AP3

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Fundação Centro de Ciências e Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro
Centro de Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro
AP3 – PRÉ-CÁLCULO PARA ENGENHARIA – GABARITO
Nome: Matŕıcula:
Pólo: Data:
Atenção!
• Identifique a Prova, colocando Nome, Matŕıcula, • O desenvolvimento das questões pode ser a lápis. No entanto,
Polo e Data; as respostas deverão estar necessariamente à caneta;
• É expressamente proibido o uso de calculadoras; • É expressamente proibido o uso de corretivo nas respostas.
• Devolver a prova e a folha de respostas ao res-
ponsável;
Questão 1 [2,0 pontos]
Resolva a inequação x+ 2 > 3
x−2 .
Solução:
Observe que a inequação não está definida para x = 2.
x+ 2 >
3
x− 2
⇒ x+ 2− 3
x− 2
> 0 ⇒ (x+ 2)(x− 2)− 3
(x− 2)
> 0
⇒ (x
2 − 4)− 3
(x− 2)
> 0 ⇒ x
2 − 7
(x− 2)
> 0.
Observe que x2 − 7 = 0 se x = −
√
7 ou x =
√
7.
Por outro lado, x− 2 = 0 se x = 2.
Ordenando esses números, obtemos: −
√
7 < 2 <
√
7.
Fazendo o estudo da sinal da expressão
x2 − 7
(x− 2)
, obtemos:
x < −
√
7 −
√
7 < x < 2 2 < x <
√
7 x >
√
7
x2 − 7 + − − +
x− 2 − − + +
x2 − 7
(x− 2)
− + − +
Observando a tabela, temos que E(x) =
x2 − 7
(x− 2)
> 0 para x ∈ (−
√
7, 2) ∪ (
√
7,+∞).
Questão 2 [1,6 ponto]
Determine os zeros da função f : R→ R, definida por f(x) = 2 cos2 x− cosx.
Solução:
Determinar os zeros da função f , significa determinar os valores reais de x tal que f(x) = 0.
f(x) = 0⇔ 2 cos2 x− cosx = 0⇔ cosx(2 cosx− 1) = 0⇔ cosx = 0 ou 2 cosx = 1.
Mas cosx = 0 quando x = π
2
+ kπ, k ∈ Z e cosx = 1
2
quando x = π
3
+ 2kπ k ∈ Z ou
x = 5π
3
+ 2kπ, k ∈ Z.
Portanto, os zeros da função f são: x = π
2
+ kπ, x = π
3
+ 2kπ e x = 5π
3
+ 2kπ, k ∈ Z.
PRÉ-CÁLCULO AP3 2
Questão 3 [1,4 ponto]
Determine o doḿınio e a imagem da função cujo o gráfico está representado abaixo.
Solução:
Analisando o gráfico temos que Dom(f) = [−
√
3,+∞) e Im(f) = [−3, 0] ∪ (2, 3].
Questão 4 [2,0 pontos]
Resolva a equação 9x
2+2 = 27−x+1.
Solução:
9x
2+2 = 27−x+1 ⇔ (32)(x2+2) = (33)(−x+1) ⇔ 32×(x2+2) = 33×(−x+1) ⇔ 32x2+4 = 3−3x+3.
Assim,
2x2 + 4 = −3x+ 3⇔ 2x2 + 3x+ 4− 3 = 0⇔ 2x2 + 3x+ 1 = 0⇔
x =
−3±
√
32 − 4 · 1 · 2
2× 2
=
−3± 1
4
.
Logo, x = −3+1
4
= −1
2
ou x = −3−1
4
= −1.
Questão 5 [ 3,0 pontos]
Considere a função f : [−4, 4]→ R, definida da seguinte maneira:
• um segmento de reta no intervalo [-4, -1) tal que −2 é zero da função f neste intervalo,
|f(−4)| = 2 e a função f é crescente neste intervalo.
• um segmento de reta no intervalo [-1,4] tal que f(x) = 1 para todo x neste intervalo.
Determine:
a.[2,5] a lei da função f ;
b.[0,5] o doḿınio da função g(x) = f(x+ 2)− 1.
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PRÉ-CÁLCULO AP3 3
Solução:
a. Analisando a função f no intervalo [−4,−1).
Como −2 é zero da função f , temos que f(−2) = 0.
Por outro lado, |f(−4)| = 2, assim, f(−4) = 2 ou f(−4) = −2.
Como a função f é crescente e −4 < −2 temos que f(−4) < f(−2) = 0.
Logo, f(−4) = −2.
Assim, o segmento de reta passa pelos pontos (−2, 0) e (−4,−2).
O coeficeinte angular da reta que passa pelos pontos A = (−2, 0) e B = (−4,−2) é
mr =
−2− 0
−4− (−2)
=
−2
−2
= 1.
Logo, y − 0 = (x− (−2))⇒ y = x+ 2 é a equação da reta que passa pelos pontos A e B.
Portanto, f(x) =
{
x+ 2, se − 4 ≤ x < −1
1, −1 ≤ x ≤ 4
b. Como g(x) = f(x+ 2)− 1 e x+ 2 ∈ Dom(f), temos que −4 ≤ x+ 2 ≤ 4.
Logo, x ∈ [−6, 2].
Portanto, Dom(g) = [−6, 2].
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