Resolucao Prova CP-CEM-2015_v2

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RESOLUÇÃO
Conhecimentos Básicos 
CP-CEM/2015 
Marinha do Brasil
2 
Estrutura da prova, de acordo com o edital
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https://drive.google.com/open?id=0BwCpbNh_brw5RTJHV2RnNWNSOGM
3 
 
 
 
A derivada de 𝒇 𝒙 = 𝒆𝒔𝒆𝒏 𝒙
𝟐 é a função 𝒇′ 𝒙 igual a? 
 Para resolver essa derivada devemos utilizar a regra da 
cadeia, pois temos uma função composta. 
 A regra da cadeia afirma que a derivada de uma função 
composta 𝑦 = 𝑓(𝑔 𝑥 ) será 𝑦′ = 𝑓 ′ 𝑔 𝑥 . 𝑔′(𝑥) 
 
 
 
 
 Na função 𝑓 𝑥 = 𝑒𝑠𝑒𝑛 𝑥
2 , podemos identificar 3 funções 
primitivas: 
1 - 𝑒𝑥 
2 - 𝑠𝑒𝑛 𝑥 
3 - 𝑥2 
 Aplicando o segundo passo do método, temos que a 
derivada de 𝑓 𝑥 será: 
𝑓 ′ 𝑥 = 𝑒𝑠𝑒𝑛 𝑥
2 . cos 𝑥2 . 2. 𝑥 
 
 
 
 
 
 
QUESTÃO 1
Na prática, podemos separar o método em dois passos: 
1 – Identificar quantas funções existem na composição; 
2 – Derivar de “fora para dentro”; 
 
Derivada da função 
“mais de fora”: 
 (𝑒𝑥)′ = 𝑒𝑥 
 
Derivada da função “do 
meio”: 
 sin(𝑥) ′ = cos(𝑥) 
 
Derivada da função 
“mais de dentro”: 
 𝑥2 ′ = 2. 𝑥 
 
4 
 
 
 Caso queira resolver mais questões para entender melhor a 
regra, os links abaixo são interessantes: 
 
 Um site totalmente gratuito e muito bom para resolver 
integrais e derivadas: 
 
 
 
 
 
 
 
 
https://www.youtube.com/watch?v=B4peR02Fyeg
https://www.youtube.com/watch?v=YQ213fXBcHA
https://www.symbolab.com/solver/definite-integral-calculator
5 
 
 
 
Seja 𝒙𝒐 o ponto do intervalo 𝟎,
𝝅
𝟐
 tal que 𝐜𝐨𝐬 𝒙𝒐 = 𝒙𝒐 . Sendo 
assim, o valor de 𝒕. 𝒔𝒆𝒏 𝒕 . 𝒅𝒕
𝒙𝒐
𝟎
 é: 
 Para resolver essa integral devemos utilizar uma técnica 
específica de integração. 
 As principais técnicas são: por PARTES e por SUBSTITUIÇÃO. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Na integral da questão, podemos ver que a derivada de 
nenhum termo resultará em outro termo presente na 
QUESTÃO 2
 𝑥. 𝑐𝑜𝑠 𝑥2 + 3 𝑑𝑥 
𝑢 = 2. 𝑥2 + 3 
𝑑𝑢 = 4. 𝑥. 𝑑𝑥 
Como saber qual delas utilizar? 
A experiência adquirida com a resolução de exercícios é 
que vai dizer qual o melhor método a seguir, mas uma dica 
é: 
 Caso você consiga enxergar um termo na função que 
derivando irá resultar em outro termo presente na função, 
o método da SUBSTITUIÇÃO geralmente será a melhor 
alternativa. 
 Por exemplo, na seguinte integral: 
Percebemos que se definirmos: 
Teremos: 
E, como apareceu o termo 𝑥. 𝑑𝑥 nessa expressão, que 
também está presente em nossa integral, poderemos dar 
sequência nesse método. 
 
6 
 
 
função. Portanto, devemos utilizar o método da integração 
por PARTES. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 𝑓 𝑥 . 𝑔(𝑥). 𝑑𝑥 
 𝑢. 𝑑𝑣 
 𝑢. 𝑑𝑣 = 𝑢. 𝑣 − 𝑣. 𝑑𝑢 
BREVE EXPLICAÇÃO DO MÉTODO: 
O objetivo de utilizar essa técnica é transformar uma 
integral desconhecida em uma das integrais padrões que 
sabemos calcular. 
 Dada uma integral da seguinte forma: 
Podemos reescrevê-la como: 
E que pode ser calculada pela seguinte expressão: 
Basta, então, definir quem serão os seguintes termos: 
 𝑢 
 𝑑𝑣 
Calcular: 
 𝑣 
 𝑑𝑢 
 
E, por fim, substituir na expressão e resolver a integral. 
 
7 
 
 
 A integral da questão é 𝑡. 𝑠𝑒𝑛 𝑡 . 𝑑𝑡
𝑥𝑜
0
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Com base nisso, faremos a seguinte definição: 
 𝑡. 𝑠𝑒𝑛 𝑡 . 𝑑𝑡
𝑥𝑜
0
 
 
 
 O próximo passo é calcular 𝑣 e 𝑑𝑢: 
 
𝑢 = 𝑡 𝑑𝑢 = 𝑑𝑡 
 
𝑑𝑣 = 𝑠𝑒𝑛 𝑡 . 𝑑𝑡 𝑣 = − cos t 
 
 
 
Derivando os dois lados da equação 
Integrando os dois lados da equação 
COMO DEFINIR QUAL TERMO SERÁ 𝑢 E QUAL SERÁ 𝑑𝑣 ? 
 Para isso, podemos utilizar a seguinte regra: 
Escolheremos quem será o 𝑢 na seguinte ordem de 
prioridade: 
1. Logaratmicas 
2. Inversa de Trigonométrica 
3. Aritméticas ou Algébricas 
4. Trigonométricas 
5. Exponenciais 
Que formam o acrônimo LIATE. Isso significa que, por 
exemplo, se na integral tiver uma função logaritmica e uma 
trigonométrica, definiremos como 𝑢 a função logarítmica. 
𝑢 = 𝑡 
 
𝑑𝑣 = 𝑠𝑒𝑛 𝑡 . 𝑑𝑡 
 
8 
 
 
 Substituindo os valores encontrados na fórmula geral: 
 
 𝑢. 𝑑𝑣 = 𝑢. 𝑣 − 𝑣. 𝑑𝑢 
 
 Temos que: 
 
 𝑡. 𝑠𝑒𝑛 𝑡 . 𝑑𝑡 = 𝑡. (− cos 𝑡 ) 
𝑥𝑜
0
− −cos 𝑡 . 𝑑𝑡
𝑥𝑜
0
𝑥𝑜
0
 
 
 Substituindo os limites de integração e sabendo que 
 cos 𝑡 . 𝑑𝑡 = 𝑠𝑒𝑛(𝑡), chegamos na seguinte expressão: 
 
 𝑡. 𝑠𝑒𝑛 𝑡 . 𝑑𝑡 = −𝑥𝑜 . cos 𝑥𝑜 + 0. cos 0 + 𝑠𝑒𝑛 𝑥𝑜 − 𝑠𝑒𝑛(0) 
𝑥𝑜
0
 
 
 𝑡. 𝑠𝑒𝑛 𝑡 . 𝑑𝑡 = −𝑥𝑜 . cos 𝑥𝑜 + 𝑠𝑒𝑛 𝑥𝑜 
𝑥𝑜
0
 
 Como foi dado na questão que cos 𝑥𝑜 = 𝑥𝑜 , podemos 
reescrever o resultado da seguinte forma: 
 
 𝑡. 𝑠𝑒𝑛 𝑡 . 𝑑𝑡 = −𝑥𝑜 . 𝑥𝑜 + 𝑠𝑒𝑛 𝑥𝑜 
𝑥𝑜
0
 
 
 
 
𝑠𝑒𝑛2 𝑥𝑜 = 1 − 𝑐𝑜𝑠
2 𝑥𝑜 
0 0 
 
Utilizamos a identidade trigonométrica 𝑠𝑒𝑛2 𝑥 + 𝑐𝑜𝑠2 𝑥 = 1 
para deixarmos a expressão em função somente de 𝑥𝑜 
9 
 
 
 
𝑠𝑒𝑛 𝑥𝑜 = 1 − 𝑐𝑜𝑠
2 𝑥𝑜 
 
 
 Portanto, a resposta final é: 
 
 𝑡. 𝑠𝑒𝑛 𝑡 . 𝑑𝑡 = −𝑥𝑜
2 + 1 − 𝑥𝑜
2 𝑥𝑜
0
 
 
 Caso queira ver mais ume exemplo desse tipo de 
integração, assista ao vídeo abaixo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 𝑥𝑜
2 
 
https://www.youtube.com/watch?v=_yTnGxYoTf4
10 
 
 
 
Qual o volume da parte da bola da equação tal que 𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 +
𝒛𝟐 ≤ 𝟗 que fica entre os planos 𝒛 = 𝟏 e 𝒛 = 𝟐? 
 Existem várias formas para resolver esse tipo de problema, 
mas a mais simples é através do cálculo do volume de 
rotação de uma função. Essa fórmula é a seguinte: 
𝑉 = 𝜋 𝑓(𝑥) 2𝑑𝑥
𝑏
𝑎
 
 Desenharemos a função no plano 𝑧𝑦, substituindo 𝑥 por 0 
na função. 
 Nesse caso, teremos a seguinte função: 
 
𝑦2 + 𝑧2 ≤ 9 
 
𝑦 ≤ 9 − 𝑧2 
 
 
 
 Devemos, portanto, rotacionar a área entre as linhas 
vermelhas em torno do eixo 𝑧 para obtermos o volume que 
QUESTÃO 3
(I) 
𝑦 
𝑧 
(II) 
11 
 
 
é pedido na questão. A figura abaixo ilustra a revolução 
dessa superfície: 
 
 
 Substituindo (II) em (I), e definindo os limites de integração 
𝑎 = 1 e 𝑏 = 2, podemos calcular o volume da parte de bola 
𝑉 = 𝜋 9 − 𝑧2 
2
𝑑𝑧
2
1
 
𝑉 = 𝜋 9 − 𝑧2 𝑑𝑧
2
1
 
𝑉 = 𝜋. 9. 𝑧 −
𝑧3
3
 
2
1
 
12 
 
 
𝑉 = 𝜋. 9 × 2 −
23
3
− 9 × 1 −
13
3
 
 
𝑉 =
20𝜋
3
 
 
 Caso tenha interesse, assista ao vídeo abaixo para mais um 
exemplo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
https://www.youtube.com/watch?v=kkg2IoqqI38
13 
 
 
 
A imagem da transformação linear 𝑻 𝒙, 𝒚, 𝒙 = 𝒙, 𝒚, 𝒛 ×
(𝟏, 𝟏, 𝟏), em que × indica o produto vetorial em 𝑹𝟑, é: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 A transformada dada na questão faz o produto vetorial de 
um vetor qualquer 𝑣 = (𝑥, 𝑦, 𝑧) pelo vetor 𝑢 = (1,1,1), 
deslocando o vetor 𝑣 para um outro lugar no espaço. 
 O que o exercício quer saber é justamente qual é esse lugar 
no espaço, ou seja, a imagem da transformação. 
QUESTÃO 4
O que é uma transformação linear? 
Transformações lineares são usadas para descrever vários 
tipos de mudanças geométricas, como: rotação, 
homotetia, cisalhamento, reflexão, além de outras 
deformações no plano ou no espaço. Em outras palavras, 
ela transforma (desloca, rotaciona, ...) um vetor em outro. 
Por exemplo: a transformação da figura abaixo faz com 
que um vetor seja espelhado em relação ao eixo x: 
 
 
 
14 
 
 
 Para calcular o produto vetorial 𝑥, 𝑦, 𝑧 × (1,1,1), temos 
que calcular o seguinte determinante: 
𝑑𝑒𝑡 
𝑖 𝑗 𝑘 
𝑥 𝑦 𝑧
1 1 1
 
 
𝑖 𝑗 𝑘 𝑖 𝑗 
𝑥 𝑦 𝑧 𝑥 𝑦
1 1 1 1 1
 
 
𝑇 𝑥, 𝑦, 𝑥 = 𝑦 − 𝑧 . 𝑖 + 𝑧 − 𝑥 . 𝑗 + 𝑥 − 𝑦 . 𝑘 
 
 Isso significa que se, por exemplo, fizer essa transformação 
em um vetor 𝑣𝑎 = (3, 5, 8), teremos: 
 
𝑇𝑣𝑎 = 5 − 8 . 𝑖 + 8 − 3 . 𝑗 + 3 − 5 . 𝑘
 
𝑇𝑣𝑎 = −3 . 𝑖 + 5. 𝑗 + −2 . 𝑘
 
 
 Baseado nas alternativas dadas pela questão, podemos 
verificar que esse vetor 𝑇𝑣𝑎 pertence ao plano de equação 
𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 0, pois: 
 
−3 + 5 − 2 = 0 
 
 
 
 
 
 
 
15 
 Graficamente, temos:
 Onde:
O vetor em azul é 𝑣𝑎
O vetor em vermelho é 𝑇𝑣𝑎
O plano é 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 0
 Outra maneira de analisar a questão é através do fato de
que o produto vetorial entre dois vetores gera um vetor
que é ortogonal ao plano que contém esses dois vetores,
conforme a figura abaixo:
16 
 
 
 Como o vetor (1,1,1) é o vetor normal do plano 
𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 0, qualquer vetor multiplicado por ele irá 
gerar um vetor pertencente a esse plano. 
 
 Um vídeo bom caso queira dar uma revisada sobre produto 
vetorial: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
https://www.youtube.com/watch?v=LLH3P5euy80
17 
Uma pessoa está inicialmente no quinto degrau de uma escada 
de dez degraus. Em cada etapa de um jogo, ela tem 
probabilidade 2/3 de primeiro subir três degraus e depois 
descer dois degraus, e probabilidade 1/3 de primeiro subir dois 
degraus e depois descer três degraus. A pessoa vence o jogo se 
passar pelo décimo degrau da escada em cinco etapas ou 
menos. Qual é a probabilidade de a pessoa vencer o jogo? 
 Primeiramente, temos que deixar claro que quando o
exercício fala em passar pelo décimo andar, significa que
ele tem que apenas pisar no décimo andar, ou seja, se na
quinta etapa ele pisar no décimo e voltar para o nono
andar, ele vence (sim, o enunciado ficou um pouco
ambíguo, mas pela resposta da banca, ele quis dizer isso).
 Questões como essas de probabilidade não possuem um
jeito único para resolver, pois cada pessoa pode modelar o
problema de uma forma. Aqui mostrarei o raciocínio que
eu utilizei para resolver.
 Para visualizar melhor todas as possibilidades, é
interessante construir um diagrama de estados, como o
abaixo:
QUESTÃO 5
18 
 
 
 
 
 
 
 
Nesse diagrama: 
 O que está no interior do círculo significa o degrau que a 
pessoa se encontra; 
 A seta para direita significa que a pessoa subiu 3 degraus 
e desceu 2; 
 A seta para esquerda significa que a pessoa subiu 2 
degraus e desceu 3; 
 O círculo com o número 10 em seu interior significa que a 
pessoa atingiu o objetivo e, portanto, é a soma das 
probabilidades desses eventos que queremos calcular. 
ETAPA 1 
 
 
 
 
ETAPA 2 
 
 
 
 
ETAPA 3 
 
 
 
 
ETAPA 4 
 
 
 
 
ETAPA 5 
 
 
 
 
P1 
 
 
 
 
P2 
 
 
 
 
P3 
 
 
 
 
P4 
 
 
 
 
19 
 Os eventos que não foram apresentados são os que a
pessoa não teria mais chance de atingir o décimo degrau.
Por exemplo, se a pessoa está no degrau 6 e possui mais
duas tentativas, não precisamos colocar a hipótese dela ir
para o degrau 5, pois a única forma dela atingir o degrau
10 é se ela subir de degrau duas vezes consecutivas.
 Temos, portanto, 4 caminhos possíveis para a pessoa
atingir o degrau 10. É necessário, então, calcular a
probabilidade de cada um ocorrer e fazer soma delas.
 Para isso, temos que fazer a multiplicação das
probabilidades de cada evento, até atingir o degrau 10.
Os caminhos foram definidos como P1, P2, P3 e P4.
Segundo as probabilidades dadas na questão e a lógica
que utilizamos, cada seta para esquerda tem um valor de
1/3 e cada seta para a direita tem um valor de 2/3.
 Probabilidade do caminho P1 ocorrer:
𝑃1 =
1
3
×
2
3
×
2
3
×
2
3
×
2
3
=
16
243
 Probabilidade do caminho P2 ocorrer:
𝑃2 =
2
3
×
1
3
×
2
3
×
2
3
×
2
3
=
16
243
 Probabilidade do caminho P3 ocorrer:
𝑃3 =
2
3
×
2
3
×
1
3
×
2
3
×
2
3
=
16
243
 Probabilidade do caminho P4 ocorrer:
𝑃4 =
2
3
×
2
3
×
2
3
=
8
27
20 
 Somando essas 4 probabilidades, encontramos que a
probabilidade pedida na questão é:
40
81
21 
Aplicando o método de Euler explícito com passo 𝒉 = 𝟎. 𝟏 ao 
problema 𝒚′ = 𝒚𝟐, 𝒚 𝟎 = 𝟏, qual a aproximação encontrada 
para 𝒚(𝟎. 𝟐)? 
 O método de Euler explícito é um método numérico
utilizado para solucionar equações diferenciais ordinárias
de primeira ordem com um valor inicial dado. A fórmula
desse método é a seguinte:
𝑦𝑛+1 = 𝑦𝑛 + 𝑕. 𝑓(𝑦𝑛) 
Onde 𝑕 é o passo de cada iteração. 
 O procedimento é fazer o cálculo quantas vezes forem
necessárias, até encontrar o valor desejado.
 A notação pode ser entendida da seguinte forma:
𝑦𝑛 = 𝑦(0 + 𝑕. 𝑛), ou seja, 𝑦1 significa o primeiro passo da
iteração e é, portanto, o valor de 𝑦(0.1). Queremos
encontrar o valor de 𝑦 0.2 , ou seja, a segunda iteração,
𝑦2.
 Os dados do problema são os seguintes:
𝑓 𝑦 = 𝑦2
𝑦 0 = 𝑦0 = 1
𝑕 = 0.1
 Fazendo as duas iterações necessárias, temos que:
𝑦1 = 𝑦 0.1 = 𝑦0 + 𝑕. 𝑓 𝑦0 = 1 + 0.1. 1 
2 = 1.1
𝑦2 = 𝑦 0.2 = 𝑦1 + 𝑕. 𝑓 𝑦1 = 1.1 + 0.1. 1.1 
2 = 1.221
QUESTÃO 6
22 
A integral de linha do campo 𝑭 𝒙, 𝒚 = (𝒂𝒙 + 𝒃𝒚, 𝒄𝒙 + 𝒅𝒚), em 
que 𝒂, 𝒃 𝒄, 𝒅 são constantes reais, calculada ao longo de cada 
caminho fechado simples 𝑪: 𝟎, 𝟏 → 𝑹𝟐, percorrido uma vez no 
sentido anti-horário, tem valor igual ao da área da região 
limitada por 𝑪. Nessas condições, pode-se concluir que: 
 Para resolver essa questão, é necessário utilizar o Teorema
de Green.
 O método de Euler explícito é um método numérico 
utilizado para solucionar equações diferenciais ordinárias 
de primeira ordem com um valor inicial dado. A fórmula 
desse método é a seguinte: 
QUESTÃO 7
𝑀. 𝑑𝑥 + 𝑁. 𝑑𝑦 =
𝜕𝑁
𝜕𝑥
−
𝜕𝑀
𝜕𝑦
𝑑𝐴
𝐷
 
 𝐼 𝐹 . 𝑑𝑟 
𝐶
 𝐼𝐼 𝑀. 𝑑𝑥
𝐶
+ 𝑁. 𝑑𝑦 (𝐼𝐼𝐼) 𝐹(𝑟 𝑡 ). 𝑟′ 𝑡 . 𝑑𝑡
𝑏
𝑎
 
TEOREMA DE GREEN: 
Estabelece uma relação entre a integral de linha ao longo 
de uma curva C fechada e uma integral dupla sobre a região D. 
 Relembrando as notações para:
Campo: 𝐹 𝑥, 𝑦 = 𝑀. 𝑖 + 𝑁. 𝑗 = (𝑀, 𝑁) 
Curva: 𝑟 𝑡 = 𝑥 𝑡 . 𝑖 + 𝑦(𝑡). 𝑗 = (𝑥(𝑡), 𝑦(𝑡)) 
 Existem 3 notações para representar uma integral de linha:
O teorema de Green utiliza a segunda notação. 
23 
 O exercício diz que a integral de linha do campo 𝐹(𝑥, 𝑦) é
igual a área 𝐴 da região limitada pela circunferência 𝐶.
 Para que isso ocorra, a seguinte condição deve ser
satisfeita:
𝜕𝑁
𝜕𝑥
−
𝜕𝑀
𝜕𝑦
𝑑𝐴
𝐷
= 𝐴 
 Portanto:
𝜕𝑁
𝜕𝑥
−
𝜕𝑀
𝜕𝑦
= 1 
 Identificando 𝑀 𝑒 𝑁, de acordo com a notação de campo
apresentada, temos:
𝐹 𝑥, 𝑦 = (𝑎𝑥 + 𝑏𝑦, 𝑐𝑥 + 𝑑𝑦)
 M N 
 Substituindo 𝑀 𝑒 𝑁 em (I):
𝜕(𝑐𝑥 + 𝑑𝑦)
𝜕𝑥
−
𝜕(𝑎𝑥 + 𝑏𝑦)
𝜕𝑦
= 1 
 Resolvendo essa derivada, encontramos a seguinte
resposta:
𝑐 − b = 1
Esse termo deve ser igual a 1 para que a 
integral resulte na área A, pois assim 
teremos que 𝑑𝐴
𝐷
= 𝐴
(I)
24 
Sabe-se que 
𝟏
𝒏𝟐
=
𝝅𝟐
𝟔𝒏≥𝟏
 , então 
𝟏
(𝟐𝒏−𝟏)𝟐𝒏≥𝟏
 é igual a: 
 Para resolver essa questão, devemos fazer a expansão das
séries e comparar os termos de uma com os termos da
outra:
 
1
𝑛2
=
1
12
+
1
22
+
1
32
+
1
42
+
1
52
+
1
62
+
1
72
+ ⋯
 𝑛≥1
 
 
1
(2𝑛 − 1)2
=
1
 12
 + 
1
32
 + 
1
52
 + 
1
72
+ ⋯
𝑛≥1
 
 Comparando as séries, percebemos que a segunda é igual a
primeira, mas sem os termos com o denominador par. A
série de termos com o denominador par pode ser
representada da seguinte forma:
 
1
(2𝑛)2
=
1
 22
 + 
1
42
 + 
1
62
 + 
1
82
+ ⋯
𝑛≥1
 
 Portanto, podemos calcular o somatório desejado da
seguinte forma:
 
1
(2𝑛 − 1)2
= 
1
𝑛2
−
𝑛≥1
 
1
(2𝑛)2
𝑛≥1𝑛≥1
QUESTÃO 8
Por ser uma constante, podemos retirar esse 
“2” da expressão, resultando no seguinte termo 
1
4
. 
1
(𝑛)2𝑛≥1
25 
 Dessa forma, teremos a expressão final:
1
(2𝑛 − 1)2
=
1
𝑛2
−
𝑛≥1
1
4
.
1
(𝑛)2
𝑛≥1𝑛≥1
 Substituindo a informação dada no exercício, que
1
𝑛2
=
𝜋2
6𝑛≥1
, teremos: 
1
(2𝑛 − 1)2
=
𝜋2
6
−
1
4
.
𝜋2
6
=
𝜋2
8
𝑛≥1
26 
Um ponto material P1 de massa m percorre a circunferência de 
centro naorigem O e raio 1 no sentido anti-horário com 
velocidade angular constante 2𝝎, e no instante t0=0 está na 
posição (0,1). Nesse mesmo instante, um ponto material P2 de 
massa m está na posição (0,2), percorrendo a circunferência de 
centro na origem e raio 2 no sentido horário com velocidade 
angular constante 𝝎. No primeiro instante 𝑻 > 0 em que os 
pontos P1 e P2 estiverem alinhados com a origem, o ângulo 
entre o eixo Oy e o segmento OP2 será: 
 Modelando o enunciado da questão, obtemos a seguinte
representação:
 A equação do movimento circular uniforme é:
𝜃final =𝜃inicial + 𝜔 . 𝑡
QUESTÃO 9
P2
𝝎
 Assumiremos como o sentido horário sendo o negativo, ou 
ou seja, 𝝎 < 0, e o sentido anti-horário como positivo, ou 
seja, 𝝎> 0.
0y - referência
 E de acordo com nossa referência, 𝜃inicial = 0 para P1 e P2.
27 
= 2.𝜔. 𝑡1

 Mas como estamos interessados no instante em que os
pontos estiverem alinhados com com a origem, 
 Segundo o nosso desenho, o ângulo pedido pelo enunciado é 𝛼, que
pode ser calculado através da relação:
𝛼 + + 𝜋 = 2𝜋 
𝛼 =
𝜋
3
Aplicando essa equação para o corpo P1 , temos:
 Já para o corpo P2 , temos:
+ 𝜋 = -𝜔. 𝑡2
 𝑡1 = 𝑡2
 Isoalando e nas duas equações e igualando elas,
encontraremos 
 𝑡2 𝑡1
2𝜋
3
=
 Substituindo o valor de encontrado, teremos que:
28 
Um fio condutor muito longo, cilíndrico, de raio 𝒓 , é 
atravessado por uma corrente de intensidade 𝒊 = 𝟏𝑨, 
uniformemente distribuída nas seções transversais 
perpendiculares ao eixo do cilindro. A intensidade máxima do 
campo magnético gerado pela corrente num plano 
perpendicular ao eixo do cilindro é 𝑩 = 𝟐. 𝟏𝟎−𝟒𝑻. Se 𝝁𝒐 é a
permeabilidade magnética no vácuo, 𝒓 é igual a: 
 Para resolver essa questão, devemos entender como se
comporta o campo magnético dentro e fora do fio. A figura
abaixo ajudará nesse entendimento:
QUESTÃO 10
29 
 Vamos separar a análise em duas condições:
1. Para a trajetória circular 1, ou seja, 𝑟 ≥ 𝑅:
 A Lei de Ampere permite calcular o Campo Magnético 𝐵
produzido por uma corrente elétrica 𝐼. A fórmula que
relaciona essas variáveis é a seguinte:
𝐵 𝑑𝑠 = 𝜇𝑜 . 𝐼 
 Para uma trajetória circular, temos que:
𝐵. (2𝜋. 𝑟) = 𝜇𝑜 . 𝐼 
𝐵𝑒𝑥𝑡 =
𝜇𝑜 . 𝐼
 2𝜋. 𝑟 
2. Para a trajetória circular 2, ou seja, 𝑟 < 𝑅:
 Levando em conta que a distribuição de corrente é
uniforme, e sendo a corrente envolvida proporcional a área
envolvida pela curva 2, temos que:
𝐼2 = 𝐼.
𝜋. 𝑟2
 𝜋. 𝑅2 
 Onde 𝐼2 é a corrente envolvida (aquela que irá gerar o
campo magnético no interior do fio) e 𝐼 é a corrente total
que circula no fio.
 Portanto, podemos calcular o campo magnético no interior
do fio da seguinte forma:
 𝐵. (2𝜋. 𝑟) = 𝜇𝑜 . 𝐼2 
(I) 
(II)
30 
 Substituindo (I) em (II):
𝐵𝑖𝑛𝑡 =
𝜇𝑜 . 𝐼
 2𝜋. 𝑅2 
. 𝑟 
 Analisando as expressões de 𝐵𝑖𝑛𝑡 e 𝐵𝑒𝑥𝑡 , fica fácil
concluir que o campo magnético terá seu valor máximo
quando o valor de r for igual a R. Ou seja, o campo será
máximo na superfície do fio.
 O gráfico abaixo mostra a variação do campo magnético
em relação ao raio:
 Queremos descobrir o valor de R, já que nele que ocorre
o campo magnético máximo fornecido na questão.
𝐵𝑚á𝑥 =
𝜇𝑜 . 𝐼
 2𝜋. 𝑅 
𝑅 =
𝜇𝑜 . 𝐼
 2𝜋. 𝐵𝑚á𝑥 
 Substituindo os valores fornecidos no exercício:
𝑅 =
𝜇𝑜 . 1
 2𝜋. 2.10−4 
=
104. 𝜇𝑜
4𝜋
31 
Dois reservatórios cilíndricos de mesmas dimensões, altura H e 
raio R, estão cheios, contendo um mesmo líquido de densidade 
𝝆. Na parede lateral do primeiro cilindro, há um pequeno 
orifício localizado a uma distância h1 do topo do cilindro e, por 
esse orifício, o líquido escapa, pela ação da gravidade, com 
velocidade v1. Na parede lateral do segundo cilindro, há um 
pequeno orifício, similar ao anterior, localizado a uma distância 
h2 do topo e por onde o líquido escapa, pela ação da gravidade, 
com velocidade v2 = 2.v1. Então h2/h1 é igual a: 
 Para resolver essa questão precisamos relembrar a
equação de Bernoulli
 
 
 
QUESTÃO 11
𝑕1 +
𝑃1
𝜌. 𝑔
+
𝑣1
2
2. 𝑔
= 𝑕2 +
𝑃2
𝜌. 𝑔
+
𝑣2
2
2. 𝑔
EQUAÇÃO DE BERNOULLI 
Ela relaciona variação de pressão, variação de altura e 
variação de velocidade em um fluído incompreensível num 
escoamento estacionário. Ela é obtida como uma consequência 
da conservação de energia. Dados dois pontos, 1 e 2, nesse 
escoamento, a seguinte relação deve ser satisfeita: 
32 
 
 
 
 O desenho do tanque pode ser representado como a figura 
abaixo: 
 
 Agora temos que aplicar a equação de Bernoulli para achar 
a relação entre as variáveis dos pontos a e b. 
 
𝑕𝑎 +
𝑃𝑎
𝜌. 𝑔
+
𝑣𝑎
2
2. 𝑔
= 𝑕𝑏 +
𝑃𝑏
𝜌. 𝑔
+
𝑣𝑏
2
2. 𝑔
 
 As pressões Pa e Pb são iguais a atmosférica e por isso 
foram cortadas na equação. 
 𝑣𝑎 pode ser considerado 0, pois a velocidade que diminui o 
nível do tanque é muito menor do que a velocidade de 
saída de água pelo furo lateral. 
 Portanto, temos que a velocidade de saída pode ser 
calculada como: 
 
𝑣𝑏 = 2. 𝑔. (𝑕𝑎 − 𝑕𝑏) 
 
 Mas 𝑕𝑎 − 𝑕𝑏 é a altura 𝑕 fornecida pelo exercício, pois é a 
altura do topo até o furo. 
 
 Logo, 𝑣𝑏 = 𝑣𝑠𝑎 í𝑑𝑎 = 2. 𝑔. 𝑕 
𝑕𝑎 
𝑕𝑏 
𝑃𝑎 
𝑃𝑏 
𝑕 
𝑣 
33 
 
 
 
 Para o tanque 1 temos que a velocidade de saída da água é: 
 
𝑣1 = 2. 𝑔. 𝑕1 
 
𝑔 =
𝑣1
2
2. 𝑕1
 
 
 Para o tanque 2 temos que a velocidade de saída da água é: 
 
𝑣2 = 2. 𝑔. 𝑕2 
 
𝑔 =
𝑣2
2
2. 𝑕2
 
 
 Igualando (I) com (II), temos que: 
𝑣1
2
2. 𝑕1
=
𝑣2
2
2. 𝑕2
 
 
 Usando a relação dada na questão, que 𝑣2 = 2. 𝑣1: 
𝑣1
2
2. 𝑕1
=
 2. 𝑣1 
2
2. 𝑕2
 
 Concluímos que: 
 
𝑕2
𝑕1
= 4 
 
(II) 
(I) 
34 
Um sistema gasoso recebe de uma fonte térmica uma 
quantidade de calor equivalente a 30 J e expande-se. Ao final, 
verifica-se que houve um aumento de 20 J na energia interna 
do sistema. O trabalho realizado pelo gás na expansão foi de: 
 Para resolver essa questão temos que aplicar a 1a Lei da
Termodinâmica.
 
 
QUESTÃO 12
∆𝑈 = 𝑄 − 𝑊 
1a LEI DA TERMODINÂMICA 
A variação da Energia interna ΔU de um sistema é expressa 
por meio da diferença entre a quantidade de calor Q trocada 
com o meio ambiente e o trabalho W realizado durante a 
transformação. 
O trabalho é POSITIVO 
se ele for realizado pelo 
sistema. Nesse caso, o 
volume aumenta. 
Caso o trabalho seja 
realizado sobre o 
sistema, ele será 
NEGATIVO e o volume 
diminuirá. 
A variação da Energia 
Interna do sistema 
será POSITIVA caso a 
temperatura do 
sistema aumente. 
Caso a temperatura 
diminua durante a 
transformação, a 
variação de Energia 
Interna será 
NEGATIVA 
O calor será POSITIVO 
caso o sistema absorva 
calor do ambiente. 
Caso o sistema ceda 
calor para o ambiente, 
ele será NEGATIVO 
35 
Dados do problema: 
 Sistema recebe 30 J de calor, ou seja, Q = 30 J.
 Sistema teve um aumento na energia interna de 20 J,
ou seja, ∆𝑈 = 20J
 Substituindo esses valores na fórmula apresentada, temos:
20 = 30 − 𝑊 
𝑊 = 10 J 
 O valor positivo do trabalho comprova o que o enunciado
do problema afirmou, que tivemos um trabalho realizado
pelo gás e que houve uma expansão.
36 
 
 
 
Em um circuito R-C, ligado a uma bateria de f.e.m 𝜺, passa uma 
corrente que no instante t = 0 é de 1 A. A corrente continua 
passando sem interrupção e no instante t = 1 é de 0,5 A. Então, 
os valores de R e C desse circuito são, respectivamente: 
 Nos circuitos RC, como o da figura abaixo, a corrente 
tenderá a 0 quando o tempo tender a infinito, pois o 
capacitor se comporta como um circuito aberto quando o 
tempo tende a infinito. 
 
 
 Aplicando a Lei das Malhas de Kirchhoff no circuito, temos: 
𝜀 − 𝑉𝑅 𝑡 − 𝑉𝐶 𝑡 = 0 
 No instante inicial, em t = 0, a tensão no capacitor é nula, 
pois ele não admite variações abruptas de tensão. 
Portanto,𝑉𝐶 0 = 0, e temos que: 
𝜀 − 𝑉𝑅 0 = 0 
 A queda de tensão no resistor R é dada por: 
𝑉𝑅 = 𝑅. 𝐼 
 Logo: 
 𝜀 − 𝑅. 𝐼 0 = 0 
QUESTÃO 13
37 
 
 
 Como 𝐼 0 é igual a 1 A, temos que: 
𝜀 − 𝑅. 1 = 0 
𝑅 = 𝜀 
 Para calcular o valor de C, vamos utilizar a segunda 
informação dada na questão, que 𝐼 1 = 0,5 
 A queda de tensão no capacitor C é dada por: 
𝑉𝐶 =
1
𝐶
 𝑖. 𝑑𝑡 
 A lei das malhas ficará, então: 
 
𝜀 − 𝑉𝑅 𝑡 − 𝑉𝐶 𝑡 = 0 
𝜀 − 𝑅. 𝑖(𝑡) −
1
𝐶
 𝑖. 𝑑𝑡 = 0 
 Derivando essa expressão para eliminar a integral, temos: 
 
𝑅.
𝑑𝑖
𝑑𝑡
+
1
𝐶
𝑖(𝑡) = 0 
 
 Dividimos todos os termos dessa equação por 𝑅 para 
deixarmos na forma padrão de uma equação diferencial de 
primeira ordem: 
 
𝑑𝑖
𝑑𝑡
+
1
𝑅𝐶
𝑖(𝑡) = 0 
 
 A solução dessa equação diferencial é: 
 
𝑖 𝑡 = 𝐾. 𝑒
− 
1
𝑅𝐶
 .𝑡
 
38 
 
 
 Para descobrirmos o valor da constante 𝐾, basta 
utilizarmos a condição inicial 𝐼 0 = 1: 
 
𝑖 0 = 1 = 𝐾. 𝑒
− 
1
𝑅𝐶
 .0
 
𝐾 = 1 
 
 Por fim, utilizaremos a informação de que 𝐼 1 = 0,5 para 
descobrirmos o valor de C: 
𝑖 1 = 0,5 = 1. 𝑒
− 
1
𝑅𝐶
 .1
 
 
 Aplicando o logaritmo neperiano dos 2 lados da equação, 
temos: 
ln(0,5) = ln(𝑒
− 
1
𝑅𝐶
 
) 
ln(0,5) = − 
1
𝑅𝐶
 
− ln(0,5) = 
1
𝑅𝐶
 
ln(0,5−1) = 
1
𝑅𝐶
 
ln(2) = 
1
𝑅𝐶
 
𝐶 = 
1
𝑅. ln(2)
 
 Como descobrimos anteriormente que 𝑅 = 𝜀, o valor de C 
será 
𝐶 = 
1
𝜀. ln(2)
 
39 
 
 
 
Um fio delgado e de distribuição de massa uniforme tem a 
forma do gráfico de uma função 𝒇: [𝟎, 𝟏] → 𝑹, com derivada 
contínua, com 𝒇 𝒙 > 0, para todo 𝒙. O comprimento do fio é 
𝝅 e o gráfico de 𝒇 𝒙 , ao ser girado em torno do eixo dos 𝒙, 
gera uma superfície de área lateral 5. Se o centróide do fio está 
no ponto(𝒙𝒄, 𝒚𝒄), o valor da ordenada 𝒚𝒄 é: 
 Para resolver essa questão é necessária aplicação do 
Teorema de Pappus. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
QUESTÃO 14
𝐴 = 𝜃. 𝑟 . 𝐿 
TEOREMA DE PAPPUS 
O teorema afirma que a área de uma superfície de 
revolução é igual ao produto do comprimento da curva geradora 
pela distância percorrida pelo centróide da curva para gerar a 
superfície. A equação desse teorema é a seguinte: 
onde: 
𝐴 = Área da Superfície de revolução 
𝐿 = Comprimento da curva geradora 
𝜃 = Ângulo de revolução medido em radianos 
𝑟 = Distância perpendicular do eixo de revolução ao 
centróide da curva geradora 
 
 
40 
 
 
 Desenhando a curva dada pela questão: 
 
 
 
 
 
 
 
 De acordo com os dados do problema, temos que: 
𝐴 = 5 
𝐿 = 𝜋 
𝜃 = 2𝜋, pois é temos uma revolução completa 
𝑟 = 𝑦𝑐 
 Substituindo os dados na equação de Pappus: 
5 = 2𝜋. 𝑦𝑐 . 𝜋 
𝑦𝑐 =
5
2𝜋2
 
 
 
 
 
 
𝜋 
𝑦𝑐 
𝑥 
𝑦 
𝒇: [𝟎, 𝟏] 
41 
 
 
 
Uma mola, que obedece a lei de Hook, com constante elástica 𝒌 
e comprimento natural 𝝀, é colocada na vertical, com uma 
extremidade fixada no ponto O e a outra extremidade virada 
para baixo, em um local cuja aceleração da gravidade é 
constante e tem intensidade igual a g. Na extremidade livre da 
mola, coloca-se um ponto material de massa m. Esse sistema 
ficará em equilíbrio se o ponto material for colocado com 
velocidade nula e a mola estiver: 
 O desenho abaixo representa a situação descrita no 
problema: 
 
 Como o corpo está em equilíbrio, o Peso deve ser igual a 
Força Elástica: 
𝑃 = 𝐹𝑒 
𝑚. 𝑔 = 𝑘. Δ𝑥 
Δ𝑥 =
𝑚. 𝑔
𝑘
 
QUESTÃO 15
𝝀 𝝀 
𝚫𝒙 
𝑷 
𝑭𝒆 
𝒙 
42 
 
 
 De acordo com o sistema de referências adotado, a posição 
do ponto material será: 
𝐿 = 𝜆 + Δ𝑥 
 
𝐿 = 𝜆 +
𝑚. 𝑔
𝑘
 
 
 Como 𝐿 > 𝜆, a mola está distendida. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
43 
 
 
 
Dois pêndulos planos A e B de massas mA e mB , 
respectivamente, estão em um plano vertical 𝝅. Ambos têm 
hastes de massas desprezíveis, de comprimento L, presas a um 
ponto O, localizado a uma altura 2L do solo. Num instante t0 , 
os pêndulos são abandonados, sujeitos à ação exclusiva da 
gravidade, com velocidade nula, o pêndulo A com sua haste na 
horizontal e o pêndulo B com sua haste na vertical, abaixo do 
ponto O. Num instante t1 > t0 ocorre um choque perfeitamente 
inelástico e, a partir daí, os pêndulos passam a mover-se juntos, 
atingindo uma altura máxima num instante t2 > t1 . Supondo 
que não haja atrito, a altura máxima atingida depois do choque 
é de: 
 Para resolver esse problema, devemos utilizar os princípios 
da conservação de energia mecânica e da conservação da 
quantidade de movimento. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
QUESTÃO 16
𝐸𝑚 = 𝐸𝑝 + 𝐸𝑐 = 𝑐𝑡𝑒 
𝑄 𝑓𝑖𝑛𝑎𝑙 = 𝑄 𝑖𝑛𝑐𝑖𝑎𝑙 
𝑄 = 𝑚. 𝑣 
CONSERVAÇÃO DA ENERGIA MECÂNICA 
 Em um sistema no qual agem somente forças 
conservativas (sem atrito, por exemplo), a soma das energias 
potencial (gravitacional e/ou elástica) e cinética será sempre 
constante. 
CONSERVAÇÃO DA QUANTIDADE DE MOVIMENTO 
A quantidade de movimento também é mantida quando 
não há forças dissipativas, ou seja, o sistema é conservativo, 
fechado ou mecanicamente isolado. 
44 
 
 
 Dividiremos a análise em três tempos distintos: t0, t1 e t2. 
 Em t0 temos a seguinte situação: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 O sistema de referências foi colocado naquela posição para 
facilitar os cálculos, pois nesse caso a altura de B vale 0 no 
instante inicial. 
 Precisamos descobrir a velocidade com que o corpo A 
atingirá o corpo B no instante t1. Para isso, utilizamos o 
princípio da conservação de energia mecânica no sistema: 
 
𝐸𝑚𝑒 𝑐â𝑛𝑖𝑐𝑎 𝑡0 = 𝐸𝑚𝑒 𝑐â𝑛𝑖𝑐𝑎 𝑡1 
𝑚𝐴 . 𝑔. 𝐿 =
𝑚𝐴 . 𝑣𝐴
2
2
 
𝑣𝐴 = 2. 𝑔. 𝐿 
 O choque ocorre no instante t1 e, por se tratar de um 
choque inelástico, há a conservação da quantidade de 
movimento. Nesse caso, a seguinte equação deve ser 
satisfeita: 
L 
L 
2L 
B 
A 
y 
x 
 t0 
(I) 
45 
𝑄𝑎𝑛𝑡𝑒𝑠𝐷𝑜𝐶𝑕𝑜𝑞𝑢𝑒 = 𝑄𝑑𝑒𝑝𝑜𝑖𝑠𝐷𝑜𝐶𝑕𝑜𝑞𝑢𝑒
𝑚𝐴 . 𝑣𝐴 = 𝑚𝐴 + 𝑚𝐵 . 𝑣𝐴𝐵
 Em que 𝑣𝐴𝐵 representa a velocidade do conjunto AB.
 Substituindo (I) em (II), temos que:
𝑣𝐴𝐵 =
𝑚𝐴 . 2. 𝑔. 𝐿
𝑚𝐴 + 𝑚𝐵
 A energia mecânica do sistema nesse instante será:
𝐸𝑚𝑒 𝑐â𝑛𝑖𝑐𝑎 𝑡1
∗ =
(𝑚𝐴 + 𝑚𝐵).
𝑚𝐴 . 2. 𝑔. 𝐿
𝑚𝐴 + 𝑚𝐵
 
2
2
 O símbolo ∗ nessa energia é para diferenciá-la da
𝐸𝑚𝑒 𝑐â𝑛𝑖𝑐𝑎 𝑡1 mostrada anteriormente. Elas são diferentes
porque o choque perfeitemante inelástico conserva
somente a quantidade de movimento e não a energia
mecânica do sistema, ou seja, a energia imediamente após
t1
𝑣𝐴𝐵
(II) 
46 
o choque é menor do que a energia imediatamente antes
do choque. A energia pode ser transformada em outra
forma, por exemplo, em energia térmica, ocasionando o
aumento da temperatura dos objetos que colidiram.
 Analisando agora a situação do sistema em t2 :
 t2
 Nesse caso, temos apenas Energia Potencial Gravitacional,
pois o conjunto atingiu a altura máxima e está em repouso.
 Aplicando o princípio de conservação de energia
novamente, temos que:
𝐸𝑚𝑒 𝑐â𝑛𝑖𝑐𝑎 𝑡1
∗ = 𝐸𝑚𝑒𝑐 â𝑛𝑖𝑐𝑎 𝑡2
(𝑚𝐴 + 𝑚𝐵).
𝑚𝐴 . 2. 𝑔. 𝐿
𝑚𝐴 + 𝑚𝐵
2
2
= (𝑚𝐴 + 𝑚𝐵). 𝑔. 𝑕 
x
h y
L
47 
 Isolando 𝑕 nessa expressão, concluímos que:
𝑕 = 𝐿.
𝑚𝐴
𝑚𝐴 + 𝑚𝐵
2
 Devido ao sistema de referência adotado, devemos somar a
altura do chão até o sistema. Com isso, a altura total 𝑕𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙
do conjunto será:
𝑕𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = 𝑕 + 𝐿 
𝑕𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = 𝐿. 1 +
𝑚𝐴
𝑚𝐴 + 𝑚𝐵
2
 Espero que esse documento tenha ajudado você e, em breve, enviarei mais 
resoluções como essa :)
 ( )