CÁLCULO 2_DICAS PARA O 1° TRABALHO

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Dicas abaixo (leia com atenção) 
Questões : 
1) Ache a área sob a curva 𝑓(𝑥) = 2/√1 + 𝑥2 e construa 
seu gráfico no intervalo de x = -2 até x = 2 usando as regras 
abaixo com 5 casas decimais e n = 8 subintervalos. 
Obs.: Construa o gráfico usando o winplot (ou wplotpr), 
mostrando a área toda preenchida (n=1000) e o cálculo da 
integral (quadro abaixo no tutorial); faça o mesmo para as 
questões 3 e 5. 
a) Regra do ponto médio; 
b) Regra do trapézio; 
c) Valor exato dado pela integral: 
𝐴 = ∫
2
√1 + 𝑥2
𝑑𝑥
2
−2
= 2 [ln (𝑥 + √1 + 𝑥2)]
−2
2
. 
2) Obtenha as integrais indefinidas abaixo: 
a) ∫ 𝑦√1 + 𝑦2𝑑𝑦 b) ∫
cos 𝑥
√2+sen 𝑥
𝑑𝑥
 
3) Calcule as áreas sob as curvas nos intervalos dados 
usando a integral definida e o winplot: 
a) 𝑓(𝑥) = −𝑥2 + 4; entre x = 0 e x = 2. 
b) 𝑓(𝑥) = −𝑥2 + 3𝑥; entre x = 1 e x = 3. 
c) 𝑓(𝑥) = √𝑥 + 2; entre x = 0 e x = 4. 
d) 𝑦 =
2𝑥
√2𝑥2+1
; 𝑥 = 0, 𝑥 = 2. 
 
4) Resolva cada uma das seguintes equações diferenciais, 
observando as condições iniciais: 
a) 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 𝑥√𝑥2 − 4 ; 𝑥 = 2, 𝑦 = 3. 
 
b) 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 4𝑥3𝑦 ; 𝑥 = 0, 𝑦 = 1. 
 
5) Encontre a área limitada pela reta y = x + 1 e pela parábola 
y = x2 – 2x – 3. Usando o winplot, construa o gráfico da área 
entre as curvas e mostre o cálculo da mesma. 
6) Encontre o volume do sólido de revolução obtido pela 
rotação da região limitada pelas curvas dadas em torno dos 
eixos especificados. Construa os gráficos com o winplot, 
mostrando a superfície gerada e o cálculo (ver tutorial 
abaixo). 
a) 𝑦 = √𝑥2 − 1, 𝑥 = 1, 𝑥 = 3, 𝑦 = 0; ao redor do eixo 
x; 
b) 𝑦 = 𝑥2, 𝑥 = −1, 𝑥 = 1, 𝑦 = 0; ao redor do eixo y 
(use a simetria); 
c) 𝑦 = 𝑥3, 𝑦 = −1, 𝑦 = 1, 𝑥 = 0; ao redor do eixo x 
(use a simetria). 
 
 
 
 
Fórmulas: 
∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 𝐹(𝑥) + 𝑐, 𝐴 = ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
𝑏
𝑎
≈ ∑ 𝑓(𝑥�̅�)∆𝑥
𝑛
𝑖=1
, ∆𝑥 =
𝑏 − 𝑎
𝑛
, 𝑥�̅� =
𝑥𝑖−1 + 𝑥𝑖
2
, 
𝐴 = ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
𝑏
𝑎
≈
∆𝑥
2
[𝑓(𝑥0) + 2𝑓(𝑥1) + ⋯ + 2𝑓(𝑥𝑛−1) + 𝑓(𝑥𝑛)], 𝑥0 = 𝑎, 𝑥𝑛 = 𝑏. 
∫ 𝑓(𝑔(𝑥))𝑔′(𝑥)𝑑𝑥 = ∫ 𝑓(𝑢)𝑑𝑢 , 𝑢 = 𝑔(𝑥). 
 
 
 
Nomes: ______________________________________________________________________ 
 ____________________________________________________________________________ 
1º.Trabalho de Cálculo II – Entregar dia 06/04/2020 – Valor: 4,0 pontos 
Turma: Processos Químicos – Grupos de até 4 alunos – Prof.: Aurimar 
 
 
 
 
 
Dicas para a solução das questões do trabalho 1 – Cálculo II: 
Questões: 
1 e 3) Integrais definidas e cálculo de áreas (assunto já visto em sala de aula). 
Aplicar as regras do ponto médio (a) e do trapézio (b) e resolver a integral definida da letra c) questão 1, substituindo os limites 
de integração. 
Na questão 3: resolver as integrais definidas e substituir os limites de integração. 
Na letra c, basta substituir a raiz quadrada por (√𝑥 + 2 = (𝑥 + 2)1/2), integrar usando a 1ª. Regra (da potência) e 
substituir os limites de integração para achar a área. 
Na letra d, é necessário usar um outro procedimento para resolver a integral, a regra da substituição. A regra da 
substituição está no SIGA e consiste basicamente em substituir uma parte da integral por uma outra variável com o objetivo de 
cair numa integral mais simples (geralmente substitui tudo que está dentro de uma raiz ou dentro dos parênteses de uma 
expressão por uma outra variável). Por exemplo, 
∫
2𝑥
√2𝑥2 + 1
𝑑𝑥
2
0
 
Substitui tudo o que está dentro da raiz quadrada por uma outra variável, y ou u: 
𝑦 = 2𝑥2 + 1. 
Desse modo estamos mudando a variável de integração de x para y e, portanto, temos que mudar a diferencial dx 
também por dy. Porém, para mudar dx para dy temos que fazer o seguinte: primeiro derivamos y usando a notação de Leibniz 
da derivada (y’ = dy/dx). A derivada da expressão de y acima é: 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 4𝑥, 
Trocando de posição o dx por 4x, obtemos dx em função de dy (lembre-se que agora podemos separar o dy e o dx da notação 
de Leibniz, como uma fração normal): 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 4𝑥 ⇒ 
𝑑𝑦
4𝑥
= 𝑑𝑥. 
Agora basta substituir o y e o dx na integral: 
∫
2𝑥
√2𝑥2 + 1
𝑑𝑥 = ∫
2𝑥
√𝑦
∙
𝑑𝑦
4𝑥
. 
Dividindo 2x/4x = ½ (uma constante pode ficar do lado de fora da integral), a integral acima fica: 
∫
1
√𝑦
∙
𝑑𝑦
2
=
1
2
∫
1
√𝑦
𝑑𝑦 =
1
2
∫
1
𝑦1/2
𝑑𝑦 =
1
2
∫ 𝑦−1/2𝑑𝑦. 
Integrando (usando a regra da potência) e substituindo de volta a expressão do y, 
1
2
∫ 𝑦−1/2𝑑𝑦 =
1
2
∙
𝑦−
1
2
+1
−
1
2
+ 1
=
1
2
∙
𝑦
1
2
1
2
= 𝑦
1
2 = √𝑦 = √2𝑥2 + 1. 
 
 
 
 
Agora é só substituir os limites de integração (x = 0 e x = 2) para obter a área: 
𝐴 = [√2𝑥2 + 1]
0
2
= ⋯ 
 
2) Para resolver a questão 2 (a e b) basta usar a regra da substituição, como visto acima e no material do SIGA, para cair 
numa integral mais simples e achar a integral indefinida (com a constante c somada no final). 
 
4) Equações diferenciais (veja material no SIGA sobre equações diferenciais). 
 Na resolução de uma equação diferencial básica, geralmente, se faz uma separação de variáveis, y de um lado e x do 
outro lado da igualdade, como realizado nos exemplos resolvidos do material no SIGA. O objetivo é achar a função y, que pode 
ser uma função simples de x (y = f(x)) ou uma função implícita (onde não dá para separar y como uma simples função de x). No 
primeiro exemplo, temos a seguinte equação diferencial: 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 𝑥𝑦2 
Resposta: 𝑥2𝑦 + 2 = 𝑐𝑦 
Solução: 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 𝑥𝑦2 → 
𝑑𝑦
𝑦2
= 𝑥𝑑𝑥 
Acima, trocamos o dx com o y2, ou seja, passamos o dx para o outro lado da igualdade, multiplicando o x, e o y2 veio para o 
denominador do lado esquerdo da igualdade. Desse modo, separamos as variáveis, do lado esquerdo só temos a variável y e 
do lado direito da igualdade ficou apenas a variável x. Agora, integrando os dois lados da última relação, 
∫
1
𝑦2
𝑑𝑦 = ∫ 𝑥𝑑𝑥 → ∫ 𝑦−2𝑑𝑦 = ∫ 𝑥𝑑𝑥 
𝑦−1
−1
=
𝑥2
2
+ 𝑐0 → −
1
𝑦
=
𝑥2
2
+ 𝑐0, 
multiplicando por 2y, para eliminar os denominadores, e fazendo c = 2c0 (multiplicar uma constante por um número dá uma 
outra constante apenas, que você pode dar qualquer nome (c, d, c1, c2,...), você pode sempre fazer isso, multiplicar por 
qualquer número para obter outra constante. Se preferir, pode deixar a primeira constante, c0, e no resultado final vai ficar 
2c0y no lugar de cy). 
−2 = 𝑥2𝑦 + 2𝑦𝑐0 → 𝑥
2𝑦 + 2 = 𝑐𝑦. 
A resposta dada (𝑥2𝑦 + 2 = 𝑐𝑦) pode ainda ser colocada na forma y = f(x), isolando o y na expressão colocando-o à esquerda 
da igualdade e os termos de x do outro lado. Mas a resposta dada assim está numa forma mais simples, mais compacta e pode 
ser deixada assim. 
 
5) Área entre curvas (Material no SIGA com alguns exercícios resolvidos). 
 
 
 
 
 Resumo e explicações: 
No cálculo de áreas entre curvas, naturalmente, uma curva estará acima da outra. Calculamos a área da curva de cima 
(que é dada pela integral da função de cima) e subtraímos a área da curva de baixo (que é dada pela integral da função de 
baixo) ou, simplesmente, integramos normalmente, no intervalo dado, a função de cima menos a de baixo. 
Por exemplo, calcular a área entre as funções do gráfico abaixo. A função de cima é a reta y = x + 1 (você pode verificar 
alguns pontos da reta, p. ex., quando x = -1, y = 0,...) e a função de baixo é a parábola y = x2/2 – 3 (alguns pontos dessa 
parábola são (0; -3), (-2; -1), (2; -1), (4; 5)...Verifique!). 
 
A área será simplesmente a integral da função de cima (reta: x + 1) menos a de baixo (parábola: x2/2 – 3): 
𝐴 = ∫ [(𝑥 + 1) − (
𝑥2
2
− 3)] 𝑑𝑥
𝑏
𝑎
. 
Observe no gráfico que as duas curvas se encontram nos pontos (-2; -1) e (4; 5). Os limites de integração (da área) a e b são os 
valores de x desses dois pontos: – 2 é o valor de a e 4 é o valor de b. 
Antes de integrar é melhor simplificar a diferença de funçõesdentro da integral (isso reduz a quantidade de termos): 
(𝑥 + 1) − (
𝑥2
2
− 3) = −
𝑥2
2
+ 3 + 𝑥 + 1 = −
𝑥2
2
+ 𝑥 + 4. 
A expressão acima é uma função de segundo grau que, igualando a zero, dá uma equação de segundo grau, cuja 
solução é justamente os pontos de intersecção das duas curvas e que esses pontos são exatamente os limites de integração da 
área da figura, a e b. 
−
𝑥2
2
+ 𝑥 + 4 = 0. 
Resolvendo a equação de segundo grau, com a (coeficiente de x2) = -1/2, b = 1 e c = 4, 
∆= 𝑏2 − 4𝑎𝑐 = 12 − 4 (−
1
2
) 4 = 1 + 8 = 9, 
𝑥 =
−𝑏 ± √∆
2𝑎
=
−1 ± √9
2 (−
1
2
)
=
−1 ± 3
−1
 
− − − −     
−
−
−






x
y
 
 
 
 
𝑥1 =
−1 + 3
−1
=
2
−1
= −2 e 𝑥2 =
−1 − 3
−1
= −
4
−1
= 4. 
Observe na figura acima que esses dois valores correspondem aos pontos de intersecção das duas funções e que 
também são os limites da área hachurada e, portanto, os limites de integração (a e b). 
𝐴 = ∫ [−
𝑥2
2
+ 𝑥 + 4] 𝑑𝑥
4
−2
= [−
𝑥3
6
+
𝑥2
2
+ 4𝑥]
−2
4
= (−
43
6
+
42
2
+ 4 ∙ 4) − (−
(−2)3
6
+
(−2)2
2
+ 4(−2)) 
𝐴 = −
64
6
+ 8 + 16 −
8
6
− 2 + 8 = −
72
6
+ 30 = 18. 
 
6) Volumes de revolução (Será excluído!?) 
Obs.: Utilização de software na construção de gráficos e em cálculos 
 
 O software (aplicativo) Winplot (ou Wplotpr, versão em português) é um aplicativo que utiliza vários assuntos de 
Matemática (como derivadas, integrais, gráficos, máximos e mínimos de funções, zeros ou raízes de funções, cálculo de áreas, 
volumes, entre outros) estudados nas disciplinas de Cálculo I e Cálculo II e, por isso, eu utilizo este software há algum tempo. 
Infelizmente, os proprietários não atualizaram mais o software e ultimamente acho que está sendo pouco utilizado pela 
população acadêmica. Mas, de qualquer modo, ainda é um bom software gratuito disponível para todos; é leve (poucos Mbytes) 
e por isso, consegue-se fazer o seu download rapidinho e abre instantaneamente; há botões de ajuda em todas as partes do 
menu e com algumas poucas leituras você estará apto a utilizá-lo. Basta procurar no Google e baixá-lo no seu computador de 
casa. 
 
 Um outro software gratuito muito utilizado ultimamente é o GeoGebra. Também é muito bom e de fácil utilização, pode 
ser utilizado na internet sem precisar baixá-lo. Mas há necessidade de se familiarizar com algumas funções do software e, 
portanto, é preciso ler os tutoriais do GeoGebra na internet. Pode ser baixado no celular, no iphone ou no computador, 
diretamente na página oficial do GeoGebra.