,−2,−1,0,1,2,3,...}. conjunto dos números inteiros Por sua vez, há casos em que há a necessidade de representação de quantidades não inteiras como resultado da divisão entre dois inteiros (por exemplo, 3 e 5). Tais casos acabam por descrever elementos do conjunto dos números racionais. Este conjunto é representado por ℚ, de maneira que ℚ={𝑎/𝑏}, onde a pertence ao conjunto dos números inteiros e b pertence ao conjunto dos números inteiros não nulos. conjunto dos números racionais No entanto, há números que não podem ser descritos como a fração entre dois números inteiros - 𝜋,√2,√5, dentre outros. Tais números compõem o conjunto dos números irracionais, sendo representados por Q’ (ou seja, o conjunto complementar dos números racionais). conjunto dos números irracionais Por �m, o conjunto dos números racionais e irracionais compõe o denominado conjunto dos números reais, denotado por ℝ. conjunto dos números reais A Figura 2, mostrada a seguir, ilustra a relação entre os conjuntos dos números naturais, inteiros, racionais, irracionais e reais. Podemos dizer que: 1 O conjunto dos números inteiros contém o dos números naturais. 2 O conjunto dos números racionais contém o dos números inteiros. 3 Todo número que não é racional pertence ao conjunto dos números irracionais. 4 A união dos conjuntos dos números racionais e irracionais forma o conjunto dos números reais. Figura 2 – Conjunto dos números reais (BROCHI, 2016). Além disso, temos os intervalos numéricos. Este conceito é importante, pois permite uma representação alternativa à notação de conjuntos, tanto de forma numérica como grá�ca. Esses intervalos podem ser abertos, fechados ou semiabertos. A Tabela 3 apresenta uma ilustração destes tipos de intervalos: Tipo Notação Conceito Intervalo aberto ]a, b[ = {𝑥∈ℝ⁄𝑎<𝑥<𝑏} Todo número real maior do que a e menor do que b Intervalo fechado [a, b] = {𝑥∈ℝ⁄𝑎⩽𝑥⩽𝑏} Todo número real maior ou igual a a e menor ou igual a b Intervalo semiaberto [a, b[ = {𝑥∈ℝ⁄𝑎⩽𝑥<𝑏} Todo número real maior ou igual a a e menor do que b ]a, b] = {𝑥∈ℝ⁄𝑎<𝑥⩽𝑏} Todo número real maior do que a e menor ou igual a b Intervalo infinito [a, +∞[ = {𝑥∈ℝ⁄𝑥⩾𝑎} ]-∞, a[ = {𝑥∈ℝ⁄𝑥<𝑎} Um intervalo pode ser fechado de um lado e ilimitado do outro ou, ainda, aberto de um lado e ilimitado do outro Tabela 3 – Intervalos numéricos. Por �m, para Brochi (2016), vale destacar que, em algumas aplicações, nos interessa apenas a distância de cada um deles até o zero (que é a origem da reta numérica real). Isto quer dizer que podemos não estar interessados no “sinal” do número, mas apenas na magnitude que ele representa. Essa distância de cada número até o zero, na reta numérica, é denominada módulo ou valor absoluto desse número. A Figura 3 mostra que o módulo de -5 é igual a 5, e que o de +3 é igual a 3: Figura 3 – Representação do módulo ou valor absoluto de -5 e +3. Fonte: Centro de mídias. Atividade 1. Dados os conjuntos A = {2, 4, 6, 8, 10}, B = {1, 3, 5, 7, 9} e C = {6, 8}, determine A ∩ (B ∩ C): a) {6, 8} b) { } c) {2, 4, 6, 8, 10} d) {1, 3, 5, 7, 9} e) {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} 2. Dados os conjuntos A = {x ∈ R / 6 ≤ x < 9} e B = {x ∈ R / 7 < x ≤ 9}, determine B – A: a) {x = 9} b) {x ∈ R / 6 ≤ x < 7} c) {x ∈ R / 6 ≤ x < 9} d) {x ∈ R / 6 ≤ x ≤ 7} e) {x ∈ R / 7 ≤ x ≤ 9} 3. Um levantamento socioeconômico entre os habitantes de uma cidade revelou que 18% têm casa própria; 22% têm automóvel; 8% têm casa própria e automóvel. Qual o percentual dos que não têm casa própria nem automóvel? a) 40% b) 32% c) 68% d) 60% e) 52% 4. Assinale a alternativa que apresenta a solução para |x – 2| = 7: a) x = -5 e x = 9 b) x = 5 e x = -9 c) x = 9 d) x = -5 e) Nenhuma das alternativas anteriores 5. (UFAL) Na �gura abaixo, têm-se representados os conjuntos A, B e C, não disjuntos: A região sombreada representa o conjunto: a) C – (A ∩ B) b) (A ∩ B) - C c) (A ∪ B) - C d) (A ∪ B) ∪ C e) (A ∩ B) ∩ C Referências BROCHI, A. L. C. Matemática aplicada à Computação. Rio de Janeiro: SESES, 2016. Próxima aula Teoria da Contagem; Princípio das Casas de Pombo; Princípio da Multiplicação; Princípio da Adição; Arranjo, Permutação e Combinação. Explore mais Na internet há muitos materiais adicionais que podem complementar e ampliar seu conhecimento acerca da interação entre q p p p ç Teoria dos Conjuntos. Veja algumas sugestões: Assista aos vídeos: Conjuntos Numéricos <https://www.youtube.com/watch?v=-AheSXxm_bE> ; Noções de Teoria dos Conjuntos <https://www.youtube.com/watch?v=1Lt2JyhU9Ko> ; Conjuntos Numéricos: Números Naturais e Inteiros (Aula 1 de 4) <https://www.youtube.com/watch?v=Y_mYgLkuEl4> . https://www.youtube.com/watch?v=-AheSXxm_bE https://www.youtube.com/watch?v=1Lt2JyhU9Ko https://www.youtube.com/watch?v=Y_mYgLkuEl4 Disciplina: Matemática Computacional Aula 2: Princípios de contagem Apresentação Nesta aula, veremos um tema da Matemática de grande relevância para o futuro pro�ssional da Tecnologia: princípios de contagem. Assim, você revisará, estudará e aplicará operações fundamentais em estudos de caso aplicados. Dentre outros assuntos, você terá a oportunidade de estudar temas como: Princípio das Casas de Pombo; Princípio multiplicativo; Princípio aditivo; e Técnicas de contagem (permutação, combinação e arranjo). Tais operações são muito importantes, não só para sua vida pro�ssional, mas também para o seu dia a dia, em situações que vão desde a quantidade disponível de combinações de roupas no armário até a probabilidade de identi�cação de senhas de acesso a sistemas corporativos. Assim, é necessário conhecer os fundamentos destas operações e saber aplicá-las de modo conveniente nas diversas situações do cotidiano. Objetivos Identi�car e reconhecer a utilidade dos princípios da contagem: princípio das casas de pombo, princípio multiplicativo e princípio aditivo; Identi�car e aplicar técnicas de contagem (permutação, arranjo e combinação) na resolução de problemas. Princípios de contagem É interessante perceber que os princípios de contagem mais importantes são extremamente simples. Mesmo assim, é fundamental dedicar atenção à compreensão deles, para que se possa entender como se dá sua relação com os problemas de ordem prática, que é o nosso real objetivo. Deste modo, vamos abordar cada um destes conceitos. O primeiro princípio a ser abordado é o Princípio das Casas de Pombo (ou princípio das gavetas). Conforme exposto em Brochi (2016), em sua forma mais simples, este princípio declara que: Se tivermos n + 1 pombos para serem colocados em n casas, então, pelo menos uma casa, deverá conter, pelo menos, dois pombos. Dica Considere que temos 7 pombos e 6 casas para acomodá-los. Caso você tente distribuir de modo uniforme os pombos nestas casas, certamente uma casa terá, pelo menos, dois pombos, ok? Fácil, não é? Onde está, então, a importância desteprincípio? O mais difícil reside na aplicação deste princípio! Em particular, recomendamos que você preste bastante atenção em situações-problema deste tipo, pois o desa�o reside em identi�car corretamente qual elemento representa a “quantidade de pombos” e qual elemento representa a “quantidade de casas”. Exemplo Em um depósito, há 8 caixas que contêm certo tipo de componente eletrônico. Sabese que, em cada uma delas, há, no máximo 5 peças com defeito. Prove que há, no mínimo, duas caixas com a mesma quantidade de peças defeituosas. Como resolver esta questão? Observe a resolução do Exemplo 1 <galeria/aula2/docs/exemplo_1.pdf> . http://estacio.webaula.com.br/cursos/gon963/galeria/aula2/docs/exemplo_1.pdf Princípio multiplicativo e o princípio aditivo Além do Princípio das Casas de Pombo, há dois outros princípios bastante simples, mas de grande utilidade prática – o princípio multiplicativo e o princípio aditivo. Vamos às de�nições? Princípio multiplicativo Se um evento A pode ocorrer de m maneiras diferentes, então o número de maneiras de ocorrer os eventos A , A , ..., A de forma sucessiva é dado por m x m x ... x m . i i 1 2 n 1 2 n Princípio aditivo Considere os conjuntos A , A , ..., A dois a dois disjuntos. Se a quantidade de elementos de cada um deles é dada, respectivamente, por m , m , ... , m , então a quantidade de elementos da união A ∪ A ∪ ... ∪ A é igual a m + m + ... + m . 1 2 n 1 2 n 1 2 n 1 2 n Exemplo Vamos ver estes dois novos princípios com exemplos? Em um formulário eletrônico, os alunos de uma universidade preenchem alguns campos com informações pessoais, tais como: sexo (masculino/feminino), estado civil (casado/solteiro/separado judicialmente/viúvo/outros) e modalidade do curso (graduação presencial/EAD/�ex). Um analista acadêmico deseja agrupar os usuários que forneceram respostas exatamente iguais para esses três campos. Sendo assim, indique: a) Quantos grupos, no máximo, podem ser formados? b) Quantos usuários, no mínimo, devem preencher esse formulário para que haja pelo menos dois com respostas iguais? Observe a resolução do Exemplo 2 – Princípio Multiplicativo <galeria/aula2/docs/exemplo_2.pdf> ; Exemplo Considere, agora, um sistema de senhas em que o usuário pode escolher uma sequência numérica qualquer de quatro ou cinco dígitos, de 0 a 9. Quantas senhas diferentes podem ser geradas, neste caso? Observe a resolução do Exemplo 3 – Princípio Aditivo <galeria/aula2/docs/exemplo_3.pdf> . Os princípios estudados até aqui servem de fundamento para algumas das principais técnicas de contagem: a permutação, a combinação e o arranjo. Vamos apresentar alguns exemplos ilustrativos do emprego de cada uma delas, como forma de introduzir as respectivas de�nições. Exemplo http://estacio.webaula.com.br/cursos/gon963/galeria/aula2/docs/exemplo_2.pdf http://estacio.webaula.com.br/cursos/gon963/galeria/aula2/docs/exemplo_3.pdf Suponha que um campeonato de Matemática apresenta, em sua rodada �nal, três competidoras: Juliana, Alice e Esther. Considerando que não há a possibilidade de empate, de quantas formas diferentes elas poderão ocupar as três primeiras posições no concurso? Observe a resolução do Exemplo 4 <galeria/aula2/docs/exemplo_4.pdf> . De maneira geral, se tivéssemos n competidoras, o raciocínio seria o mesmo, de sorte que a quantidade de formas diferentes seria dada por n. (n-1). (n-2). … . 2. 1 – expressão esta conhecida como n fatorial (representada por n!). Este tipo de contagem é denominada de permutação e representada por P . Logo, a de�nição de permutação descreve que: n A permutação de n elementos é dada por P = 1 x 2 x 3 x … x n = n!n Exemplo No exemplo anterior, os 3 elementos (Juliana, Alice e Esther) são diferentes. No entanto, há casos de permutação em que existem elementos iguais. Veja: Apresente a quantidade de anagramas da palavra “AULA”: Observe a resolução do Exemplo 5 <galeria/aula2/docs/exemplo_5.pdf> . O caso do Exemplo 5 ilustra o conceito de permutação com repetição, de�nido a seguir: A permutação de n elementos com n , n , …, n repetições de elementos é dada por 1 2 k =P , , ... n1 n2 nk n n! ! ! ... !n1 n2 nk Exemplo Agora, vamos ver outro tipo bastante comum de problemas associados à contagem: determinar a quantidade de sequências diferentes que podemos escolher p elementos de um conjunto de tamanho n, em que p < n. Vamos começar? Um concurso de programação de computadores promovido pela universidade possui 6 equipes participantes. De quantas formas diferentes podem ser ocupadas as 3 primeiras posições do concurso? Observe a resolução do Exemplo 6 <galeria/aula2/docs/exemplo_6.pdf> . Estas dicas ilustram a de�nição de arranjo, apresentada a seguir: http://estacio.webaula.com.br/cursos/gon963/galeria/aula2/docs/exemplo_4.pdf http://estacio.webaula.com.br/cursos/gon963/galeria/aula2/docs/exemplo_5.pdf http://estacio.webaula.com.br/cursos/gon963/galeria/aula2/docs/exemplo_6.pdf Um arranjo de n elementos tomados p a p, indicada por A , é dada porn,p =An,p n! (n−p)! O detalhe importante de um arranjo é perceber que a ordem de escolha dos elementos tomados faz toda a diferença no resultado �nal. No entanto, existem situações em que a ordem dos elementos não é relevante. Exemplo Um sorteio de 3 computadores promovido pela universidade possui 6 turmas participantes (numeradas de 1 a 6), sendo que cada turma sorteada recebe um computador. De quantas formas diferentes pode sair o resultado do sorteio? Observe a resolução do Exemplo 7 <galeria/aula2/docs/exemplo_7.pdf> . Neste caso, vemos um exemplo da técnica de combinação, de�nida a seguir: Uma combinação de n elementos tomados p a p, indicada por C , é dada porn,p =Cn,p n! p!(n−p)! Atividade 1. O antigo sistema de emplacamento de veículos no Brasil considerava uma sequência de 2 letras seguida de outra de 4 algarismos numéricos. Sem considerar nenhum tipo de restrição quanto à sequência formada, quantas placas diferentes podiam ser obtidas nesse sistema? a) 6.760.000 b) 3.276.000 c) 3.407.000 d) 6.500.000 e) Nenhuma das alternativas anteriores http://estacio.webaula.com.br/cursos/gon963/galeria/aula2/docs/exemplo_7.pdf 2. Um professor de matemática comprou dois livros para premiar dois alunos de uma classe de 30 alunos. Como são dois livros diferentes, de quantos modos distintos pode ocorrer a premiação? a) 870 b) 435 c) 1.740 d) 900 e) 600 3. Um professor de matemática comprou dois livros para premiar dois alunos de uma classe de 30 alunos. Como são dois exemplares de um mesmo livro, de quantos modos distintos pode ocorrer a premiação? a) 870 b) 435 c) 1.740 d) 900 e) 600 4. Um sistema computacional possui 4 unidades de entrada/saída e 3 processadores. Qualquer uma das unidades de entrada/saída pode ser conectada a qualquer um dos processadores. De quantas formas diferentes podem ser feitas tais conexões? a) 5 b) 4 c) 6 d) 12 e) 16 5. Em uma escola, há 5 professores de Física e 4 de Matemática. Uma comissão de quatro membros deve ser formada com esses professores e a única condição imposta é que, pelo menos, um dos membros seja professor de Matemática. a) 3024 b) 3019 c) 126 d) 121 e) Nenhuma das alternativas anteriores Referências BROCHI, A. L. C. Matemática aplicada à Computação. Rio de Janeiro: SESES, 2016. Próxima aula Relações; Pares ordenados; Relações binárias, propriedades e fechos; Ordens parciais; Relações de equivalência. Explore mais Assista aos seguintes vídeos: Princípio Fundamental da Contagem - Parte I <https://www.youtube.com/watch?v=XyQ302OVdlE> ; Princípio Fundamental da Contagem - Parte II <https://www.youtube.com/watch?v=zDlNYWeKN9E> ; Princípio da casa dos pombos <https://www.youtube.com/watch?v=UsrhjzxVaaY> . https://www.youtube.com/watch?v=XyQ302OVdlE https://www.youtube.com/watch?v=zDlNYWeKN9E https://www.youtube.com/watch?v=UsrhjzxVaaY Disciplina: Matemática Computacional Aula 3: Relações Apresentação Nesta aula, veremos um tema de grande relevância parao futuro pro�ssional da área da Tecnologia: Relações. Portanto, revisaremos, estudaremos e aplicaremos os principais conceitos relacionados em estudos de caso que lhe permitam vislumbrar aplicações e usos em sua vida pro�ssional. Dentre outros assuntos, estudaremos produto cartesiano, pares ordenados, relações binárias, propriedades e fechos, ordens parciais e relações de equivalência. Objetivos Identi�car e aplicar os conceitos de pares ordenados e ordens parciais; Reconhecer exemplos de relações binárias e de equivalência. Produto cartesiano e pares ordenados Uma forma muito utilizada de representação da relação entre dois conjuntos é o denominado produto cartesiano. Vamos ver uma de�nição de produto cartesiano, extraída de Brochi (2016). Considere dois conjuntos A e B. O produto cartesiano A x B, nesta ordem, é formado por todas as possibilidades de associação entre elementos desses dois conjuntos. Como representar o produto cartesiano entre dois conjuntos? A melhor forma que você pode utilizar é o emprego dos denominados pares ordenados. Assim, considere a seguinte situação: Dois conjuntos A e B; Um elemento x pertencente ao conjunto A; Um elemento y pertencente ao conjunto B. Assim, o produto cartesiano A x B é de�nido como o conjunto de todos os pares ordenados (x, y), tais que 𝑥∈𝐴e𝑦∈𝐵. Exemplo Entendeu a ideia? Vamos a um exemplo para ver se você compreendeu mesmo. Exemplo 1: Sejam os conjuntos A = {a, b, c} e B = {d, e}. O produto cartesiano A x B é representado por todos os pares ordenados (x, y) tais que 𝑥∈𝐴 e 𝑦∈𝐵. Deste modo, temos que o conjunto A x B é de�nido como {(a, d), (b, d), (c, d), (a, e), (b, e), (c, e)}. Alguns comentários importantes: 1 A ordem dos elementos do conjunto A x B pode ser alterada, mas a alteração da ordem dos elementos do par ordenado acaba determinando um novo elemento do conjunto A x B; 2 O produto cartesiano pode ser representado com a notação algébrica de conjunto, ou seja, A x B = {(x, y)/ 𝑥∈𝐴e𝑦∈𝐵}. Podemos ter produtos cartesianos associando quaisquer tipos de elementos – cores, formas, frutas, �ores, o que seja. Em particular, o produto cartesiano que se refere a conjuntos numéricos apresenta, como facilidade adicional, a possibilidade de uma representação grá�ca. Neste caso particular, cada um dos elementos do produto cartesiano pode ser representado como um ponto, e o conjunto de pontos obtido fornece o denominado plano cartesiano. Você pode escolher qualquer forma de representação, mas é importante perceber que, tradicionalmente, os valores de x estão dispostos no eixo horizontal (eixo x), que é também conhecido como eixo das abscissas. Por sua vez, os valores de y são usualmente localizados no eixo vertical (eixo y), denominado eixo das ordenadas. Exemplo Que tal ver a aplicação deste conceito em um novo exemplo, extraído de Brochi (2016)? Exemplo 2 <galeria/aula3/docs/exemplo_2.pdf> . Com estas de�nições em mente, estamos preparados para conhecer (ou rever) outros conceitos: relações binárias, propriedades e fechos. Relações binárias, propriedades e fechos Vamos começar com a de�nição de relação binária entre dois conjuntos: Uma relação entre dois conjuntos não vazios quaisquer A e B (ou relação binária entre A e B) é um subconjunto do produto cartesiano A x B, de�nido por uma propriedade especí�ca. Esta relação pode ser expressa de diversas formas. Dentre as formas algébricas, podemos utilizar: ∀𝑥∈𝐴,∀𝑦∈𝐵: propriedade que de�ne a relação entre x e y, de modo que (𝑥,𝑦)∈𝑅; (x, y) / propriedade que de�ne a relação entre x e y, de modo que (𝑥,𝑦)∈𝑅; R = {(x , y ), (x , y ), …, (x , y )}; x R y: x ~ y. (Aqui, o sinal “~” expressa qualquer sinal, fórmula ou propriedade matemática.) Conforme exposto em Brochi (2016): 1 1 2 2 n n http://estacio.webaula.com.br/cursos/gon963/galeria/aula3/docs/exemplo_2.pdf Em uma relação R de A em B, o conjunto dos valores x A que estão associados a valores y B é denominado domínio da relação e denotamos por D (R). E os valores y que estão associados a valores x compõem o conjunto que denominamos imagem da relação e denotamos por Im (R). O conjunto B, que contém a imagem da relação é denominado contradomínio da relação e é denotado por CD (R). Brochi, 2016. ∈ ∈ Exemplo 3 Considere os conjuntos A = {-1, 0, 2} e B = {1, 2, 3, 4}. Apresente a relação x R y: x = y. Neste exemplo, temos que: D(R) = {-1, 0, 2}; CD (R) = {1, 2, 3, 4}; Im (R) = {2} → isto se dá pois é o único elemento y ∈ B que está associado a um elemento x ∈ A; Logo, temos que x R y = {(2, 2)}. Podemos ainda utilizar outro tipo de representação grá�ca de relações binárias, que é o de diagramas (conforme visto na aula 1), utilizando �echas que indicam os elementos que se relacionam e o “sentido” da relação. Veja esta representação na Figura 2: Uma relação entre dois conjuntos pode atender a um rol de propriedades. A Tabela 1 indicada a seguir apresenta as principais propriedades e suas de�nições: Tabela 1 – Propriedades das relações Figura 2 – Diagrama de representação da relação R = {(x,y)/ x = y} Propriedade Definição Reflexiva Para todo x A, conseguimos encontrar x R x, isto é, todo valor x relaciona-se com si próprio. Simétrica Para todo par ordenado (x, y) de uma relação R, tivemos também o par ordenado (y, x). Antissimétrica Para todos os elementos x e y do conjunto A, se os pares ordenados (x, y) e (y, x) pertencem à R, então concluímos que x = y. Transitiva Quando x, y e z são elementos do conjunto A, se (x, y) e (y, z) são elementos dessa relação, então (x, z) também o é. ∈ Exemplo Vamos ver alguns exemplos de relações? Será que elas atendem a algumas destas propriedades? Exemplo 4, 5 e 6 <galeria/aula3/docs/exemplos_4_5_6.pdf> . Após você ter estudado e identi�cado as principais propriedades das relações, �ca mais fácil compreender a de�nição de fecho ou fechamento de uma relação. É o que faremos agora. Conforme expresso em Brochi (2016), dada uma relação R em um conjunto A, temos que uma relação R*, também em A, é um fecho de R em relação a uma propriedade P (que pode ser re�exiva, simétrica ou transitiva) se forem observadas as três condições seguintes: Por exemplo, seja A = {1, 2, 3} e R a relação de�nida em A por {(1, 1), (1, 2), (2, 3)}. O fecho re�exivo é dado por R* = R È {(2, 2), (3, 3)} = {(1, 1), (1, 2), (2, 2), (2, 3), (3, 3)}. Por �m, é tempo de tratar de duas de�nições relevantes no estudo de relações: a ordem parcial e a relação de equivalência. Vamos lá? 1 R* tem a propriedade P. 2 R R* (R é um subconjunto próprio de R*, isto é, R está contida em R*, mas não é igual a R).⊆ 3 R* é um subconjunto de qualquer outra relação em A que inclui R e tem a propriedade P (logo, R* é a “menor” relação possível com tais características). Uma ordem parcial de um conjunto não vazio A é qualquer relação R em A que seja re�exiva, antissimétrica e transitiva. http://estacio.webaula.com.br/cursos/gon963/galeria/aula3/docs/exemplos_4_5_6.pdf Como exemplo de uma ordem parcial de A, considere R como a relação em A = {0, 1, 2} tal que x R y : x ≤ y. Podemos, então, escrever: R = {(0, 0), (0, 1), (0, 2), (1, 1), (1, 2), (2, 2)}. Esta é uma relação re�exiva, pois para todo x A, temos (x, x) R; É também antissimétrica, pois, para qualquer par ordenado (x, y) que considerarmos, com x diferente de y, não existe (y, x); A propriedade transitiva também se veri�ca, pois sempre que x relaciona-se com y e este relaciona-se com z, vemos que x relaciona-se com z. O exemplo em que isso acontece nesta relação é com os pares ordenados (0, 1), (1, 2) e (0, 2), nessa ordem; Como a relação R é re�exiva, antissimétrica e transitiva em relação ao conjunto A, então dizemos que ela é uma ordem parcial em A. Já a relação de equivalência tem sua de�nição apresentada a seguir: ∈ ∈ Uma relação R em um conjunto A é considerada uma relação de equivalência se ela for re�exiva, simétrica e transitiva em A. Conforme exposto em Brochi (2016), vemos o conjunto �nito A= {1, 2, 3, 4} e a relação R = {(1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 2), (3, 3), (3, 4), (4, 3), (4, 4)} de�nida sobre A. Neste caso, temos que: 1 R é uma relação reflexiva, pois para todo x A, temos (x, x) R.∈ ∈ 2 R é também uma relação simétrica, pois além dos pares ordenados com coordenadas iguais, temos: (1, 2) e (2, 1); (3, 4) e (4, 3). 3 R também é transitiva, pois sempre que se observa as relações x R y e y R z, temos também a relação x R z. 4 Portanto, R é uma relação de equivalência em A. Exemplos práticos Existem diversas situações do dia a dia que se referem à relação entre duas ou mais variáveis. Por exemplo: 1. O preço pago em um posto de combustíveis tem relação com a quantidade solicitada no abastecimento. 2. O valor pago na tarifa de energia elétrica tem relação com o consumo mensal de cada assinante, residencial ou comercial. 3. O valor pago de IPVA tem relação com o valor do carro. Comentário Existem também inúmeros casos em que a relação se dá entre mais de duas variáveis, como o valor de uma compra em um supermercado, que depende não só da quantidade de itens de um determinado produto mas também da escolha do consumidor, em casos nos quais há mais de uma marca em oferta para um mesmo produto. No entanto, as situações em que elementos de dois conjuntos se relacionam já são bastante úteis e retratam uma boa quantidade de situações observadas na natureza e no dia a dia. Deste modo, é necessário que você conheça os fundamentos de relações, para aplicá-los de modo conveniente nas diversas situações do cotidiano. Atividade 1. Dados os conjuntos A = {1, 2, 3, 4, 5} e B = {-2, -1, 0, 1, 2}, além da relação R = {(x, y) / x + y = 0, x A, y B}, indique o conjunto- imagem de R. ∈ ∈ a) Im (R) = {-2, -1, 0, 1, 2} b) Im (R) = {0, 1, 2} c) Im (R) = {-2, -1} d) Im (R) = {-2, -1, 0} e) Im (R) = {0, 1} 2. Dados os conjuntos A = {1, 2, 3, 4, 5} e B = {-2, -1, 0, 1, 2}, além da relação R = {(x, y) / x + y = 0, x A, y A, y A, y B}, indique o contradomínio de R: ∈ ∈ ∈ ∈ a) CD (R) = {-2, -1, 0, 1, 2} b) CD (R) = {0, 1, 2} c) CD (R) = {-2, -1} d) CD (R) = {-2, -1, 0} e) CD (R) = {0, 1} 3. Dada a relação “x R y: x + y é par” sobre o conjunto dos números naturais, assinale a alternativa que lista TODAS as propriedades que ela satisfaz: a) Reflexiva e simétrica b) Reflexiva e antissimétrica c) Simétrica e transitiva d) Antissimétrica e transitiva e) Reflexiva, simétrica e transitiva 4. Considere o conjunto A = {1, 2, 3} e a relação R = {(x, y) A/ x é múltiplo de y}. Assinale a alternativa que apresenta o fecho re�exivo de R: ∈ a) R b) R È {(1, 1)} c) R È {(1, 1), (2, 2)} d) R È {(3, 1)} e) R È {(3, 3)} 5. Considere o conjunto A = {1, 2, 3} e a relação R = {(x, y) A/ x é múltiplo de y}. Assinale a alternativa que apresenta o fecho simétrico de R: ∈ a) R b) R È {(1, 1)} c) R È {(1, 2), (1, 3)} d) R È {(1, 2)} e) R È {(1, 3)} Referências BROCHI, A. L. C. Matemática aplicada à Computação. Rio de Janeiro: SESES, 2016. Próxima aula Funções; Funções sobrejetoras, injetoras e bijetoras; Funções compostas, funções inversas, funções do 1º e do 2º grau; Funções polinomiais: raízes e grá�cos. Explore mais Assista aos seguintes vídeos: “Relações e funções” <https://www.youtube.com/watch?v=0TfH7xgcQ0I> ; “Relação de equivalência” <https://www.youtube.com/watch?v=RmxRgoef_C8> . https://www.youtube.com/watch?v=0TfH7xgcQ0I https://www.youtube.com/watch?v=RmxRgoef_C8 / Disciplina: Matemática Computacional Aula 4: Funções / Apresentação O tema da aula de hoje é o conceito de função. Assim, dentre outros assuntos, você terá a oportunidade de estudar: funções sobrejetoras, injetoras e bijetoras; composição de funções; função inversa; funções do primeiro e do segundo grau e seus grá�cos; funções polinomiais: raízes e grá�cos. O conceito de função, mais do que presente em um curso da área de tecnologia, faz parte de nosso cotidiano. Em cada caso, vemos que há uma lei de formação que relaciona os elementos de dois conjuntos (consumo e quilometragem, tempo e complexidade, quantidade de itens e valor de compra), ou seja, existe uma função matemática. Assim, nesta quarta aula, trataremos de funções, conceitos associados e principais tipos, associados a exemplos para que você não só entenda esse importante tema da matemática, mas também seja capaz de aplicá-lo em situações-problema associadas aos diversos ramos da tecnologia. Objetivos Identi�car e compreender os conceitos associados aos principais tipos de funções: sobrejetoras, injetoras e bijetoras; Descrever o conceito de funções compostas e inversas; Explicar os principais tipos de funções polinomiais: as funções de 1o e 2o graus. / Razão e proporção Já de início, vamos ver a de�nição de função: Considere dois conjuntos A e B. Dizemos que f é uma função de A em B (escrevemos f : A → B) se, para todo elemento x ∈ A, há um único elemento y ∈ B. Nessa de�nição, vemos que a função f apresenta a relação entre duas grandezas, x e y. Tais grandezas são denominadas variáveis. Em especial, a variável x é denominada variável independente, enquanto a variável y, por apresentar um resultado que depende da lei de formação f e do valor da variável x, é conhecida como variável dependente. Saiba mais Normalmente, indicamos uma função da forma f(x) (lê-se: f de x ou uma função de x). De modo alternativo, podemos utilizar y (ou outra letra qualquer) no lugar de f(x). Dependendo do caso, podemos substituir as letras y e f por outras formas, de acordo com a grandeza representada (velocidade, consumo, preço etc.). Aqui em funções, os conceitos de domínio, contradomínio e imagem são idênticos ao que vimos na aula de relações. Logo, existem os termos domínio da função (D(f)), contradomínio da função (CD(f)) e imagem da função (Im(f)). Em especial, o termo “imagem” pode ser utilizado para representar a associação individual com um elemento do domínio, de acordo com a lei de formação da função. Exemplo / Considere os conjuntos A = {0, 1, 2, 3, 4} e B = {—1, 2, 5, 8, 11, 14, 17}, e a função y = f(x) tal que y = 3x — 1, com x ∈ A e y ∈ B. Neste caso, temos: D(f) = A = {0, 1, 2, 3, 4} CD(f) = B = {—1, 2, 5, 8, 11, 14, 17} Im(f) = {—1, 2, 5, 8, 11} Em particular, temos que “11” é a imagem de “4”, pois 3 ∙ 4 — 1 = 7. Além dessa forma algébrica, podemos representar a função f(x) utilizando diagramas, como indicado na �gura ao lado. Representação da função f(x) = {x ∈ A e y ∈ B/ y = 3x — 1} com diagramas. Você pode perceber que há grande semelhança com a de�nição de relação que vimos na aula anterior. No entanto, há algumas características peculiares ao conceito de função. Atenção Todos os elementos do conjunto A devem se relacionar com elementos do conjunto B; e Cada elemento de A está associado a um único elemento de B. Logo, nem toda relação é uma função. Veja dois exemplos que contextualizam a a�rmação acima destacada: / Clique nos botões para ver as informações. A relação y = x + 3 de�nida nos conjuntos A = {—1, 0, 2} e B = {1, 2, 3, 4} com x ∈ A e y ∈ B não é uma função, já que o elemento 2 do conjunto A não se relaciona com nenhum elemento do conjunto B, pois (2) + 3 = 7, que não pertence ao conjunto B. Exemplo 1 2 2 A relação , dados os conjuntos A = {0, 1, 4} e B = {—2, 0, 1, 2, 3} com x ∈ A e y ∈ B também não é uma função, pois o elemento 4 do conjunto A se relaciona com dois elementos do conjunto B, —2 e +2, a partir do emprego da lei de formação indicada. Exemplo 2 y= ± x√ Comentário Quanto ao contradomínio, não há essa preocupação. No entanto, o comportamento do conjunto B pode variar caso a caso: há situações em que todos os elementos de CD (f) estão associados a elementos de D(f). Em outros casos, cada elemento de CD (f) está associado a um único elemento de D(f). Assim, dependendo do caso, podemos classi�car as funções em injetora, sobrejetora ou bijetora. Uma função f de A em B é denominada sobrejetora (ou sobrejetiva) quando todo elemento do conjunto B é imagem de,pelo menos, um elemento do conjunto A, ou seja, quando CD(f) = Im(f). Exemplo Dados os conjuntos A = {—3, —2, —1, 0, 1, 2, 3} e B = {—3, —2, 1, 6}, considere a função f: A → B tal que f(x) = x — 3. Temos que: f(—3) = (—3) — 3 = 9 — 3 = 6 f(—2) = (—2) — 3 = 4 — 3 = 1 f(—1) = (—1) — 3 = 1 — 3 = —2 f(0) = (0) — 3 = 0 — 3 = —3 f(1) = (1) — 3 = 1 — 3 = —2 f(2) = (2) — 3 = 4 — 3 = 1 f(3) = (3) — 3 = 9 — 3 = 6 f(3) = (3) — 3 = 9 — 3 = 6 Vemos que todos os elementos de B estão associados a, pelo menos, um elemento de A. Assim, temos que esta função é sobrejetora. 2 2 2 2 2 2 2 2 2 / Uma função f de A em B é denominada injetora (ou injetiva) quando cada elemento da sua imagem tem uma única associação com elemento do domínio, ou seja, se para quaisquer dois elementos distintos de seu domínio correspondem dois elementos distintos de sua imagem. Exemplo Dados os conjuntos A = {0, 1, 2, 3} e B = {—3, —2, 1, 6, 13}, considere a função f: A → B tal que f(x) = x — 3. Temos que: f(0) = (0) — 3 = 0 — 3 = —3 f(1) = (1) — 3 = 1 — 3 = —2 f(2) = (2) — 3 = 4 — 3 = 1 f(3) = (3) — 3 = 9 — 3 = 6 Vemos aqui que o conjunto imagem Im(f) é dado por {—3, —2, 1, 6} e que cada um destes elementos está associado a apenas um elemento do conjunto domínio D(f). Logo, temos que esta função é injetora. 2 2 2 2 2 Uma função f de A em B é denominada bijetora (ou bijetiva) quando todo elemento do conjunto B é imagem de um único elemento do conjunto A, ou seja, quando é injetora e sobrejetora ao mesmo tempo. Exemplo Dados os conjuntos A = {0, 1, 2, 3} e B = {—3, —2, 1, 6}, considere a função f: A → B tal que f(x) = x — 3. Temos que: f(0) = (0) — 3 = 0 — 3 = —3 f(1) = (1) — 3 = 1 — 3 = —2 f(2) = (2) — 3 = 4 — 3 = 1 f(3) = (3) — 3 = 9 — 3 = 6 Todos os elementos do conjunto B são imagem de um único elemento do conjunto A, ou seja, a função é sobrejetiva e injetiva ao mesmo tempo. Logo, essa função é um exemplo de função bijetiva. 2 2 2 2 2 / Função inversa e função composta Agora podemos ver dois tipos especiais de emprego de funções: inversa e composta. Funções Inversas Uma aplicação clássica de função em mecânica é o cálculo da distância percorrida por um móvel em determinado intervalo de tempo a uma velocidade constante. Chamando de s a distância percorrida, v a velocidade empregada e t o intervalo de tempo, temos que s = v · t. No entanto, podemos fazer o cálculo inverso, ou seja, o tempo t gasto para percorrer determinada distância s. Basta isolar a variável t, de modo a obter t = s/v. Assim, vemos que as funções s = v · t e t = s/v são denominadas funções inversas. Segundo Brochi (2016), qualquer par (x,y) que pertença à primeira é tal que o par (y, x) pertence à segunda. Logo, o que é domínio em uma função é imagem em sua inversa, e vice-versa. A notação que utilizamos para determinar a função inversa de f é f .—1 Atenção Um ponto interessante para notar é que uma função f admite função inversa f quando ela é bijetora (todo elemento do contradomínio está associado a um único elemento do domínio). —1 Funções Compostas Considere uma empresa cujo faturamento f é dependente da receita r obtida, de acordo com a lei de formação f(r) = 0,9 ∙ r + 1 000. No entanto, a receita obtida, por sua vez, é também dependente de outra variável, o preço p, de modo que podemos representar da forma r(p) = 0,8 ∙ p. Ou seja, a função receita é, na verdade, uma variável independente da função faturamento. Desse modo, temos que o faturamento poderia ser expresso diretamente como uma função do preço, digamos, sob a expressão g(p), que relaciona o faturamento f ao preço p, pois f(r) = 0,9 ∙ r + 1 000, mas r pode ser substituída por 0,8 ∙ p. Logo, f(r) é, em verdade, f(r(p)) = 0,9 ∙ (0,8 ∙ p) + 1 000. Assim, g(p) = 0,72 ∙ p + 1 000. Fizemos a composição das funções de faturamento e receita, gerando uma função composta g(p) que equivale à função f(r(p)) (em notação alternativa, (f o r) (p), em que a letra o indica composição de funções). 1 http://estacio.webaula.com.br/cursos/gon963/aula4.html / Funções do primeiro e do segundo graus e seus grá�cos Para �nalizar este estudo, veremos dois tipos de funções que apresentam uma grande quantidade de aplicações: a função do 1º grau e a função do 2º grau. Vamos às de�nições: Uma função f na variável x, tal que f: R → R, é denominada função do primeiro grau se pode ser escrita na forma f (x) = ax + b (ou y = ax + b), em que a e b são valores reais quaisquer, com a ≠ 0. Comentário Temos aqui que a constante real a é denominada coe�ciente angular (ou de inclinação) da função. Ela é sempre o valor (coe�ciente) que multiplica a variável independente x. Já a constante b é denominada coe�ciente linear da função, e é sempre o valor que aparece isolado, isto é, não multiplica a variável independente. Veja um exemplo de função do 1º grau: Exemplo Considere a função f(x) = 3x + 3. Aqui, temos: x: incógnita, valor variável ou, simplesmente, variável. f(x): regra de transformação do valor da variável x de interesse. Em outras palavras, trata-se de uma função na variável x. Neste caso, para cada valor de x de interesse, a regra de transformação – ou melhor, a função – retorna um valor equivalente ao triplo de x (3x) acrescido de 3 unidades (3x + 3). Você pode calcular, para cada valor de x, um valor para a função f(x), como nos casos a seguir: x f(x) 2 3 ∙ (2) + 3 = 6 + 3 = 9 4 3 ∙ (4) + 3 = 12 + 3 = 15 —1 3 ∙ (—1) + 3 = —3 + 3 = 0 / O grá�co da função de primeiro grau é sempre uma reta, e o “sinal” do coe�ciente angular determina se ela será crescente (a > 0) ou decrescente (a < 0). Já o coe�ciente linear b indica o ponto (valor) no qual a reta, que é o grá�co da função de primeiro grau, cruza o eixo vertical y. Observe abaixo, o grá�co da função f(x) = 3x + 3. Uma função do primeiro grau é sempre bijetora, pois ela é injetora e sobrejetora. Como todos os elementos do contradomínio participam da relação (o conjunto imagem é igual ao contradomínio), concluímos que ela é sobrejetora. Além disso, sempre que x1 ≠ x2, temos f (x1) ≠ f (x2), o que nos leva a concluir que ela é injetora (cada valor de y está associado a um único valor de x). Dois pontos que, geralmente, são importantes nas aplicações de funções são raiz e intercepto. Gráfico da função linear f(x) = 3x + 3 1 Raiz A raiz de uma função é o valor (ou os valores) de x para o qual (ou para os quais) a função se anula. 2 Intercepto O intercepto de uma função é o ponto de interseção do seu grá�co com o eixo y. Neste caso, temos que a raiz é x = —1 e o intercepto é dado pelo par ordenado (0, 3). Já a função do segundo grau apresenta a seguinte de�nição (BROCHI, 2016): Denominamos função do segundo grau, na variável x, toda função f: R → R que pode ser escrita na forma f (x) = ax2 + bx + c (ou y = ax + bx + c) em que a, b e c são valores reais quaisquer, com a ≠ 0. 2 / É importante notar que: O único coe�ciente que não pode ser nulo é a. Caso isso aconteça, a função deixa de ser do segundo grau. O grá�co de uma função do 2º grau tem o formato de uma parábola, cuja concavidade pode ser para cima (quando a > 0) ou para baixo (quando a < 0). Alguns outros pontos importantes: Clique nos botões para ver as informações. Valor de x em que y assume o valor 0. Uma função do segundo grau pode ter ou não raízes. Além disso, o encontro da parábola pode se dar em um único ponto ou em dois. Raiz Ponto de interseção de uma função com o eixo vertical y, ou seja, é o ponto da função em que x = 0. Intercepto Dado por b — 4ac. O sinal do discriminante indica o número de raízes da equação. Δ > 0: 2 raízes distintas Δ = 0: 1 raiz dupla Δ < 0: nenhuma raiz Discriminante (Δ) 2 ponto mais baixo da parábola, quando a concavidade é voltada para cima (a > 0), ou o ponto mais alto, quando a concavidade é voltada para baixo (a < 0). E, em relação ao eixo vertical que passa sobre o vértice, a parábola apresenta simetria. É representado pelo par ordenado . Vérticeda parábola ( , − )−b 2a Δ 4a De acordo com a fórmula de Bhaskara, temos que as raízes de uma equação do 2º grau são dadas por =x1,2 −b± Δ√ 2a / Veja ao lado o grá�co da função y = x — 5x + 6. Perceba que, aplicando a fórmula de Bhaskara indicada, a função apresenta duas raízes (x = 2 e x = 3), o intercepto é o ponto (0, 6) e o vértice é dado por x = 2,5 e y = —0,25. O domínio de uma função quadrática é composto por todos os números reais. Com relação à imagem, é preciso considerar que a coordenada y a limita. Se a concavidade da parábola é voltada para cima, então o conjunto-imagem é dado por Im (f) = [y , [. Quando a concavidade é voltada para baixo, temos Im (f) = [ , y [. No caso da função apresentada neste exemplo, temos Im (f) = [– 0,25, [. 2 v v ∞ —∞ v ∞ Gráfico da função do 2º grau f(x) = y = x2 — 5x + 6. Atividade 1. Quanto à função f(x) = 3 + x, assinale a ÚNICA alternativa certa: a) função é injetora e seu gráfico é representado por uma reta. b) A função é injetora e seu gráfico é representado por uma parábola. c) A função é sobrejetora e seu gráfico é representado por uma reta. d) A função é sobrejetora e seu gráfico é representado por uma parábola. e) A função é bijetora e seu gráfico é representado por uma reta. 2. Em uma fábrica, existe o custo �xo de R$50,00 para a produção de peças, mais um custo variável de R$5,00 por unidade produzida. Sabendo-se que o dono da empresa destinou, no máximo, R$1000,00 para custear a produção, calcule o número máximo de peças unitárias (x) que podem ser produzidas, sem ultrapassar o orçamento estipulado. a) 200 peças b) 20 peças c) 190 peças d) 100 peças e) 10 peças / 3. O lucro L (em milhares de reais) referente à produção e comercialização de uma quantidade de x toneladas de certo produto é dado pela função L = —x + 30x — 125. Qual é a quantidade que deve ser produzida e comercializada para que o lucro seja máximo? 2 a) 5 b) 10 c) 15 d) 20 e) 25 Notas Função Composta 1 É interessante notar que a função composta não é comutativa. Referências BROCHI, A. L. C. Matemática aplicada à Computação. Rio de Janeiro: SESES, 2016. Próxima aula Cálculo proposicional; De�nições, principais procedimentos para resolução de problemas associados à linguagem natural e simbólica; Proposições simples e compostas. Explore mais Assista aos seguintes vídeos: Funções sobrejetoras e injetoras <https://www.youtube.com/watch?v=8ror_qymvlo> ; Introdução às funções inversas <https://pt.khanacademy.org/math/algebra2/manipulating-functions/introduction-to- inverses-of-functions/v/introduction-to-function-inverses> ; O que é uma função? <https://pt.khanacademy.org/math/algebra/algebra-functions/evaluating-functions/v/what-is-a- function> ; Função Injetora, Sobrejetora e Bijetora <https://www.youtube.com/watch?v=zv6m9ww3Jfs> ; Matemática – Aula 17 – Função polinomial do 1o grau <https://www.youtube.com/watch?v=Vkxrhm_UcJU> . https://www.youtube.com/watch?v=8ror_qymvlo https://pt.khanacademy.org/math/algebra2/manipulating-functions/introduction-to-inverses-of-functions/v/introduction-to-function-inverses https://pt.khanacademy.org/math/algebra/algebra-functions/evaluating-functions/v/what-is-a-function https://www.youtube.com/watch?v=zv6m9ww3Jfs https://www.youtube.com/watch?v=Vkxrhm_UcJU Disciplina: Matemática Computacional Aula 5: Fundamentos de cálculo proposicional Apresentação Estudaremos as diferenças entre as lógicas natural e simbólica. Em seguida, serão identi�cadas e representadas as proposições simples e compostas. Por �m, veremos os principais conectivos empregados em proposições compostas, veri�cando como se dá a aplicação destes conceitos em casos típicos da área de Tecnologia. Objetivos Diferenciar as lógicas natural e simbólica; Identi�car e representar proposições simples e compostas; Listar os principais conectivos empregados em proposições compostas. Lógica De acordo com o dicionário Aurélio, a palavra lógica apresenta vários signi�cados, dentre os quais se destacam: Naturalmente, todas essas de�nições são válidas, mas a última é a que mais se alinha ao sentido de nosso estudo, não só nesta aula, mas até o �nal do curso de Matemática Computacional. Em particular, �caremos com a seguinte de�nição de lógica matemática: O estudo de lógica é o estudo dos métodos e princípios usados para distinguir o raciocínio correto do incorreto. Fonte: Portal UFV <ftp://ftp.ufv.br/dma/Listas%20Antigas/logica.PDF> . ftp://ftp.ufv.br/dma/Listas%20Antigas/logica.PDF Conforme descrito em Brochi (2016), a lógica matemática permite expressar a forma do pensamento com base em proposições que dão suporte a demonstrações e argumentos. Assim, é possível não só procurar, mas também demonstrar a verdade. Vemos que as proposições são o elemento básico para procurar a verdade e se chegar a conclusões. Não são construídas de qualquer forma — na verdade, deve-se seguir um conjunto de regras (ou formalismos) para se demonstrar a verdade (as chamadas deduções), conforme previsto na área da lógica matemática denominada cálculo proposicional. O conceito do cérebro humano. O hemisfério criativo direito versus o hemisfério lógico esquerdo. Fonte: Shutterstock Por Triff. Raciocínio e lógica: linguagem natural e linguagem simbólica Muitas vezes, as pessoas estão interessadas somente nos resultados obtidos, sem se preocupar com os processos para obtenção dos resultados, não é mesmo? No entanto, é fundamental que o processo de raciocínio esteja correto. Por isso, é preciso sempre se perguntar: será que a conclusão alcançada realmente deriva das premissas usadas ou pressupostas? Tudo bem se as premissas fornecem base ou boas provas para a conclusão. Raciocínio Correto Logo, o raciocínio é correto se a a�rmação da verdade das premissas garante a a�rmação de que a conclusão também é verdadeira. Raciocínio Incorreto No entanto, se não há como dar essa garantia a partir das premissas, o raciocínio é incorreto. E justamente a questão principal da lógica matemática e, em particular, do cálculo proposicional é a distinção entre o raciocínio correto e o incorreto. Chamamos de inferência o processo pelo qual se chega a uma conclusão. Em lógica, o importante é examinar a forma da inferência, a �m de veri�car se é justi�cável chegar à determinada conclusão. Dica Estratégias como divagação, associações de ideias e imaginação são recursos válidos para o pensamento, mas inadequadas para apresentar conclusões corretas sob a ótica da lógica matemática. Para se atender a esse rigor matemático no processo de inferência, é importante identi�car a forma correta de expressar o raciocínio — premissas ou conclusões. Como descrito em Brochi (2016), utilizamos uma linguagem diferente da que estamos acostumados no dia a dia — a dita linguagem natural. Isso acontece porque, na linguagem natural, há muitos casos de ambiguidade em que uma mesma sentença pode conter mais do que um signi�cado. Isso não pode ocorrer com as sentenças utilizadas na lógica matemática. Por esse motivo, utilizamos uma linguagem simbólica para representar o raciocínio que analisaremos ao longo do restante do curso. O objetivo aqui é fazer com que apenas uma interpretação seja permitida e considerada, para que não haja dúvida sobre o que está sendo a�rmado. Fórmulas Matemáticas. Fonte: Shutterstock por Erik Svoboda. Diferença entre estas as formas de linguagem Vamos ver a diferença entre estas as formas de linguagem; Linguagem Natural, Linguagem Simbólica, Linguagem Formal e Silogismos: Fonte: Shutterstock. Clique nos botões para ver as informações. Ao comer sua papinha, Juliana deixou cair um pouco no babador. Suas primas, vendo tudo, disseram: “Cuidado, Juju! Você deixou cair quase tudo!”. Naturalmente, trata-se de um exagero — embora isso possa ocorrer com alguns bebês. O objetivo das primas de Juliana não foi o de chegar a uma conclusão lógica após avaliar a massa de papinha que caiu na roupa de Juliana (indicando que superou um limiar de, digamos,90% do que estava no prato de comida). Trata-se apenas de uma forma de dizer que a quantidade de papinha que Juliana deixou escorrer não foi pouca. Linguagem Natural Por sua vez, na lógica matemática, não há exageros ou possibilidades. Aqui, só se pode apresentar uma conclusão quando se tem certeza. Vamos ver uma apresentação de raciocínio empregando a linguagem simbólica: Se Juliana não comer sua papinha, então não poderá passear na praça. De acordo com a lógica matemática, podemos utilizar a linguagem simbólica para representar a frase anterior “se p, então q”, onde p representa a proposição “Se Juliana não comer sua papinha” e q representa a proposição “então não poderá passear na praça”. Repare que só podemos chegar a uma conclusão: se Juliana não comer, então não poderá passear na praça. E se ela comer a papinha? Não sabemos, pois o exemplo não discrimina o que vai acontecer — passear na praça ou não. Em outras palavras, o raciocínio descrito somente será falso se Juliana não comer sua papinha e, ainda assim, passear na praça. Esse exemplo ilustra que a lógica matemática é considerada dedutiva (BROCHI, 2016). ATENÇÃO: O argumento dedutivo é aquele cuja conclusão é inferida necessariamente a partir de suas premissas. Nele, existe uma ligação entre as premissas e a conclusão, de modo que só se pode chegar a determinada conclusão, não a outras, sem que se diga mais na conclusão do que foi dito nas premissas. Linguagem Simbólica Além disso, a lógica matemática é formal. Vejamos. Juliana é um bebê. Todo bebê come papinha. Então, Juliana come papinha. Se considerarmos que as duas primeiras frases (“Juliana é um bebê” e “Todo bebê come papinha”) são verdadeiras, não há como negar que a terceira frase (“Juliana come papinha”) também é verdadeira, mesmo que não sejamos pediatras para con�rmar as duas frases iniciais. ATENÇÃO: É por isso que dizemos que a linguagem é formal: ela se preocupa com a forma do pensamento, e não com o conteúdo. Linguagem Formal Podemos substituir os termos “Juliana”, “bebê” e “come papinha” por A, B e C, respectivamente, e ainda assim chegar à mesma conclusão. Veja: A é B. Todo B faz C. Então, A faz C. Conforme descrito em Brochi (2016), raciocínios como o apresentado no último exemplo são conhecidos por silogismos. ATENÇÃO: Um silogismo tem as seguintes propriedades: Possui duas sentenças (premissas), que servem como ponto de partida para a dedução — ou seja, dessas sentenças decorre outra, que é a conclusão. Tanto as premissas como a conclusão são sentenças com sujeito e predicado. A vinculação se dá por certas palavras que chamamos palavras lógicas. Exemplos de palavras lógicas são: todos, existe algum, ou, se...então, não, é. Outros são chamados de conectivos, outros de quanti�cadores. Silogismos Proposições simples e compostas Em primeiro lugar, precisamos de�nir o que é uma proposição. Proposição é um conceito primitivo que apresenta as seguintes características: 1. Deve ser a�rmativa; 2. Apresentar pensamento de sentido completo; 3. Pode ser escrita tanto na forma simbólica como na linguagem natural; 4. Pode ser classi�cada em verdadeira ou falsa. Há diversas sentenças que não podem ser classi�cadas como proposições. E outras inúmeras sentenças que podem ser classi�cadas como proposições, pois atendem aos quatro requisitos listados na de�nição anterior. Vejamos a seguir exemplos daquilo que pode ou não ser uma preposição: Clique nos botões para ver as informações. “Você estudou?” — trata-se de uma sentença interrogativa, e não a�rmativa. “O quadrado de x é igual a 9” — trata-se de uma sentença aberta; não é possível obter seu sentido completo sem a informação do valor de x, de modo que não se pode determinar se é verdadeira ou falsa. “Que assunto interessante!” — é uma sentença exclamativa, que não pode ser descrita em linguagem simbólica. Não Proposição Por outro lado, inúmeras sentenças podem ser classi�cadas como proposições, pois atendem aos quatro requisitos listados na de�nição anterior: S1 — “Campinas é uma cidade de São Paulo.” S2 — “O Brasil é um país europeu.” S3 — “Se João é aluno de Exatas, então está matriculado no curso de Tecnologia de Redes de Computadores ou é aluno de Engenharia Elétrica.” ATENÇÃO: Podemos perceber diversos aspectos interessantes nestas três últimas sentenças: Todas são declarativas (ou a�rmativas) e apresentam sentido completo. Todas podem ser classi�cadas como verdadeiras ou falsas (ou “1” e “0”, respectivamente). Por exemplo, S1 é verdadeira (“1”) e S2 é falsa (“0”). A sentença S3 só pode ser avaliada por alguém que conheça João. Todas podem ser escritas na forma simbólica. S1 e S2 apresentam uma única proposição — logo, são denominadas proposições simples, representadas por letras minúsculas. S3 é uma proposição composta, visto que pode ser separada em três proposições simples interligadas com o emprego de conectivos: p: João é aluno de Exatas. q: João está matriculado no curso de Tecnologia de Redes de Computadores. r: João é aluno de Engenharia Elétrica. Desse modo, S3 pode ser expressa de forma simbólica como 𝑝→(𝑞∨𝑟) (leia-se: “se p, então q ou r”). Proposição Conforme descrito em Brochi (2016), no cálculo proposicional, cada proposição simples é também chamada de átomo. Por sua vez, uma sentença em que são combinadas proposições simples (átomos) através do uso de conectivos é denominada de sentença atômica. Para �nalizar essa investigação sobre a de�nição e os tipos de proposições, é importante saber que existem dois princípios que consideramos no estudo da lógica matemática. Eles são bastante simples, mas relevantes no estudo e de aplicação geral. Princípio da não contradição Uma proposição não pode ser simultaneamente verdadeira e falsa. Princípio do terceiro excluído Toda proposição ou é só verdadeira, ou só falsa, nunca ocorrendo um terceiro caso. Atenção Com esses dois princípios, esteja certo de que toda proposição que consideramos será sempre verdadeira ou falsa. Não há espaço para “talvez”. Além disso, nenhuma proposição pode ser verdadeira e falsa ao mesmo tempo. Conectivos Na gramática das linguagens naturais, duas sentenças (mais precisamente, duas orações) podem ser unidas por uma conjunção para formar uma sentença composta (o dito período composto), trazendo, dentre outros conceitos, ideias: adversativas (mas, porém, contudo), aditivas (e), alternativas (ou), conclusivas (então), explicativas (pois), Pensando agora em lógica matemática, vemos que algumas dessas conjunções gramaticais também são aplicadas. Veja a seguir dois exemplos: Clique nos botões para ver as informações. Considere as seguintes sentenças: S1: Juliana estuda Matemática. S2: Rafaela estuda Matemática. S3: Juliana estuda Matemática e Rafaela estuda Matemática. S4: Juliana estuda Matemática, então Rafaela estuda Matemática. Em linguagem natural, vemos que as palavras "e" e "então" nas sentenças S3 e S4 são conjunções que unem as sentenças (S1) e (S2) para formar as sentenças compostas (S3) e (S4). Já em linguagem simbólica, temos que o "e" utilizado em (S3) é um conectivo lógico, pois o valor verdade de (S3) é determinado por (S1) e (S2): não faria sentido a�rmar (S1) e (S2) e negar (S3). No entanto, a palavra "então" em (S4) não pode ser considerada um conectivo lógico, pois é possível que (S1) e (S2) sejam verdadeiras e, mesmo assim, negar (S4). Exemplo 1 Rafaela pode ter estudado matemática porque deseja aprender cálculo proposicional, e não porque Juliana estuda matemática. Desse modo, vemos que várias palavras e expressões representam conectivos lógicos. A lista a seguir apresenta os mais usados: "ou" (disjunção) ( ∨ ) "ou...ou" (disjunção exclusiva) ( ∨ ) "se...então" (condicional) ( → ) "se e somente se" (bicondicional) ( ↔ ) "não" (negação), que também expressa um conectivo lógico, mesmo sendo aplicada a uma única sentença (~) Como estamos tratando de linguagem simbólica, você deve ter percebido que cada um desses conectivosé representado por um símbolo. Esses símbolos são chamados conectivos ou operadores lógicos. Por ora, é importante que você já saiba disso, pois podemos chegar a conclusões muito interessantes a partir das regras de comportamento (as denominadas tabelas-verdade) de cada um desses conectivos. Eles permitem que novas fórmulas bem- formadas sejam construídas ao juntar outras fórmulas bem-formadas usando conectivos lógicas — um assunto para uma próxima aula. Exemplo 2 Atividade 1. Assinale a ÚNICA alternativa que NÃO representa uma característica de proposições: a) Deve ser afirmativa. b) Apresenta pensamento de sentido completo. c) Pode ser escrita na forma simbólica. d) Pode ser classificada como verdadeira ou falsa. e) Somente pode ser escrita em linguagem natural. 2. Assinale a ÚNICA alternativa que apresenta corretamente as características da lógica matemática: a) Dedutiva e formal b) Indutiva e formal c) Dedutiva e informal d) Indutiva e informal e) Nenhuma das alternativas anteriores 3. Assinale a ÚNICA alternativa INCORRETA: a) De acordo com o princípio da não contradição, uma proposição não pode ser simultaneamente verdadeira e falsa. b) De acordo com o princípio do terceiro excluído, toda proposição ou é só verdadeira, ou só falsa, nunca ocorrendo um terceiro caso. c) Cada proposição simples é também denominada de átomo. d) A proposição composta é constituída de proposições simples, as quais são interligadas com o emprego de conectivos. e) Uma sentença em que são combinadas proposições simples (átomos) através do uso de conectivos é denominada de sentença composta. 4. Assinale a ÚNICA correlação CORRETA na lista apresentada a seguir: a) "e" (disjunção) () b) "ou" (disjunção exclusiva) () c) "ou...ou" (conjunção) () d) "se...então" (condicional) () e) "se e somente se" (bicondicional) () 5. Assinale a ÚNICA interpretação CORRETA da proposição composta p→(q∧r): a) Se p, então q b) q e r se e somente se p c) Se p, então nem q nem r d) Se p, então q ou r e) Se p, então q e r Notas Função Composta 1 É interessante notar que a função composta não é comutativa. Referências Dicionário Aurélio. Verbete “lógica”. Disponível em: < https:// dicionariodoaurelio .com /logica <https://dicionariodoaurelio.com/logica> >. Acesso em: 18 jan. 2019. Universidade Federal de Viçosa. Introdução à lógica matemática. Disponível em: < ftp:// ftp .ufv .br /dma/ Listas%20Antigas /logica .PDF <ftp://ftp.ufv.br/dma/Listas%20Antigas/logica.PDF> >. Acesso em: 18 jan. 2019. BROCHI, A. L. C. Matemática aplicada à Computação. Rio de Janeiro: SESES, 2016. Próxima aula Construção de tabelas-verdade; Ordem de precedência dos conectivos; Álgebra de Boole aplicada à construção de tabelas-verdade; Conceitos de tautologia, contradição, contingência e implicação lógica. Explore mais Certamente, há materiais adicionais que podem complementar e ampliar seu conhecimento sobre cálculo proposicional, motivando-o ainda mais para os novos desa�os que virão. Veja algumas sugestões: “Noções de lógica matemática”: https:// www .pucsp .br /~logica /Proposicional .htm <https://www.pucsp.br/~logica/Proposicional.htm> . “Cálculo proposicional”: https:// www .conhecimentogeral .inf .br /calculo _proposicional/ <https://www.conhecimentogeral.inf.br/calculo_proposicional/> . “Fundamentos matemáticos da computação”: https:// www .youtube .com/ watch?v= THieoMyTrLs <https://www youtube com/watch?v=THieoMyTrLs> https://dicionariodoaurelio.com/logica ftp://ftp.ufv.br/dma/Listas%20Antigas/logica.PDF https://www.pucsp.br/~logica/Proposicional.htm https://www.conhecimentogeral.inf.br/calculo_proposicional/ https://www.youtube.com/watch?v=THieoMyTrLs <https://www.youtube.com/watch?v=THieoMyTrLs> . “Lógica e matemática discreta: Aula 2 – Lógica”: https:// www .youtube .com/watch?v= EElh5FJ7FhI <https://www.youtube.com/watch?v=EElh5FJ7FhI> . https://www.youtube.com/watch?v=THieoMyTrLs https://www.youtube.com/watch?v=EElh5FJ7FhI Disciplina: Matemática Computacional Aula 6: Cálculo proposicional - tabelas-verdade Apresentação Hoje continuaremos nosso aprendizado de lógica matemática a partir de um tema de grande importância: tabelas-verdade. Dentre outros assuntos, você terá a oportunidade de estudar temas como: Tabelas-verdade; interpretação; ordem de precedência dos conectivos; Álgebra de Boole aplicada à construção de tabelas verdade; e Tautologia, Contradição e contingência. Objetivos Rever os principais conceitos de tabelas-verdade; Descrever os métodos para resolução de problemas envolvendo interpretação e ordem de precedência de conectivos; Aplicar a álgebra de Boole na construção de tabelas-verdade e na identi�cação de tautologias, contradições e contingências. Por que este tema é importante? Torcedora do Flamengo | Fonte: Freepik <https://br.freepik.com/fotos- gratis/mulher-alegre-com-bracos-levantados_1977081.htm> Considere a seguinte proposição composta: Como vimos na Aula 5, nós nos deparamos aqui com uma proposição composta que contém duas proposições simples: Com base no princípio do terceiro excluído, estudado na aula passada, temos que cada uma das proposições simples apresentadas (aqui, p e q) só pode ser verdadeira ou falsa, nunca ocorrendo um terceiro caso. Juliana tem menos de 20 anos de idade e é torcedora do Flamengo. p – Juliana tem menos de 20 anos de idade. q – Juliana é torcedora do Flamengo. No entanto, e a proposição composta 𝑝∧𝑞 aqui apresentada? Como saber se é verdadeira ou falsa? Para fazer essa análise (também conhecida como análise veritativa), devemos analisar todas as situações possíveis, a partir das opções de cada uma das proposições simples. Veri�que as combinações existentes na Tabela 1 apresentada a seguir: Tabela 1 – Tabela-verdade da proposição composta 𝒑∧𝒒 p q 𝑝∧𝑞 V V V V F F F V F F F F https://br.freepik.com/fotos-gratis/mulher-alegre-com-bracos-levantados_1977081.htm Negação Conjunção Disjunção Disjunção Exclusiva Condicional Bicondicional Podemos extrair informações importantes de uma tabela-verdade: 1. A tabela-verdade é importante para avaliar o caráter veritativo de proposições compostas. 2. Como são duas proposições e cada uma delas tem duas opções, pelo princípio do terceiro excluído, a tabela-verdade apresenta 2 = 4 opções. Uma proposição composta de n proposições simples distintas apresenta, assim, 2 opções. 3. A terceira coluna apresenta o valor da proposição composta 𝑝∧𝑞. Assim, vemos que a proposição estudada só é verdadeira se as duas proposições simples (p: Juliana tem menos de 20 anos de idade e q: Juliana é torcedora do Flamengo) forem verdadeiras. Em qualquer outro caso, a proposição é falsa. Há inúmeros exemplos adicionais de situações que envolvem o emprego do conceito de tabela-verdade. No entanto, as ilustrações mostradas no parágrafo anterior são su�cientes para que se possa identi�car a importância de conhecer e aplicar os fundamentos de lógica matemática nas diversas situações do cotidiano. 2 n Tabelas-verdade, interpretação e ordem de precedência dos conectivos Veremos agora a interpretação e a tabela-verdade dos principais conectivos do cálculo proposicional, de acordo com a lista proposta em Brochi (2016). Negação O conectivo “não é verdade que” serve de pre�xo a uma proposição para formar uma nova, chamada de negação da primeira. Sua notação é dada por ~p ou ¬p (lê-se: “não é verdade que p” ou “é falso que p”). Dentre os principais conectivos, é o único que não conecta duas proposições, mas modi�ca uma proposição, obtendo outra proposição. Exemplo Considere a proposição p: “Juliana é torcedora do Flamengo”. Logo, ~p indica que “Juliana não é torcedora do Flamengo”. Sua tabela-verdade é dada por: p ~p V F F V Conjunção A conjunção de duas proposições p e q é uma proposição que só é verdadeira quando V(p) = V(q) = 1, ou seja, ambas as proposições simples são verdadeiras. Nos demais casos, ela é falsa. Sua notação é p ∧ q (lê-se: “p e q”). Exemplo Considere as proposições: p: “O número4 é natural” e q: “O número 4 é racional”. A conjunção de p e q, nesse caso, será dada por p ∧ q: “O número 4 é natural e racional”. Observe que p ∧ q é considerada verdadeira, pois o número 4 é um número natural e também é racional (todo número natural é também racional). Sua tabela-verdade é dada por: p q p ∧ q V V V V F F F V F F F F Disjunção A disjunção (ou disjunção inclusiva) de duas proposições p e q é uma proposição que somente é falsa se V(p) = V(q) = 0, ou seja, se as proposições p e q forem falsas. Caso contrário, a disjunção é verdadeira. Sua notação é expressa por p Ú q (lê-se: “p ou q”). Exemplo Considere as proposições: p: “O número 4 é natural” e q: “O número 4 é irracional”. A disjunção de p e q, nesse caso, será dada por p Ú q: “O número 4 é natural ou irracional”. Observe que p Ú q é considerada verdadeira, pois o número 4 é um número natural, embora não seja irracional (todo número natural é também racional; logo, a segunda proposição é falsa). Sua tabela-verdade é dada por: p q p Ú q V V V V F V F V V F F F Disjunção Exclusiva A disjunção exclusiva entre duas proposições p e q é uma proposição verdadeira somente quando seus valores lógicos forem diferentes (ou seja, V (p) ≠ V (q)) e falsa quando seus valores lógicos forem iguais (isto é, V (p) = V (q)). Sua notação é dada por p ∨ q (lê-se: “p ou q, mas não ambos”). A única diferença entre a disjunção inclusiva e a disjunção exclusiva é que a primeira é considerada verdadeira também quando as duas proposições que a compõem são verdadeiras, e a segunda, nesse caso, é considerada falsa. Na linguagem natural, geralmente, diferenciamos uma da outra com a repetição do termo “ou”. Exemplo Considere as proposições p: “Juliana estudou Matemática” e q: “Juliana estudou Física”. A disjunção exclusiva de p e q, nesse caso, será dada por p ∨ q: “Ou Juliana estudou Matemática ou Juliana estudou Física”. Observe que p ∨ q é considerada verdadeira se Juliana tiver estudado uma das duas disciplinas, Física ou Matemática, pois, se ela estudou as duas, a proposição é falsa. Sua tabela-verdade é dada por: p q p ∨ q V V V V F V F V V F F F Condicional Quando duas proposições estão conectadas de tal forma que há uma relação de implicação entre elas, dizemos que elas formam uma terceira proposição que tem a forma de um condicional. Dadas as proposições p e q, o condicional p → q é falso somente quando V (p) = 1 e V (q) = 0, e é verdadeiro nos demais casos. Sua notação é dada por p → q (lê-se: “Se p então q”). Nesse conectivo, a proposição p recebe o nome de antecedente e q de consequente. A proposição composta por duas proposições simples conectadas pelo condicional indica que se o antecedente ocorre (é verdadeiro), então o consequente também tem que ocorrer. Exemplo Considere as proposições p: “Juliana estudou Matemática” e q: “Juliana entendeu o conceito de Lógica Matemática”. A condicional de p e q, nesse caso, será dada por p → q: “Se Juliana estudou Matemática, então entendeu o conceito de Lógica Matemática”. Sua tabela-verdade é dada por: p ~p p → q V V V V F F F V V F F V Bicondicional Dadas duas proposições p e q, o bicondicional p ↔ q é uma proposição verdadeira quando V (p) = V (q) e falsa quando V (p) ≠ V (q). Notação: p ↔ q (lê-se: “p se, e somente se, q”). Assim, considere “p se, e somente se, q” como sendo uma conjunção dos condicionais “se p então q” e “se q então p”. Dessa forma, o bicondicional será verdadeiro somente quando p e q forem ambos verdadeiros. Exemplo Considere as proposições p: “Juliana estudou Matemática” e q: “Juliana entendeu o conceito de Lógica Matemática”. A bicondicional de p e q, nesse caso, será dada por p ↔ q: “Juliana entendeu o conceito de Lógica Matemática se e somente se estudou Matemática”. Nesse caso, só se dirá a verdade em duas situações: (I) se Juliana tiver estudado Matemática e entendido o conceito de Lógica Matemática e (II) se não tiver estudado Matemática e não tiver entendido o conceito de Lógica Matemática. A diferença agora é que não é possível o cenário “ela não estudar Matemática e entender Lógica Matemática” (ao contrário do que ocorria no caso do condicional). Sua tabela-verdade é dada por: p q p ↔ q V V V V F F F V V F F V Comentário Em todos os casos anteriores, por uma questão de simplicidade, vimos proposições com apenas um conectivo. No entanto, no mundo real, há proposições compostas com diversas proposições simples, o que pode trazer dúvidas acerca da ordem correta de leitura e resolução. É importante que você saiba, desde já, a ordem de precedência dos conectivos, indicada a seguir: 1. Negação; 2. Conjunção e disjunção (a que aparecer primeiro); 3. Condicional; 4. Bicondicional. Essa ordem só não será seguida quando, na composição da proposição, ocorrer o uso de parênteses, colchetes e/ou chaves. Exemplo Veja que em ∼q ∧ r a negação de q é a primeira operação a ser executada. O seu resultado é um elemento da disjunção com a proposição r. Já se tivermos a proposição ∼(q ∧ r), vemos que a negação é de toda a conjunção “q ∧ r”. Logo, executamos primeiramente a disjunção (q ∧ r); em seguida, aplicamos o operador de negação ao resultado anterior. Tautologia, contradição e contingência É possível fazer inúmeras combinações de proposições simples e, com isso, gerar novas proposições compostas. No entanto, curiosamente, há proposições compostas que sempre assumem o valor verdadeiro ou falso (V ou F, 1 ou 0), independentemente da veracidade de suas proposições simples componentes. Conforme descrito em Brochi (2016), as proposições compostas podem ser classi�cadas em: 1 Tautologia Quando é sempre verdadeira. 2 Contradição Quando é sempre falsa. 3 Contingência Quando seu valor depende dos valores das proposições que a compõem. Vamos identi�car esses conceitos por meio de exemplos? Exemplo 1 Considere a proposição (p ∧ q) ∨ (~p) ∨ (~q): p q (p ∧ q) (~p) (p ∧ q) v (~p) (~q) (p ∧ q) v (~p) v (~q) V V V F V F V V F F F F V V F V F V V F V F F F V V V V Pelos resultados da coluna da direita, trata-se de uma tautologia, pois, independentemente dos valores lógicos das proposições p e q, a proposição (p ∧ q) v (~p) v (~q) é sempre verdadeira. Exemplo 2 Considere a proposição (p ∨ q) ∧ ((~p) ∧ (~q)): p q (p v q) (~p) (~q) ((~p) ∧ (~q)) (p v q) ∧ ((~p) ∧ (~q))) V V V F F F F V F V F V F F F V V V F F F F F F V V V F Trata-se de uma contradição, pois, independentemente dos valores lógicos das proposições p e q, a proposição (p Ú q) ∧ ((~p) ∧ (~q)) é sempre falsa. Todas as tabelas-verdade apresentadas para os conectivos fundamentais apresentam valores verdadeiros ou falsos, dependendo das proposições simples p e q. Dessa forma, podemos dizer que todas elas são contingências. Álgebra de Boole aplicada à construção de tabelas-verdade Conforme descrito por Güntzel (2018), em 1854, George Boole introduziu o formalismo que até hoje se usa para o tratamento sistemático da lógica, a chamada álgebra booleana. Diferentemente da álgebra ordinária dos reais, onde as variáveis podem assumir quaisquer valores em um conjunto in�nito, as variáveis booleanas só podem assumir um número �nito de valores. Atenção Em particular, na álgebra booleana de dois valores, cada variável pode assumir um dentre dois valores possíveis, os quais podem ser denotados por [F,V] (falso ou verdadeiro), também indicados como 0 e 1, respectivamente. Assim, podemos descrever completamente as funções booleanas utilizando tabelas, indicando todas as combinações de valores que as variáveis de entrada podem assumir, bem como as saídas que lhes são correspondentes. Na álgebra de Boole, há três operações ou funções básicas. Vejamos na Tabela 2 as principais operações: Tabela 2 – Operações da Álgebra Booleana Operação Adição Multiplicação Complementação Símbolo + ∙ --- Equivalência OU lógico E lógico NÃO lógico Exemplo p + q p ∙ q ¯𝑝 ou p’ Operação Adição Símbolo + Equivalência OU lógico Exemplo p + q Operação Multiplicação Símbolo
Compartilhar