Revisão CÁLCULO INTEGRAL PARTE 1

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ANTIDERIVADAS 
1. A velocidade é a derivada da função posição x = x(t) em relação ao tempo t. 
Qual é a distância (em metros) que um trem-bala percorre em 4 segundos se ele 
parte da posição x = 0 m e sua velocidade for dada por v = 4t
3
 - 3t
2
 + 2t? 
A. 208 m 
 
2. Determine a função 𝑦 = 𝑦(𝑥) sabendo que 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 𝑥2 + 𝑥1∖2. 
E. 𝑦 =
𝑥3
3
+
2
3
∙ 𝑥
3
2 + 𝑐 
Para chegar à função solicitada, temos de buscar qual função y que ao derivar resulta 
em 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
 dada. Para tanto, a ideia é pensar de modo inverso ao da derivação, ou seja, 
aplicar a antiderivação. 
Lembre-se que, como a derivada de uma constante é igual a zero, teremos uma família 
de funções que satisfazem o enunciado. 
Aplicando a Regra da Potência para integrais obtemos: 
𝑦 = ∫ (𝑥2 + 𝑥
1
2⁄ )𝑑𝑥
𝑦 =
𝑥2+1
2 + 1
+
𝑥
1
2
+1
1
2 + 1
+ 𝑐
𝑦 =
𝑥3
3
+
2𝑥
3
2⁄
3
+ 𝑐
 
 
Note que se você derivar a função y obtida, chegará na derivada dada. Ou seja, é 
possível conferir o resultado obtido! 
3. Encontre o valor de ∫ (𝑥² + 4𝑥5 − 6)𝑑𝑥 
D. 
𝑥³
3
+
2
3
. 𝑥6 − 6𝑥 + 𝐶 
Aplicando a Regra da Potência para integrais e lembrando que 𝑥0 = 1 temos: 
∫ (𝑥2 + 4𝑥5 − 6)𝑑𝑥 = ∫ (𝑥2 + 4𝑥5 − 6𝑥0)𝑑𝑥
=
𝑥2+1
2 + 1
+ 4
𝑥5+1
5 + 1
− 6
𝑥0+1
0 + 1
+ 𝑐 =
𝑥3
3
+
4𝑥6
6
− 6
𝑥
1
+ 𝑐
=
𝑥3
3
+
2𝑥6
3
− 6𝑥 + 𝑐
 
REVISÃO DE CÁLCULO INTEGRAL PARTE 1 
4. A rede elétrica brasileira funciona através da corrente alternada, cuja tensão 
obedece uma função trigonométrica. Supondo que a derivada da tensão pelo tempo 
seja: dV/dt = 4cos(2t) e que a tensão tinha valor nulo quando a rede elétrica foi 
ligada, encontre a função da tensão. 
C. V(t) = 2sen(2t) 
Para determinar-se a função da tensão é necessário determinar a antiderivada de𝑉(𝑡) =
∫
𝑑𝑉
𝑑𝑡
𝑑𝑡 = ∫ 4 cos(2𝑡) 𝑑𝑡 
 
Note que, neste caso, há uma composta de funções (cos(2t)). Esta é uma derivada de outra 
composta de funções: 
𝑠𝑒𝑛(2𝑡)
2
 
Observe: 
𝑑
𝑑𝑡
(
𝑠𝑒𝑛(2𝑡)
2
) =
𝑑
𝑑𝑡
(
1
2
𝑠𝑒𝑛(2𝑡)) =
1
2
⋅
𝑑
𝑑𝑡
(𝑠𝑒𝑛(2𝑡))
=
1
2
⋅ cos(2𝑡)
𝑑
𝑑𝑡
(2𝑡) =
1
2
⋅ 2 cos(2𝑡) = cos(2𝑡)
 
Logo: 
𝑉(𝑡) = ∫ 4 cos(2𝑡) 𝑑𝑡
𝑉(𝑡) = 4 ⋅
𝑠𝑒𝑛(2𝑡)
2
+ 𝑐
𝑉(𝑡) = 2 𝑠𝑒𝑛(2𝑡) + 𝑐
 
Por fim, se a tensão tinha valor nulo quando a rede foi ligada, então 𝑉(0) = 0 Volt. 
Assim 2𝑠𝑒𝑛(2 ⋅ 0) + 𝑐 = 0 o que resulta em c=0. Portanto 𝑉(𝑡) = 2 𝑠𝑒𝑛(2𝑡) 
 
5. Se prendêssemos uma vareta em uma roda e colocarmos o sistema a girar, 
observaremos que a sombra que a vareta projeta no chão é uma função 
trigonométrica. Supondo que a função da velocidade da sombra seja dada por v(θ) 
= 4sen(θ) e que quando θ = 0º, a posição x da vareta é x(0°) = 0, qual é a função da 
posição que satisfaça as condições iniciais? 
D. X(θ)=-4cos(θ)+4 
Se a função velocidade v é a derivada da função posição x, então a função posição x é a 
antiderivada da função velocidade v. 
Ou seja, 𝑥(θ) = ∫ 𝑣(θ)𝑑θ = ∫ 4 𝑠𝑒𝑛(θ) 𝑑𝑡 = −4 cos(θ) + 𝑐 
Observe que, quando θ = 0º, a posição x da vareta é x(0o) = 0. Assim, −4 cos(0) + 𝑐 = 0 
−4 ⋅ 1 + 𝑐 = 0 
o que resulta em c = 4. Logo, 𝑥(θ) = −4 cos(θ) + 4 
 
DESAFIO 
Ao caírem da mesma altura na Terra, objetos de massas e formas distintas podem ter 
velocidades diferentes ao tocarem o chão. Isso ocorre devido à resistência do ar 
existente na superfície terrestre. 
Galileu Galilei (1564-1642) previu que, sem a presença do ar, corpos de massas 
diferentes soltos simultaneamente da mesma altura, cairiam juntos, lado a lado, sob a 
mesma aceleração. Este fato foi comprovado experimentalmente pelo astronauta David 
Scott, comandante da missão Apollo 15 (em 1971), ao deixar cair uma pena de falcão e 
um martelo de alumínio de uma altura aproximada de 1,6 m. Ambos os objetos tocaram 
o solo lunar no mesmo instante. 
 
Sabe-se que a aceleração de um objeto é a derivada de sua função velocidade em 
relação a variável tempo e que a aceleração gravitacional é constante na superfície da 
lua. Suponha que uma pena e um martelo sejam soltos, a certa altura, na superfície 
lunar. Usando seu conhecimento de antiderivada, como você explica o fato de o martelo 
e a pena terem a mesma função velocidade na lua? Justifique a sua resposta combinando 
as formas quantitativa (equações) e qualitativa (descrições). 
Padrão de resposta esperado 
Como a aceleração gravitacional na superfície lunar é igual a uma constante a e sendo 
esta aceleração calculada pela derivada da função velocidade v = v(t) em relação ao 
tempo t, temos 
𝑑𝑣
𝑑𝑡
= 𝑎 , o que equivale a escrever: 
𝑑𝑣
𝑑𝑡
= 𝑎𝑡0 
Aplicando os conhecimentos de antiderivação de polinômios, conclui-se que: 
𝑣(𝑡) = ∫ 𝑎𝑡0𝑑𝑡 = 𝑎
𝑡0+1
0 + 1
+ 𝐶 = 𝑎𝑡 + 𝐶 
 
Observe que a constante C surge, pois (de modo geral) o objeto pode ter partido com 
uma velocidade inicial diferente de zero. Porém, para ambos os objetos (a pena e o 
martelo), temos uma velocidade inicial nula (pois estes são soltos na superfície lunar), 
ou seja, v(0) = 0 m/s. Assim: 
𝑣(0) = 𝑎 ⋅ 0 + 𝐶 ⇒ 0 = 𝐶 
 
Portanto, v(t) = at descreve a função velocidade de qualquer objeto solto na superfície 
lunar a partir de seu repouso. 
 
 
CONCEITO E PROPRIEDADES DA INTEGRAL INDEFINIDA 
1. Considere f(x) = x. Calcule R(f, P, C) para a partição P de [0,5;1,5] dada por P = 
｛0,5; 1; 1,3; 1,5｝ e pontos intermediários C = {0,7; 1,2; 1,4}. 
B. 0,99 
Observe que as larguras dos subintervalos da partição P são: 
𝛥𝑥1 = 1 − 0,5 = 0,5 
, 
𝛥𝑥2 = 1,3 − 1 = 0,3 
e 
𝛥𝑥3 = 1,5 − 1,3 = 0,2 
Assim, a soma de Riemann solicitada é: 
 
𝑅(𝑓, 𝑃, 𝐶) = ∑ 𝑓(𝑐𝑖) 𝛥𝑥𝑖
3
𝑖=1
= 𝑓(0,7) ⋅ 0,5 + 𝑓(1,2) ⋅ 0,3 + 𝑓(1,4) ⋅ 0,2
= 0,7 ⋅ 0,5 + 1,2 ⋅ 0,3 + 1,4 ⋅ 0,2 = 0,99
 
 
 
2. Deduza a fórmula para a integral abaixo. 
 
 
D. 
3. Calcule integral definida abaixo utilizando o teorema obtido no exercício 2. 
 
C. 8 
Aplicando o resultado obtido no exercício anterior, têm-se, para a = 4, ∫ xdx
4
0
=
42
2
=
16
2
= 8 
 
 
4. Calcule a seguinte integral definida: 
https://ava.webacademico.com.br/mod/lti/view.php?id=280054
 
 
A. 4 - Para resolver esta integral, utiliza-se as propriedades de linearidade de integrais: 
 
 
5. Sabendo que a fórmula da integral é , 
 
E. Resulta em zero porque a área com sinal se anula. 
Observe o gráfico da função f(x) = cos(x). Podemos verificar o resultado apresentado 
simplesmente pelo gráfico, o qual mostra que a área acima do eixo das abscissas é igual 
à área abaixo, quando o período da função cosseno é um múltiplo de π. 
 
 
DESAFIO 
As integrais estão presentes em muitas áreas de conhecimento, assim como no nosso dia 
a dia. O deslocamento de uma partícula num dado intervalo de tempo, a área de uma 
região irregular, o aumento do número de bactérias ao final de um dado período são 
todas situações descritas via integral definida. 
Suponha que você está em um carrinho de montanha russa que se desloca com 
velocidade descrita no gráfico a seguir. 
 
 
 
O que se pode afirmar sobre sua posição nos instantes 0s e 8s? 
Padrão de resposta esperado 
Lembre-se que a função posição é a antiderivada da função velocidade. Desta forma, a 
área entre a função e o eixo x, dentro do intervalo dado, representa o deslocamento do 
carrinho neste intervalo. Observe que, no intervalo de 0 a 8 segundos, a área acima do 
eixo x é igual à área abaixo deste eixo: 
 
 
Ou seja, o deslocamento é: ∫ 𝑣(𝑡) dt
8
0
= 0𝑚 
Logo, considerando que no instante 0s o carrinho encontra-se no ponto de partida da 
montanha russa, ao aproximar-se do instante 8s, ele estará retornando a este mesmo ponto. 
Portanto, nos instantes 0s e 8s você se encontra no mesmo local. 
 
CONCEITO E PROPRIEDADES DA INTEGRAL INDEFINIDA 
1. Pedro é um agrônomo que percorre semanalmente as plantações sob sua 
responsabilidade. Em uma dessa visitas, percebeu uma lavoura de trigo 
queimando e ele definiu a velocidade do fogo com v(t) =3t2 + 30t + 36, com t 
medido em segundos. Qual o espaço percorrido s(t) pelo fogo, sabendo que t = 5s? 
B. 680 m. 
V(t) =∫(3t
2
 + 30t +36) 
S(t) = t
3
 + 15t
2
 + 36t + C 
Em t = 0, temos s(0) = 0 
S(t) = t
3
 + 15t
2
 + 36t + C 
0 = 0
3
 +15. (0)
2
 + 36.0 + C 
C = 0 
S(t) = t
3
 + 15t
2
 + 36t 
S(5) = 5
3
 + 15.5
2
 + 36.5 
S(5) = 125 + 375 + 180 
S(t) = 680 m 
 
2. Durante suas produções, um agricultor elaborou um gráfico entre curvas para 
observar o movimento da produção. Sabendo que o ponto (1,5) pertence à curva da 
equação f(x) e a sua declividade é dada por f’(x) = 3x – 4, qual a função que o 
agricultor utiliza em seus cálculos? 
C. y = 3x2/2 – 4x + 7,5. 
∫ (3𝑥 − 4)𝑑𝑥
𝑦 =
3𝑥2
2
− 4𝑥 + 𝐶
 
Para C temos x = 1 e y = 5 
𝑦 =
3𝑥2
2
− 4𝑥 + 𝐶
5 =
3.12
2
− 4.1 + 𝐶
𝐶 = 7,5
𝑦 =
3𝑥2
2
− 4𝑥 + 7,5
 
 
3. Uma das formas de se calcular a integral é a partir da ideia de antiderivada, ou 
seja, encontrar uma função F(x) que ao ser derivada resulta em f(x). Nessas 
condições, a função F(x) é uma antiderivada de uma função f(x) com x em um 
intervalo dado. Assim, marque a alternativa correta. 
B. A função 𝐹(𝑥) =
1𝑥6
2
não é a única antiderivada de 3x5, pois podemos somar 
uma constante C e obter outra antiderivada. 
Ao derivarmos a função 𝐹(𝑋) =
1𝑥6
6
, obtemos F'(x) = x5, logo F(x) uma antiderivada de 
f(x), no intervalo [-∞,∞]. Existe mais de uma antiderivada e elas podem ser obtidas ao 
somar uma constante C à antiderivada já calculada. Logo, depois de conhecida a 
antiderivada, pode-se obter outras antiderivadas. Em uma integração, f(x) é o 
integrando, dx é o diferencial e C a constante de integração. 
4. No instante t = 0, há um caminhão carregado de grãos com velocidade de 81 m/s 
e o motorista visualiza uma árvore caída em seu caminho para chegar até o 
armazém. Dessa forma, o motorista desacelerou rapidamente o veículo, com uma 
desaceleração constante a = -9 m/s. Em que instante a velocidade do caminhão 
chegou a zero? 
C. A velocidade do caminhão chegou a zero em t = 9 s. 
 
V(t) = ꭍ(- 9)dt 
y = - 9t + C 
Para t = 0, tem-se v(0) = 81m/s, assim, C = 81 
V(t) = - 9t + 81 
V(t) = 0 
-9t + 81 =0 
t = 9 s 
5. Uma agroquímica de fungicidas para plantação de trigo tem um custo marginal 
definido pela função c’(x) = x
3
 + 2x
2
 + 4x. Nessas condições, qual função define o 
custo total, sendo que o custo fixo é R$ 2.000,00? 
A. 
 
Logo, a função que define o custo total é 𝑐(𝑥) =
𝑥4
4
=
2𝑥3
3
+ 2𝑥2 + 2000 
 
DESAFIO 
As integrais indefinidas no cálculo matemático envolvem situações com funções em 
uma formulação mais complexa, tal que f'(x) = g(x). Esse processo poderá ser realizado 
em atividades da área da Agronomia, possibilitando resultados precisos aos agrônomos. 
Suponha que você, agrônomo, está verificando todas as propriedades da região Sul que 
estão na sua demanda. Em umas das propriedades, verificou a danificação da plantação 
de milho por lagartas. Para verificar os dados precisamente, você utilizou a expressão y’ 
= 4 + 5t
4
 para observar a plantação danificada diariamente. Após a verificação, 
constatou-se que 50.000 m
2
 (5 hectares) já estão danificados. 
a) Quantos metros quadrados da lavoura estarão danificados em 7 dias? 
b) Caso a proliferação esteja muito grande, que atitudes deverão ser tomadas? 
Padrão de resposta esperado 
a) O problema nos fornece a derivada y’ e o valor de y(0)=50000. Assim, calcula-se a 
integral para encontrar y e depois substituir t por 0 e y por 50.000 para encontrar a 
constante C. 
y= ∫( 4+5t
4
)dt 
y = 4t + t
5
 + C 
Para encontrar C substiui-se t por 0. Assim: 
50.000 = 4.0 + 0
5
 + C 
Logo C = 50.000 
Assim: 
y = t
5
 + 4t + 50.000 
Agora, substitui-se t por 7 para encontrar a quantidade de lavoura danificada em 7 dias. 
y = 7
5
 + 4.7 + 50.000 
y = 16807 + 28 + 50.000 
y = 66835 m
2
 
Logo, a plantação em 7 dias estará com 66.835 m
2 
danificados pelas lagartas. 
b) Atitudes como o uso de inseticidas deverão ser utilizadas rapidamente, e caso o milho 
esteja numa altura que impossibilita a entrada do pulverizador agrícola gafanhoto, 
recomenda-se o uso do avião agrícola para aplicar o inseticida. 
 
NOÇÕES DE INTEGRAL, CÁLCULO E FUNÇÃO INTEGRAL 
1. Dada a função f(x) = 3x + 1, qual é a sua integral? 
C. 3/2 x
2 
+ x + C 
Dada a função f(x)=3x+1, a sua integral é: 
∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 = ∫ (3𝑥 + 1)𝑑𝑥 =
3
2
𝑥2 + 𝑥 + 𝐶. 
 
2. A solução para a integral ∫ (
20+4𝑥5
3𝑥
)𝑑𝑥
2
2
 é: 
Se f(x) é integrável no intervalo [a,b] e c pertence a esse intervalo, temos que: 
∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥
𝑐
𝑐
= 0. 
3. A integral da função f(x) = 10x + 2 no intervalo [1,2] é: 
C. 17 
∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥
𝑏
𝑎
= ∫(10𝑥 + 2)𝑑𝑥
2
1
= (5𝑥2 + 2𝑥)]1
2 = (522 + 22) − (5 + 2) = 20 + 4 − 7
= 17. 
 
4. Qual das opções abaixo representa uma integral indefinida? 
D. ∫4dx. 
A opção que representa uma integral indefinida é ∫4dx. A opção a representa uma função; a 
opção b, uma derivada de uma função; e as opções c e e, integrais definidas. 
 
5. Se a velocidade de uma partícula é dada por v(t) = 3t em m/s, qual é o seu 
deslocamento depois de 10 segundos? 
D. 150m. 
𝑥 = ∫ 𝑣(𝑡) 𝑑𝑡
10
0
= ∫ 3𝑡𝑑𝑡
10
0
=
3
2
𝑡2]0
10 =
3
2
102 − 0 = 150m. 
 
DESAFIO 
As integrais são extremamente importantes para diversos cálculos aplicados, como por 
exemplo, em situações envolvendo o centro de massa dos objetos. 
Muitas estruturas e sistemas mecânicos comportam-se como se suas massas estivessem 
concentradas em um único ponto, que é chamado de centro de massa. Saber o centro de 
massa dos projetos a serem desenvolvidos é de suma importância em determinados 
lugares, como onde ocorre terremotos com certa frequência e os prédios precisam ser 
resistentes, pois uma força externa é capaz mudar o centro de massa de lugar, 
provocando desequilíbrio de um edifício. 
https://ava.webacademico.com.br/mod/lti/view.php?id=280055
Considere a seguinte situação: 
 
Padrão de resposta esperado 
 
 
TEOREMA FUNDAMENTAL DO CÁLCULO – I 
1. O teorema fundamental do cálculo (TFC) nos diz que: 
B. A integral definida de uma função é igual a sua antiderivada calculada no limite de 
integração superior menos a antiderivada calculada no limite de integração inferior. 
É justamente isso que nos diz o TFC. Em outras palavras, se F(x) for uma antiderivada 
de f(x), têm-se: 
 
Repare que, com esse método, ficou muito mais fácil calcular integrais 
definidas. 
2. Usando o teorema fundamental do cálculo, qual o resultado da seguinte integral 
definida? 
 
A. 203/6 
 
Calcula-se a antiderivada de cada termo e depois aplica-se corretamente os limites de 
integração, segundo o Teorema Fundamental do Cálculo: 
 
 
3. Calcule a seguinte integral definida: 
 
c. 
 
Calcula-se a antiderivada da função e depois aplica-se os limites de integração segundo 
o Teorema Fundamental do Cálculo. 
 
4. Calcule o valor da integral de sen(t) com limites [π ,3π/2 ] usando o TFC: 
E. -1 
 
 
 
5. Calcule a integral de: 
 
E. 2 
 
 
 
 
DESAFIO 
No ensino médio, somos aprovados em física decorando inúmeras fórmulas. Quem 
nunca ouviu falar em MRU e MRUV? Por isso, chegou a hora de virar o jogo! Você vai 
mostrar, com a ajuda do Teorema Fundamental do Cálculo, que todas aquelas fórmulas 
são deduzidas de dois princípios básicos: 
1º: Para variar-se a posição da partícula, é necessário haver velocidade (calculada pela 
derivada da função posição). 
2º: Para variar-se a velocidade, é necessário haver aceleração (calculada pela derivada 
da função velocidade). 
Dessa forma, deduza as equações da cinemática, para uma partícula em: 
Dica: na hora de integrar, pode colocar as variáveis nos limites de integração. Elas se 
comportaram como constantes. 
Padrão de resposta esperado 
No MRU, têm-se aceleração nula. Considerando o instante inicial t0 = 0 s 
 
 
 
Já no MRUV, a aceleraçãoa é constante e não nula. Lembrando que 
 
 
INTEGRAÇÃO POR SUBSTITUIÇÃO DE VARIÁVEL E INTEGRAÇÃO POR 
PARTES 
1. O objetivo da integração por partes é passar de uma integral ∫ u dv, que não se 
sabe como resolver, para uma integral ∫ v du, que se consegue calcular. De modo 
geral, escolhe-se dv primeiro, sendo a parte do integrando, incluindo dx que se 
sabe integrar de modo imediato, e u será a parte restante. 
Utilize o método de integração por partes para calcular ∫ x
2
e
x
 dx e assinale a 
alternativa que contém a resposta correta: 
C. ∫ x
2
e
x
 dx = x
2
e
x
 − 2xe
x
 + 2e
x
 + C. 
2. Da regra de derivação do produto de duas funções u = u(x) e v = v(x), tem-se 
que (uv)' = u'v + uv'. Integrando, tem-se u(x)v(x) = ∫ u'(x)v(x) dx + ∫ u(x)v'(x) dx, 
ou, ainda, ∫ uv' dx = uv − ∫ u'v dx, que é a fórmula de integração por partes. A 
fórmula recebe esse nome porque permite que se reduza a integração do produto 
uv' à integração do produto u'v. Por isso, é comum você se deparar com a 
explicação de que se está derivando u e integrando v’. A fórmula da integração por 
partes também pode ser expressa por ∫ u dv = uv − ∫ v du. 
Utilize o método de integração por partes para calcular ∫ x e
x
 dx e assinale a 
alternativa que contém a resposta correta: 
A. ∫ x e
x
 dx = x e
x
 − e
x
 + C. 
 
3. Pode-se formalizar o método da substituição ao observar que se tem no 
integrando uma função composta f(u) multiplicada pela derivada da função 
interna, u'(x). A derivada surge escrita na forma da diferencial 
du = u'(x) dx, ou seja, ∫ f(u)du = ∫ f(u(x)) ∙ u'(x) dx. Dessa igualdade, interessam os 
dois últimos termos, que indicam como sistematizar o método da integração por 
substituição: se em um intervalo a função u(x) é diferenciável e a função composta 
f(u) é contínua, então 
∫ f(u(x)) ∙ u'(x) dx = ∫ f(u)du nesse intervalo. 
Utilize o método de substituição para calcular ∫ 7 ∙ (7x + 5)
3
 dx e assinale a 
alternativa que contém a resposta correta: 
E. 
 
4. A integração por substituição, também conhecida como mudança de variável, 
origina-se da regra de derivação em cadeia, resultando em 
∫ f(g(x))g'(x) dx = F(g(x)) + C; disso, assume-se u = g(x), de tal forma que 
∫ f(g(x)) ∙ g'(x) dx = ∫ f(u)du = F(u) + C = F(g(x)) + C, pois, por hipótese, F é 
primitiva de f. A ideia do método é procurar reduzir a função que se deseja 
integrar à forma ∫ f(g(x)) ∙ g'(x) dx, em que f seja fácil de integrar. 
Utilize o método de substituição para calcular ∫ 2x(x
2 
+ 1)
3
 dx e assinale a 
alternativa que contém a resposta correta: 
B. 
 
5. A integração por substituição é, basicamente, o inverso da regra da cadeia para 
derivadas. Em outras palavras, esse método ajuda na integração de funções 
compostas. Existem alguns casos bem fáceis de resolver; por exemplo, conhecida a 
derivada de x
2 
como 2x, então ∫ 2x dx = x
2 
+ C. Mas também existem outros casos 
não tão triviais, quando, então, percebe-se a utilidade da integração por 
substituição. 
 
Após o cálculo, assinale a alternativa que contém a resposta correta: 
D. 
 
DESAFIO 
É possível calcular a derivada de quase todas as funções usadas em problemas práticos, 
seja por meio de regras ou fórmulas específicas. Por sua vez, a integração exige 
métodos mais elaborados e apropriados para cada situação. 
Também conhecido como integração por substituição, o método de mudança de variável 
é considerado o inverso da regra da cadeia para derivadas e também tem aplicação 
prática. Como exemplo, pode-se mencionar seu uso para cálculo de preço a partir de 
taxa de variação, modelos de ajustes de preço, modelos de depreciação, receita, lucro, 
oferta, demanda, investimentos, entre outros. 
Neste Desafio, você aprofundará os conhecimentos sobre o método da integração por 
substituição a partir de um problema de demanda por sandálias. Acompanhe: 
 
Mediante o exposto, e partindo do pressuposto de que o gerente precisa realizar algumas 
análises para planejar melhor suas próximas compras e o valor cobrado, bem como 
acompanhar seu estoque, auxilie-o na definição dos seguintes elementos: 
a) o preço para o qual a demanda por sandálias é de 500 pares; 
b) o preço acima do qual a demanda é zero; 
c) a demanda se o preço do par de sandálias for de R$ 90,00. 
Padrão de resposta esperado 
Para resolver os problemas propostos neste Desafio, é preciso, antes de tudo, determinar 
a função demanda p(x). Veja, a seguir, como determiná-la e, a partir dela, encontrar as 
soluções. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
INTEGRAIS TRIGONOMÉTRICAS 
 
1. Para resolver integrais envolvendo potências das funções seno e cosseno, é 
possível utilizar algumas estratégias próprias, de acordo com a potência de cada 
função. Resolva a integral aplicando a estratégia adequada. 
∫ 𝑠𝑒𝑛5𝑥 cos2 𝑥𝑑𝑥 
A. 
− cos3 𝑥
3
+
2 cos5 𝑥
5
−
cos7 𝑥
7
+ 𝐶 
2. Para determinar o volume de um sólido obtido pela rotação da função f(x) em 
torno do eixo x, para 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏, resolve-se a integral 𝑉 = ∫ 𝜋[𝑓(𝑥)]2
𝑏
𝑎
𝑑𝑥Determine 
o volume do sólido obtido pela rotação da função𝑓(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛2𝑥 cos
3
2 𝑥 em torno do 
eixo x, para 0 ≤ 𝑥 ≤
𝜋
2
. 
D. 
2𝜋
35
 
3. Uma pessoa percorre um caminho em formato parabólico, segundo a curva 
y=x
2
, ilustrada abaixo. 
 
 
Determine a distância percorrida pela pessoa do ponto (0,0) ao ponto (1,1), 
sabendo que o comprimento do arco dessa parábola nesses pontos é dada por: 
∫
1
0
√1 + 4𝑥2𝑑𝑥 
B. 
2√5+ln(√5+2)
4
 
4. Deseja-se construir um reservatório obtido pela rotação da função 𝑦 = 𝑒𝑥 , 0 ≤
𝑥 ≤ 1 em torno do eixo x. 
 
 
Para determinar a quantidade de material necessário para a construção do 
reservatório, é preciso encontrar a área de sua superfície, que é dada por 
𝐴 = 2𝜋 ∫ 𝑒𝑥√1 + 𝑒2𝑥
1
0
𝑑𝑥 
Calcule a área da superfície do reservatório e assinale a resposta correta. 
E. 𝜋(𝑒√𝑒2 + 1 + ln(𝑒 + √𝑒2 + 1) − √2 − ln(√2 + 1)) 
5. Um campo elétricoE no ponto P (a, b) em uma barra carregada de 
comprimento L é dado por 
 
𝐸 = ∫
𝐿−𝑎
−𝑎
𝑏
4𝜋𝜀0(𝑥2+𝑏2)
3
2
𝑑𝑥 
Onde 𝜀0 é uma constante. Determine o campo elétrico no ponto (3, 2) de uma barra 
de comprimento 5. 
B. 
1
8𝜋𝜀0
(
√2
2
+
3
√13
) 
DESAFIO 
O cálculo integral pode ser aplicado na física para determinar as equações do 
movimento. Com o auxílio do cálculo diferencial e integral, é possível relacionar as 
equações da posição, da velocidade e da aceleração de uma partícula. 
Neste Desafio, você vai analisar a posição de um objeto cuja fórmula recai em uma 
integral trigonométrica. 
Suponha que um objeto se mova em linha reta e sua velocidade é dada por: 
v(t) = sen t cos² t 
Onde v é dado em m/s. 
a) Determine a integral que representa a função posição s(t) desse objeto. 
b) Encontre a função posição s(t) quando s(0) = 0. 
Padrão de resposta esperado 
As funções posição e velocidade podem ser relacionadas de acordo com as definições 
do cálculo diferencial e integral. 
 
 
 
MÉTODO DAS FRAÇÕES PARCIAIS 
1. Para resolver integrais envolvendo divisão entre polinômios, utiliza-se o método 
da decomposição em frações parciais para simplificar o cálculo da integral. 
Sendo assim, utilize tal método para resolver a integral: 
∫
1
𝑥2(4 − 𝑥)
𝑑𝑥 
B. 
ln |𝑥|
16
−
1
4𝑥
−
ln |4 − 𝑥|
16
+ 𝐾 
2. Analisando a integral 
∫
𝑥2 + 4𝑥 + 1
(𝑥 − 1)(𝑥 + 1)(𝑥 + 3)
𝑑𝑥 
pode-se concluir que seu cálculo não é de fácil resolução. Uma forma de simplificar 
o cálculo integral de funções desse tipo é realizando a decomposição em frações 
parciais. 
Resolva a integral utilizando a decomposição mencionada. 
A. 
3 ln |𝑥−1|
4
+
ln |𝑥+1|
2
−
ln |𝑥+3|
4
+ 𝐾 
3. Para determinar o volume de um sólido obtido pela rotação da função f(x) em 
torno do eixo x, para a ≤ x ≤ b, resolve-se a integral 𝑉 = ∫ 𝜋[𝑓(𝑥)]2
𝑏
𝑎
𝑑𝑥 
Determine o volume do sólido obtido pela rotação da função𝑓(𝑥) = √
2𝑥3−4𝑥2−𝑥−3
𝑥2−2𝑥−3
em torno do eixo x, para 0 ≤ x ≤ 2. 
E. π (4 – ln 3). 
 
4. Use frações parciais para calcular: 
∫
𝑥3 − 1
𝑥2(𝑥 − 2)3
𝑑𝑥 
C. 
3
16
ln |𝑥| −
1
8𝑥
−
3
16
ln |𝑥 − 2| −
5
4(𝑥−2)
−
7
8(𝑥−2)2
+ 𝐾 
 
 
5. Um campo elétrico E no ponto P(a, b), a > 0 eb > 0, em uma barra de 
comprimento L, é dado por: 𝐸 = ∫
0
−𝐿
𝑥
4𝜋𝜀0(𝑥−𝑎)(𝑥−𝑏)
𝑑𝑥, em que ε0 é uma 
constante. Determine o campo elétrico no ponto (3, 2) de uma barra de 
comprimento 5. 
D. 
1
4𝜋𝜀0
(3 ln 3 − 11 ln 2 + 2 ln 7) 
DESAFIO 
O método das frações parciais é essencial para simplificar integrais que envolvem 
funções racionais. Algumas integrais envolvendo frações apresentam certa dificuldade 
para serem resolvidas. Suas dificuldades são minimizadas quando se faz a 
decomposição da função racional em frações parciais. 
Como exemplo, pode-se citar a análise da quantidade de uma população de peixes a 
partir de sua função densidade, aplicando frações parciais. Então, imagine que você é 
um biólogo e deseja saber a população de peixes (em milhares) em um lago com 
formato circular com raio de 3 km. A função densidade de peixes é dada pela função: 
𝜌(𝑟) =
1
(1 + 𝑟)(𝑟 + 4)2
 
que calcula a densidade populacional de peixes em um dado raio r. Para determinar a 
quantidade de peixes no lago, é necessário resolver a integral 
∫ 2𝜋𝑟
1
(1 + 𝑟)(𝑟 + 4)2
𝑑𝑟
3
0
 
A partir dessas informações: 
a) Escreva a função racional da integral como decomposição em frações parciais. 
b) Encontre a população total de peixes no lago. 
Padrão de resposta esperado 
A função que representa a densidade de peixes no lago, ρ(r), é uma fração algébrica, 
cujo cálculo integral não é de fácil solução. Por isso, é preciso decompô-la em frações 
parciais, como pode ser visto na resolução a seguir. 
 
 
 
 
 
 
 
 
APLICAÇÕES DA INTEGRAL – ÁREA ENTRE DUAS CURVAS 
1. Calcule a área entre as retas y = 5 e y = 2, para [a, b]. Também identifique o 
polígono cuja área foi calculada. 
C. 3( b - a ) (u.a.) 
Como y = 5 e y = 2 são funções constantes, seus traços são retas paralelas ao eixo x. 
Assim, a área calculada será a da região: 
 
Calculando a área: 𝐴 = ∫ (5 − 2)𝑑𝑥 = ∫ 3𝑑𝑥 = [3𝑥]𝑎
𝑏 = 3(𝑏 − 𝑎)
𝑏
𝑎
𝑏
𝑎
(𝑢. 𝑎. ) 
 
2. Calcule a área entre as curvas y = x
2
 e y = x, no intervalo [0,2]. 
D. 1 (u.a.) 
Observe o gráfico das funções y = x
2
 e y = x. 
 
Note que, no intervalo [0,1], y = x
2
 encontra-se limitando a região hachurada 
inferiormente e y = x limita-a superiormente. Já no intervalo [1,2] ocorre o contrário: y 
= x limita a região inferiormente e y = x
2
, superiormente. Desta forma, a área é 
calculada por: 
 
E. 4 (u.a.) 
 
𝐴 = ∫(𝑥 − 𝑥2)
1
0
𝑑𝑥 + ∫(𝑥2 − 𝑥)
2
1
𝑑𝑥 = (
𝑥2
2
−
𝑥3
3
]
0
1
+ (
𝑥3
3
−
𝑥2
2
]
1
2
=
1
2
−
1
3
+
8
3
− 2 −
1
3
+
1
2
= 1(𝑢. 𝑎. )
 
3. Calcule a área da região formada pelas curvas: x + y = 4; x – y = 0; y + 3x = 4 e 
diga os valores das coordenadas de x dos pontos de intersecção entre as curvas. 
A. área igual a 2 (u.a.) e as coordenadas x dos pontos de interseção das curvas são: 
｛0;1;2｝ 
Um esboço do gráfico lhe ajudará a visualizar os limites de integração e as coordenadas 
de x dos pontos de interseção das curvas: 
 
Note que, no intervalo [0,1], y = 4 - x limita a região superiormente e y = 4 - 3x, 
inferiormente. Já no intervalo [1,2] a função y = 4 - x limita a região superiormente e y 
= x, inferiormente. Desta forma, os pontos de intersecção entre as curvas possuem 
coordenadas 0, 1 e 2, e a área da região é calculada por: 
𝐴 = ∫[4 − 𝑥 − (4 − 3𝑥)]dx
1
0
+ ∫(4 − 𝑥 − 𝑥)dx
2
1
= ∫ 2xdx
1
0
+ ∫(4 − 2𝑥)dx
2
1
= (𝑥2|0
1 + (4𝑥 − 𝑥2|1
2
= 1 − 0 + 8 − 4 − (4 − 1) = 2(𝑢.𝑎.)
 
4. Determine a área compreendida entre as curvas 𝑦 =
𝑥
2
𝑒𝑦 = √𝑥.sabendo que as 
intersecções são no y=0 e no y=2. 
B. 4/3 (u.a.) 
Representando graficamente as curvas 𝑦 =
𝑥
2
 e 𝑦 = √𝑥 , observa-se a área a ser 
calculada: 
 
Assim, a área desta região é: 
𝐴 = ∫ (√𝑥 −
𝑥
2
)
4
0
𝑑𝑥 = (
2𝑥
3
2⁄
3
−
𝑥2
4
]
0
4
=
2⋅4
3
2⁄
3
−
42
4
=
4
3
(𝑢. 𝑎. )
 
5. Calcule, usando a integração em y, a área entre as curvas 2𝑦 − 𝑥 = 1 e 
𝑦 = √𝑥 + 1. 
B. 4/3 (u.a.) 
Representando graficamente as curvas 2𝑦 − 𝑥 = 1 e 𝑦 = √𝑥 + 1, observa-se a área a 
ser calculada: 
 
 
 
Para integrar em y, deve-se escrever as equações dadas em função de y: 2𝑦 − 𝑥 = 1 
 
escreve-se na forma 𝑥 = 2𝑦 − 1, e 𝑦 = √𝑥 + 1 
escreve-se na forma 𝑥 = 𝑦2 − 1 
 
Assim, a área desta região é: 
𝐴 = ∫[2𝑦 − 1 − (𝑦2 − 1)]
2
0
𝑑𝑦 = ∫(2𝑦 − 𝑦2)
2
0
𝑑𝑦
= (𝑦2 −
𝑦3
3
]0
2 = 4 −
8
3
=
4
3
(𝑢. 𝑎. )
 
 
DESAFIO 
A complexidade do projeto de arquitetura influencia diretamente no custo da obra. Essa 
complexidade pode ser classificada em simples, normal e luxo, dependendo das 
características dos materiais utilizados em sua estrutura e do acabamento da construção. 
Imagine que se deseja construir um jardim com regiões de convívio, conforme ilustra a 
figura a seguir. 
 
 
Cada “pétala” de área verde pode ser aproximada pela região compreendida entre as 
funções y = x
2
 e x = y
2
, considerando cada unidade dos eixos correspondendo a 100m, 
como observa-se no gráfico: 
 
 
Sabendo que o custo da grama é de R$1,50 o metro quadrado, calcule o custo da área 
verde do projeto do jardim. 
Padrão de resposta esperado 
Para verificarmos este custo, é necessário determinar inicialmente a área compreendida 
entre os gráficos apresentados. Pode-se fazer a leitura de ambos os gráficos sendo 
funções da variável x ou da variável y. Optando por funções de x, têm-se: 
 
Desta forma, a área será: ∫ (√𝑥 − 𝑥2)dx
1
0
= (
2𝑥
3
2⁄
3
−
𝑥3
3
|𝑥=0
1 =
2
3
−
1
3
=
1
3
 
Como cada unidade dos eixos corresponde a 100m, conclui-se que a área de cada 
“pétala” será 
1
3
× (100𝑚)2 =
1
3
× 104𝑚2 
Sendo quatro “pétalas” e um custo de R$1,50 o metro quadrado de grama, então o custo 
da área verde deste jardim será de 4 ×
1
3
10
4𝑚2 × 1,50
reais
𝑚2
= 2 × 104reais =
𝑅$20.000,00