Mec_Cap03

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Mecanismos—Cadeias Cinemáticas 
DEMEC-UFPE - 17 
 
3 Cadeias 
Cinemáticas 
O conceito de mecanismo visto no capítulo anterior, como sendo um 
conjunto de corpos rígidos interligados e com possibilidade de movimentos 
relativos entre si, irá requerer um estudo mais detalhado do ponto de vista 
destas ligações e também destes movimentos. Neste capítulo iremos 
aprender novos conceitos para estes corpos rígidos atrelados entre si 
formando as “cadeias cinemáticas” e como conseqüência chegaremos a 
uma definição mais exata para o termo mecanismo, bem como iremos 
entender as suas relações e interdependências. 
3.1. Coordenadas Generalizadas 
A configuração de um sistema mecânico com um número finito de pontos 
materiais ou corpos rígidos pode ser expressa por um número finito de 
variáveis reais chamadas coordenadas generalizadas. Cada ponto material 
poderá ser denotado pela sua n-úpula coordenada generalizada: 
 
Como exemplo, o sistema mostrado na figura 3.1 pode ser descrito com a 
utilização do ângulo θ que a barra AB forma com a horizontal e das 
coordenadas x e y de um ponto qualquer na barra. Nesta situação, as 
coordenadas generalizadas seriam (x, y, 0). Também poderíamos descrevê-
1 2 3( , , ,..., )nx x x x
Mecanismos—Cadeias Cinemáticas 
18 - DEMEC-UFPE 
 
lo utilizando as coordenadas cartesianas de dois pontos distintos da barra e 
o sistema de coordenadas generalizadas seria então dado por (x1, y2, x2, y2). 
Figura 3.1 - descrição do sistema (barra AB) em 
coordenadas generalizadas. 
3.1.1. Restrições 
Pontos materiais de um sistema mecânico ou de partículas podem 
estabelecer vínculos entre si, que impõem limitações aos seus 
deslocamentos, estes vínculos também são chamados restrições. 
Figura 3.2 - em (a), sistema sem restrição em 
relação à reta t e em (b), com restrição 
imposta pela haste /. 
 
θA
By
2
y
1
x1 x2
A
B
(a)
t
A
B
(b)
t
l
Mecanismos—Cadeias Cinemáticas 
DEMEC-UFPE - 19 
 
Se a restrição puder ser equacionada com a utilização de coordenadas 
generalizadas e do tempo de tal forma que se possa ter verdadeira a 
expressão: 
 (3.1) 
Ela será dita holonômica, caso contrário será chamada não-holonômica. 
Saiba mais: 
Sistemas com órgão não rígidos onde não se pode prever expansões 
ou contrações devidas à dilatação térmica no tempo são sempre 
não-holonômicos. 
3.1.2. Graus de Liberdade de um Sistema Mecânico 
Num sistema mecânico de partículas ou corpos rígidos em que as restrições, 
se houver, sejam todas do tipo holonômicas, define-se o número de graus 
de liberdade do sistema através da seguinte relação: 
 (3.2) 
onde: 
f - número de graus de liberdade do sistema; 
n - número de coordenadas generalizadas usadas para descrever o 
sistema; 
r - número de equações de restrição existentes no sistema de 
coordenadas generalizadas adotado. 
Desta forma, o número de graus de liberdade é uma característica 
intrínseca do sistema e independe do sistema particular de coordenadas 
utilizado para sua descrição. Apenas ressalte-se que se o sistema for 
independente, o número de equações de restrição será diferente de um 
sistema para o outro, desde que os mesmos tenham número de coordenadas 
(independentes) diferentes. Em particular, é possível se achar um conjunto 
de coordenadas independentes tal que o número de equações de restrição 
seja nulo. 
Como exemplo elucidativo, vamos considerar uma haste (figura 3.3) no 
plano bidimensional (x, y) com uma extremidade fixa em (x0, y0) e podendo 
f(x1, x2, x3, ..., xn) = 0
f = nà r
Mecanismos—Cadeias Cinemáticas 
20 - DEMEC-UFPE 
 
rotacionar em torno deste. Na extremidade desta haste coloca-se uma 
outra, que também poderá girar. 
Figura 3.3 - sistema no plano com 2 graus de 
liberdade e duas equações de restrição. 
A configuração do sistema será então dada por quatro coordenadas xp1, yp1, 
xp2 e yp2 e, para este caso o número de equações de restrição é dois: 
 
 (3.3) 
Note que aqui xpo, ypo, são constantes que podem ser utilizadas livremente 
nas equações de restrição, logo o número de graus de liberdade do sistema 
será: 
 (3.4) 
Poderíamos também utilizar como coordenadas os ângulos θ1 e θ2 que as 
barras fazem com a horizontal. Neste caso, ficaríamos sem nenhuma 
equação de restrição envolvendo estas coordenadas θ1 e θ2. 
Saiba mais: 
Se o sistema de coordenadas generalizadas escolhido for 
linearmente independente, o número de equações de restrição será 
sempre nulo. 
(xP2 à xP1)2 + (yP2 à yP1)2 = l22
(xP1 à xP0)2 + (yP1 à yP0)2 = l21
f = nàm = 4à 2 = 2
θ
P
l
1
θ2
1
l2
1
P2
P0
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3.2. Pares Cinemáticos 
Neste estudo será designado barra a qualquer peça rígida que componha 
um mecanismo. Então, as barras adjacentes de um mecanismo devem ser 
convenientemente ligadas para que executem o movimento desejado umas 
em relação às outras. A cada uma destas ligações é dado o nome de par 
cinemático. Cada uma das partes que formam o par é chamada elemento 
cinemático. 
Fique ligado: 
No estudo dos mecanismos e das cadeias cinemáticas em geral, os 
corpos rígidos envolvidos levam simplesmente o nome de “BARRA”. 
3.2.1. Classificação 
Os pares cinemáticos podem ser classificados em superiores e inferiores, 
sendo a distinção feita pela forma de contato entre as superfícies de cada 
elemento que forma o par. Para os pares inferiores, o contato se dá 
superficialmente, enquanto nos superiores, o contato é linear ou pontual. 
Decorre disto que os pares inferiores podem suportar cargas mais elevadas, 
ao passo que os superiores apresentam menores perdas por atrito. 
 
Tabela 3.1 - relação entre par superior e inferior 
PAR VANTAGENS DESVANTAGENS 
superior 
♦ menores perdas por atri-
to 
♦ pequena dissipação de 
calor 
♦ não suportam cargas eleva-
das 
♦ desgastam-se mais rapida-
mente 
♦ exigem maior refinamento 
inferior 
♦ suportam cargas eleva-
das 
♦ são de fácil construção 
♦ desgastam-se uniforme-
mente 
♦ grandes perdas por atrito 
♦ velocidade de trabalho mo-
derada 
Mecanismos—Cadeias Cinemáticas 
22 - DEMEC-UFPE 
 
3.2.2. Pares Inferiores 
Existem seis pares cinemáticos identificados por Reuleaux como inferiores. 
A tabela 3.2 os classifica relacionando os nomes e símbolos empregados. 
Seja a barra 2 no espaço, vinculada ao sistema cartesiano local (u, v, w) 
(figura 3.4), com possibilidade de movimento em relação à barra 1, 
vinculada ao sistema de referência (x, y, z), o número de graus de 
liberdade inicial da barra 2 em relação a 1 será 6, isto é, três 
deslocamentos lineares nas direções dos eixos coordenados, representados 
pelas variáveis (x, y, z) e três rotações em torno de cada eixo local, 
representadas por (θ, φ, ψ). 
 
Figura 3.4 – possibilidades de movimento relativo da 
barra 1 em relação à barra 2. 
Nossa análise será feita restringindo-se a possibilidade de alguns destes seis 
possíveis movimentos: 
a. Restringindo-se o movimento de translação em x, y e z, e de rotação 
em u e v, tem-se apenas possibilidade de rotação em torno de w. O 
movimento é então de rotação (θ) e o par chama-se rotativo, 
simbolizado por R. 
b. Restringindo-se todas as três rotações em relação a u, v e w, e os 
deslocamentos segundo x e y, fica-se com a possibilidade apenas de 
translação paralela a z. O par é chamado prismático e será 
simbolizado pela letra P. 
2
1
vu
w
z
y
x
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DEMEC-UFPE - 23 
 
c. Supondo que a barra 2 gire sobre uma hélice em volta do eixo w, ela 
também irá se deslocar seguindo uma direção paralela a z. Este par é 
dito helicoidal e será representado por Sp, onde o índice p 
representa o passo da hélice. 
d. Quando se permite apenas rotação em torno de w e translação em 
relação a z, têm-se o chamado par cilíndrico, representado por C. 
e. Sendo permitido apenas rotação em torno de qualquer dos três eixos 
u, v e w, o par é dito esférico e será representado pela letra G de 
globular. 
f. Finalmente, quandosão permitidas apenas duas translações x e y e 
uma rotação em torno de um eixo paralelo a z, tem-se o par plano, 
denotado por F. 
 
Tabela 3.2 - pares inferiores, simbologia. 
Reuleaux considera os pares rotativo e prismático como caso especial do 
par helicoidal com passo zero e infinito respectivamente. Desta forma, é 
possível se representar o par rotativo por So e o par prismático por S∞ . 
Para todos os pares inferiores, com exceção do par plano, as ligações se 
verificam através de invólucros, porque em cada caso um elemento envolve 
o outro. A figura 3.5 ilustra estes seis diferentes tipos de pares cinemáticos 
inferiores. 
 
 
Tipo de Movi-
mento Relativo Tipo de Par 
Símbolo 
Utilizado 
Graus de 
Liberdade 
Variáveis Para 
Descrição 
linear 
Rotativo 
prismático 
Helicoidal 
R 
P 
S 
1 
1 
1 
θ 
x 
x ou θ 
superficial 
Cilíndrico 
esférico 
Plano 
C 
G 
F 
2 
3 
3 
x, θ 
θ, φ,ψ 
x, y, θ 
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Figura 3.5 - o s s e i s t i p o s b á s i c o s d e p a r e s 
cinemáticos inferiores. 
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DEMEC-UFPE - 25 
 
3.2.3. Pares Superiores 
Os pares superiores não seguem uma classificação rígida como no caso dos 
inferiores. Assim, cada problema deve ser tratado como um caso em 
separado. 
Como exemplos de pares superiores a contato pontual têm-se os mancais de 
esfera, as engrenagens helicoidais de eixos reversos e as juntas 
homocinéticas. Já o contato linear é encontrado em cames com seguidor de 
rolo, mancais cilíndricos e nas engrenagens em geral. 
Na maioria dos casos, o movimento relativo entre os elementos é bastante 
complexo, porém ocasionalmente é possível substituir as ligações formadas 
por pares superiores, por outras contendo apenas pares inferiores, como é 
o caso ilustrado na figura 3.6 abaixo. 
 
Figura 3.6 - substituição de um par superior por um 
equivalente inferior 
3.3. Barras e Elementos Cinemáticos 
Como já mencionado, o termo “barra” será empregado para designar 
qualquer corpo material que possa transmitir movimento entre as várias 
partes de um mecanismo. A barra deverá conter elementos cinemáticos que 
representem um local de contato ou conexão à uma outra barra. 
As barras, em função do número de elementos cinemáticos, podem se 
classificar em: 
♦ barra binária - possui dois elementos (n2) 
♦ barra ternária - possui três elementos (n3) 
♦ barra quaternária - possui quatro elementos (n4) 
e assim por diante. 
Mecanismos—Cadeias Cinemáticas 
26 - DEMEC-UFPE 
 
3.3.1. Representação Convencional e Representação Esquemática 
A figura 3.7 mostra as possíveis representações na forma convencional e na 
forma esquematizada de barras binárias, ternárias e de maior ordem. A 
representação esquemática simplifica o desenho da barra através de 
esboços rápidos efetivados por segmentos para o núcleo da barra e 
pequenos círculos nas extremidades ou cantos para representar os 
elementos cinemáticos. A convenção para o esquema de barras com mais 
de dois elementos cinemáticos não colineares, consiste em hachuriar o 
polígono que tem como vértices os elementos cinemáticos, figura 3.7 
barras b e d. 
 
Figura 3.7 - representação esquemática das barras - 
em (a) barra binária, em (b) e (c) barra 
te rnár ia e em (d) bar ra com 5 
elementos. 
A figura 3.8 mostra mais alguns exemplos de representação esquemática 
de barras binárias e ternárias contendo elementos cinemáticos do tipo 
rotativo e prismático. 
 
Mecanismos—Cadeias Cinemáticas 
DEMEC-UFPE - 27 
 
 
Figura 3.8 - exemplos esquemáticos de barras 
contendo elementos cinemáticos de 
tipos diferentes. 
Muito embora possamos ter uma representação esquemática para os 
elementos cinemáticos do tipo helicoidal, cilíndrico, esférico e facial, nós 
não a apresentaremos aqui por se tratar de assunto mais específico para 
uma extensão deste curso. 
Fique ligado: 
Nas cadeias planas, que serão o objeto principal dos nossos estudos, 
os pares cinemáticos presentes serão exclusivamente do tipo 
Rotativo e Prismático. 
3.4. Cadeia Cinemática 
Define-se cadeia cinemática como sendo uma coleção de barras ligadas 
entre si através de seus elementos cinemáticos. 
A cadeia é dita fechada quando todos os elementos cinemáticos estão 
ligados entre si, caso contrário ela será aberta (figura 3.9). A cadeia 
cinemática será dita simples quando for formada apenas por barras 
binárias. 
(a) (b) (c)
(d) (e) (f)
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28 - DEMEC-UFPE 
 
 
Figura 3.9 - (a) cadeia cinemática fechada, (b) 
cadeia aberta e (c ) cadeia cinemática 
fechada simples. 
3.5. Critério de Grübler para Mecanismos Planos 
Utilizando-se o sistema de coordenadas generalizadas (x, y, z) para a 
descrição de uma cadeia cinemática fechada, onde todos os pares 
cinemáticos são do tipo rotativo e no plano, contendo uma barra fixa como 
base, é possível se mostrar que o número de graus de liberdade do sistema 
poderá ser determinado em função apenas do número de barras n e do 
número de pares cinemáticos j da cadeia. 
De fato, se tivéssemos apenas uma barra no plano, a sua posição poderia 
ser determinada por três variáveis (xo, yo, θo), sendo portanto igual a 3 o 
número de graus de liberdade (figura 3.10a). Adicionando-se uma outra 
barra por meio de um par cinemático do tipo rotativo, o sistema resultante 
passará a ter 4 graus de liberdade (figura 3.10b), isto é, foi adicionado 
apenas mais um grau de liberdade e não 3 como se poderia inicialmente 
imaginar. Conclui-se então que o par cinemático reduz dois graus de 
liberdade da segunda barra. Assim para n barras no plano: 
 (3.5) 
Se estas n barras formarem j pares cinemáticos, cada par cinemático vai 
reduzir dois graus de liberdade, e então: 
 (3.6) 
(a) (b) (c)
1
4
2
3
5
6
7
R34 R45
R56
R16
R12
R23 R47
R17
1
2
4
3
R14
R34
R23
R12 1
2 4
3
R14
R34R23
R12
f = 3n
f = 3nà 2j
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DEMEC-UFPE - 29 
 
 
Figura 3.10 - barra livre no plano (a) e conectada a 
uma segunda barra em (b). 
Agora fixando-se uma das barras, haverá redução de mais três graus de 
liberdade e chega-se ao chamado Critério de Grübler para os mecanismos 
planos: 
 (3.7) 
onde: 
f = número de graus de liberdade da cadeia 
n = número total de barras na cadeia 
j = número de pares cinemáticos do tipo rotativo 
Observe que esta dedução se baseia nos mecanismos planos contendo 
apenas pares cinemáticos do tipo rotativo. A despeito disto, será visto mais 
adiante que levando-se em consideração certos critérios, a equação (3.7) 
também poderá ser aplicada em cadeias contendo pares prismáticos e até 
mesmo pares helicoidais em algumas situações. 
Fique ligado: 
Perceba que na dedução do Critério de Grübler se considerou apenas 
pares cinemáticos do tipo rotativo que têm um grau de liberdade, 
portanto o Critério pode ser aplicado para outros tipos de pares 
cinemáticos, desde que estes tenham um só grau de liberdade, como 
é o caso dos pares prismático e helicoidal. 
É possível também se estender o critério para cadeias contendo pares 
θ
y
x
o θo
θ1
o
o
y
xo
o
1 1
2
(a) (b)
f = 3(nà 1)à 2j
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30 - DEMEC-UFPE 
 
cinemáticos superiores, notando que estes têm dois graus de liberdade, 
após considerações similares as feitas acima chega-se a: 
 (3.8) 
Onde h denota o número total de pares superiores presentes na cadeia. 
 
Figura 3.11 - estruturas em a, b e c, em d e e 
mecanismos impostos de 4 barras, 
cadeia não imposta em f e mecanismos 
complexos em g e h. 
f = 3(nà 1)à 2jà h
1
2
3 4
5
6
12
4
5
6
8
7
3
n = 3
f = 0
j = 3
(a)
n = 5
f = 0
j = 6
(b)
n = 6
f = -1
j = 8
(c)
n = 4
f = 1
j = 4
(d)
n = 4
f = 1
j = 4
(e)
n = 5
f = 2
j = 5
(f)
n = 6
f = 1
j = 7
(g)
n = 8
f = 1
j = 10
(h)
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DEMEC-UFPE - 31 
 
Se a solução da equação (3.7) for f ≤ 0, o movimento é impossível e o 
mecanismo forma umaestrutura; em particular para f = 0 têm-se uma 
estrutura estaticamente determinada e para f = -1 há uma barra 
redundante na cadeia que conduz a estrutura a ser estaticamente 
indeterminada ou hiperestática. Quando f = 1 diz-se que há movimento 
imposto, porém sendo f = 2 ou maior, só haverá imposição na cadeia se 
houver mais de um movimento de entrada perfeitamente conhecidos e em 
barras distintas. A figura 3.11 exemplifica várias cadeias onde é possível a 
aplicação do critério. 
Fique ligado: 
Perceba que as estruturas não sôo objeto de estudo nos cursos de 
mecanismos. 
3.5.1. Cadeias Contendo Pares Prismáticos 
Os pares cinemáticos do tipo prismático semelhantemente às juntas 
rotativas, possuem um só grau de liberdade, tendo por isto em alguns 
casos, características semelhantes à estas. Isto permite que se adaptem ao 
Critério de Grubler, desde que sejam feitas três restrições indispensáveis: 
a. Nenhuma barra da cadeia deve conter somente pares prismáticos 
cujas direções de movimento sejam paralelas entre si. 
 
Figura 3.12 - à barra 3 é permitido movimento, sem 
que haja movimento das outras barras 
da cadeia. 
1
2 4
3
R14
P34
P23
R12
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32 - DEMEC-UFPE 
 
b. Barras binárias possuindo somente pares prismáticos (figura 3.13) 
não devem ser diretamente ligadas entre si. 
 
Figura 3.13 - as barras 3 e 4 podem mover-se para 
uma segunda posição sem que haja 
movimento das outras barras. 
c. Nenhum polígono fechado de barras da cadeia (figura 3.14) deve ter 
menos que dois pares cinemáticos do tipo rotativo. 
 
Figura 3.14 - notar a impossibilidade de rotação do 
par rotativo R34, imposta pelo par 
prismático P25. 
P45
R15
R12
R26
R56
P23
P343
6
1
4
2
5
P'23
P'343'
R12
R16
R56
R34
P23
P25
P45
2
5
6
1
3 4
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DEMEC-UFPE - 33 
 
3.5.2. Cadeias Impostas 
Quando f = 1 numa cadeia cinemática fechada com uma barra fixa, é 
possível um movimento vinculado de tal forma que a configuração, em 
determinado instante, de uma barra qualquer da cadeia possa predizer 
toda a configuração do sistema naquele instante. Neste caso diz-se que a 
cadeia tem movimento imposto. Este é o caso de maior interesse na 
síntese. 
O critério de Grubler com f = 1 permite então escrever: 
 (3.9) 
e 
 (3.10) 
onde n é o número total de barras na cadeia e j é o número total de pares 
cinemáticos rotativos e prismáticos. Desde que estes últimos satisfaçam os 
três critérios anteriormente descritos. 
Observando-se que j deve ser sempre um número inteiro, pois não é 
possível ter-se fração de par cinemático, a equação (3.10) obriga que n 
seja par. A tabela 3.3 fornece as primeiras cadeias impostas possíveis. 
 
Tabela 3.3 - cadeias impostas possíveis 
Agora considerando que haja n2 barras binárias, n3 barras ternárias, n4 
barras quaternárias e assim por diante até que se chegue a nk barras com k 
elementos cinemáticos na cadeia. Onde k representa o número de 
elementos cinemáticos da barra de maior ordem. O número total de barras 
n da cadeia será dado por: 
 (3.11) 
Sendo assim, o número total de elementos cinemáticos na cadeia será 
doado por 2n2 + 3n3 + 3n4 + ... + knk. Agora notando que cada par 
n =
3
2j + 4
j = 2
3nà 2
n ... 
j ... 
2 
1 
4 
4 
10 
13 
8 
10 
6 
7 
n = n2 + n3 + n4 + ...+ nk
Mecanismos—Cadeias Cinemáticas 
34 - DEMEC-UFPE 
 
cinemático é formado por dois elementos cinemáticos, percebe-se que o 
número total de pares cinemáticos na cadeia deverá ser: 
 (3.12) 
Considerações geométricas na imposição da cadeia permitem que se 
obtenha o número de elementos cinemáticos da barra de maior ordem em 
função do número total de barras, denotando este número será designado 
pela letra k e será então: 
 (3.13) 
Um fato interessante a ser observado é que nas cadeias impostas haverá 
sempre a necessidade de se ter barras binárias envolvidas para se conseguir 
mobilidade. Em função do número de barras restantes é 
possível se chegar a: 
 (3.14) 
A demonstração desta equação, que poderá ser feita substituindo-se (3.11) 
e (3.12) em (3.10), ficará a cargo do aluno. É importante notar que n2 não 
é constante para um determinado n, uma vez que é possível se ter qualquer 
dos nj (2 < j ≤ k = n/2) nulo em algumas permutações dos vários tipos de 
cadeias com n barras possíveis. 
Como exemplo, vamos verificar as possíveis combinações na formação de 
cadeias cinemáticas e mecanismos quando o número total de barras for 
igual a seis. 
As equações (3.10) e (3.13), para este caso nos fornece: 
 j = 7 e k = 3 
Substituindo em (3.11) e (3.12) é possível se construir o sistema de 
equações lineares: 
 
j =
2
1(2n2 + 3n3 + 4n4 + ...+ knk)
k = 2
n
n2 = 4+
P
i=4
i=2
n
(ià 3)ni
n2+n3 = 6
2n2+3n3 = 14
ú
Mecanismos—Cadeias Cinemáticas 
DEMEC-UFPE - 35 
 
que, após resolvido fornecerá: 
 
Ou seja, só é possível se ter movimento imposto através de uma cadeia com 
seis barras, se esta cadeia contiver quatro barras binárias e duas barras 
ternárias. Como só foi possível se encontrar uma configuração envolvendo 4 
barras binárias e 2 barras ternárias, diz-se que só há possibilidade de uma 
permutação para o sistema. 
Em verdade, uma segunda permutação seria possível (figura 3.16), porém 
esta resultaria em uma cadeia de apenas 4 barras, uma vez que duas barras 
binárias em conjunto com a barra quaternária formam uma estrutura. Estas 
permutações - em que há possibilidade de formação de estrutura para um 
conjunto de barras da cadeia - não serão detectadas sempre que se use a 
equação (3.13) na obtenção das cadeias possíveis 
. 
Figura 3.15 - variações possíveis, em (a) cadeia de 
Stephenson e em (b) cadeia de Watt. 
Examinando estas possibilidades, é possível se montar a cadeia de duas 
formas diferentes (figura 3.15a e 3.15b), permitindo portanto duas 
variações. A variação é entendida como as formas diferentes de conectar as 
barras dentro de uma permutação. 
 
n2 =4
n3 =2
ú
(a) (b)
1
3
2
4
5
6
R23 R34
R45
R15
R12
R36
R
16
R56
R45R34
R14
R12 R16
R23
3
2
5
6
4
1
Mecanismos—Cadeias Cinemáticas 
36 - DEMEC-UFPE 
 
 
Figura 3.16 - permutação que degenera-se em uma 
cadeia de quatro barras. 
A partir de uma variação, é possível se conseguir os vários mecanismos 
(cadeia fechada com uma barra fixa) através das inversões. Cada fixação de 
uma barra diferente produz uma inversão da cadeia e consequentemente 
um mecanismo de características diferentes. Perceba que as posições 
relativas entre as barras quando em movimento não se alteram em cada 
inversão. 
Neste exemplo, são possíveis apenas duas inversões distintas para a cadeia de 
Watt e duas para a de Stephenson. As demais são idênticas a uma destas 
duas. 
3.6. Qualidade da Transmissão de Movimento 
A figura 3.17 mostra a conexão pelo par cinemático rotativo Rab, de duas 
barras adjacentes a e b, numa cadeia cinemática qualquer. Supondo que a 
barra a seja a transmissora de movimento, tem-se então a força Fab 
aplicada por esta à barra b, através do par cinemático Rab. Imaginando-se 
que o centro instantâneo de rotação da barra b seja o ponto C, a força que 
efetivamente impõe movimento à barra b será Fnb na direção normal à 
barra b. A força Ftb tangente à barra b, apesar de comprimí-la, não 
participa da realização de movimento desta barra, porém a sua reação no 
elemento cinemático B da barra a vai participar do movimento desta. De 
fato Fba pode também ser decomposta em Fna normal a a e Fta tangente à 
esta barra. Aqui, novamente Fta apenas comprime a barra a, ao passo que 
R56
R36
R13
R12
R23
R34
R45
3
4
5
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Mecanismos—Cadeias Cinemáticas 
DEMEC-UFPE - 37 
 
Fna participa efetivamente do movimento relativo do ponto B em relação 
ao ponto A. O ângulo formado pelas forças Fna e Fnb é de vital importância 
na transmissão do movimento, em particular, é fácil notar que se este 
ângulo fosse reto, Ftb inexistiria e em conseqüência, toda a força Fabseria 
aproveitada pela barra b. 
 
Figura 3.17 - transmissão de movimento em barras 
a d j a c e n t e s , e m ( a ) e s f o r ç o s 
transmitidos e em (b) velocidades 
relativas. 
A figura 3.17b substitui as força Fna e Fnb pelas velocidades vba - 
velocidade relativa do ponto B em relação A - e vbc velocidade absoluta de 
B em relação a C, uma vez que estamos tomando C como centro 
instantâneo de rotação da barra b. Em função disto, podemos agora definir: 
ângulo de transmissão - menor ângulo entre as direções do vetor 
velocidade relativa vBA da barra condutora e a 
direção da velocidade absoluta vBC da barra 
conduzida. 
O valor ótimo, do ponto de vista da transmissão é ϕ = 90o; a tolerância 
recomendada é de ± 50o. Assim sendo, um mecanismo cujo ângulo de 
transmissão em dado instante é ϕ = 90o - α, tem o mesmo mérito que um 
ângulo de transmissão ϕ = 90o + α, veja a figura 3.18a. Portanto, o ângulo 
formado pelas barras a e b, figura 3.18, também pode ser tomado como o 
ângulo de transmissão ϕ em qualquer instante. 
 
A C
ba
Fab
Fba
Fnb
Ftb
Fta
Fna
B
tnb
tna
(a)
A C
ba
vbc
vba
B
tnb
t na
(b)
ϕ
Mecanismos—Cadeias Cinemáticas 
38 - DEMEC-UFPE 
 
 
Figura 3.18 - o ângulo entre as velocidades VBA e VBC 
tem o mesmo efeito que o ângulo 
formado pelas barras, no que diz 
respeito à transmissão do movimento. 
 
Exercícios 
 
1. Supondo que no sistema mecânico da figura 3.3, o ponto Po gire em 
torno de um ponto A, de coordenadas (xA, yA), com velocidade angular 
constante, determine um sistema de coordenadas generalizadas e o 
número de graus de liberdade para o mesmo. 
 
2. Obtenha sistemas de coordenadas generalizadas para cada um dos pares 
cinemáticos da figura 2.5 e determine o número de graus de liberdade 
de cada um deles. 
 
3. Obtenha sistemas de coordenadas generalizadas e o número de graus de 
liberdade para cada um dos braços mecânicos mostrados na figura 3.19 
a seguir. 
(a) (b)
A C
ba
B
tnb
t na
ϕ α
α90+o
α90 -o
A C
ba
B
ϕ
Mecanismos—Cadeias Cinemáticas 
DEMEC-UFPE - 39 
 
 
Figura 3.19 - braços mecânicos utilizados nos robôs. 
4. Como pode ser classificado o par cinemático formado pelo mecanismo 
de geneva mostrado na figura 3.20? 
 
Figura 3.20 - mecanismo de geneva. 
5. Dê exemplos (desenhe) de cadeias contendo pares cinemáticos do tipo 
helicoidal, cilíndrico, esférico e plano. 
 
6. Faça desenhos utilizando a representação convencional dos vários 
modelos de mecanismos existentes no laboratório de mecânica. 
 
(a) (b)
(c)
Mecanismos—Cadeias Cinemáticas 
40 - DEMEC-UFPE 
 
7. Tente encontrar uma fórmula extensiva do Critério de Grübler para 
cadeias espaciais. 
 
8. Demonstre que numa cadeia imposta o número de elementos 
cinemáticos da barra de maior ordem é dado por: 
 
9. Numa cadeia imposta, conhecidos o número de elementos “i” da barra 
de maior ordem, demonstre que o número de barras binárias é dado 
por: 
 
10. Analise as possíveis combinações (permutaçõoes e inversões) para 
cadeias de oito barras. 
 
11. Determine o ângulo de transmissão para o par rotativo R45 no 
mecanismo da figura 3.15b, supondo-se que a barra 2 é fixa. 
 
 
k = 2
n
n2 = 4+
P
i=4
i=2
n
(ià 3)ni