Binômio de Newton

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O número binomial de ordem n e classe p é a combinação simples de n, p a p. 
Veja a representação: (
n
p) = 
𝑛!
𝑝!(𝑛 − 𝑝)!
 , em que: n ≥ p. 
1) BINOMIAL COMPLEMENTAR: (
n
p) e (
𝑛
𝑞) serão complementares se p + q = n. 
Ex.: (
5
2
) e (
5
3
), sempre que desenvolver o binômio o resultado ser o mesmo. 
2) IGUALDADE BINOMIAL: (
n
p) = (
𝑛
𝑞) ⇒ {
p = q 
ou 
p + q = n
 
Ex.: Calcule o valor ou valores do x abaixo: 
 (
12
x
) = (
12
2x
) e (
10
3x − 1
) = (
10
5
) 
x = 2x ou x + 2x = 12 3x − 1 = 5 ou 3x − 1 + 5 = 10 
x = 0 3x = 12 3x = 6 3x = 6 
 x = 4 x = 2 x = 2 
3) PROPRIEDADES: 
a) (
n
0
) = 1 b) (
n
n
) = 1 c) (
n
1
) = n d) (
n
n − 1
) = n
4) TRIÂNGULO DE PASCAL: (
n
p) = (
linha
coluna
) 
(
0
0
) 1 
(
1
0
) (
1
1
) 1 1 
(
2
0
) (
2
1
) (
2
2
) 1 2 1 
(
3
0
) (
3
1
) (
3
2
) (
3
3
) 1 3 3 1 
(
4
0
) (
4
1
) (
4
2
) (
4
3
) (
4
4
) 1 4 6 4 1 
(
5
0
) (
5
1
) (
5
2
) (
5
3
) (
5
4
) (
5
5
) 1 5 10 10 5 1 
(
6
0
) (
6
1
) (
6
2
) (
6
3
) (
6
4
) (
6
5
) (
6
6
) 1 6 15 20 15 6 1 
(
7
0
) (
7
1
) (
7
2
) (
7
3
) (
7
4
) (
7
5
) (
7
6
) (
7
7
) 1 7 21 35 35 21 7 1 
(
8
0
) (
8
1
) (
8
2
) (
8
3
) (
8
4
) (
8
5
) (
8
6
) (
8
7
) (
8
8
) 1 8 28 56 70 56 28 8 1 
(
9
0
) (
9
1
) (
9
2
) (
9
3
) (
9
4
) (
9
5
) (
9
6
) (
9
7
) (
9
8
) (
9
9
) 1 9 36 84 126 126 84 36 9 1 
Observação: Sempre que a linha e a coluna aumentarem ao mesmo tempo isto significa 
que os termos se encontram em uma diagonal. 
PROPRIEDADE IMPORTANTES: 
► Sempre inicia e termina em “1”. 
► Somando dois números consecutivos o resultado será colocado abaixo do segundo. 
(relação de Stifel). 
► A soma dos termos em cada linha é igual a 2n, onde n é o número da linha que eu quero 
somar. 
► A soma de coluna será sempre igual ao que está abaixo e a direita do último elemento. 
► A soma da diagonal será igual ao que está abaixo do último elemento. 
5) DESENVOLVIMENTO DO BINÔMIO DE NEWTON: basta desenvolver o 
TRIÂNGULO DE PASCAL até o número de linha correspondente ao expoente dado. 
Coloca-se os números encontrados e as letras serão colocadas da primeira para a 
segunda, sendo que a primeira será elevada ao valor do expoente dado em ordem 
decrescente até 0; enquanto que a segunda será elevada iniciando do 0 em ordem 
crescente até o valor do expoente. 
(x + y)² = 1x²y0 + 2xy + 1x0y² 
(x + y)³ = 1x³y0 + 3x²y + 3xy² + 1x0y³ 
(x + y)4 = 1x4y0 + 4x³y¹ + 6x²y² + 4x¹y³ + 1x0y4 
(x − y)4 = 1x4y0 − 4x³y¹ + 6x²y² − 4x¹y³ + 1x0y4 
(x + y)5 = 1x5y0 + 5x4y¹ + 10x³y² + 10x²y³ + 5x¹y4 + 1x0y5 
(x − y)5 = 1x5y0 − 5x4y¹ + 10x³y² − 10x²y³ + 5x¹y4 − 1x0y5 
(x + y)6 = 1x6y0 + 6x5y¹ + 15x4y² + 20x³y³ + 15x²y4 + 6x¹y5 + 1x0y6 
(x − y)6 = 1x6y0 − 6x5y¹ + 15x4y² − 20x³y³ + 15x²y4 − 6x¹y5 + 1x0y6 
(x + y)7 = 1x7y0 + 7x6y¹ + 21x5y² + 35x4y³ + 35x³y4 + 21x²y5 + 7x¹y6 + 1x0y7 
(x − y)7 = 1x7y0 − 7x6y¹ + 21x5y² − 35x4y³ + 35x³y4 − 21x²y5 + 7x¹y6 − 1x0y7 
(x + y)8 = 1x8y0 + 8x7y¹ + 28x6y² + 56x5y³ + 70x4y4 + 56x³y5 + 28x²y6 + 8x¹y7 + 1x0y8 
Observação: quando tiver o sinal negativo basta eu alternar entre POSITIVO e 
NEGATIVO desde o primeiro termo. 
6) TERMO GERAL DO BINÔMIO: (a + b)n, sempre a quantidade de termos resultará 
em 1 a mais que o valor do expoente, por exemplo, se o binômio for elevado a 5 teremos 
6 expoentes como resposta. É muito importante termos em mente que o termo 
independente, ou seja, o termo sem incógnita é o termo multiplicado por x0. 
A fórmula geral é: Tp + 1 = (
n
p) . a
n - p . bp esta fórmula é usada para calcular qualquer 
termo de um binômio sem precisar desenvolvê-lo. Vejamos alguns exemplos: 
1º) Qual é o 6° termo do desenvolvimento do binômio de Newton (a – 1)6? 
2º) Determine o termo médio no desenvolvimento do número binomial (a – 2)9. 
3º) Considere o binômio (x – 3)8 e determine o termo independente de seu 
desenvolvimento. 
4º) (FGV) A soma dos coeficientes do desenvolvimento de (2x + y)5 é igual a: 
Resoluções: 
1º) p + 1 = 6 ⇒ p = 5 
 Tp + 1 = (
n
p) . a
n - p . bp ⇒ T5 = (
6
5
) . a6 - 5 . (−1)5 ⇒ 1 . 6 . a . (−1) ⇒ − 6a 
2º) Termo médio ou termo central, se o expoente é 9 significa que temos 10 termos, 
automaticamente o termo médio será 5. 
p + 1 = 5 ⇒ p = 4 
Tp + 1 = (
n
p) . a
n - p . bp ⇒ T5 = (
9
4
) . a9 - 4 . (−2)4 ⇒ 126 . a5 . 16 ⇒ 2016 a5 
3º) p + 1 = 9 ⇒ p = 8 
Tp + 1 = (
n
p) . a
n - p . bp ⇒ T9 = (
8
8
) . x8 - 8 . (−3)8 ⇒ 1 . 1 . 6561 = 6561 
4º) (2x + y)5 = 1.(2x)5.y0 + 5.(2x)4.y¹ + 10.(2x)³.y² + 10.(2x)².y³ + 5.(2x)¹.y4 + 1.(2x)0.y5 
= 32x5 + 80x4y + 80x³y² + 40x²y³ + 10xy4 + y5 ⇒ 32 + 80 + 80 + 40 + 10 + 1 = 243 
1 
1 1 
1 2 1 
1 3 3 1 
1 4 6 4 1 
1 5 10 10 5 1