Cap 1 Acoplamento_magnetico_2019 (2)

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Circuitos Elétricos III
Circuitos Magneticamente 
Acoplados
Profª Luciana C. Leite
Graduação em Engenharia Elétrica
FAENG/UFMS
Introdução
 Os circuitos que estudamos até o momento são considerados
condutivamente acoplados.
– Um laço afeta o laço vizinho através da condução de
corrente.
 Quando dois laços com ou sem contato se afetam através do
campo magnético gerado por um deles, são chamados de
magneticamente acoplados.
– Exemplo: Transformador → bobinas magneticamente acopladas
transferem energia de um circuito para outro.
Circuitos condutivamente
acoplados
 Para a figura abaixo, dados Ė e as impedâncias do circuito (Ż1, Ż2 e ŻM),
determinar, as correntes, tensões e potências.
Considerando-se as correntes de laço I1 e I2 tem-se:
 Na solução acima consideramos a solução do sistema de equações na forma 
matricial. Se consideramos Żij o termo genérico da matriz Ż como sendo o 
elemento de i-ésima linha e da j-ésima coluna, tem-se que:
e
Exemplo 1
 Resolver o circuito da figura abaixo, transformando o circuito acoplado em
impedâncias séries equivalentes. Dados:
Tem-se:
Exemplo 1 (cont.)
ou
Acoplamento magnético
 Quando dois indutores (ou bobinas) estão próximos, o fluxo magnético causado
pela corrente em uma bobina induz tensão na outra bobina.
 Este fenômeno é chamado de indutância mútua.
 Para um indutor simples de N espiras, quando uma corrente i flui através dele,
um fluxo magnético  é produzido ao redor dele.
 De acordo com a lei de Faraday, a tensão induzida no indutor é: v = N.d/dt
 Mas o fluxo  é produzido pela corrente i, portanto qualquer mudança em  é 
causada por uma variação na corrente: v = N.(d/di).(di/dt) = L.di/dt
 A indutância L do indutor é dada por: L = N.(d/di). Esta indutância é chamada de
auto-indutância, pois relaciona a tensão induzida em uma bobina por uma
corrente variante no tempo na mesma bobina.
Indutância Mútua (Mij)
 As marcas junto aos enrolamentos mostram o sentido de acoplamento magnético.
A convenção utilizada indica que um acréscimo de corrente entrando por uma das
marcas implica num acréscimo de corrente saindo pela outra.
 Correntes entrando pela marca reforçam o fluxo no meio magnético.
L1, L2 e M são parâmetros positivos de indutância própria do primário, própria
do secundário e mútua, respectivamente.
Indutância Mútua (Mij)
 Desde que seja adotada para tensões e correntes em cada enrolamento a
convenção de receptor, L1 e L2 são positivas. M pode ter qualquer sinal, conforme
o fluxo, produzido por uma das correntes, reforce ou enfraqueça aquele produzido
pela outra.
O sinal de M depende da escolha das referências nos diversos
enrolamentos. O sentido relativo dos fluxos pode ser
representado por pontos () junto a um dos extremos de cada
enrolamento.
Modelo do trafo com a Indutância 
Mútua (Mij)
Modelo do trafo com a Indutância 
Mútua (mais fácil!)
Modelo que torna mais fácil a análise de circuitos mutuamente acoplados.
Indutores mutuamente acoplados
 Exemplos de situações de pontos em indutores mutuamente acoplados:
Interpretação física dos parâmetros 
L1, L2 e M
 O acoplamento entre os indutores do primário e do secundário pode ser
quantificado através das seguintes montagens:
A. Secundário em aberto
B. Secundário em curto
 Definindo-se fator de acoplamento magnético:
L1o  Indutância vista do primário com o secundário em aberto (“open”).
 
 

L1s  Indutância vista do primário com o secundário em curto (“short”).
Fator de acoplamento magnéticos 
(k)
 O fator de acoplamento k pode ser obtido a partir das medidas de L1o e L1s .
0  k  1
 k = 0 implica L1s = L1 = L1o. Não há fluxo concatenado entre as 2 bobinas e,
portanto, não existe acoplamento magnético ( M = 0).
 k = 1, L1s = 0, ou seja, o primário se comporta como uma indutância nula,
impedindo a variação de fluxo no meio magnético. A bobina do secundário em
curto também se opõe a qualquer variação de seu fluxo. Existe, portanto, um
acoplamento total entre o fluxo do primário e do secundário ( M =  L1 .L2).
 O fator de acoplamento k pode ser visto como uma medida da relação entre o fluxo
concatenado e o fluxo disperso (“leakage”). A figura ilustra as linhas de campo dos
fluxos concatenado e disperso. Note que, se as bobinas forem afastadas, o fluxo
concatenado diminui (k  0).
Bobinas em fase e em contra-fase
 A convenção de pontos, para indutores conectados em série, pontos se
somando (bobinas em fase), a indutância total será:
L = L1 + L2 + 2M
 Para indutores conectados em série, com pontos opostos (bobinas em
contra-fase), a indutância total será:
L = L1 + L2 - 2M
Exemplo 2 
 Duas bobinas são associadas em série com mesmo sentido de
enrolamento (polaridade aditiva) e sobre o mesmo núcleo, como
mostra a figura abaixo. Determine a indutância equivalente do
sistema.
Leq = L1 + L2 + 2M = 20mH + 30mH – 2*10mH = 30 mH
Exemplo 3 
 Três bobinas são enroladas sobre o mesmo núcleo magnético e
são conectadas em série com as polaridades indicadas, como
mostra a figura abaixo. Determine a indutância equivalente para
o circuito.
Leq = L1 + L2 - 2M12 + 2M13 + L3 – 2M23 = 25mH + 20mH – 2*10mH +
2*15mH + 30 mH – 2*5mH = 75 mH.
Exercício para resolver
 Determine os valores das indutâncias (dados em Henry) equivalentes
dos circuitos abaixo. (respostas: (a) 2,1H; (b) 0,7; (c) 0,6H; (d) 2,1H)
(a) (b)
(c)
(d)
Exemplo 4
 A figura abaixo apresenta o esquema de um transformador, composto por
duas bobinas construídas sobre um mesmo núcleo formando um caminho
magnético com coeficiente de acoplamento k=0,9. Dado que as indutâncias
do primário (bobina 1) e secundário (bobina 2) são 20 mH e 5 mH,
respectivamente, determine:
– a indutância mútua entre as bobinas;
– o número de espiras do secundário, considerando que o primário tem
100 espiras.
Solução: 
k = M2/(L1.L2)  M = 9 mH
n  (L2/L1) = N2/N1 
N2 = N1.(L2/L1) = 50 espiras
Transformador ideal 
 Um transformador ideal é aquele com acoplamento perfeito (k = 1).
 Consiste em duas bobinas com um número grande de voltas em um núcleo
comum de alta permeabilidade. Devido a esta alta permeabilidade do núcleo, o
fluxo liga todas as voltas de ambas as bobinas, resultando, portanto, em um
acoplamento perfeito.
 Um transformador é dito ser ideal se:
– As bobinas tiveram reatâncias bastante elevadas (L1, L2, M  );
– O coeficiente de acoplamento é unitário (k=1);
– Os enrolamentos primário e secundário não possuem perdas (R1 = R2= 0).
 Transformadores com núcleo de ferro são uma aproximação de transformadores 
ideais.
Transformador ideal

Transformador ideal

Transformador ideal

Referir ou refletir os lados do trafo 
 A regra geral para eliminar o transformador e refletir o 2ário  1ário é:
dividir a impedância secundária por n2, dividir a V2 por n e multiplicar
I2 por n.
 A regra para eliminar o transformador e refletir o 1ário  2ário é:
multiplicar a impedância primária por n2, multiplicar a V1 por n e dividir
a I1 por n.
Exemplo 5
 N1 = 100 e N2 = 10.000  n = N2/N1 = 100
 Portanto:
– Um capacitor de 10μF na carga aparece como um
capacitor de 100mF no circuito primário (aumenta a
capacitância).
– Um indutor de 30 mH na carga aparece como um indutor
3μH no circuito primário (diminui a indutância, o mesmo
valendo para o caso de resistência).
Transformadores Lineares
Figura 1 - Diferentes tipos de transformadores: (a) transformador de potência de núcleo 
seco com enrolamento de cobre; (b) transformadores de áudio. 
(Cortesia de: (a) Electric Service Co.; (b) Jensen Transformers)
(a) (b)
Autotransformadores
 Um autotransformador é um transformador no qual, além do acoplamento
magnético entre os enrolamentos, existe uma conexão elétrica conforme mostra a
Figura xx. São duas as formas possíveis de conexão elétrica: aditiva ou
subtrativa.
Figura xx – Transformador ideal conectado como autotransformador.
Autotrafo Em geral utiliza-se a conexão aditiva nas duas formas de operação
possíveis, ou seja, como autotransformador elevador ou rebaixador,
conforme ilustra a Figura xy.
Figura xy – Autotransformador elevador
e abaixador (ou rebaixador) de tensão.
Para o autotrafo
elevador, tem-se:
Autotransformadores
 Daí, as potências complexas de entrada, Sx, e saída, Sy, são dadas por:
Em que Ŝ1 e Ŝ2 são as potências complexas de entrada e saída obtidas na 
conexão como transformador ideal.
 Assim, como a é sempre positivo, para a ligação aditiva, o
autotransformador permite a transformação de maior quantidade de
potência elétrica do que a conexão como transformador. A desvantagem
é a perda de isolação elétrica entre o primário e o secundário.
Exemplo 5
 Método dos Nós e Indutância Mútua
Incluindo as correntes I1 e I2 como variáveis:
Exemplo 5 (cont.)

Transformadores Trifásicos
 Existem 4 maneiras-padrão de se ligar 3 transformadores
monofásicos ou um transformador trifásico: Y-Y, Δ-Δ, Y-Δ, Δ-Y.
Transformadores Trifásicos
Bibliografia
 Fundamentos de Análise de Circuitos Elétricos – Johnson, David E., Hilburn, John L. and
Johnson, Johnny R.; 4a. ed., P.H.B., 1994. (teoria) - 621.3192 J79f.4
 Circuitos Elétricos – Nilsson, James W. and Riedel, Susan A.; 6a ed., Addison-Wesley
Publishing Company, 2003. (teoria) - 621.3192 N712c.6
 Basic Engineering Circuit Analysis – Irwin, J. David; 4th ed., Macmillan Publishing
Company, 1990. (complemento da teoria e exercícios) - 621.3192 I72b.8 - 621.3192
I72i
 Análise de Circuitos Elétricos – Mariotto, Paulo Antonio; São Paulo: Prentice Hall, 2003.
(complemento da teoria) - 621.3192 M342a
 Curso de Circuitos Elétricos – vol 2 - Orsini, Luiz de Queiroz; 2ª ed., Edgard Blucher, SP,
2004. (complemento da teoria e exercícios) - 621.3192 O76c.2 v. 2
 Introdução à Análise de Circuitos – Boylestad, Robert L.; 10a. ed., Prentice Hall, 2004.
(exercícios e simulações) - 621.3192 B792i.10.
 Circuitos Elétricos – Edminister, Joseph A.; coleção Schaum, McGraw-Hill, 1980. (alguns
exercícios) - 621.3192 E24ci.2
 Fundamentos de Circuitos Elétricos – Alexander, Charles K., Sadiku, Matthew N. O.,
Bookman, 2003.