ListaCalculo123

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UNIVERSIDADE FEDERAL DA BAHIA
INSTITUTO DE MATEMÁTICA
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA
1a Lista de Cálculo E - semestre 2011.1
1) Calcule as seguintes integrais:
a) 
, sendo D o sólido no primeiro octante limitado pelos planos coordenados e pelo plano x + y + z = 6.
b) 
, sendo D o sólido no primeiro octante limitado pelos planos coordenados e pelos planos x + 2y + 3z = 6 e z = 1.
c) 
, sendo R o sólido limitado pelos parabolóides z = 8 - x2 - 3y2 e z = 3x2 + y2.
d) 
, sendo R o sólido limitado pelo cilindro x2 + y2 = 1, pelo plano xOy e pelo cone 
.
e) 
, sendo W o sólido limitado pela esfera x2 + y2 + z2 = 25 e pelos cones 
, 
.
f) 
, sendo W o sólido limitado pelas esferas x2 + y2 + z2 = 25, x2 + y2 + z2 = 9 e pelos cones 
, 
.
g) 
, sendo W o sólido limitado pela esfera x2 + y2 + z2 = 9, pelo plano z = 5 e pelos cones 
, 
.
h) 
, sendo U o sólido limitado pelo elipsóide x2/36 + y2/16 + z2/16 = 1,
2) Usando integral tripla, calcule o volume do sólido limitado pelo cilindro x2 + y2 = 2x (parte interna) e por:
	
a) parabolóide z = 4 - x2 - y2 e plano z = 0;
	
b) cone z2 = x2 + y2;
	
c) esfera x2 + y2 + z2 = 4.
3) Usando integral tripla, verifique as fórmulas de volume de
a) cilindro circular reto de altura h e raio da base igual a R; b) cone circular reto de altura h e raio da base igual a R; c) esfera de raio R.
4) Determine a massa dos seguintes sólidos:
a) paralelepípedo limitado pelos planos x = 0, x = 1, y = 0, y =2, z = 0, z =3, sendo a densidade ((x,y,z) = 1, para 0 ( y ( 1, e a densidade ((x,y,z) = x + 1, para 1 ( y ( 2;
b) limitado pelo cilindro de raio a e altura H, cuja densidade em cada ponto é diretamente proporcional ao quadrado da distância entre cada ponto e o centro da base, assumindo o valor (o na borda da base.
c) limitado pela esfera x2 + y2 + z2 = a2, x2 + y2 + z2 = 4a2, sendo a densidade em cada ponto proporcional ao quadrado da distância do ponto à origem do sistema de coordenadas, assumindo valor máximo (o.
5) Determine as coordenadas do centróide dos seguinte sólidos
a) limitado pelo plano z = 0 e pelo hemisfério x2 + y2 + z2 = a2, z ( 0 (Pode assumir o resultado para o volume da esfera e que a abscissa e a ordenada do centróide são iguais a 0);
b) limitado pelo cone circular de raio da base a e altura H, com vértice na origem, com eixo coincidente com Oz (Pode assumir o resultado para o volume do cone e que a abscissa e a ordenada do centróide são iguais a 0).
6) Indique, com limites de integração e utilizando coordenadas cilíndricas, as integrais repetidas que calculam
a) a massa do sólido limitada pelos parabolóides z = x2 + y2 e z = -x2 - y2 + 2, com densidade ((x,y,z) = x2 + y2 + z2 +1;
b) A ordenada do centróide do sólido limitado pelo cilindro (x-1)2 + y2 = 1 (parte interna) e pelo cone z2 = 
.
7) Determine o momento de inércia dos seguintes sólidos
a) limitado pelo cone com raio da base a e altura H, em relação ao seu eixo, com densidade constante (o.
b) limitado pelo plano z = 0 e pelo hemisfério x2 + y2 + z2 = a2, z ( 0, em relação ao seu eixo, com densidade constante (o.
c) limitado pela esfera x2 + y2 + z2 = 9, pelo plano z = 2 e pelos cones z = 
 e z = 
, com densidade ((x,y,z) = 
, em relação ao eixo Oz.
8) Determine uma função vetorial F: I(R(R3 tal que o traço de F seja:
a elipse 
. b) a circunferência
.
9) Escreva as equações da reta tangente e do plano normal à curva dada por:
a) r(t) = ( e3t, e-3t , 3
t ), no ponto ( e3, e-3 , 3
 ).
b) F(t) = ( t2-1, t2+1, 3t ), no ponto onde tal curva intercepta o plano 3x-2y-z+7 = 0.
10) Uma partícula move-se no espaço com equação R = ( cos(2t), sen(2t), t/2). 
a) Represente a órbita da partícula. b) Calcule os vetores velocidade e aceleração da partícula no início do movimento. c) Mostre que os vetores velocidade e aceleração têm comprimentos constantes. d) Mostre que a velocidade e a aceleração fazem um ângulo constante com eixo Oz em qualquer instante t.
11) Seja F(t) o vetor posição de uma partícula que se desloca sobre uma esfera de centro na origem e raio r. Mostre que o vetor velocidade é ortogonal ao vetor posição F(t) em cada instante. 
12) Dada uma curva parametrizada R= P(t) e um ponto fixo Q, demonstre que se as distâncias (P(t)-Q( atingem um mínimo para to então P(to)-Q é ortogonal a P'(to). 
13) a) Obtenha uma curva parametrizada X(t) tal que X(0) = (1,0,1), X'(0) = (2,1,5) e X''(t) = (et,t,1), para todo t. 
b) Encontre a equação do movimento de um projétil disparado da origem com um ângulo de 60o com a horizontal e velocidade escalar inicial de 800 m/s. Considerando que a única força atuando no projétil é a gravidade, 
= ( 0, -mg ) = m
, e que é lançado da origem no instante t = 0, determine o vetor posição R da partícula e mostre que a trajetória está sobre uma parábola (pag. 740 - Munem) (Encontre a equação do movimento no caso mais geral, considerando um ângulo ( com a horizontal e velocidade escalar inicial vo).
14) Seja R = F(t) a equação do movimento de uma partícula com velocidade não nula. Mostre que o módulo do vetor velocidade é constante se, somente se, a aceleração é ortogonal à velocidade. 
15) Dê exemplo, caso exista, de uma equação de movimento no plano de uma partícula tal que:
a) O módulo da velocidade seja constante mas a velocidade não seja constante. (justifique).
b) A trajetória esteja sobre uma reta mas a velocidade da partícula não seja constante (justifique).
16) Considere a curva parametrizada F, duas vezes diferenciável, e a mudança de parâmetro t = g(r) = senh(r). Pode-se afirmar que (Fog)’’(r) = F’’(t).cosh(r) – F’(t).senh(r) ?
17) a) Determine o ângulo de interseção entre as curvas ( et, e2t, 1-e-t ) e ( t, cos(2(t), sen(2(t) ) no ponto (1,1,0).
b) Verifique que a curva F(t) = (t2, t3-4t) se auto-intercepta. Determine ângulo entre as tangentes a esta curva no ponto de auto-interseção.
18) Calcule a ordenada zo do centróide de um fio delgado em forma de uma semi-circunferência C: 
, z ( 0.
19) Indique a integral que calcula a massa de um fio delgado em forma da parábola 
com densidade ((x,y,z) = x
20) Calcule a integral de F sobre o caminho C, sendo:
a) F(x,y,z) = (3x, 2xz-y, z), C é o segmento de reta que une a origem ao ponto (2,1,3); 
b) F(x,y,z) = (3x, 2xz-y, z), C: x = 2t2, y = t, z = 4t2-t, da origem ao ponto (2,1,3); 
c) F(x,y,z) = (yz, xz, xy), C: x = a.cos(t), y = a.sen(t), z = b.t, 0 ( t ( 2(.
21) Determine as áreas das seguintes superfícies:
	a) Calota da esfera x2 + y2 + z2 = 9, acima do plano z = 3/2.
	
b) Cone z2 = x2 + y2 limitado pelo cilindro (x-1)2 + y2 = 1.
c) Cilindro (x-1)2 + y2 = 1 limitado pelo cone z2 = x2 + y2.
d) Parabolóide z = x2 + y2, abaixo do plano z =1.
22) Indique, as integrais repetidas que calculam
a) O momento da inércia de uma lâmina em forma do helicóide F(t,u) = ( u.cos(t), u.sen(t), t), (t,u) ( [0,(/2]( [1,2], em relação ao eixo Oy, com densidade ((x,y,z) = x2 + y2 + z.
b) As coordenadas do centro de massa de uma lâmina em forma do parabolóide z = 2x2 + y2, sendo z ( 2.
	
	23) Considere a superfície S gerada pela rotação da curva ((t) = (sen(t) + 2, 0, t), t ( [0,2(], em torno do eixo Oz, parametrizada por 
F(t,() = ((sen(t) + 2)cos((),(sen(t) + 2)sen((), t), (t, () ( [0,2(]([0,2(].
Indique, com limites de integração, as integrais repetidas que calculam a massa de S, sabendo que a densidade é ((x,y,z) = x2 + sen2(z) + 1.
	
	24) Considere o chapéu de Scherlock gerado pela rotação da curva ((t) = (
, 0, t), t ( [-1,1], em torno do eixo Oz, parametrizada por 
F(t,() = ((sen(t) + 2)cos((),(sen(t) + 2)sen((), t),
(t, () ( [-1,1]([0,2(]. 
Indique, com limites de integração, as integrais repetidas que calculam a massa de S, sabendo que a densidade é ((x,y,z) = z2 + 2.
Algumas respostas
	1)a) 3.64/20; 1)d) 3(/2; 1)e) 
; 1)f) 
 ou 
;
	1)g) 
; 1)h) 36.96.4( ;
	2)a) 5(/2 (Sugestão: utilizar translação antes de coordenadaspolares); 2)b) 64/9; 2)c) 16((-4/3) / 3;
	4)a) 15/2 4)b) (oH((3a2+2H2)/6; 4)c) 31(o( a3/5; 5)a) (0,0,3a/8); 5)b) (0,0,3H/4);
	7)a) (o a4H(/10; 7)b) 4(o a5(/15;
	8)a) F:R(R3 / F(t) = (cost,sent,4-cost-sent) (ou,F:[0,2(](R3); 8b) F:R(R3 / F(t) = (
cost,2sent, -
cost)
	9a)reta tang. X = (e3,e-3,3
)+((e3,-e-3,
),((R, pl. normal: e3x-e-3y+
z-6-e6+e-6
	9b)
	Em F(1): reta tangente: X = (0,2,3)+ ((2,2,3), ((R
plano normal: 2x+2y+3z-13=0
	em F(2): reta tangente: X = (3,5,6)+ ((4,4,3),((R
plano normal: 4x+4y+3z-50=0;
	10) b) R’(0) = (0,2,1/2), R’’(0) = (-4,0,0); 10)c) (R’(t)( =
/2, (t, (R’’(t)( = 4, (t
	10)d) (R’(t),(0,0,1)) = arccos(
/17), (t; (R’’(t),(0,0,1)) = (/2, (t;
	13)a) (t+et, t+t3/6, 1+5t+t2/2), t(R; 13)b) R = (400t, -gt2/2 + 400
t), parábola: y = 
,
geral: R = ((vocos()t, -gt2/2 + (vosen()t);
	17)a) arccos
; 17b) arccos(3/5); 18) 4/(; 20) a) 14; 20)b) 61/9.
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