Método das tensões admissíveis - Segurança estrutural

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ECC 1012 – SEGURANÇA ESTRUTURAL Prof. Dr. João Kaminski Junior – UFSM 
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2.3 MÉTODO DAS TENSÕES ADMISSÍVEIS 
 
 
O método das tensões admissíveis serviu de base às normas de 
dimensionamento de estruturas até recentemente. Este método introduz a 
segurança no dimensionamento estrutural de duas maneiras: 
1°) Nos elementos submetidos a solicitações estabilizantes (decorrentes da 
tração) é utilizado o coeficiente de segurança interno ( iγ ). 
2°) Nos elementos que podem apresentar instabilidade por flambagem 
(decorrentes da compressão) é utilizado o coeficiente de segurança externo ( eγ ), 
como por exemplo, em pilares (comprimidos), em vigas de aço (esbeltas) que não 
possuem adequadas contenções laterais e que podem apresentar flambagem lateral 
com torção quando submetidas à flexão, entre outros. 
 
Críticas ao método das tensões admissíveis: 
A medida da segurança introduzida por este método é bastante deficiente. 
1ª CRÍTICA: Os coeficientes de segurança γ devem depender, entre outros 
fatores, da dispersão (ou variabilidade) das resistências dos elementos 
componentes de uma estrutura, as quais dependem dos parâmetros mecânicos do 
material (módulo de elasticidade longitudinal E, tensão de escoamento σe ou fy e 
tensão de ruptura σrup ou fu) e dos parâmetros geométricos da estrutura (dimensões 
das seções transversais, vãos, etc.). Quanto maior a dispersão nas resistências dos 
elementos da estrutura (resistência à tração, compressão, flexão, flexocompressão, 
etc.), maiores deveriam ser os coeficientes γ . 
 
As figuras a seguir mostram um exemplo de uma barra em uma estrutura de 
aço submetida a um esforço normal de tração e uma barra em uma estrutura de 
madeira submetida ao mesmo esforço, o qual tem um valor determinístico S. 
Como a barra de aço apresenta uma dispersão menor na resistência, por apresentar 
uma menor variabilidade nos parâmetros mecânicos do material (E, fy e fu), a 
probabilidade de que a resistência à tração seja inferior à solicitação de tração será 
menor, comparada à barra de madeira. 
 
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A probabilidade de que a resistência seja inferior à solicitação é chamada de 
probabilidade de ruína ou probabilidade de falha (Pf), a qual é uma medida 
conceitualmente perfeita da segurança estrutural, como será estudado nos métodos 
probabilísticos. 
 
 
Estrutura de aço: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Estrutura de madeira: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Para que a probabilidade de falha Pf seja a mesma nos dois casos (barra de 
aço e barra de madeira), o valor médio da resistência da barra de 
Frequência 
normalizada 
S, R 
f.d.p. da resistência à tração 
de uma barra (perfil) de aço 
S Rd Rm 
γ
mR 
Considerando a solicitação de tração com um valor determinístico S 
A probabilidade de que a resistência à tração seja inferior à solicitação de tração S 
é igual à área hachurada da f.d.p. da resistência da barra (perfil) de aço 
2
m2R
γ 
S
Frequência 
normalizada 
S, R 
f.d.p. da resistência à tração 
de uma barra de madeira 
Rd Rm1 
1
m1R
γ 
Considerando a solicitação de tração com um valor determinístico S 
A probabilidade de que a resistência à tração seja inferior à solicitação de tração S 
é igual à área hachurada da f.d.p. da resistência da barra de madeira 
Rm2 
 
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madeira Rm1 deveria ser aumentado para Rm2, o que resultaria num coeficiente de 
segurança maior para obter a mesma resistência de cálculo Rd, isto é, γ2 > γ1. 
Isto justifica, por exemplo, a utilização de 2 =γ em uma estrutura de aço e a 
utilização de 4 =γ em uma estrutura de madeira, o que não significa que a 
estrutura de madeira vai ter uma segurança maior do que a estrutura e aço. Na 
verdade, se deseja que as duas estruturas tenham a mesma segurança. 
Esta simples consideração mostra que o coeficiente de segurança γ não é 
uma boa medida da segurança. 
 
Pergunta: 
Se duas estruturas, uma de madeira e outra de aço, são projetadas com 
2 =γ qual das duas terá a maior segurança? Por quê? 
 
Resposta: 
A estrutura de aço, porque possui uma dispersão menor nas funções 
densidade de probabilidade (f.d.p.) da tensão de escoamento σe (ou fy), da tensão de 
ruptura σrup (ou fu) e do módulo de elasticidade longitudinal do aço E, 
consequentemente uma menor dispersão na resistência das barras de aço, em 
relação à estrutura de madeira. 
 
Conclusão: 
Apenas o valor de γ não define corretamente a segurança de uma estrutura. 
 
2ª CRÍTICA: No método das tensões admissíveis existe a preocupação 
apenas com o estabelecimento de uma distância conveniente entre a situação de 
utilização e a situação que corresponde à ruptura ou colapso da estrutura. Não 
existe a preocupação com a verificação de outras condições que possam invalidar o 
uso da estrutura, como por exemplo, deformações e deslocamentos exagerados. 
 
OBS : 
No método das tensões admissíveis os valores nominais adotados são, em 
geral, valores médios. 
 
 
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Sn → Solicitação nominal (esforço normal, esforço cortante, momento fletor 
ou momento de torção nominal), que neste caso é um valor médio (Sm). 
Sn é função das cargas e da geometria da estrutura. 
Rn → Resistência nominal, que neste caso é um valor médio (Rm). 
Rd → Resistência de cálculo (ou de projeto). 
 
 
 R R
e
n
d γ
= 
 
Rn e Rd dependem do material e da geometria da estrutura. 
 
Condições para o dimensionamento: 
dn R S ≤ 
 
 
4° EXEMPLO - Barra comprimida (pilar ou coluna) de seção constante: 
 
Determinar a tensão admissível no pilar calculado no exemplo anterior, agora 
com seção transversal de 14,2 x 40 cm e solicitado por uma carga axial P, a fim de 
obter γe = 2. 
design 
S, R 
Frequência 
normalizada 
f.d.p da 
Solicitação S 
Sm Rd Rm 
f.d.p da 
Resistência R 
e
mR
γ
 
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No último exemplo bastava dividir a carga de colapso por γe para obter a 
máxima carga que poderia ser aplicada. Agora, para obter a tensão admissível σadm 
(ou σ ) basta dividir a tensão de flambagem (σflamb) por γe. 
 . A 
 P 
 
 σ σ σ
e
flamb
e
flamb
adm γ
=
γ
== 
 
2
min
2
2
flamb
min
2
Ecrflamb )(K 
 I E 
)(
 I E P P P
ll
π
=
π
=== → 
 
K = 2 → depende da vinculação. 
4
3
ymin cm 9544,29 12
 14,2 40 I I =⋅== 
2kN/cm 20500 E = 
kN 12000 
)200 2(
 9544,29 . 20500 . P P P 2
2
Ecrflamb ≅⋅
π
=== (flamb. elástica) 
2flamb
flamb kN/cm 21,13 40 . 14,2 
 12000 
 A 
 P σ === 
 
 
Para que a flambagem ocorra no regime elástico do material: yflamb f σ < 
 
14,2 cm 
Seção transversal 
40
 c
m
 
y 
z 
x 
2m
 
P 
y 
Carga de flambagem ou carga 
crítica de Euler (válida para 
flambagem elástica) 
 
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onde: 
 r 
 K 
min
l
=λ → Índice de esbeltez. 
rmin = raio de giração mínimo da seção. 
 
 A 
 Ι r minmin = 
2
e
flamb
e
flamb
adm kN/cm 10,56 2 . 40) . (14,2 
 12000 
 . A 
 P 
 
 σ σ σ ==
γ
=
γ
== 
 
Este último resultado conduz a uma carga admissível Padm dada por: 
kN 6000 ) 40 . 14,2 ( . 10,56 A σ Padm === 
 
A carga admissível é exatamente o valor da carga de colapso dividido por γe: 
kN 6000 
 2 
 12000 
 
 P P
e
flamb
adm ==γ
= 
 
Lembrando que: 
 serviço de Carga 
 colapso de Carga e =γ 
 
Neste caso: Carga de colapso = Pflamb 
Depende das imperfeições iniciais, 
tensões residuais, excentricidades, etc. 
Ruptura 
plástica 
Flambagem 
elástica 
Tensão crítica de Euler: 
 
 E 
 A 
 P σ σ 2
2
flamb
flambcr λ
π
=== 
Realidade σc 
λ 
σe ou fy 
 
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 serviço de Carga 
P flambe =γ 
 
então: 
 
 P P serviço de Carga
e
flamb
adm γ
=≤