AULA_1_UNIDADE_2_equação de bernoulli_28_03_2019

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04/04/2019 1
FENÔMENOS DOS TRANSPORTES
Profª Josiane Oliveira
28/03/2019
Josiane.oliveira@fpb.edu.br
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Objetivos
✓ Conceito sobre sistema;
✓Equação da Energia;
✓Aplicação da equação de energia;
✓Equação de Bernoulli.
✓Exercícios.
✓Equação de Bernoulli na presença de uma 
máquina.
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Conceito de sistema
• Existe uma quantidade de massa fixa, e esta é separada do 
ambiente pelas fronteiras do mesmo. 
• Não é possível adicionar ou subtrair massa do mesmo
• A massa é separada do ambiente, mantendo-se constante.
• Transferência apenas de calor e trabalho
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Conceito de volume de controle
• É um volume definido no espaço. O
escoamento do fluído se dá neste volume
definido.
• Uma escolha adequada do volume de controle
simplifica o problema.
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Diferença entre sistema 
e volume de controle
• No sistema, analisa-se uma porção fixa de massa, 
• No volume de controle, analisa-se a massa presente em 
um volume fixo no espaço, podendo a massa variar, 
devido as condições do fluido.
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Introdução - equação de energia
• Equação da continuidade
Esta relacionada com as quantidade de massa que 
passa de uma seção para outra.
21 mm QQ = Com base nessa equação 
que é alcançada a partir 
de um balanço de massa, 
pode-se pensar em um 
balanço de energia.
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Aplicação da Equação da energia
• Descarga de 
reservatórios 
pressurizado
• Muitos fluidos são 
armazenados em 
reservatórios 
pressurizado
• E a descarga desses 
fluidos é regulada por 
válvulas e orifícios.
• A velocidade de 
descarga é determinada 
com base na Equação 
da energia
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Aplicação da Equação da energia
• Medidores de velocidade e vazão
• Tubo de Venturi
• Utiliza-se da diferença de pressão para 
calcular velocidade 
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Aplicação da Equação da energia
• Medidores de vazão e velocidade
• Calculo de perda de carga
• Tubo de Pitot
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Energia mecânica total do fluido
 ++=
++=
V
prcp
VP
mv
zgmE
EEEE
.
2
..
2
Excluindo-se energia térmica e levando em conta apenas 
efeitos mecânicos, a energia total de um sistema de fluido será:
Equação de Bernoulli
Descreve o comportamento de um fluido que se 
move ao longo de um tubo ou conduto.
http://pt.wikipedia.org/wiki/Fluido
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Equação de Bernoulli
Energia no 
ponto 1
Energia no 
ponto 2
As hipóteses relacionadas por Bernoulli 
garante que não há variação de energia no 
escoamento
21 EE =
1m
1m
2V
1A
2A
1V
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Equação de Bernoulli
• Equação da energia geral
– Considera apenas energias mecânicas, excluindo-se 
as energias térmicas
• Em escoamento estacionário
• Fluido incompressível (não há variação de 
massa, Δm=cte)
• Massa volumétrica constante
• Sem perdas por atrito
• Sem trocas de calor
22
2
2
2211
2
1
11 .
2
.
...
2
.
.. VP
vm
zgmVP
vm
zgm +

+=+

+

m
V =


=
m
V
 ++=
++=
V
prcp
VP
mv
zgmE
EEEE
.
2
..
2
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Equação de Bernoulli

2
2
2
2
1
2
1
1
22
P
g
v
z
P
g
v
z ++=++
Permite relacionar 
cotas, velocidades e 
pressões entre duas 
seções do escoamento 
do fluido
Carga de 
pressão
Carga cinética
Carga 
potencial

m
P
vm
zgm
m
P
vm
zgm

+

+=

+

+ .
2
.
...
2
.
.. 2
2
2
221
2
1
11

2
2
2
2
1
2
1
1
2
.
2
.
Pv
zg
Pv
zg ++=++ Dividindo todos os 
termos por g
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Conceito de carga
• Todas as parcelas da equação está relacionada com 
energia por unidade de peso
• Logo, carga é a energia total por unidade de peso 
numa seção ou carga total na seção

P
g
v
zH ++=
2
2
Se, entre duas seções do escoamento, o fluido for incompressível, 
sem atritos, e o regime permanente, se não houver máquina nem 
trocas de calor, então as cargas totais se manterão constantes em 
qualquer seção, não havendo nem ganho nem perda de carga.
21 HH =
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EXEMPLO 1
1. Água escoa em regime permanente no Venturi da figura. No
trecho considerado, supõem-se as perdas por atrito desprezíveis e
as propriedades uniformes nas seções. A área (1) é 20 cm²,
enquanto a da garganta (2) é 10 cm². Um manômetro cujo fluido
manométrico é mercúrio (Hg=136000 N/m³) é ligado entre as
seções (1) e (2) e indica o desnível mostrado na figura. Pede-se a
vazão da água que escoa pelo Venturi (H20=10000 N/m³) .
Adote g = 10 m/s² (Resposta Q = 5,8 L/s)
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RESOLUÇÃO
• As hipóteses impostas pelo problema o 
enquadram perfeitamente no uso da equação 
de Bernoulli.
• Logo: 
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RESOLUÇÃO

21
2
1
2
2
2
PP
g
vv −
=
−
Os centros geométricos das seções 1 e 2 tem a mesma 
cota Z, qualquer que seja o PHR adotado. 
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RESOLUÇÃO
O segundo membro dessa expressão
pode ser determinado pelo manômetro
diferencial instalado.
EQUAÇÃO MANÔMETRICA
PB = PC
P1 +  H2O . h H2O = P2 +  Hg . h Hg
PA = P1
PD = P2
P1 – P2 =  Hg . h Hg -  H2O . h H2O
).()( 021 2 IeqhPP HHg  −=−
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RESOLUÇÃO
EQUAÇÃO DE BERNOULLI
SUBSTITUINDO (I) EM (II), TEMOS:
).(
2
)( 2
1
2
2
0
0
2
2 IIeq
g
vvh
H
HHg −
=
−


).()( 021 2 IeqhPP HHg  −=−
).(
2 0
21
2
1
2
2
2
IIeq
PP
g
vv
H
−
=
−
20
26,1
2
1
2
2 vv −=
2010000
)10000136000(
1,0
2
1
2
2 vv −=
−
)(2,2521
2
2 eqIIIvv =−
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RESOLUÇÃO
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RESOLUÇÃO
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Revisão do conteúdo
Acessar Kahoot.it
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Equação de Bernoulli na presença de uma máquina
• Equação de Bernoulli 
– Relaciona energia mecânica e de pressão entre 
duas seções de escoamento
– A equação sofre restrições por não se aplicar ao 
escoamento real
– Não considera a perda de energia por atrito 
viscoso – perda de carga
– Será realizada uma adaptação da equação para 
um fluido real
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Equação de Bernoulli na presença de uma máquina
Fluido perde carga no 
sentido do escoamento
Carga na seção 2 é menor do 
que na seção 1, devido a 
perda de carga entre as 
seções
2,121 hHH +=
Máquina – qualquer dispositivo introduzido no escoamento, 
no qual forneça ou retire energia dele na forma de trabalho
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Equação de Bernoulli na presença de 
uma máquina
• Bombas
• Fornecem energia ao escoamento 
dos fluidos
• Turbinas 
• Retiram energia 
do escoamento de 
água.
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Equação de Bernoulli na presença de uma máquina
21 HH =
Bomba – o fluido receberá 
um acréscimo de energia
21 HHH B =+
21 HHH T =−
Turbina – retira energia do 
fluido
H1 = Carga total em 1 ou
energia por unidade de peso.
H2 = Carga total em 2 ou
energia por unidade de peso.
HB = Carga ou altura
manométrica da bomba
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Equação de Bernoulli na presença de uma máquina
• Quando é bomba:
• Quando é turbina:
21 HHH M =+
HM - Altura manométrica 
da máquina
0= BM HH
0= TM HH
( )

12
2
1
2
2
12
2
pp
g
vv
zzHM
−
+
−
+−=
A equação mostra que a 
presença de uma 
máquina pode acarretar 
variações de cargas de 
pressão, potencial e 
cinética
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Potência de uma máquina
Potência 
de um 
fluido 
(N) 
Trabalho por unidade 
de tempo 
Como o 
Trabalho é 
energia 
mecânica
Qualquer energia 
mecânica por 
unidade de tempo (N)
tempo
mecânicaenergia
NMaquina
 
=
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Potência de uma máquina
Potência 
de um 
fluido 
(N) 
Trabalho por unidade 
de tempo 
Como o 
Trabalho é 
energia 
mecânica
Qualquer energia 
mecânica por 
unidade de tempo (N)
GQ x Carga =MaquinaN
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Potência de uma máquina
Potência 
de um 
fluido 
(N) 
Trabalho por unidade 
de tempo 
Como o 
Trabalho é 
energia 
mecânica
Qualquer energia 
mecânica por 
unidade de tempo (N)
MMaquina HQN ..=
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Potência de uma máquina
• No processo de transmissão de potência, sempre 
existem perdas
• Logo, a potência recebida ou cedida pelo fluido não 
coincide com a potência da máquina
BMaquina HQN ..=
NB potência da 
bomba
Carga da bomba
Perdas
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Rendimentode uma bomba
Rendimento (ηB) Relação entre 
potência recebida 
pelo fluido
B
B
B
bomba
eixo
eixo
bomba
B
eixo
bomba
B
HQN
N
PotênciaN
PotênciaN
N
N





..
eixo do 
bomba da 
bomba da rendimento
==
=
=
=
=
e a potência
fornecida 
pelo eixo.
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Rendimento de uma turbina
TTfluidoTT
fluido
T
T
HQNN
N
N


.... ==
=
Rendimento (ηT) Relação entre 
potência da turbina e 
a potência cedida 
pelo fluido
NT potência da 
turbina ou a 
disponível no 
eixo
Potência cedida 
pelo fluido à 
turbina
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Rendimento de uma turbina
unidades de potência
No sistema:
SI : N.m/s = J/s = W (Watt)
MK*S : kgf.m/s = kgm/s
Outras unidades:
CV (cavalo-vapor) e o HP ( Horse power)
1CV = 75 kgm/s = 735 W
1HP = 1,014 CV
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Exemplo 2
• Determine a potência de uma bomba com 
rendimento de 75% pela qual escoa água com 
uma vazão de 12 litros/s.
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RESOLUÇÃO
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Exemplo 3
• O reservatório mostrado na figura possui nível constante 
e fornece água com uma vazão de 10litros/s para o 
tanque B. Verificar se a máquina é uma bomba ou uma 
turbina e calcule sua potência sabendo-se que ηB=75%.
• Dados: 
0= BM HH0= TM HH
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RESPOSTA
Na equação de Bernoulli adotamos como seção (1) a
superfície da água v1 = 0 e (2) a saída do tubo
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RESPOSTA
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RESPOSTA
MMaquina HQN ..=
kwWouxxxNMaquina 1100010101010
34 == −
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RESPOSTA
fluidoTT
fluido
T
T
NN
N
N
.

=
=
kWxNT 75,075,01 ==
UNIDADE
Rendimento da turbina( ) = potência da turbina (NT) / 
Potência cedida pelo fluido 
T
sj
s
mN
xm
s
m
x
m
N
NMaquina /
.3
3
===