Aula 5 - Limites Laterias Limites de Funções Compostas e Funções Trigonométricas

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Limites Laterais
Limites de Funções Compostas
Prof. Ricardo P. Mesquita
Sumário
 Limites Laterais
 Limite de Função Composta
 Limite de Funções Trigonométricas
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 Sejam f uma função, p um número real e suponhamos que 
existe b tal que ]p, b[ ⊂ Df . Definimos:
 O número L, quando existe, denomina-se limite lateral à 
direita de f, em p. 
Limites Laterais
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Quando x tende a p, 
pela direita, f (x) 
tende a
 Suponhamos, agora, que exista um real a tal que ]a, p[ ⊂
Df. Definimos
 O número L, quando existe, denomina-se limite lateral à 
esquerda de f, em p.
Limites Laterais
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Quando x tende a 
p, pela esquerda, f 
(x) tende a L:
Limites Laterais
 É uma consequência imediata das definições de limite e 
de limites laterais que se
 e se, para algum r > 0, f(x) = g(x) em ]p, p + r[, então
 Se ocorrer f(x) = g(x) em ]p − r, p[, então
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Limites Laterais
 Exemplo: Calcule
 Solução:
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Limites Laterais
 Exemplo: Calcule
 Solução:
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Limites Laterais 
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Observações
1. Se
existirem e forem diferentes, então não 
existirá.
2. Se existirem a e b tais que ]a, p[ e ]p, b[ estejam 
contidos em Df e se, em p, um dos limites laterais não 
existir, então não existirá. 
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Observações
3. Se existirem reais r > 0 e b tais que ]p, b[ ⊂ Df e ]p − r, 
p[ ∩ Df = , então
desde que o limite lateral à direita exista.
Se ocorrer ]b, p[ ⊂ Df e ]p, p + r[ ∩ Df = , então
desde que o limite lateral à esquerda exista.
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Exemplo
 Verifique se existe o seguinte limite:
 Solução:
Como 
Concluímos que não existe.
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Limite de Função Composta
 Sejam f e g duas funções tais que Imf ⊂ Dg, em que Imf é a 
imagem de f, ou seja, Imf = { f (x) | x ∈ Df}. Nosso objetivo 
é estudar o limite
Supondo que
é razoável esperar que
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Limite de Função Composta
 Exemplo: Calcule
Solução: 
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 Exemplo:Calcule
solução: Façamos u = 3 − x3; assim
Limite de Função Composta
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 Para x ↦ 1, u ↦ 2. Então:
Limite de Função Composta
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Limite de Função Composta
 Exemplo: Calcule
 Solução: Façamos ; assim, 
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Limite de Funções Trigonométricas
 Limite Fundamental: lim𝑥→0
sen 𝑥
𝑥
= 1.
 Exemplo: Calcule
 Solução: 
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Limite de Funções Trigonométricas
 Exemplo: Calcule
 Solução:
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Exercícios
Calcule:
1. C
2. S
3. S
4. t
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Dúvidas?