Tema 2 - Elementos de Aço Sob Tração e Sob Compressão

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Elementos de aço sob tração e sob compressão
Profa. Dayanne Severiano Meneguete
Descrição Conhecer o que são ações, segurança e análise estrutural em estruturas
metálicas, o comportamento de elementos de aço tracionados e como
ocorre o comportamento de elementos de aço comprimidos.
Propósito Fornecer aos futuros profissionais da área de construção civil os
conceitos fundamentais de como são verificadas ações, segurança e
análise estrutural de estruturas em aço, os fundamentos dos métodos
dos estados limites últimos e de serviço e o conhecimento do
comportamento e dimensionamento de elementos em aços tracionados
e elementos em aço comprimidos. Por fim, compreender o que são
ligações soldadas e parafusadas.
Objetivos
Módulo 1
Ações, segurança
e análise
estrutural
Reconhecer o que são
ações, segurança e análise
estrutural em estruturas
metálicas.
Módulo 2
Elementos
tracionados
Analisar como é o
comportamento de
elementos de aço
tracionados e como é feito
seu dimensionamento.
Módulo 3
Elementos de aço
comprimidos
Reconhecer como ocorre o
comportamento de
elementos de aço
comprimidos e como é
feito seu
dimensionamento.
Introdução
Olá! Antes de começarmos, assista ao vídeo a seguir e conheça o que são
as ações, segurança e análise estrutural em estruturas metálicas, com
base nas especificações na NBR 8800, norma esta que regulamenta os
elementos em aço.
1 - Ações, segurança e análise estrutural
Ao �nal deste módulo, você será capaz de reconhecer o que são as ações, segurança e análise
estrutural em estruturas metálicas.
O que são ações, segurança e análise
estrutural?
Neste vídeo, você verá as principais normas utilizadas para dimensionamento de
estruturas em aço, além de relacionar os tipos de ações, solicitações e
resistência atuantes em estruturas de aço.

Normas e estados limites
Neste vídeo, você verá os pontos fundamentais da NBR 8800 sobre estruturas
em aço, tratando principalmente sobre estados limites últimos (ELU) e os
estados limites de serviço (ELS).
Para o dimensionamento de qualquer elemento estrutural, seja ele em concreto,
aço, misto, madeira etc., se faz necessário observar as diretrizes das normas que
tratam sobre os procedimentos para cálculo, dimensionamento e análise do
elemento a ser verificado. No caso das estruturas em aço e mistas, segue-se a
ABNT NBR 8800:2008: Projeto de estruturas de aço e de estruturas mistas de
aço e concreto de edifícios, confirmada em 2018.
A norma adota o método dos estados limites, o mais empregado atualmente no
mundo. Para entendê-lo, é necessário compreender alguns conceitos
elementares sobre as ações que podem atuar nas estruturas. Com esse
conhecimento, torna-se possível entender o método dos estados limites,
conforme prescrito pela norma.
Além da ABNT NBR 8800:2008, existem outras normas que são adotadas
durante os procedimentos de cálculo e verificação de estruturas em aço, das
quais podem-se destacar:
ABNT NBR 14323:2013. Projeto de estruturas de aço e de estruturas
mistas de aço e concreto de edifícios em situação de incêndio,
confirmada em 2022.
ABNT NBR 14762:2010. Dimensionamento de estruturas de aço
constituídas por perfis formados a frio, confirmada em 2018.
ABNT NBR 6120:2019. Ações para o cálculo de estruturas de
edificações, versão corrigida de 2019.
ABNT NBR 6123:1988. Forças devidas ao vento em edificações, 2ª
versão corrigida de 2013, que foi confirmada em 2019.
ABNT NBR 8681:2003. Ações e segurança nas estruturas –
Procedimento, versão corrigida de 2004 que foi confirmada em 2019.
ANSI/AISC 360-05. Specification for structural steel buildings.
Eurocode 3:2005. Design of steel structures.
Eurocode 4:2004. Design of composite steel and concrete structures.
Cada norma possui procedimentos específicos, os quais, porém, se alinham
entre normas. Sendo assim, podemos destacar alguns métodos da Mecânica
dos corpos sólidos deformáveis para dimensionamento e verificação das
estruturas, tais como:
Método das
tensões
admissíveis
Baseia-se na comparação
tanto entre tensões máximas
e tensões admissíveis
(resistência e estabilidade)
quanto entre os
deslocamentos máximos e
deslocamentos limites
(rigidez).
Método dos
estados limites
Baseia-se nos conceitos de
estados limites e critérios de
segurança. Esse é o método
adotado pelas normas
técnicas brasileiras para o
dimensionamento das
estruturas em geral, usando
como base na norma NBR
8681:2003.
A norma NBR 8681:2003 trata sobre a definição das ações e segurança nas
estruturas e define ações como causas que provocam esforços ou deformações
nas estruturas, ou seja, as forças e as deformações impostas pelas ações são
consideradas como se fossem as próprias ações. Nesse caso, as deformações
impostas podem ser designadas por ações indiretas e as forças, por ações
diretas.
No caso dos estados limites, é importante compreender que o termo “estados”
está atrelado ao comportamento/estado da estrutura/elemento quando estes
apresentam desempenho inadequado às finalidades da construção. Os estados
são classificados em estados limites últimos (ELU) e estados limites de serviço
(ELS).
Estados limites últimos (ELU) e estados limites de
serviço (ELS)
Estados limites últimos são aqueles relacionados com a segurança estrutural.
Sua ocorrência significa sempre colapso, total ou parcial, sendo associada à
falha de material, instabilidade de um elemento ou de um conjunto estrutural, ou,
ainda, movimento de corpo rígido. No geral, os estados limites últimos (ELU)
podem ser determinados pela simples ocorrência, a paralisação, no todo ou em
parte, do uso da construção. Os estados limites últimos (ELU) apresentam
algumas características.
Características dos estados limites últimos (ELU)
A seguir veja as características desse tipo de estado:
Perda de equilíbrio global ou parcial da estrutura, admitida como corpo
rígido.
Ruptura ou deformação plástica excessiva dos materiais.
Transformação da estrutura, no todo ou em parte, em sistema
hipoestático.
Instabilidade por deformação.
Instabilidade dinâmica.
Na verificação de um estado limite último, considera-se o dimensionamento
satisfatório se for atendida a relação:
Em que:
 é denominado como o esforço solicitante de cálculo, ou seja, a força
axial de tração ou compressão, momento fletor ou força cortante que
causa o Estado Limite.
 é o esforço resistente de cálculo correspondente para esse mesmo
estado limite.
Segundo Fakury e outros autores (2016), um estado limite último também pode
ser causado simultaneamente por mais de um esforço solicitante, como na
flexão composta, na qual, por exemplo, uma força axial de compressão e um
momento fletor podem provocar, em conjunto, falha do material ou instabilidade
de um elemento estrutural.
No estado limite de serviço (ELS), ocorrem, por repetição ou duração, efeitos
estruturais que não respeitam as condições especificadas para o uso normal da
construção ou que são indícios do comprometimento da durabilidade da
estrutura. No geral, estado limite de serviço (ELS) são caracterizados por:
Danos ligeiros ou localizados, que comprometam o aspecto estético da
construção ou a durabilidade da estrutura.
Deformações excessivas que afetem a utilização normal da construção
ou seu aspecto estético.
Vibração excessiva ou desconfortável.
Segundo a NBR 8681:2003, os estados limites de serviço decorrem de ações
cujas combinações podem ter três diferentes ordens de grandeza de
permanência na estrutura, sendo: combinações quase permanentes,
combinações frequentes e combinações raras.
Sd
R d
≤ 1, 0 ou Sd ≤ R d
Sd
R d
Tipos de ações, valores e combinações
Neste vídeo, você verá o que são as ações atuantes em estruturas de aço, bem
como valores das ações, combinações de ações e o coeficiente de ponderação
para combinações últimas.
Ações
Ações podem ser definidas como qualquer influência ou conjunto de influências
capaz de produzir estados de tensão, deformação ou movimento de corpo rígidode edificações. Rio de Janeiro: ABNT, 2019.

ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS. ABNT. NBR 6123:1988:
Forças devidas ao vento em edificações. Rio de Janeiro: ABNT, 2019.
BELLEI, I. H. et al. Edifícios de múltiplos andares em aço. São Paulo: Pini, 2008
FAKURY, R. H. et al. Dimensionamento básico de elementos estruturais de aço e
mistos de aço e concreto. São Paulo: Pearson Education do Brasil, 2016.  
PFEIL, W. Estruturas de aço: dimensionamento prático. Rio de Janeiro: LTC,
2009.
ZACARIAS, M. C. P. et al. Projeto e cálculo de estruturas de aço: Edifício
industrial detalhado. Rio de Janeiro: Elsevier, 2013.  
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Paralelo a isso, tem-se o denominado critério de segurança, o qual representa as
condições para que nenhum estado limite aplicável seja excedido quando a
estrutura for submetida a todas as combinações apropriadas de ações.
Essas condições se relacionam com os conceitos de ações, solicitações e
resistências, de modo que é possível ocorrer como resultado direto da atuação
de agentes externos sobre a estrutura.
Classi�cação das ações
As ações são classificadas como:
Ação da gravidade
Ações magnéticas
Ação das intempéries (vento, neve, temporais etc.)
Ações transmitidas por meio do contato com outros corpos
Pressões hidrostáticas e hidrodinâmicas
Abalos sísmicos
Recalques de apoios
Deslocamentos impostos
Variações de temperatura
No projeto estrutural, as ações podem ser classificadas de acordo com sua
ocorrência em função do tempo. Nesse caso, têm-se as ações permanentes,
variáveis ou excepcionais. Entenda melhor na próxima imagem.
Variação das ações com o tempo.
Ações permanentes
Ações permanentes são aquelas em que os valores são praticamente
constantes ao longo da vida útil da estrutura ou que crescem no tempo,
tendendo a um valor limite constante. Nessas condições, as ações permanentes
podem ser divididas em dois grupos: ações permanentes diretas e as ações
permanentes indiretas.
Classi�cação
São classificadas como:
Peso próprio da estrutura
Peso próprio dos elementos construtivos fixos
Peso próprio das instalações permanentes
Empuxos permanentes de materiais granulosos
Deslocamentos de apoios
Imperfeições geométricas
Fluência e retração do concreto (estruturas mistas)
As ações permanentes podem ser determinadas a partir dos pesos específicos
dos materiais de construção. A ABNT NBR 6120:2019 fornece, para os casos em
que não houver determinação experimental, os valores de muitos materiais
constantemente utilizados.
Ações permanentes diretas 
Ações permanentes indiretas 
Ações variáveis
As ações variáveis, segundo a NBR 8681:2003, são aquelas em que os valores
apresentam variações significativas ao longo da vida útil da estrutura. Por
exemplo, nas cargas acidentais das construções e em efeitos como forças de
frenação, de impacto e centrífugas, os efeitos do vento, da variação de
temperatura, do atrito nos aparelhos de apoio e, em geral, pressões hidrostáticas
e hidrodinâmicas. Considerando a probabilidade de ocorrência durante a vida útil
da construção/edificação, as ações variáveis podem ser divididas em dois
grupos.
Classi�cação
São classificadas como:
Ações variáveis
normais
São ações variáveis com
probabilidade de ocorrência
suficientemente grande para
que sejam obrigatoriamente
consideradas no projeto das
estruturas de um dado tipo de
construção.
Ações variáveis
especiais
São ações sísmicas ou cargas
acidentais de natureza ou de
intensidade especiais. Nas
combinações de ações em
que comparecem, ações
especiais devem ser
especificadamente definidas
para situações especiais
consideradas.
Ações excepcionais
São aquelas de duração extremamente curta e baixíssima probabilidade de
ocorrência ao longo da vida útil da estrutura. As ações excepcionais variam com
o tempo, mas assumem valores significativos apenas durante uma fração muito
pequena da vida útil da estrutura. Além disso, têm baixa probabilidade de
ocorrência (como explosões, choques, furacões etc.). Não é possível anular os
efeitos desse tipo de ação.
Valores das ações
A NBR 8681:2003 apresenta tabelas para a quantificação dos valores
representativos das ações. Esses valores podem ser característicos,
característicos normais, reduzidos de combinação, valores convencionais
excepcionais, valores reduzidos de serviço e valores raros de serviço.
Valores representativos das ações
Esses valores são:
Pontos importantes sobre esse tipo de valor são:
Os valores característicos das ações são definidos em
função da variabilidade de suas intensidades.
Para as ações que apresentam variabilidade no tempo,
consideram-se distribuições de extremos correspondentes a um
período convencional de referência, de 50 anos, admitindo que
sejam independentes entre si os valores extremos que agem em
diferentes anos de vida da construção.
Para efeito de quantificação das ações variáveis, em lugar de
considerar o período de vida efetivo dos diferentes tipos de
construção e a probabilidade anual de ocorrência de cada uma
das ações, admite-se o período convencional de referência,
ajustando o valor característico da ação em função de seu
período médio de retorno.
Pontos importantes sobre esse tipo de valor são:
Para as ações que não tenham a sua variabilidade
adequadamente expressa por distribuições de probabilidade, os
valores característicos são substituídos por valores
nominais convenientemente escolhidos.
Para as ações que tenham baixa variabilidade, diferindo muito
pouco entre si os valores característicos superior e inferior,
adotam-se como característicos os valores médios das
respectivas distribuições.
Pontos importantes sobre esse tipo de valor são:
Os valores reduzidos de combinação são determinados a partir
dos valores característicos pela expressão e são
empregados nas condições de segurança relativas a estados
limites últimos, quando existem ações variáveis de diferentes
naturezas.
Os valores consideram que é muito baixa a probabilidade
de ocorrência simultânea dos valores característicos de duas ou
mais ações variáveis de naturezas diferentes.
Valores característicos (F k) 
F k
Valores característicos nominais 
F k
Valores reduzidos de combinação 
ψ0F k
ψ0F k
Nos casos particulares em que sejam consideradas ações que
atuem simultaneamente com ações de período de atuação
extremamente curto, adotam-se para os mesmos valores
especificados para os coeficientes .
Pontos importantes sobre esse tipo de valor são:
Valores convencionais excepcionais são valores arbitrados para
as ações excepcionais.
Esses valores devem ser estabelecidos por consenso entre o
proprietário da construção e as autoridades governamentais
que nela tenham interesse.
Pontos importantes sobre esse tipo de valor são:
Os valores reduzidos de serviço são determinados a partir dos
valores característicos pelas expressões e , e são
empregados na verificação da segurança em relação a estados
limites de serviço, decorrentes de ações que se repetem muitas
vezes e ações de longa duração, respectivamente.
Os valores reduzidos são designados por valores
frequentes e os valores reduzidos por valores quase
permanentes das ações variáveis.
Pontos importantes sobre esse tipo de valor são:
Os valores raros de serviço quantificam as ações que podem
acarretar estados limites de serviço, mesmo que atuem com
duração muito curta sobre a estrutura.
Combinações de ações
Todo carregamento é uma combinação de ações com probabilidade não
desprezível de atuarem simultaneamente sobre a estrutura, durante um período
pré-estabelecido. Sendo assim, existem alguns tipos de formação dos para os
ψ0
ψ2
Valores convencionais excepcionais 
Valores reduzidos de serviço 
ψ1F k ψ2F k
ψ1F k
ψ2F k
Valores raros de serviço 
carregamentos, sendo que, em geral, cada carregamento tem como referência
uma ação variável ou excepcional, denominada ação principal.
A ação principal e as ações permanentes são consideradas com seus valores
característicos ou convencionais, enquanto as demais ações variáveis são
consideradas com o seu valor reduzido. Dessa forma, cada carregamento
representa um cenário/variação diferente com possibilidades não desprezíveis
de ocorrer.
Serão considerados tantos carregamentos quantas forem as ações variáveis e
excepcionais. O carregamento terá uma combinação diferente dependendo se
corresponder a uma ELU ou ELS, veja:
ELU
O carregamento será uma
combinação última, quando
corresponder a um ELU.
ELS
O carregamento será uma
combinação de serviço,
quando corresponder a um
ELS.
Os valores característicossão valores estimados das ações, definidos em
função da variabilidade de suas intensidades, expressa, em geral, por
distribuição de probabilidade. Valores de ações que não tenham a sua
variabilidade expressa por distribuição de probabilidade são chamados valores
característicos nominais.
Combinações normais
Decorrem do uso previsto para a edificação.
Em que:
 valor de cálculo da combinação.
 : valor característico da ação permanente.
 : valor característico da ação variável principal.
 valor reduzido da ação variável secundária.
 : coeficiente de ponderação da ação permanente.
 : coeficiente de ponderação da ação variável.
Combinações especiais
Decorrem da atuação das ações variáveis de natureza ou intensidade especial
(transitórias), cujos efeitos superam em intensidade os efeitos produzidos pelas
ações consideradas nas combinações normais.
(F k)
F d =
m
∑
i= 1
(γ giF Gi,k) + γ q1F Q1,k +
n
∑
j = 2
(γ qj ψ0j F Qj ,k)
F d :
F Gi,k
F Q1,k
ψ0j F Qj ,k :
γ gi (γ f )
γ qj (γ f )
Em que:
 : valor característico da ação variável especial.
 fator de combinação efetivo.
 se tiver um tempo de atuação muito pequeno, pode-
se tomar .
Combinações de construção
Decorrem da atuação das ações que solicitam a estrutura durante a fase de
construção.
Em que:
 : valor característico da ação variável principal.
Combinações excepcionais
Decorrem da atuação das ações excepcionais que possam provocar efeitos
catastróficos.
Em que:
Valores convencionais excepcionais : valores arbitrados para
as ações excepcionais, utilizados em ELU.
Combinações quase permanentes
São aquelas que podem atuar durante grande parte do período de vida útil da
estrutura, da ordem da metade desse período.
F d =
m
∑
i= 1
(γ giF Gi,k) + γ q1F Q1,k +
n
∑
j = 2
(γ qj ψ0j ,ef F Qj ,k)
F Q1,k
ψ0j ,ef :
ψ0j ,ef = ψ0j : F Q1
ψ0j ,ef = ψ2j
F d =
m
∑
i= 1
(γ giF Gi,k) + γ q1F Q1,k +
n
∑
j = 2
(γ qj ψ0j ,ef F Qj ,k)
F Q1,k
F d =
m
∑
i= 1
(γ giF Gi,k) + F Qexc +
n
∑
j = 2
(γ qj ψ0j ,ef F Qj ,k)
(F Q exc )
F ser =
m
∑
i= 1
F Gi,k +
n
∑
j = 2
(ψ2j F Qj ,k)
Em que:
 valor quase permanente da ação variável.
Essas combinações são utilizadas para os efeitos de longa duração e para
aqueles relacionados a deslocamentos excessivos que não provoquem danos a
outros componentes da construção.
Combinações frequentes
São aquelas que se repetem muitas vezes durante o período de vida útil da
estrutura ou que tenham duração total igual a uma parte não desprezível desse
período, da ordem de 5%.
Em que:
 : valor frequente da ação variável.
Essas combinações são utilizadas para os estados limites reversíveis (que não
causam danos permanentes à estrutura ou a outros componentes da
construção), incluindo os relacionados ao conforto dos usuários e ao
funcionamento de equipamentos, tais como vibrações excessivas, movimentos
laterais excessivos que comprometam a vedação, empoçamentos em
coberturas etc.
Combinações raras
Combinações raras são aquelas que podem atuar no máximo algumas horas
durante o período de vida da estrutura.
Essas combinações são utilizadas para os estados limites irreversíveis (que
causam danos permanentes à estrutura ou a outros componentes da
construção) e para aqueles relacionados ao funcionamento adequado da
estrutura.
Coe�cientes de ponderação para combinações
últimas
ψ2j F Qj ,k :
F ser =
m
∑
i= 1
F Gi,k + ψ1F Q1,k +
n
∑
j = 2
(ψ2j F Qj ,k)
ψ1F Q1,k
F ser =
m
∑
i= 1
F Gi,k + F Q1,k +
n
∑
j = 2
(ψ1j F Qj ,k)
As incertezas variam em função do tipo de ação. Desse modo, diferentes
coeficientes de ponderação são prescritos para diferentes tipos de ação:
Combinações
últimas normais
Para as chamadas
“combinações últimas
normais”, usadas para os
estados limites últimos que
podem ocorrer durante toda a
vida útil da edificação, após a
obra ter sido finalizada.
Combinações
últimas de
construção
Para as “combinações últimas
de construção”, que são
utilizadas para os estados
limites últimos que podem
ocorrer durante a fase de
construção.
Veja agora alguns importantes pontos que constam na NBR 8681:2003:
Os coeficientes de ponderação das ações permanentes majoram os
valores representativos das ações permanentes que provocam efeitos
desfavoráveis e minoram os valores representativos daquelas que
provocam efeitos favoráveis para a segurança da estrutura.
Os coeficientes de ponderação das ações variáveis majoram os
valores representativos das ações variáveis que provocam efeitos
desfavoráveis para a segurança da estrutura.
O coeficiente de ponderação relativo à ação excepcional que
representa as combinações últimas excepcionais, salvo indicação em
contrário, expressa em norma relativa ao tipo de construção e de material
considerados, deve ser tomado com o valor básico.
Os fatores de combinação , salvo indicação em contrário, expressa em
norma relativa ao tipo de construção e de material considerados, estão
indicados na tabela 6 da NBR 8681:2003, juntamente com os fatores de
redução e referentes às combinações de serviço.
Coeficientes de ponderação γ g 
γ g
Coeficientes de ponderação γ q 
γ q
Coeficiente de ponderação γ f 
γ f
Fatores de combinação ψ0 
ψ0
ψ1 ψ2
Na falta de um espectro de carga que defina a frequência de repetição de
cada nivel de carga, permitindo a aplicação da regra de Palmgren-Miner, a
verificação da fadiga pode ser feita para um único nível de carga. Esse
nível de carga é definido pela carga frequente de fadiga à qual
corresponde um certo número de ciclos de carga.
Simbologia
Veja agora o que significa cada um dos termos a seguir:
 : valores representativos.
 : valores de cálculo.
 : coe�cientes de ponderação das ações.
Veja agora o que significa cada um dos termos a seguir:
 para açőes permanentes.
 para ações variáveis.
 para ações excepcionais.
Estados limites de serviço (ELS): ).
 : valores reduzidos.
Veja agora o que significa cada um dos termos a seguir:
 : fator de combinação de ações.
 : fator de redução de ações frequentes.
 : fator de redução de ações quase permanentes.
Essa redução pode ocorrer de três formas:
Utilizados em ELU, quando são combinadas ações variáveis de diferentes
naturezas; para ações que agem simultaneamente com outras de período
extremamente curto, adota-se .
Falta de um espectro de carga 
ψ1,f adF qk
(F r )
(γ f F r )
(γ f )
(γ f = γ g)
(γ f = γ q)
(γ f = 1)
(γ f = 1
(ψiF k)
(ψi = ψ0)
(ψi = ψ1)
(ψi = ψ2)
Valores reduzidos de combinação (ψ0F k) 
(ψ0 = ψ2)
Utilizados em ELS, para ações que se repetem muitas vezes.
Utilizados em ELS, para ações de longa duração.
A norma ainda apresenta os valores para os denominados coeficientes de
ponderação para combinações últimas. Esses coeficientes são divididos em
cinco grupos. Veja a seguir as indicações das tabelas desses grupos, bem como
a página de consulta na NBR 8681:2003.
Coe�cientes de ponderação para combinações últimas
Os cinco grupos são:
É composto por:
Tabela 1 — Ações permanentes diretas consideradas
separadamente — Página 11
Tabela 2 — Ações permanentes diretas agrupadas — Página 11
Tabela 3 — Efeitos de recalques de apoio e de retração dos
materiais — Página 12
É composto por:
Tabela 4 — Ações variáveis consideradas separadamente —
Página 12
Tabela 5 — Ações variáveis consideradas conjuntamente —
Página 12
Valores reduzidos frequentes (ψ1F k) 
Valores reduzidos quase permanentes (ψ2F k) 
Coeficientes de ponderação para as ações permanentes 
Coeficiente de ponderação para as ações variáveis 
Coeficiente de ponderação para as ações excepcionais 
É composto pelo coeficiente de ponderação relativo à ação
excepcional que figura nas combinações últimas excepcionais, salvo
indicação em contrário, expressa em norma relativa ao tipo de
construção e de material considerados, deve ser tomado com o valor
básico - .
É composto por:
Tabela 6 — Valores dos fatores de combinação e de
redução e para as ações variáveis — Página 13Valores de cálculo (F k/ γ m ) 
γ a
(γ m )
necessitam de minoração, portanto, considera-se .
Sendo assim, analisando os critérios de segurança, devem ser seguidas as
orientações indicadas pela NBR 8681:2003.
As condições usuais de segurança referentes aos ELU são expressas por
desigualdades nas quais tem:
Em que:
 solicitações de cálculo.
 : resistências de cálculo.
 : expressão que relaciona as solicitações e as resistências
de cálculo.
 quando a segurança é verificada isoladamente em relação a
cada um dos esforços atuantes.
No caso dos ELS, as condições usuais são expressas por desigualdades do tipo:
Em que:
 ou solicitações de serviço.
 solicitações limites.
Estabilidade e análise estrutural
O objetivo da análise estrutural é determinar os efeitos das ações nas estruturas,
isto é, determinar as solicitações. Sendo assim, a análise deve ser realizada com
base em modelo (esquema de cálculo) que permita representar a resposta da
estrutura e dos materiais estruturais, considerando-se as deformações causadas
por todos os esforços solicitantes relevantes.
A interação solo-estrutura e o comportamento das ligações devem ser
considerados. Dessa forma, as classificações podem ser quanto ao
comportamento dos materiais e quanto ao efeito dos deslocamentos, conforme
visto a seguir:
Quanto ao comportamento dos materiais
O comportamento pode ser dividido em:
Análise elástica Análise inelástica
γ m = 1
θ (Sd, R d) ≥ 0 → Sd ≤ R d
Sd :
R d
θ (Sd, R d)
Sd ≤ R d :
Sd ≤ S lim ou S ser ≤ S lim 
Sd S ser :
S lim :
É o diagrama tensão x
deformação elástico linear.
É o diagrama tensão x
deformação rígido plástico,
elastoplástico perfeito ou
elastoplástico não linear.
Na próxima imagem, é possível ver o comportamento desses materiais.
Comportamento dos materiais.
A não linearidade do material pode ser considerada, em alguns casos, de forma
indireta, efetuando-se uma análise elástica com redução da rigidez das barras.
Quanto ao efeito dos deslocamentos
O comportamento pode ser dividido em:
Análise linear (de 1ª
ordem)
Com base na geometria não
deformada da estrutura.
Análise não linear
(de 2ª ordem)
Com base na geometria
deformada da estrutura.
A análise não linear deve ser usada sempre que os deslocamentos afetarem de
maneira significativa os esforços internos. Deve considerar a influência
relacionada às imperfeições geométricas iniciais, imperfeições físicas iniciais ou
imperfeições iniciais de material (tensões residuais) e ao comportamento das
ligações.
Assim como a não linearidade do material, a influência das tensões residuais
também pode ser considerada, em alguns casos, de forma indireta, por meio da
redução das rigidezes das barras. Na próxima imagem, é possível entender
melhor isso.
Forças equivalentes (nocionais).
Efeitos dos deslocamentos
O comportamento pode ser dividido em:
Efeitos globais de
segunda ordem
(efeitos )
Decorrentes dos
deslocamentos horizontais
dos nós da estrutura.
Efeitos locais de
segunda ordem
(efeitos )
Decorrentes da não
retilinidade dos eixos das
barras.
Deslocamentos laterais das estruturas
Seja o deslocamento lateral de cada andar em relação à base da edificação.
Sendo deslocamento obtido na análise de primeira ordem, e, 
deslocamento obtido na análise de segunda ordem.
As estruturas são classificadas como:
Estrutura de
pequena
deslocabilidade
É classificada em todos os
andares .
Estrutura de média
deslocabilidade
É classificada em
.
Estrutura de
grande
deslocabilidade
É classificada em
.
A classificação das estruturas deve ser obtida para a combinação última de
ações que consideram, além de forças horizontais, a maior resultante de carga
gravitacional, dentre aquelas em que os deslocamentos horizontais provenientes
P − Δ P − δ
Δ i
Δ i10 Δ i Δ i2
Δ i
(Δ i2/ Δ i1 ≤ 1, 1)
( 1, 1 ≤ (Δ i2/ Δ i1)máx ≤ 1, 4
( (Δ i2/ Δ i1)máx > 1, 4)
das forças horizontais tenham os mesmos sentidos dos deslocamentos
horizontais provenientes das cargas gravitacionais.
Para essa classificação, não necessitam ser consideradas, na análise, as
imperfeições iniciais de material. No caso da análise elástica não linear, de
acordo com a NBR 8800:2008, a análise elástica é sempre permitida, mesmo que
os esforços resistentes sejam avaliados considerando-se a plasticidade. A
análise não linear deve ser sempre utilizada (efeitos e , pois
métodos aproximados são permitidos dependendo da classificação das
estruturas quanto à sensibilidade a deslocamentos laterais.
Pré-dimensionamento
Para execução do pré-dimensionamento de elementos de aço, devem ser
consideradas as ações gravitacionais, que incluem o peso próprio da estrutura.
Logo, é necessário conhecer previamente as dimensões dos elementos
estruturais, a fim de se avaliar o seu peso.
No entanto, essas dimensões são, em suma, o resultado do dimensionamento, o
qual só pode ser feito a partir do conhecimento da geometria de cada elemento,
das ações que sobre ele atuam e do material do qual é constituído. Sendo assim,
para se iniciar o dimensionamento, é necessário prever as dimensões dos
elementos estruturais e, a posteriori, confirmar essas dimensões presumidas.
Segundo Zacarias (2013), para o pré-dimensionamento, pode-se considerar o
seguinte roteiro:
P − Δ P − δ)
 Primeiro passo
Admitem-se as dimensões dos elementos estruturais.
 Segundo passo
Avalia-se o seu peso próprio com base nessas dimensões.
 Terceiro passo
Dimensiona-se a estrutura.
 Quarto passo
V ifi di õ í i i id l
O pré-dimensionamento requer, naturalmente, experiência em projeto para se ter
noção de ordem de grandeza das dimensões dos diversos elementos
estruturais. Essa experiência apontará relações prováveis entre as dimensões de
cada elemento estrutural e as características e dimensões gerais da estrutura.
Exemplo
No caso de vigas de edifícios de andares múltiplos para fins residenciais, a altura
da seção será aproximadamente 1/20 do vão da viga. Já para vigas de
rolamento de pontes rolantes, a altura da seção será aproximadamente 1/10 do
vão da viga.
Em geral, as dimensões do elemento estrutural a serem consideradas no pré-
dimensionamento são aquelas mais importantes no seu dimensionamento.
Eventualmente, podem-se considerar, ao invés de dimensões, propriedades
geométricas da seção, tais como área, momento de inércia, constante de torção
etc.
As características da estrutura definirão os valores das ações (ações
permanentes, sobrecarga, ação de vento etc.) e, juntamente com as suas
dimensões gerais (vãos, pé-direito etc.), o grau de solicitação da estrutura e,
consequentemente, a ordem de grandeza das principais dimensões das seções
transversais dos elementos.
De acordo com o professor Ildony Hélio Bellei e demais autores (2008), têm-se
as seguintes fórmulas:
Edifícios de andares múltiplos
Nesses tipos de edifícios são usadas as seguintes vigas:
Verifica-se se as dimensões mínimas exigidas pelo
dimensionamento são realmente inferiores (porém não
muito) às admitidas no pré-dimensionamento.
 Quinto passo
Refaz-se o dimensionamento, caso as dimensões admitidas
não atendam às exigências, considerando-se novas
dimensões, até que se atinja uma solução ao mesmo tempo
segura e econômica.
Vigas de alma cheia simples (não conectadas a lajes de concreto) 
Em que é a altura do perfil e é a distância entre dois apoios
consecutivos da viga.
Em que é a altura do perfil e é a distância entre dois apoios
consecutivos da viga.
Onde é a altura e é o comprimento da treliça.
Veja na próxima imagem um exemplo das vigas.
Flechas permitidas de vigas de piso e de cobertura.
Galpões industriais
Nesses tipos de galpões são usados os seguintes itens.
Terças e vigas de tapamento de alma cheia
d =
L
30
 a d =
L
20
d L
Vigas de alma cheia mistas (conectadas a lajes de concreto) 
d =
L
35
 a d =
L
25
d L
Vigas treliçadas 
H =
L
12
 a H =
L
8
H L
É calculada da seguinte forma:
Em que:
 é a altura do perfil.
 é adistância entre dois apoios consecutivos da viga.
Vigas de rolamento - VR (para pontes rolantes - PR)
É calculada da seguinte forma:
Em que:
 é a altura do perfil.
 é a distância entre dois apoios consecutivos da viga.
Veja um exemplo na próxima imagem:
Deslocamentos vertical e horizontal permitidos em vigas de rolamento.
Tesouras de alma cheia (vigas de pórticos)
São divididas em:
Sem PR, com L
 a 
Com PR e
 a 
Com PR e
 a 
Em que:
d =
L
60
 a d =
L
40
d
L
d =
L
12
 a d =
L
8
d
L
> 10m
d = L
70
d = L
50
10m H > 3, 125m
B 1, 53m > H > 2, 126m
C 1, 47m > H > 3, 350m
D 1, 67m > H > 4, 125m
E 1, 53m > H > 3, 125m
H = L
15
H = L
8
H
L
H =
25
15
 a H =
25
8
1, 67m > H > 3, 125m
2 - Elementos tracionados
Ao �nal deste módulo, você será capaz de analisar como é o comportamento de elementos de aço
tracionados, e como é feito seu dimensionamento.
Comportamento e dimensionamento de
elementos tracionados
Neste vídeo, você verá como se comportam elementos em aço submetidos à
tração, bem como é feito o dimensionamento desses elementos.
Comportamento da barra tracionada
Neste vídeo, você verá uma apresentação e alguns exemplos de como se
comporta uma barra tracionada.
Elementos tracionados são aqueles sujeitos à solicitação normal de tração,
também conhecida como solicitação axial de tração. Nas estruturas, os
elementos tracionados são encontrados sob diversas formas, como em tirantes
ou pendurais, contraventamentos, tirantes e vigas armadas, barras tracionadas
de treliças, dentre outras.
As seções transversais das peças tracionadas podem ser constituídas de seção
simples ou composta, como:
barra redonda;
barra chata;
perfil laminado simples (L, U, I);
perfil laminado composto.
As barras de aço tracionadas são solicitadas exclusivamente por força axial de
tração decorrente de ações estáticas. Dessa forma, nos edifícios com estrutura
de aço, essas barras aparecem, na maioria das vezes, compondo treliças planas
que funcionam como vigas de piso e de cobertura (tesouras de cobertura).
Barras tracionadas também compõem treliças espaciais, geralmente
empregadas em coberturas de edificações que precisam de grande área livre. As
barras de aço axialmente tracionadas também aparecem na composição de
treliças de pilares. Nos contraventamentos verticais e de cobertura, usados para
estabilizar muitas edificações, sempre há barras tracionadas. No caso das
ligações das peças tracionadas, estas podem ser por meio de solda, conector
(parafuso ou rebite) ou rosca e porca (barra rosqueada).
Uma barra de aço, ao ser solicitada por um esforço normal de tração, apresenta
uma distribuição uniforme de tensões somente em regiões afastadas dos
pontos de aplicações das forças, assim como vemos na imagem a seguir.
Modelo esquemático de uma barra tracionada.
O cálculo é feito usando a seguinte equação:
Eq. 1
Onde:
 é o esforço normal de tração ou apenas força de tração.
 é a tensão normal de tração.
 é a área da seção transversal.
 é o comprimento da barra tracionada.
σ =
N
A
N
σ
A
L
Quando o valor das tensões na região de transmissão dos esforços (nas
ligações) é muito superior à tensão média , pode haver ruptura da
seção nessa região antes do escoamento de uma seção submetida à tensão
uniforme igual à tensão média. Entenda melhor na próxima imagem.
Seção submetida à tensão uniforme igual à tensão média.
Assim sendo, é possível definir dois estados limites últimos, a saber:
escoamento da seção bruta (seção onde não há ligação) ou ruptura da seção
líquida (região das ligações). Em tempo, o escoamento da seção com furos
conduz a um pequeno alongamento da peça e não constitui um estado limite.
Resistências de cálculo
Neste vídeo, você verá como é feito o cálculo para se obter a resistência de
cálculo para barras de aço submetidas à tração, indicando como são feitos os
cálculos da área de cálculo, limite de esbeltez e seções usuais.
Em uma estrutura, para que um elemento tracionado desempenhe sua função
com segurança, é fundamental que o esforço normal de tração solicitante de
cálculo seja menor ou igual ao esforço normal de tração resistente de cálculo.
Onde:
 é o esforço normal de tração solicitante de cálculo.
 éo esforço normal de tração resistente de cálculo.
Para o estado limite último escoamento da seção bruta, tem-se que o esforço
normal de tração resistente de cálculo, é
(σ = N / A)
N t ,Sd ≤ N t ,R d
N t ,Sd
N t ,R d
N t ,R d′
N t ,R d =
Agf y
1, 10
Onde:
 : área bruta.
 : tensão de escoamento do aço.
Já para o estado limite último de ruptura da seção líquida, a resistência, , é
dada por:
Onde:
 : área líquida efetiva.
 : tensão de ruptura do aço.
 coeficiente de redução da área líquida.
 : área líquida.
A área de trabalho na região de ligação de uma barra tracionada pode ser inferior
à área bruta da seção transversal. Desse modo, para se chegar à área de
trabalho, a área bruta da seção transversal pode sofrer uma primeira e segunda
reduções:
Primeira redução
Área líquida, presença de furos para passagem de parafusos.
Segunda redução
Área líquida efetiva, distribuição não uniforme da tensão de tração em
decorrência de maior concentração junto a parafusos e soldas.
Áreas de cálculo
As áreas de cálculo são divididas em:
Área bruta 
Área bruta, (grossa área), é a área total da seção transversal da barra, sem
descontar eventuais furos. Em perfis padronizados, como os da Gerdau
Açominas, as propriedades são tabeladas.
Ag
f y
N t ,R d
N t ,R d =
Aef u
1, 35
Ae = C t An
Ae
f u
C t :
An
(Ag)
Ag
Área líquida 
A área líquida é dividida em:
Área líquida (net área) das peças tracionadas com furos é obtida
subtraindo-se da área bruta as áreas dos furos contidos em uma
seção reta da peça.
Furos em seção reta.
Onde,
 : largura do elemento.
 : diâmetro do furo .
 : diâmetro do conecto.
 : espessura do elemento.
São acrescidos 2 mm ao furo nominal devido ao efeito da punção sobre a
chapa, durante a furação. Acrescentam-se também 1,5 mm à folga do
furo em relação ao diâmetro do conector.
No caso de furação em ziguezague, é necessário pesquisar diversos
percursos (1-1-1, 1-2-2-1) para encontrar o menor valor de seção líquida,
uma vez que a peça pode romper segundo qualquer um desses
percursos.
(An )
Furos em seção reta 
An
(Ag)
An = [ b − ∑ (d)] × t
An = Ag − ∑ (d) × t
b
d (d = ∅+ 3, 5mm)
∅
t
Furos em ziguezague 
Furos em ziguezague.
Nesse caso, a área líquida, , é dada pela equação abaixo:
Onde,
 é o espaçamento entre furos de mesma fila.
 é o espaçamento longitudinal entre furos de linhas diferentes.
 é espaçamento transversal entre duas filas de furos.
Para cantoneiras com furos em abas opostas, o espaçamento deve ser
considerado igual à soma dos espaçamentos medidos a partir da aresta
da cantoneira, subtraída de sua espessura .
Área líquida efetiva
A distribuição não uniforme de tensões na seção líquida é considerada
substituindo-a por uma seção de área menor, submetida a uma tensão
constante, que lhe seja, em princípio, equivalente. Em termos de resistência,
essa é a área líquida efetiva da seção. Área líquida efetiva é a área obtida
da expressão a seguir, na qual é um coeficiente de redução de área líquida.
An
An = [ b − ∑ (d) + ∑
s 2
4g
] × t
An = Ag − ∑ (d × t) + ∑ (
s 2
4g
× t)
p
s
g
(t)
g = g1 + g2 − t
(Ae)
C t
Cálculo do coe�ciente 
Quando a força de tração for transmitida diretamente por cada um dos
elementos da seção, por soldas ou parafusos:
Quando a força de tração for transmitida somente por soldas transversais:
Em que é a área da seção transversal dos elementos conectados.
Nas chapas planas, quando a força de tração for transmitida somente por soldas
longitudinais ao longo de ambas as suas bordas, como visto na imagem a
seguir.
Força de tração transmitidas para as soldas, em uma chapa plana.
O cálculo do coeficiente pode ser:
Para Para Para 
Em que:
 é o comprimento dos cordões de solda.
 é a largura da chapa (distância entre soldas situadas nas duas
bordas).
Nos perfis abertos, quando a força de tração for transmitida somente para
alguns elementos, por parafusos ou por soldas longitudinais ou por combinação
de solda longitudinais e transversais; nos perfis tubulares circulares e
retangulares, quando a força de tração for transmitida por meio de uma chapa de
ligação concêntrica; nos perfis tubulares retangulares, por meio de chapas de
ligação em dois lados opostos da seção:
Ae = C t An
(C t )
C t = 1
C t =
Ac
Ag
Ac
C t = 1
lw ≥ 2b
C t = 0, 87
2b > lw ≥ 1, 5b
C t = 0, 75
1, 5b > lw ≥ b
lw
b
Onde:
 é a excentricidade da ligação.
 é o comprimento da ligação.
De acordo com a NBR 8800: 2008, não se deve utilizar superior a 0,9 , exceto
em tubos circulares. Ainda, de acordo com a mesma norma, não é permitido o
uso de ligações em que o seja inferior a 0,6.
Excentricidade da ligação, , é a distância do "centro geométrico" G da seção ao
plano de cisalhamento da ligação, como mostrado a seguir.
Excentricidade da ligação .
Em perfis com um plano de simetria, a ligação deve ser simétrica em relação ao
plano e devem ser consideradas duas barras fictícias e simétricas, cada uma
correspondente a um plano de cisalhamento da ligação.
A seguir veja na próxima imagem a excentricidade versus distância do centro
geométrico.
Demonstração da marcação da excentricidade e da
distância do centro geométrico.
Demonstração da marcação da excentricidade e da
distância do centro geométrico.
A seguir veja alguns itens e suas diferenças:
C t = 1 −
ec
lc
ec
lc
C t
C t
ec
ec
É representado pela imagem:
É calculado da seguinte forma:
É representado pela imagem:
É calculado da seguinte forma:
É representado pela imagem:
Cálculo da excentricidade para um perfil retangular com um
cordão de solda 
ec =
d2 + 2db
4(d + b)
Cálculo da excentricidade para um perfil retangular com dois
cordões de solda 
ec =
d2
4(d + b)
Cálculo da excentricidade para um perfil circular com um cordão
de solda 
É calculado da seguinte forma:
O comprimento da ligação , nas ligações soldadas é o comprimento do
cordão de solda. Veja na próxima imagem:
Comprimento da ligação nas ligações soldadas.
Já nas ligações parafusadas, o comprimento da ligação é a distância do primeiro
ao último parafuso na linha de furação com o maior número de parafusos, na
direção da força axial de tração.
Comprimento da ligação nas ligações parafusas.
Limite de esbeltez
O índice de esbeltez de uma barra é a relação entre seu comprimento 
destravado (comprimento entre apoios) e o raio de giração mínimo da
seção transversal.
Nas peças tracionadas, o índice de esbeltez não tem importância fundamental,
uma vez que os esforços de tração tendem a retificar a haste.
ec =
D
π
Selc ≥ 1, 3D, C t = 1
(lc)
l
r mi ́n
Apesar disso, as normas fixam limites com a finalidade de reduzir efeitos
vibratórios provocados por impactos.
Entenda melhor na próxima imagem.
Barra composta tracionada.
Como o esforço normal resistente será função da área da seção transversal, a
seção ideal será aquela que mais concentra a massa em torno do seu centroide.
A seção ideal é, portanto, a seção circular maciça. As seções usuais são:
São exemplificados na imagem:
Tipos de perfis laminados ou soldados.
São utilizados em pendurais, tirantes, barras de treliças e
contraventamentos.
São exemplificados na imagem:
Tipos de barras.
λ ≤ 300
l
r min
≤ 300
Perfis laminados ou soldados 
Barras de seção maciça 
Falta pouco para atingir seus objetivos.
Vamos praticar alguns conceitos?
Questão 1
Calcule a espessura média necessária de uma chapa de 100 mm de largura,
sujeita a um esforço axial de tração 100 kN. Resolva o problema para o aço
MR 250 utilizando o método dos estados limites. Admita que o esforço
solicitante seja provocado por uma carga variável de utilização.
Parabéns! A alternativa B está correta.
A solicitação de cálculo vale:
A área bruta necessária é obtida com a equação:
Espessura necessária:
A 0,55 cm
B 0,66 cm
C 0,77 cm
D 0,88 cm
E 0,99 cm
N d = γ qN = 1, 5 × 100 = 150kN
Ag =
N d
f y/ 1, 10
=
150
25/ 1, 10
= 6, 60cm 2
Questão 2
Calcule a área da seção transversaldo tirante capaz de suportar uma carga
permanente especial axial de 200 kN de um equipamento, sabendo-se que a
transmissão dos esforços será feita por meio de roscas e porcas. O aço do
tirante é o ASTM A36.
Parabéns! A alternativa C está correta.
Determinação do esforço solicitante de cálculo, 
Considerando o estado limite de escoamento da seção bruta, tem-se:
Repetindo o mesmo processo para o estado limite de ruptura da seção
líquida, lembrando que, para barras redondas rosqueadas, a área efetiva é
 da área bruta.
t =
6, 60
10
= 0, 66cm
A 10,60 cm²
B 11,60 cm²
C 12,60 cm²
D 13,60 cm²
E 14,60 cm²
N t ,Sd
N t ,Sd = γ gN = 1, 4 × 200 = 280kN
N t ,Rd =
Agf y
γ a1
→ Ag =
N t ,Rdγ a1
f y
=
(280kN )x1, 10
25kN / cm 2
= 12, 32cm 2
75%
A área mínima necessária para que não ocorra ruptura da seção líquida é
12,60 cm². Com essa área, garantimos também que não ocorra o
escoamento da seção bruta, uma vez que a área mínima necessária é 12,32
cm².
Portanto, o tirante deve ter uma área de 12,60 cm².
3 - Elementos de aço comprimidos
Ao �nal deste módulo, você será capaz de reconhecer como ocorre o comportamento de elementos
de aço comprimidos e como é feito seu dimensionamento.
Comportamento e dimensionamento de
elementos comprimidos
Neste vídeo, você irá ver como se comportam elementos em aço submetidos à
compressão, bem como seu dimensionamento.
N t ,Rd =
Aef u
γ a2
→ Ag =
N t ,Rdγ a2
0, 75xf u
=
(280kN ) × 1, 35
0, 75 × 40kN / cm 2
= 12, 60cm 2
Comportamento de elementos
comprimidos
Neste vídeo, você verá como se comportam barras em aço submetidas à
compressão, verificando parâmetros como flambagem, carga e tensão crítica de
flambagem e o comprimento de flambagem.
Elementos comprimidos são aqueles submetidos apenas ao esforço normal de
compressão, ou seja, a força de compressão precisa atuar no centro de
gravidade da seção transversal. Caso contrário, tem-se uma flexocompressão.
Normalmente, as barras de aço submetidas apenas à força axial de compressão
são decorrentes de ações estáticas. Importante ressalvar que, no processo de
dimensionamento das barras comprimidas, um dos modos de colapso a ser
considerado é a instabilidade da barra, suposta com curvatura inicial, e outro
modo de colapso é a flambagem local dos elementos componentes da seção
transversal da barra.
Os elementos estruturais sob carga de compressão podem ser encontrados,
basicamente, como pilares, barras de treliça e componentes de
contraventamento. Veja na próxima imagem.
Modelos de elementos estruturais comprimidos.
Segundo Fakury e outros autores (2016), o deslocamento transversal de barras
com curvatura aumenta continuamente com o acréscimo da força axial de
compressão, até as barras não conseguirem mais resistir às solicitações
atuantes, o que gera uma instabilidade na barra. Sendo assim, pode-se afirmar
que toda barra comprimida está sujeita à flambagem, ou seja, está sujeita a uma
instabilidade por deformação. Entenda na imagem a seguir.
Colapso das barras com curvatura inicial por instabilidade.
Esse comportamento, estabelecido com base na relação entre a força axial
atuante, , e o deslocamento transversal na seção central, , são compostos
pelas etapas elástica, elastoplástica e de colapso.
Segundo Fakury e outros autores (2016), as etapas elástica e elastoplástica
acontecem da seguinte forma:
Etapa elástica
Essa etapa se inicia quando a força axial começa a atuar e o
deslocamento é igual ao inicial, ou seja, , e se encerra quando a força
axial alcança , valor correspondente ao início do escoamento da
seção central.
Elastoplástica
Essa etapa começa com o aumento do valor da força axial para além de
 escoamento se propaga para o interior da seção central do lado
da face interna, se inicia e propaga para o interior da seção transversal
também do lado da face externa e avança para as seções vizinhas, o que
faz a rigidez da barra à flexão se reduzir gradativamente, uma vez que as
regiões plastificadas não suportam acréscimo de tensão, com o
deslocamento transversal aumentando em ritmo mais acelerado.
Por fim, na etapa de colapso, o escoamento atinge toda a seção central da barra,
que entra em colapso por instabilidade. A força axial que causa o colapso é a
força máxima suportada pela barra, ou seja, é a força axial resistente nominal,
representada por .
N c vt
v0
N c,r
N c,r . O
N c,Rk,in
Flambagem
Ao contrário das peças submetidas a esforço de tração (que tende a retificar a
haste), as peças comprimidas estão sujeitas à flambagem, isto é, a uma
instabilidade por deformação.
Ao ser submetida por esforço axial de compressão, a barra poderá produzir um
deslocamento lateral, denominado flambagem por flexão (deslocamento
característico da flexão). Veja na próxima imagem.
Barra submetida por esforço axial de compressão.
A flambagem pode ocorrer tanto na barra como um todo, caracterizando a
flambagem global, como visto na imagem anterior, quanto na chapa da seção
transversal do perfil (mesa ou alma, por exemplo), caracterizando a flambagem
local. Veja a seguir exemplo de flambagem local.
Flambagem local em chapas da seção transversal
do perfil (alma).
Flambagem local em chapas da seção transversal
do perfil (mesa).
Carga crítica e tensão crítica de �ambagem
Um elemento comprimido pode chegar ao estado limite por esmagamento
quando as tensões atingem limites de ruptura ou por flambagem. O
esmagamento se dá em elementos estruturais em que o comprimento é
pequeno quando comparado às dimensões das seções transversais.
Como as estruturas metálicas tendem a ser esbeltas, a situação mais usual é
ocorrer flambagem antes que o material atinja sua resistência última. Portanto,
torna-se essencial determinar a carga crítica ou carga crítica de Euler, em
que, a partir da qual, não é mais possível manter o equilíbrio do elemento
comprimido na posição retilínea.
Em que:
 : módulo de elasticidade do aço (200.000 MPa).
 : momento de inércia da seção transversal correspondente ao eixo de
flexão.
 comprimento de flambagem.
 : coeficiente de flambagem.
 comprimento da barra.
Associado à flambagem, tem-se o índice de esbeltez da barra :
Então
(P cr )
P cr =
π2E I
L2
f l
L f l = k ⋅ L
E
I
L f l :
K
L :
(λ)
λ =
L f l
r
L f l = λ ⋅ r
r = √ I / A
Onde:
 : índice de esbeltez da barra.
: raio de giração (propriedade geométrica).
: área da seção transversal da barra.
Dividindo-se a carga crítica pela área da seção transversal, obtém-se a tensão
crítica de flambagem .
Então
Mas,
Logo,
De acordo com a última equação, observa-se que, para elementos comprimidos
de mesmo material, a tensão crítica de flambagem depende apenas do índice de
esbeltez. Conclui-se também que, quanto mais esbelto for o elemento, menor
será a carga de compressão suportada.
Comprimento de �ambagem
O comprimento de flambagem de uma barra é a distância entre os pontos
de momento nulo (pontos de inflexão) da barra comprimida, deformada
lateralmente. O valor do comprimento de flambagem é dado pela seguinte
equação:
P cr =
π2E I
λ 2 ⋅ r 2
λ
r
A
(f cr )
f cr =
P cr
A
f cr =
π2E I
λ 2r 2A
r 2 = I / A
f cr =
π2E I
λ 2I / / AA
f cr =
π2E
λ 2
(L f l)
Onde:
: coeficiente de flambagem fornecido pela tabela a seguir.
: comprimento da barra.
Entenda melhor o comprimento na tabela a seguir.
Tabela: comprimento de flambagem por flexão de elementos isolados.
A aplicação dos valores recomendados é devido à dificuldade prática de se
materializar as condições de apoio.
Dimensionamento à compressão
Neste vídeo, você verá como é o dimensionamento de barras de aço submetidas
à compressão, indicando como é feita a determinação do coeficiente (Q),
determinação do fator de redução e cálculo do limite do índice de esbeltez.
A NBR 8800:2008 trata em um de seus capítulos sobre o processo de para
dimensionamento e verificação para barras prismáticas submetidas à força axial
de compressão. Segundo a norma, para que um elemento estruturalsubmetido à
compressão desempenhe sua função com segurança, é necessário que:
Onde:
L f l = k ⋅ L
k
L
N c,Sd ≤ N c,R d
 : esforço normal de compressão solicitante de cálculo.
 esforço normal de compressão resistente de cálculo.
A força normal de compressão resistente de cálculo de uma barra, considerando
os estados limites últimos de flambagem global e local, deve ser determinada
por:
Onde:
: fator de redução associado à flambagem global.
: coeficiente de flambagem local.
 área bruta da seção transversal.
: Resistência ao escoamento do aço.
Determinação do fator de redução
O fator de redução associado à resistência à compressão é denominado por 
segundo a NBR 8800:2008. Ainda, segundo a norma, tem-se que:
Para Para 
Entenda melhor na próxima imagem:
Conjunto de curvas para e curva única da ABNT NBR 8800:2008.
Onde é o índice de esbeltez reduzido (considera as imperfeições geométricas
e de tensões residuais) e é dado por:
N c,Sd
N c,R d :
N c,R d =
χ QAgf y
1, 10
χ
Q
Ag :
f y
χ
λ 0 ≤ 1, 5
χ = 0, 658λ 2
0
λ 0 > 1, 5
χ = 0,877
λ 2
0
χ
λ 0
λ 0 = √ QAgf y
P cr
Porém,
Desse modo,
Determinação do coe�ciente
O coeficiente é determinado por meio da equação:
Onde:
 fator relativo aos elementos não enrijecidos ( – apoio livre).
 fator relativo aos elementos enrijecidos ( – apoio apoio).
Os elementos que fazem parte das seções transversais - chapas -, para efeito de
flambagem, são classificados em AA (duas bordas longitudinais vinculadas) e
AL (apenas uma borda longitudinal vinculada). Veja na próxima imagem:
Elementos que fazem parte das seções transversais.
Para a determinação dos fatores relativos e , deve-se calcular o índice de
esbeltez da chapa do perfil e comparar com o índice de esbeltez limite
. Veja na próxima imagem:
P cr =
π2E I
L2
f l
λ 0 =
K L
r
√ Qf y
π2E
Q
Q = Q sQ a
Q s : AL
Q a : AA
Q s Q a
(λ ch )
((b/ t) lim )
Elementos de uma chapa.
O índice de esbeltez da chapa é dado por:
Sendo que,
Entenda melhor na próxima tabela:
λ ch =
b
t
λ ch (AL) 0, 91√ E
f y
Grupo 4 
Q s = 1, 415 − 0, 74
b
t
√ f y
E
, para 0, 56√ E
f y
 1, 03√ E
f y
Já para os elementos enrijecidos (AA), quando a esbeltez da chapa for maior que
a esbeltez limite fornecida na tabela, o cálculo de é dado por:
Onde:
 área efetiva, determinada pelas equações:
Onde:
Grupo 5 
Q s = 1, 415 − 0, 65
b
t
√ f y
kcE
, para 0, 64√ E
(f y/ kc)
 1, 17√
E
(f y/ kc)
Grupo 6 
Q s = 1, 908 − 1, 22
b
t
√ f y
E
, para 0, 75√ E
f y
 1, 03√ E
f y
Q a
Q a =
Aef
Ag
Aef :
Aef = Ag − ∑ (b − bef )t
bef = 1, 92t√
E
σ
( 1 −
ca
b/ t
√ E
σ
)
σ = χ 0f y
Sendo o valor de considerando-se . Opcionalmente, de forma
conservadora, pode-se tomar e 
 : para mesas ou almas de seções retangulares tubulares.
 para os demais elementos enrijecidos em geral.
Limite do índice de esbeltez
Com a finalidade de evitar grande flexibilidade de peças excessivamente
esbeltas, o índice de esbeltez, , para barras comprimidas, não pode ser superior
a 200.
No geral, no índice de esbeltez das barras comprimidas, tomando como a maior
relação entre o produto e o raio de giração correspondente, , portanto ,
em que é o coeficiente de flambagem, fornecido pela NBR 8800:2008, no item
E.2.1.1, E.2.1.2 ou E.2.1.3, o que for aplicável, e L é o comprimento destravado, e
não deve ser superior a 200. Veja na tabela a seguir.
Tabela: coeficiente de flambagem por flexão de elementos isolados.
Falta pouco para atingir seus objetivos.
χ 0 χ Q = 1
χ 0 = 1 σ = f y
ca = 0, 38
ca = 0, 34 :
kc =
4
√ h/ t w
0, 35 ≤ kc ≤ 0, 76
λ
λ ≤ 200
K L
r
≤ 200
K L r K L
r
K
Vamos praticar alguns conceitos?
Questão 1
Determine o índice de esbeltez de um pilar de 3,00 m de comprimento que
possui suas extremidades rotuladas. O perfil é o fabricado em
aço ASTM A36. Considere para efeitos de cálculo:
Propriedades do perfil:
200 100 4,3 5,2 190 170 19,4
Propriedades do aço:
Aço ASTM A36
200.000 250 400
Parabéns! A alternativa E está correta.
A flambagem ocorrerá em torno do eixo que apresenta maior instabilidade.
Como:
W200 × 15, 0
W200 × 15, 0
d
mm
bf
mm
t w
mm
t f
mm
h
mm
d ′
mm
A
cm 2
E (M pa) f y(M P a) f u (M P a)
A 101,51
B 111,51
C 121,51
D 131,51
E 141,51
A flambagem irá ocorrer em torno do eixo y. Então, o índice de esbeltez será:
Questão 2
Determine a carga crítica de Euler de um pilar constituído de aço ASTM A36,
de 4,5 m de comprimento. Considere que o perfil é o e as duas
extremidades do pilar estão engastadas. Utilize o valor teórico de k e
considere para efeitos de cálculo:
Propriedades do perfil:
31,6,50 1384,00 6,63 173,00 197,60 183,00
Propriedades do aço:
Aço ASTM A36
200.000 250 400
r x > r y
λ =
K L
r y
=
1x300
2, 12
= 141, 51
W150 × 24
W150 × 24
A
cm 2
I x
cm 4
r x
cm
Wx
cm 3
Zx
cm 3
I y
cm 4
E (M pa) f y(M P a) f u (M P a)
A 221 kN
B 321 kN
C 421 kN
Parabéns! A alternativa C está correta.
A carga crítica de Euler é determinada por meio da equação 
Primeiro, deve-se calcular a carga crítica para flambagem por flexão em
relação ao eixo x:
Agora, para a flambagem por flexão em relação ao eixo y, realiza-se o
seguinte cálculo:
A carga crítica de Euler será a menor entre as duas, portanto:
Considerações �nais
Neste estudo, abordamos ações, segurança e análise estrutural em estruturas
metálicas, com base nas especificações na NBR 8800, norma que regulamentou
os elementos em aço. Além disso, foi apresentado como ocorre o
comportamento de elementos de aço solicitados a tracionados e o
procedimento de cálculo para o seu dimensionamento e sua verificação. Da
mesma maneira, estudamos o comportamento de elementos de aço
comprimidos, seu dimensionamento e verificações.
D 521 kN
E 621 kN
P cr = π2E I
k2L2
P crx =
π2E I x
k2L2
=
3, 142 × 20000 × 1384
0, 652 × 4502
= 3189kN
P cry =
π2E I y
k2L2
=
3, 142 × 20000 × 183
0, 652 × 4502
= 421kN
P cr = 421kN
Podcast
Ouça o podcast, nele você ouvirá uma discussão sobre quais outras normas são
adotadas nos procedimentos de cálculo e verificação de estruturas em aço, as
características de um elemento estrutural em aço submetido a tração e o que é o
denominado limite de liquidez.
Explore +
Para complementar os seus conhecimentos, conheça seguintes softwares para
cálculo de estrutura metálica:
Cálculo de estrutura metálica, disponível no site Acca Software.
Metálicas 3D – Software para estruturas metálicas, alumínio e madeira,
disponível no site da Multiplus.
Os softwares disponíveis no site da Tekla.
Referências
ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS. ABNT. NBR 8800:2008:
Projeto de estruturas de aço e de estruturas mistas de aço e concreto de
edifícios. Rio de Janeiro: ABNT, 2008.  
ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS. ABNT. NBR 8681:2003:
Ações e segurança nas estruturas – Procedimento. Rio de Janeiro: ABNT, 2004.  
ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS. ABNT. NBR 14323:2013:
Projeto de estruturas de aço e de estruturas mistas de aço e concreto de
edifícios em situação de incêndio. Rio de Janeiro; ABNT, 2013.
ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS. ABNT. NBR 14762:2010:
Dimensionamento de estruturas de aço constituídas por perfis formados a frio.
Rio de Janeiro: ABNT, 2010.  
ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS. ABNT. NBR 6120:2019:
Ações para o cálculo de estruturasde edificações. Rio de Janeiro: ABNT, 2019.

ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS. ABNT. NBR 6123:1988:
Forças devidas ao vento em edificações. Rio de Janeiro: ABNT, 2019.
BELLEI, I. H. et al. Edifícios de múltiplos andares em aço. São Paulo: Pini, 2008
FAKURY, R. H. et al. Dimensionamento básico de elementos estruturais de aço e
mistos de aço e concreto. São Paulo: Pearson Education do Brasil, 2016.  
PFEIL, W. Estruturas de aço: dimensionamento prático. Rio de Janeiro: LTC,
2009.
ZACARIAS, M. C. P. et al. Projeto e cálculo de estruturas de aço: Edifício
industrial detalhado. Rio de Janeiro: Elsevier, 2013.  
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